精品解析：湖南长沙市一中初级中学2025-2026学年初三年级下学期课堂练习（一）数学 试卷

湖南长沙市一中初级中学2025-2026学年初三年级下学期课堂练习（一）数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 2026年五一假期长沙文旅火爆，预计接待游客9600000人次，数据9600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个放在水平桌面上的半球体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 面积相等的三角形全等 C. 如果，那么 D. 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角 5. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 3 7. 如图，等腰直角的直角顶点与坐标原点重合，分别过点作轴的垂线，垂足为，点A的坐标为，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 3 D. 5 8. 如图所示，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，使得点，，在同一直线上，则三角板旋转的度数是（ 　）． A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 9. “五月五日午，赠我一枝艾”．端午节，起源于中国，最初是上古先民以龙舟竞渡形式祭祀龙祖的节日．因传说战国时期的楚国诗人屈原在端午节抱石跳汨罗江自尽，后来人们亦将端午节作为纪念屈原的节日．某超市在端午节当天举办购物满68元即可参加抽奖的活动，每人可以从抽奖箱中的三个除编号外完全相同的球（编号为1，2，3）中抽取一个球（抽取后放回），每个球对应一种馅的粽子，三种馅分别是豆沙、蛋黄和腊肉．小明和小华购物都满68元，一起去参加抽奖活动，他们恰好得到不同馅的粽子的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙、丙、丁四位同学参加盲猜对位游戏，游戏规则是：箱内箱外各有颜色为红、绿、黑、蓝的个瓶子．由玩家对调箱外瓶子的顺序，主持人会提示几个瓶子的颜色与箱内瓶子颜色对上．以下是四位同学从左到右的摆放颜色顺序： 甲：黑、绿、红、蓝，主持人提示：对个； 乙：红、绿、黑、蓝，主持人提示：对个； 丙：蓝、绿、红、黑，主持人提示：对个； 丁：黑、蓝、绿、红，主持人提示：对个． 假设箱内四个瓶子的序号从左至右依次是①②③④，则根据以上信息，下列关于箱内四个瓶子的推断正确的是（ ） A. ②号瓶子的颜色可能是黑色 B. ③号瓶子一定是蓝色 C. ②号瓶子的颜色一定不是红色 D. 绿色瓶子在黑色瓶子的左边 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：＝___________． 12. 已知一组数据7，5，，9，10的平均数是7，则这组数据的中位数为_______． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为2，则的值为______． 14. 如图，是圆O的直径，垂直弦于点C，的延长线交圆O于点E，连接，若，则的长为____________． 15. 如图是某月的月历，将正方形方框放入月历，方框内恰好是9个数，若方框内的9个数的和为，方框正中心的数为，若，则的值为______________． 16. 中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 19. 我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数） 20. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 21. 长沙第一条地铁线路于2014年4月开通，随后十年相继开通了多条地铁线路及磁悬浮快线．某地铁建设公司租赁大、小挖掘机共20台进行地铁建设． （1）已知每台大挖掘机1小时可挖土80立方米，每台小挖掘机1小时可挖土60立方米，若所租大、小挖掘机同时施工2小时恰好可以挖土3000立方米，求租赁的大、小挖掘机各多少台？ （2）已知大挖掘机租赁费为每小时600元，小挖掘机租赁费为每小时400元，若公司预算每小时的租赁费不超过10000元，求最多可以租赁多少台大挖掘机？ 22. 如图，矩形的对角线与相交于点，直线是线段的垂直平分线，分别交于点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）当时，求的长． 23. 如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点C作的垂线交的延长线于点E，连接交于点P． （1）求的度数； （2）若，求的值； （3）若，，求的长． 24. 已知抛物线和抛物线，我们约定：当点是抛物线上任意一点时，点在抛物线上，此时称抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”， （1）若抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”，求m，n，k的值； （2）若抛物线的“和谐抛物线”过点，且满足，求点与原点间距离的最小值； （3）已知抛物线的顶点为点P，与x轴交于点C，D（点C在点D的左边），抛物线的“和谐抛物线”的顶点为点Q，与x轴交于点E，F（点E在点F的左边），且满足，当四边形为矩形时，求p，q，t的值或满足的关系． 25. 如图1，为半圆O的直径，为半圆上的动点，连接，点A关于的对称点为点D，连接． （1）若，连接，求的度数； （2）如图2，若点E在半圆O上，的长度为，连接为中点，连接交于点为上一点，． ①当时，判断点Q与直线的位置关系，并说明理由； ②如图3，连接，在点C运动过程中，当时，记，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南长沙市一中初级中学2025-2026学年初三年级下学期课堂练习（一）数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 2026年五一假期长沙文旅火爆，预计接待游客9600000人次，数据9600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： 3. 如图是一个放在水平桌面上的半球体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可． 本题考查的是简单组合体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形． 【详解】解：从正面看，该几何体的主视图是为： ， 故选：A． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 面积相等的三角形全等 C. 如果，那么 D. 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与真理，平行线的性质，全等三角形的判定等知识，根据平行线的性质可判断A，根据全等三角形的性质可判断B，根据乘法法则可判断C，根据三角形外角定理可判断D，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故选项不符合题意； B、面积相等的三角形不一定全等，原命题是假命题，故选项不符合题意； C、若，则，原命题是假命题，故选项不符合题意； D、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，原命题是真命题，故选项符合题意； 故选：D． 5. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象、一次函数、反比例函数的图象．由点，，在同一个函数图象上，可得点与点关于轴对称；当时，随的增大而减小，即可求得答案． 【详解】解：∵点，，在同一个函数图象上， ∴点与点关于轴对称；故A、C选项不符合题意， ∵，在同一个函数图象上， ∴当时，随的增大而减小，故B选项符合题意，D选项不符合题意， 故选：B． 6. 用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是圆锥的性质，掌握圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长是解题关键． 利用扇形求出对应弧长，即可求出所围成的圆锥的底面半径． 【详解】解：由题意可知，扇形的弧长为：， ∴底面周长为：， 解得：， 即：底面半径等于， 故选：C． 7. 如图，等腰直角的直角顶点与坐标原点重合，分别过点作轴的垂线，垂足为，点A的坐标为，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 根据点A的坐标为可得，再证明，再根据全等三角形的性质、，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 8. 如图所示，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，使得点，，在同一直线上，则三角板旋转的度数是（ 　）． A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解． 【详解】解： 旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°． 故选D． 【点睛】考点：旋转的性质． 9. “五月五日午，赠我一枝艾”．端午节，起源于中国，最初是上古先民以龙舟竞渡形式祭祀龙祖的节日．因传说战国时期的楚国诗人屈原在端午节抱石跳汨罗江自尽，后来人们亦将端午节作为纪念屈原的节日．某超市在端午节当天举办购物满68元即可参加抽奖的活动，每人可以从抽奖箱中的三个除编号外完全相同的球（编号为1，2，3）中抽取一个球（抽取后放回），每个球对应一种馅的粽子，三种馅分别是豆沙、蛋黄和腊肉．小明和小华购物都满68元，一起去参加抽奖活动，他们恰好得到不同馅的粽子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好得到不同馅的粽子的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两人恰好得到不同馅的粽子的结果有6种， ∴两人恰好得到不同馅的粽子的概率是． 故选：D． 10. 甲、乙、丙、丁四位同学参加盲猜对位游戏，游戏规则是：箱内箱外各有颜色为红、绿、黑、蓝的个瓶子．由玩家对调箱外瓶子的顺序，主持人会提示几个瓶子的颜色与箱内瓶子颜色对上．以下是四位同学从左到右的摆放颜色顺序： 甲：黑、绿、红、蓝，主持人提示：对个； 乙：红、绿、黑、蓝，主持人提示：对个； 丙：蓝、绿、红、黑，主持人提示：对个； 丁：黑、蓝、绿、红，主持人提示：对个． 假设箱内四个瓶子的序号从左至右依次是①②③④，则根据以上信息，下列关于箱内四个瓶子的推断正确的是（ ） A. ②号瓶子的颜色可能是黑色 B. ③号瓶子一定是蓝色 C. ②号瓶子的颜色一定不是红色 D. 绿色瓶子在黑色瓶子的左边 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了推理，根据题意逐步推理即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由乙和丙知，①号瓶不可能是红色和蓝色，由甲、乙、丙知②号瓶不可能是绿色，③号瓶不可能是红色和黑色，④号瓶不可能是蓝色和黑色， ∴①号瓶是黑色， ∴②号瓶不可能是蓝色， ∴②号瓶是红色， ∴③号瓶是蓝色，④号瓶是绿色， 故选：． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：＝___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：=， 故答案为：. 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键． 12. 已知一组数据7，5，，9，10的平均数是7，则这组数据的中位数为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数与中位数，熟记相关定义和公式是解题的关键． 先利用平均数为7解出x的值，然后根据中位数的定义解答即可． 【详解】解：∵数据7，5，，9，10的平均数是7， ∴，解得：， 把这些从小到大排列为：4，5，7，9，10， 则这组数据的中位数是：7． 故答案为7． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为2，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，由题意得出，再结合反比例函数图象位于第一、三象限即可得出的值． 【详解】解：∵ 轴于点，的面积为2， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象位于第一、三象限， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是圆O的直径，垂直弦于点C，的延长线交圆O于点E，连接，若，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，由且过圆心，得到再根据勾股定理即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 且过圆心， 在中， 在中， 在中，． 故答案为：． 15. 如图是某月的月历，将正方形方框放入月历，方框内恰好是9个数，若方框内的9个数的和为，方框正中心的数为，若，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】设中心数为未知数，利用日历中左右相邻数相差、上下相邻数相差的规律，用含的代数式表示其余个数，求和后建立与的关系式，从而求出的值． 【详解】解：如下表： ， ， ． 16. 中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交于点，得到四边形、是矩形，根据题意，即可求解． 本题考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图： ∵四边形是矩形，，， ∴四边形、是矩形， ∴， ∵点 M是矩形的对角线上一点，，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的性质、二次根式的化简，零次幂和特殊角三角函数值计算即可． 本题考查实数运算，熟练掌握运算法则以及特殊三角函数值是解题关键． 【详解】解： ． 18. 先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，时，原式，时，原式. 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可. 【详解】解： 且 ∴当时，原式； 当时，原式. 19. 我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是熟练掌握三角函数的定义．在和中，利用锐角三角函数，求出和的长，然后计算出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， 在中， ∵， ∴， ∴（米）， 在中，∵， ∴（米）， ∴（米）． 答：这条河的宽度米． 20. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 【答案】（1）见解析 （2）；． （3） 【解析】 【分析】（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解； （2）根据的占比乘以得到圆心角的度数，根据乘以选择的人数的占比即可求解； （3）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为（人） ∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示， 【小问2详解】 在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为， 选择A大学的大约有（人） 故答案为：；． 【小问3详解】 列表如下， 甲 乙 共有9种等可能结果，其中有3种符合题意， ∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 长沙第一条地铁线路于2014年4月开通，随后十年相继开通了多条地铁线路及磁悬浮快线．某地铁建设公司租赁大、小挖掘机共20台进行地铁建设． （1）已知每台大挖掘机1小时可挖土80立方米，每台小挖掘机1小时可挖土60立方米，若所租大、小挖掘机同时施工2小时恰好可以挖土3000立方米，求租赁的大、小挖掘机各多少台？ （2）已知大挖掘机租赁费为每小时600元，小挖掘机租赁费为每小时400元，若公司预算每小时的租赁费不超过10000元，求最多可以租赁多少台大挖掘机？ 【答案】（1）租赁的大、小挖掘机分别为15台、5台 （2）最多可以租赁10台大挖掘机 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设租赁大、小挖掘机分别为台、台，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设租赁大挖掘机台，根据题意列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设租赁大、小挖掘机分别为台、台， 根据题意得：， 解得：， 故租赁的大、小挖掘机分别为15台、5台． 【小问2详解】 解：设租赁大挖掘机台， 根据题意得：， 解得：， 答：最多可以租赁10台大挖掘机． 22. 如图，矩形的对角线与相交于点，直线是线段的垂直平分线，分别交于点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）当时，求的长． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明和是等边三角形，即可推出四边形是菱形； （2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得和的长，利用菱形的性质得到，在中，解直角三角形求得的长，最后根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形，理由如下： ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵直线是线段的垂直平分线，且， ∴，， 由（1）得四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、线段垂直平分线的性质、矩形的性质等知识点，明确题意，找出所求问题需要的条件是解答本题的关键． 23. 如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点C作的垂线交的延长线于点E，连接交于点P． （1）求的度数； （2）若，求的值； （3）若，，求的长． 【答案】（1） （2）2 （3）4 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角为90度可得，进而可得； （2）设，则．先证，推出，求出，根据勾股定理求出，则； （3）连接，作于点G，由垂径定理得，设，则，，代入，可得，再证，可得，最后根据即可得出答案． 【小问1详解】 解：对角线是的直径， ， ； 【小问2详解】 解：， 设，则． ， ， ， 又， ， ，即， ， 解得或（舍）， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接，作于点G， 由垂径定理得， 设，则，， ， ， 整理得， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正切函数的应用，等腰三角形的判定等知识点，能够综合应用上述知识点并正确作出辅助线是解题的关键． 24. 已知抛物线和抛物线，我们约定：当点是抛物线上任意一点时，点在抛物线上，此时称抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”， （1）若抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”，求m，n，k的值； （2）若抛物线的“和谐抛物线”过点，且满足，求点与原点间距离的最小值； （3）已知抛物线的顶点为点P，与x轴交于点C，D（点C在点D的左边），抛物线的“和谐抛物线”的顶点为点Q，与x轴交于点E，F（点E在点F的左边），且满足，当四边形为矩形时，求p，q，t的值或满足的关系． 【答案】（1） （2），详见解析； （3），详见解析 【解析】 【分析】（1）分别将，代入对应抛物线解析式，解方程组即可得解； （2）根据“和谐抛物线”的定义，结合抛物线的“和谐抛物线”过点，可得，设，得出，进而即可得解， （3）根据“和谐抛物线”的定义，抛物线的“和谐抛物线”的解析式为，求出点的坐标，根据矩形的性质可得，得出，将，，代入得出，再将代入上式，可得方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 设点是抛物线上的一点，则点在抛物线上，分别将，代入对应抛物线解析式，得， 解得； 【小问2详解】 由题意可得，抛物线：的“和谐抛物线”为：，将点代入中，得， ∴, ∴, 设， ∵ ∴，即， ∴， ∴时，取得最小值， ∴的最小值为； 【小问3详解】 ∵抛物线的“和谐抛物线”的解析式为， ∴点P、点C、点D和点Q、点E、点F的坐标分别为，，，，，， ∴，, ∵, ∴， ∴, ∵点P和点Q关于原点O对称，点C和点F关于原点O对称， ∴四边形是平行四边形， 当平行四边形是矩形时，， 如图，过点P作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴代入，得 ∴再将代入上式得，解得（舍去），（舍去），， ∴将代入得， ∴当四边形为矩形时，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、勾股定理和相似三角形的图象和性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 25. 如图1，为半圆O的直径，为半圆上的动点，连接，点A关于的对称点为点D，连接． （1）若，连接，求的度数； （2）如图2，若点E在半圆O上，的长度为，连接为中点，连接交于点为上一点，． ①当时，判断点Q与直线的位置关系，并说明理由； ②如图3，连接，在点C运动过程中，当时，记，求的值． 【答案】（1） （2）①点Q在直线外，见解析；② 【解析】 【分析】（1）连接，由轴对称的性质可得，则点D在半圆O上，则由，再由圆周角定理即可得到答案； （2）①连接，如图所示，同理可证明点D在半圆O上，则，由弧长公式可得，可证明，设与交于点P，解直角三角形可得，由，可得点Q在直线外； ②连接，则，由三线合一定理得到，则，可推出；设交于点N，证明，求出，得到，设，则，可得，再证明，即可得到． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， 为半圆O的直径，点A关于对称点为点， ， 点D在半圆O上， ， ； 【小问2详解】 解：①点Q在直线外，理由如下： 连接，如图所示， 为直径，点A关于对称点为点D， ， 点D在半圆O上， ， 又∵， ， 的长度为，半圆O的直径， ∴， ， ∴， ， ， 设与交于点P，直角三角形中，， ， 又∵Q在上，， 点Q在直线外； ②连接，如图所示， 则， 为中点， ， ， ， ， ∴； 设交于点N， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， 直角三角形中，， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，求弧长，圆的基本性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $