七年级数学下学期期末模拟卷（新教材苏科版）

**基本信息** 2025-2026学年苏科版七年级数学下册期末模拟卷，覆盖全册知识，通过科技情境（如μ子成像）、实际问题（如快递机器人购买）及新定义题型（如“相依方程”），考查抽象能力、推理意识与模型观念，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|轴对称与中心对称、科学记数法、代数运算、不等式组|结合μ子成像技术考查科学记数法，体现数学眼光| |填空题|8/24|命题真假判断、完全平方公式、方程组与不等式、图形旋转规律|设计“移变方程”新定义，考查创新意识| |解答题|11/82|几何证明、图形变换、实际应用（快递机器人）、换元法、新定义“相依方程”|25题三角板旋转动态探究，27题“相依方程”融合方程与不等式，考查推理能力与应用意识|

2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 2．子是一种基本粒子，平均寿命约为秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．中国已经研发出基于子成像技术的高精度设备，并且在地铁隧道工程中实现全球首例应用．数据用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：数据用科学记数法表示应为． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则逐一判断选项，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意 4．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 5．下列命题中： 相等的角是对顶角； 直角三角形两个锐角互余； 如果，则； 如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等． 逆命题是真命题的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与逆命题，判断命题真假，分别写出四个命题的逆命题，并逐一判断其真假即可，掌握命题与逆命题是解题的关键． 【详解】解：命题的逆命题：“对顶角相等”，对顶角一定相等，故逆命题为真； 命题的逆命题：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，若两锐角之和为，则第三个角为，故三角形为直角三角形，逆命题为真； 命题的逆命题：“若，则”，绝对值相等时，与可能相等或互为相反数，逆命题为假； 命题的逆命题：“到线段两端距离相等的点是中点”，该点可能在线段的垂直平分线上而非线段上，故逆命题为假； 综上，逆命题为真的有个， 故选：． 6．两个正方形、的边长分别是a、b，将这两个正方形如图摆放，点E与点C重合，点H在CD上，连接BH，若这两个正方形边长之和为7，面积之和为25，则阴影部分面积（     ） A．9 B．6 C．12 D．8 【答案】B 【分析】根据题意可得，，再由完全平方公式，可得，即可求解． 【详解】解：∵这两个正方形边长之和为7，面积之和为25， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为． 7．如图，是我们平常所用的两把三角尺，将绕着点C沿逆时针（箭头方向）旋转一周．在旋转过程中，当是钝角时，旋转角度α的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查三角尺，图形的旋转，大于90度小于180度的角是钝角，分，，三种情况，分别判断即可． 【详解】解：由题意知，旋转前，，，， 当时，，是钝角； 当时，，是锐角； 当时，，是钝角； 故当是钝角时，旋转角度α的取值范围是或， 故选D． 8．若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为(   ) A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12 【答案】B 【分析】根据不等式组求出的范围，然后再根据关于，的方程组的解为正整数得到或或，从而确定所有满足条件的整数的值的和． 【详解】不等式组整理得：， 由不等式组至少有1个整数解，得到， 解得：， 解方程组，得， 关于，的方程组的解为正整数， 或或， 解得或或， 所有满足条件的整数的值的和是． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的范围，本题属于中等题型． 第二部分（非选择题 共106分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．比较大小：_____（填“”“>”或“”）． 【答案】 【详解】解：根据零指数幂运算法则可得， 根据负整数指数幂运算法则可得， 因为正数大于负数，可得， 因此． 10．下列命题中，假命题是__________（填序号）． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和垂直； ③小于平角的角是钝角； ④同位角相等； ⑤若，则． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查的是真假命题的判断，涉及平行线及其性质，直线的位置关系，钝角的定义，不等式的性质，根据以上基础概念逐一判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是假命题； ②同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行，故②是假命题； ③大于度，小于平角的角是钝角，故③是假命题； ④两直线平行，同位角相等，故④是假命题； ⑤若，则，描述正确，故⑤是真命题． 故①②③④是假命题， 故答案为：①②③④ 11．已知多项式（为常数）是关于的多项式的完全平方式，则的值为__________． 【答案】9 【详解】解：∵（为常数）是关于的多项式的完全平方式， ∴原式， ∴ ． 12．关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】两式相减可得到，然后解不等式即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ， 解得． 13．甲、乙两人购买纪念币共100枚，若甲给乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量是甲的4倍，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 根据甲、乙两人购买纪念币共100枚，可得方程；根据甲给乙10枚纪念币后，乙的纪念币数量是甲的4倍，可得方程，从而组成方程组． 【详解】解：设甲原有枚纪念币，乙原有枚纪念币， 由题意得：． 故答案为：． 14．已知，，则____________________． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是根据已知条件，得到，再根据幂的运算，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图所示的中，，，，点C、A在直线l上，将绕着点A顺时针旋转到位置①得到直线l上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线l上的点，．．．按此规律旋转至点，则______． 【答案】16210 【分析】由旋转的性质可得，，，从而可得，，由题图可知，每旋转次为一个循环组一次循环，每循环一次（为正整数）的长度增加，由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵将绕着点A顺时针旋转到位置①得到直线l上的点， ∴， ∵将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线l上的点， ∴， ∴， ∵将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③得到直线l上的点， ∴， ∴， …， ∴由题图可知，每旋转次为一个循环组一次循环，每循环一次（为正整数）的长度增加， ∵， ∴． 16．定义：关于的二元一次方程（其中是常数）叫做方程的“移变方程”．例如：的“移变方程”为．已知常数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“移变方程”，则的取值范围为_________． 【答案】且 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，解题关键是理解新定义，并正确求解含参方程． 根据新定义，仿照示例，得到二元一次方程与“移变方程”系数之间的关系，列出不等式组，求出的范围，并注意二元一次方程的系数不为0，即可求解． 【详解】解：根据“移变方程”的定义，知的移变方程为： ， 又也是的移变方程， ∴， 由②得，， 代入①，得， ∵， ∴， 解得， 又是二元一次方程，则： 且， ∴ 解得且， 又， ∴的取值范围为且． 故答案为：且． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算与化简： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可． （2）先计算多项式的乘法，再合并即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 18．（5分）解方程组或不等式（组） (1) (2) (3)解不等式组 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据解不等式的基本步骤求解即可； （3）根据解不等式组的基本步骤求解即可； 【详解】（1）解： 整理，得 得， 解得； 把代入①解得， 故方程组的解为． （2）解：， 去括号，得， 整理，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得． （3）解：∵ ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 19．（6分）已知，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式得到，据此计算即可； （2）先将式子展开，再利用完全平方公式化简展开式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 20．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 21．（6分）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据题意写出命题，并判断真假即可； （2）选择命题一：先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长、交于点，根据垂直可得，然后根据，得到，然后根据等量代换的到，即可得到，证明结论；选择命题三：延长、交于点，可以得到，即可得到，然后推导，即可得到平行． 【详解】（1）命题一：已知， 若，，则；真命题． 命题二：已知， 若，，则；真命题． 命题三：已知， 若，，则；真命题． （2）选择命题一． 证明：，， ， ， ． 又， ， ， ． 选择命题二：延长、交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择命题三：延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 22．（8分）如图，网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图． (1)将绕点P逆时针旋转得到，请画出； (2)将绕点旋转得到，请画出点和； (3)将格点线段平移至格点线段（点E，F的对应点分别为M，N），使得平分四边形的面积，请画出线段MN； 【答案】(1)见解析． (2)见解析． (3)见解析． 【分析】（）根据旋转的性质：连接，，，分别将各线段绕点P逆时针旋转得到，，，顺次连接，，，即可得到． （）线段的中点为，作关于的对称点，连接，即可． （）平移使其经过即可． 【详解】（1）解： ∴即为所作图形． （2）解： ∴点和如图所作； （3）解： ∴线段如图所作． 23．（8分）某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如表： 信息一 信息二 型机器人台数 型机器人台数 总费用/万元 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件． (1)求，两种型号智能机器人的单价． (2)现该企业准备用不超过万元购买，两种型号智能机器人共台则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？最多多少万件？ 【答案】(1)型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元 (2)当该企业购买型智能机器人台，型智能机器人台时，能使每天分拣快递件数最多，最多为万件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，利用总价单价数量，结合信息一的信息，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台，利用总价单价数量，结合总价不超过万元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合，均为正整数，可得出各购买方案，再求出选择各方案每天分拣快递的件数，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：． 答：型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元； （2）解：设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台， 根据题意得：， 解得：， ，均为正整数， 可以为，，，，， 该企业共有种购买方案， 方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件； 方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件； 方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件； 方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件； 方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件， ， 该企业选择购买方案，能使每天分拣快递的件数最多，最多为万件． 答：当该企业购买型智能机器人台，型智能机器人台时，能使每天分拣快递件数最多，最多为万件． 24．（8分）如图1所示，长为，宽为（其中为正数）的小长方形纸片．现有8张这样的小长方形纸片，把其中的4张按如图2所示的方式不重叠地放在一个正方形内，另外的4张按如图3所示的方式不重叠地放在一个长方形内．设正方形面积为，长方形面积为． (1)正方形的面积为__________，长方形的面积为__________（用含的代数式表示）； (2)是否存在正数，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)试比较与的大小． 【答案】(1)；； (2)不存在正数，使得； (3) 【分析】（1）根据题意得出正方形的边长和长方形的长和宽，再计算面积即可； （2）根据（1）所得式子列方程，求出的值，再结合为正数求解即可； （3）根据（1）所得式子作差，利用平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，正方形的边长为，长方形的长为，宽为， 则正方形的面积为，长方形DEFG的面积为； （2）解：不存在正数，使得， 若， 则， ， ， 解得：， 为正数， 不存在； （3）解： ， ， 25．（10分）已知一副三角板按如图1的方式摆放，、、三点在同一直线上，其中，． (1)求图1中的度数． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度，其中．当三角板的一边平分时，求旋转角的度数． 【答案】(1)； (2)旋转角的度数为或． 【分析】（1）根据平角的性质，结合三角板中的角度计算即可求解； （2）设的平分线为射线，先求得，再分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点B、C、D在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 设的平分线为射线， ∴， 根据题意，分两种情况讨论： ①当边平分时： 此时， ∵初始位置时， ∴旋转角； ②当边平分时： 此时． ∵初始位置时与重合， ∴旋转角． 综上所述，旋转角的度数为或． 26．（10分）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （2）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （3）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，根据题意得，把代入，，得，解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项整理得，， 令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （2）解方程组， 移项整理得，， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （3）将关于x、y的方程组， 移项为， 整理得， 令，，原方程组化为， 根据题意得， 把代入，， 得，解得或， 原方程组的解为或． 27．（10分）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．子是一种基本粒子，平均寿命约为秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．中国已经研发出基于子成像技术的高精度设备，并且在地铁隧道工程中实现全球首例应用．数据用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 5．下列命题中： 相等的角是对顶角； 直角三角形两个锐角互余； 如果，则； 如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等． 逆命题是真命题的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．两个正方形、的边长分别是a、b，将这两个正方形如图摆放，点E与点C重合，点H在CD上，连接BH，若这两个正方形边长之和为7，面积之和为25，则阴影部分面积（     ） A．9 B．6 C．12 D．8 7．如图，是我们平常所用的两把三角尺，将绕着点C沿逆时针（箭头方向）旋转一周．在旋转过程中，当是钝角时，旋转角度α的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为(   ) A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12 第二部分（非选择题 共106分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．比较大小：_____（填“”“>”或“”）． 10．下列命题中，假命题是__________（填序号）． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和垂直； ③小于平角的角是钝角； ④同位角相等； ⑤若，则． 11．已知多项式（为常数）是关于的多项式的完全平方式，则的值为__________． 12．关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是______． 13．甲、乙两人购买纪念币共100枚，若甲给乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量是甲的4倍，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为________． 14．已知，，则____________________． 15．如图所示的中，，，，点C、A在直线l上，将绕着点A顺时针旋转到位置①得到直线l上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线l上的点，．．．按此规律旋转至点，则______． 16．定义：关于的二元一次方程（其中是常数）叫做方程的“移变方程”．例如：的“移变方程”为．已知常数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“移变方程”，则的取值范围为_________． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算与化简： (1)计算：； (2)化简：． 18．（5分）解方程组或不等式（组） (1) (2) (3)解不等式组 19．（6分）已知，求下列各式的值： (1) (2) 20．（6分）先化简，再求值：，其中． 21．（6分）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 22．（8分）如图，网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图． (1)将绕点P逆时针旋转得到，请画出； (2)将绕点旋转得到，请画出点和； (3)将格点线段平移至格点线段（点E，F的对应点分别为M，N），使得平分四边形的面积，请画出线段MN； 23．（8分）某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如表： 信息一 信息二 型机器人台数 型机器人台数 总费用/万元 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件． (1)求，两种型号智能机器人的单价． (2)现该企业准备用不超过万元购买，两种型号智能机器人共台则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？最多多少万件？ 24．（8分）如图1所示，长为，宽为（其中为正数）的小长方形纸片．现有8张这样的小长方形纸片，把其中的4张按如图2所示的方式不重叠地放在一个正方形内，另外的4张按如图3所示的方式不重叠地放在一个长方形内．设正方形面积为，长方形面积为． (1)正方形的面积为__________，长方形的面积为__________（用含的代数式表示）； (2)是否存在正数，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)试比较与的大小． 25．（10分）已知一副三角板按如图1的方式摆放，、、三点在同一直线上，其中，． (1)求图1中的度数． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度，其中．当三角板的一边平分时，求旋转角的度数． 26．（10分）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 27．（10分）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 D C D C B B D B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9． 10．①②③④ 11．9 12． 13． 14． 15．16210 16．且 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可． （2）先计算多项式的乘法，再合并即可． 【详解】（1）解：．·························2分 （2）解： ．·························5分 18．（5分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据解不等式的基本步骤求解即可； （3）根据解不等式组的基本步骤求解即可； 【详解】（1）解： 整理，得 得， 解得； 把代入①解得， 故方程组的解为．·························2分 （2）解：， 去括号，得， 整理，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得．·························3分 （3）解：∵ ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为．·························5分 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式得到，据此计算即可； （2）先将式子展开，再利用完全平方公式化简展开式进行计算即可． 【详解】（1）解：；·························3分 （2）解： ·························5分6 20．（6分） 【答案】， 【详解】解：原式 ，·························3分 当时， 原式 ．·························6分 21．（6分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据题意写出命题，并判断真假即可； （2）选择命题一：先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长、交于点，根据垂直可得，然后根据，得到，然后根据等量代换的到，即可得到，证明结论；选择命题三：延长、交于点，可以得到，即可得到，然后推导，即可得到平行． 【详解】（1）命题一：已知， 若，，则；真命题．·························3分 命题二：已知， 若，，则；真命题．·························3分 命题三：已知， 若，，则；真命题．·························3分 （2）选择命题一． 证明：，， ， ， ． 又， ， ， ．·························6分 选择命题二：延长、交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴；·························6分 选择命题三：延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴．·························6分 22．（8分） 【答案】(1)见解析． (2)见解析． (3)见解析． 【分析】（）根据旋转的性质：连接，，，分别将各线段绕点P逆时针旋转得到，，，顺次连接，，，即可得到． （）线段的中点为，作关于的对称点，连接，即可． （）平移使其经过即可． 【详解】（1）解： ∴即为所作图形．·························2分 （2）解： ∴点和如图所作；·························5分 （3）解： ∴线段如图所作．·························8分 23．（8分） 【答案】(1)型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元 (2)当该企业购买型智能机器人台，型智能机器人台时，能使每天分拣快递件数最多，最多为万件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，利用总价单价数量，结合信息一的信息，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台，利用总价单价数量，结合总价不超过万元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合，均为正整数，可得出各购买方案，再求出选择各方案每天分拣快递的件数，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， 根据题意得：，·························2分 解得：． 答：型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元；·························3分 （2）解：设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台， 根据题意得：， 解得：，·························5分 ，均为正整数， 可以为，，，，， 该企业共有种购买方案， 方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件； 方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件； 方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件； 方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件； 方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件， ， 该企业选择购买方案，能使每天分拣快递的件数最多，最多为万件． 答：当该企业购买型智能机器人台，型智能机器人台时，能使每天分拣快递件数最多，最多为万件．·························8分 24．（8分） 【答案】(1)；； (2)不存在正数，使得； (3) 【分析】（1）根据题意得出正方形的边长和长方形的长和宽，再计算面积即可； （2）根据（1）所得式子列方程，求出的值，再结合为正数求解即可； （3）根据（1）所得式子作差，利用平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，正方形的边长为，长方形的长为，宽为， 则正方形的面积为，长方形DEFG的面积为；·························2分 （2）解：不存在正数，使得， 若， 则， ， ， 解得：，·························4分 为正数， 不存在；·························5分 （3）解： ，·························6分 ， ·························8分 25．（10分） 【答案】(1)； (2)旋转角的度数为或． 【分析】（1）根据平角的性质，结合三角板中的角度计算即可求解； （2）设的平分线为射线，先求得，再分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点B、C、D在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴；·························3分 （2）解：∵， ∴， 设的平分线为射线， ∴， 根据题意，分两种情况讨论： ①当边平分时： 此时， ∵初始位置时， ∴旋转角； ②当边平分时： 此时． ∵初始位置时与重合， ∴旋转角． 综上所述，旋转角的度数为或．·························10分 26．（10分） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （2）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （3）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，根据题意得，把代入，，得，解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项整理得，， 令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为；·························4分 （2）解方程组， 移项整理得，， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为；·························8分 （3）将关于x、y的方程组， 移项为， 整理得， 令，，原方程组化为， 根据题意得， 把代入，， 得，解得或， 原方程组的解为或．·························10分 27．（10分） 【答案】(1)① (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①；·························2分 （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：；·························6分 （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：．·························10分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．子是一种基本粒子，平均寿命约为秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．中国已经研发出基于子成像技术的高精度设备，并且在地铁隧道工程中实现全球首例应用．数据用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 5．下列命题中： 相等的角是对顶角； 直角三角形两个锐角互余； 如果，则； 如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等． 逆命题是真命题的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．两个正方形、的边长分别是a、b，将这两个正方形如图摆放，点E与点C重合，点H在CD上，连接BH，若这两个正方形边长之和为7，面积之和为25，则阴影部分面积（     ） A．9 B．6 C．12 D．8 7．如图，是我们平常所用的两把三角尺，将绕着点C沿逆时针（箭头方向）旋转一周．在旋转过程中，当是钝角时，旋转角度α的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为(   ) A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12 第二部分（非选择题 共106分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．比较大小：_____（填“”“>”或“”）． 10．下列命题中，假命题是__________（填序号）． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和垂直； ③小于平角的角是钝角； ④同位角相等； ⑤若，则． 11．已知多项式（为常数）是关于的多项式的完全平方式，则的值为__________． 12．关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是______． 13．甲、乙两人购买纪念币共100枚，若甲给乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量是甲的4倍，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为________． 14．已知，，则____________________． 15．如图所示的中，，，，点C、A在直线l上，将绕着点A顺时针旋转到位置①得到直线l上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线l上的点，．．．按此规律旋转至点，则______． 16．定义：关于的二元一次方程（其中是常数）叫做方程的“移变方程”．例如：的“移变方程”为．已知常数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“移变方程”，则的取值范围为_________． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算与化简： (1)计算：； (2)化简：． 18．（5分）解方程组或不等式（组） (1) (2) (3)解不等式组 19．（6分）已知，求下列各式的值： (1) (2) 20．（6分）先化简，再求值：，其中． 21．（6分）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 22．（8分）如图，网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图． (1)将绕点P逆时针旋转得到，请画出； (2)将绕点旋转得到，请画出点和； (3)将格点线段平移至格点线段（点E，F的对应点分别为M，N），使得平分四边形的面积，请画出线段MN； 23．（8分）某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如表： 信息一 信息二 型机器人台数 型机器人台数 总费用/万元 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件． (1)求，两种型号智能机器人的单价． (2)现该企业准备用不超过万元购买，两种型号智能机器人共台则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？最多多少万件？ 24．（8分）如图1所示，长为，宽为（其中为正数）的小长方形纸片．现有8张这样的小长方形纸片，把其中的4张按如图2所示的方式不重叠地放在一个正方形内，另外的4张按如图3所示的方式不重叠地放在一个长方形内．设正方形面积为，长方形面积为． (1)正方形的面积为__________，长方形的面积为__________（用含的代数式表示）； (2)是否存在正数，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)试比较与的大小． 25．（10分）已知一副三角板按如图1的方式摆放，、、三点在同一直线上，其中，． (1)求图1中的度数． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度，其中．当三角板的一边平分时，求旋转角的度数． 26．（10分）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 27．（10分）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $