第六单元易错易混专项04 长方体和正方体解决问题二-2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测（苏教版）

**基本信息** 聚焦长方体和正方体解决问题，以26道典型题构建“公式应用-变式迁移-实际建模”三阶方法体系，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |体积计算与比较|8题（如1/5/7题）|排水法求不规则体积、剩余空间比较法|从体积公式（长×宽×高）拓展到物体体积=上升水体积，建立“三维空间-数量关系”对应| |表面积实际应用|6题（如2/8/12题）|无盖/侧面积计算模型、单位换算技巧|基于表面积公式，区分完整/部分表面积（如5面、4面），联系生活场景（粉刷、包装）| |等积变形问题|5题（如3/10/24题）|方程法解等高问题、体积守恒原理|通过“体积不变”纽带，实现不同底面积下高的转化，培养几何直观| |折叠与切割问题|7题（如13/14/19题）|展开图还原长宽高、切割后表面积增减分析|从平面图形到立体图形的转化，理解切割/粘贴对表面积的影响，发展空间观念|

开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测》。本书专为苏教版五年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴,助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测 第六单元易错易混专项04 长方体和正方体解决问题二 一、解答题 1．如图是一个长方体容器，里面水深1分米，如果往里面放入一个体积为640立方厘米的珊瑚石，珊瑚石完全浸没水里，这个容器里的水会不会溢出来？请说明理由。 2．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，从正面、上面看到的形状如下图，做这个长方体鱼缸至少用玻璃多少平方厘米？它的容积是多少？（玻璃厚度忽略不计） 3．如图，甲容器是空的，乙容器中的水深30厘米，现在将乙容器中的水倒一部分至甲容器中，要使两个容器中水的高度相等，这时水深多少厘米？（容器壁的厚度忽略不计） 4．宣纸是中国传统的古典书画用纸，有易于保存，经久不脆，不会褪色等特点，故有“纸寿千年”之誉。陈师傅将一张宣纸裁成了如图1所示的形状，准备用来包装如图2所示的长方体灯罩，至少需要多少宣纸？ 5．一个长方体无盖的玻璃鱼缸（如图）。从鱼缸里面量得长60厘米，宽45厘米，高40厘米。把水草和小鱼放入鱼缸后现在的水面高度是35厘米，如果再放入体积10立方分米的石块，水会溢出来吗？请说明理由。 6．小明用长方形纸板制作一个长方体，他先把一张长32厘米，宽14厘米的纸板沿虚线处折，做出了长方体相邻的3个面（如下图），然后再用纸板做出其它3个面，围成长方体。小明做的这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 7．下面是贝贝比较土豆和红薯的体积时做的实验。（单位：厘米） 分别计算土豆和红薯的体积。 8．礼堂门口有两根长5分米、宽4分米、高3.5米的长方体柱子，现在要给这两根柱子粉刷涂料，需要粉刷涂料的面积是多少？如果每平方米需要0.4千克涂料，那么至少需要购买多少千克的涂料？ 9．为了保护书籍，王老师打算用硬纸板为某套图书做一个封套（如下图），至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度及接缝处忽略不计。） 10．在一个封闭的水箱内装入水，从里面量，水箱的长、宽、高如下左图所示。水深24厘米，如果把这个水箱立起来放（如下右图），这时水深有多少厘米？ 11．在一个长80厘米、宽50厘米、高40厘米的长方体水箱中有30厘米深的水。如果在水中沉入一个棱长为20厘米的正方体铁块，这时水箱中水深多少厘米？ 12．一个房间，长6米，宽4米，高3米。现在要用乳胶漆粉刷房间的顶部和四壁，除去门窗的面积18平方米。如果每平方米的乳胶漆是15元，粉刷完这间房需要花乳胶漆费多少钱？ 13．如图，一块长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后做成盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少升？ 14．如图，在一个棱长为5分米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为2分米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为1分米的正方体小洞。求挖洞后的几何体的表面积是多少平方分米？ 15．将一个长方体的高减少5厘米，就变成了正方体，正方体的表面积比原长方体的表面积减少了60平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米？ 16．浩浩用一根铁丝做了一个棱长是6厘米的正方体框架，如果用这根铁丝做成长8厘米、宽5厘米的长方体框架，那么这个长方体的高是多少？体积是多少？ 17．一间多媒体教室长10米，宽6米，高2.8米。现在要把房间的四周贴上墙纸，除去门窗8平方米，如果每平方米墙纸需要25元，一共需要多少钱？ 18．小聪家的木质鞋柜后面靠墙放置（如图），现要给这个鞋柜表面刷漆（靠墙的一面和贴地面的一面不用刷），若每平方米刷漆的成本是25元，则刷完这个鞋柜一共需要多少元？ 19．将四个大小相同的正方体粘成一个长方体（如图），表面积减少150平方厘米，求长方体的表面积和体积。 20．有一个无水的观赏鱼缸（如图），里面放有一块高为38厘米的假山石。如果水龙头以每分钟12升的流量向鱼缸内注水，3.45分钟后恰好将假山石完全淹没，那么假山石的体积是多少？ 21．一个长方体鱼缸长7.2分米、宽5分米，鱼缸里的水深3分米，把淹没在里面的一块假山石捞出来后，鱼缸里的水面下降了3厘米，这块假山石的体积是多少？ 22．在一块长方形铁皮的两个角上各剪掉一个边长为10厘米的小正方形，并把剪下的两个小正方形焊接到长方形的另一边的中间（如图），然后制成一个无盖的长方体盒子。这个盒子的体积是多少立方分米？（软皮的损耗不计） 23．一块长方形铁皮（如图），从四个角各剪去边长5厘米的正方形，然后焊接成一个无盖盒子。这个盒子的容积是多少升？（原铁皮长30厘米，宽20厘米） 24．有一个密闭的长方体容器（如图），容器中有一些水，深度为24厘米。现在将这个容器右侧面着地。 （1）此时水面高度是多少厘米？ （2）此时水面和这个容器接触的面积是多少平方厘米？ 25．雨哗啦啦不停地均匀地下着，在雨地里同时放甲、乙两个长方体容器，雨水5分钟正好将甲长方体容器灌满，如图（单位：厘米）。问： （1）如果用铁皮做1个甲长方体容器，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （2）雨水将乙长方体容器灌满需要多少分钟？ 26．如图，小明用塑料板制做了一个无盖的长方体容器。 （1）制作这个长方体容器至少需要多少平方厘米的材料？ （2）小明在容器内注入一些水，并将一块矿石完全没入水中，水的高度变化如下图所示。矿石的体积是多少立方厘米？ 参考答案 1．不会；理由见详解 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，分别求出长方体容器和水的体积，再用水的体积，加上珊瑚石的体积，再与长方体容器的容积比较，即可解答。 【解答】2×0.8×1.5 ＝1.6×1.5 ＝2.4（立方分米） 2×0.8×1 ＝1.6×1 ＝1.6（立方分米） 640立方厘米＝0.64立方分米 0.64＋1.6＝2.24（立方分米） 2.24＜2.4 答：这个容器里的水不会溢出来，因为长方体容器里水的与珊瑚石的体积和小于长方体容器的体积。 2．2800平方厘米；12000毫升 【分析】看图可知，这个鱼缸的长40厘米、宽15厘米，高20厘米，鱼缸有前、后、左、右、下面5个面，需要的玻璃面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，根据长方体体积＝长×宽×高，求出容积。 【解答】 （平方厘米） （立方厘米） （毫升） 答：做这个长方体鱼缸至少用玻璃2800平方厘米，它的容积是12000毫升。 3．7.5厘米 【分析】根据题干分析可得。可设两个容器的水深相同为x厘米，根据长方体的体积V＝abh可知，甲容器中的水的体积是（60×30×x）立方厘米；乙容器中的水的体积是（30×20×x）立方厘米，根据两个容器内水的体积之和等于乙容器中高为30厘米时的水的体积，即可列出方程，求出x的值即可解答问题。 【解答】解：设两个容器的水深相同为x厘米，根据题意可得方程： 60×30×x＋30×20×x＝30×20×30 1800x＋600x＝600×30 2400x＝18000 2400x÷2400＝18000÷2400 x＝7.5 答：这时水深7.5厘米。 4．2112平方厘米 【分析】从图1可知，宣纸只包装长方体灯罩的四个面，即前后面和左右面；根据“长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算，即可求出包装长方体灯罩至少需要宣纸的面积。 【解答】36×22×2＋12×22×2 ＝1584＋528 ＝2112（平方厘米） 答：至少需要2112平方厘米宣纸。 5．不会；理由见详解 【分析】根据题意，长方体无盖的玻璃鱼缸高40厘米，放入水草和小鱼后水面高度是35厘米，则无水部分的高是（40－35）厘米，根据长方体的体积公式V＝abh，求出鱼缸无水部分的体积，再根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位，最后与石块的体积进行比较，如果大于或等于石块的体积，水不会溢出；反之，水会溢出。 【解答】60×45×（40－35） ＝60×45×5 ＝13500（立方厘米） 13500立方厘米＝13.5立方分米 10＜13.5 答：水不会溢出来。理由是鱼缸内无水部分的体积大于石块的体积，所以水不会溢出。 6．968平方厘米 【分析】根据图可知，做成的长方体的长是20厘米。将纸板的长减去20厘米，再将差除以2，求出长方体的高。长方体的宽和纸板的宽相等。根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”列式求出这个长方体的表面积。 【解答】（32－20）÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） （20×14＋20×6＋14×6）×2 ＝（280＋120＋84）×2 ＝484×2 ＝968（平方厘米） 答：小明做的这个长方体的表面积是968平方厘米。 7．土豆的体积是144立方厘米，红薯的体积是240立方厘米。 【分析】放入物体后，上升的水的体积就是物体的体积，根据，放入土豆后，水面上升了厘米，上升的水的体积就是土豆的体积；放入红薯水面上升了厘米，上升的水的体积就是红薯的体积。代入数据计算即可得解。 【解答】土豆的体积： （立方厘米） 红薯的体积： （立方厘米） 答：土豆的体积是144立方厘米，红薯的体积是240立方厘米。 8．12.6平方米；5.04千克 【分析】根据1米＝10分米，把长度换算成米，通过观察可知，求粉刷涂料的面积就是求两个长方体的侧面积，根据长方体的侧面积＝底面周长×高，底面周长＝（长＋宽）×2，代入数据即可求出一个长方体的侧面积，再乘2即可求出需要粉刷涂料的面积；最后乘0.4千克即可求出涂料的总千克数。 【解答】5分米＝0.5米 4分米＝0.4米 （0.5＋0.4）×2 ＝0.9×2 ＝1.8（米） 1.8×3.5＝6.3（平方米） 6.3×2＝12.6（平方米） 12.6×0.4＝5.04（千克） 答：需要粉刷涂料的面积是12.6平方米，至少需要购买5.04千克的涂料。 9．850平方厘米 【分析】根据题意，王老师制作这套图书的封套包裹了书的上下面、左右面和后面共5个面，根据“长×宽×2＋宽×高×2＋长×高”求出这5个面的面积之和，即是至少需要硬纸板的面积。 【解答】5×15×2＋15×20×2＋5×20 ＝150＋600＋100 ＝850（平方厘米） 答：至少需要850平方厘米的硬纸板。 10．72厘米 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出左图形里水深24厘米的水的体积，由于体积不变，再用水的体积÷（右图的长×宽），即可求出这时水深，据此解答。 【解答】90×60×24÷（60×30） ＝90×60×24÷1800 ＝5400×24÷1800 ＝129600÷1800 ＝72（厘米） 答：这时水深72厘米。 11．32厘米 【分析】将水中沉入一个棱长为20厘米的正方体铁块，则水面上升的体积就是正方体的体积，根据，得出水上升的体积，长方体的体积＝底面积×高，长方体的底面积＝长×宽，那么用水上升的体积除以长方体的底面积，就是水面上升的高度，最后再加上原来水箱中水的高度就是现在水的深度。 【解答】20×20×20＝8000（立方厘米） 8000÷（80×50） ＝8000÷4000 ＝2（厘米） 30＋2＝32（厘米） 答：这时水箱中水深32厘米。 12．990元 【分析】由题意可知，要用乳胶漆粉刷房间的顶部和四壁，那么粉刷房间的面积＝长方体上底的面积＋侧面积－门窗的面积，根据长方体上底的面积＝长×宽，侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出粉刷房间的面积。 根据单价×数量＝总价，用每平方米的乳胶漆价格乘粉刷房间的面积，求出粉刷完这间房需要花乳胶漆费。 【解答】 （平方米） （平方米） （元） 答：粉刷完这间房需要花乳胶漆费990元钱。 13．1100平方厘米；3升 【分析】由图可知，这个长方体盒子的长为（40－5×2）厘米，宽为（30－5×2）厘米，高为5厘米，因为盒子没有盖子，所以铁皮的面积需要减去一个底面积，再利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”“长方体的容积＝长×宽×高”求出盒子的表面积和容积，据此解答。 【解答】长：40－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） 宽：30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 高：5厘米 （30×20＋30×5＋20×5）×2－30×20 ＝（600＋150＋100）×2－30×20 ＝850×2－30×20 ＝1700－600 ＝1100（平方厘米） 30×20×5 ＝600×5 ＝3000（立方厘米） 3000立方厘米＝3000毫升＝3升 答：这个盒子用了1100平方厘米铁皮，它的容积是3升。 14．170平方分米 【分析】分析题目，通过平移可知：这个图形的表面积就等于棱长是5分米的正方体的表面积加棱长是1分米的正方体的前后左右4个面加棱长是2分米的正方体的前后左右4个面，据此结合正方体的表面积＝棱长×棱长×6列式计算即可。 【解答】5×5×6＋1×1×4＋2×2×4 ＝25×6＋1×4＋4×4 ＝150＋4＋16 ＝170（平方分米） 答：挖洞后的几何体的表面积是170平方分米。 15．72立方厘米 【分析】根据题意，长方体的高减少5厘米，就变成了正方体，那么原来长方体的长、宽相等； 正方体的表面积比原长方体的表面积减少了60平方厘米，减少的表面积是高为5厘米的小长方体的4个侧面积之和，用减少的表面积除以4，求出一个面的面积，再除以5，求出原来长方体的长、宽；再用原来的长或宽加上5厘米，即是原来长方体的高； 根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的体积。 【解答】原来长方体的长、宽： 60÷4÷5 ＝15÷5 ＝3（厘米） 原来长方体的高： 3＋5＝8（厘米） 原来长方体的体积： 3×3×8＝72（立方厘米） 答：原长方体的体积是72立方厘米。 16．5厘米；200立方厘米 【分析】正方体棱长总和＝棱长×12，据此求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。 【解答】6×12＝72（厘米） 72÷4－8－5 ＝18－8－5 ＝5（厘米） 8×5×5＝200（立方厘米） 答：这个长方体的高是5厘米，体积是200立方厘米。 17．2040元 【分析】由题意可知，先求房间的侧面积，即（长×高＋宽×高）×2，再减去门窗的面积，最后乘25即可得解。 【解答】 （元） 答：一共需要2040元。 18．70元 【分析】先将单位统一换成米；由题可知，这个鞋柜表面刷漆的总共有4个面：前面、上面、左面和右面，根据长方形的面积＝长×宽，求出各个面积的面积，再把这四个面相加，即可求出这个鞋柜表面刷漆的总面积。每平方米刷漆的成本是25元，用刷漆的总面积乘25，即可求出刷完这个鞋柜一共需要多少元，据此解答。 【解答】50厘米＝0.5米   100厘米＝1米 1.2×0.5＋1.2×1＋0.5×1×2 ＝0.6＋1.2＋1 ＝2.8（平方米）   2.8×25＝70（元） 答：刷完这个鞋柜一共需要70元。 19．表面积：450平方厘米，体积：500立方厘米 【分析】分析题目，把四个大小相同的正方体粘成一个长方体，减少了6个正方形的面，据此用150除以6可以求出正方体一个面的面积，再根据正方形的面积＝边长×边长求出正方体的棱长，长方体的长等于正方体的棱长乘4，长方体的宽和高都等于正方体的棱长，再结合长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高计算即可。 【解答】150÷6＝25（平方厘米） 25＝5×5 5×4＝20（厘米） （20×5＋20×5＋5×5）×2 ＝（100＋100＋25）×2 ＝225×2 ＝450（平方厘米） 20×5×5 ＝100×5 ＝500（立方厘米） 答：长方体的表面积是450平方厘米，体积是500立方厘米。 20．4200立方厘米 【分析】观察可知，水与假山石的体积和等于一个长48厘米，宽25厘米，高38厘米的长方体的体积，根据可计算水与假山石的体积和，把12升转化为以立方厘米为单位，用水龙头每分钟水的流量乘时间可得鱼缸内水的体积，再用水与假山石的体积和减水的体积，即可得假山石的体积。 【解答】12升＝12000毫升＝12000立方厘米 （立方厘米） 答：假山石的体积是4200立方厘米。 21．10.8立方分米 【分析】把3厘米化成0.3分米，由题意可知，假山石的体积等于鱼缸里下降的水的体积，下降的长方体的长为7.2分米、宽为5分米、高为0.3分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【解答】3厘米＝0.3分米    7.2×5×0.3                ＝36×0.3               ＝10.8（立方分米）              答：这块假山石的体积是10.8立方分米。 22．10立方分米 【分析】看图可知，制成的长方体盒子的长＝（60－10）厘米，宽＝（40－10×2）厘米，高＝10厘米，根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。根据1立方分米＝1000立方厘米，统一单位。 【解答】60－10＝50（厘米） 40－10×2 ＝40－20 ＝20（厘米） 50×20×10＝10000（立方厘米）＝10（立方分米） 答：这个盒子的体积是10立方分米。 23．1升 【分析】分析题目，这个盒子的长是（30－5－5）厘米，宽是（20－5－5）厘米，高是5厘米，长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数据求出体积，再根据1升＝1000毫升＝1000立方厘米把单位换算成升即可。 【解答】（30－5－5）×（20－5－5）×5 ＝（25－5）×（15－5）×5 ＝20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 1000立方厘米＝1000毫升＝1升 答：这个盒子的容积是1升。 24．（1）48厘米 （2）5400平方厘米 【分析】（1）根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，求出水深24厘米时水的体积；现在将这个容器右侧面着地，由于水的体积不变；长方体的长是2分米，宽是3分米，求水的高度，用水的体积÷长方体的长÷长方体的宽，注意单位名数的换算。 （2）求水面和这个容器接触的面积，就是求长是2分米，宽是3分米，高是水面高度的长方形5个面的面积和，根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，据此解答，注意单位名数的换算。 【解答】（1）6分米＝60厘米；2分米＝20厘米；3分米＝30厘米。 （60×20×24）÷（20×30） ＝（1200×24）÷600 ＝28800÷600 ＝48（厘米） 答：此时水面高度是48厘米。 （2）20×30＋（20×48＋30×48）×2 ＝600＋（960＋1440）×2 ＝600＋2400×2 ＝600＋4800 ＝5400（平方厘米） 答：此时水面和这个容器接触的面积是5400平方厘米。 25．（1）440平方厘米 （2）22.5分钟 【分析】（1）甲容器有五个面，根据无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算解答； （2）根据长方体体积（容积）＝长×宽×高，求出甲、乙容器的容积；已知雨水注满甲容器需要5分钟，用乙容器的容积除以甲容器的容积，求出乙是甲的几倍，再乘5，即可求出雨水将乙长方体容器灌满需要的时间。 【解答】（1）20×10＋20×4×2＋10×4×2 ＝200＋160＋80 ＝440（平方厘米） 答：做1个甲长方体容器，至少需要440平方厘米的铁皮。 （2）30×15×8 ＝450×8 ＝3600（立方厘米） 20×10×4 ＝200×4 ＝800（立方厘米） 3600÷800×5 ＝4.5×5 ＝22.5（分钟） 答：雨水将乙长方体容器灌满需要22.5分钟。 26． （1）740平方厘米； （2）700立方厘米 【分析】（1）只有前、后、左、右、下面，5个面，用（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，即可求出需要的玻璃面积； （2）水面上升的体积就是土豆体积，用长×宽×上升的水的高度＝土豆体积。 【解答】（1）（20×9＋10×9）×2＋20×10 ＝（180＋90）×2＋200 ＝270×2＋200 ＝540＋200 ＝740（平方厘米） 答：制作这个长方体容器至少需要玻璃740平方厘米。 （2）（6.5－3）×10×20 ＝3.5×10×20 ＝700（立方厘米） 答：土豆的体积是700立方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $