精品解析：2026年山东省泰安市新泰市二模数学试题

九年级第二学期数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个实数中，最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 近年来，泰安坚持生态立市绿色发展，多措并举推动泰山生态治理，激活城市高质量发展新动能．泰山景区每年超9000万元生态投入，构建“空天地”一体化生态防护网．数据“9000万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 鲁班锁是起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（ ） A. B. C. D. 6. 3600年前，中华大地的古人们就已经用甲骨文传递信息并制作最早的天气预报．以下是同学们用收集的甲骨文里的气象文字制作成的书签，书签正面印有甲骨文里的气象文字，除正面外其他完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张书签恰好是“雨”和“雪”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（ ） A. 当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B. 当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C. 当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D. 当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 8. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上．连接并延长至点E，以A为圆心，为半径画弧，交射线于点F，弧经过格点D，则扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 在矩形中，，，点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作交于点F，过点F作交于点G，连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 实数的绝对值是______． 12. 如图是放在水平地面上的一种晾衣架，及其侧面抽象成的几何图形，已知，如果，，那么的度数是_________． 13. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，作点A关于y轴的对称点，得到点，再将点向上平移4个单位长度，得到点，则点的坐标是_________． 14. 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 15. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，…如此运动下去，则点的坐标为_________． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）先化简：，再从，0，1，2，3中选取一个适合的数代入求值． 17. 如图，在中，连接对角线，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点H； ②分别以点A和H为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F；连接、． （1）判断四边形的形状，并证明； （2）若，，求线段的长． 18. 为助力绿色低碳城市建设，高新园区新能源服务中心推行环保再生纸低碳打印服务，收取固定基础服务费，再按打印张数收取费用，总费用与打印张数成一次函数关系．已知打印环保再生纸20张，总费用为14元；打印环保再生纸30张，总费用为16元．设打印张数为x张，总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）直接写出该项低碳打印的固定基础服务费和打印一张环保再生纸的费用； （3）某机关单位开展全民绿色低碳宣传活动，需要批量印制低碳环保宣传资料，本次打印预算经费为230元，在不超出预算的前提下，最多可以打印多少张环保再生纸宣传资料？ 19. 为提高学生防诈反诈能力，某校开展了以“防诈反诈”为主题的知识竞赛．从七、八年级各随机选取了50名同学的竞赛成绩进行了整理和分析．竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分分别记为10分，9分，8分，7分．竞赛成绩部分信息如下： 信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计图 信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 9 a 八年级 b 10 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出________，________，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据成绩统计表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）若该校七年级有500人，八年级有600人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中，成绩优秀的学生共有多少人？ 20. 如图，四边形内接于，为的直径，，交的延长线于点E． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为8.5，，求的长． 21. 如图是一种架设在斜坡屋顶的吊篮装置，主要用于在斜坡屋顶作业时，提供安全的悬挂、升降作业平台，方便施工人员开展屋面检修、清洁等作业．已知斜坡的长度为，斜坡的坡角为，已知较短的竖直立柱高为，较长竖直立柱为，斜拉索与水平臂的夹角为．（参考数据：，，；计算结果精确到） （1）求两根立柱之间水平距离； （2）求较长竖直立柱的高度． 22. 平面直角坐标系中，抛物线（a为实数）． （1）当时，求此抛物线的顶点坐标； （2）已知点，是抛物线上两点，若对于，，都有，求a的取值范围； （3）在该平面直角坐标系中有一直线，当时，总有，求m的最大值． 23. 如图，矩形中，，，为对角线． 操作一： （1）如图1，若点E是线段上异于点B的任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，作，垂足为，求证：； 操作二： （2）如图2，在操作一得到的图形基础上，再将同一条初始线段绕点A逆时针旋转得到，旋转角等于，作，垂足为N，求的值； 操作三： （3）若点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，当F落在直线上时，求B，E两点间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第二学期数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个实数中，最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的数反而小，据此即可解答． 【详解】解：∵是正数， ∴四个实数中最大， 又∵两个负数中 ∴ ， ∴ 四个数的大小关系为，即最小的数是． 2. 花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断：轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：绕某一点旋转后能与原图形重合，逐一分析选项，找出是轴对称图形但不是中心对称图形的选项． 【详解】解：A选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B选项：是轴对称图形，绕中心旋转后无法与原图形重合，不是中心对称图形，符合题意； C选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； D选项：不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 4. 近年来，泰安坚持生态立市绿色发展，多措并举推动泰山生态治理，激活城市高质量发展新动能．泰山景区每年超9000万元生态投入，构建“空天地”一体化生态防护网．数据“9000万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：9000万． 5. 鲁班锁是起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据左视图是从几何体左侧看到的图形且看不到的线条用虚线表示，据此即可解答． 【详解】解：鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是，即选项D符合题意． 6. 3600年前，中华大地的古人们就已经用甲骨文传递信息并制作最早的天气预报．以下是同学们用收集的甲骨文里的气象文字制作成的书签，书签正面印有甲骨文里的气象文字，除正面外其他完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张书签恰好是“雨”和“雪”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意画出树状图，根据树状图可知所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：令“风”为A，“云”为B，“雨”为C，“雪”为D， 画树状图如下： 等可能出现的情况共12种，抽到“雨”和“雪”书签的可能有2种， 所以抽到“雨”和“雪”书签的概率是． 7. 下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（ ） A. 当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B. 当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C. 当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D. 当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． 8. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程组即可． 【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得： ； 故选A． 9. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上．连接并延长至点E，以A为圆心，为半径画弧，交射线于点F，弧经过格点D，则扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，先由勾股定理求解半径，再由为等腰直角三角形，确定圆心角的度数，最后由扇形面积公式求解即可． 【详解】解：连接， 由题意得， 而由网格可得，为等腰直角三角形， ∴ ∴扇形的面积． 10. 在矩形中，，，点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作交于点F，过点F作交于点G，连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图：延长交于H，连接，由矩形的性质可得，再证可得，即，进而得到，易证是的垂直平分线可得，再根据平行线间垂线段最短可知，当时，有最小值，有最小值，此时四边形是矩形，最后由矩形的性质可得即可． 【详解】解：如图：延长交于H，连接， ∵在矩形中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵矩形， ∴当时，有最小值，有最小值，此时四边形是矩形， ∴，即有最小值3． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 实数的绝对值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质，熟练掌握实数的性质是解题关键．根据实数的性质：负实数的绝对值等于它的相反数求解即可得． 【详解】解：实数的绝对值是， 故答案为：． 12. 如图是放在水平地面上的一种晾衣架，及其侧面抽象成的几何图形，已知，如果，，那么的度数是_________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】延长到点，由，得到，进而求出，再根据得到． 【详解】解：如图，延长到点， ， ， ， ， ， ， ． 13. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，作点A关于y轴的对称点，得到点，再将点向上平移4个单位长度，得到点，则点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据关于y轴对称的点的坐标特征，得到点的坐标，再根据点平移的坐标规律，计算即可求解． 【详解】解：点的坐标是，作点关于轴的对称点，得到点， ， 将点向上平移个单位长度，得到点， 根据点平移的坐标规律：向上平移，横坐标不变，纵坐标加平移单位长度， ． 14. 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 15. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，…如此运动下去，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出点，连接，易知四边形，，都是平行四边形，然后根据一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形，可以发现点与点P重合，由此可知动点每运动6次为一个循环，由此可以求出点的坐标． 【详解】解：对于， 令，得， ， ∵动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处， ∴的纵坐标为9， ∴，解得：，即， ∵再沿平行于的直线运动，到达上的点处， ∴， 如图，根据题意作出点，连接，易知四边形，，、都是平行四边形 ∵是平行四边形， ∴，即， ∴的纵坐标为3， ∴，解得：，即， ∵再沿平行于的直线运动，到达上的点处， ∴， ∵都是平行四边形， ∴，即点P与重合， 又， ∴点与点重合，即点的坐标为． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）先化简：，再从，0，1，2，3中选取一个适合的数代入求值． 【答案】（1） （2），当时，原式或当时，原式 【解析】 【分析】（1）首先根据二次根式的性质、零指数幂运算法则以及负整数指数幂运算法则进行计算，然后相加即可； （2）首先将的分子、分母进行因式分解，并计算括号内的运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式， ∵且且， ∴当时，原式或当时，原式． 17. 如图，在中，连接对角线，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点H； ②分别以点A和H为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F；连接、． （1）判断四边形的形状，并证明； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）四边形是菱形，见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由作图过程可知：平分，垂直平分AH，由角平分线的定义、垂直平分线的定义可得，进而证明四边形是平行四边形，再结合即可解答； （2）由平行四边形的性质可得，由可得．再证明，然后利用相似三角形的性质列比例式可得，最后利用菱形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：四边形AEHF是菱形，证明如下： 由作图过程可知：平分，垂直平分AH， 平分， ， 垂直平分AH， ，， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形AEHF是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ． ， ， ， ， ， ，解得：． ∵是菱形， ． 18. 为助力绿色低碳城市建设，高新园区新能源服务中心推行环保再生纸低碳打印服务，收取固定基础服务费，再按打印张数收取费用，总费用与打印张数成一次函数关系．已知打印环保再生纸20张，总费用为14元；打印环保再生纸30张，总费用为16元．设打印张数为x张，总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）直接写出该项低碳打印的固定基础服务费和打印一张环保再生纸的费用； （3）某机关单位开展全民绿色低碳宣传活动，需要批量印制低碳环保宣传资料，本次打印预算经费为230元，在不超出预算的前提下，最多可以打印多少张环保再生纸宣传资料？ 【答案】（1）． （2）该项低碳打印的基础服务费为10元，打印一张环保再生纸的价钱为0.2元． （3）最多可以打印1100张环保再生纸宣传资料． 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）根据（1）求得解析式的意义即可解答； （3）由题意可得，然后代入（1）所得的表达式求解即可． 【小问1详解】 解：设一次函数的表达式为， ∵当时，；时， ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：该项低碳打印的基础服务费为10元，打印一张环保再生纸的价钱为0.2元． 【小问3详解】 解：当时， ， ∴最多可以打印1100张环保再生纸宣传资料． 19. 为提高学生防诈反诈能力，某校开展了以“防诈反诈”为主题的知识竞赛．从七、八年级各随机选取了50名同学的竞赛成绩进行了整理和分析．竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分分别记为10分，9分，8分，7分．竞赛成绩部分信息如下： 信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计图 信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 9 a 八年级 b 10 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出________，________，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据成绩统计表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）若该校七年级有500人，八年级有600人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中，成绩优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1），，图见解析 （2）七年级成绩更好，理由见解析 （3）估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中，成绩优秀的学生共有660人 【解析】 【分析】（1）根据七年级总人数50人减去已知的A、B、D级人数求出C级人数，再统计各等级得分出现的次数，找出出现次数最多的得分即为众数；根据八年级各等级所占百分比乘以总人数50求出各等级人数，将50个成绩从小到大排列后，取第25、26个数的平均数即为中位数；最后在七年级竞赛成绩统计图中补画高度为的C级条形柱即可； （2）先对比两个年级的平均分，发现平均分相同，再比较两个年级的方差，根据方差越小成绩越稳定的性质，得出七年级成绩更稳定、成绩更好的结论； （3）先分别计算七年级样本中不低于9分的人数占比和八年级样本中不低于9分的百分比，再用七年级总人数500乘以七年级优秀率、八年级总人数600乘以八年级优秀率，分别求出两个年级的优秀人数，最后将两个年级的优秀人数相加得到总优秀人数． 【小问1详解】 解：七年级总人数为人，C级人数为（人）， 各等级人数：A级（10分）12人，B级（9分）24人，C级（8分）5人，D级（7分）9人， 9分出现次数最多，故； 八年级各等级人数： A级（10分）：（人）， B级（9分）：（人）， C级（8分）：（人）， D级（7分）：（人）， 将50个成绩从小到大排列，中位数为第25、26个数的平均数， 前个数为7分和8分，第25个数是8分，第26个数是9分， 故； 七年级竞赛成绩统计图补充完整如下： 【小问2详解】 解：七年级成绩更好，理由如下： 在两个年级平均分相同的情况下，七年级的方差小于八年级的方差，所以七年级成绩较稳定，成绩更好；（答案合理即可） 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中，成绩优秀的学生共有660人． 20. 如图，四边形内接于，为的直径，，交的延长线于点E． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为8.5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，再证明，易得，进而证明，结合可知，即可证明结论； （2）首先证明，再证明，由相似三角形的性质可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 证明：连接，如下图， ， ， ， ， ， ， ， ，又为的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ∵为的直径，， ， ∵四边形内接于， ， ， ，即， ． 21. 如图是一种架设在斜坡屋顶的吊篮装置，主要用于在斜坡屋顶作业时，提供安全的悬挂、升降作业平台，方便施工人员开展屋面检修、清洁等作业．已知斜坡的长度为，斜坡的坡角为，已知较短的竖直立柱高为，较长竖直立柱为，斜拉索与水平臂的夹角为．（参考数据：，，；计算结果精确到） （1）求两根立柱之间水平距离； （2）求较长竖直立柱的高度． 【答案】（1）两根立柱之间水平距离为米 （2）较长竖直立柱的高度为米 【解析】 【分析】（1）如图：过点A作于点F，在中解直角三角形可得，再根据矩形的性质即可解答； （2）在中解直角三角形可得，进而得到，再在中可得，再利用线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：如图：过点A作于点F， 在中，，， ， ∴． ∵四边形ADCF是矩形， ∴米． 答：两根立柱之间水平距离为米． 【小问2详解】 解：在中，，， ， ∴． ， 米． ∵四边形是矩形， 米， 在中，，， ． 米． 答：较长竖直立柱的高度为米． 22. 平面直角坐标系中，抛物线（a为实数）． （1）当时，求此抛物线的顶点坐标； （2）已知点，是抛物线上两点，若对于，，都有，求a的取值范围； （3）在该平面直角坐标系中有一直线，当时，总有，求m的最大值． 【答案】（1）顶点坐标为 （2）或 （3）m最大值为9 【解析】 【分析】（1）先把代入函数解析式，然后再化成顶点式即可解答； （2）先求得抛物线的对称轴为，易得点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为；然后分对称轴的左侧、对称轴的右侧、对称轴的之间三种情况，分别求得点到对称轴的距离的最小距离，再根据二次函数抛物线开口向上，到对称轴距离越大的函数值越大列不等式求解即可； （3）对已知条件变形可得，设函数，即开口向上的抛物线，要使时，，即和是方程 的两个根；把代入方程a的值，进而求得m的值，最后确定m的最大值即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴的对称轴为， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ①当对称轴在的左侧，即时，点到对称轴的最小距离为，要满足，解得：； ②当对称轴在的右侧，即时，点到对称轴的最小距离为，要满足，解得：； ③当对称轴在的内，即时，点到对称轴的最小距离为0，要不可能大于2，不符合题意； 综上，a的取值范围为 或． 【小问3详解】 解：当时，总有，即，整理得：， ∴， 设函数，即开口向上的抛物线，要使时，， 为了使m取的最大值，应有和是方程 的两个根． 将代入方程：，解得或． 当时，方程为，解得：和， ∴． 当时，方程为，解得：，此时． ∴m的最大值为9． 23. 如图，矩形中，，，为对角线． 操作一： （1）如图1，若点E是线段上异于点B的任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，作，垂足为，求证：； 操作二： （2）如图2，在操作一得到的图形基础上，再将同一条初始线段绕点A逆时针旋转得到，旋转角等于，作，垂足为N，求的值； 操作三： （3）若点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，当F落在直线上时，求B，E两点间的距离． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质、矩形的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）先说明，再利用矩形的性质证明可得．进而得到，由操作一知即可解答； （3）分点F落在线段和的延长线上两种情况，分别根据矩形的性质、解直角三角形、勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意知：将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于， ∴，， ∴，即． ∵四边形ABCD为矩形，， ， ， ． 【小问2详解】 解：由题意知：，， ，， ， ∵四边形ABCD为矩形，， ， ， ． ， 由操作一知， ． 【小问3详解】 解：如图，当点F落在线段上，过点F作，垂足为M． 由（1）知：，， ，，， ， ， ， ， ． 如图，当点F落在延长线上， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． ，， ． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $