专题03 导数（9大考点期末真题汇编，辽宁专用）高二数学下学期人教B版

**基本信息** 导数专题汇编，覆盖9大高频考点，精选辽宁多地期末联考题，注重基础巩固与综合应用，解答题突出极值、恒成立等综合问题。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|约20题|导数概念、切线方程、单调性等|结合经济学边际成本、蜥蜴体温变化等真实情境| |多选|约10题|极值、综合问题|通过函数与导函数图象分析单调性，体现逻辑推理| |填空|约10题|求导法则、零点问题|设置曲率计算等创新考点，衔接高等数学| |解答|约15题|恒成立、证明类问题|分层设计，如极值与切线结合、构造函数证明不等式，适配期末综合能力考查|

专题03 导数 9大高频考点概览 考点01导数概念、求导法则 考点02切线方程 考点03单调性 考点04极值、最值 考点05构造函数比较大小 考点06零点问题 考点07恒成立、存在问题 考点08综合问题 考点09证明类问题 地 城 考点01 导数概念、求导法则 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁普通高中联考·期末)若，则（ ） A． B． C．1 D．3 2．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）在经济学中，通常把生产成本关于产量的导数称为边际成本.设生产个单位产品的生产成本函数是，则生产4个单位产品时，边际成本是（   ） A．2 B．8 C．10 D．16 3．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．(24-25高二下·辽宁辽阳·期末)衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 5．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)运用复合函数求导方法求函数的导函数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25高二下·辽宁普通高中联考·期末)已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：℃），为太阳落山后的时间（单位：min）.当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为_________℃/min. 7．(24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知函数在处可导，若，则______． 8．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)已知函数为函数的导函数，且，则_______． 地 城 考点02 切线方程 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)曲线和曲线的公共切线的斜率为（   ） A．1 B．3 C． D．e 2．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D．1 二、填空题 3．(24-25高二下·辽宁大连·期末)已知函数，则曲线在点处的切线方程为________． 地 城 考点03 单调性 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）（多选）已知函数与其导函数的图象如图所示，设，则（   ） A．曲线为函数的图象 B．曲线为函数的图象 C．函数在区间上是增函数 D．函数在区间上是减函数 三、填空题 3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)已知在上单调递增，则实数的所有取值构成的集合是______． 四、解答题 4．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围． 地 城 考点04 极值、最值 一、多选题 1．(24-25高二下·辽宁辽阳·期末)（多选）已知函数，若有两个极值点，则实数的取值可能是（    ） A．-2 B．-1 C．0 D． 2．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)（多选）已知函数的极值点均为，则（   ） A．若，则 B． C．c可能为 D．b可能为1 二、解答题 3．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知函数在2处取得极值14. (1)求a，b的值； (2)求曲线在点处的切线方程. 4．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 5．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，求曲线与曲线的公切线； (3)已知，若的两个极值点为，，求的取值范围. 地 城 考点05 构造函数比较大小 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·辽宁大连·期末)已知，，，且，，（其中是自然对数的底数），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二下·辽宁省朝阳凌源高中·期末）（多选）已知函数的最大值为1，则（    ） A． B．当时， C． D．当时， 地 城 考点06 零点问题 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁大连·期末)已知函数（其中是自然对数的底数），若有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）已知函数，，表示的最小值，设函数，若有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______. 4．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)设，分别是函数，的零点，则的最大值为_____． 三、解答题 5．(24-25高二下·辽宁辽阳·期末)已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求，； (2)若有三个零点，求实数的取值范围． 地 城 考点07 恒成立、存在问题 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)已知函数在上仅有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）若函数的图象上存在两对关于轴对称的点，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)若对任意，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）若，则实数的取值范围是___________.（参考数据：） 6．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期末)设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是_____． 7．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)已知函数，则①若对任意，有，则a的值为_____．②若图象上存在两点P、Q，使得（O为坐标原点），则a的取值范围是_____． 三、解答题 8．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，恒成立，求的取值范围. 9．(24-25高二下·辽宁大连·期末)已知函数在处取得极小值，． (1)求和的值； (2)对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 10．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）已知函数． (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合． 地 城 考点08 综合问题 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)高二学习小组自主探究三次函数的性质得出以下命题： ①无论系数如何变化，函数的图象始终都是中心对称图形； ②过平面内的任意一个定点至多能作出三条直线与函数图象相切； ③任意三次函数都存在零点，至少有一个，至多有三个； ④当函数存在极值点时，中心点处的导数与两极值点处的函数值有固定关系；． 其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 2．(24-25高二下·辽宁大连·期末)（多选）已知函数（其中是自然对数的底数），则下列结论正确的是（   ） A．若，则是上的增函数 B．若，则为函数的极大值点 C．当且仅当时，函数有两个不同的零点 D．若函数在上存在零点，则的最小值是 3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)（多选）设函数，则（    ） A．的极小值点为 B．在上为增函数 C．直线是曲线的切线 D．方程恰有一个解当且仅当 4．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)（多选）已知函数，则（    ） A．有极大值，也有极小值 B．没有最大值，也没有最小值 C．对任意 D．当方程恰有2个不同实根时，a的取值范围是 5．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A． B．当且仅当时，方程有两个不等的实根 C．对区间上任意两个实数，都有 D．设，只有一个极值点，则实数k的范围为 6．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)（多选）已知函数和其导函数的定义域均为，若函数是偶函数，是奇函数，则（   ） A． B．的一个周期为 C． D． 7．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．当时， B．函数有2个零点 C．函数在点处的切线方程为 D．，都有 三、解答题 8．（24-25高二下·辽宁省朝阳市建平县高中·期末）已知函数． (1)求的极值； (2)若恰有3个零点，求的取值范围； (3)若在定义域上单调，求整数的最大值． 地 城 考点09 证明类问题 一、解答题 1．(24-25高二下·辽宁普通高中联考·期末)已知函数的两个极值点分别为. (1)求的值； (2)已知，求证：不等式在上恒成立. 2．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)已知函数． (1)求的值； (2)证明：． 3．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)已知函数． (1)讨论函数的零点情况，只要求写出结论即可； (2)若对任意，有，求a的取值范围； (3)求证：对在意且，有． 4．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)对于给定函数，，，分别是，的导函数，当，时，根据洛必达法则知．已知函数，． (1)当时，求的值； (2)设函数，若不等式在上恒成立． （i）求的取值范围； （ii）证明：，． 5．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)数，设是的极值点，且，求证：．注：表示a，b，c中最小的． 6．(24-25高二下·辽宁大连·期末)已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于的不等式（其中是自然对数的底数）恒成立，求实数的取值范围； (3)若，且，求证：． 7．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末）已知函数，. (1)判断的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)若方程有两个不同的根，，证明：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数 9大高频考点概览 考点01导数概念、求导法则 考点02切线方程 考点03单调性 考点04极值、最值 考点05构造函数比较大小 考点06零点问题 考点07恒成立、存在问题 考点08综合问题 考点09证明类问题 地 城 考点01 导数概念、求导法则 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁普通高中联考·期末)若，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据导数的定义可直接得解. 【详解】根据导数的定义，. 故选：D. 2．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）在经济学中，通常把生产成本关于产量的导数称为边际成本.设生产个单位产品的生产成本函数是，则生产4个单位产品时，边际成本是（   ） A．2 B．8 C．10 D．16 【答案】A 【分析】根据题意得到边际成本即，对函数求导，代入数值4即可. 【详解】，， 所以生产4个单位产品时， 故选：A 3．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求导，再求. 【详解】因为，所以， 则． 故选：C． 4．(24-25高二下·辽宁辽阳·期末)衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出，，则，，代入曲率公式求解即可． 【详解】令，则，． 因为，， 所以曲线在点处的曲率为 ． 故选：B 5．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)运用复合函数求导方法求函数的导函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】同时取对数，即可根据复合函数的求导法则求解. 【详解】由可得，两边同时求导可得， 故， 故选：C 二、填空题 6．(24-25高二下·辽宁普通高中联考·期末)已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：℃），为太阳落山后的时间（单位：min）.当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为_________℃/min. 【答案】 【分析】由导数的定义，所求蜥蜴体温的瞬时变化率为. 【详解】，，， 即当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为℃/min. 故答案为：. 7．(24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知函数在处可导，若，则______． 【答案】4 【分析】变形得到，从而得到，解得． 【详解】因为 ， 所以，解得． 故答案为：4 8．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)已知函数为函数的导函数，且，则_______． 【答案】 【分析】利用导数运算法则对给定等式两边求导，再赋值得解. 【详解】由，求导得， ，当时，，解得， ，所以. 故答案为： 地 城 考点02 切线方程 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)曲线和曲线的公共切线的斜率为（   ） A．1 B．3 C． D．e 【答案】B 【分析】求导，根据斜率相等以及两点斜率公式即可求解. 【详解】由于，， 设的切点为，的切点为， 故且， 故，， 因此公切线的斜率为， 故选：B 2．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据导函数的几何意义，求出曲线上一点的切线斜率，根据切线斜率和导函数值求出切点坐标，进而求出线段长度. 【详解】由得，则当时，； 则曲线在点处的切线斜率为， 令，则，当时，解得， 所以，可知，则， 故选：C. 二、填空题 3．(24-25高二下·辽宁大连·期末)已知函数，则曲线在点处的切线方程为________． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义可得切线方程. 【详解】由，得， 则，且， 则曲线在处的切线方程为， 即， 故答案为：. 地 城 考点03 单调性 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】等价变形给定不等式，构造函数，利用导数及函数单调性求出范围. 【详解】由及，得， 令函数，有，， 则函数在上为增函数，，， 当时，，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题 2．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）（多选）已知函数与其导函数的图象如图所示，设，则（   ） A．曲线为函数的图象 B．曲线为函数的图象 C．函数在区间上是增函数 D．函数在区间上是减函数 【答案】BD 【分析】由导数正负与函数单调性关系明确两曲线所代表的函数图象即可判断AB；利用导数工具结合图象即可分析求解函数的单调性即可判断CD. 【详解】对于AB，因为时单调递增，时单调递减， 所以由图可知曲线M为函数的图象，曲线N为函数的图象， 故A错误，B正确； 对于CD，由图可知当时，时， 因为，所以当时，时， 所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 故C错误，D正确. 故选：BD 三、填空题 3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)已知在上单调递增，则实数的所有取值构成的集合是______． 【答案】 【分析】求导得，根据函数在上单调递增条件，等价于对所有恒成立，分析的条件求出k的值. 【详解】求导得：，函数在上单调递增，则对所有恒成立. 令： 当时：恒成立，所以单调递增. 但当时，，且当时，，即时，，矛盾. 当时： ， 令得极值点： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 此时在处取得最小值：. 若恒成立，则最小值. 令： 则，当时，，递增；当时，，递减. 所以在处取得最大值，此时，因此，仅当时，满足条件. 验证，，其最小值为，故恒成立，函数在上单调递增. 所以，实数的所有取值构成的集合为. 故答案为：. 四、解答题 4．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，转化为时，恒成立，设，求得，得到函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得，则， 所以，所以的图象在处的切线方程为， 即． （2）解：由函数，可得， 因为在区间上单调递减，所以当时，恒成立， 设，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 地 城 考点04 极值、最值 一、多选题 1．(24-25高二下·辽宁辽阳·期末)（多选）已知函数，若有两个极值点，则实数的取值可能是（    ） A．-2 B．-1 C．0 D． 【答案】BCD 【分析】由题意可得方程有两个不同的根，再根据求出的范围，即得答案. 【详解】解：因为有两个极值点， 所以方程有两个不同的根． 又因为 ， 所以， 解得． 故选：BCD. 2．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)（多选）已知函数的极值点均为，则（   ） A．若，则 B． C．c可能为 D．b可能为1 【答案】ABD 【分析】对函数求导，问题化为 两两相交且交点横坐标为正实数，结合各选项描述，并应用导数、对数函数的性质判断各项的正误. 【详解】由题设， 所以是的两个零点，即 两两相交且交点横坐标均为正实数， 所以的交点横坐标为，即是的两个根， 所以的两个根为，故， 所以，，且，B对， A：当，即，显然存在一个根为1，故，则，A对， C：若，则在上存在两个根， 对于，即，仅当时取等号， 对于，则，显然有，有， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 所以，仅当时取等号， 综上在上恒成立，故在上不存在实根，与题设矛盾，C错， D：若，由有两个正实根，结合一次函数和对数函数的图象，易知且， 由，则且，    此时，且， 同时，故，，满足前提， 综上，时，存在，且满足要求，D对. 故选：ABD 二、解答题 3．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知函数在2处取得极值14. (1)求a，b的值； (2)求曲线在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)求得，根据题意得到，即可求解； （2）由（1）得到，，得出切点处点斜式方程 【详解】（1）,根据题意得到，解得：， （2），， ，， 点处的切线点斜式方程为：， 即 4．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程； （2）求导，根据导数可判断函数单调性，进而可得极值. 【详解】（1）由已知， 则， 则，且， 所以切线方程为， 即； （2）由（1）知， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值. 5．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，求曲线与曲线的公切线； (3)已知，若的两个极值点为，，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减 (2) (3) 【分析】（1）求出导函数，根据的取值情况，讨论导函数的正负，即可得出答案； （2）根据两个函数的解析式设出切点坐标，根据导数写出切线斜率，然后写出切线方程，列式求解即可； （3）根据条件求出，，然后构造函数求出函数值域即可. 【详解】（1）， 当时，在时恒成立，此时在单调递增； 当时，令， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 综上当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减； （2），，， 设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，， 此时切线方程为， 设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为， 此时切线方程为， 所以，，时两边都是单调的， 且时，等号成立，故， 公切线方程为； （3）， ，即， 因为的两个极值点为，， 所以有两个不同的正数解，所以 又，代入解得， ，， 令，， ，所以在单调递减， ， 故答案为. 地 城 考点05 构造函数比较大小 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数研究的单调性可得，利用对数函数的单调性可得，综合可得结论. 【详解】，则，由，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∵，∴， ， 而，则，可得， 则，即， 综上，. 故选：A. 2．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可比较大小. 【详解】设，则， 在上单调递增，则， ，即，； 设，则， 在上单调递增，则，即， ， 又，． 故选：C． 3．(24-25高二下·辽宁大连·期末)已知，，，且，，（其中是自然对数的底数），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，根据导数判断函数单调性，进而判断函数值大小，即可得解. 【详解】设，， 则，且，，， 则当且时，，当时，， 即函数在和上单调递减，在上单调递增， 则，即， 又，，，则， 故选：C. 二、多选题 4．（24-25高二下·辽宁省朝阳凌源高中·期末）（多选）已知函数的最大值为1，则（    ） A． B．当时， C． D．当时， 【答案】ACD 【分析】利用导数求最值，结合已知可得，可判断A；利用单调性可判断BC；将目标不等式转化为，构造函数，利用导数求最值可判断D. 【详解】对A，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以当时取得最大值，解得，A正确； 对B，由上可知，在上单调递增，在单调递减， 因为，所以，B错误； 对C，因为，所以，所以，C正确； 对D，当时，，不等式成立， 当时，， 记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在 上单调递减， 所以当时，取得最大值， 综上，当时，不等式成立，D正确. 故选：ACD 地 城 考点06 零点问题 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁大连·期末)已知函数（其中是自然对数的底数），若有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，判断函数的单调性、极值，作出的图象，由，得或，结合图象得解. 【详解】由，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以，又，，， 作出的图象，如图，    令，得， 或， 当时，仅存在唯一的满足；因此，必须有两个根， 结合的图象，可得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 2．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）已知函数，，表示的最小值，设函数，若有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先依据时，分两种情况讨论，若是的零点，则问题转化为在上存在1个零点，研究其单调性即可；若不是的零点，则则问题转化为在上存在2个零点，再根据导函数研究其零点. 【详解】显然的定义域为， 当时，， 从而，故在上没有零点； 则若有2个零点，有在上存在2个零点， ①若是的零点，则，得， 又，则在上存在1个零点， 又，若，则，在上单调递增， 又，则，则在上不存在零点，不符合题意； 若，则，得；，得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则需，得，符合题意； 或，得，符合题意. ②若不是的零点，则，得， 又，则在上存在2个零点， 又， 则，得；，得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则，，，， 此时无解， 综上，或． 故选：D． 二、填空题 3．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】函数恰有两个零点，等价于有两个实数根，设，，利用导数研究函数单调性，作出函数图象通过数形结合求解. 【详解】令，得， 即，令，， 所以函数恰有2个零点等价于函数的图象与的图象有两个交点. ，令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且时，时， 所以的图象如图所示， 设是经过点的的图象的切线，切点为， 则切线斜率为， 所以的方程为， 又经过点，所以， 即，解得或， 或， 所以由图可知，当或， 即或时，函数的图象与的图象有两个交点， 即函数恰有2个零点， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 4．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)设，分别是函数，的零点，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】根据指数与对数运算法则可得，，构造函数，根据导数可得最值. 【详解】由题意可知，， 所以，，则． 设， 则，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 故的最大值为， 故答案为：. 三、解答题 5．(24-25高二下·辽宁辽阳·期末)已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求，； (2)若有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义及导数函数值列方程求解即可； （2）将问题转化为曲线与直线有三个交点，令， 利用导数法研究其单调性，结合函数的极值数形结合即可求解. 【详解】（1）因为，所以． 因为，，所以，解得； （2）因为有三个零点，且， 所以关于的方程有三个不同的根， 即曲线与直线有三个交点． 令， 则． 因为， 所以在，上单调递减，在上单调递增． 因为，所以当时，直线与曲线有三个交点， 故实数的取值范围是． 地 城 考点07 恒成立、存在问题 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)已知函数在上仅有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形为在上只有一解，设，用导数确定函数的性质得参数范围． 【详解】 ，所以在上只有一解， 设，则，由得， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以在上，， 又时，，时，， 所以，的取值范围是， 故选：C． 2．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）若函数的图象上存在两对关于轴对称的点，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，方程在上有两个不等的实根，由参变量分离法可得，则直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】在函数的图象上取点， 则点关于轴的对称点为，且，其中， 由，可得，则， 所以，直线与函数在上的图象有两个交点， 因为，令可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，，且，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 3．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化有且只有一个负整数解，构造函数与，利用导数法求函数的最值，并在同一坐标系分别作出函数的图象，通过数形结合即可求解. 【详解】已知函数，则 有且只有一个负整数解. 令，则， 当时，， 当时，， 所以在上递减，在上递增， 当时，取得最小值为. 设，则恒过点 在同一坐标系中分别作出和的图象，如图所示 显然，依题意得且即 且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 4．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)若对任意，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由类比分式的减法运算法则、除法和乘法的等价性化简原不等式，通过构过新函数，结合导数的几何意义和直线斜率公式进行运算求解即可. 【详解】由，得，即． 设． 易知， 则有， 显然函数在时，单调递增，于是有， 所以函数单调递增， 于是有，显然有，于是有， 显然当时，， 则直线在的图象的下方，在的图象的上方． 设过原点且与图象相切的直线斜率分别为， 切点分别为． 由，得，解得 同理，由， 得，解得， 所． 故选：D． 二、填空题 5．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）若，则实数的取值范围是___________.（参考数据：） 【答案】 【分析】将题设变形为，进而得到时，接着求出的最小值即可得解. 【详解】即， 所以时恒有或， 或者有相同的零点，且零点同侧两函数的函数值符号相同； 因为有相同的零点,此时 当时； 当时； 所以符合题意； 因为时不恒有，所以时， 又，所以且， 因为，所以当时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以且，所以. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 6．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期末)设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先求，再求，再根据对于恒成立，再分离参数，进而转化为最值问题即可求解． 【详解】由， 则， 所以， 又在上为“凸函数”， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 所以在单调递增， 所以，所以，故实数m的取值范围是． 故答案为：． 7．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)已知函数，则①若对任意，有，则a的值为_____．②若图象上存在两点P、Q，使得（O为坐标原点），则a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】①由题意得，令，求导，分和两种情况，得到其单调性和最值，得到，构造，，求导得到其单调性和极值情况，求出的解集为； ②当时，取，当时，由函数单调性，特殊点函数值和零点存在性定理得到，使得，故可取，满足要求；当时，得到函数单调性，假设图象上不存在两点P、Q，使得，结合函数单调性可知，则在上恒成立，参变分离得到，，构造函数得到单调性，进而求出最值，进而得到，要想图象上存在两点P、Q，使得，需，综上求出答案. 【详解】①由题意得，令，则， 当时，恒成立，故在R上单调递增， 其中，故当时，，不合要求，舍去； 当时，令得， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，也是最小值， 故只需， 即， 令，， 则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，也是最小值，其中， 所以的解集为，故a的值为； ②当时，，不妨取，满足，满足要求； 当时，恒成立，故在R上单调递增， 其中，且， 由零点存在性定理得，使得， 故可取，满足，满足要求； 当时，令得， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中在上恒成立， 假设图象上不存在两点P、Q，使得， 结合函数单调性可知，则在上恒成立， 即，则，， 令，则， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 其中，所以， 所以要想图象上存在两点P、Q，使得，需， 综上，. 故答案为：， 三、解答题 8．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）令，在上恒成立，利用得，求得的范围，再检验满足题意即得. 【详解】（1），，，， 故切线方程： . （2）恒成立，即恒成立. 令，求导得 ，因为，故 ，，又，解得. 当时，导函数递增，，，所以必存在唯一使得. 故在上递减，在上递增. 又因为，所以在上恒成立，所以的取值范围为. 9．(24-25高二下·辽宁大连·期末)已知函数在处取得极小值，． (1)求和的值； (2)对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用导函数，根据极值的定义直接计算可得，经检验满足题意； （2）分别求函数在上的值域与在上的值域，根据题意列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）由已知， 则， 又函数在处取得极小值， 则，解得， 所以，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 即此时满足函数在处取得极小值， 所以，； （2）由（1）得和随的变化情况如下表： 3 极大值 极小值 所以当时，的值域为， 当时，的值域为． 因为对任意，总存在，使得， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 10．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）已知函数． (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）求出导数并赋值求出，进而求出解析式. （2）求出及其导数，利用导数研究在上的单调性和最值，列出关于m的不等式组，即可得出答案. （3）利用分离变量法，分类讨论，构造函数，利用导数研究分别在x＜0，x＞0的单调性和最值，即可得出答案. 【详解】（1）函数，求导得， 则， 解得，所以的解析式为. （2）由（1）得，则， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值， 要使在内有两个零点，当且仅当，即， 解得， 所以实数的取值范围为. （3）对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立， ①当时，，显然成立，此时； ②当时，恒成立，令， 求导得，而当时，恒成立， 由得；由得，在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，取得最小值，则； ③当时， 恒成立，令，此时， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，又， 由零点存在定理得存在，使得，即， 由，得，由，得，在上递增，在上递减， 当时，取得最大值，且，则， 于是实数k的取值范围为，所以整数k的值组成的集合为. 地 城 考点08 综合问题 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)高二学习小组自主探究三次函数的性质得出以下命题： ①无论系数如何变化，函数的图象始终都是中心对称图形； ②过平面内的任意一个定点至多能作出三条直线与函数图象相切； ③任意三次函数都存在零点，至少有一个，至多有三个； ④当函数存在极值点时，中心点处的导数与两极值点处的函数值有固定关系；． 其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据函数的对称中心的概念、导数的几何意义、极值点概念等知识对命题逐一判断即可. 【详解】对于①： 设三次函数的对称中心为，根据三次函数的性质，有恒成立. 将代入可得： , 因为对任意恒成立，所以的系数都为0， 即，解得. 因为，即, 注意到,可求得. 所以无论系数如何变化，函数的图象始终都是以为对称中心的对称图形，①正确； 对于②： 对函数求导得，设切点为， 所以切线斜率为. 设定点坐标为，则切线方程为， 将切点代入方程得， 即，是三次方程， 所以过平面内的任意一个定点至多能作出三条直线与函数图象相切，②正确； 对于③： 因为为奇数次多项式，至少有一个实根， 根据代数基本定理最多有三个实根，所以③正确； 对于④： 设函数的对称中心为，其中，. 因为，所以，则. 设是函数的两个极值点，则是方程的两个根， 根据韦达定理得. 所以 所以④正确. 故选：A. 二、多选题 2．(24-25高二下·辽宁大连·期末)（多选）已知函数（其中是自然对数的底数），则下列结论正确的是（   ） A．若，则是上的增函数 B．若，则为函数的极大值点 C．当且仅当时，函数有两个不同的零点 D．若函数在上存在零点，则的最小值是 【答案】ABD 【分析】分别求导，根据导数判断函数单调性、极值与零点情况，即可判断ABC选项；D选项：由函数有零点可知，又表示点到直线距离的平方，可知，构造函数，求导判断函数单调性，即可得最值. 【详解】由已知，则， A选项：当时，，， 设，则， 可知当时，，函数单调递减，当时，，单调递增， 即当时，取得最小值为， 即，所以函数在R上单调递增，A选项正确； B选项：当时，，， 设，则， 可知在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 所以存在，使， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极大值点，B选项正确； C选项：由B选项可知，当时，，，，即此时，使， 即当时，有两个零点，C选项错误； D选项：， 由函数在上存在零点， 即，使，即， 又表示点到直线即直线的距离的平方， 设距离为，即， 设，， 则恒成立， 即在上单调递增， 所以在处取得最小值为， 即的最小值为，D选项正确； 故选：ABD. 3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)（多选）设函数，则（    ） A．的极小值点为 B．在上为增函数 C．直线是曲线的切线 D．方程恰有一个解当且仅当 【答案】AC 【分析】根据函数求出函数导数，根据函数导数与极值点，单调性，切线，和方程的解的关系，逐一判断各选项正误. 【详解】由得，， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，取得极小值，所以A正确； 所以在上单调递减，所以B错误； 当时，解得，则， 所以在处切线方程为，所以C正确； 已知在上单调递减，在上单调递增，极小值； 当时，且，当时，， 所以当恰有一个解时，，所以D错误； 故选：AC. 4．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)（多选）已知函数，则（    ） A．有极大值，也有极小值 B．没有最大值，也没有最小值 C．对任意 D．当方程恰有2个不同实根时，a的取值范围是 【答案】AC 【分析】求得，得出的单调性，结合极值的定义，可判定A正确；根据的单调性，得到是函数最小值，可判定B错误；由，可判定C正确；把恰有2个不同实根，转化为与的图象有两个交点，结合图象，得出不等式，求得的范围，可判定D错误. 【详解】对于A中，因为，所以， 令，即，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以时，取得极大值，当时，取得极小值，所以A正确； 对于B中，由函数，可得时，， 又由在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，所以是的最小值，所以B错误； 对于C中，当时，且，所以C正确； 对于D中，由在上递增，递减，在上递增， 且时，，当时，， 且，， 要使得恰有2个不同实根，即函数与的图象有两个交点， 如图所示，则满足或， 即，所以D错误. 故选：AC. 5．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A． B．当且仅当时，方程有两个不等的实根 C．对区间上任意两个实数，都有 D．设，只有一个极值点，则实数k的范围为 【答案】AC 【分析】利用导数的定义计算判断A；举例说明判断B；作差变形，构造函数并利用导数探讨单调性判断C；求出函数导数，由导函数的变号零点只有一个分类求解即可. 【详解】函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 对于A，，A正确； 对于B，当时，只有1个根4，B错误； 对于C， ，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 由，不妨令，则， 即，而，则， 所以，C正确； 对于D，函数定义域为R， 求导得，由只有一个极值点，得只有一个变号零点， 而，若是的唯一变号零点，令，则函数没有变号零点， 当时，在R上单调递增，， 在上存在变号零点，不符合题意； 当时，无零点，则； 当时，，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当趋近于负无穷大时，的函数值趋近于正无穷大， 因此当且仅当时，函数没有变号零点，则，； 若不是的变号零点，由，得，此时还有另一个变号零点，符合题意；所以实数k的范围为，D错误. 故选：AC 6．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)（多选）已知函数和其导函数的定义域均为，若函数是偶函数，是奇函数，则（   ） A． B．的一个周期为 C． D． 【答案】BC 【分析】分析函数是偶函数的性质和是奇函数的性质，再依据函数导数与原函数的关联，以及函数的对称性来推导函数的周期性，从而对各个选项进行判断. 【详解】因为函数是偶函数，所以，可得， 当时，，当时，，故无法判断和是否相等，选项A错误； 因为是奇函数，所以，可得， 因为，，所以， 可得，即，，， 因此的周期，是的一个倍数， 故的一个周期为32，选项B正确； 因为，所以是的一个对称中心， ，故，选项C正确； 因为，所以是的一个对称中心， 又因为的周期，所以是的一个对称中心， 综上可知，，，，且，， 因此一个周期内， ，得， 的值不可求，故选项D错误. 故选：BC. 7．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．当时， B．函数有2个零点 C．函数在点处的切线方程为 D．，都有 【答案】ACD 【分析】对于A，由奇函数性质验算即可；对于B，由零点定义解方程即可；对于C，只需求出即可；对于D，只需算出函数的值域即可. 【详解】对于A，当时，则，,因为是定义在R上的奇函数,所以，故A对. 对于B，时，令,解得，由是定义在R上的奇函数，所以时，又；故函数有3个零点，故B不对. 对于C，对求导得， 所以，故所求切线为，即，所以C对. 对于D，当时，，， 当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减， 且当时，，时，所以 由是定义在R上的奇函数，故当时，，因此对，都有，故D对. 故选：ACD. 三、解答题 8．（24-25高二下·辽宁省朝阳市建平县高中·期末）已知函数． (1)求的极值； (2)若恰有3个零点，求的取值范围； (3)若在定义域上单调，求整数的最大值． 【答案】(1) 的极小值为，无极大值 (2)且 (3)1 【分析】直接对 求导，分析导数的符号变化即可确定极值点及极值. 分析 的单调性和极值，结合图像判断参数 的范围. 函数 在定义域上单调，需要求导并保证导数恒正或恒负，分离参数，利用隐零点的方法可以确定函数最值的取值范围，从而得到整数 的最大值. 【详解】（1）函数 的定义域为 , ， ， 又因为在上单调递增，所以在小于0，在大于0； 所以在单调递减，在单调递增； 所以 的极小值为；无极大值. （2）函数 可因式分解为： 显然， 是一个零点. 零点由 和方程 的解组成. 令，求导：， 令导数为零：； 又因为在R上单调递增， 所以在小于0，在大于0， 所以在单调递减，在单调递增， 所以. 又，，; 当 ，； 的解的个数： 当 ，有两个解： 和一个在 ； 当 且，有两个解：一个在 ，一个在 ； 当 ，有一个解（)； 当 ，无解. 讨论的零点个数： 总是零点； 分析：当 ，是二重根（但仍是同一个点）和一个在 ，共两个零点； 当 且，一个在 ，一个在 ，再加上,一共三个零点； 当 ，有与两个零点； 当 ，只有一个零点. 因此， 恰有三个零点（不同的实根）当且仅当且. （3）函数 ，定义域为 . 求导：， 化简得：， 在定义域上单调，有两种情况单调递减与单调递增； 当在定义域上单调递减时，在定义域上恒小于等于0， 而时，，所以这种情况不成立； 所以只可能在定义域上单调递增； 所以对恒成立， 即恒成立， 令 ，则只需 求导：， 易知在上单调递增，且, ,所以存在,使， 所以在上小于0，在大于0； 所以在上单调递减，在单调递增； 所以,又代入得 , 又，所以, 又且，所以. 故整数的最大值为1. 地 城 考点09 证明类问题 一、解答题 1．(24-25高二下·辽宁普通高中联考·期末)已知函数的两个极值点分别为. (1)求的值； (2)已知，求证：不等式在上恒成立. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用极值点思想求出参数取值，再进行检验是否满足题意，即可得到结果； （2）把原不等式化简后就是，由于分离参数后不好求导研究，所以就含参研究函数求导，分类讨论来证明最小值恒大于0. 【详解】（1）因为，所以， 因为函数的两个极值点分别为，所以，解得， 此时，. 所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增，满足的两个极值点分别为. （2）即，， 令，则， 若，则恒成立，在上单调递增，所以， 若，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以的极小值为，也是最小值， 令，则，所以在上单调递减， . 综上所述，在上恒成立，即不等式在上恒成立. 2．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)已知函数． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)0 (2)证明见详解 【分析】（1）由题，根据的解析式运算得解； （2）对求导，可得在上单调递增，分，，讨论结合（1）证明. 【详解】（1） ，因此. （2）， 当时，，即在上单调递增， 所以，又，所以， 当时，，故， 当时，则，，由（1），， 所以，又此时，所以， 综上，. 3．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)已知函数． (1)讨论函数的零点情况，只要求写出结论即可； (2)若对任意，有，求a的取值范围； (3)求证：对在意且，有． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数探讨函数性质确定零点情况. （2）构造函数，利用导数探讨恒成立问题求解. （3）法1：由（2）的结论，结合裂项相消法求和得证；法2：利用导数证明不等式，再赋值即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为，由，得， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 当或时，直线与函数的图象有一个公共点； 当时，直线与函数的图象有两个公共点； 当时，直线与函数的图象没有公共点， 所以当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数无零点. （2）对任意，不等式， 令函数，求导得， 当时，，函数在上单调递减，，不合题意； 当时，，设其两个根，， 由，得，函数在单调递减，，不合题意； 当时，函数在上单调递增，，， 函数在上单调递增，对任意，符合题意， 所以a的取值范围是. （3）法1：由（2）知，当时，， 因此 所以 ． 法2：先证：对任意，有，令， 求导得，函数在上单调递增，， 因此对任意，有，即， 而， 所以. 4．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)对于给定函数，，，分别是，的导函数，当，时，根据洛必达法则知．已知函数，． (1)当时，求的值； (2)设函数，若不等式在上恒成立． （i）求的取值范围； （ii）证明：，． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）解法一：根据洛必达法则先化简分式，然后求导可得结果；解法二：根据洛必达法则对分子分母求导可得结果. （2）（i）先化简不等式，构造新函数，对新函数求导，判断单调性，根据洛必达法则获取新函数的最值，即可求得的取值范围；（ii）对函数求导，将其导数构造新函数，对此函数求导判断单调性，可证得，然后对不等式相加求和化简即可证明结论. 【详解】（1）解法一：根据洛必达法则可知 解法二：根据洛必达法则可知 （2）（i）由题意可知不等式0在上恒成立， 当时，不等式可化为恒成立． 令，则， 令，则， 设，则， 设，则． 因为，所以，则在上单调递减，所以，即， 所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减，所以． 根据洛必达法则可知 所以， 故的取值范围为． （ii）证明：当时，， 设，则， 设，则，所以在上单调递增， 则，即，所以，即， 当且仅当时取得等号． 令，，则，，， 将上面个式子相加得 故，. 5．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)数，设是的极值点，且，求证：．注：表示a，b，c中最小的． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)极大值为，无极小值 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负确定函数的单调性， （2）求导，即可根据单调性，结合极值的定义求解， （3）根据和的单调性，可得的图象以及单调性，即可得，进而根据等价转化，构造函数，求导，根据单调性即可求解. 【详解】（1）的定义域为，且， 令，解得，令解得， 故单调递减区间为，单调递增区间为， （2），则， 令，解得，令，解得， 所以在单调递减，在单调递增， 故当时，取极大值，无极小值， （3）由（1）（2）可知在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 且当，， ， 在同一直角坐标系中，作出两个函数的图象如下图所示：故存在，使得，    ，则图中实线为的图象， 当时，单调递增，时，单调递减， 则是函数的极值点，，即． ，不妨设，即． 要证，只需证 令 记, 当单调递增，当单调递减， 所以，故， 故，进而 ， 所以在上单调递增， 于是有 故得证 6．(24-25高二下·辽宁大连·期末)已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于的不等式（其中是自然对数的底数）恒成立，求实数的取值范围； (3)若，且，求证：． 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性； （2）方法一：将不等式转化为，构造函数，根据函数单调性可将不等式转化为，分离参数，结合函数单调性可得最值；方法二：将不等式转化为，构造函数，根据函数单调性可将不等式转化为，分离参数，结合函数单调性可得最值.. （3）方法一：由（1）可知，，欲证，只需证，在上单调递减，令，则在上单调递减，易知，所以只需证，即证．设，函数，根据导数判断函数单调性，即可得证；方法二：由（1）可知，，所以欲证，只需证证，在上单调递增，令，则在上单调递增，易知，所以只需证，即证，设，函数，求导，根据导数判断函数单调性，进而可得证；方法三：由（1）可知，，所以欲证，只需证．即证，令，①，又因为，所以②，可得，，所以只需证，构造函数，求导，设，求导，根据导数判断函数单调性，进而判断函数最值，即可判断单调性，再根据切线不等式可证，即可得证；方法四：由（1）可知，，所以欲证，只需证，因为，，所以，设函数，求导，判断函数单调性，可得，化简可得．因为，所以，即，所以成立． 【详解】（1）的定义域为，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故函数的单调递增区间是，单调递减区间是； （2）由恒成立，可知， 方法一：因为， 设，函数在上单调递增， 所以恒成立，即恒成立， 由（1）可知的最大值为， 所以，即实数的取值范围是； 方法2： 因为 设，函数在上单调递增， 因为，，所以恒成立， 所以，即恒成立， 由（1）可知的最大值为， 所以，即实数的取值范围是； （3）证明：方法一： 由（1）可知，． 欲证，只需证，即证． 在上单调递减， 令，则在上单调递减． 因为，且， 所以欲证，只需证，即证， 即证． 设，函数， 则． 令，则当时，， 故在上单调递增，所以， 所以当时，，在上单调递增， 所以，即，即成立， 所以成立． 方法二： 由（1）可知，． 欲证，只需证，即证． 在上单调递增， 令，则在上单调递增． 因为，且． 所以欲证，只需证，即证， 即证． 设，函数， 则． 令，则当时，， 故在上单调递减，所以， 所以当时，，在上单调递增， 所以，即，即成立， 所以成立． 方法三： 由（1）可知，． 欲证，只需证． 因为，即证． 令，则，．① 又因为，所以．② 由①、②两式，可解得，， 所以只需证． 设函数， 则 ． 因为，所以，． 设函数， 则， 所以在上单调递增，所以， 因此，在上单调递增． 设函数，则． 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增． 所以，即（当且仅当时取等号）． 因为，所以，即，． 所以，因为，所以， 又因为当时，，两边夹可得，当时，，， 因为在上单调递增， 所以时，，即， 所以成立． 方法四： 由（1）可知，． 欲证，只需证， 即证，即证． 因为，，所以， 设函数， 则，在上单调递增， 所以， 即， 即， 所以， 所以， 展开整理，得． 因为，所以，即， 所以成立． 7．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末）已知函数，. (1)判断的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)若方程有两个不同的根，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出，讨论的取值范围可得的单调性. （2）根据条件可得恒成立，分离参数，构造函数，通过导数求函数的最值可得结果. （3）分析条件可得，通过构造函数、分析函数单调性可证明结论. 【详解】（1）因为，所以. 当时，，所以在和上单调递减； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减. （2）（方法一）因为恒成立， 所以恒成立. 令，则.令，则在上单调递增. 因为，所以，即. 由，得. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. （方法二）令，则恒成立. ， ①当时，因为，所以，所以在上单调递减. 因为，所以不恒成立. ②当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 因为函数在上单调递增，且， 所以当时，恒成立. （3）设，由（2）得，， 当时，，此时. 因为，，当时，， 所以有两个不同的根，即有两个不同的根，，且. 由得，， 因为函数在上单调递增，且，所以， 所以，故. 又，所以. 令，则. 要证，只要证，即证. 方法一：要证，即证. 令，，则. 令，，则， 所以在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 所以，即成立，故. 方法二：要证，即证. 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即，故. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数 地 城 考点01 导数概念、求导法则 一、单选题 1．D. 2．A 3．C． 4．B 5．C 二、填空题 6．. 7．4 8． 地 城 考点02 切线方程 一、单选题 1．B 2．C. 二、填空题 3．. 地 城 考点03 单调性 一、单选题 1．A 二、多选题 2．BD 三、填空题 3． 四、解答题 4．【详解】（1）解：当时，可得，则， 所以，所以的图象在处的切线方程为， 即． （2）解：由函数，可得， 因为在区间上单调递减，所以当时，恒成立， 设，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 地 城 考点04 极值、最值 一、多选题 1．BCD. 2．ABD 二、解答题 3．【详解】（1）,根据题意得到，解得：， （2），， ，， 点处的切线点斜式方程为：， 即 4．【详解】（1）由已知， 则， 则，且， 所以切线方程为， 即； （2）由（1）知， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值. 5．【详解】（1）， 当时，在时恒成立，此时在单调递增； 当时，令， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 综上当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减； （2），，， 设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，， 此时切线方程为， 设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为， 此时切线方程为， 所以，，时两边都是单调的， 且时，等号成立，故， 公切线方程为； （3）， ，即， 因为的两个极值点为，， 所以有两个不同的正数解，所以 又，代入解得， ，， 令，， ，所以在单调递减， ， 故答案为. 地 城 考点05 构造函数比较大小 一、单选题 1．A 2．C． 3．C 二、多选题 4．ACD 地 城 考点06 零点问题 一、单选题 1．D 2．D 二、填空题 3． 4． 三、解答题 5．【详解】（1）因为，所以． 因为，，所以，解得； （2）因为有三个零点，且， 所以关于的方程有三个不同的根， 即曲线与直线有三个交点． 令， 则． 因为， 所以在，上单调递减，在上单调递增． 因为，所以当时，直线与曲线有三个交点， 故实数的取值范围是． 地 城 考点07 恒成立、存在问题 一、单选题 1．C 2．D 3．A 4．D 二、填空题 5． 6． 7． 三、解答题 8．【详解】（1），，，， 故切线方程： . （2）恒成立，即恒成立. 令，求导得 ，因为，故 ，，又，解得. 当时，导函数递增，，，所以必存在唯一使得. 故在上递减，在上递增. 又因为，所以在上恒成立，所以的取值范围为. 9．【详解】（1）由已知， 则， 又函数在处取得极小值， 则，解得， 所以，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 即此时满足函数在处取得极小值， 所以，； （2）由（1）得和随的变化情况如下表： 3 极大值 极小值 所以当时，的值域为， 当时，的值域为． 因为对任意，总存在，使得， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 10．【详解】（1）函数，求导得， 则， 解得，所以的解析式为. （2）由（1）得，则， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值， 要使在内有两个零点，当且仅当，即， 解得，所以实数的取值范围为. （3）对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立， ①当时，，显然成立，此时； ②当时，恒成立，令， 求导得，而当时，恒成立， 由得；由得，在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，取得最小值，则； ③当时， 恒成立，令，此时， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，又， 由零点存在定理得存在，使得，即， 由，得，由，得，在上递增，在上递减， 当时，取得最大值，且，则， 于是实数k的取值范围为，所以整数k的值组成的集合为. 地 城 考点08 综合问题 一、单选题 1．A. 二、多选题 2．ABD 3．AC 4．AC 5．AC 6．BC 7．ACD 三、解答题 8．【详解】（1）函数 的定义域为 , ， ， 又因为在上单调递增，所以在小于0，在大于0； 所以在单调递减，在单调递增； 所以 的极小值为；无极大值. （2）函数 可因式分解为： 显然， 是一个零点. 零点由 和方程 的解组成. 令，求导：， 令导数为零：； 又因为在R上单调递增， 所以在小于0，在大于0， 所以在单调递减，在单调递增， 所以. 又，，; 当 ，； 的解的个数： 当 ，有两个解： 和一个在 ； 当 且，有两个解：一个在 ，一个在 ； 当 ，有一个解（)； 当 ，无解. 讨论的零点个数： 总是零点； 分析：当 ，是二重根（但仍是同一个点）和一个在 ，共两个零点； 当 且，一个在 ，一个在 ，再加上,一共三个零点； 当 ，有与两个零点； 当 ，只有一个零点. 因此， 恰有三个零点（不同的实根）当且仅当且. （3）函数 ，定义域为 . 求导：， 化简得：， 在定义域上单调，有两种情况单调递减与单调递增； 当在定义域上单调递减时，在定义域上恒小于等于0， 而时，，所以这种情况不成立； 所以只可能在定义域上单调递增； 所以对恒成立， 即恒成立， 令 ，则只需 求导：， 易知在上单调递增，且, ,所以存在,使， 所以在上小于0，在大于0； 所以在上单调递减，在单调递增； 所以,又代入得 , 又，所以, 又且，所以. 故整数的最大值为1. 地 城 考点09 证明类问题 一、解答题 1．【详解】（1）因为，所以， 因为函数的两个极值点分别为，所以，解得， 此时，. 所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增，满足的两个极值点分别为. （2）即，， 令，则， 若，则恒成立，在上单调递增，所以， 若，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以的极小值为，也是最小值， 令，则，所以在上单调递减， . 综上所述，在上恒成立，即不等式在上恒成立. 2．【详解】（1） ，因此. （2）， 当时，，即在上单调递增， 所以，又，所以， 当时，，故， 当时，则，，由（1），， 所以，又此时，所以， 综上，. 3．【详解】（1）函数的定义域为，由，得， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 当或时，直线与函数的图象有一个公共点； 当时，直线与函数的图象有两个公共点； 当时，直线与函数的图象没有公共点， 所以当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数无零点. （2）对任意，不等式， 令函数，求导得， 当时，，函数在上单调递减，，不合题意； 当时，，设其两个根，， 由，得，函数在单调递减，，不合题意； 当时，函数在上单调递增，，， 函数在上单调递增，对任意，符合题意， 所以a的取值范围是. （3）法1：由（2）知，当时，， 因此 所以 ． 法2：先证：对任意，有，令， 求导得，函数在上单调递增，， 因此对任意，有，即， 而， 所以. 4．【详解】（1）解法一：根据洛必达法则可知 解法二：根据洛必达法则可知 （2）（i）由题意可知不等式0在上恒成立， 当时，不等式可化为恒成立． 令，则， 令，则， 设，则， 设，则． 因为，所以，则在上单调递减，所以，即， 所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减，所以． 根据洛必达法则可知 所以，故的取值范围为． （ii）证明：当时，， 设，则， 设，则，所以在上单调递增， 则，即，所以，即， 当且仅当时取得等号． 令，，则，，， 将上面个式子相加得 故，. 5．【详解】（1）的定义域为，且， 令，解得，令解得， 故单调递减区间为，单调递增区间为， （2），则， 令，解得，令，解得， 所以在单调递减，在单调递增， 故当时，取极大值，无极小值， （3）由（1）（2）可知在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 且当，， ， 在同一直角坐标系中，作出两个函数的图象如下图所示：故存在，使得，    ，则图中实线为的图象， 当时，单调递增，时，单调递减， 则是函数的极值点，，即． ，不妨设，即． 要证，只需证 令 记, 当单调递增，当单调递减， 所以，故， 故，进而 ， 所以在上单调递增， 于是有 故得证 6．【详解】（1）的定义域为，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故函数的单调递增区间是，单调递减区间是； （2）由恒成立，可知， 方法一：因为， 设，函数在上单调递增， 所以恒成立，即恒成立， 由（1）可知的最大值为， 所以，即实数的取值范围是； 方法2： 因为 设，函数在上单调递增， 因为，，所以恒成立， 所以，即恒成立， 由（1）可知的最大值为， 所以，即实数的取值范围是； （3）证明：方法一： 由（1）可知，． 欲证，只需证，即证． 在上单调递减， 令，则在上单调递减． 因为，且， 所以欲证，只需证，即证， 即证． 设，函数， 则． 令，则当时，， 故在上单调递增，所以， 所以当时，，在上单调递增， 所以，即，即成立， 所以成立． 方法二： 由（1）可知，． 欲证，只需证，即证． 在上单调递增， 令，则在上单调递增． 因为，且． 所以欲证，只需证，即证， 即证． 设，函数， 则． 令，则当时，， 故在上单调递减，所以， 所以当时，，在上单调递增， 所以，即，即成立， 所以成立． 方法三： 由（1）可知，． 欲证，只需证． 因为，即证． 令，则，．① 又因为，所以．② 由①、②两式，可解得，， 所以只需证． 设函数， 则 ． 因为，所以，． 设函数， 则， 所以在上单调递增，所以， 因此，在上单调递增． 设函数，则． 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增． 所以，即（当且仅当时取等号）． 因为，所以，即，． 所以，因为，所以， 又因为当时，，两边夹可得，当时，，， 因为在上单调递增， 所以时，，即， 所以成立． 方法四： 由（1）可知，． 欲证，只需证， 即证，即证． 因为，，所以， 设函数， 则，在上单调递增， 所以， 即， 即， 所以， 所以， 展开整理，得． 因为，所以，即， 所以成立． 7．【详解】（1）因为，所以. 当时，，所以在和上单调递减； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减. （2）（方法一）因为恒成立， 所以恒成立. 令，则.令，则在上单调递增. 因为，所以，即. 由，得. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. （方法二）令，则恒成立. ， ①当时，因为，所以，所以在上单调递减. 因为，所以不恒成立. ②当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 因为函数在上单调递增，且， 所以当时，恒成立. （3）设，由（2）得，， 当时，，此时. 因为，，当时，， 所以有两个不同的根，即有两个不同的根，，且. 由得，， 因为函数在上单调递增，且，所以， 所以，故. 又，所以. 令，则. 要证，只要证，即证. 方法一：要证，即证. 令，，则. 令，，则， 所以在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 所以，即成立，故. 方法二：要证，即证. 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即，故. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $