三、必背公式定理，性质等&四、降次法巧求高次代数式的值-【一战成名新中考·乾坤卷】2025云南中考原创压轴卷（全学科）

三、必背公式、定理、性质等 1.简单数列规律 (1)自然数列型：若一列正整数：1,2,3，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是； 这n(n≥1)个数的和为"(m+1) 2 (2)奇偶型：若一列数：1,3,5,7,9，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是2-1； 这n(n≥1)个数的和为n: 若一列数：2,4,6,8，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是2； 这n(n≥1)个数的和为n2+n; (3)正负交替型：若一列数：-1,1，-1,1，-1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个 数是(-1)”； 若一列数：1，-1,1，-1,1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数 是(-1)； (4)平方型：若一列数：1,4,9,16，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是n2; 若一列数：2,5,10,17，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是n2+1: 若一列数：0,3,8,15，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是n2-1: (5)固定累加型：若一列数：4,7,10，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是3n+1; (6)乘积型：若一列数：2,6,12,20,30，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是 n(n+1); 若一列数：1,3,6,10，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数 是0(n+1) 数 2 学 (7)乘方型：若一列数：1,2,4,8,16，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是2-. 2.常考实数运算 (1)0次幂：a°=1(a≠0)； 指反 (2)负整数指数幂a”=(a≠0，p为正整数)，如=(-2 a 底倒 特别地，4=1（a≠0) 70 中考心法·云南 (3)特殊角的三角函数值： sin30°= 2C0s30= 2tan30°s3 sin45o= 200s45= 2tan45°=1； 3 sin60°= ;c0s60°= ;tan60°=3 3.一次函数y=x+b(k≠0)的图象与性质（图象一一条倾斜的直线） k>0 k<0 k,b符号 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 大致图象 经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 、二、四 二、三、四 二、四 判断倾斜方 k>0,图象呈“/”，必过第一、三象限，y k<0,图象呈“1”，必过第二、四象限，y 向、增减性看k 随x的增大而增大 随x的增大而减小 判断与y轴交 b>0,图象交于y轴的正半轴，必过第一、二象限； 点位置看b b=0,图象过原点； b<0,图象交于y轴的负半轴，必过第三、四象限 与y轴交点 令x=0,求对应的y值，交点坐标为(0，b】 与x轴交点 令y=0,来对应的：值，交点坐标为（一无） 4.一次函数的实际应用 (1)利润、费用最值 解题思路：明确等量关系式→确定函数关系式→确定自变量取值范围→ 数 由函数增减性确定最值. 学 (2)方案择优问题 ①当给定x值比较哪个方案花费更少时，直接将x值代入解析式，比较y 值大小； ②当给定y值比较哪个方案量更多时，直接将y值代入解析式，比较x值 大小 ③当x,y值均未给定时求解哪个方案更合算/省钱时，分别令三必之 必必，计算出x的取值范围，再根据结果选取方案 中考心法·云南 71 5.反比例函数的图象与性质（图象一双曲线】 表达式 图象 性质 ①图象分别位于第一、 共性： ①图象关于直线 y= 三象限； ②在每一个象限内，y随 y=±x成轴对 (k>0) x的增大而减小 称；关于原点成 中心对称； ①图象分别位于第二、 ②图象上任意一 y=- 四象限； 点P(x,y)的 ②在每一个象限内，y随 (k<0) 横、纵坐标之积 x的增大而增大 均为k,即y=k 6.反比例函数图象上点的纵坐标大小比较 方法一：代入法.已知函数解析式时，将点的横坐标代入解析式，计算出对应 的纵坐标进行比较： 方法二：结合图象所在象限及增减性比较.在不同象限函数图象上的点，x轴 上方的点的纵坐标大，x轴下方的点的纵坐标小；在同一象限图象上的点，直 接通过增减性比较； 方法三：图象法.画出函数图象，确定点在图象上的大致位置，位置高的点纵 坐标大 数 如图1，点(x),(,),(x,)在反比例函数y=的图象上，若，<0< 学 x2<x,则y1,y2,y的大小关系为y1<y<y2 图1 72 中考心法·云南 7.k的几何意义 过反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线段，垂线段与坐标轴围成的矩 形的面积为1kl.如图2，S矩形ABoc=2,SA4OB=S△Acm=1. A(x,y) B O 图2 8.与反比例函数k的几何意义有关的面积计算 初始图形 衍生图形 D O(A)B O B S矩形ABCD=1K SBARCD=Ik1 SGAcD=Ik1 B Ol A 0 B x 11 (AO=AB) △ABC -1k1 S△AoB=IkI 数学 S△HBc=k S△APP=2kI SBAMDN=21k1 【失分警示】因为反比例函数y=“(k≠0)中的k有正负之分，所以用k表示 面积时要给k加上绝对值符号，要根据函数图象所在的象限确定k的正负. 中考心法·云南 73 9.二次函数三种表达式的图象与性质 表达式 y=ax2+br+c(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) x=h a>0, 开口 大 向上 图 象 a<0, 开口 向下 对称轴 直线x= 直线x=h 直线x= x1+x2 2a 2 顶点坐标 b 4ac-b2 2a'4a (h,k) 当x= b时 2 当x=h时， a>0 Aac-b2 当时。 y最小= y碳小= y有最小值 最 Aa 当x=- ， 当x=h时， a<0 2a +时， Aac-b2 y最大=k 当x=2 y碳大= Aa y有最大值 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； a>0 数学 增减 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； a<0 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小 10.二次函数y=ar2+br+c与一元二次方程ar2+br+c=0的关系：二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 当△=b2-4a心>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根； 当△=b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根； 当△=b2-4ac<0时，一元二次方程无实数根. 74 中考心法·云南 11.平行线的性质与判定 同位角相等 判定 性质 =两直线平行； 内错角相等。 判定 两直线平行； 性质 同旁内角互补 判定 =两直线平行. 性质 12.三角形中的重要线段 (1)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间 的线段 ①如图1，AD为△ABC的边BC上的高，则有： a.∠ADB=∠ADC=90°；b.SABm:S△AcD=BD:CD; ②锐角三角形的三条高在其内部：直角三角形的两条高是其直角边，斜 边上的高在其内部：钝角三角形两条较短边上的高在其外部，较长边 上的高在其内部 (2)中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段。 如图2，AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的中线，则有： a.BD=CD-2 BC,AE=CE-2AC; b.SM=SAAC=AMC2 (3)中位线：连接三角形两条边中点的线段 如图3，DE为△ABC的中位线，则有： a.位置关系：DE∥BC;b.数量关系：DE=BC; 数学 c.△ADE的周长等于△ABC的周长的一半； d.△ADE的面积等于△ABC的面积的4 B D B B 图1 图2 图3 图4 中考心法·云南 75 (4)角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶 点与交点之间的线段 ①如图4，AD,BE分别为△ABC的角平分线，则有： a.LBAD=∠CAD=2∠BAC,LCBE=∠ABE=2∠ABC: b.SAABD:SAACD=BD:CD=AB:AC,SARAE :SARCE =AE CE=BA:BC; ②内心：三角形三条角平分线的交点.如图4，点O为△ABC的内心，则点 O到△ABC三条边的距离相等 13.等腰三角形和等边三角形的性质与判定 等腰三角形 等边三角形 图形 60°h 三条边均相等；三个内角均 边、角 两腰相等：两底角相等 为60 高、 顶角的平分线、底边上的中线、 每条边上的高、中线、角平分 性 中线、 底边上的高重合（三线合一） 线均重合（三线合一）》 质 角平 两腰上的中线、高、两底角的平 三条高、三条中线、三条角平 分线 分线分别对应相等 分线均相等 轴对 是轴对称图形，对称轴为顶角的 是轴对称图形，有3条对称轴 称性 平分线所在的直线 数学 (1)三条边都相等的三角形 (1)有两条边相等的三角形是 是等边三角形（定义）； 等腰三角形（定义）； (2)三个角都相等的三角形 判定 (2)有两个角相等的三角形是 是等边三角形； 等腰三角形（等角对等边）》 (3)有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形 面积 26 76 中考心法·云南 14.直角三角形的性质与判定 概念 有一个角是90的三角形叫作直角三角形 (1)直角三角形两锐角之和等于90°，如图，∠A+∠B =90°： (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，如 性质 图，CD是斜边上的中线，CDAB; (3)勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a, b,斜边长为c,那么c2=a2+b D (1)有一个角是90°的三角形是直角三角形（定义）； (2)有两个角互余的三角形是直角三角形： B (3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a,b,c满足 判定 a2+b=c2,那么这个三角形是直角三角形； (4)某边上的中线等于该边的一半的三角形是直角 三角形（需证明） 面积 1 S= 计算 b=2ch,其中a,b为两直角边长，c为斜边长， 公式 h为斜边上的高 15.全等三角形的判定定理与判定思路 (I)判定定理：三角形全等的判定定理有SSS,SAS、ASA、AAS、HL(仅限直 角三角形)： (2)判定思路 「找夹角→SAS 数学 ①已知两边相等找直角→HL或SAS 找另一边SSS 找两角的夹边→ASA ②已知两角相等 找其中一角的对边→AAS 边为角的对边→找另一角→AAS ③已知一边和一角相等 找已知角的另一边→SAS 边为角的邻边→了找已知边的另一角→ASA 找已知边的对角→AAS 中考心法·云南 77 16.相似三角形的判定定理与判定思路 (1)判定定理 ①定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与 原三角形相似； ②定理2：两角分别相等的两个三角形相似 ③定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似： ④定理4：三边成比例的两个三角形相似， (2)判定思路 ①有平行截线一用判定定理1 (另一对等角（定理2） ②有一对等角— 找 该角两边对应成比例（定理3） 夹角相等（定理3） ③两边成比例 找 第三边成比例（定理4） 「一对锐角相等（定理2） ④直角三角形 找两组直角边的比相等（定理3） 斜边及一组直角边成比例 顶角相等（定理3） ⑤等腰三角形 找 一对底角相等（定理2） 底和腰成比例（定理4） 17.平行四边形 (1)性质 ①边：对边平行且相等； ②角：两组对角分别相等： 数 ③对角线：对角线互相平分； 学 ④对称性：是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，任意一条经 过对称中心的直线均平分该平行四边形的周长和面积 (2)判定 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形： ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形： ④对角线互相平分的四边形是平行四边形： ⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形 78 中考心法·云南 18.矩形 (1)性质：矩形是特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还 具有以下性质： ①四个角都是直角(90)： ②对角线相等； ③既是中心对称图形又是轴对称图形，两条对称轴是过对角线的交点且 与边平行的直线 (2)判定 ①有一个角是直角(90°)的平行四边形是矩形： ☑一■ ②对角线相等的平行四边形是矩形： ☑一X ③有三个角是直角(90°)的四边形是矩形. 一般 四边形 注：判定矩形时，先明确前提是四边形还是平行四边形，再选择合适的定理。 19.菱形 (1)性质：菱形是特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还 数 具有以下性质： 学 ①四条边相等： ②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角： ③既是中心对称图形又是轴对称图形，两条对称轴是两条对角线 (2)判定 ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形： 中考心法·云南 79 ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形： ③四条边都相等的四边形是菱形 一般 四边形 注：判定菱形时，先明确前提是四边形还是平行四边形，再选择合适的定理 20.正方形 (1)性质：正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，具有平行 四边形、矩形、菱形的所有性质 ①两组对边分别平行，四条边相等； ②四个角都是直角(90°)； ③对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； ④既是轴对称图形，也是中心对称图形 (2)判定： 有一组邻边相等 方形 矩形 对角线互相垂直 正方 平行 四边形 有一个角是直角 正方 数 形 菱形 对角线相等 正方 21.切线的性质与判定 (1)切线的性质 ①数量方面：圆心到切线的距离等于半径； ②位置方面：切线垂直于过切点的半径. (2)切线的判定 ①定义法：满足切线的定义（直线和圆只有一个公共点时，这条直线就是 圆的切线)即可得证 80 中考心法·云南 具体内容：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是 圆的切线； ②判定定理法适用情况：直线与圆的公共点明确： 步骤：如图1，连接OA,证明OA⊥CD; 简称：有公共点，连半径，证垂直. B 图 图2 具体内容：如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么此 直线是圆的切线： ③距离法适用情况：直线与圆的公共点不明确： 步骤：如图2，过点0作OA⊥CD于点A,证明OA=r 简称：无公共点，作垂直，证相等 22.扇形弧长与面积的计算 圆的周长 C=2Tr r为⊙0的半径， 扇形的弧长 ntr l= 180 n°为AB所对圆心 角的度数， 圆的面积 S=Tr 1为扇形AOB的孤 长 扇形的面积 nT2 S= 36021 23. 圆锥的相关计算 (1)圆锥的侧面展开图是扇形： (2)圆锥的母线长等于其侧面展开图（扇形）的半径： 数学 圆锥与其 (3)圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图（扇形） 侧面展开 nnl 的弧长，即2πr= 图之间的 180 关系 (4)圆锥的轴截面是等腰三角形：圆锥的母线长 1、底面圆半径r、圆锥的高h,这三个量之间 的数量关系是r2+h2= 侧面积 Sm= T =TrI 360 中考心法·云南 81 四、降次法巧求高次代数式的值 1.高次代数式求值的核心思想是降次 2.怎么降次？ (1)局部提公因式，“以低替高” 例1若实数x满足x2-2x-1=0,则代数式x3-x2-3x+2的值为 【解析】x2-2x-1=0,.x2=2x+1,x3=x·x2=x(2x+1)=2x2+x= 2(2x+1)+x=5x+2,.x3-x2-3x+2=5x+2-(2x+1)-3x+2=3. 【点拨】将最高次幂x分解为x·x2,再用含x的代数式替换x2. (2)局部拆分，以常数项代入 例2若x2-2x-1=0,则3x3-13x2+11x-7的值为 【解析】小x2-2-1=0,x2-2x=1,.3x2-13x2+1lx-7=36x2-7x2+11x-7=3x(x 2)-7x2+11x-7=3x-7x2+1lx-7=7x2t14-7=7(x22x)-7=-7-7=-14. 【点拨】先将已知等式变形为x2+bx=c(c为常数)的形式；然后将高次代数式 的一部分变形为x+bx的倍数的形式；最后将x2+bx用c进行替换. (3)倒数法 例3若2-3x+1=0,则x的值为 x8+1 【解折1，的筒数为中1 4x+显然x≠0，无2-3x+1=0,+1=3x,.无 1 1 =3,.x2+ 数 (+)2-2=32-2=7,x4 )-2=7-2=47原 s(x2+1 学 式动 【点拔】适用于分式型代数式，分子是单项式或两项多项式分母是多项式（太 于等王2项)，先写出高次代数式的倒数，然后利用完全平方公式将已知等式 变形为x+a=b,x2+号 =c(a,6,c为常数)的形式，最后代入高次代数式的倒数 a 中进行计算. 82 中考心法·云南