江西吉安市四所省重点中学2025-2026学年高一下学期第二次联考数学试卷

%>.1.“t°一01a一§20252026§正，”′§T.“i…°S° 一、单选题 1.已知向量a=(2,6),=(x,4),若a-与的夹角为锐角，则x的取值范围为() A.(-2,4) B.(-4,2) c.（-2,)u(4) D.（-4)u(2 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,2a=b,5sinA=2sinC,则△ABC的形状是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定的 3.若si(a-》=景cos(B+)=吾ae(倍，)，Be(5,-),则sim(a-p)=() A-裙 B.君 c.器 D.- 4.已知cos9-专则m动（） A.0 B.9 c.-9 D. 5.将函数y=sim2x-V3cos2x的图象向左平移锷个单位长度，得到函数f)的图象，则f()=（) A.1 B.-1 C.3 D.-3 6.已知sim0+sim(g-)=9,则sin(日+9)=(） A.-9 B.-2 2 c.马 D.5 7.已知定义在R上的奇函数f()和偶函数g),f)+9)=sinx+x2+1,则当x∈[0，可时，f()+f(x-)的 最大值为() A.2 B.1 C.-1 D.V2 8.已知平面向量a、b、c满足：同==1，a·c=b·元=1，则a.万+2的最小值为() A.2 B.号 C.2W2-1 D. 二、多选题 9.下列等式正确的是() A.sin26°cos34+c0s26°sin34-号 B.2sim22.5°-1-9 C.sin75'cos75 D. a71-tam26=1 1+tan71tan26° 10.在△ABC中，D,E为线段BC上（不与端点重合）的两点，且BD=EC,下列结论正确的是() A.AB·AC≥AD.AE B.若AB2+AD2=AE2+AC2,则AB=AC 试卷第1页，共3页 C.若BD=DE=AD,∠BAC=5,则LACB=若 D.若BD=DE=1,∠BAD=∠EAC=行，则△ABC的面积是 11.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列命题正确的是() A.若cos2A>cos2B且acosA=bcosB,则△ABC是直角三角形 B.若cos2A+cos2B-cos2C<1,则△ABC为锐角三角形 C.若a+b=c(cosA+cosB),且c=1,则该三角形内切圆面积的最大值是3-2W2T D.若20A+0B+30C=0,SA40C,SA4Bc分别表示△A0C,△ABC的面积，则S△40C:S△ABc=1:6 三、填空题 12.一个物体在力F=(一2，④的作用下，从点A(1,3)移动到点B(4,7),则F对该物体所做的功的大小为 13.函数y=cos2x-5sinx的值域为 14.如图，A,B,C三点位于同一水平面，A位于B的北偏西30°方向，C位于B的北偏东60°方向，A在C的正 西方向，且A,C之间的距离为50米，B处正上方建有一栋楼房，C处正上方建有一座塔，从A处观察塔尖E,测 得仰角为45°，从楼房顶D处观察塔尖E,测得仰角为30°，则楼房的高度为 米 四、解答题 15.已知向量a,b满足d=2,=(3,-3). (1)求b1: (2)若a与同向，求a的坐标： (3)若a-21=2V7,求a与的夹角 16.在△ABC中，角4，B,C的对边分别为a,6,c,a=1,品三 (1)求角A: (②若D是线段BC的中点，且AD=票，求SABC: (3)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围. 17.在①bcos(G-C=V3 ccosB;②2 SAABC=V3BA·BC;③tanA+tanC+V3=V3 tanAtanC,.这三个条件中任选 一个，补充在下面的问题中，并进行解答， 试卷第2页，共3页 问题：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且 (1)求角B: (2)已知b=V3,D为线段AC上的一点. ①若BD是边AC上的高，求BD的最大值； ②若AD=2DC,求BD的最大值. 18.如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=4,∠BAC=60°，E,F分别为AC,BC上的点，且AE=AC,BF=BC. A (1)求AF: (2)用向量方法证明：AF1BE; (3)若线段BE上一动点P满足2PB+PA+PC=0,试确定点P的位置. 19.定义函数f(x)=asinx+bcosx的“积向量”为m=(a,b),向量m=(a,b)的“积函数”为f(x)=asinx+bcosx. ()设向量元=(3,1)的“积函数为f(,若f()=且x∈(-)求sinx的值： ③诺向玩-a)府系安7四浦起得-加字的位。 (3)已知==1，且m=n,设0P=元+u元(1>0，μ>0)，且0P的积函数”为h(x),其最大值为t,证明： t=λ+u. 试卷第3页，共3页 联考数学试卷答案与解析 1.C 【分析】利用向量减法，向量的数量积及向量共线的坐标表示的公式即可求解 【详解】因为=(2,6)，万=(x,4),所以a-五=(2-x,2). 又ā-与的夹角为锐角，所以(a-)·b>0,且a-b与五不共线， 明88x主0稠-2<x<,号 x的取仙范四为(-2，)U(,4) 故选：C 2.C 【详】因为5snA=2snC.由正弦定理得5a=2c,所以c=2>a 因为2a=b,所以a<b<c. 所以C为△ABC的最大角， 由余孩定理可得C=二-兰-一名<0， 2ab 4a2 所以C是钝角，则△ABC是钝角三角形. 3.D 【分析】利用sin(a-B)=-sin[《a-)-(B+》结合三角恒停变换可求恤， 【详解】因为sn(a-)=子cos(B+)=吾&-e(（传)B+e(0,) 所以cos(a-》=-手sin(B+）=最 所以sin(a-B-)=sim[(a-)-(B+】 =ne-ms(e+》-as(a-》m(e+）)-x名-(-专×吕器 4、1263 则sin(a-BD)=-sina-B-)=-得 故选：D 4.A 《分】半公式孙sn2号=；所求式子可化为3s代入即可求出答案 答案第1页，共12页 【详解】因为cos0= 所以smg=5g-三-号 2 2 日13sin21 sin吃3sim号 =0， 3sin吃 故选：A. 5.A 【详解】由题意可得y=sin2x-V3cos2x=2(传sn2x-cos2x)=2sin(2x-), 所以f(,)=2sim[2(x+)-到=2sim(2x+), 可得f()=2sim[2×()+到=2sin=1. 6.B 【分析】利用两角和正弦公式展开，再利用辅助角公式和诱导公式化简即可求值. 【详解】由sinm0+sim(g-)-兰sin9+8m09cos0=9→月sin0-号cos0=9 2 5(停m0-cos0)=5→V3sin(0-)=sim(0-)=号 则sim(g+)=sin(g-名+m)=-sim(g-)=-号， 故选：B 7.D 【分析】利用奇偶性列方程，解方程，可得到f(x)的解析式，进而可得到f)+f(x一习的表达式，利用三角函数 最值的求法可得答案。 【详解】已知f(x)+g(x)=sinx+x2+1, 将x替换为-x, 得：f(-x)+g(-x)=sin(-x)+（-x)2+1=-sinx+x2+1, 因为f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数， 所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), -f(x)+g(x)=-sinx+x2+1, 联立f因+9)=six+x2+1 -f(x)+g(x)=-sinx+x2+1' 两式相减得：2f(x)=2sinx→f(x)=sinx, 当x∈[0，π]时， f(x)+f(x-)=sinx+sin(x-)=sinx-cosx=v2sin (x-), 由于xe0,,则x-e[, 答案第2页，共12页 当x-=即x=华时，sim(x-引)取得最大值1， 所以f)+f(x-)的最大值为V2×1=V2. 故选：D 8.C 【分析】根据题中条件，可以设a=(1,0),b=(cos6,sin),元=(x,y),运用不等式的相关解法，即可得到结果 【详解】设a=(1,0),方=(cos8,sin0),=(x,y),由a·c=五·t=1得： X=1 (X=1 {cos9+yin9=1解得y=g, sin 2sim2号 、2 、0 d.b+2=cos0+1+ 1-cose2 0 sin =2c0s2 十一 sin 2sim2·cos2/ =2c0s29+-0s=20s2g + cos29 自本不等式得2os号+之22,当且仅当2s号=即eas号-时取梦号. 1 所以a·b+2≥22-1 故选：C 9.AD 【分析】逆用和差角公式及二倍角公式逐项化简判断. 【详解】对于A,sin26°c0s34+c0s26sim340=sin(26°+34)=sin60-月，A正确： 对于B,2im225°-1=-cos450=-只，B错误 对于C,sin75°c0s75°-sim150°-sin(180°-30)=sin30°-子C错误； 对于D,a71am26=tan(710-269)=tan45°=1，D正确。 1+tan71tan26° 10.BCD 【分析】由AD·AE=AB·AC+BD·BC-BD即可判断A;利用向量数量积的运算可判断B;分别在△ADC 和△ABC中用正弦定理可判断C:D选项先证明得B=C,再在△ADE中用正弦定理建立方程可得角B,进而可求 △ABC的面积. 【详解】对于A,AD=AB+BD,A正=AC+CE=AC-EC, 因为D,E为线段BC上的两点，且BD=EC,所以A正=AC-BD,且BD≤BC, 则AD·A正=(AB+BD)·(AC-BD=AB·AC+BD·(AC-AB)-BD2 =AB.AC+BD.BC-BD=AB.AC+BDBC-BD≥AB·AC,故A错误： 对于B,AB2+AD2=A2+AC2→AB2+(A店+BD)=AC2+(4C+CE, 答案第3页，共12页 化简得AB2+AB·BD=AC2+AC.CE→AB2-AC2+AB.BD+AC.BD, 所以AB+AC)·(AB-AC+BD=0→(AB+AC·CD=0, 取BC的中点G,连接AG,则2AG·CD=0→AG1CD,所以三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC,故B正 确； 对于C,当BD=D=AD列时，点D,E分别是线段BC的三等分点， 设BD=DE=t,则AD=DC=2t,BC=3t, 设LACB=6(0<0<),则LADC=T-20,∠ABC=2-0, 3 在△ADC中，由正弦定理得AD AC sinzACD sinzADC' 即2北= AC sin sin(n-20) 所以AC=2sn-20=2sin20=4tc0s0, sin sine 在△ABC中，由正弦定理得4C BC sin∠BAC' m会g化简得tan0=g 即tos0=3t 3 因为0<日<费所以6=吾即LACB=若故C正确： 对于D,由BD=D=1,BD=EC,可得点D,E分别是线段BC的三等分点， 则BD=DE=EC=1,设AB=C,AC=b, 依题意有∠ADB=L-(B+),LAEC=L-(C+若)， ∠ADE=π-∠ADB,∠AED=π-∠AEC, sinLADE sinzADB=sin(B+),sinAED sin/AEC sin(C+), 在△ABD中，由正弦定理得，AB BD -AD sin∠ADB sin∠BAD sinB 即、c 1 sin(B+sinz =2=品所以c=2sim(B+),AD=2sinB, 同理在△ACE中，由正弦定理可得b=2sin(C+),AE=2sinC, 在△ABE中，由正弦定理得，AB 即2sin(8+3 2sinc sin(C+) sinB 整理得sinBsin(B+爱)=sinCsin(C+), 即sin(2B-7)=sin(2C-),因为B,Ce(0,m, 所以2B-号=2C-或2B-号+2C-号=m即B=C或B+C=君 答案第4页，共12页 当B+C=时，∠BAC=云不合题意舍去， 6 故可得B=C,此时b=c=2sin(B+),AD=AE=2sinB,∠DAB=牙-2B, sin∠DAE=sim(5-2B)=sin(2B+背)， 在△ADE中，由正弦定理得50D AD _2sinB 即n8*5F,n85,而si(2B+约）=2sin(B+8)cos(8+8), 即1 所以可得4 sinBcos(B+g)=1,整理可得sin(2B+)=1, 因为B∈(0，)，所以2B+=7解得B= 则此时b=c=2sim(B+8)=V3,∠BAC=π-2B=号 所以△ABC的面积S=besin-BAC=×V3×V5×复=渠，故D正确， 故选：BCD D G 【点睛】思路点睛：此题D选项比较难，解决此题的思路是可先证得B=C,再在△ADE中用正弦定理建立方程可 得角B,进而可求△ABC的面积. 11.ACD 【分析】利用同角的三角函数关系以及正弦定理判断A;利用余弦定理可判断B;根据正弦定理边化角结合三角恒 等变换，确定三角形为直角三角形，再求得内切圆半径的范围，即可判断C;根据向量的线性运算构造三角形，利 用三角形重心性质可判断D. 【详解】对于A,由cos2A>cos2B可得1-sin2A>1-sin2B,.sin2A<sin2B, 即a2<b2,a<b,则A<B; acosA bcosB sinAcosA sinBcosB,.sin2A=sin2B, 由于A,B为三角形内角，则2A+2B=π或2A=2B,即A+B=或A=B, 综合可得A+B=,即△ABC是直角三角形，A正确； 对于B,由cos2A+cos2B-cos2C<1可得1-2sin2A+1-2sin2B-1+2sin2C<1, 即sin2A+sim2B-sin2C>0,即a2+b2-c2>0, 故c0sC=+2>0,C为三角形内角，故C为锐角，但不能判定△ABC为锐角三角形，B错误： 2Ab 答案第5页，共12页 对于C,a+b=c(cosA+cosB),则sinA+sinB=sinC(cosA+cosB), sin(B +C)+sin(A+C)=sinCcosA+sinCcosB, sinBcosC+cosBsinC sinAcosC cosAsinC sinCcosA sinCcosB, sinBcosC sinAcosC=0,(sinB sinA)cosC =0, 由于sinB+sinA>0,故cosC=0,由于Ce(0,m,C= 设三角形内切圆半径为r,则r=(a+b-c)=(simA+sinB-1) =2引sinA+sim(兮-A）-1刂=2simA+cosA-1） 竖sin(a+司-克 因为0<A<5,<A+<平则竖<n(A+月≤1， 所以0<号sin(4+)号京即r∈(o,剖 故该三角形内切圆面积的最大值是5=π停)-3-”，C正确： 对于D,若20A+0B+30元=0，设0A'=20A,0C'=30元， 则0A'+OB+0C'=0,可得O为△ABC的重心，如图： 的 SAAOB=X,SABOC=y,SAAOC=2:SAAOB=2x,SABOC=3y,SAAOc=6z. 由于O为△A'BC的重心，延长BO交A'C'与E,则E为AC的中点： SAA'OE=SAC'OE SAA'B E=SAC'BESAA0B=SAC'OB' 同理可得SAAOB=S△A0c 故2x=3y=6z,不妨取z=1,∴.x=3,y=2, 可得SaA0cS△ABc=z:(x+y+Z)=1:6,D正确， 故选：ACD 【点睛】难点点睛：本题考查知识点较多，计算量较大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识以及向量的有关 知识进行解答. 12.10 【分析】根据两点坐标求出位移向量，再利用向量数量积的坐标运算公式计算力对物体所做的功. 答案第6页，共12页 【详解】因为A(1,3),B(4,7),所以AB=(3,4, 则F对该物体所做的功的大小为F·AB=-2×3+4×4=10. 故答案为：10 13.[-6,4 【详解】使用二倍角公式cos2x=1-2sin2x,将原函数化为y=1-2sin2x-5sinx, 整理为关于sinx的二次函数y=-2sin2x-5sinx+1, 令t=sinx,可知t∈[-1,1]， 因此y=-2t2-5t+1,t∈[-1,1]， 易知该苑物线的对称轴为=会-一产一一是 因此函数y=-2t2-5t+1,t∈[-1,1]在区间[-1,1]上是单调递减的， 所以函数最大值在t=-1处取得，即ymax=-2(-1)2-5(-1)+1=-2+5+1=4, 最小值在t=1处取得，即ymim=-2(1)2-5(1)+1=-2-5+1=-6, 因此，该函数的值域为[-6,4. 14.25 【分析】画出图形，通过作辅助线将空间几何问题转化为平面几何问题通过三角函数即可解决 【详解】因为A位于B的北偏西30°方向，C位于B的北偏东60°方向，A在C的正西方向，且A,C之间的距离为50米， 则LABC=90°，∠BAC=60°，∠BCA=30°， 所以BC=25V3米. 又从A处观察塔尖E,测得仰角为45°，所以CE=50米. 过D作CE的垂线，垂足为F(如图)， E 则DF=BC=25V3米，∠EDF=30, 所以EF=25米，DB=CF=CE-EF=25 所以楼房的高度为25米. 15.(1)23: (2)(1,-V3): 3培 答案第7页，共12页 【分析】(1)利用坐标计算模即可. (2)利用共线向量定理，结合向量的坐标运算求解. (3)利用向量的运算律及夹角公式求解 【详解】(1)由6=(3，-3)，得=J3)2+(-3)2=2V3. (2)由a与洞向，令à=(>0)，则向=，而回=2，解得1=后=者 所以a=(3λ，-3)=(1，-V3) (3)由d-2b=2V7,得d2-4a.b+462=28,即4-46.b+4×12=28,解得.万=6， 因此os低可=惑==号而0≤低列≤则G,列=号 所以a与的夹角是器 16.(1A=3 g (3)(1+V3,3] 【分析】(1)先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A: (2)先根据向量关系AD=AB+A汇，左右两边平方后结合余弦定理得出bc-进而得出面积即可： (3)应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【详解】(1)解：由正弦定理可知m4=2sinB-血C, cosC .sinAcosC 2sinBcosA-sinCcosA, .sinAcosC+sinCcosA sin(A+C)=2sinBcosA, 又A+B+C=π，sin(A+C)=sin(π-B)=sinB, ∴.sinB=2 sinBcosA, “sinB>0,“cosA=2 “A∈(0，m,“A=F (2)解：由(1)及余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA,即1=b2+c2-bc①， 又因为Ad=AB+AC,则AD2=(（AB+AC), 则AD2=AB2+AC2+AB·AC, 即时=c2+b2+bccos 所以=b2+c2+bc②， 4 答案第8页，共12页 由②×4-①得bc=克 所以5aBc=bcsinA=-××9-昌 8 (3)解：由(1)得A=则B+C= 即sinc=sin(悟-B）=cosB+sinB, 由正弦定理可知b=-snB,c=警=方s咖nC, 2 所以b+c=后(sinB+sing)=后(sinB+cosB+snB) =2(停9imB+cosB）=2sim(B+8): 因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<受0<牙-B<号 则贴<B<5<B+君<罗 6 则sim(8+)∈（停，]即2sin(8+)∈(3,2斗， 则a+b+c∈(1+5,3]， 故△ABC的周长的取值范围为(1+V3,3]· 17.a)8=背 (202:②3+5 3 【分析】(1)选①时，用正弦定理把边化为角，约去不为0的sinC,得到sinB与cosB关系，进而求出tanB,确定 B的值. 选②时，根据三角形面积公式化简条件，同样得到sinB与cosB关系，求出tanB确定B. 选③时，利用三角函数的两角和正切公式，结合己知条件求出tanB,从而得到B的值. (2)①通过三角形面积公式得出BD与ac的关系，再利用余弦定理和基本不等式求出c的最大值，进而得到BD 的最大值： ②先根据正弦定理求出外接圆半径R,再利用向量关系得到BD的表达式，通过三角函数的恒等变换化简，最后根 据A的取值范围求出BD的最大值，从而得到BD的最大值. 【详解】(1)选择①：条件即bsinC=V3 ccosB, 由正弦定理可知，sinBsinC=V3 sinCcosB, 在△ABC中，B,C∈(0，)，所以sinB≠0，sinC≠0， 所以sinB=V3cosB,且cosB≠0，即tanB=V5,所以B= 选择②：条件2 SAABC=V3BA,BC即2×acsinB=V3 cacosB, 答案第9页，共12页 即sinB=√3cosB, 在△ABC中，B∈(0，m),所以sinB≠0，则cosB≠0，所以tanB=V3,所以B- 选择③：条件即tanA+tanC=V3(tanAtanC-1), 所以tanB=-tan(A+C)=amA+amC=V5, 1-tan AtanC 在△ABC中，B∈(O,D,所以B= (2)①因为△ABC的面积S=×V3×BD=:acsinB,所以BD=ac 在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2-2 accosB 所以a2+c2-ac=3≥2ac-ac=ac,从而ac≤3 当且仅当a=c=V3取等.所以BD的最大值为 ②油正弦定理得：品。=2R=2,R为△ABC外接圆半径， 因为BD=BA+2BC, 则BD2-号c2+等a2+2ac=4R2(6sin2c+sinm2A+号sin4sinc） sin+sinsinC) -号（sm2(a+9+4sim2A+2 sinAsin(a+ F年sim2A+cosA+ 421 3 sinAcosA 4 2 4211-cos2A,31+c0s2A,3W 2一+4× 2 4×sin2A 2v3 29m(A-9+专 因为A(O,》,故当2A-胃克即A=时，取得最大值# 则BD的最大值为2 18.9 (2)证明见解析 (3)P是线段BE的中点 【分析】(1)记AB=石，AC=b,利用向量的线性运算将AF表示为a,b的关系式，再利用向量的数量积运算即可得解； (2)将BE表示为a,b的关系式，从而利用向量的数量积运算计算AF·BE即可得证； (3)利用向量的中点性质与共线定理即可得解。 【详解】(1)依题意，记AB=d,AC=, 答案第10页，共12页 因为AB=2,AC=4,∠BAC=60°，所以=2，l=4,a·万=2×4×c0s60°=4， 因为BF=BC, 所以AF=AB+BF=AB+BC=AB+(AC-AB=子AB+AC=五+拓， 则A=(五+)-+ā.6+5-×4+×4+与×16= 故a丽= (2)因为正=A证，所以B丽=B函+A店=-A店+AC=-立+拓， 所以AF.B正=（冠+）：(-a+=-+2=-子×4+名×16=0， 则AF L BE,即AF⊥BE (3)因为A正=AC,所以E是AC的中点，故PA+PC=2P正， 因为2PB+PA+P元=0，所以2PB+2PE=0,即PB=-PE, 所以P是线段BE的中点 19.a30 2g=v3 (3)证明见解析 【分析】(1)由已知可得f)=2sm(x+),根据三角函数的性质求解即可： (2)令tan9=:由已知根据三角恒等变换求解即可： (3)由已知可得h(x)=sin(x+a)+sin(x+B),根据三角函数的有界性可得最大值t和a与B的关系，从而可证 得t=入+u. 【详解】(1)依题意，f)=V3sinx+cosx=2sin(x+周=号 则sim(x+)=号由xe(-),得x+e(0,),则cos(x+)= 所以simx=sin[x+月月=sm(c+))cosc(c+月simg-号9专行 10 (2)向量m=(a,b)的积函数'为f(x)=asinx+bcosx, 令名=tan0,则f恩-anco号 r画asin+co西 asin时+bams5_ta时2 tan's+tan acosg bsing 1btanT 1-tangtan0 于是tan(g+)=tan钙，0+号=km+5,即0=km+导k∈z, 所以2=tan0=tan(km+)=V3. 答案第11页，共12页 (3)设元=(cos%,sina),元=(cosB,sinB), 则Op=λ(cosa,sina)+u(cosB,sinβ) =(Acosa+ucosβ，λsina+usinβ) 于是h(x)=(Acosa+ucosβ)sinx+(☑sina+usinβ)cosx =Asin(x+a)+usin(x+B), 而h(x)=sin(x+a)+usin(x+β)≤入+u, 当且仅当存在0使得+a一营+2%π」 气o+B=5+2kn 时取等号，k1,k2∈Z, 两式相减得a-B=2(k1-k2)π，则a=B+2kπ，k∈Z,即m=元， 因此h(x)=sin(x+a)+usin(x+B)=(☑+)sin(x+a)≤1+u, 所以t=+u. 答案第12页，共12页