第六单元易错易混专项03 长方体和正方体解决问题一-2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测（苏教版）

**基本信息** 聚焦长方体和正方体体积表面积综合应用，以排水法、公式变式为核心方法，构建“概念-原理-应用”逻辑链条，强化空间观念与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |排水法求体积|8题（如1-3题）|不规则物体体积=容器底面积×水面变化高度|从体积公式推导排水原理，迁移解决溢出、下降等变式| |表面积计算|7题（如4-7题）|无盖/组合表面积=完整表面积-多余部分面积|结合生活场景（粉刷、包装）强化公式灵活应用| |体积转换与综合|10题（如8-10题）|体积不变原理：V=Sh的跨情境应用|通过水箱倒水、容器竖放等综合问题，深化空间想象与推理意识|

开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测》。本书专为苏教版五年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴,助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测 第六单元易错易混专项03 长方体和正方体解决问题一 一、解答题 1．一个长30厘米，宽15厘米，高17厘米的长方体玻璃缸，水深12厘米。将一块石头投入水中完全浸没，水满后溢出27毫升，求这块石头的体积是多少立方厘米？ 2．一个长20厘米、宽15厘米、高16厘米的长方体水槽中装满了水，放入一石块，浸没后溢出了一些水，再把石块拿出，水位下降了4厘米，石块的体积是多少立方厘米？ 3．一个长方体水箱的内长25厘米，宽20厘米，高20厘米。将一个边长为10厘米的小正方体铁块放入水箱后，将水箱注满水（如图）。此时，取出小正方体铁块，水面下降多少厘米？ 4．一间教室的长是7米，宽是4.5米，高是3米。现在要粉刷屋顶和四壁，已测得门窗和黑板的面积是10.5平方米。如果每平方米需要0.7千克的油漆，粉刷4间这样的教室共需要多少千克的油漆？ 5．青花瓷作为中国传统瓷器的瑰宝之一，其独特魅力和文化价值不容忽视。下图是一款背花瓷花瓶，商家为了防止花瓶损坏，一般用长方体纸盒进行包装，包装这个花瓶至少需要用多少平方厘米的纸板？（可以先画一画包装盒的样子，再解答，解答时，接缝处忽略不计。） 6．为锻炼同学们的管理能力，五（1）班每学期都要搞班委竞选活动。小丽帮助班主任李老师做投票箱，她把一个长为5分米、宽为4分米、高为3分米的长方体纸箱各面贴上红纸，在其中一个面上开一个长方形（面积为1平方分米）的小口便于投票，她至少需要多少平方分米的红纸？ 7．学校要粉刷教室。已知教室的长是8米、宽是6米、高是3米，扣除门窗的面积是11.4平方米，如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？ 8．如图（单位：厘米），有两个长方体玻璃水箱，现在甲水箱是空的，乙水箱里水深12厘米。如果将乙水箱里的水倒一部分给甲水箱，使两个水箱中的水的高度相同，那么这时水的高度是多少厘米？ 9．一个底面长和宽都是2分米的长方体玻璃容器里面有4.6升水。若将一个苹果完全浸没在水中，水深1.5分米，这个苹果的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计） 10．有甲、乙两个水箱，从里面测量，甲水箱长12分米，宽8分米，高5分米，乙水箱长8分米，宽8分米，高10分米。甲水箱装满水，乙水箱空着，现将甲水箱里水全部抽到乙水箱中。求乙水箱的水面高多少分米？ 11．下面是小明比较土豆和胡萝卜体积时做的实验，长方体容器的长是12厘米，宽是12厘米，高是24厘米。观察他的实验过程，请计算出土豆和胡萝卜的体积。 12．有两个水池，甲水池长8分米、宽5分米、水深4分米，乙水池空着，它长5分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？ 13．一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为20厘米，高22厘米。向容器中倒入6升水，再把一个土豆沉入水中（土豆完全浸没），这时量得容器中的水深是16厘米，这个土豆的体积是多少立方分米？ 14．在一个长6分米，宽4分米，高5分米的长方体玻璃水缸中有一个西瓜，现往水缸中注入一定的水量，使其完全淹没西瓜，量得水位高3.4分米。已知西瓜的体积是4.8立方分米，如果把西瓜从玻璃水缸中取出，缸中的水位高应是多少分米？ 15．如下图，在一块长46厘米、宽26厘米的长方形铁皮的四个角上分别剪掉一个面积相同的正方形后，正好可以折成一个高6厘米的无盖铁盒。求这个铁盒的容积。（铁皮的厚度忽略不计） 16．（如图）一个长方体容器中浸没着一个长方体铁块，如果把铁块竖直放置（铁块底面与容器底面完全接触），铁块露出水面部分的高为9厘米。这个长方体铁块的体积是多少立方厘米？ 17．一个无盖的长方体容器（如图），从里面量长20厘米，宽10厘米，里面的水深6厘米。往这个容器中再倒入300毫升水（无溢出），此时水面的高度是多少厘米？ 18．妈妈在网上购入了一款长方体的可密封保鲜米盒，长30厘米，宽20厘米，里面装入的大米深6厘米（如图中阴影部分所示）。为节约占地面积，当占地面积最小时里面的大米深度应该是多少厘米？ 19．一个长80厘米、宽60厘米、高50厘米的长方体容器，水深30厘米。把一块石头完全浸没在水中，水面上升到31.4厘米。这块石头的体积是多少立方分米？ 20．老师想带一个长55厘米、宽20厘米、体积88立方分米的行李箱，乘坐某公司航班。老师所带的行李箱尺寸超出规定了吗？请列式计算说明理由。 21．如图，一个长方体水槽被一块玻璃隔板分成A、B两部分，两部分水的高度分别是5分米和1分米。将隔板抽出后，水槽里的水有多高？ 22．一块长24厘米，宽18厘米的长方形铁皮，在四个角上剪去边为4厘米的正方形，将它焊成一个无盖的盒子。这个盒子的表面积和容积是多少？ 23．一个密封的长方体玻璃容器，长15厘米，宽7厘米，高10厘米（玻璃厚度忽略不计），现已注入了高度为6厘米的水（如图1）。 （1）图1中水与容器的接触面积是多少平方厘米？ （2）如果以这个容器右侧为底面，将它竖起来水平摆放在桌上，这时水面的高度是多少厘米？ 24．制做一个棱长是6分米的正方体无盖玻璃鱼缸。（玻璃厚度忽略不计） （1）一共需要多少平方分米的玻璃？ （2）将一块假山石浸没在装了一半水的鱼缸中，测得现在水面高3.12分米，假山石的体积是多少立方分米？ 25．王叔叔用一根钢材正好可以焊成棱长为6分米的正方体框架。（钢材的宽度和厚度忽略不计） （1）如果要给这个正方体框架安装上玻璃板，已知每平方分米玻璃隔板0.35元，制作这个正方体玻璃箱（无盖）需要多少钱？ （2）这个正方体玻璃箱的容积是多少升？（玻璃隔板的厚度忽略不计） （3）在这个正方体玻璃箱中，倒入一定的水，水面高度恰好是3分米，再向容器中放入一个形状不规则的铁块，铁块完全浸没于水中，发现水面高度变成了3.5分米，求这个铁块的体积。 （4）王叔叔准备用同样长的钢材再焊一个长8分米，宽3分米的长方体框架。这个长方体框架的高是多少分米？ 参考答案 1．2277立方厘米 【分析】根据题意，将一块石头投入水中完全浸没，水满后溢出27毫升；那么这块石头的体积等于长方体玻璃缸无水部分的体积加上溢出水的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，以及进率“1毫升＝1立方厘米”求解。 【解答】27毫升＝27立方厘米 30×15×（17－12） ＝30×15×5 ＝450×5 ＝2250（立方厘米） 2250＋27＝2277（立方厘米） 答：这块石头的体积是2277立方厘米。 2．1200立方厘米 【分析】水面下降的体积就是石块的体积，长方体水槽的长×宽×水面下降高度＝石块的体积，据此列式解答。 【解答】20×15×4＝1200（立方厘米） 答：石块的体积是1200立方厘米。 3．2厘米 【分析】当一个小正方体铁块被放入长方体水箱并注满水后，铁块会排开与其体积相等的水。因此，当铁块被取出时，水位会下降，下降的水量正好等于铁块的体积。求出小正方体铁块的体积后，再用小正方体铁块的体积除以水箱的底面积，即可求出水面下降的高度。 【解答】小正方体体积为： 水箱的底面积： 水面下降的高度： 答：水面下降2厘米。 4．252千克 【分析】根据题意，粉刷屋顶和四壁，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗和黑板的面积，就是需粉刷的面积；最后用每平方米需油漆的质量乘粉刷的面积，求出粉刷一间教室所需油漆的质量，再乘4，即是粉刷4间这样的教室共需油漆的质量。 【解答】7×4.5＋7×3×2＋4.5×3×2 ＝31.5＋42＋27 ＝100.5（平方米） 100.5－10.5＝90（平方米） 90×0.7×4 ＝63×4 ＝252（千克） 答：粉刷4间这样的教室共需要252千克的油漆。 5．2250平方厘米 【分析】根据题意可知，这个包装盒的底面边长是15厘米，包装盒的高是30厘米，根据长方体的表面积S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。 【解答】如图： （15×15＋15×30＋15×30）×2 ＝（225＋450＋450）×2 ＝（675＋450）×2 ＝1125×2 ＝2250（平方厘米） 答：包装这个花瓶至少需要用2250平方厘米的纸板。 6．93平方分米 【分析】求需要红纸的面积，就是求这个长方体的表面积减去小口的面积，根据长方体的表面积S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数据解答即可。 【解答】（5×4＋4×3＋5×3）×2－1 ＝（20＋12＋15）×2－1 ＝（32＋15）×2－1 ＝47×2－1 ＝94－1 ＝93（平方分米） 答：她至少需要93平方分米的红纸。 7．482.4元 【分析】根据题意，先利用长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算出教室的表面积，然后用教室的表面积减地板（即为教室的长×宽）和门窗的面积即为粉刷面积，然后用粉刷面积乘每平米的涂料费，即可得粉刷教室需要花费的费用，据此解答。 【解答】（8×6＋8×3＋6×3）×2－8×6－11.4 ＝（48＋24＋18）×2－48－11.4 ＝90×2－48－11.4 ＝120.6（平方米） 120.6×4＝482.4（元） 答：粉刷这个教室需要花费482.4元。 8．4厘米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，水的体积÷两个水箱底面积的和＝水的高度，据此列式解答。 【解答】20×20×12＝4800（立方厘米） 4800÷（40×20＋20×20） ＝4800÷（800＋400） ＝4800÷1200 ＝4（厘米） 答：这时水的高度是4厘米。 9．1.4立方分米 【分析】1升＝1立方分米，把4.6升化成立方分米；再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出浸入苹果后长方体体积，减去原来长方体容器内水的体积，即可求出苹果的体积。 【解答】4.6升＝4.6立方分米 水和苹果总体积： （立方分米） 苹果体积：（立方分米） 答：这个苹果的体积是1.4立方分米。 【点睛】本题考查长方体的体积、求不规则物体的体积，解答本题的关键是掌握求不规则物体体积的计算方法。 10．7.5分米 【分析】根据长方体的体积V＝abh，求出甲水箱装满水后水的体积，再次利用长方体的体积公式，用甲水箱里面水的体积除以乙水箱的底面积，即可求出乙水箱水面的高度。 【解答】12×8×5÷（8×8） ＝96×5÷64 ＝480÷64 ＝7.5（分米） 答：乙水箱的水面高7.5分米。 11．土豆的体积是360立方厘米；胡萝卜的体积是504立方厘米 【分析】根据题意可知，物体的体积＝上升部分水的体积，根据长方体的体积公式，可知上升部分水的体积＝长×宽×上升部分的高度，已知放入土豆后水面上升了（10.5－8）厘米，放入胡萝卜后水面上升了（14－10.5）厘米，据此代入数据解答即可。 【解答】土豆： 12×12×（10.5－8） ＝12×12×2.5 ＝360（立方厘米） 胡萝卜： 12×12×（14－10.5） ＝12×12×3.5 ＝504（立方厘米） 答：土豆的体积是360立方厘米，胡萝卜的体积是504立方厘米。 12．分米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用8×5×4即可求出水的体积，现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高，且水的总体积不变，根据长方体的体积＝底面积×高，可得水的体积＝（甲水池的底面积＋乙水池的底面积）×现在的高度，先根据底面积＝长×宽，分别求出两个水池的底面积，进而用除法求出现在的高度。 【解答】8×5×4＝160（立方分米） 8×5＝40（平方分米） 5×4＝20（平方分米） 160÷（40＋20） ＝160÷60 ＝（分米） 答：水面高分米。 【点睛】本题考查了长方体体积公式的灵活应用，明确水的体积不变是解答本题的关键。 13．0.4立方分米 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，即h＝V÷a÷b，据此求出原来水的高度，再结合不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此进行计算即可。 【解答】6升＝6000立方厘米 6000÷20÷20 ＝300÷20 ＝15（厘米） 20×20×（16－15） ＝400×1 ＝400（立方厘米） ＝0.4（立方分米） 答：这个土豆的体积是0.4立方分米。 14．3.2 分米 【分析】西瓜的体积就是下降水的体积。用西瓜的体积÷长方体玻璃水缸底面积＝水面下降的高度。用原来水位高度减去下降的高度，即可得取出西瓜后的水位高度。据此解答。 【解答】3.4－4.8÷（6×4） ＝3.4－4.8÷24 ＝3.4－0.2 ＝3.2（分米） 答：缸中的水位高应是3.2分米。 15．2856立方厘米 【分析】根据题意，在长方形铁皮的四个角上分别剪掉一个面积相同的正方形后，折成一个高6厘米的无盖铁盒，那么这个正方形的边长是6厘米；则长方形铁皮的长、宽分别减去2个6厘米，即是长方体铁盒的长与宽；根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，求出这个铁盒的容积。 【解答】长方体铁盒的长：46－6－6＝34（厘米） 长方体铁盒的宽：26－6－6＝14（厘米） 34×14×6 ＝476×6 ＝2856（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是2856立方厘米。 16．1400立方厘米 【分析】物体的体积＝容器的底面积×水面下降的高度，据此可求出露出水面9厘米部分的体积，进而可求出铁块的底面积，然后根据长方体的体积＝底面积×高，据此代入数值进行计算即可。 【解答】20×15×（8－5）÷9×（9＋5） ＝300×3÷9×14 ＝900÷9×14 ＝100×14 ＝1400（立方厘米） 答：这个长方体铁块的体积是1400立方厘米。 17．7.5厘米 【分析】先根据长方体的体积＝长×宽×高，计算出原来水的体积，再加上倒入的水的体积，得到总体积。然后用总体积除以容器的底面积，就可以得到新的水面高度。 【解答】300毫升＝300立方厘米 20×10×6＝1200（立方厘米） 1200＋300＝1500（立方厘米） 1500÷（20×10） ＝1500÷200 ＝7.5（厘米） 答：此时水面的高度是7.5厘米。 18．18厘米 【分析】占地面积最小即接触面面积最小，当宽20厘米，高10厘米是接触面时面积最小（即竖着放占地面积最小）；根据长方体体积计算公式：V＝abh，求出大米的体积，然后再根据V＝abh，和已求出的最小占地面积求出高即可。 【解答】30×20×6＝3600（立方厘米） 3600÷（20×10） ＝3600÷200 ＝18（厘米） 答：当占地面积最小时里面的大米深度应该是18厘米。 19．6.72立方分米 【分析】根据题意，把一块石头完全浸没在水中，水面上升到31.4厘米，则水面上升了（31.4－30）厘米，那么水上升部分的体积就是这块石头的体积；根据长方体的体积公式V＝abh，求出这块石头的体积。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 【解答】80×60×（31.4－30） ＝80×60×1.4 ＝4800×1.4 ＝6720（立方厘米） 6720立方厘米＝6.72立方分米 答：这块石头的体积是6.72立方分米。 20．没有 【分析】已知一个行李箱长55厘米、宽20厘米、体积88立方分米，先根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位，再根据长方体的高＝体积÷（长×宽），求出行李箱的高； 已知航空托运行李箱的尺寸规定：A＋B＋C小于或等于158厘米，按此规定，把行李箱的长、宽、高相加，和≤158厘米，所带的行李箱就没有超出规定；反之，和＞158厘米，就超出规定。 【解答】88立方分米＝88000立方厘米 88000÷（55×20） ＝88000÷1100 ＝80（厘米） 55＋20＋80＝155（厘米） 155＜158 答：老师所带的行李箱尺寸没有超出规定。 21．3.5分米 【分析】根据“长方体体积＝长×宽×高”分别求出两个部分水的体积，再相加求出水一共的体积。将隔板抽出后，水总共的体积不变。根据“长方体高＝体积÷长÷宽”，将水总共的体积除以水槽的长，再除以水槽的宽，求出水槽里水的高度。 【解答】5×4×5＋3×4×1 ＝100＋12 ＝112（立方分米） 112÷（5＋3）÷4 ＝112÷8÷4 ＝14÷4 ＝3.5（分米） 答：将隔板抽出后，水槽里的水有3.5分米高。 22．368平方厘米；640立方厘米 【分析】在长方形铁皮的四个角上剪去了边长为 4 厘米的正方形，所以盒子底面的长为原来长方形的长减去两个正方形的边长，底面的宽为原来长方形的宽减去两个正方形的边长，盒子的高等于正方形的边长，先分别计算盒子四周的面积、底面积再相加得到表面积，然后根据长方体的体积＝长×宽×高，求出盒子的容积，据此解答。 【解答】盒子的长是： 24－4×2 ＝24－8 ＝16（厘米） 盒子的宽是： 18－4×2 ＝18－8 ＝10（厘米） 高是4厘米，盒子的表面积是： 24×18－4×4×4 ＝432－64 ＝368（平方厘米） 盒子的体积是： 16×10×4＝640（立方厘米） 答：这个盒子的表面积是368平方厘米，容积是640立方厘米。 23．（1）369平方厘米 （2）9厘米 【分析】（1）看图可知，图1中水与容器的接触面积＝长方体容器的长×宽＋长×水深×2＋宽×水深×2，据此列式解答。 （2）根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，水的体积÷容器右侧面的面积＝水的高度，容器右侧面的面积＝宽×高，据此列式解答。 【解答】（1）15×7＋15×6×2＋7×6×2 ＝105＋180＋84 ＝369（平方厘米） 答：图1中水与容器的接触面积是369平方厘米。 （2）15×7×6÷（7×10） ＝630÷70 ＝9（厘米） 答：这时水面的高度是9厘米。 24．（1）180平方分米 （2）4.32立方分米 【分析】（1）由题意可知，正方体鱼缸上面没有盖，计算5个正方形的面积即可； （2）假山石的体积等于上升部分水的体积，假山石的体积＝正方体的底面积×上升部分水的高度；据此解答。 【解答】（1）6×6×5 ＝36×5 ＝180（平方分米） 答：一共需要180平方分米的玻璃。 （2）6÷2＝3（分米） 3.12－3＝0.12（分米） 6×6×0.12 ＝36×0.12 ＝4.32（立方分米） 答：假山石的体积是4.32立方分米。 25．（1）63元 （2）216升 （3）18立方分米 （4）7分米 【分析】（1）先求出这个正方体玻璃箱5个面的面积之和，再用5个面的总面积乘0.35，所得结果即为制作这个正方体玻璃箱需要的费用。 （2）根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值计算，所得结果即为这个正方体玻璃箱的容积。 （3）水面高度由原来的3分米变成了3.5分米，水面上升了（3.5－3＝0.5）分米，上升这部分水的体积等于这个铁块的体积；用这个正方体玻璃箱的底面积乘0.5，所得结果即为这个铁块的体积。 （4）根据正方体的棱长总和＝棱长×12，计算出一根钢材的总长度；再根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用钢材的总长度÷4，再分别减去长和宽，所得结果即为这个长方体框架的高。 【解答】（1）6×6×5×0.35 ＝36×5×0.35 ＝180×0.35 ＝63（元） 答：制作这个正方体玻璃箱需要63元。 （2）6×6×6＝216（立方分米） 216立方分米＝216升 答：这个正方体玻璃箱的容积是216升。 （3）6×6×（3.5－3） ＝36×0.5 ＝18（立方分米） 答：这个铁块的体积是18立方分米。 （4）钢材的总长度：6×12＝72（分米） 72÷4－（8＋3） ＝18－11 ＝7（分米） 答：这个长方体框架的高是7分米。 学科网（北京）股份有限公司 $