精品解析：2025年湖南省长沙市明德教育集团中考模拟考试数学试卷

2024-2025-2明德教育联盟中考模拟考试 数学试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组数互为相反数的是（ ） A. 2与 B. 与 C. 2与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、零指数幂、有理数的乘方、负整数指数幂、相反数，根据绝对值、零指数幂、有理数的乘方、负整数指数幂、相反数的定义分别计算判断即可． 【详解】解：A、，所以2与不互为相反数，故此选项不符合题意； B、，，所以与不互为相反数，故此选项不符合题意； C、，所以2与不互为相反数，故此选项不符合题意； D、，，所以与互为相反数，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 窗花是一种民间艺术，是贴在窗户上的剪纸．下列四个窗花作品是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、选项中的图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 最新数据显示，2024年前三季度，张家界共吸引接待入境游客129.43万人次，同比增长；创造入境旅游收入35854.12万美元，同比增长，韩国依然是最大客源国．其中数据129.43万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．熟练掌握科学记数法，同底数幂乘法，是解题的关键．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 根据科学记数法，同底数幂乘法解答． 【详解】解：． 故选：A． 4. 如图，直线与坐标轴分别交于两点， 为坐标原点，则的面积为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：对于，当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图，直线，等边 的顶点分别在上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，过A作，得到，推出，，由等边三角形的性质推出，求出，即可得到． 【详解】解：过A作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵ 是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，整式的加减，完全平方公式，平方差公式，根据完全平方公式、平方差公式、二次根式的加减、整式的加减法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，故此选项不符合题意； B、，原选项计算正确，故此选项符合题意； C、，原选项计算错误，故此选项不符合题意； D、，原选项计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 7. 如图，点 ， ， ，分别为四边形 的边， ， ， 的中点，下列说法中不正确的是( ) A. 四边形一定是平行四边形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若 ，则四边形是矩形 D. 若四边形 是矩形，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，中位线的性质，特殊四边形的判定，根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解： 点 ， ， ，分别为四边形 的边， ， ，的中点， 、 、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 当时，，则平行四边形为菱形， 当 时，，则平行四边形是矩形， 若四边形 是矩形，则四边形是菱形，不一定是正方形， 故不正确的选项是D， 故选：D． 8. 如图，已知 是等边 的外接圆，连接并延长交 于点 ，交 于点 ．若，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、含30度角的直角三角的性质、垂径定理、圆周角定理等，连接，根据等边三角形的性质得到，，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，再根据四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵ 为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：C． 9. 某数学课外活动小组调查学校附近一家超市的销售情况，发现本学期前五周的销售总额一共是186万元，图1，图2分别是其销售总额统计图和零食类销售额占当周销售总额的百分比统计图．根据图中信息，下列判断中正确的是（ ） ①超市第四周销售总额为20万元；②对比上一周，第四周零食类销售额下降幅度最大；③第二周和第五周零食类销售总额相同；④第四周零食类销售额比第三周的零食类销售额增加了；⑤第五周的零食类销售额比第四周的零食类销售额增加了． A. ①④⑤ B. ①②③ C. ①④ D. ①⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．①用销售总额减去其它四个周销售额判断即可；②③④⑤根据折线统计图和条形统计图数据判断即可． 【详解】解：超市第四周销售总额为（万元），故①结论正确； 由题意可知，第四周零食类销售额为（万元），第三周零食类销售额为（万元），第四周零食类销售额比第三周增加了，故②结论错误； 由题意可知，第二周零食类销售额为（万元），第五周零食类销售额为（万元），第二周和第五周零食类销售总额不同，故③结论错误； 由题意可知，第四周零食类销售额为（万元），第三周零食类销售额为：（万元），所以第四周零食类销售额比第三周的零食类销售额增加了，故④结论错误； 由题意可知，第四周零食类销售额为（万元），第五周零食类销售额为：（万元），所以第五周的零食类销售额比第四周的零食类销售额增加了，故⑤结论正确； 所以判断中正确的是①⑤． 故选：D． 10. 用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形 ，测得，活动学具成图（2）所示的四边形 ，测得，则图（2）中 的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在图（1）中先利用正方形的性质求出；在图（2）中，连接交 于O，证明四边形 是菱形，则，求出，进一步求出，则． 【详解】解：如图（1）中，∵四边形 是正方形，， ∴； 如图（2）中，连接交 于O， ∵， ∴四边形 是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，通过移项得，根据绝对值的定义确定x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 正多边形的一个内角是，这个正多边形是正______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和外角，先根据内角度数求出外角度数，再用外角和除以这个度数即可求解，掌握正多边形的内角和外角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴正多边形的一个外角是， ∴这个正多边形的边数为， 即正多边形是正六边形， 故答案为：六． 13. 小明与小雅玩一种比较数字大小的小游戏：两人各有三张卡片，小明的卡片上分别标有数字1，4，9，小雅的卡片上分别标有数字2，5，8，两人各从自己的卡片中随机抽一张，则“小雅所抽数字大于小明所抽数字”的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查画树状图求概率，画树状图找出所有等可能情况及小雅抽数字大于小明所抽数字的情况数，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 总共有9种可能，小雅抽数字大于小明所抽数字的情况有：2，1；5，1；5，4；8，1；8，4，共5种可能， 故． 故答案为：． 14. 已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式．熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解题的关键． 先利用平方差公式求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：设， 则， 则， ， ， 则， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，正方形 的边长为1，以为边作第2个正方形，再以 为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积计算，归纳总结．熟练掌握勾股定理，正方形的面积计算和归纳总结出正方形边长的规律是解题的关键． 通过依次计算前几个正方形的边长，找出边长的规律，进而得到第个正方形的边长，再根据正方形面积公式求出面积即可． 【详解】解：， ， ， ， 通过上述分析，可以总结出第 个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 个正方形的面积为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，顶点 在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若的面积恰好被轴平分，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，掌握反比例函数系数的几何意义，三角函数以及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据反比例函数系数的几何意义，三角函数以及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质进行计算即可． 【详解】解：如图，过点 ，点分别作轴的垂线，垂足分别为 ， ， 点 在反比例函数的图象上， ， 则， 的面积恰好被轴平分， ， 以为底的与以为底的的高相等， 即， 又 ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，先根据负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值计算，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，根据，可以得到，然后将所求式子化简，再将的值整体代入计算即可． 【详解】解：, , ． 19. 如图是由边长均为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，两点都在格点上，连接 ，请完成下列作图： （1）在网格中找一个格点 ，使得是等腰直角三角形（作一个即可）； （2）在网格中找一个格点 ，使得的面积为6（作一个即可）． 【答案】（1） 点M即为所求（答案不唯一）． （2） 点N即为所求（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合勾股定理、勾股定理的逆定理画图即可． （2）利用网格按要求画图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某校2024年举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下： 收集数据：从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下： 81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100． 整理、描述数据： 分数段 七年级人数 4 6 2 8 八年级人数 3 4 7 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 89 97 八年级 91 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）样本数据中，七年级的甲同学和八年级的乙同学的分数都为90分， 同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）； （3）如果七年级共有400人参赛，则该年级约有多少人的分数不低于95分？ 【答案】（1）6；91；95 （2）甲 （3）该年级约有160人的分数不低于95分 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义、众数的定义、样本估计总体；掌握估算方法，理解相关定义“一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数”是解题的关键； （1）根据中位数的定义、众数的定义即可求解； （2）由中位数的定义判断甲乙两位同学的大致名次，即可求解； （3）求出95分以上所占百分比，进行估算，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意知，，， 故答案为：6，91，95； 【小问2详解】 七年级的分数的中位数是89分， 甲同学的分数由高到低排可以排到第10名或之前， 八年级乙同学的分数由高到低排在第11名， 甲同学更靠前， 故答案为：甲； 【小问3详解】 由题意得（人） 该年级约有160人的分数不低于95分； 21. 如图，在 中， 平分， 是 中点，连接 ，过点 作于点 ，交的延长线于点 ，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图， 平分，于E，交的延长线于F， , 在和中， ， ∴， ， 是 中点， ； （2）1 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据角平分线性质定理得到，再证明，则，再由等腰三角形性质即可证明； （2）先证明，则 ，那么，再代入数据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由(1)知： 在和 中，  ， , ，，， ． 22. 成都市某在建地铁工程需要将一批水泥运送到施工现场，现有甲、乙两种货车可以租用．已知2辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送46吨水泥，1辆甲种货车和2辆乙种货车一次可运送28吨水泥． （1）求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能装运多少吨水泥？ （2）已知甲种货车每辆租金为450元，乙种货车每辆租金为400元，现租用甲、乙共9辆货车．请求出租用货车的总费用（元）与租用甲种货车的数量（辆）之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，为了保障能拉完这批水泥，发现甲种货车不少于5辆，请你为该企业设计如何租车费用最少？并求出最少费用是多少元？ 【答案】（1）甲种货车一次原装8吨水泥，乙种货车一次能装10吨水泥 （2） （3）租用甲货5辆，租用乙货车4辆时，费用最少，为3850元 【解析】 【分析】（1）设甲种货车一次原装 吨水泥，乙种货车一次能装吨水泥，依题意列出二元一次方程组，故可求解； （2）根据甲种货车有辆，则乙种货年有辆，即可列出函数关系； （3）先根据题意求出a的取值，再根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种货车一次原装 吨水泥，乙种货车一次能装吨水泥，由题意得， ，解得， ∴设甲种货车一次原装8吨水泥，乙种货车一次能装10吨水泥． 【小问2详解】 解：∵甲种货车有辆，∴乙种货年有辆． 【小问3详解】 解：， ， ，， 随的增大而增大， ∴当时， 有 （元） ∴租用甲货5辆，租用乙货车4辆时，费用最少，为3850元． 【点睛】此题主要考查方程组与函数的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列出方程与函数求解． 23. “板车”是一种以前在街头巷尾经常能看到的人力或畜力牵引的运输工具．它主要部分是一块平板，平板下面安装轮子．图1是板车把手端点 着地时侧面示意图，图2是板车后尾端点 着地时侧面示意图． 为车轮 的直径，车架过圆心 ，，地面与车轮 相切于点 ． （1）如图1，连接，若． ①求证：； ②求车轮 的半径长． （2）在（1）的条件下，如图2所示，当板车后尾端点 着地时，求板车把手端点 到地面的距离． 【答案】（1）①证明：连接，如图， 为圆的切线， ， ， ， ， ， 为圆的直径， ， ， ， ∵， ， ② （2） 【解析】 【分析】（1）①连接，利用圆的切线的性质定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，直角三角形的性质得到，再利用三角形的内角和定理和等式的性质解答即可得出结论； ②利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理得到，利用相似三角形的判定与性质得到，代入数值化简运算得到，，则，结论可得； （2）利用（1）中结论得到：，，，利用圆的切线的性质定理，垂直的意义和平行线的判定定理得到，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【小问1详解】 ①略 ②解：由（1）①知：，  ， 由（1）①知： ． ， ， ， ， ， ， ， ， ． ∴车轮 的半径长为 ． 【小问2详解】 解：连接， 过点C作于点H， 如图， 由（1）②知：图1中，．，， ， ∴当板车后尾端点E着地时，的长度不变，圆的半径不变， ， ， ∵ 为圆的切线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当板车后尾端点E着地时，板车把手端点C到地面的距离为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 24. 如图1，在矩形中，点分别在上．若，则称四边形为矩形的“内嵌四边形” （1）判断矩形的“内嵌四边形”的形状并说明理由； （2）图2，图3中，四边形 为矩形，且，点分别在边上，试利用正方形网格在图上作出矩形 的“内嵌四边形”，并分别求出其周长； （3）如图4中，，猜想矩形 的“内嵌四边形”的周长是否为定值．为了证明上述猜想，小华同学尝试延长交 的延长线于点 ，试利用小华同学给我们的启发证明你的猜想． 【答案】（1）四边形EFGH是平行四边形． 理由：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴ ∴， ， ∴四边形是平行四边形． （2）四边形的周长为 （3）矩形 的“内嵌四边形”的周长是定值； 延长交的延长线于点N． ， ， 而  ∴， ， ， 同理：， ， ， ． ． 过点G作于K， 则， ， ∴四边形的周长为． 【解析】 【分析】本题考查了应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的性质，读懂题意理解“内嵌四边形”特征是解题的关键． （1）根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形判断即可． （2）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形；图2中，利用勾股定理求出的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出，的长度，然后求出周长，从而得到四边形的周长是定值； （3）延长交的延长线于点N，再利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，同理求出，从而得到，再证明，过点G作于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出再利用勾股定理求出的长度，然后即可求出四边形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作图如下： 在图2中， ， ∴四边形的周长为 在图3中，  ∴四边形的周长为 【小问3详解】 略 25. 如图1，抛物线与 轴交于点，点，与轴交于点．过点 作交抛物线于点 ， 是 下方抛物线上的点，过点 与 轴垂直的直线分别交于点，于点 ． （1）求该抛物线的解析式； （2）求面积的最大值及此时点 的坐标； （3）当的面积最大时，在抛物线上是否存在点 ，使得，其中 为直线与直线 的交点．若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）面积的最大值为3， 此时点P的坐标为 （3）(10， 54)或  【解析】 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，两点之间的距离公式及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）过A作于K， 过G作于H，设，求出直线 解析式为，可得，，再求出，可得，根据二次函数性质可得答案； （3）当M在B上方时，可得，设，有，解得，知，直线解析式为，联立，即可解得；当在B下方时，可得，设，即得，即可得，求出直线解析式为，联立，即可解得． 【小问1详解】 解：把， 点代入得：    ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过A作于K，过G作于H，如图： 设直线 的解析式为， 把，代入得，， 解得：， ， 直线 解析式为， ， 是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴ ∴， ， ∴当时， 取最大值3， 此时； 【小问3详解】 解：在抛物线上存在点Q， 使得， 理由如下： 当M在B上方时，如图： ∵， ， 设， ，， 解得， ， 设直线解析式为， 把， 代入得， 解得， 所以，直线解析式为， 联立 ， 解得 （舍去）， ， 当在B下方时，如上图， ∵， 设， ∴， 解得(舍去)或， ， 同理，由  得直线解析式为， 联立 ， 解得 （舍去）， ； 综上所述，Q是坐标为或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025-2明德教育联盟中考模拟考试 数学试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组数互为相反数的是（ ） A. 2与 B. 与 C. 2与 D. 与 2. 窗花是一种民间艺术，是贴在窗户上的剪纸．下列四个窗花作品是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 最新数据显示，2024年前三季度，张家界共吸引接待入境游客129.43万人次，同比增长；创造入境旅游收入35854.12万美元，同比增长，韩国依然是最大客源国．其中数据129.43万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线与坐标轴分别交于两点， 为坐标原点，则的面积为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 5. 如图，直线，等边的顶点分别在上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点，，，分别为四边形 的边， ，，的中点，下列说法中不正确的是( ) A. 四边形一定是平行四边形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若四边形 是矩形，则四边形是正方形 8. 如图，已知是等边的外接圆，连接 并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 某数学课外活动小组调查学校附近一家超市的销售情况，发现本学期前五周的销售总额一共是186万元，图1，图2分别是其销售总额统计图和零食类销售额占当周销售总额的百分比统计图．根据图中信息，下列判断中正确的是（ ） ①超市第四周销售总额为20万元；②对比上一周，第四周零食类销售额下降幅度最大；③第二周和第五周零食类销售总额相同；④第四周零食类销售额比第三周的零食类销售额增加了；⑤第五周的零食类销售额比第四周的零食类销售额增加了． A. ①④⑤ B. ①②③ C. ①④ D. ①⑤ 10. 用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形 ，测得，活动学具成图（2）所示的四边形 ，测得，则图（2）中的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则 的取值范围是__________． 12. 正多边形的一个内角是 ，这个正多边形是正______边形． 13. 小明与小雅玩一种比较数字大小的小游戏：两人各有三张卡片，小明的卡片上分别标有数字1，4，9，小雅的卡片上分别标有数字2，5，8，两人各从自己的卡片中随机抽一张，则“小雅所抽数字大于小明所抽数字”的概率是__________． 14. 已知，，则__________． 15. 如图，正方形 的边长为1，以 为边作第2个正方形，再以 为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为__________． 16. 如图，在中，，，顶点在反比例函数的图象上，顶点 在反比例函数的图象上．若的面积恰好被 轴平分，则__________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 已知，求的值． 19. 如图是由边长均为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，两点都在格点上，连接 ，请完成下列作图： （1）在网格中找一个格点，使得是等腰直角三角形（作一个即可）； （2）在网格中找一个格点，使得的面积为6（作一个即可）． 20. 某校2024年举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下： 收集数据：从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下： 81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100． 整理、描述数据： 分数段 七年级人数 4 6 2 8 八年级人数 3 4 7 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 89 97 八年级 91 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）样本数据中，七年级的甲同学和八年级的乙同学的分数都为90分， 同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）； （3）如果七年级共有400人参赛，则该年级约有多少人的分数不低于95分？ 21. 如图，在中，平分，是中点，连接 ，过点作于点，交 的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 成都市某在建地铁工程需要将一批水泥运送到施工现场，现有甲、乙两种货车可以租用．已知2辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送46吨水泥，1辆甲种货车和2辆乙种货车一次可运送28吨水泥． （1）求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能装运多少吨水泥？ （2）已知甲种货车每辆租金为450元，乙种货车每辆租金为400元，现租用甲、乙共9辆货车．请求出租用货车的总费用（元）与租用甲种货车的数量 （辆）之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，为了保障能拉完这批水泥，发现甲种货车不少于5辆，请你为该企业设计如何租车费用最少？并求出最少费用是多少元？ 23. “板车”是一种以前在街头巷尾经常能看到的人力或畜力牵引的运输工具．它主要部分是一块平板，平板下面安装轮子．图1是板车把手端点着地时侧面示意图，图2是板车后尾端点着地时侧面示意图． 为车轮的直径，车架过圆心 ，，地面与车轮相切于点． （1）如图1，连接，若． ①求证：； ②求车轮的半径长． （2）在（1）的条件下，如图2所示，当板车后尾端点着地时，求板车把手端点到地面的距离． 24. 如图1，在矩形中，点分别在上．若，则称四边形为矩形的“内嵌四边形” （1）判断矩形的“内嵌四边形”的形状并说明理由； （2）图2，图3中，四边形 为矩形，且，点分别在边上，试利用正方形网格在图上作出矩形 的“内嵌四边形”，并分别求出其周长； （3）如图4中，，猜想矩形 的“内嵌四边形”的周长是否为定值．为了证明上述猜想，小华同学尝试延长交的延长线于点，试利用小华同学给我们的启发证明你的猜想． 25. 如图1，抛物线与 轴交于点，点，与 轴交于点．过点作交抛物线于点， 是下方抛物线上的点，过点 与 轴垂直的直线分别交于点，于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求面积的最大值及此时点 的坐标； （3）当的面积最大时，在抛物线上是否存在点 ，使得，其中为直线与直线的交点．若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $