第六单元长方体和正方体解决问题专项训练一-2025-2026学年五年级数学下册高频易错题思维综合练（苏教版）

**基本信息** 聚焦长方体和正方体棱长、表面积、体积的实际应用，通过分类题型提炼解题方法，构建“概念-方法-应用”逻辑链条，培养空间观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |棱长应用|1-7题|根据捆扎方式确定棱长组合（如2长+4宽+6高），结合接头长度计算|从正方体棱长总和迁移到长方体，建立棱长与物体框架的联系| |表面积计算|8-18题|区分无盖/通风管（少面）、切割/挖去（增面），结合生活场景（粉刷、包装）|从基本公式到变式计算，培养几何直观与运算能力| |体积计算|19-25题|排水法求不规则体积、最优包装（表面积最小）、沙坑铺沙（体积=长×宽×高）|体积公式应用于实际问题，发展模型意识与推理能力|

第六单元长方体和正方体解决问题专项训练一 一、解答题 1．“百善孝为先”，孝敬父母长辈是中华民族的传统美德。妈妈生日当天，辰辰送给妈妈一件礼物，用彩带打包条捆扎礼品盒（接头处用去20厘米打包条），捆扎这个礼品盒至少需要多长的彩带打包条？ 2．小明有一个长16厘米、宽14厘米、高8厘米的包装盒，现在要按如图方式给这个包装盒系上彩带，接头处彩带长度不计，至少需要多少厘米的彩带？ 3．李师傅用一根铁丝正好做了一个棱长是8厘米的正方体框架，后来他又用同样长的铁丝做了一个长方体框架，它的长是10厘米，宽是8厘米，接头处忽略不计，长方体框架的高是多少厘米？ 4．每年五月初五，是我国重要的一个传统节日——端午节。这一天，家家户户都要吃粽子，妈妈包了一些粽子放在长方体礼盒中，给奶奶送去，需要用丝带捆扎（如图）。如果打结处要用掉28厘米绳子，1.8米长的绳子够捆扎这个礼盒吗？ 5．为烘托气氛，海星超市开业前给超市营业大厅四周装上彩灯（地面四边不装）。已知超市营业大厅长55米，宽16米，高5米，这样布置需要多长的彩灯线？ 6．如图，有一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，竖着捆一道，打结处共用2分米。一共要用绳子多长？ 7．把一个长30厘米、宽20厘米、高15厘米的礼品盒用彩带捆扎起来（如下图所示），打结部分共用了12厘米，这根彩带至少长多少厘米？ 8．在人工智能材料研发实验中，研究人员用新型复合材料制作了一个长方体模型，该模型正好可以锯成三个大小相同的小正方体模型。切割后，它们的表面积之和比原来长方体的表面积增加了36平方厘米。原来这个长方体模型的表面积是多少平方厘米？ 9．小亮家的卧室长5米，宽3.6米，高2.7米，门窗面积共10平方米。他们准备在卧室的四壁贴上壁纸，选中的壁纸每平方米的价格是30元。买壁纸至少要用多少元？ 10．小东用无纺布做一个长方体的（无盖）收纳箱，长60厘米、宽40厘米、高50厘米（如图）。至少需要无纺布多少平方厘米？合计多少平方分米？ 11．学校准备重新粉刷体育馆，该体育馆是一个长方体，长20米，宽15米，高8米。现要粉刷体育馆内部，其中地面不需要粉刷，通风口和出入口的面积共50平方米。已知每桶油漆可粉刷100平方米，每桶油漆售价200元，且不足一桶按一桶购买。那么粉刷这个体育馆最少需要花费多少钱买油漆？ 12．一根通风管（如图）长3米，它的截面是边长为50厘米的正方形。如果用铁皮做50根这样的通风管，那么一共需要多少平方米的铁皮？ 13．学校要捐赠一批教学物资给希望小学，其中有24盒粉笔，每盒都是棱长1分米的正方体。现在需要把这24盒粉笔包装起来，请你设计并计算出包装箱表面积最少的情况，同时将包装盒草图画在下面的方框中。（草图标注相关数据） 包装盒表面积计算过程。 14．如图，一个长方体的高如果减少3分米，就变成一个正方体，表面积减少60平方分米，原来长方体的表面积是多少平方分米？ 15．五（1）班的科学小组准备制作一个昆虫箱（如图），昆虫箱的上、下、左、右四个面是木板，前、后两个面安装纱网。制作一个昆虫箱至少需要木板多少平方厘米？（接缝处等多余部分忽略不计） 16．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式。下图是一个棱长为3分米的正方体木块，李叔叔准备分别在它的前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长为1分米的小正方体，做成一个连接构件。这个连接构件的表面积是多少平方分米？ 17．“二月二日，祀土地神，吃撑腰糕。”崇明有吃撑腰糕的习俗，下图是崇明的李师傅现场做的一块正方体的撑腰糕，将其竖切1刀分成2个相同的长方体，再横切2刀分成6个相同的小长方体。切开后6个小长方体的表面积总和是多少？ 18．一个放置在地面上的站台长是2米，宽是1.5米，高是16厘米。如果给这个站台的外层都涂抹水泥，那么涂抹水泥部分的面积是多少平方米？如果涂抹每平方米面积需用水泥5千克，那么涂抹这样一个站台一共要用多少千克水泥？ 19．在下图的玻璃鱼缸中放入一块高为3分米，体积为7.5立方分米的假山石，如果水管以每分钟2.5立方分米的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能把假山石完全淹没？ 20．学校运动会要搭建一个新的跳远场地。运来3.6立方米沙子，沙坑长6米，宽16分米。施工人员发现按照之前沙坑的使用情况，沙子铺25厘米厚时，最适合日常使用和维护。请分析这些沙子现有的量能不能达到要求的厚度？若能达到，铺完后还剩余多少沙子；若不能达到，还差多少立方米沙子？ 21．如图，一块长32厘米的长方形铁皮，如果在它的四个角各剪去一个边长是4厘米的正方形后，正好可以焊成一个容积是768毫升的无盖长方体铁皮水箱。原来这块铁皮的宽是多少？ 22．贝贝为了比较土豆和红薯的体积做了如下实验。（玻璃的厚度不计，单位：厘米） 谁的体积大？大了多少立方厘米？ 23．用下面五块玻璃制作一个无盖鱼缸。 （1）将这个鱼缸放在桌面上，占用桌面的面积是多少平方分米？ （2）这个鱼缸最多可装水多少升？（缸壁厚度忽略不计） 24．一个长方体玻璃鱼缸（无盖），长8分米，宽0.4米，高6分米。 （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）鱼缸里放入鹅卵石和水草（完全浸没在水中），测得水面上升了2厘米。放入物体的体积一共是多少立方分米？ 25．阅读下面文章，根据信息解决问题。 国家游泳中心“水立方”看似是简单的“方盒子”，其实是中国传统文化和现代科技共同“搭建”而成的。在中国传统文化中，“天圆地方”的设计思想催生了“水立方”，它与圆形的“鸟巢”——国家体育场相互呼应，相得益彰。馆内设施主要包括奥林匹克比赛大厅、热身池，多功能大厅以及大型嬉水乐园。其中奥林匹克比赛大厅是水立方的核心区域，整个大厅长116米、宽70米、高30米、面积8120平方米，内有两个游泳池，游泳池的长25米，宽50米，深4米，水深约3.5米；还有一个跳水池，跳水池的长25米，宽30米，深6米。坐席区拥有5000余个标准坐席，座椅水天一色，如同一池碧水飞溅出的层层浪花。大厅内空气质量优良，自然光线、声音效果、建筑构造和色彩等方面优美结合，共同营造出舒适、愉悦、令人兴奋的综合室内环境。 （1）水立方的核心区域奥林匹克比赛大厅的体积是多少？ （2）跳水池内约有3750立方米的水，此时，跳水池水深约为多少米？ （3）据了解，奥林匹克比赛大厅的游泳池底部与四周是用每块的瓷砖铺成，铺满一个游泳池需要多少块这样的瓷砖？ （4）小明购买了4个长12cm、宽8cm、高5cm的水立方相关纪念品，如果要用彩纸将它们包装在一起，请你帮小明设计一下，怎样包装最节省包装纸，并说明理由。 参考答案 1．324厘米 【分析】根据礼盒的捆扎方式，分别数出彩带经过的长有2条、宽有4条、高有6条，计算它们的长度和，再加上接头处的长度，即可得出彩带总长。 【详解】38×2＋27×4＋20×6＋20 ＝76＋108＋120＋20 ＝184＋120＋20 ＝304＋20 ＝324（厘米） 答：捆扎这个礼品盒至少需要324厘米长的彩带打包条。 2．92厘米 【分析】按图中方式系彩带，彩带的长度等于2条长、2条宽和4条高的长度之和，分别计算各部分长度再相加即可。 【详解】2×16＝32（厘米） 2×14＝28（厘米） 4×8＝32（厘米） 32＋28＋32＝92（厘米） 答：至少需要92厘米的彩带。 3．6厘米 【分析】铁丝长度相当于正方体和长方体棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式解答即可。 【详解】8×12＝96（厘米） 96÷4－10－8 ＝24－10－8 ＝6（厘米） 答：长方体框架的高是6厘米。 4．不够 【分析】需要捆扎的绳子长度是2条长，2条宽，4条高以及打结的长度和，先计算出需要绳子的长度，再和1.8米进行比较，即可解答，注意单位换算。 【详解】25×2＋25×2＋15×4＋28 ＝50＋50＋60＋28 ＝100＋60＋28 ＝160＋28 ＝188（厘米） 188厘米＝1.88米 1.88＞1.8，所以1.8米长的绳子不够捆扎这个礼盒。 答：1.8米长的绳子不够捆扎这个礼盒。 5．162米 【分析】由题意可知，彩灯线需安装在超市营业大厅的顶部四边和四个垂直的棱上（地面四边不装）。因此，彩灯线的总长度为顶部两条长、两条宽以及四条高的总和，即：长×2＋宽×2＋高×4。已知长55米，宽16米，高5米，把数据代入计算即可解答。 【详解】55×2＋16×2＋5×4 ＝110＋32＋20 ＝162（米） 答：这样布置需要162米的彩灯线。 6．42分米 【分析】观察可知，横着捆就是2条宽与2条高的和，有两道则乘2，竖着捆就是2条长与2条高的和，最后把横着捆、竖着捆与打结长度加起来即可得解。 【详解】 （分米） 答：一共要用绳子42分米长。 7．252厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个礼品盒至少需要彩带的长度＝2条长＋6条宽＋4条高＋打结用的长度，据此解答。 【详解】30×2＋20×6＋15×4＋12 ＝60＋120＋60＋12 ＝252（厘米） 答：这根彩带至少长252厘米。 8．126平方厘米 【分析】把长方体切割成3个小正方体，需要切2次，每次会增加小正方体的2个面，一共会增加小正方体4个面的面积之和。长方体的表面积相当于小正方体（3×6－4）个面的面积之和。用增加的面积除以4，算出小正方体一个面的面积；再乘面数即可。 【详解】2×2＝4（个） 36÷4×（3×6－4） ＝36÷4×（18－4） ＝36÷4×14 ＝126（平方厘米） 答：原来这个长方体模型的表面积是126平方厘米。 9．1093.2元 【分析】先求出四壁的面积，即长方体的侧面积，再减去门窗的面积，根据长方体侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出实际贴壁纸的面积，再根据总价＝单价×数量，据此解答。 【详解】[（5×2.7＋3.6×2.7）×2－10]×30 ＝[（13.5＋9.72）×2－10]×30 ＝[23.22×2－10]×30 ＝[46.44－10]×30 ＝36.44×30 ＝1093.2（元） 答：买壁纸至少要用1093.2元。 10．12400平方厘米；124平方分米 【分析】收纳箱无盖，只需计算5个面的面积之和，再将平方厘米换算为平方分米即可。 【详解】60×40＋60×50×2＋40×50×2 ＝2400＋6000＋4000 ＝12400（平方厘米） 12400平方厘米＝12400÷100＝124平方分米 答：至少需要无纺布12400平方厘米，合124平方分米。 11． 1800元 【分析】首先需要明确粉刷的范围是长方体内部的5个面（除去地面），计算出这5个面的总面积后，减去通风口和出入口的面积，得到实际需要粉刷的面积。然后根据每桶油漆的覆盖面积计算所需桶数，注意剩余面积不足一桶也需要购买一桶，应采用“进一法”取整数。最后根据单价和数量计算总费用。 【详解】计算需要粉刷的总面积（5个面）： （平方米） 计算实际粉刷面积（扣除通风口和出入口）： （平方米） 计算所需油漆桶数（使用进一法）： （桶） 因为不足一桶按一桶购买，所以需要9桶。 计算总费用： （元） 答：粉刷这个体育馆最少需要花费1800元买油漆。 12．300平方米 【分析】分析题目，先根据1米＝100厘米把50厘米换算成米，1个通风管需要的铁皮的面积等于长方体的前后、左右4个面的面积之和，长方体的前后、左右4个面的面积＝长×高×2＋长×宽×2，据此列式求出1个通风管需要的铁皮的面积，再乘通风管的数量即可。 【详解】50厘米＝0.5米 3×0.5×2＋3×0.5×2 ＝1.5×2＋1.5×2 ＝3＋3 ＝6（平方米） 6×50＝300（平方米） 答：一共需要300平方米的铁皮。 13．图见详解；52平方分米 【分析】要使包装箱的面积最少，也就是把24盒粉笔包装成接近正方体，首先把24分解质因数，然后确定长、宽、高，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。 【详解】 如图： 24＝2×2×2×3 所以这个长方体的长是2×2＝4（分米），宽是3分米，高是2分米； （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方分米） 答：包装箱表面积最少是52平方分米。 14．210平方分米 【分析】正方体的表面积比长方体的表面积减少了4个长为正方体的棱长，宽为3分米的长方形的面积，据此可以求出正方体的棱长，长方体的长和宽的长度与正方体的棱长相等，长方体的高等于正方体的棱长加3分米，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入计算即可解答。 【详解】60÷4÷3 ＝15÷3 ＝5（分米） 5＋3＝8（分米） （5×5＋5×8＋5×8）×2 ＝（25＋40＋40）×2 ＝105×2 ＝210（平方分米） 答：原来长方体的表面积是210平方分米。 15．5400平方厘米 【分析】明确昆虫箱为长方体，需计算上、下、左、右四个面的总面积。根据长方形面积公式，先确定每个面对应的长和宽，利用长方体相对的面面积相等的特点，分别计算两组相对面的面积，再求和得到木板总面积。 【详解】50×30×2 ＝1500×2 ＝3000（平方厘米） 30×40×2 ＝1200×2 ＝2400（平方厘米） 3000＋2400＝5400（平方厘米） 答：制作一个昆虫箱至少需要木板5400平方厘米。 16．78平方分米 【分析】正方体木块的棱长是3分米，挖去小正方体的棱长是1分米，1＋1＝2（分米），因为2分米＜3分米，所以正方体木块没有挖穿，每挖去一个小正方体就增加小正方体四个侧面的面积，正方体一共有6个面，一共增加（4×6）个小正方形的面积，先根据“”求出正方体木块的表面积，再加上（4×6）个小正方形的面积。 【详解】1×1×4×6＝24（平方分米） 3×3×6＋24 ＝54＋24 ＝78（平方分米） 答：这个连接构件的表面积是78平方分米。 17．432平方厘米 【分析】由题意可知，将大正方体竖切1刀分成2个相同的长方体，此时大正方体的表面积增加了2个切面的面积；如果大正方体再横切2刀，此时的表面积又增加了4个切面的面积，由此可知，切开后6个小长方体的表面积总和比原来大正方体的表面积增加了6个切面的面积，先根据“”求出大正方体的表面积，再加上6个切面的面积。 【详解】（1＋2）×2 ＝3×2 ＝6（个） 6×6×6＋6×6×6 ＝216＋216 ＝432（平方厘米） 答：切开后6个小长方体的表面积总和是432平方厘米。 18．4.12平方米；20.6千克 【分析】先进行单位换算，统一单位；再确定计算面的数量，因为站台“放置在地面上”，所以底面不需要涂抹水泥，只需计算 1个上面和4个侧面的面积之和。最后根据每平方米用水泥的质量，乘涂抹面积求出总质量。 【详解】16厘米＝0.16米 涂抹水泥的面积： 2×1.5＋（2×0.16＋1.5×0.16）×2 ＝3＋（0.32＋0.24）×2 ＝3＋0.56×2 ＝3＋1.12 ＝4.12（平方米） 需要水泥的质量： 4.12×5＝20.6（千克） 答：涂抹水泥部分的面积是4.12平方米，一共要用20.6千克水泥。 19．45分钟 【分析】要把假山石完全淹没，水面高度至少要达到假山石的高度，此时鱼缸内的总体积等于“水的体积＋假山石的体积”。先算出水面高度为3分米时，鱼缸内的总体积；再减去假山石的体积，得到需要注入的水的体积；用水的体积÷注水流量，算出所需时间。长方体的体积＝长×宽×高。 【详解】8×5×3＝120（立方分米） 水的体积：120－7.5＝112.5（立方分米） 所需时间：112.5÷2.5＝45（分钟） 答：至少需要45分钟才能把假山石完全淹没。 20．能；剩立方米 【分析】先把16分米和25厘米换算成米，再根据长方体体积公式算出铺25厘米厚所需的沙子体积，和运来的3.6立方米比较，判断够不够，再算差值。 【详解】16分米＝16÷10＝1.6米 25厘米＝25÷100＝0.25米 6×1.6×0.25 ＝9.6×0.25 ＝2.4（立方米） 3.6＞2.4 3.6－2.4＝1.2（立方米） 答：这些沙子的厚度能达到要求，铺完后还剩余1.2立方米沙子。 21．16厘米 【分析】1立方厘米＝1毫升，看图可知，长方体的长＝长方形的长－正方形的边长×2，长方体的高＝正方形的边长，长方体的宽＝体积÷长÷高，长方形的宽＝长方体的宽＋正方形的边长×2。 【详解】768毫升＝768立方厘米 32－4×2 ＝32－8 ＝24（厘米） 768÷24÷4＝8（厘米） 8＋4×2 ＝8＋8 ＝16（厘米） 答：原来这块铁皮的宽是16厘米。 22．红薯；96立方厘米 【分析】土豆放入后水从8厘米升到9.5厘米，所以土豆体积对应高度为（9.5－8）的长方体体积；红薯放入后水从9.5厘米升到12厘米，所以红薯体积对应高度为（12－9.5）的长方体体积。长方体体积＝长×宽×高（底面积×高），分别算出土豆、红薯的体积，比较大小并求差值即可。 【详解】12×8＝96（平方厘米） 96×（9.5－8） ＝96×1.5 ＝144（立方厘米） 96×（12－9.5） ＝96×2.5 ＝240（立方厘米） 144＜240 240－144＝96（立方厘米） 答：红薯的体积大，大了96立方厘米。 23．（1）18平方分米 （2）72升 【分析】鱼缸是无盖长方体，所以只有1个底面和4个侧面。在无盖鱼缸中，底面玻璃是唯一的（其他玻璃都是成对出现的侧面）。观察题目中的五块玻璃，只有6分米×3分米的玻璃是单独的，所以它就是底面。侧面玻璃的一条边必须与底面的边重合，因此可以确定鱼缸的长、宽、高。根据底面积公式：底面积＝长×宽，求出占用桌面的面积，再根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，求出鱼缸的容积，根据“1立方分米＝1升”，将立方分米换算成升。 【详解】（1）底面玻璃是6分米×3分米，所以鱼缸的长为6分米，宽为3分米，侧面玻璃的尺寸有6×4和4×3，所以鱼缸的高为4分米。 6×3＝18（平方分米） 答：占用桌面的面积是18平方分米。 （2）6×3×4 ＝18×4 ＝72（立方分米） 72立方分米＝72升 答：这个鱼缸最多可装水72升。 24．（1）176平方分米 （2）6.4立方分米 【分析】计算前需根据1米＝10分米，1分米＝10厘米将单位统一后计算。 （1）鱼缸无盖，说明只需要计算5个面的面积，即1个底面的面积加上前后左右4个侧面的面积。 （2）根据不规则物体体积的计算方法（排水法），放入物体的体积等于水面上升部分的水的体积，即鱼缸的底面积乘水面上升的高度。 【详解】（1）0.4米＝4分米 8×4＋（8×6＋4×6）×2 ＝32＋（48＋24）×2 ＝32＋72×2 ＝32＋144 ＝176（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要176平方分米的玻璃。 （2）2厘米＝0.2分米 8×4×0.2 ＝32×0.2 ＝6.4（立方分米） 答：放入物体的体积一共是6.4立方分米。 25．（1）243600立方米 （2）5米 （3）3700块 （4）将最大的面重叠在一起包装最节省包装纸，此时的表面积是992cm²。 【分析】（1）长方体体积 ＝ 底面积×高； （2）跳水池的水深 ＝ 水的体积÷跳水池的底面积； （3）游泳池可以看作一个长方体，长 25 米，宽 50 米，深 4 米。先求游泳池 5 个面（下面、前面、后面、左面和右面）的面积之和（缺少上面），再除以每块瓷砖的面积，即可得到瓷砖块数。 （4）将多个长方体包装在一起，重叠的面积越大，就越节省包装纸，因此应将最大的面重叠在一起。 【详解】（1）8120×30＝243600（立方米） 答：水立方的核心区域奥林匹克比赛大厅的体积是243600立方米。 （2）底面积：25×30＝750（平方米） 水深：3750÷750＝5（米） 答：此时，跳水池水深约为5米。 （3）25×50＋（25×4＋50×4）×2 ＝25×50＋（100＋200）×2 ＝25×50＋300×2 ＝1250＋600 ＝1850（平方米） 需要瓷砖块数：1850÷0.5＝3700（块） 答：铺满一个游泳池需要3700块这样的瓷砖。 （4）纪念品为长方体，长12cm，宽8cm，高5cm。 三个面的面积分别为：12×8＝96（cm²） 12×5＝60（cm²） 8×5＝40（cm²） 因为96＞60＞40，所以最大的面是长12cm、宽8cm的面。 为了最节省包装纸，应将4个纪念品最大的面重叠在一起，新长方体的长为12cm，宽为8cm，高为5×4＝20cm。 新长方体的表面积：（12×8＋12×20＋8×20）×2 ＝（96＋240＋160） ＝496×2 ＝992（cm²） 答：将4个纪念品最大的面重叠在一起包装最节省包装纸，此时表面积为992cm²。 学科网（北京）股份有限公司 $