10.3分式的加减&10.4分式的乘除（9知识点+14题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

本讲义聚焦分式加减与乘除核心内容，从同分母分式加减法则起步，通过通分方法过渡到异分母加减，结合整式与分式加减规则，延伸至分式乘除、乘方及混合运算顺序，构建递进式知识支架。 以14类题型为载体，通过解题步骤规范、易错警示及典例变式培养运算能力与推理意识，融入工程问题、糖水浓度等情境发展应用意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

10.3分式的加减&10.4分式的乘除 （9知识点+14题型+过关检测） 【题型1 同分母分式加减法】 2 【题型2 异分母分式加减法】 4 【题型3 整式与分式相加减】 6 【题型4 已知分式恒等式，确定分子或分母】 8 【题型5 分式加减混合运算】 10 【题型6 分式加减的实际应用】 15 【题型7 分式乘法】 20 【题型8 分式除法】 22 【题型9 分式乘除混合运算】 24 【题型10 分式乘方】 27 【题型11 含乘方的分式乘除混合运算】 31 【题型12 分式加减乘除混合运算】 33 【题型13 分式化简求值】 35 【题型14 分式最值】 37 · 1. 理解并掌握同分母、异分母分式的加减法运算法则，能准确复述法则公式，明确运算前提（分母不为0）。 · 2. 掌握分式通分的方法，会找最简公分母，能熟练完成异分母分式加减的通分运算。 · 3. 理解分式乘法、除法、乘方的运算法则，牢记公式及符号判定规则。 · 4. 熟练掌握分式乘、除、乘方的单独运算，能结合因式分解、约分简化计算。 · 5. 掌握分式乘除混合运算、含乘方的混合运算顺序，规避运算顺序错误、符号错误。 03 知识•梳理 知识点1. 同分母分式加减法法则 分母不变，只把分子相加减。公式：。 关键注意：分子为多项式时，相加减需添加括号，去括号后合并同类项，结果必须约分至最简。 知识点2. 分式通分与最简公分母 通分：根据分式基本性质，将异分母分式化为同分母分式的过程。 最简公分母确定方法：① 分母为单项式：取各分母系数最小公倍数、所有字母最高次幂的积；② 分母为多项式：先因式分解，再取各因式最高次幂的积。 知识点3. 异分母分式加减法法则 先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减法计算。公式：。 知识点4. 整式与分式加减规则 将整式看作分母为1的分式，再通分进行加减运算，统一分母后计算分子。 知识点5. 分式加减运算通用要求 所有分式加减运算结果，必须化为最简分式或整式，分母不能含括号、不能为多项式乘积形式（需展开化简）。 知识点6. 分式乘法法则 分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母。公式：。 技巧：先因式分解，再交叉约分，最后相乘，简化计算量。 知识点7. 分式除法法则 除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。公式：。 知识点8. 分式乘方法则 分式的乘方，等于分子、分母分别乘方。公式：。 符号规则：负数的偶次幂为正，奇次幂为负；乘方时整体乘方，不可单独对分子、分母单项乘方。 知识点9. 分式混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的；同级运算从左至右依次进行。 04 题型•汇总 【题型1 同分母分式加减法】 解题步骤：1. 保留公共分母不变；2. 分子整体相加减（多项式分子必加括号）；3. 去括号、合并同类项；4. 约分，化为最简分式。 易错警示：切勿单独对分母加减；分子相减时，后项多项式要整体变号，避免漏变号错误。 【典例1】．计算： (1)； (2)； 【变式1】．计算： (1) (2) 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算： (1) (2) 【题型2 异分母分式加减法】 解题步骤：1. 观察分母，因式分解找最简公分母；2. 各分式通分，化为同分母分式；3. 按同分母分式加减计算；4. 化简约分，得到结果。 核心技巧：优先因式分解分母，再找公分母，避免直接硬乘导致式子复杂；通分时分子分母同乘相同整式，保证分式值不变。 【典例2】．计算： (1)； (2)． 【变式1】．计算： (1)； (2)． 【变式2】．计算：． 【变式3】．计算：． 【题型3 整式与分式相加减】 解题技巧：1. 将整式变形为分母是1的分式；2. 与原有分式通分，统一分母；3. 分子相加减后化简。 示例思路：，核心是统一分母，转化为同分母加减运算。 【典例3】．计算：． 【变式1】．化简：． 【变式2】．计算：． 【变式3】．化简： 【题型4 已知分式恒等式，确定分子或分母】 解题步骤：1. 对已知等式一侧的分式进行通分、化简；2. 对比等式左右两侧的分子、分母对应项；3. 根据多项式恒等（对应项系数相等）列方程求解未知量；4. 检验分母不为0，保证分式有意义。 核心原理：若为恒等式，则（B、D≠0），交叉相乘构造整式等式求解。 【典例4】．已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 【变式1】．已知，则常数，的值分别是：_____． 【变式2】．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G所代表的代数式 (3)在（2）的条件下，若x为正整数，分式D的值为正整数，求x的值； 【变式3】．已知，求的值． 【题型5 分式加减混合运算】 解题技巧：1. 有括号先算括号内的加减；2. 多层异分母加减，分步通分，不一次性全部通分，降低计算难度；3. 每一步运算后及时约分，简化后续式子；4. 最终结果彻底化简，无公因式、无括号残留。 避坑要点：混合运算中严格区分加减顺序，禁止随意调换加减顺序；符号全程跟进，避免正负混淆。 【典例5】．计算： (1)． (2)． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型6 分式加减的实际应用】 解题步骤：1. 审题，提取题目中的数量关系，设未知量；2. 根据题意列出分式加减算式；3. 规范进行分式加减运算；4. 结合实际场景检验结果（取值为正、符合实际意义）；5. 作答。 常见场景：工程问题、行程问题、价格问题、浓度问题等，核心是用分式表示单位量、速率、占比等关系。 【典例6】．某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（  ） A． B． C． D． 【变式1】．某镇为发展工业经济，对的货物运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为_________．（用含的代数式表示） 【变式2】．谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 【变式3】．请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务， 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入m克水，糖水的浓度变为______，因为糖水变淡，可以得到不等式______； ②如果加入n克糖，糖水的浓度变为______，因为糖水变甜，可以得到不等式______． 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 在两个杯子中分别盛有克，克糖水，分别含糖克，克．它们浓度相同，则，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为______，（用含有，，，的式子表示）请你用数学知识说明混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同． (1)任务1：直接写出现象1中“______”处的内容； (2)任务2：证明现象1中②的不等式；（提示：若，则） (3)任务3：直接写出现象2中“______”处的内容，并用数学知识说明“混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同”的道理； (4)任务4：请运用现象1的结论证明：若，，是三边的长，则． 【题型7 分式乘法】 万能步骤：1. 对所有分子、分母整式因式分解；2. 交叉约分（只能分子与分母约分，分子与分子、分母与分母不可约分）；3. 剩余因式分别相乘，得到分子、分母；4. 整理为最简分式。 技巧：先约分后相乘，大幅减少计算量，避免大数、复杂多项式运算。 【典例7】．计算： 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】．计算： (1)． (2)． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【题型8 分式除法】 核心口诀：除法变乘法，除式变倒数。 解题步骤：1. 将除法运算转化为乘除式倒数的乘法运算；2. 按分式乘法规则，先因式分解、再约分、后相乘；3. 化简结果。 易错点：仅颠倒除式的分子分母，被除式保持不变；转换后优先判定符号。 【典例8】．化简． (1)； (2) 【变式1】．计算：． 【变式2】．化简：． 【变式3】．化简：． 【题型9 分式乘除混合运算】 运算规则：同级运算，从左到右依次进行，统一转化为乘法运算。 解题技巧：1. 全部除法转乘法（所有除式取倒数）；2. 整体因式分解；3. 整体统一约分；4. 合并剩余因式，化简结果。 禁忌：不可随意改变运算顺序，不可跨项约分。 【典例9】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】．计算： (1)； (2)． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【题型10 分式乘方】 解题步骤：1. 判定符号：底数为负，偶次幂正、奇次幂负；底数为正，结果恒正；2. 分子、分母分别整体乘方；3. 展开幂运算，化简整式；4. 约分至最简。 核心禁忌：不可只对部分项乘方，必须分子、分母整体乘方。 【典例10】．计算： (1) (2) 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式2】．计算：． 【变式3】．计算：． 【题型11 含乘方的分式乘除混合运算】 运算优先级：先乘方→再乘除→从左至右运算。 解题技巧：1. 优先计算所有分式乘方，确定符号和幂次；2. 将所有除法转为乘法；3. 整体因式分解、统一约分；4. 合并化简，杜绝分步遗漏。 高频易错：乘方符号出错、幂次计算失误、约分不彻底。 【典例11】．计算： 【变式1】．计算 (1)； (2)． 【变式2】．计算：． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【题型12 分式加减乘除混合运算】 终极运算顺序：括号优先→乘方→乘除→加减。 解题步骤：1. 去括号，逐层拆解式子；2. 先完成所有乘方、乘除运算，化简整式；3. 再进行分式通分、加减运算；4. 最终彻底化简为最简分式或整式。 关键原则：分步运算、步步化简，不堆积复杂式子，减少计算失误。 【典例12】．化简：． 【变式1】．化简：． 【变式2】．化简： 【变式3】．化简：． 【题型13 分式化简求值】 标准解题流程：1. 完整化简原式（按混合运算规则化简，直至最简）；2. 分析取值范围，排除使原分式分母为0的数值；3. 代入合适的数值计算结果；4. 规范作答。 特殊技巧：条件求值题（已知整式关系求分式值），无需解未知数，整体代入化简，简化运算。 绝对禁忌：禁止不化简直接代值，禁止代入使分式无意义的数值。 【典例13】．已知，求代数式的值． 【变式1】．先化简，再求值：，其中满足式子． 【变式2】．已知． (1)化简； (2)当且的值为整数时，确定的整数值． 【变式3】．先化简：，再从，，1，2中选择一个适当的数x，代入求值． 【题型14 分式最值】 基础解题技巧：1. 分离常数法：将复杂分式拆分为「常数+简单分式」形式；2. 利用分式取值范围（分子分母符号、整式非负性）判断最值；3. 结合完全平方公式、整式最值推导分式最值。 核心思路：通过变形将分式转化为可判断增减性、取值范围的简单式子，结合初中整式性质求解最大值、最小值，注意自变量取值限制。 【典例14】．若，都是正数， 满足则分式的最大值与最小值的和是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【变式2】．【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 【变式3】．下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 05 过关•检测 1．计算的结果是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．如图，设（），则有（两图中，分别相同）（   ） A． B． C． D． 6．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 7．按顺序排列的若干个数：，，，…，，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于与前一个数的差的倒数，即：，，…．下列说法： ①若，则； ②若，则； ③当时，代数式的值恒为负． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 9．若，，则a与b的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．多项式中，现对其中，，，这四个单项式进行以下操作，选择个单项式进行变符号，再对整个多项式加绝对值化简，称这个操作为“变号绝对操作”，比如对与变号，则多项式为，当时，化简结果为，当时，化简结果为，以下结论： ①至少存在2种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样 ②当，多项式时，且使得为整数，则符合整数x的值共有4个 ③所有“变号绝对操作”的化简结果共有13种不同的化简结果 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．化简的结果是___________． 12．已知，则的值为______． 13．无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 14．集大原高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分，它连接内蒙古乌兰察布与山西忻州原平，其山西段通车后，一举打破晋北地区交通瓶颈，让晋北接入全国高铁网，尽显“中国速度”的硬核实力．已知大同至原平的高铁里程约，通车前普通列车行驶全程需；通车后“复兴号”高铁的行驶时间比原来减少，则高铁列车的平均速度比普通列车提升了________． 15．已知，则分式的值为___________ 16．艺术节是同学们最为快乐的时光，今年艺术节前夕，学校决定拿出一笔固定的资金用于购买艺术节学生奖品．根据奖项设置计划，一等奖奖品的总价将占学校预定总资金的，二、三等奖奖品的总价之比为．第一次用于购买一、二、三等奖奖品的资金之比为；第二次将用余下的资金继续购买一、二、三等奖奖品，经预算，需将余下资金的购买一等奖奖品，则还需购买的二、三等奖奖品的资金之比为____． 17．计算： (1) (2) 18．先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一： 以上化简步骤中，第_____步是通过约分得到的，约分的依据是__________； 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； (2)任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 19．先化简，再求值：，其中． 20．化简并求值：，其中下面是甲、乙两同学的部分运算过程：   甲同学 解：原式   乙同学 解：原式 (1)甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______．（单选题，填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程． 21．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式______． (3)当的值为整数时，求整数的值． 22．某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型，即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长b米．阴影部分作为入户花园，如图2所示，户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．解答下列问题： (1)填空：户型一的面积（包括入户花园）： ；户型一入户花园与户型二入户花园面积差为M，则M＝ ． (2)若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型（包括入户花园）单价较低，并说明理由． 23．如图，“丰收1号”小麦试验田是一块边长为a米的正方形上修建两条宽为2米的甬道后剩余的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为a米的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，两块试验田的小麦都收获了n千克． (1)“丰收1号”试验田的面积为______平方米；“丰收2号”试验田的面积为______平方米； (2)高的单位面积产量比低的单位面积产量多多少？ 24．（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3分式的加减&10.4分式的乘除 （9知识点+14题型+过关检测） 【题型1 同分母分式加减法】 2 【题型2 异分母分式加减法】 4 【题型3 整式与分式相加减】 6 【题型4 已知分式恒等式，确定分子或分母】 8 【题型5 分式加减混合运算】 10 【题型6 分式加减的实际应用】 15 【题型7 分式乘法】 20 【题型8 分式除法】 22 【题型9 分式乘除混合运算】 24 【题型10 分式乘方】 27 【题型11 含乘方的分式乘除混合运算】 31 【题型12 分式加减乘除混合运算】 33 【题型13 分式化简求值】 35 【题型14 分式最值】 37 · 1. 理解并掌握同分母、异分母分式的加减法运算法则，能准确复述法则公式，明确运算前提（分母不为0）。 · 2. 掌握分式通分的方法，会找最简公分母，能熟练完成异分母分式加减的通分运算。 · 3. 理解分式乘法、除法、乘方的运算法则，牢记公式及符号判定规则。 · 4. 熟练掌握分式乘、除、乘方的单独运算，能结合因式分解、约分简化计算。 · 5. 掌握分式乘除混合运算、含乘方的混合运算顺序，规避运算顺序错误、符号错误。 03 知识•梳理 知识点1. 同分母分式加减法法则 分母不变，只把分子相加减。公式：。 关键注意：分子为多项式时，相加减需添加括号，去括号后合并同类项，结果必须约分至最简。 知识点2. 分式通分与最简公分母 通分：根据分式基本性质，将异分母分式化为同分母分式的过程。 最简公分母确定方法：① 分母为单项式：取各分母系数最小公倍数、所有字母最高次幂的积；② 分母为多项式：先因式分解，再取各因式最高次幂的积。 知识点3. 异分母分式加减法法则 先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减法计算。公式：。 知识点4. 整式与分式加减规则 将整式看作分母为1的分式，再通分进行加减运算，统一分母后计算分子。 知识点5. 分式加减运算通用要求 所有分式加减运算结果，必须化为最简分式或整式，分母不能含括号、不能为多项式乘积形式（需展开化简）。 知识点6. 分式乘法法则 分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母。公式：。 技巧：先因式分解，再交叉约分，最后相乘，简化计算量。 知识点7. 分式除法法则 除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。公式：。 知识点8. 分式乘方法则 分式的乘方，等于分子、分母分别乘方。公式：。 符号规则：负数的偶次幂为正，奇次幂为负；乘方时整体乘方，不可单独对分子、分母单项乘方。 知识点9. 分式混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的；同级运算从左至右依次进行。 04 题型•汇总 【题型1 同分母分式加减法】 解题步骤：1. 保留公共分母不变；2. 分子整体相加减（多项式分子必加括号）；3. 去括号、合并同类项；4. 约分，化为最简分式。 易错警示：切勿单独对分母加减；分子相减时，后项多项式要整体变号，避免漏变号错误。 【典例1】．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)1 (2)1 【分析】（1）利用同分母分式的加减运算法则计算即可； （2）先化为同分母，再计算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式1】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式3】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【题型2 异分母分式加减法】 解题步骤：1. 观察分母，因式分解找最简公分母；2. 各分式通分，化为同分母分式；3. 按同分母分式加减计算；4. 化简约分，得到结果。 核心技巧：优先因式分解分母，再找公分母，避免直接硬乘导致式子复杂；通分时分子分母同乘相同整式，保证分式值不变。 【典例2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可； （2）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定公分母为，再通分化成同分母分式计算即可； （2）先确定公分母，再通分化为同分母分式计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式2】．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3】．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【题型3 整式与分式相加减】 解题技巧：1. 将整式变形为分母是1的分式；2. 与原有分式通分，统一分母；3. 分子相加减后化简。 示例思路：，核心是统一分母，转化为同分母加减运算。 【典例3】．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 【变式1】．化简：． 【答案】． 【详解】． 【变式2】．计算：． 