第四节 基本不等式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据高考评价体系明确了不等式成立条件、求最值“一正二定三相等”及实际应用等核心考点，通过近五年真题分析，确定求最值（占比60%）和变形应用（占比30%）为高频考点，归纳出直接法、配凑法等常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+技巧拆解+素养提升”，如以2025北京卷为例解析基本不等式变形，通过“配凑法拆项”“常数代换1”等技巧培养数学思维，结合仓库建造问题强化数学语言表达，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准复习提升效率。

第四节　基本不等式 1 知识清单 1.基本不等式： (1)基本不等式成立的条件：________________． (2)等号成立的条件：当且仅当 ________时取等号． 剖析　a2＋b2≥2ab成立的条件与≥ 成立的条件不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a∈R，b∈R，而≥ 成立的条件是a>0，b>0． a＞0，b＞0 a＝b 返回导航 2 2．算术平均数与几何平均数 正数a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式表明：两个正数的____________不小于它们的几何平均数，当两个正数相等时，两者相等． 算术平均数 返回导航 3 3．利用基本不等式求最值 已知x＞0，y＞0. (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值________(简记：积定和最小)； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy取得最大值________(简记：和定积最大)． 注意　应用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正”“二定”“三相等”． 2 返回导航 4 【常用结论】 如果a>0，b>0，则，当且仅当a＝b时等号成立，其中是a，b的调和平均数， 是a，b的平方平均数． 返回导航 5 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的．(　　) (2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)x>0且y>0是≥2的充分不必要条件.(　　) (4)函数y＝sin x＋，x∈(0，)的最小值为4.(　　) × × √ × 返回导航 6 2．(人教A版必修一P46T3改编)当x＝________时，x2＋取得最小值，最小值是________． 答案：±1　2 解析：∵x2>0，∴x2＋≥2，当且仅当x2＝，即x＝±1时取得最小值． 返回导航 7 3．(人教A版必修一P45例1改编)已知x<0，则x＋的最大值为________． 答案：－2 解析：∵x<0，∴－x>0，∴x＋＝－＝－2，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立． 返回导航 8 4．(人教A版必修一P48练习T3改编)做一个体积为32 m3，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长为________m时，用纸最少． 答案：4 解析：设长方体的底面长为x m，则宽为(m)，所以长方体的表面积为S＝2＝32＋4≥32＋4×＝64，当且仅当x＝，即x＝4时取“＝”，此时用纸最少为64 m2，所以底面的长与宽都为4 m时用纸最少，为64 m2. 返回导航 9 命题点一　基本不等式的常见变形 例1 (2025·北京卷)已知a>0，b>0，则(　　) A．a2＋b2>2ab B． C．a＋b> D． 答案：C 返回导航 10 解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；对于BD，取a＝，此时＝2＋4＝6<＝8＝，＝2＋4＝6>＝＝，故BD错误；对于C，由基本不等式可得a＋b≥2>，故C正确．故选C. 返回导航 11 真题探源　[源自北师大版必修一P45T1(4)]已知a>b>0，则下列不等式成立的是(　　) A．a>>>b B．a>b>> C．a>>b> D．a>>>b 答案：A 解析：∵a>b>0易知>，又∵ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2⇒>b，∴a>>>b.故选A. 返回导航 12 学霸笔记：基本不等式的常见变形 (1)ab≤()2≤； (2)(a>0，b>0)． 返回导航 13 命题点二　利用基本不等式求最值 考向1　直接法求最值 例2 已知x，y为正数，则的最小值为(　　) A．4 B．3 C．3 D．2 答案：D 返回导航 14 解析：由x，y均为正数，则，当且仅当，即y＝x时取等号，故的最小值为2.故选D. 返回导航 15 学霸笔记：若已知条件中的变量直接满足“积为定值”或“和为定值”(或变形后为定值)，且变量均为正数，在保证等号成立的前提下，可以直接利用基本不等式求最值． 返回导航 16 跟踪训练　(2026·保定二模)已知x，y是非零实数，则的最小值为(　　) A．6 B．12 C．2 D．4 答案：A 解析：＝6，当且仅当＝ 的最小值为6.故选A. 返回导航 17 考向2　配凑法求最值 例3 (2026·郴州模拟)已知x<－1，则4x＋的最大值为(　　) A．－4 B．0 C．4 D．－8 答案：D 返回导航 18 解析：因为x<－1，则x＋1<0，所以－(x＋1)>0，4x＋＝4(x＋1)＋－4＝－－4≤－2－4＝－4－4＝－8，当且仅当－4(x＋1)＝时，即x＝－时，等号成立，所以4x＋的最大值为－8.故选D. 返回导航 19 学霸笔记：配凑法就是将相关代数式进行适当变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法，配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键． 返回导航 20 　跟踪训练　已知－3<x<0，则y＝x的最小值为(　　) A．－ B． C．－ D．不存在 答案：A 解析：由于－3<x<0，则9－x2>0，故y＝＝＝，当且仅当x2＝，即x＝－时取等号，即y＝的最小值为－.故选A. 返回导航 21 考向3　常数代换法求最值 例4(2026·豫北多校模拟)若a>0，b>0，且a＋b＝1，则－的最大值为(　　) A．－9 B．－7 C．－5 D．－3 答案：A 返回导航 22 解析：因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以＝(a＋b)＝5＋＝9，当且仅当，即a＝时等号成立，所以－的最大值为－9.故选A. 返回导航 23 学霸笔记：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用均值不等式求最值．一般地，形如或可化为：已知＝k(k≠0)，求ma＋nb(mn≠0)的最值；已知a＋b＝k(k≠0)，求(mn≠0)的最值，常用此法． 返回导航 24 跟踪训练　(2026·合肥模拟)已知正数a，b满足＝1，则a＋2b的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．9 答案：D 解析：由题意得a＋2b＝(a＋2b)＝1＋＋4≥5＋2 ＝9，当且仅当时，即a＝3，b＝3时，a＋2b取得最小值9.故选D. 返回导航 25 考向4　换元法求最值 例5 已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为________． 答案：4 解析：因为2xy＝x·(2y)≤2，所以8－(x＋2y)＝2xy≤，令x＋2y＝t>0，则8－t≤，即t2＋4t－32≥0，解得t≥4，所以x＋2y的最小值为4. 返回导航 26 学霸笔记：当已知的条件式中既含有和式又含有积式，求和式或积式的最值时，往往把所求的式子看作一个整体进行换元，用基本不等式转化为换元后的不等式求解即可． 返回导航 27 跟踪训练　已知a>0，b>0，ab＝9a＋b＋7，则ab的最小值为________． 答案：49 解析：ab－7＝9a＋b≥2，令＝t>0，则t2－7≥6t，即t2－6t－7≥0，解得t≥7，所以≥7，即ab≥49，所以ab的最小值为49. 返回导航 28 命题点三　基本不等式的实际应用 例6 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价 20元．试求： (1)仓库面积S的取值范围是多少？ 答案：设正面铁栅长度为x m，一堵砖墙长度为y m，故S＝xy， 则40x＋2×45y＋20xy＝3 200，即40x＋90y＝3 200－20xy. 由基本不等式得40x＋90y≥2＝120， 故3 200－20xy≥120，即3 200－20S≥120，当且仅当40x＝90y，即x＝15，y＝时等号成立，故≤0. 因为＋16>0，故－10≤0，S≤100， 由于面积大于0，故0<S≤100. 返回导航 29 (2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？ 答案：由(1)可知，当x＝15，y＝时，S取得最大值，最大值为100 m2， 此时花费40×15＋90×＋20×100＝3 200(元)，满足要求， 故正面铁栅的长应设计为15 m． 返回导航 30 学霸笔记：利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，建立数学模型，求出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值． 返回导航 31 跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P49T6)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比，若在距离车站10 km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 返回导航 32 答案：设y1＝，y2＝tx，当x＝10时，＝2，10t＝8， ∴k＝20，t＝0.8，∴y1＝，y2＝0.8x， ∴两项费用之和为z＝y1＋y2＝＋0.8x≥2 ＝8， 当且仅当＝0.8x，即x＝5时等号成立． 即这家公司应该把仓库建在距离车站5 km处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万元．   返回导航 33 1．(2026·顺义模拟)下列命题为真命题的是(　　) A．∀a>0，a＋>2 B．∀a>0，a＋<2 C．∃a>0，a＋>2 D．∃a>0，a＋<2 答案：C 解析：由a>0，则a＋≥2 ＝2，当且仅当a＝1时等号成立，ABD为假命题，C为真命题．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 34 2．已知x，y>0，且2x＋y＝4，则xy的最大值为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 答案：B 解析：因为x，y>0，所以2x＋y＝4≥2，可得xy≤2，当2x＝y且2x＋y＝4时，即x＝1，y＝2时等号成立，所以xy的最大值为2.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 35 3．已知x>0，则＋x的最小值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：因为x>0，则x＋1>1，则－1＝3，等号成立时x＝1.故＋x的最小值是3.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 4．(2026·岳阳模拟)已知函数f(x)＝3－x－，则当x<0时，f(x)有(　　) A．最大值3＋2 B．最小值3＋2 C．最大值3－2 D．最小值3－2 答案：B 解析：由题意当x<0时，f(x)＝3＋≥3＋当且仅当x＝－时等号成立．故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 5．(2026·上饶模拟)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则的最小值为(　　) A．3＋2 B．12 C．8＋4 D．6 答案：A 解析：因为x>0，y>0，x＋2y＝1，所以(x＋2y)＝3＋，当且仅当，即x＝时，等号成立．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 6．(2026·揭阳模拟)“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v(单位：分米/秒)时的跳跃高度H(单位：米)近似满足v2＝的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为(　　) A．0.2米 B．0.25米 C．0.45米 D．0.7米 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 解析：由v2＝可知v2－Hv4＝4H，故H＝，当且仅当v2＝2时，等号成立．所以该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米．故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 7．(2026·昆明模拟)已知x>0，y>0，且x＋y－xy＋8＝0，则xy的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 答案：C 解析：由题意可知xy＝x＋y＋8≥2＋8，当x＝y时等号成立，即xy－2－8≥0，令＝t(t>0)，则t2－2t－8≥0，解得t≥4或t≤－2(舍)．即≥4，xy≥16.当且仅当x＝y＝4时，等号成立．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 8．函数f(x)＝(x>1)的最小值为(　　) A．2 B．3＋2 C．2＋2 D．5 答案：B 解析：因为x>1，所以x－1>0，所以f(x)＝＋3，当且仅当x－1＝，即x＝＋1时取等号，所以函数f(x)的最小值为3＋2.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 9．已知正数a，b，则下列说法正确的是(　　) A．的最小值为2 B．(a＋b)≥4 C． D．> 答案：BC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 解析：对于A，≥2，当且仅当＝1时等号成立，而，故“等号”不成立，故A不正确；对于B，(a＋b)＝1＋1＋＝4，当且仅当a＝b时等号成立，故B正确；对于C，当且仅当a＝b时等号成立，故C正确；对于D，，当且仅当a＝b时等号成立，故D不正确．故选BC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 10．(2026·亳州模拟)已知x>0，y>0，且x＋3y＝1，则下列选项正确的是(　　) A．y的取值范围为 B．xy的最大值为 C．的最小值为16 D．x2＋9y2的最小值为2 答案：ABC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 解析：对于A，由x＋3y＝1可得x＝1－3y>0，故0<y<，故A正确；对于B，x>0，y>0，x＋3y＝1可得x＋3y＝1≥故xy≤，当且仅当x＝3y＝时等号成立，故B正确；对于C，＝(x＋3y)＝10＋≥10＋2 ＝16，当且仅当x＝y＝时等号成立，故C正确；对于D，x2＋9y2＝(x＋3y)2－6xy＝1－6xy≥1－6×，当且仅当x＝3y＝时等号成立，故D错误．故选ABC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 11．若函数f(x)＝x＋(x>3)在x＝a处取最小值，则a＝________． 答案：4 解析：f(x)＝x＋＋3≥2 ＋3＝5，当且仅当x－3＝，即x＝4时取等号，即x＝4时取最小值，故a＝4. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 12．(2026·吕梁一模)正数x，y满足x＋y＝xy，则x＋9y的最小值是__________． 答案：16 解析：由正数x，y满足x＋y＝xy，得＝1，则x＋9y＝(x＋9y)＝10＋＝16，当且仅当，即x＝3y＝4取等号，所以x＋9y的最小值是16. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 13．(13分)(2026·河南名校联考)已知正数a，b满足(3a＋b)2－10＝2ab. (1)求3a＋b的取值范围； 答案：因为(3a＋b)2－10＝2ab＝·2＝， 所以(3a＋b)2≤12⇔0<3a＋b≤2，当且仅当3a＝b＝时，等号成立． 又(3a＋b)2＝2ab＋10>10，所以3a＋b>， 故3a＋b的取值范围为. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 (2)证明：9a2＋b2≥6. 答案：证明：(3a＋b)2＝10＋2ab≥2＝12ab⇒ab≤1， 当且仅当3a＝b＝时，等号成立． 又(3a＋b)2－10＝2ab⇒9a2＋b2＝10－4ab， 而10－4ab≥10－4＝6，所以9a2＋b2≥6. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 14．(15分)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需要维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙长30米，旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x m，修建此矩形场地围墙的总费用为y元． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 (1)写出y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； 答案：由题意知2<x≤30，新墙的长度为2×＋x－2， ∴y＝45x＋180＝＋225x－360(2<x≤30)， 即y关于x的函数解析式为y＝＋225x－360，定义域为(2，30]. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 答案：∵＋225x≥2 ＝10 800(当且仅当＝225x，即x＝24时取等号)，∴y≥10 800－360＝10 440， ∴当x＝24时，总费用最小，最小总费用为10 440元． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 15．(5分)已知a>0，b>0，若不等式恒成立，则实数m的最大值为(　　) A．64　　　B．25　　　C．13　　　D．12 答案：B 解析：a>0，b>0，则a＋b>0，不等式 恒成立，即m≤(a＋b)恒成立，(a＋b)＝·(a＋b)＝13＋＝25，当且仅当，即b＝a时等号成立，所以m≤25，即实数m的最大值为25.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 16．(5分)已知x<0，且x－y＝1，则x＋的最大值为________． 答案： 解析：因为x－y＝1，所以x＝y＋1<0，所以y<－1，所以x＋，令2y＋1＝t<0，则y＝，所以x＋＝－[＋]＋，当且仅当t＝－时等号成立，此时y＝，所以x＋的最大值为. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 $