立体几何初步核心考点强化训练-《中学生数理化》高一数学2026年4月刊

中学生表理化终囊摩清练6车1月 立休儿何初步核心考点强化训练 ■刘中亮（特级教师） 一、选择题 C.若a∥B,m二a,n二B,则m∥n 1.下列说法正确的是( )。 D.若m⊥a,n⊥B,且a⊥3，则m⊥n A,各侧面都是正方形的四棱柱一定是 6.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展 正方体 开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲 B.球的直径是连接球面上两点且经过球 心的线段 S,体积分别为V和V2。若S一2 C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋 )。 转一周所得的旋转体是圆锥 路 D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和 A.√5 B.2√2 圆台 C.√10 D.50 4 2.已知空间中不过同一点的三条直线1， m,n,则“1，m,n共面”是“l,m,n两两相交” 7.如图1，在斜三棱柱ABC-AB1C1中， 的()。 ∠BAC=90°，BC1⊥AC,则点C1在平面 ABC内的射影点H必在( A.充分不必要条件 )。 B B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知平面a∩B=l,点A,C∈a,点 B∈B,且B在I,AC∩l=M,过A,B,C三点 A 确定的平面为y,则B∩y的交线是()。 图1 A.直线CM B.直线BM A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AB D.直线BC C.直线AC上 D.△ABC内部 4.若平面a,B满足a上B,a∩B=I, 8.如图2，在三棱锥P-ABC中，AB十 P∈a,P1,则下列命题中的假命题是 2PC=9,E为线段AP上更靠近P的三等分 ( )。 点，过E作平行于AB,PC的平面，则该平面 A.过点P垂直于平面a的直线平行于 截三棱锥P-ABC所得截面的周长为 平面B ()。 B.过点P垂直于直线1的直线在平面 a内 C.过点P垂直于平面B的直线在平面 a内 D.过点P且在平面a内垂直于1的直线 必垂直于平面B 5.已知m,n为两条不同的直线，a,B为 图2 两个不同的平面，则下列命题错误的是 A.5 B.6 C.8 D.9 9.如图3，正方体ABCD-A1BC1D1的 A.若m⊥a,n⊥B且a∥B,则mn 棱长为1，点P为正方形AB,C1D1内的动 B.若m⊥a,nB且aB,则m⊥n 点，则满足直线BP与下底面ABCD所成角 26 商一黄学技公紫空清籍中学生款理化 为60°的点P的轨迹长度为()。 A.存在无数个点P,使得PA∥平面 D ABCD B.当平面PAA1⊥平面CB1D1时，点P 的轨迹长度为2π C.当PA∥平面A1B1CD时，点P的轨 迹长度为2π D.存在无数个点P,使得平面PAD⊥ 图3 平面PBC A③ 二、填空题 3 B.3x 6 D.3x 2 13.已知a,B是两个不同的平面，l,m,n 10.(多选题)已知正方体的外接球与内 是三条不同的直线，P为空间中一点。若 切球上各有一个动点M,N,若线段MN的 a∩B=l,m二a,n二B,m∩n=P,则点P与 最小值为√3一1，则下列说法中正确的是 直线1的位置关系用符号表示为一。 ()。 14.如图6，AB和CD是异面直线，AB A.正方体的外接球的表面积为12π =CD=3,E,F分别为线段AD,BC上的点， B.正方体的内切球的体积为 3π 且部-E=合，BF=,则异面直线AB C.正方体的棱长为2 与CD所成角的大小为 D.线段MN的最大值为2√3 D 11.(多选题)如图4所示，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平 面ABCD,点E,F分别是棱PA,PB的中 点，则下列结论正确的是( )。 图6 15.如图7所示，在长方体ABCD AB1C1D1中，已知AB=2,BC=t,若在线 段AB上存在点E,使得EC1⊥ED,则实数t A D 的取值范围是 图4 A.CD⊥PD B.AB⊥PC D… C.平面PBD⊥平面PAC D.E,F,C,D四点共面 E 12.(多选题)如图5，已知正方体ABCD 图7 A1B1C1D1的各顶点均在表面积为12π的球 三、解答题 面上，P为该球面上一动点，则()。 16.如图8，在三棱柱BCF-ADE中，已 D 知G,H分别是线段AC,DF的中点。 E .… D.. D B 图5 图8 27 中学生表理化葵资卓演绮6车1月 (1)求证：GH∥BF。 20.如图12，在 (2)在线段CD上是否存在一点P,使得 四棱锥P-ABCD中， 平面GHP∥平面BCF?若存在，指出点P 底面ABCD是边长 的具体位置并证明；若不存在，请说明理由。 为2的菱形， 17.如图9，在四棱锥P-ABCD中，PC ∠DAB=60°，∠ADP D 底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形， =90°，平面ADP⊥ AD⊥DC,AB∥DC,AB=2AD=2CD=2, 平面ABCD,点F 图12 点E是PB的中点。 为棱PD的中点。 (1)证明：平面FAC⊥平面PBD。 (2)当二面角D-FCB的余弦值为 时，求直线PB与平面ABCD所成的角。 广参考答案与提示 图9 (1)在线段PA上是否存在一点G,使得 一、选择题 点D,C,E,G四点共面？若存在，请证明；若 1.提示：虽然各侧面都是正方形，但底面 不存在，请说明理由。 可能是菱形，所以该四棱柱不一定是正方体， (2)若PC=2,求三棱锥P-ACE的体积。 A错误。球的直径的定义即为“连接球面上 两点且经过球心的线段”，B正确。以直角三 18.如图10，在正三棱柱ABCA1B,C 中，各棱长均相等，D是BC的中点。 角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的 旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直 线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面 的圆锥组成的几何体，C错误。用一个平行 于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台， D错误。应选B。 2.提示：m,n,1在同一平面内时，可能 m,n,l两两平行，所以m,n,l可能没有公共 图10 (1)求证：AD⊥C1D。 点，所以不能推出m,n,1两两相交。由m, (2)求证：AB∥平面AC1D。 n,l两两相交且m,n,l不经过同一点，可设 (3)求异面直线A,B与AC所成角的余 l∩m=A,l∩n=B,m∩n=C,且A年n,可 弦值。 知点A和直线n确定平面a,而B,C∈n,可 知B,C∈a,所以l,mCa,所以m,n,l在同 19.如图11，已知三棱柱ABC-A1B1C 一平面内。应选B。 的棱长均为2，∠A1AC=60°，A1B=√6。 3.提示：已知过A,B,C三点确定的平 C 面为Y,则AC二y。因为AC∩1=M,所以 M∈y。又平面a∩平面B=l,所以l二a, l二B。因为AC∩l=M,所以M∈B。因为 B∈B,B∈Y,所以B∩Y=直线BM。应选B。 4.提示：由于过点P垂直于平面。的直 图11 线必平行于平面B内垂直于交线的直线，所 (1)证明：平面A1ACC1⊥平面ABC。 以该直线平行于平面B,A是真命题。过点 (2)求直线CC1到平面A1ABB,的距离。 P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α， 28 资-数学核心青桌清管中学生教理化 不一定在平面α内，B是假命题。根据面面 ABC1与平面ABC的交线AB上。应选A。 垂直的性质定理知，C,D是真命题。应选B。 8.提示：在三棱锥P-ABC中，过E分别 5.提示：由n⊥B且aB,可得n⊥a,则满 作EF∥AB,EH∥PC,再过点H作HG∥ 足垂直于同一个平面的两条直线相互平行，A AB,连接FG,则EF∥HG,可得E,F,G,H 正确。因为aB,m⊥a,所以m⊥B。又n∥3， 四点共面。因为AB在平面EFGH,EFC 所以m⊥n,B正确。若aB,m二a,n二B,则m 平面EFGH,所以AB∥平面EFGH。同理 与n平行或异面，C错误。设a∩B=l,在平面 可证PC∥平面EFGH,所以截面即为平行四 B内作直线c⊥1（图略），由a⊥B得c⊥a,因为 边形EFGH。又因为E为线段AP上更靠 n⊥a,所以n∥c。因为n⊥B,c二B,所以n⊥ 近P的三等分点，且AB+2PC=9,所以EF c,所以m⊥n,D正确。应选C。 =号AB,EH=号PC,所以平行四边形 6.提示：（方法1）甲、乙两个圆锥的母线 长相等，结合兮=2知甲，乙两个圆锥侧面展 EFGH的周长为2(EF+EH)三(AB+ 2PC)=6。应选B。 开图的圆心角之比是2：1。不妨设两个圆 锥的母线长1=3，甲、乙两个圆锥的底面半径 9.提示：直线BP与下底面ABCD所成 的角等于直线BP与上底面AB,C1D:所成 分别为r1,r2,高分别为h1,h2。由题意知两 的角。因为BB1⊥平面A1BC,D1,PB,□ 个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长 平面A1BC1D1,所以BB,⊥PB1,所以 为6元的圆，所以2πr1=4元，2πr:=2π，可得 ∠BPB1为直线BP与上底面A,B,C1D1所 r1=2,r:=1。由勾股定理得h1=√2一r= 成的角，所以∠BPB,=60°。因为BB=1, 1 3xrih 所以PB,= BB1_√3 √5，h2=√2-一r=2√2，所以 V之 an60=3,所以点P的轨迹为 1 _45-√0。应选C。 以点B,为圆心，为半径，位于平面 2√2 A,BC,D:内的子圆，其轨迹长度为子× (方法2)设两圆锥的母线长为(，甲、乙 两圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为 2=×-停应选B。 h1,h:,侧面展开图的圆心角分别为n1,n2。 10.提示：设正方体的棱长为a,则正方 =2,可得=2，即r1=2:。由 体外接球的半径为体对角线长的一半，即 n1十1：=2元得2”+2产=2，即1十r, 2a。易知内切球的半径为棱长的一半，即 a。因为M,N分别为外接球和内切球上 1 l,所以r1= 号1，=子1。由勾股定理得 3 ,=-A:=v0-2 1,所 的瑞点，所以MN。-名a-。 2 1 √3-1，解得a=2,所以正方体的棱长为2， 以、3rh 45 所以正方体外接球的表面积为4π×（√3）= V 1 =√10。应选C。 3πrh2 2√2 12x,内切球的体积为专AB,C正确。线 7.提示：由AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩ BC,=B,可得AC⊥平面ABC1。因为AC二 段MN的最大值为经a十a=3+1,D错 平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,所 误。应选ABC。 以C1在平面ABC内的射影点H必在平面 11.提示：因为PA⊥平面ABCD,所以 29 中学生款理化数心数寧清统年1月 PA⊥CD。因为底面ABCD是矩形，所以 CD⊥AD。又PA∩AD=A,所以CD⊥平 3AB-2,GF CD=1,EF=7,所以 面PAD,所以CD⊥PD,A正确。因为 Cos∠EGF= G+GFEP=-合所以 2EG·GF CD∥AB,CD⊥平面PAD,所以AB⊥平面 ∠EGF=120°，所以异面直线AB与CD所 PAD。因为PC∩平面PAD=P,所以AB 成角的大小为180°一120°=60°。 与PC不垂直，B错误。因为底面ABCD是 15.提示：因为C1C⊥平面ABCD, 矩形，所以BD与AC不一定垂直，所以BD ED二平面ABCD,所以CC⊥ED。由 与平面PAC不一定垂直，所以平面PBD与 EC1⊥ED,EC1∩C1C=C1,EC1,CC二平面 平面PAC不一定垂直，C错误。因为点E, ECC1,可得ED⊥平面ECC,,所以ED⊥ F分别是棱PA,PB的中点，所以EF∥AB。 EC。在矩形ABCD中，设AE=a,0≤a≤ 又AB∥CD,所以EF∥CD,所以E,F,C,D 2,则BE=2-a。由∠DEA十∠CEB=90°， 四点共面，D正确。应选AD。 12.提示：因为该球的表面积为4πr2= 可得an∠DEA·tan∠CEB=AD.CB AE·BE 12π，即半径r=√3，且正方体的棱长满足 (2r)2=3a2=12,所以棱长a=2。对于A,由 a(2-a)=1,即t产=a(2-a)=-(a-1)2+ 题意知平面ABCD∥平面A,B,CD1,且 1。当a=1时，t2取得最大值1，即t的最大 PA∥平面A1B1C1D1,PA二平面ABCD,则 值为1：当a=0或a=2时，t取得最小值0， 点P的轨迹为正方形ABCD的外接圆，即有 即t的最小值为0。而t>0,所以实数t的取 无数个点P满足条件，A正确。对于B,易知 值范围是(0,1]。 AC1⊥平面CB,D1,且平面PAA1⊥平面 三、解答题 16.提示：(1)因为四边形ABCD为平行 CB,D,,PA二平面PAA1,则点P的轨迹为 四边形，所以G是线段BD的中点，所以 矩形AACC的外接圆，半径r=√3，其周长 GH∥BF。 为2πr=2√3π，B错误。对于C,PA∥平面 (2)存在一点P,且P是线段CD的中 A1B1CD,设过PA且与平面AB1CD平行 点。理由如下：由(1)可知，GH∥BF,GHC 的平面为a,则点P的轨迹为平面a与外接 平面GHP,BF在平面GHP,所以BF∥平面 球的交线，其半径为受=1，周长为2x,C正 GHP。连接PG,PH,因为P,H分别是线 段CD,DF的中点，所以HP∥CF。因为 确。对于D,若平面PAD⊥平面PBC,则点 HPC平面GHP,CF史平面GHP,所以 P在以四边形ABCD为轴截面的某个圆柱 CF∥平面GHP。又BF∩CF=F,BF, 面上，该圆柱面与球面交线为曲线，即有无数 CF二平面BCF,所以平面GHP∥平面 个点P满足条件，D正确。应选ACD。 BCF。 二、填空题 17.提示：(1)存在。当G为PA的中点时 13.提示：因为m二a,n二B,m∩n=P, 满足条件。连接GE,GD,则GE是△PAB的 所以P∈&且P∈B。又a∩B=l,所以点P 中位线，所以GE∥AB。又AB∥DC,所以 在直线1上，即点P∈I。 GEDC,所以D,C,E,G四点共面。 14.提示：在平面ABD中，过点E作 (2)因为E是PB的中点，所以 EGAB,文DB于点G:因为S =2,所以 1 V三他箱PAE=V三枚BACE= V三棱锥PACB。又因为 品-之又凭-子，所以%=能，所以 GD S=豆AB·AD=2×2×1=1,所以 。1 GF∥CD,所以∠EGF(或其补角)即为AB 1 2 与CD所成的角。在△EGF中，因为EG= V三推PACB= PC·SAAc=子，所以所求体积 30 高一数学核心著察清赞中学生教理化 核心考点演练 1 V三棱推PAcE一3。 ×2X2×5=5 4 2 。设点C到平面 18.提示：(1)因为AB=AC,D是BC的 中点，所以AD⊥BC。因为BB,⊥平面 A,ABB,的距离为d,则号Sam·A,D ABC,AD二平面ABC,所以AD⊥BB1。因 1 为BC∩BB1=B,BC,BB,C平面BBC1C, 3Saa·d,即 3×2×2X2× 1 2 ×√3= 所以AD⊥平面BB,C1C。又C1DC平面 ×，解得日2 BB1C1C,所以AD⊥C1D。 2 5 ,所以直线CC (2)连接A1C交AC1于点O。易得O 到平面AABB,的距离为2正 5 为AC的中点。因为D为BC的中点，所以 AB∥OD。因为ODC平面AC1D,A1B士 20.提示：(1)因为∠ADP=90°，所以 平面ADC,,所以A1B∥平面AC,D。 PD⊥AD。又平面ADP⊥平面ABCD, (3)由(2)知A1B∥OD,所以∠AOD(或 PDC平面ADP,平面ADP∩平面ABCD 其补角)为异面直线AB与AC:所成的角。 =AD,所以PD⊥平面ABCD。 设AB=2a,则AD=√3a,AO=OD=√2a。 因为ACC平面ABCD,所以PD⊥AC。 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD。 在△AOD中，由余弦定理得cos∠AOD= OA2+OD2-AD2a2+2a2-3a2_1 因为PD∩BD=D,BD,PDC平面PBD, 2DA·OD 2×√2a×√2a ,所 所以AC⊥平面PBD。 又因为AC二平面FAC,所以平面FAC 以异面直线A,B与AC所成角的余弦值为4· ⊥平面PBD。 19.提示：(1)取AC的中点D,连接 (2)由(1)知PD⊥平面ABCD,所以 A1D,BD。 ∠PBD就是直线PB与平面ABCD所成的 因为D为AC的中点，AA,=AC=2,所 角。由题意得△BDC为等边三角形，取CD 以AD=号AC=1。又∠AAC=60,所以 的中点H,连接BH,则BH⊥CD。 因为PD⊥平面ABCD,BHC平面 A,D⊥AC,且A,D=3。因为AB=AC= ABCD,所以PD⊥BH。又PD∩CD=D, BC=2,D为AC的中点，所以BD=√3。因 PD,CDC平面PDC,所以BH⊥平面 为A1B=√6，所以A1D2+BD=A1B,所以 PDC。过H作HG⊥FC于G,连接BG,则 A1D⊥BD。又BD∩AC=D,BD,ACC平 CF⊥BG,故∠BGH就是二面角D-FCB 面ABC,所以A1D⊥平面ABC。因为A:D C平面A1ACC1,所以平面A,ACC1⊥平面 的平面角。因为a∠BGH-气，所以 ABC tan∠BGH=√7。易得BH=√3，所以GH (2)因为CC1∥AA1,CC士平面 21 FD GH V21 A1ABB1,AA1二平面A1ABB1,所以CC1∥ 牙.由sim∠rcD=是-是 7 平面A1ABB1,则直线CC,到平面A1ABB, 即 FD √21 的距离即为点C到平面A1ABB1的距 √FD+2 ,解得FD=,则PD 离。利用等体积法得VA,-Ax=Vc-A,AB。在 =2√3，所以tan∠PBD= D=2B=3, △A1AB中，AA1=AB=2,A1B=√6，所以 BD 2 COS ZAAB-AAi+AB:-AB1+1-6 所以∠PBD=60°，即直线PB与平面ABCD 2AA1·AB 2×2×2 所成的角为60°。 4,所以sin∠A,AB= 作者单位：河南省开封市第十中学 4,所以S△AAB (责任编辑郭正华) 31