第一章　第4课时　基本不等式课件——2027届高三数学复习一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据高考评价体系梳理了求最值、恒成立问题、实际应用三大核心考点，通过典例分析明确直接法、配凑法等常考题型分布，对接运算能力与推理能力素养要求，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+方法归类+易错警示”策略，如以2025年贺州期末题为例，详解常数代换法求最值步骤，培养数学思维与模型观念。特设“母题变式”和“通性通法”总结，助力学生掌握等号成立条件等得分关键，教师可据此实施精准复习，提升备考效率。

第4课时　基本不等式 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 常用结论必备 几个重要的不等式 2 考点一　利用基本不等式求最值 考向1　直接法求最值 [典例1]　(2025·贺州期末)3|a|＋的最小值为(　　) A．3 B．4 C． D．2 核心考点突破 √ D　[由题意可得，|a|＞0， 则3|a|＋≥2＝2， 当且仅当3|a|＝，即|a|＝时取等号． 故选D．] 考向2　配凑法求最值 [典例2]　(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x＞－3，则＋x的最小值是(　　) A．－1 B．1 C．4 D．7 √ A　[由x＞－3， 则＋x＝＋(x＋3)－3 ≥2－3＝－1， 当且仅当＝x＋3，即x＝－2时取等号． 故选A．] [母题探究] (变条件)本例中，若把“x＞－3”改为“x<－3”，求＋x的最大值． [解]　由x<－3，知<0，－＞0， 则－＋[－(x＋3)]≥2＝2， 所以＋(x＋3)≤－2，当且仅当＝x＋3，即x＝－4时取等号． 故＋x＝＋(x＋3)－3≤－2－3＝－5， 所以＋x的最大值为－5． 考向3　常数代换法求最值 [典例3]　已知正数a，b满足＋＝1，则8a＋b的最小值为(　　) A．54 B．56 C．72 D．81 √ C　[8a＋b＝(8a＋b)＝＋＋40≥2＋40＝72， 当且仅当＝， 即a＝6，b＝24时取等号． 故选C．] 考向4　换元、消元法求最值 [典例4]　(1)(2025·南安市月考)已知x＞0，y＞0且xy＋2x＋y＝2，则2x＋y的最小值为(　　) A．2－4 B．4－4 C．2 D．4 (2)已知y＝(x＞1)，求y的最小值． √ (1)B　[因为x＞0，y＞0，且xy＋2x＋y＝2，所以y＝，其中0＜x＜1， 则2x＋y＝2x＋＝2(x＋1)＋－2＝2(x＋1)＋－4≥4－4， 当且仅当2(x＋1)＝，即x＝－1时取等号， 所以2x＋y的最小值为4－4． 故选B．] (2)[解]　设x－1＝t(t＞0)，∴x＝t＋1． ∴y＝＝＝t＋＋4 ≥2＋4＝2＋4． 当且仅当t＝，即t＝，x＝＋1时，y取得最小值2＋4． 易错提醒：(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误． (2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值． 考点二　与基本不等式有关的恒成立问题 [典例5]　(2025·天津和平区期末)已知x＞0，y＞0，且＋＝，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－4，6) B．(－3，0) C．(－4，1) D．(1，3) √ C　[因为x＞0，y＞0，且＋＝， 所以x＋2＋y＝(x＋2＋y)× ＝≥＝6， 当且仅当x＋2＝y，即y＝3，x＝1时取等号， 所以x＋y的最小值为4， 若x＋y＞m2＋3m恒成立，则4＞m2＋3m， 解得－4＜m＜1． 故选C．] 通性通法：∀x∈M，使得f (x)≥a，等价于f (x)min≥a；∀x∈M，使得 f (x)≤a，等价于f (x)max≤a． [多维变迁] 已知正实数x，y满足2x＋3y－xy＝0，若3x＋2y≥t恒成立，则实数t的取值范围是(　　) A．(－∞，25] B．(－∞，25) C．(－∞，24] D．[24，＋∞) √ A　[由正实数x，y满足 2x＋3y－xy＝0，得＋＝1， 则3x＋2y＝(3x＋2y)＝＋9＋4＋≥13＋2＝25， 当且仅当＝，且＋＝1，即x＝y＝5时，等号成立，则t≤25． 故实数t的取值范围是(－∞，25]． 故选A．] 考点三　基本不等式的实际应用 [典例6]　春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车安全，在某高速公路上某时间段内的车流量y(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/时)与汽车的平均速度v(单位：千米/时)、平均车长l(单位：米)之间满足函数关系y＝(0<v≤120)，已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/时，车流量为1万辆/时． (1)求该车型的平均车长l； (2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度v为多少时，车流量y达到最大值？ [解]　(1)由题意，当v＝100(千米/时)时，y＝1(万辆/时)， ∴1＝，∴l＝5(米)．∴该车型的平均车长为5米． (2)由(1)知，y＝(0<v≤120)． ∵v>0，∴y＝＝≤＝，当且仅当v＝，即v＝80千米/时时取等号． 故当汽车的平均速度为80千米/时时，车流量y达到最大值． 通性通法：当利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值． [多维变迁] 1．(2026·厦门模拟)由于燃油的价格有升也有降，现有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是(　　) A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 √ B　[任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升，第一种方案的均价为＝；第二种方案的均价为＝．所以无论油价如何变化，第二种都更划算．] 2．(北师大版必修第一册P28实例分析)把一段长为16 cm的细铁丝弯成一个矩形，当矩形的长为________ cm，宽为________ cm时，面积最大． 4 4 4　4　[设矩形的长为x cm，宽为y cm， 则x＋y＝8， 其面积S＝xy≤＝16， 当且仅当x＝y＝4时等号成立．] 课时作业(四)　基本不等式 一、单项选择题 1．下列几个不等式中，不能取到等号的是(　　) A．＋≥2(x>0) B．|x|＋≥2(x≠0) C．－－≥1(x<0) D．＋≥2(x∈R) √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 27 D　[对A，当且仅当＝，即x＝1时等号成立； 对B，当且仅当|x|＝，即x＝±时等号成立； 对C，当且仅当－＝－，即x＝－8时等号成立； 对D，当且仅当＝， 即x2＝－2，无解，等号不成立．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 28 2．已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－的最小值为(　　) A．1 B． C．2 D．2 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 B　[∵a>0，b>0，a2－2ab＋4＝0， 则b＝＋，∴b－＝＋－＝＋≥2＝， 当且仅当＝，即a＝2时，等号成立，此时b＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 3．(2026·枣庄模拟)已知实数x，y>0，＋＝2，且x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A． B．(－∞，9] C． D．[9，＋∞) √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 A　[由＋＝2，可得＋＝1， 因为x，y>0， 则x＋y＝(x＋y)·＝＋2＋＋≥＋2＝， 当且仅当＝，即y＝2x＝3时取等号， 所以(x＋y)min＝， 由x＋y≥m恒成立，可得m≤(x＋y)min＝， 即实数m的取值范围为．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 4．(2026·太原模拟)已知正实数a，b满足a＋b＝1，则＋＋的最小值为(　　) A．2＋2 B．4＋2 C．4 D．7 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 D　[因为正实数a，b满足a＋b＝1， 所以＋＋＝＋＋＝＋＋＋＋1 ＝＋＋＋＋1 ＝3＋＋≥3＋2＝7，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 二、多项选择题　 5．已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A． C．≤ D．ab≤ √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 √ BD　[A选项，由选项可知a与b同号，当a＞0且b＞0时，由基本不等式可知恒成立，当a＜0且b＜0时，＜0，＞0，该不等式不成立，故A选项错误； B选项，当a＋b＞0时，＞0，则－＝＝≤0恒成立，即 恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 C选项，当a＋b＞0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≤恒成立，当a＋b＜0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≥，故C选项错误； D选项，当a，b∈R时，ab≤恒成立，故D选项正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 6．(人教A版必修第一册P45例2改编)设正实数x，y满足x＋2y＝3，则下列说法正确的是(　　) A．＋的最小值为4 B．xy的最大值为 C．的最小值为2 D．x2＋4y2的最小值为 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 √ √ ABD　[对于A，＋＝＋＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，故A正确；对于B，xy＝·x·2y≤×＝×＝，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时取等号，故B正确；对于C，()2＝x＋2y＋2≤3＋2＝3＋3＝6，则，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时取等号，故C错误；对于D，x2＋4y2＝(x＋2y)2－4xy≥9－4×＝，当且仅当x＝，y＝时取等号，故D正确．故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 三、填空题 7．(人教B版必修第一册P80练习BT1改编)已知0<x<，则y＝x(1－2x)的最大值为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 　[y＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤·＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立．] 　 8．若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 1　[∵正实数x，y满足x＋y＝2， ∴xy≤＝＝1，∴≥1， 又≥M恒成立，∴M≤1，即M的最大值为1．] 1　 四、解答题 9．2025年6月5日是第54个世界环境日，我国环境日的主题是“美丽中国我先行”，某高中准备设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm2，画面高与宽的比为a(a＜1)，画的上下部分各留出5 cm的空白，左右部分各留出8 cm的空白． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 如何确定画面的高与宽，使得宣传画所用纸张的面积最小？并求出此时a的值． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 [解]　设纸张的面积为S，画面的高为x cm(x＞0)，则宽为cm， 根据题意得S＝(x＋10)＝5 000＋16x＋≥5 000＋2＝6 760， 当且仅当16x＝，即x＝55 时等号成立，所以当画面的高为 55 cm，宽为＝88 cm时，宣传画所用纸张的面积最小，此时a＝＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 阶段检测(一)　集合、常用逻辑用语、不等式 一、单项选择题 1．(2025·保定期末)命题“∃x∈R，2 026ex＋x3＞0”的否定是(　　) A．∃x∈R，2 026ex＋x3≤0 B．∀x∈R，2 026ex＋x3≤0 C．∀x∉R，2 026ex＋x3≤0 D．∃x∉R，2 026ex＋x3＜0 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 45 B　[因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“∃x∈R，2 026ex＋x3＞0”的否定为“∀x∈R，2 026ex＋x3≤0”． 故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 46 2．(2025·武汉期末)已知集合A＝{x|0＜x＜3}，集合B＝{1，2，3，4}，则集合A∩B＝(　　) A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{2，3，4} √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 A　[因为集合A＝{x|0＜x＜3}，集合B＝{1，2，3，4}， 根据交集的概念，可得A∩B＝{1，2}． 故选A．] 3．(2025·上海浦东新区期末)若a＞b，c∈R，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a2－b2＞0 B．ac＞bc C．ac2＞bc2 D．2a＞2b √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[令a＝1，b＝－1，满足a＞b，但a2－b2＝0，故A错误； 令c＝0，ac＝bc，ac2＝bc2，故BC错误； a＞b，则2a＞2b，故D正确． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 4．(2025·武汉月考)若命题“∃x∈[0，2]，x2≥m”是真命题，则 (　　) A．m≤0 B．m≤4 C．m＞0 D．m＞4 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 B　[命题“∃x∈[0，2]，x2≥m”是真命题， 故当x∈[0，2]时，m≤(x2)max＝4． 故选B．] 5．“≥0”是“|2x－1|≥3”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件　 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 A　[∵≥0，∴∴x≥2或x＜－1， ∵|2x－1|≥3，∴2x－1≥3或2x－1≤－3，∴x≥2或x≤－1， ∵{x|x≥2，或x＜－1}{x|x≥2，或x≤－1}， ∴“≥0”是“|2x－1|≥3”的充分不必要条件． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 6．(2025·宿迁期末)设a，b，c为实数，若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜1，或x＞3}，则b－的最大值为(　　) A．－ C．－ √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 C　[因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜1，或x＞3}， 所以ax2＋bx＋c＝0的根为1，3，且a＞0， 则 即b＝－4a，c＝3a，a＞0， 则b－＝－4a－＝－ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 ≤－2＝－，当且仅当4a＝， 即a＝时取等号． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 二、多项选择题 7．(2026·南昌模拟)已知集合A＝{x|ax≤6}，B＝{2，3}，下列结论正确的是(　　) A．若a＝0，则A＝R B．若a＝0，则A＝∅ C．若B⊆A，则a≤2 D．若B⊆A，则a可以取3 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ AC　[若a＝0，则任意实数x均满足0·x≤6，因此A＝R，故A正确，B错误； 若B⊆A，得解得a≤2， 即a的取值范围为(－∞，2]，所以a不可以取3， 故C正确，D错误． 故选AC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 8．若正实数x，y满足2x＋y＝1，则(　　) A．xy有最大值 B．＋有最小值6＋4 C．4x2＋y2有最小值 D．4x＋2y有最小值2 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ ABC　[对于A，2x＋y＝1≥2，则xy≤，当且仅当2x＝y＝时，等号成立，故A正确． 对于B，＋＝＋＝＋＋6≥2＋6＝6＋4，当且仅当＝，即x＝，y＝2－时，等号成立，故B正确． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 对于C，因为，所以4x2＋y2≥，当且仅当2x＝y＝时，等号成立，故C正确． 对于D，4x＋2y＝22x＋2y≥2＝2＝2，当且仅当2x＝y＝时，等号成立，故D错误．故选ABC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 三、填空题 9．(2025·上海月考)已知实数a，b满足－2＜a＜－1，2＜b＜3，则3a－2b的取值范围为_______________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (－12，－7)　[∵－2＜a＜－1，2＜b＜3，∴－6＜3a＜－3，－6＜－2b＜－4， ∴－12＜3a－2b＜－7， 故3a－2b的取值范围为(－12，－7)．] (－12，－7) 10．命题“∃x∈R，(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0”为假命题，则实数a的取值范围为____________________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 　[由题意可知，命题“∀x∈R， (a2－4)x2＋(a＋2)x－1<0”为真命题． ①当a2－4＝0时，可得a＝±2． 若a＝－2，则－1<0，符合题意； 若a＝2，则4x－1<0，解得x<，不符合题意； ②若a2－4≠0，则 解得－2<a<． 综上所述，实数a的取值范围是．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 四、解答题 11．集合A＝，集合B＝{x∈Z||x－2|≤2}． (1)求A； (2)求B的子集个数； (3)求B∩∁RA． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)由≤2，可得－2＝≤0，则解得－1＜x≤2．故A＝{x|－1＜x≤2}． (2)由|x－2|≤2，得0≤x≤4．又x∈Z，所以B＝{0，1，2，3，4}．所以B的子集个数为25＝32． (3)由A＝{x|－1＜x≤2}，得∁RA＝{x|x≤－1，或x＞2}．所以B∩∁RA＝{3，4}． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，由于需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入x(1<x<10)万元，珍珠棉的销售量可增加p＝吨，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元． (1)写出该公司本季度增加的利润y与x(单位：万元)之间的函数关系； (2)当x为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大？增加的利润最大为多少万元？ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)由题意，列出函数关系式可得，y＝p－x－0.5p＝2.5p－x－8(1<x<10)． 又因为p＝，所以y＝－x－8(1<x<10)， 所以该公司本季度增加的利润y与x之间的函数关系为y＝－x－8(1<x<10)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (2)y＝－x－8＝18－， 因为1<x<10，所以2<x＋1<11， 由基本不等式可得， ＋x＋1≥2＝10， 当且仅当＝x＋1，即x＝4时等号成立， 所以y≤18－10＝8，当x＝4万元时，该公司本季度增加的利润最大，最大为8万元． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 $