【答案】 【分析】根据分式的加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了分式的加法运算，解题的关键是正确进行通分． 【变式3】．化简： 【答案】 【分析】根据分式的加减法则计算，然后根据分式的性质化简 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式加减运算法则是解题的关键． 【题型4 已知分式恒等式，确定分子或分母】 解题步骤：1. 对已知等式一侧的分式进行通分、化简；2. 对比等式左右两侧的分子、分母对应项；3. 根据多项式恒等（对应项系数相等）列方程求解未知量；4. 检验分母不为0，保证分式有意义。 核心原理：若为恒等式，则（B、D≠0），交叉相乘构造整式等式求解。 【典例4】．已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 【答案】C 【分析】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解后计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴． 【变式1】．已知，则常数，的值分别是：_____． 【答案】， 【分析】先对等式左侧分式通分，根据左右两边分式分母相等，得到分子对应项系数相等，列二元一次方程组求解即可得到常数的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式2】．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G所代表的代数式 (3)在（2）的条件下，若x为正整数，分式D的值为正整数，求x的值； 【答案】(1)是， (2) (3) 【分析】（1）根据“和整分式”的定义求，再根据分式的加减法法则计算，并判断； （2）根据“和整分式”的定义可得，再去分母，并整理，然后根据对应系数相等得出答案； （3）先确定，再根据题意讨论可得答案． 【详解】（1）解：是，理由如下：∵ ， ∴A与B是和整分式，“和整值”； （2）解：∵C与D是“和整分式”，且“和整值”， ∴， 去分母，得， 整理，得， ∴， 解得； （3）解：∵，且x为正整数，分式D也为正整数， ∴当或，分式D也为正整数， 解得或（舍）， 所以． 【变式3】．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键，将右边通分后比较分子系数，得到关于和的方程组，解方程组求出和，再计算的值． 【详解】解： , ， ， ， ， 解得：， ． 【题型5 分式加减混合运算】 解题技巧：1. 有括号先算括号内的加减；2. 多层异分母加减，分步通分，不一次性全部通分，降低计算难度；3. 每一步运算后及时约分，简化后续式子；4. 最终结果彻底化简，无公因式、无括号残留。 避坑要点：混合运算中严格区分加减顺序，禁止随意调换加减顺序；符号全程跟进，避免正负混淆。 【典例5】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键； （1）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （2）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （3）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （4）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式加减法的混合运算，理解通分的运算法则，分式的加减法运算法则是解答关键． （1）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （2）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （3）先通分，再利用分式减法运算法则求解； （4）先变号，再通分，再利用分式减法运算法则求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）原式先通分，再化简即可； （2）先利用平方差公式，再化简即可； （3）先对前两项进行计算，再对最后一项约分，接下来通分，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型6 分式加减的实际应用】 解题步骤：1. 审题，提取题目中的数量关系，设未知量；2. 根据题意列出分式加减算式；3. 规范进行分式加减运算；4. 结合实际场景检验结果（取值为正、符合实际意义）；5. 作答。 常见场景：工程问题、行程问题、价格问题、浓度问题等，核心是用分式表示单位量、速率、占比等关系。 【典例6】．某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式减法运算的实际应用，核心是通过计算不同施工效率下的施工天数，进而求出天数差．先根据原日挖掘量求出改进技术后的日挖掘量，再分别计算两种情况下挖掘米隧道所需的天数，最后用原天数减去改进后的天数得到少用的天数． 【详解】解：原来每天挖掘米，挖掘米隧道需要的天数为； 改进施工技术后，每天挖掘的长度为米，此时挖掘米隧道需要的天数为； 因此比原来少用的天数为． 故选：D． 【变式1】．某镇为发展工业经济，对的货物运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】用原行驶时间减去提速后的行驶时间计算即可. 【详解】解：. 【变式2】．谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 【答案】(1)总体看刘奶奶更划算 (2)总体看刘奶奶更划算 【分析】对于（1），因为已知两次大米的具体单价，所以分别根据刘奶奶和张奶奶的购买习惯，计算两人两次购买的总花费和总质量，再利用平均单价公式算出各自的平均单价，最后比较大小． 对于（2），因为单价是字母和，所以同样按照（1）的思路，用含、的代数式表示出两人的总花费、总质量，进而得到平均单价的代数式，再通过作差法比较两个代数式的大小，判断谁的平均单价更低． 【详解】（1）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 总体看刘奶奶更划算． （2）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 又购买大米的价格都在波动，即，， ， ， 总体看刘奶奶更划算． 【变式3】．请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务， 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入m克水，糖水的浓度变为______，因为糖水变淡，可以得到不等式______； ②如果加入n克糖，糖水的浓度变为______，因为糖水变甜，可以得到不等式______． 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 在两个杯子中分别盛有克，克糖水，分别含糖克，克．它们浓度相同，则，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为______，（用含有，，，的式子表示）请你用数学知识说明混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同． (1)任务1：直接写出现象1中“______”处的内容； (2)任务2：证明现象1中②的不等式；（提示：若，则） (3)任务3：直接写出现象2中“______”处的内容，并用数学知识说明“混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同”的道理； (4)任务4：请运用现象1的结论证明：若，，是三边的长，则． 【答案】(1)① ，；② ，． (2)见解析 (3)；说明见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）利用作差法即可证明； （3）根据题意写出新的分式，再由，得，，代入混合后的浓度化简即可； （4）由现象1得，，，利用不等式的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：①由题意得，加入克水，则糖水为克， ∴糖水的浓度为， ∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴． ②由题意得，加入克糖，则糖为克，糖水为克， ∴糖水的浓度变为， ∵糖水加糖后会变甜，即糖水的浓度变大， ∴． 故答案为：① ，；② ，． （2）证明：∵， ∵，，则，， ∴，即， ∴． （3）解：由题意得，两杯糖水混合后，则糖为克，糖水为克， ∴浓度可以表示为； 故答案为：； 说明：∵， ∴，， ∴， 即混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同． （4）证明：由三角形三边关系得，，， 由现象1的①，假设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖， 加入克水，同①可得不等式， 加入克糖，同②可得不等式， 则， 同理可得， ， 则得， 即． 【题型7 分式乘法】 万能步骤：1. 对所有分子、分母整式因式分解；2. 交叉约分（只能分子与分母约分，分子与分子、分母与分母不可约分）；3. 剩余因式分别相乘，得到分子、分母；4. 整理为最简分式。 技巧：先约分后相乘，大幅减少计算量，避免大数、复杂多项式运算。 【典例7】．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法，首先把分式的分子、分母分别分解因式，再约去分子、分母的公因式化为最简分式即可． 【详解】解： ． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式乘方以及分式乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （2）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （3）先运算乘方再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式2】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键． （1）先根据分式的乘法法则计算，再约分即可； （2）先将分子和分母因式分解，然后按照分式的乘法法则计算，再约分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分式的乘法法则进行计算，即可作答． （2）根据分式的乘法法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型8 分式除法】 核心口诀：除法变乘法，除式变倒数。 解题步骤：1. 将除法运算转化为乘除式倒数的乘法运算；2. 按分式乘法规则，先因式分解、再约分、后相乘；3. 化简结果。 易错点：仅颠倒除式的分子分母，被除式保持不变；转换后优先判定符号。 【典例8】．化简． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再计算分式的乘法即可得； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】．计算：． 【答案】 【分析】先对括号内的式子进行通分计算，再对分子分母进行因式分解，最后将除法转化为乘法进行约分． 【详解】解：原式 ． 【变式2】．化简：． 【答案】 【分析】先将异分母分式通分，除法转化为乘法，再算小括号里的同分母分式减法，最后算乘法． 【详解】解：， ， ， ． 【变式3】．化简：． 【答案】1 【详解】解：原式． 【题型9 分式乘除混合运算】 运算规则：同级运算，从左到右依次进行，统一转化为乘法运算。 解题技巧：1. 全部除法转乘法（所有除式取倒数）；2. 整体因式分解；3. 整体统一约分；4. 合并剩余因式，化简结果。 禁忌：不可随意改变运算顺序，不可跨项约分。 【典例9】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】按照分式混合运算的顺序计算．先算乘方．再算乘除．有括号先计算括号内的．最后约分得到最简结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答； （2）先将括号内的分式通分，再进行减法运算，最后进行乘除运算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先除法变乘法，再约分即可求出答案． （2）先因式分解，再约分化简即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【题型10 分式乘方】 解题步骤：1. 判定符号：底数为负，偶次幂正、奇次幂负；底数为正，结果恒正；2. 分子、分母分别整体乘方；3. 展开幂运算，化简整式；4. 约分至最简。 核心禁忌：不可只对部分项乘方，必须分子、分母整体乘方。 【典例10】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运算乘方，再把除法化为乘法，最后运算乘法化简，即可作答． （2）先进行因式分解，再化简原式，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了分式的乘方及乘除混合运算，解题的关键是先算乘方再算乘除，准确运用法则进行符号判断、因式分解与约分． （1）直接运用分式乘方法则，分子分母分别乘方，再化简． （2）运用分式乘方法则，注意系数的乘方及负数的奇次幂为负，再整理系数与字母的幂． （3）先对分子分母因式分解，再利用分式乘法法则约分，简化得到结果． （4）先算乘方（确定符号、幂的运算），再将除法转乘法，最后同底数幂运算和约分． （5）先算乘方，再将除法转乘法，统一成连乘形式后，合并同类项并约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【变式2】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘方运算，分式的乘法运算，幂的运算法则，掌握各类运算法则是解题关键． 分别对两个分式进行乘方运算，再将结果相乘并化简，最终得到化简后的结果． 【详解】解：原式 ． 【变式3】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先根据分式的乘方计算，再计算分式的乘法即可． 【详解】解：． 【题型11 含乘方的分式乘除混合运算】 运算优先级：先乘方→再乘除→从左至右运算。 解题技巧：1. 优先计算所有分式乘方，确定符号和幂次；2. 将所有除法转为乘法；3. 整体因式分解、统一约分；4. 合并化简，杜绝分步遗漏。 高频易错：乘方符号出错、幂次计算失误、约分不彻底。 【典例11】．计算： 【答案】 【分析】先计算分式乘方和积的乘方，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式1】．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了整式混合运算和分式的混合运算． （1）根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法、单项式乘单项式运算即可． （2）先计算乘方，将除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除混合运算，掌握先算乘方，再算乘除，除法变乘法后约分计算是解题的关键． 先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后通过约分完成计算． 【详解】解：原式 ． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算分式的乘方，再计算分式的乘除法，最后计算分式的减法即可． （2）先利用幂的乘方与积的乘方的法则计算，再根据单项式乘单项式法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型12 分式加减乘除混合运算】 终极运算顺序：括号优先→乘方→乘除→加减。 解题步骤：1. 去括号，逐层拆解式子；2. 先完成所有乘方、乘除运算，化简整式；3. 再进行分式通分、加减运算；4. 最终彻底化简为最简分式或整式。 关键原则：分步运算、步步化简，不堆积复杂式子，减少计算失误。 【典例12】．化简：． 【答案】 【分析】将括号内的算式转化为同分母分式，分母不变分子相减，对分子进行因式分解，将除法转化为乘法，约去分子、分母的公因式，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ． 【变式1】．化简：． 【答案】 【分析】先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，同时对分子、分母因式分解，最后约分得到最简结果． 【详解】解：原式= ． 【变式2】．化简： 【答案】 【分析】先因式分解，再根据分式的性质约分，分式的加减运算即可求解． 【详解】解：原式 ． 【变式3】．化简：． 【答案】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简． 【详解】解： ． 【题型13 分式化简求值】 标准解题流程：1. 完整化简原式（按混合运算规则化简，直至最简）；2. 分析取值范围，排除使原分式分母为0的数值；3. 代入合适的数值计算结果；4. 规范作答。 特殊技巧：条件求值题（已知整式关系求分式值），无需解未知数，整体代入化简，简化运算。 绝对禁忌：禁止不化简直接代值，禁止代入使分式无意义的数值。 【典例13】．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是分式的化简求值．先根据分式运算法则，结合完全平方公式、平方差公式对原式进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 将代入原式，得： 原式． 【变式1】．先化简，再求值：，其中满足式子． 【答案】化简结果，求值结果 【分析】先根据非负数的性质求得x、y的值，再利用分式的混合运算法则化简分式，然后将x、y的值代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ； 当时，原式． 【变式2】．已知． (1)化简； (2)当且的值为整数时，确定的整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的化简与整数解问题，熟练掌握分式的混合运算的运算法则是解题的关键，切记不可忘记分式有意义的条件． 【详解】（1）解：原式 （2）解：当时，原式 由题意得：，得的值为0或2， 因为，所以整数的值为2． 【变式3】．先化简：，再从，，1，2中选择一个适当的数x，代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，按照分式混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的x值，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件，可得，，， 得，，， 因此，能取， 将代入得，原式． 【题型14 分式最值】 基础解题技巧：1. 分离常数法：将复杂分式拆分为「常数+简单分式」形式；2. 利用分式取值范围（分子分母符号、整式非负性）判断最值；3. 结合完全平方公式、整式最值推导分式最值。 核心思路：通过变形将分式转化为可判断增减性、取值范围的简单式子，结合初中整式性质求解最大值、最小值，注意自变量取值限制。 【典例14】．若，都是正数， 满足则分式的最大值与最小值的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题设，利用第一个方程得到的表达式，代入两个不等式化简，即可得到的取值范围，进而计算最大值与最小值的和． 【详解】解：， 设， ，都是正数， ， 由①得： ④， 将④代入②得： ， 化简得：， ，两边同除以得：， ∴，即， 再将④代入③得：， 化简得：， ，两边同除以得：， ∴， ，两边同除以得：，即， 的最大值为，最小值为，最大值与最小值的和为． 【变式1】．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 【变式2】．【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)当时，函数取得最小值，最小值为 【分析】（1）根据题意利用“基本不等式”进行求解即可； （2）根据题意利用“基本不等式”进行求解； （3）根据题意，利用“基本不等式”以及整体思想进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴函数的最小值是4； （2）解：同（1）得， ∴当时，取得最小值6， 解得或（舍去）， ∴当时，函数取得最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴， 当时，函数取得最小值，最小值为， 解得（舍去）或， ∴当时，函数取得最小值，最小值为． 【变式3】．下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，完全平方公式的几何背景，熟练掌握并能灵活运用配方法是解题的关键． （）依据题意，由，则，从而，即可得解； （）依据题意，由，则，从而得解； 依据题意，由，又，可得，进而得解； （）依据题意得，，可得的最小值为，从而得解； 依据题意得，，则的最小值为，从而得解； （）依据题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，，则 ，第三个正方形的边长为，故第三个正方形的面积为，又，可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：由题意，∵， ∴， 故答案为：； 由题意，∵， 又， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； 由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （4）解：由题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，， ∴，第三个正方形的边长为， ∴第三个正方形的面积为， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴第三个正方形面积的最大值为． 05 过关•检测 1．计算的结果是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：，A错误． B选项：，B错误． C选项：，C错误． D选项：，D正确． 3．若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式加法运算，利用异分母分式加法运算法则计算等式右边，比较分子系数即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 故的值为3． 故选：A． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘法即可． 【详解】解：． 5．如图，设（），则有（两图中，分别相同）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法的应用，不等式的运算．分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可． 【详解】解：甲图中阴影部分面积为， 乙图中阴影部分面积为， 则， ， ， ， ， 故选：B． 6．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【答案】B 【分析】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键．先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量，再比较结果与1的大小关系即可． 【详解】解：由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为， 则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为， 则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高， 故选：B． 7．按顺序排列的若干个数：，，，…，，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于与前一个数的差的倒数，即：，，…．下列说法： ①若，则； ②若，则； ③当时，代数式的值恒为负． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律，掌握分式的混合运算，完全平方公式的应用，找出规律是解题的关键． 根据题意，运用题目中的计算方法由，可算出判定①；同理由，可得，由此判定②；运用题目中的计算方法得到，，，每3个一组循环，，，由此可得代数式，可判定③． 【详解】解：①当时， ∴，，，， ∴每3个一组循环， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴，，，， ∴每3个一组循环， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③根据题意，，，， ∴每3个一组循环， ∵， ∴， ∴ ， 故③正确； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：A． 8．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 9．若，，则a与b的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助因式分解，换元，逆用幂的乘方，用作差法比较大小即可． 【详解】解：设，则，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴． 10．多项式中，现对其中，，，这四个单项式进行以下操作，选择个单项式进行变符号，再对整个多项式加绝对值化简，称这个操作为“变号绝对操作”，比如对与变号，则多项式为，当时，化简结果为，当时，化简结果为，以下结论： ①至少存在2种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样 ②当，多项式时，且使得为整数，则符合整数x的值共有4个 ③所有“变号绝对操作”的化简结果共有13种不同的化简结果 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将所有“变号绝对操作”的化简结果列举出来，可判断①和③；解不等式得到，利用分式的运算法则变形得到，结合为整数，可知是6的因数，结合的范围确定符合条件的x的值的个数可判断②，即可得出答案． 【详解】解：当时， 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为7； 对与变号，则多项式为，化简结果为7； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 当时， 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为7； 当时，则多项式为，化简结果为或； ∴所有“变号绝对操作”的化简结果共有13种不同的化简结果，故③正确； ∵原多项式， ∴只有1种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样，故①错误； 多项式，即， 解得， ， ∴整数可取0，1，2，3，4，5， ∵为整数， ∴是6的因数， ∴符合条件的整数的值为0，1，2，5，共有4个，故②正确； ∴正确结论的个数为2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义、整式加减的应用、绝对值的化简、分式的运算、求不等式的解集，理解“变号绝对操作”的定义是解题的关键． 11．化简的结果是___________． 【答案】 【详解】解：． 12．已知，则的值为______． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了分式的求值． 由已知条件得到，然后代入所求分式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 13．无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 【答案】 【分析】分式值恒为常数，可设该值为常数，整理等式后利用多项式对任意恒成立时对应系数相等求解即可. 【详解】解：∵无论取何值，分式的值始终保持不变， ∴设（为常数）， 等式两边同乘，得 ， 整理得 ， ∵该等式对任意恒成立， ∴多项式对应系数相等，即， 且 14．集大原高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分，它连接内蒙古乌兰察布与山西忻州原平，其山西段通车后，一举打破晋北地区交通瓶颈，让晋北接入全国高铁网，尽显“中国速度”的硬核实力．已知大同至原平的高铁里程约，通车前普通列车行驶全程需；通车后“复兴号”高铁的行驶时间比原来减少，则高铁列车的平均速度比普通列车提升了________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加减运算的应用，根据题意列式计算速度差即可. 【详解】解：∵大同至原平的高铁里程约，通车前普通列车行驶全程需；通车后“复兴号”高铁的行驶时间比原来减少， ∴高铁列车的平均速度比普通列车提升了， 故答案为： 15．已知，则分式的值为___________ 【答案】 【分析】根据已知等式得到，将其代入所求分式，约分计算即可得到结果． 【详解】解：，则， 又，即， ∴． 16．艺术节是同学们最为快乐的时光，今年艺术节前夕，学校决定拿出一笔固定的资金用于购买艺术节学生奖品．根据奖项设置计划，一等奖奖品的总价将占学校预定总资金的，二、三等奖奖品的总价之比为．第一次用于购买一、二、三等奖奖品的资金之比为；第二次将用余下的资金继续购买一、二、三等奖奖品，经预算，需将余下资金的购买一等奖奖品，则还需购买的二、三等奖奖品的资金之比为____． 【答案】 【分析】设学校预定总资金为元，可得一等奖总价为，根据第一次购买资金比设第一次一、二、三等奖资金分别为，，，根据一等奖总资金占比列方程求出与的关系，再设第二次购买二等奖资金为元，根据二、三等奖总价之比列方程求出，进而得到还需购买的二、三等奖资金比． 【详解】解：设学校预定总资金为元，则预定一等奖总价为元， 设第一次购买一、二、三等奖奖品的资金分别为元，元，元， 则第一次共花费资金元，余下资金为元， 第二次购买一等奖的资金为元， 因此一等奖总资金满足：， 整理得， 解得 ， 第二次用于购买二、三等奖的资金总和为：元， 设第二次还需购买二等奖的资金为元，则购买三等奖的资金为元， 根据预定二、三等奖总价之比为，可得：， 交叉相乘得： ， 整理得：， 解得， 则第二次购买三等奖的资金为， 因此还需购买的二、三等奖奖品的资金之比为． 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式先通分再合并分子化简后约分； （2）第二题先计算括号内的异分母分式加法，再将除法转化为乘法，约分得到最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一： 以上化简步骤中，第_____步是通过约分得到的，约分的依据是__________； 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； (2)任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 【答案】(1)三，分式的基本性质；一；添括号时，括号里面的第二项没有变号； (2)，． 【分析】（1）根据分式的运算法则观察化简步骤即可知答案； 观察分式化简的步骤可知答案； （2）将分式进行正确的化简，再将代入化简之后的式子即可． 【详解】（1）解：以上化简步骤中，第三步是通过约分得到的，约分的依据是分式的基本性质， 第一步开始出现错误，这一步错误的原因是添括号时，括号里面的第二项没有变号； （2）解：， ， 当时， ． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据多项式乘法法则计算整式部分，再计算分式的加减与除法运算，将原式化简为最简形式，最后将代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．化简并求值：，其中下面是甲、乙两同学的部分运算过程：   甲同学 解：原式   乙同学 解：原式 (1)甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______．（单选题，填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)； (2)甲同学或乙同学，过程见解析 【分析】（1）根据分式的基本性质，以及乘法分配律，即可解答； （2）若选择甲同学的解法，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法，利用乘法分配律进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律； （2）解：选甲同学的做法： 原式 ， 把代入上式，原式． 选乙同学的做法： 解：原式 ， 把代入上式，原式． 21．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式______． (3)当的值为整数时，求整数的值． 【答案】(1)真 (2) (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解真分式与假分式定义及假分式化为真分式的方法是解决问题的关键． （1）由材料中真分式的定义直接判断即可得到答案； （2）由材料中将假分式化为带分式的方法计算即可得到答案； （3）由（2）知，当的值为整数时，是整数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由真分式定义，在分式中，对于只含有一个字母的分式，分子的次数小于分母的次数，可知分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：， 故答案为：； （3）解：由（2）知， 当的值为整数时，是整数， 的取值是的因数， 即取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，整数的值为． 22．某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型，即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长b米．阴影部分作为入户花园，如图2所示，户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．解答下列问题： (1)填空：户型一的面积（包括入户花园）： ；户型一入户花园与户型二入户花园面积差为M，则M＝ ． (2)若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型（包括入户花园）单价较低，并说明理由． 【答案】(1)， (2)户型二的单价较低，理由见详解 【分析】（1）户型一是边长为的正方形，根据完全平方公式计算即可．分别计算户型一入户花园面积与户型二入户花园面积，作差即可． （2）先根据总价÷总面积＝单价，计算两种户型的单价，再利用作差法，即可作出判断． 【详解】（1）户型一的面积为： ， ， 故答案为：，． （2）户型一的单价为：万元， 户型二的单价为：万元， ， ， ，， ， ∴户型二的单价较低． 【点睛】本题考查了比较代数式大小及分式加减法的应用等知识，掌握整式混合运算与分式加减法的运算法则，并利用作差法比较大小是解题的关键． 23．如图，“丰收1号”小麦试验田是一块边长为a米的正方形上修建两条宽为2米的甬道后剩余的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为a米的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，两块试验田的小麦都收获了n千克． (1)“丰收1号”试验田的面积为______平方米；“丰收2号”试验田的面积为______平方米； (2)高的单位面积产量比低的单位面积产量多多少？ 【答案】(1)； (2)高的单位面积产量比低的单位面积产量多千克/平方米 【分析】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积； （2）根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”进行计算求解即可． 【详解】（1）由题意得，“丰收1号”试验田的面积为：平方米， “丰收2号”试验田的面积为平方米； （2） ∴高的单位面积产量比低的单位面积产量多千克/平方米 24．（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 【答案】（1）（2）（3）小莹的购货方式更合算，理由见解析 【分析】此题考查了作差法比较两个数的大小，多项式乘以多项式，整式加减运算、分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中的方法作差解答； （2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断； （3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断． 【详解】（1）∵， ∴，即 故答案为：； （2）， ， ． ， ， ，即． （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； ， m，n是正数，且， ， ， 小莹的购货方式更合算． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $