第9章因式分解 单元综合练习题 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 苏科版八年级数学下册《第9章因式分解》单元卷，覆盖因式分解方法及应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，结合快递取件码等真实情境，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|7题|十字相乘法、平方差公式应用|以纸板拼图情境考查因式分解几何意义，体现几何直观| |填空题|7题|公因式、完全平方式、代数式求值|结合多项式值相等条件，考查推理能力| |解答题|6题|分组分解、整体思想、实际应用|设计快递取件码生成问题，强化模型意识与应用能力|

2025-2026学年苏科版八年级数学下册《第9章因式分解》单元综合练习题（附答案） 一、单选题 1．对多项式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若分解因式有一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 3．计算后的结果是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 5．若k为自然数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除 6．若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（   ） A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板 C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板 二、填空题 8．多项式 与多项式的公因式是__________． 9．已知多项式分解因式为，________，________． 10．若是一个完全平方式，则a的值为______． 11．若，，则________． 12．若，则________． 13．因式分解__________． 14．已知当和，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于______． 三、解答题 15．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．先因式分解，再求值： (1)，其中． (2)已知，，求的值． 17．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组）（直接提公因式） 乙： （分成两组）（直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 18．先阅读材料，再回答问题： 材料：分解因式： 解： 回答问题： (1)材料中最后一步分解因式的结果是___________． (2)分解因式：，结果是___________． (3)分解因式：，结果是___________． (4)若，则的值为___________． 19．在快递物流行业，取件码是验证取件人身份的关键．为了让取件码既好记又有一定安全性，可利用“因式分解法”生成：将一个多项式因式分解，代入个人常用数字（如手机号后两位）作为字母的值，得到的因式结果组合成不同的取件码．例如：多项式因式分解为，若取，则，，取件码可为1317或1713． (1)若多项式为，当时，写出所有的取件码______． (2)某快递员使用多项式生成了其中一个6位取件码为“172320”，他选取x的值是______． (3)若多项式为，当，求出所有的取件码． 20．小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料，请你根据阅读材料帮小红解决下列问题： 阅读材料 分解因式： 解：①将“”看成整体，令，则原式， ②再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想 (1)因式分解：； (2)因式分解：． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是关键．利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征并能灵活运用是解题的关键． 先利用平方差公式对进行因式分解，然后根据已知条件找出另一个因式，解题思路是先对式子进行变形分解，再结合已知因式确定另一个因式． 【详解】解： 因为有一个因式是， 所以另一个因式是， 故选：D． 3．A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握熟练掌握因式分解的方法． 根据乘方的意义进行拆解，然后利用提公因式法进行因式分解，再进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了平方差公式的应用． 利用平方差公式因式分解，并代入已知条件计算． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键．利用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后找到能被整除的数或式即可得答案． 【详解】解： ， ∴的值总能被3整除． 故选：B． 6．A 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 通过计算P与Q的差，并利用完全平方公式判断其非负性，从而得出大小关系． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴，即 故选：A． 7．D 【分析】本题考查因式分解的应用，根据各选项，列出代数式，进行因式分解即可． 【详解】解：A、用全部7块纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； B、加上3块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； C、拿掉2块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； D、加上1块型纸板，总面积为：，即可以拼出一个长为，宽为的大长方形； 故选D． 8． 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，提公因式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 分别将多项式和多项式进行因式分解，再寻找它们的公因式． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式为． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，通过展开给定的因式分解形式，与原多项式比较系数，即可求出和的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∵多项式分解因式为， ∴，， 故答案为：，． 10．1或 【分析】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键；根据完全平方式的结构特征，常数项为16，可确定一次项系数的可能值，从而求出a的值即可． 【详解】解：∵是完全平方式，且常数项为16， ∴一次项系数应满足，即， 当时，解得， 当时，解得； 故a的值为1或； 故答案为1或． 11．18 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法和公式法因式分解是解题的关键； 将所求表达式因式分解，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， ， ∵，， ∴原式， 故答案为：18． 12．8 【分析】本题考查了求代数式的值、因式分解，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键． 先将表达式分解因式为，再整体代入即可求值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：8． 13． 【分析】本题主要考查了因式分解．直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 14．3 【分析】本题考查了因式分解的应用，求代数式的值，由题意可得，利用因式分解得出，结合，得出的值，再代入求函数值，熟练掌握因式分解是解此题的关键． 【详解】解：∵当和，多项式的值相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入可得， 故答案为：． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （4）先利用多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 16．(1)， (2) 【分析】本题考查了因式分解和整体代入的思想，掌握先因式分解简化式子，再利用已知条件求中间量，最后整体代入求值是解题的关键． （1）先提取公因式，再对括号内的式子化简并因式分解，最后代入数值计算； （2）先提取公因式，再利用已知条件求出的值，整体代入化简后的式子计算． 【详解】（1）解：原式 ． 当，时， 原式 （2）解：， ． ， ，解得． 当，时， ． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查用分组分解法分解因式，分组分解时往往还要用到提公因式法和公式法，首先观察给出的多项式，将多项式进行适当的分组，使分成的各组中有公因式或可以用公式分解；然后要再用提公因式法或公式法进行分解，注意因式分解要分解到不能分解为止． （1）把前两项和第四项结合后利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先对式子进行分组分解，把已知的两式相加得，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵，， ∴， ∴原式． 18．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提公因式即可解题； （2）根据因式分解的方法解题即可； （3）结合（1）（2）中的规律即可得到结论； （4）根据（3）中的结论解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：由（1）（2）可知， ； （4）解：， ∴， ∴， 解得． 19．(1)1119和1911 (2)20 (3)262323、232623、232326 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）直接因式分解后将代入求值即可； （2）将因式分解后通过取件码数字反推x值即可； （3）将因式分解，将代入求出三个取件码数字，进而排列即可． 【详解】（1）解：， 代入，得 ，， 取件码为11和19的排列，即1119和1911； 故答案为：1119和1911； （2）解： ， 取件码172320对应数字17、23、20， ∵时，，， ∴他选取x的值是20； 故答案为：20； （3）解：， 代入，得 ，， 即三个取件码数字分别为26、23、23， 所有取件码为262323、232623、232326． 20．(1) (2)． 【分析】本题考查整体思想在因式分解中的应用及完全平方公式的运用，核心是通过换元将复杂多项式转化为熟悉的完全平方式进行分解． （1）观察式子结构，可将看作一个整体，式子符合完全平方差公式的形式，直接套用公式分解后还原即可； （2）先将设为整体，把原式转化为关于该整体的二次式，展开后用完全平方公式分解，再对还原后的多项式继续利用完全平方公式分解，得到最终的因式分解结果． 【详解】（1）解：令，则原式， 将还原，得原式； （2）解：令，则原式， 将还原，得原式， ， 原式． 学科网（北京）股份有限公司 $