专题02 线线角、线面角、二面角与距离计算重点题型与技巧全归纳（6大题型专项训练）数学人教B版必修第四册

**基本信息** 以空间角与距离计算为核心，通过“题型-方法”双维度建模，系统整合平移、补形、定义、等积等解题技巧，培养几何直观与空间观念，构建从概念到应用的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线线角（中位线平移）|6题|中位线构造平行线转化平面角|空间角定义→平移转化→三角形计算| |线线角（平行四边形平移）|7题|平行四边形对边平行性质平移| |线线角（补形法）|3题|补形扩展几何体创造平移条件| |线面角（定义法）|6题|找斜线在面内射影求线面角|线面垂直判定→射影确定→三角函数计算| |点面距离（等积法）|6题|三棱锥体积公式转换求高|体积转换→面积计算→距离求解| |二面角|8题|定义法/垂面法构造平面角|二面角定义→平面角构造→解三角形|

专题 02 线线角、线面角、二面角与距离计算重点题型与技巧全归纳（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、中位线平移求线线角 1 题型二、平行四边形平移求线线角 5 题型三、补形法求线线角 11 题型四、定义法求线面角（常考点） 13 题型五、等积法求点到平面距离（重点） 17 题型六、求二面角（重点） 22 B综合攻坚・能力跃升 题型一、中位线平移求线线角 1．在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点为，连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 所以即为异面直线与所成角或其补角， 设三棱锥棱长为， 则，， 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 2．如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在长方体中，，因为，分别是，的中点，所以，所以，所以直线和所成角是锐角， 因为，所以，所以， 因为为的中点，所以，所以，所以，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 3．如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何关系转化异面直线和所成的角为，再根据三角形性质求解角大小. 【详解】如图所示，取底面圆心（即中点），连接. 因为是中点，是中点，所以是的中位线，得. 因此异面直线和所成的角，等于与所成的角. 圆锥轴截面垂直于底面圆所在平面，交线为. 因为是弧的中点，所以， 由面面垂直的性质定理，得平面. 又平面，因此，是直角三角形，直角在点. 设底面圆半径为，则，直径. 因为轴截面是等边三角形，所以， 由中位线性质得， 在中，，因此 ，得 ， 即异面直线和所成角为. 4．已知三棱锥中，，且直线与所成的角为，点，分别是，的中点，则直线和所成的角为________. 【答案】60°或30° 【分析】取的中点，连接，，可得（或其补角）为与所成的角，利用几何性质求解即可. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为点，分别是，的中点， 所以，且，， 且，所以（或其补角）为与所成的角， 所以（或其补角）为与所成的角， 因为直线与成角，所以或， 又因为，所以， 若，则是等边三角形，所以， 即与所成的角为，若，则易知是等腰三角形， 所以，即与所成的角为， 综上可知：与所成角为或. 5．如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 【答案】/ 【分析】取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG，找到异面直线所成的角或其补角即，然后找线面位置关系，求相关线段长，再利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG， 则，且，，则就是异面直线与所成的角或其补角． 易知平面，所以平面，所以. 因为，，所以 ， 所以由勾股定理得， 又 ，， 所以在△中，由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为． 6．如图，已知正方体的棱长为1．若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小． 【答案】 【分析】因为，可知异面直线与所成角为（或其补角），直接求解即可. 【详解】因为分别是的中点， 所以，又因为， 所以异面直线与所成角为（或其补角）． 由于，于是， 所以异面直线与所成角的大小为． 题型二、平行四边形平移求线线角 1．如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接,可得异面直线与所成角（或其补角）为,结合余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为 2．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使，连接,可得（或其补角）就是异面直线 与所成的角. 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 3．三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，推导出，可知异面直线和所成角等于或其补角，利用余弦定理求出、的长，推导出，可求出的余弦值，即为所求. 【详解】连接、，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，且， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 故异面直线和所成角等于或其补角， 在菱形中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，，所以，，故， 所以，. 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 4．在正三棱台中，分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接EC，，取EC中点P，连接，PA，可得即为异面直线EF，所成角（或其补角），然后根据已知条件在中求解即可. 【详解】如图所示，连接EC，，取EC的中点P，连接，PA， 在正三棱台中，设，则， 由E，F分别是AB，的中点，得，且， 四边形是平行四边形，，则即为异面直线EF，所成角（或其补角）， 在等腰梯形中，EF为梯形的高，过作于，则， ，，，， 即，，在中，． 因此，所以异面直线EF，所成角的余弦值为. 故选：D 5．已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，证明，则或其补角即为异面直线与所成的角，再利用余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接， 则且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以或其补角即为异面直线与所成的角， 设正三棱柱的各棱长为，则， 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值为.    故选：D． 6．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，E为棱PC中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设分别为的中点，作辅助线，找到异面直线与所成角，求出相关的线段的长，利用余弦定理即可求得答案. 【详解】设分别为的中点，连接，    由于E为棱PC中点，故， 而，故，即， 故四边形为平行四边形，则，， 则异面直线与所成角即为或其补角； 由题意知为边长为2的正三角形，E为棱PC中点，故，即， 四边形为正方形，边长为2，故， 而， 故在中，； 由于异面直线所成角的范围为， 故异面直线与所成角的余弦值为， 故选：D 7．如图所示，在直三棱柱中，底面为等边三角形，，则异面直线，所成角的余弦值是_______. 【答案】 【详解】在直三棱柱中，侧面是平行四边形， 所以//，所以异面直线，所成角，即为直线与所成角，即为. 因为平面，平面， 所以. 所以. 所以. 即异面直线，所成角的余弦值为. 题型三、补形法求线线角 1．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过补形，得到正六棱柱，继而得到即为直线与所成的角或其补角．设，从而得到为正三角形，故，从而得到所求. 【详解】如图，将直四棱柱补成正六棱柱， 连接，，显然， 则即为直线与所成的角或其补角． 设，则， 又， 则， 解得， 又， ， 则为正三角形，从而， 则直线与所成的角为． 2．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将几何体补全为长方体，根据异面直线所成角的定义确定对应平面角，根据已知求该角的余弦值. 【详解】由题意，将补全为如下图所示的长方体，且， 所以异面直线PC与BD所成角，即为所成角， 由，则， 所以， 所以异面直线PC与BD所成角的余弦值为. 故选：C 3．已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把三棱柱补成四棱柱，利用余弦定理结合条件可得异面直线与所成角. 【详解】如图，把三棱柱补成四棱柱，则，异面直线与所成角为， 在中，由余弦定理得， 又， 故选：C． 题型四、定义法求线面角（常考点） 1．已知一个无盖的圆柱形容器（忽略容器壁厚度），其底面半径为10厘米，母线长为30厘米，现在将该容器盛满水并缓慢倾斜，设圆柱形容器的母线与水平面所成角为，当剩下的水为原来的时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】该容器盛满水时的体积为， 倾斜后剩下的水为， 所以流出的水的体积为， 所以，所以 2．已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解. 【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心， 因为 ，， 所以，则， 因为，取的中点，所以， ， 设正三棱锥外接球的半径为，则，得， 所以，故， 设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点， ，则， 所以，则， 所以与该截面所成角为，故， ，即与该截面所成角为. 故选：C. 3．在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 【答案】 【分析】过点B作于点P，连接，可证平面，即就是与截面所成的角，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点B作于点P，连接， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，即就是与截面所成的角， ，因为， ， 所以，整理得，得． 4．如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与、所成的角为、，则______，______． 【答案】 / / 【分析】利用平面基本事实作出直线，进而求出；利用面面平行的性质结合等角定理，再利用和角的正切计算即得. 【详解】延长与延长线交于点F，连接，则直线即为直线，故， 由，得，又，于是，故， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，又，因此，故， 所以，所以. 5．在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据线面角的定义，转化为求的最大值，利用正弦定理求的最大值. 【详解】因为平面，所以为直线与平面所成的角， 中，，，外接圆的半径为， 所以， 不妨设点为定点，点在以为弦，半径为的圆上运动， 所以的最大值为直径， ，当时，的最小值为. 6．所在平面外有一点S，已知，与底面所成角为，二面角的大小为，且，求二面角的大小． 【答案】． 【分析】通过作平面于点O，连接并延长交于点D，连接．确定线面角和二面角的平面角，即可求解. 【详解】如图，作平面于点O，连接并延长交于点D，连接． 则是与平面所成的角， ． 平面，平面， ． 又，，平面，平面， 平面． ，平面，，． 是二面角的平面角，即． ，． 又，，平面，平面， 平面． 又平面，∴平面平面， ∴二面角的大小为． 题型五、等积法求点到平面距离（重点） 1．如图，在直三棱柱中，，，则点到平面的距离为________________. 【答案】 【分析】根据等体积法（）求解即可. 【详解】连接. 因为为直三棱柱，所以平面，. 又平面，所以， 所以，. 因为平面，平面，，所以平面， 所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，所以. 设点到平面的距离为，则，即，所以. 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 2．如图，在正四棱柱中，，则点到平面的距离为________. 【答案】 【分析】根据已知，应用等体积法有，结合已知和棱锥的体积公式列方程求点面距离. 【详解】由题设，，则为等腰三角形， 所以，设点到平面的距离为， 所以，则， 所以，可得. 故答案为： 3．在长方体中，为的中点，则直线与平面的距离为___________． 【答案】/ 【分析】利用等体积法来求点到面的距离即可求解. 【详解】    如图， 易知为的中位线，故平面，平面，所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， ， 在中，所以， 即， 设点到平面的距离为， 则根据， 解得， 所以直线与平面的距离为， 故答案为： 4．如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 【答案】 【分析】运用等体积法变换三棱锥的顶点和底面解决问题。 【详解】因为四边形是边长为2的正方形，且， 所以，， 设点A到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点A到平面的距离为。 故答案为：. 5．如图，直三棱柱的侧棱长为2，，， ，分别为的中点，则到平面的距离为___________． 【答案】 【分析】连接，在三棱锥中，利用等体积法即可求解． 【详解】连接，，，则，，， 因为是直三棱柱，所以平面，则，又因为， 所以平面，所以在三棱锥中，点到平面的距离为， ，，， 则，， 的面积为，三棱锥的体积为． 设点到平面的距离为，在中，， 的面积为，由， 得，得，即点到平面的距离为． 6．如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接DE，推导四边形BEDF是平行四边形，从而得到，再得到，从而平面BFG，平面BFG，进而得到平面平面BFG，因此得证平面； （2）根据平行线的性质，利用等积法进行求解即可. 【详解】（1）连接， ∵是正方形，，分别是棱，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵是的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面，平面， ∵，直线平面， ∴平面平面，∵平面， ∴平面．    （2）设点到平面的距离为， 因为分别是的中点， 所以， 因为底面， 所以底面，因为底面， 所以， 因为底面为正方形，，分别是的中点 所以，，     因为， 所以， . 题型六、求二面角（重点） 1．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为2，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知找到侧棱与底面所成的角，依据正切值为2算出高的大小，然后求出斜高，从而可以求出侧面与底面的二面角正弦值. 【详解】如图，正四棱锥中，是底面中心，是中点，平面. 即是棱锥的高，是斜高，是侧棱与底面所成的角，是四棱锥侧面与底面所成的角， 设底面边长为，则， 因为正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，即， 又因为，所以. 所以， 所以，即该四棱锥侧面与底面所成角的正弦值为. 2．如图，在正四棱锥中，若的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为，则侧面与底面所成的二面角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥的结构特征，作出侧面与底面所成的二面角的平面角，解直角三角形即可得答案. 【详解】如图，设正四棱锥底面对角线的交点为，的中点为， 连接、、，则底面， 则为在底面上的射影，且，， 故即为正四棱锥侧面与底面所成的二面角的平面角，    设正方形的边长为，高，， 则由的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为， 得，解得， 故在中，， 又因为为锐角，故， 即正四棱锥侧面与底面所成的二面角为. 故选：B. 3．四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，，平面平面，则二面角的平面角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为平面平面，推导出平面，可知的平面角为，然后求解即可； 【详解】平面平面，如下图所示： 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以，故， 因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面，故平面， 因为、平面，所以，， 所以，二面角的平面角是为， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以， 因为平面，平面，所以， 则，故为等腰直角三角形，故， 因此，二面角的平面角为； 故选：B. 4．如图，已知二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱，若，，，，平面与平面夹角的余弦值为__________. 【答案】/0.5625 【分析】在二面角的棱上找到一点，作，，则是二面角的平面角，在中，利用余弦定理，求出，因为平面与平面夹角的取值范围为，所以平面与平面夹角的余弦值为. 【详解】 过点作的平行线，且，连接， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以，又因为，所以是二面角的平面角， 因为，，且，所以平面， 因为，所以平面，因为平面，所以， 在中，因为，，，所以， 在中，因为，， ， 由余弦定理得， 所以二面角的余弦值是， 设平面与平面夹角为，且， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 5．已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为____. 【答案】/ 【分析】 根据二面角的平面角的概念，做出二面角的平面角，求出各边长，在求出二面角的平面角的正弦值，可求得二面角的大小. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得，所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 所以，则，，， 因为平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以， 因为，故，即二面角的大小为. 6．把等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，此时，则此二面角的大小是______________． 【答案】/ 【分析】由题意此二面角的平面角为，根据条件，求出的值，根据勾股定理，即可得答案. 【详解】因为等腰直角，斜边上的高为， 所以，平面平面， 所以此二面角的平面角为， 设，则， 又因为，连接，则， 在中，，所以，所以． 则此二面角的大小是. 故答案为： 7．点在锐二面角的平面上，点到平面的距离为3，点到棱的距离为，则此二面角的大小是_____． 【答案】 【分析】过点作，，垂足分别为，，连接，可证明，可得是锐二面角的平面角，进而求解即可. 【详解】如图，过点作，，垂足分别为，，连接， 因为，所以，而平面， 所以平面，而平面，所以， 所以是锐二面角的平面角， 在直角三角形中，，则. 故答案为：. 8．已知正方体，E是棱的中点，求平面与平面ABCD所成的二面角的余弦值． 【答案】 【详解】如图，连接AC，则在平面ABCD内的射影是， 设它们的面积分别为S和，所成的二面角大小为． 设正方体的棱长为2，则，E是棱的中点， 则，，， 所以， 则是锐角，则． 所以， ，故， 所以平面与平面ABCD所成的二面角的余弦值为． 1．已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为，其侧面积和体积分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆锥的侧面积公式与体积公式可得答案. 【详解】已知圆锥底面半径 ，母线与底面所成的角为 ， 则母线长 满足 ，即 ，解得 ， 圆锥高 ， 圆锥体积 ， 侧面积 ， 因此， 故选：A 2．“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为4，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处和右侧桶口齐平，过的母线与水平面所成的角大小为，且为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图②的轴截面，求出以木桶面为底面，以缺口最低处与桶口距离为高的圆柱的体积，然后可求出图②的方式盛水比图①盛水方式多盛的水体积. 【详解】由题意可知，图②的方式盛水比图①盛水方式多盛的水部分是以木桶面为底面，以缺口最低处与桶口距离为高的圆柱体积的一半. 作出图②的轴截面，如图所示： 因为左边缺口最低处和右侧桶口齐平，过的母线与水平面所成的角大小为，所以，又，. 以木桶面为底面，以缺口最低处与桶口距离为高的圆柱的体积. 图②的方式盛水比图①盛水方式多盛的水体积为. 故选：C 3．已知二面角的大小为，，，且，B为β内异于O的任意一点，且的最大值是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作，垂足为，先根据二面角的定义作出二面角的平面角，再由最小角定理分析出当与重合时，取到最小值， 此时取到最大值，分别求出的值，即可求出. 【详解】 如图所示，过作，垂足为，作交于点，连接. ，， . ，， 平面. 平面， ， 就是二面角的平面角， . ，为垂足， 为在平面β内的射影， 就是与平面β所成的线面角. 由最小角定理可知是与平面β内的任意一条直线所成角中的最小角， B为β内异于O的任意一点， 当且仅当与重合时，取到最小值， 此时取到最大值. 在中， ，. 由勾股定理可得. 又 ， ， . 在中，. 4．（多选）如图，在正三棱台中，为的中点，是上的动点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则下列关于的大小，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据定义分别作出 ， ， ，再利用三角函数值域以及单调性即可得出AD正确，分别假设三棱台趋近于棱柱或者高为0时，可得的大小无法比较. 【详解】取的中点为，连接 ，作 ，垂足为，连接 ，如下图所示： 根据正三棱台性质可得 ，又因为 ，且 平面 ， 所以平面 ， 又平面 ，所以， 又因为 ， ，且 平面， 所以平面， 依题意可知直线与直线所成角为 ， 直线与平面所成角为 ，二面角的平面角为 ； 易知，且， 即可得 ，所以 ，因此可得A正确，D正确； 又因为当三棱台趋近于三棱柱，且点趋近于点时，此时 ，可得； 当三棱台的高趋近于0，且点趋近于点时，此时 ，可得； 所以的大小无法比较，因此选项B错误，C错误. 5．如图，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，点是底面弧的两个三等分点，则异面直线与所成角的正切值为__________． 【答案】 【分析】易证得，由异面直线所成角定义可知所求角为，由长度关系可求得结果. 【详解】设圆锥底面圆心为，连接， 为弧的两个三等分点，， 又，为等边三角形，，， 即为异面直线与所成角， 平面，平面，， ，，， 即与所成角的正切值为. 6．在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 【答案】/ 【分析】根据翻折后的立体图形，取中点为，过点作交于，连接，，先证平面，再证平面，得到就是二面角的平面角，在中求解即可. 【详解】取中点为，过点作交于，连接，， 在中，，，， 则，所以. 又点为中点，所以，即为等边三角形， 所以，，， 将沿折起，使点到达点的位置， 则为等边三角形，又为中点，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 所以即为二面角的平面角， 在中，，， 所以， 则. 故二面角的余弦值为. 7．如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，与交于点F，连接BF，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，再由等体积法求点面距离. 【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形， 所以，所以， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为h， 由等体积法得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 8．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得； （2）关键在于找到BD与平面ANMD所成的角，由（1）知平面ANMD，且，所以为BD与平面ANMD所成角，进而结合边长可求其余弦值； （3）C到平面PBD的距离就是三棱锥的高，使用等体积法将转化到，即可求解. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （3）由已知得，，， ， 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． 9．已知直三棱柱，，D，E分别是边，的中点．    (1)证明：平面； (2)若三棱锥体积为，且，设与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证法一：取中点F，证明四边形ADEF是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可；证法二：取BC中点F，先证明，，然后利用线面平行的判定定理证明 平面，再利用面面平行的判定定理证明平面平面，即可得证； （2）根据线面角的定义，先确定即为角，再通过等体积法求出，即可利用重要不等式求出的最小值，再根据即可求出的最大值. 【详解】（1）证法一：如下图所示，取中点F，连接EF，FA， E是的中点， EF为的中位线， 且， 又 且， 且， 四边形ADEF为平行四边形， . 又 平面，平面， 平面；    证法二：如下图所示，取BC中点F，连接EF，DF， D是的中点，DF为中位线， ， 又 平面，平面， 平面. 在三棱柱中， 且， 四边形为平行四边形， ， 又 平面，平面， 平面. ，平面DEF，平面平面， 又 平面DEF， 平面；    （2）如下图所示，连接， 是直三棱柱， 平面， 平面， . ，,平面， 平面， 就是在平面内的射影， 即为与平面所成的角. ， ， （当且仅当时等号成立）. 在中， . 故的最大值为.    10．如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，高，设侧面与底面所成的二面角分别为，证明： ． 【答案】证明见解析 【分析】利用等体积法求得，再由二面角的定义得，进而有，最后应用基本不等式证明结论. 【详解】由题设，，则， 由题意， 所以，则， 故，所以， 又对应边的高分别为， 不妨令分别是侧面、侧面、侧面与底面的夹角， 所以， 所以，其中， 由，则， 当且仅当时等号成立，得证. 11．（请用几何法作答此题）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，， 分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）取中点，得到，再由平面平面，证得平面，得到，再由，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）由（1）知平面，证得，证得平面，过点作，连接，证得平面，得到为与平面所成的角，在直角中，即可求解； （3）取的中点，过点作，证得平面，得到，得到为二面角的平面角，分别求得和，在直角中，即可求解. 【详解】（1）证明：取中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面. （2）解：由（1）知平面，因为平面，所以， 在等边△ABC中，因为为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 过点作，垂足为. 连接， 因为平面，且平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以为与平面所成的角， 因为，，， 可得 由，可得， 所以， 在直角中，可得， 所以与平面所成角的正弦值为 （3）取的中点，连接，可得且， 过点作，垂足为，连接， 由（1）知，平面，所以平面， 由平面，所以，， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 由（1）知平面，平面，所以， 在直角中，可得， 由（2）知，平面，因为平面，所以， 在直角中，可得， 即，解得，所以， 在直角中，可得， 所以二面角的平面角的正切值为.    12．如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证平面，再证平面，即可证； （2）由可求； （3）为二面角的平面角，求出，可求. 【详解】（1）证明：因为底面，底面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，因为，是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）连接交于点，如图所示： 则，又因为底面，平面，所以， 因为，平面，所以平面，则点到平面的距离为，因为是的中点，所以， 因为底面正方形边长为，所以，， 所以，， 所以， ，所以． 在中，满足，有， 所以， 设点到平面的距离为， 由可得 （3）由（1）可得平面，因为平面平面， 所以，所以为二面角的平面角， ， 因为，，所以 ， 所以，解得， 因为，即，所以， 故二面角的余弦值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 02 线线角、线面角、二面角与距离计算重点题型与技巧全归纳（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、中位线平移求线线角 1 题型二、平行四边形平移求线线角 5 题型三、补形法求线线角 11 题型四、定义法求线面角（常考点） 13 题型五、等积法求点到平面距离（重点） 17 题型六、求二面角（重点） 22 B综合攻坚・能力跃升 题型一、中位线平移求线线角 1．在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 4．已知三棱锥中，，且直线与所成的角为，点，分别是，的中点，则直线和所成的角为________. 5．如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 6．如图，已知正方体的棱长为1．若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小． 题型二、平行四边形平移求线线角 1．如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．在正三棱台中，分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，E为棱PC中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 7．如图所示，在直三棱柱中，底面为等边三角形，，则异面直线，所成角的余弦值是_______. 题型三、补形法求线线角 1．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型四、定义法求线面角（常考点） 1．已知一个无盖的圆柱形容器（忽略容器壁厚度），其底面半径为10厘米，母线长为30厘米，现在将该容器盛满水并缓慢倾斜，设圆柱形容器的母线与水平面所成角为，当剩下的水为原来的时，（   ） A． B． C． D． 2．已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（    ） A． B． C． D． 3．在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 4．如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与、所成的角为、，则______，______． 5．在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为______. 6．所在平面外有一点S，已知，与底面所成角为，二面角的大小为，且，求二面角的大小． 题型五、等积法求点到平面距离（重点） 1．如图，在直三棱柱中，，，则点到平面的距离为________________. 2．如图，在正四棱柱中，，则点到平面的距离为________. 3．在长方体中，为的中点，则直线与平面的距离为___________． 4．如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 5．如图，直三棱柱的侧棱长为2，，， ，分别为的中点，则到平面的距离为___________． 6．如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 题型六、求二面角（重点） 1．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为2，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正四棱锥中，若的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为，则侧面与底面所成的二面角为（    ）    A． B． C． D． 3．四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，，平面平面，则二面角的平面角是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱，若，，，，平面与平面夹角的余弦值为__________. 5．已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为____. 6．把等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，此时，则此二面角的大小是______________． 7．点在锐二面角的平面上，点到平面的距离为3，点到棱的距离为，则此二面角的大小是_____． 8．已知正方体，E是棱的中点，求平面与平面ABCD所成的二面角的余弦值． 1．已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为，其侧面积和体积分别为，，则（   ） A． B． C． D． 2．“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为4，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处和右侧桶口齐平，过的母线与水平面所成的角大小为，且为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知二面角的大小为，，，且，B为β内异于O的任意一点，且的最大值是，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）如图，在正三棱台中，为的中点，是上的动点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则下列关于的大小，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，点是底面弧的两个三等分点，则异面直线与所成角的正切值为__________． 6．在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 7．如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 8．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 9．已知直三棱柱，，D，E分别是边，的中点．    (1)证明：平面； (2)若三棱锥体积为，且，设与平面所成的角为，求的最大值． 10．如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，高，设侧面与底面所成的二面角分别为，证明： ． 11．（请用几何法作答此题）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，， 分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的正切值. 12．如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $