专题02 数列（7大考点期末真题汇编，辽宁专用）高二数学下学期人教B版

**基本信息** 辽宁多地高二期末数列专题汇编，覆盖7大高频考点，解答题融合文化素材与不等式证明，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选/多选|多样|等差数列性质、等比数列判定|结合充分必要条件考查逻辑思维| |填空/解答|丰富|错位相减求和、奇偶项分类|融入《庄子》文化素材，注重分类讨论与综合应用|

命学科网 www.zxxk.com 专题02 数列 目目 考点01 数列的概念 一、 单选题 1.A 2.A 二、填空题 3,am1=an十n(n∈N)(答案不唯一)： n=空2 目目 考点02 等差数列性质与求和 一、单选题 1.B 2.C 3.A 4.C 5.A 6.B 7.A 二、多选题 8.ABD 9.AB 10.AC 三、填空题 11.50 15 目目 考点03 等比数列性质与求和 一、单选题 1.D. 2.A 3.C 4.B 1/10 教与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.C 二、填空题 6.31 7.21 8.58. 9.是 三、解答题 10.【详解】(1)设{an}的公差为d,由a1=2,S4=5a2,得8+6d=5(2+d),解得d=2, 所以an=a1+(n-1d=2+2n-1)=2n (2)设{an}的公比为q,则a2=a19=2q,因为a1,3,a2成等差数列， 所以1十2=6，即2+2g=6,解得9=2，所以Sa=2=号-2*1-2. 1-2 1.【详解】(1)证明：因为a1=是，所以六=营=云+克，所以品-1=（定-1）. 因为1=号，所以完-1=方， 所以数列{完一1}是以专为首项，专为公比的等比数列. (2)由(1)知毫=1+寺， 所以士十专+去十…十=n+科边=+1一安. 1-3 令f(n)=n+1-京，易知f(n)单调递增。 因为f(999)=1000-<1000,f(1000)=1001->1000, 所以满足条件的最小整数为1000. 目目 考点04 数列通项 一、单选题 1.D 2.C 二、多选题 3.AD 4.BCD 2/10 6学科网 www.zxxk.com 5.BC 6.ACD 目目 考点05 数列求和 一、单选题 1.A 2.D 二、解答题 a4=a1+3d=11 3.【详解】(1)由已知可得Sg=3a1+3d=21, ∫a1=5 解得d=2’ 所以an=2n+3. (2)由(1)可知bn=#,=2+32+5, 所以b如=支(-). T100=b1+b2+b3+…+b100 =(信-青+片-青+青-是…十0-十 =(信-) =是、 4.【详解】(1)因为an=a1+(a2-a1+(a3-a2+…+(an-ar-, 所以an=3+5+7+9+…+(2m+1=+2=n2+2n (2)因为b如=宝=网=a-), 所以Sn=(1-青+是-青+…+责-2)=(1+是--2) 5.【详解】(1)当n=1时，a2=2S1=2a1=2; 当n≥2时，由at1=2Sn可知an=2Sm1, 两式相减得aH1-anm=2an,即aH1=3an 又因为a2=2≠0，且a2≠3a1, 所以数列{an}从第二项起是等比数列，公比为3， 所以an=2×32(n≥2)， 3/10 让教与学更高效 -】 星- 2+3 A+1以+2 学科网 www .zxxk.com 1,n=1 综上所述，an={2×3-2n22' (2)由(1)可知bn=2n×31. Tn=2+4×3+6×32+…+2n×3m-1,① 3Tn=2×3+4×32+…+2(n-1)×31+2n×3”,② ①-②，得-2Tn=2+2×3+2×32+…+2×3r1-2n×3” =2×4-2n×3”=(1-2n)×34-1. 所以Tn=(n-支)×3”+克. 6.【详解】(1)证明：因为a品+1=S叶1+Sm,所以a弱=Sn+Sm1(n≥2)， 两式相减得a品+1-a弱=a+1十arn≥2， 因为an>0,所以aH1+an≠0，所以a+1-an=1(n≥2)， 又因为a1=1,令n=1,可得a3=a2十2a1=a2十2，解得a2=2或a2=-1 则a2-a1=1,符合上式，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列. (2)解：由(1)知，数列{an}的通项公式为an=n,则bn=2.n, 可得Bn=2×1+22×2+23×3+…+2”.n, 则2Bn=22×1+23×2+24×3+…+2+1,n, 两式相减得-Bn=2+22+2+…+2”-21.n=-9-21.n=（1 1-2 所以Bn=(a-1)21+2,即数列{bn}的前n项和Bn=(a-1)2*1+2 (3)解：由1)知an=n,所以Sn=型 2 则ca=芳，=品==六一 A+1-n 所以Cn=-克短+克-+…+-=方-2可 7.【详解】(1)设数列{an}的公比为9， 由条件可知，2(a2+1)=a1+a3+1, 即2(g+1)=2+g2,得g=2或g=0(舍)， 所以an=2-1; (2)若选①，l0g2+1=n,log2+2=n+1, 所以bn=gaig==责一帝， 4/10 让教与学更高效 (舍去)， n]2m1-2, 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则Tn=(1-)+(3-青)+（有-）++（贵-）=1-： 若选②，bm=|l082n-3=|n-41, 数列{n-4}是前n项和是Sn=3+m=2 2 当n≤4时，数列（卫-4}的每一项都是非正数，所以Tn=-Sn=型， 2 当n≥5时，数列{n-4}的每一项都是正数， 所以Tn=Sn-S4-S4=Sn-2S4=2724, 所以Tn÷ 7,n≤4 2-7*24,n≥5 2 如选择③， 则bn=n+an=n+2r-1, 数列{n}的前n项和为29，数列(an}的前n项和为景=2”-1， 则Tn=2+2”-1 2 8.【详解】(I)因为m1=器，所以六=营=方·完+方， 所以站-1=（景-1）， 又a1=青，所以克-1=3-1=2， 所以数列{斋-1}是以2为首项，以号为公比的等比数列； (2)()由(1)可知克-1=2×()1=2×21-n=22n, 所以an=中，a1=2年7， 因为=安=离=器==1+品=1+ 21-"41 因为nEN,2-1≥1，所以1+2m1≥2，所以0<+≤， 所以1<bn≤，bn的取值范周{3多号91+}： (i)因为bn-1=2r,又因为2<2， 所以Tn=(b1-1)+(b2-1)+(b3-1)+…+(bm-1) =十++…+2<+（寺+声+…十2品) 5/10 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设8a=痴+(++…+安)=专+=+川1-（佳）]=月-() 当n=1时，S1=专<成立： 当n=2时，S2=1<号成立： 当n=3时，S3=景<号成立： 且随着值增大，（生）”逐渐减小，Sn逐渐增大， 因为()>0，所以Sn<是，所以Tn<Sn<, 即Tn< 目目 考点06 数列奇偶项问题 一、多选题 1.BCD 二、填空题 2.4 3.5 344 三、解答题 4.【详解】(1)已知数列{an}首项为1，且an十2,2n,a+1成等差数列，则 4n=an+a+1+2→4n-2=an十am1①→4n+2=a+1十aH2② 令n=1,得：a1十a2=2→a1=a2=1.由②减①，得aH2-an=4 (i)令n=2k-1,则a2k+1-a2k-1=4,a2k-1=1+4(k-1)=4k-3,即an=2n-1. (ii)令n=2k,则a2k+2-a2张=4，a2k=1+4(k-1)=4k-3,即an=2n-3 |2n-1,n为奇数 综上所述，数列{an}的通项公式为n= (2n-3,n为偶数 (2)令n=2k,Sn=S2k=(a1+a3+.+a2k-1)+(a2+a4+.+a2k)=-y++4- 2 =4k2-2k,即Sn=n2-n, 令n=2k-1,则Sn=S2k-1=S2k-ax=4k2-2k-(4k-3)=4k2-6k+3, 即Sn=n2-n+1 6/10 耐学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 n2-n,n为偶数 综上所述，数列{an}的前n项和Sn= (n2-n+1,n为奇数 5.【详解】(1)由aH1十an=-4×3”,则a#1=-4×3”-an, 又a1=-2, 得a2=-4×3-a1=-10, a3=-4×32-a2=-26, a4=-4×33-a3=-82. (2)由at1+an=-4×3, 得a#1十31=-n-3”=-(an十3”)， 所2--1. 又a1+3=1, 所以{an十3}是以1为首项，-1为公比的等比数列， 所以an+3”=(-1)1,故an=(-1)1-3. (3)由(2)得bn=nan=(-1)n-1n-n×3”, 所以Sn=1-2+3-4+…+(-1)1n-(1×3+2×32+…+n×3). 设Tn=1×3+2×32+…+n×3,① 则3Tn=1×32+2×33+…+n×3+1,② 由①-②得-27n=3+32+33+…+3”-n×3+1=4=9-n×3m1=-2婴学2×31- 则Tn=2空×3+： 当n为奇数时， Sm=-学+n-(1×3+2×32+…+n×3)=学-2婴×31-是=2m4: 当n为偶数时， Sm=-号-（1×3+2×32+…+n×3)=-号-2年×3+1-是=-24-2×31， ②--3》，n为奇数 2驶-年×3*1n为偶数 4 6.【详解】(1){an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，设公差为d,公比为g(g>0),由 7/10 学科网 www.zxxk.com a1=1,b1=2,a3-b2=1,5+a2=b3, 11+2d=2g+1 可得{5+1+d=2g2,解得：d=g=2(负的舍去)， 则an=2n-1,bn=2 (2n-1,n为奇数 (2)cn= 2”,n为偶数 S2m=(C1+c3+…+c2-1)+(c2+c4十…+c2m)=(1+5+ n1+4-3 41-49 2 1-4 =2n2-n+号(4-1) 目目 考点07 数列不等式问题 、 解答题 1.【详解】(1)当n=1时，a1十3a1=4→a1=1 当n≥2时，n2(Sn-Sm-1)+(2n+1)Sn=4n,即(n+1)Sn-n2Sm- 记An=(n+1)Sn'则A1=4,An-An-1=4n. 由累加得An=4+42+3+…+n)=2n2+2n,n=1是也适合， 故==等=品， (2)(1由题器=尝，由累乘得b如=b是=是， Tn=1+号+是+…+品@ Tn=吉+是+是+…+景② ①-②得2Tn=1+号+支+寺+…十÷-贵=2(1-寺)-贵， Tn=4兴； （i）an=如2*108=2 H1), 22+1 2 i记cn=是=若=m(cn>0). 岩==1+群， 当1≤n≤3时，0<号<1，当n≥4时，>1， 8/10 让教与学更高效 +4n-3)+(22+24+…+22m) =4n, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以G>c2>c3>c4<cs<c6<…,故(cn)mn=c4=, T#1-Tn=学>0，数列{Tn}单调递增，所以Tn<4, 于是只需酷≥4入，得入≤壳，所以入最大值为品 2.【详解】(1)证明：因为S+1=2Sn+n+1(neN),所以Sn=2S-1十n(n≥2)， 所以am1=2an+1(n≥2)→am1+1=2(an+1)(n≥2)， 又a1+1=2,S2=2S1+2即a2+1=2(a1+1), 所以数列{an十1}是公比和首项均为2的等比数列， (2)由(1)an=2”-1,所以f(x)=2x+22x2+…+2xn-x-x2-…-x, 所以f(x)=1·2+2·22x++3·23x2+…+n·2”xr-1-1-2x-3x2-…-nx-1, 所以f(1)=12+222+3-23+…+n-2”-1-2-3-…-n=Hn-9 2 所以2Hn=122+223++324+…+n2+1, 所以-Ha=2+22+23+…+24-n-2*1-249-n2+1=(1-)21-2, 所以Hn=(n-1)2+1+2, 所以f(1)=(n-1)2*1+2-9 (3)不存在，理由如下：由题bn=-2*1-(-1)1an=-2*1-(-1)”1·(2”-1), 则b+1=-22-(-1)+17·(2+1-1),设b+1>bn对任意正整数n都成立， 则当为得数，-2*2+入(21-)>-21-(2-1)>西=号、 因为n为偶数，所以号<≤导，所以>： 当n为数，-2*2-1-(21-1)>-21+(2”-1)÷<= 2 因为加为奇数，所以-1≤子<-黄。所以<-1， 综上所述，不存在实数入，使b叶1>bn对任意正整数n都成立. 3.【详解】(1)设等差数列an}的公差为d 根据等差数列的性质：可得a1十a5=2a3=8,则a3=4,即a1+2d=4. 由等差数列的前n项和公式，可得S6=6a1+d=33,即6a1+15d=33 a1+2d=4 联立方程组6a1十15d=33，解得d=3 9/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 将d=3代入a1=4-2d,可得a1=4-2×3=-2 所以数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d=-2+3a-1)=3n-5 (2)由(1)可知an=3n-5,则aH1=3(a+1)-5=3n-2,a42=3(n+2)-5=3n+1 所以=n=凯品一扇)】 则Tn=1-)+(行-)+…+（点-品】 -(1-品)=品 因为入Tn<an对Vn∈N恒成立，即入3+<3n-5恒成立 因为Nne了，所以<Br-X=225=9n-12-易恒成立 令f(n)=9n-12-员，nen 对f(n)求导得f(a)=9+是0，所以f(n)在neN上单调递增 则(am=f)=9×1-12-1=-8,所以7<-8 10/10 专题02 数列 7大高频考点概览 考点01数列的概念 考点02等差数列性质与求和 考点03等比数列性质与求和 考点04数列通项 考点05数列求和 考点06数列奇偶项问题 考点07数列不等式问题 地 城 考点01 数列的概念 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知数列中，，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】依次求出数列前几项得出数列周期即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以，...， 所以数列是周期为3的数列，所以. 故选：A 2．（24-25高二下·辽宁鞍山二十四中·期末）已知单调递增数列的通项公式为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶分类讨论不等式恒成立可得. 【详解】由已知恒成立，即恒成立， 为奇数时，，，的最小值是，所以，， 为偶数时，，，的最小值是，所以，， 所以， 故选：A. 二、填空题 3．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）写出数列的一个递推公式：，___________；一个通项公式：___________. 【答案】 （答案不唯一）； . 【分析】观察分析得即可得递推公式，根据递推公式结合累加法即可求通项公式. 【详解】记数列的第n项为， 则 地 城 考点02 等差数列性质与求和 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差中项的性质直接可得解. 【详解】由已知数列为等差数列， 则，解得， 故选：B. 2．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知等差数列的前项和为，则（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】先由题设结合等差数列分段和性质求出，再由即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题， 所以. 故选：C 3．（24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末）设为等差数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】先根据等差数列的前项和公式求出，进而求出公差，然后利用等差数列的性质，即可求出. 【详解】因为是等差数列， 所以， 所以，又因为， 所以， 所以    . 故选：A 4．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）等差数列的前项和为，若，则（    ） A．18 B．24 C．12 D．32 【答案】C 【分析】根据等差数列的求和公式及性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 根据等差数列下标和性质， 所以． 故选：C. 5．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，再根据，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 6．（24-25高二下·辽宁省朝阳市建平县高中·期末）记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则（    ） A．70 B．65 C．55 D．50 【答案】B 【分析】根据等差数列的基本量与性质求解公差，从而可得通项公式，再由等差数列的前项和公式求解. 【详解】由等差数列，设，为公差， 由于，则，化简得， 由于数列单调递增，因此，解出，因此，则. 故选：B. 7．（24-25高二下·辽宁五校联考·期末）已知数列，若数列与数列都是公差不为零的等差数列，则数列的公差为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为且，等差数列的公差为且，进而根据累加法得，，进而整理得，故，即. 【详解】设等差数列的公差为，且，则， ∴， ∴， ∵为等差数列，∴，(且为公差) ∴， ∴，∵，∴. 故选：A. 二、多选题 8．（24-25高二下·辽宁省朝阳凌源高中·期末）（多选）已知等差数列的公差，其前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．若，则有最大值 C．，，成等差数列 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】根据等差数列前n项和应用对应证明等差判断A,应用数列正负求前n项和的最大值，特殊值法判断C,结合等差数列性质判断D. 【详解】，，故A正确； 若，则，最大；若，，最大； 若，则，则存在，，，故最大，故B正确； 对数列：1，2，3，…，取，，，，故C错误； 不妨设，则， 即，∴， 而，故，D正确． 故选:ABD． 9．（24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末）（多选）已知是等差数列的前项和，，则下列说法正确的是（    ） A．的公差为 B． C．数列为递增数列 D．当且仅当时，取得最大值 【答案】AB 【分析】A选项，设出公差，根据得到方程，求出公差；B选项，利用等差数列通项公式进行求解；C选项，计算出，得到单调性；D选项，在C基础上，由二次函数的性质可知，D错误. 【详解】A选项，设等差数列的公差为，由，得， 即，解得，A正确； B选项，，B正确； C选项，由上可知，所以， 根据一次函数的性质可知，数列为递减数列，C错误； D选项，由二次函数的性质可知，其对称轴方程为， 又，所以当或时，取得最大值，D错误． 故选：AB 10．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）（多选）已知数列 满足 ，则（    ） A．数列 是等差数列 B． C．若 ，则 D． 【答案】AC 【分析】由两边同时取倒数即可证明 是等差数列，判断选项A；从而得到的通项公式，即可判断选项B；由，裂项相消即可求解判断选项C；由 是等差数列，其前项和为，即可判断选项D. 【详解】因为，所以， 即，所以 是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； ，所以，故B错误； 若 ， 所以，故C正确； ，故D错误； 故选：AC. 三、填空题 11．（24-25高二下·辽宁大连·期末）下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每一行和每一列都分别是等差数列．记第行第列的数为（其中），则________，数字在表中总计出现________次． 13 【答案】 【分析】根据“森德拉姆数筛”的特点可写出通项公式，进而可得及出现的次数. 【详解】由已知， 所以， 令， 则， 又，设与所表示的数对为， 则其可能的取值有，，，，，，，，，，，，，，，共有个， 即数字共出现次， 故答案为：，. 地 城 考点03 等比数列性质与求和 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末）在等比数列中，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列性质得到，结合题目条件求出答案. 【详解】由等比数列的性质可知，又，所以． 故选：D． 2．（24-25高二下·沈阳重点高中联合体·期末）已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的公比为q，根据等比数列前n项和基本量运算求得，然后利用等比数列基本量运算求解即可. 【详解】设的公比为q， 因为 ， 所以，所以． 故选：A． 3．（24-25高二下·辽宁大连·期末）“数列，，为等比数列”是“数列，，为等比数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等比中项，充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若数列为等比数列，则， 此时，则数列为等比数列， 若数列为等比数列，则，即， 所以数列为等比数列. 故“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的充要条件. 故选：C. 4．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）“为等比数列”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由等比数列定义逐一分析充分性和必要性即可得解. 【详解】若为等比数列，则， 所以，即一定是等比数列，故必要性成立； 若为等比数列，则， 所以，即不一定是等比数列，故充分性不成立． 故“为等比数列”是“为等比数列”的必要不充分条件. 故选：B 5．（24-25高二下·辽宁五校联考·期末）已知数列为等比数列，则“数列为单调递增数列”的_____条件是“对任意有恒成立”．（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．非充分非必要 【答案】C 【分析】利用等比数列及递增数列的性质判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义判断即可得. 【详解】设的公比为且，， 若为递增数列，则恒成立； 若对任意有恒成立，则，所以， 时，或，显然时，不符； 所以，此时，则为递增数列； 时，或，显然时，不符； 所以，此时，则为递增数列； 综上，“对任意有恒成立”是“数列为单调递增数列”的充要条件. 故选：C 二、填空题 6．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设等比数列的前项和为，若，则______． 【答案】31 【分析】设，根据等比数列的前项和的性质列式求解即可. 【详解】因为为等比数列，且，所以，，成等比数列． 设，则． 因则有，即，所以． 故．故答案为：31. 7．（24-25高二下·辽宁省朝阳市建平县高中·期末）已知等比数列的前项和为，且，则__________. 【答案】21 【分析】根据等比数列片段和的性质可求的值. 【详解】因为为等比数列，其前项和为， 所以为等比数列，故为等比数列， 故，故， 故答案为：21 8．（24-25高二下·辽宁鞍山二十四中·期末）已知正项等比数列，，则_______． 【答案】58 【分析】根据等比数列的性质求解． 【详解】是正项等比数列，则，， 所以， 故答案为：58. 9．（24-25高二下·辽宁五校联考·期末）《庄子·天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.其中隐含了关系式：．类似的，我们可以将一个无限循环小数表示为分数：_____． 【答案】 【分析】由，即可列方程，解方程即可求值. 【详解】， ， 令,则,解得， 故答案为： 三、解答题 10．（24-25高二下·沈阳重点高中联合体·期末）已知数列的前n项和为． (1)若是等差数列，且，求； (2)若是等比数列，且，3，成等差数列，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的公差为d，利用等差数列前n项和的基本量运算求出，然后代入等差数列通项公式求解即可； （2）设的公比为q，利用等差中项性质求得，然后利用等比数列前n项和公式求解即可. 【详解】（1）设的公差为d，由，得，解得， 所以． （2）设的公比为q，则，因为，3，成等差数列， 所以，即，解得，所以． 11．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列． (2)若，求满足条件的最小整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)1000 【分析】（1）取倒数法得到，证明出结论； （2）在（1）基础上，得到通项公式，分组求和得到，令，单调递增，由特殊点函数值，得到答案． 【详解】（1）证明：因为，所以，所以． 因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）知， 所以． 令，易知单调递增． 因为，， 所以满足条件的最小整数为1000． 地 城 考点04 数列通项 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁省辽西重点高中·期末）对于任意，，且，则（    ） A． B．1 C．2025 D．4049 【答案】D 【分析】利用数列递推思想，结合裂项法和累加法来求出即可. 【详解】由，当时，可得， 赋值可得：， 利用累加法可得：， 代入可得：， 故选：D. 2．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）在数列中，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干条件构造等比数列，进行求解. 【详解】令，则， 又，所以是以3为首项，为公比的等比数列， 所以，得． 故选：C． 二、多选题 3．（24-25高二下·沈阳五校协作体·期末）（多选）设数列的前项n和为，若，，则下列说法正确的是（   ） A．为等比数列 B． C．既有最大值也有最小值 D． 【答案】AD 【分析】首先根据求出的通项公式，然后求出，从而确定每个选项. 【详解】因为，所以时，. 所以， 所以，所以数列从第2项起是公比为3的等比数列. 由于，因此，故D正确； 所以当时，，而也符合， 所以数列的通项公式为，又， 故数列是首项为1公比为3的等比数列，A正确B错误； 因为数列的首项为1，且从第二项开始，以为首项，以3为公比的等比数列，所以数列是递增的数列，最小值为，没有最大值，C错误； 故选：AD. 4．（24-25高二下·辽宁大连·期末）（多选）在数列中，下列结论正确的是（   ） A．若数列的前项和，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，，且，则 【答案】BCD 【分析】利用退一相减法求得，可判断A选项，根据数列的周期性可判断B选项，利用累乘法求得通项公式，可判断C选项，利用构造法，结合累加法与等比数列求和公式可得通项，即可判断D选项. 【详解】A选项：由已知，当时，， 当时，， 综上所述，A选项错误； B选项：由已知，则，即， 又，，即， 所以当为奇数时，，当为偶数时，， 综上所述，B选项正确； C选项：由，即，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，所以，C选项正确； D选项：由已知， 可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，即，，，， 等式左右分别相加可得， 又，则，D选项正确； 故选：BCD. 5．（24-25高二下·辽宁五校联考·期末）（多选）已知无穷数列满足，设其前n项和为，记，则（   ） A．存在等差数列，使得是递增数列； B．存在等比数列，使得是递增数列； C．若是递减数列，则且； D．若是递减数列，则可能存在且，使得． 【答案】BC 【分析】利用等差求和公式，结合作差即可求解A,据特例即可求解B，利用单调性得，即可由迭代法求解C，根据单调性得，即可判断D. 【详解】对于A,当为等差数列时，设首项和公差分别为，则， 则，当时，， 由于， 由于，故当时，， 故，不满足为递增数列，故A错误， 对于B, 当为等比数列时，设，则， ，由于单调递减，故为递增数列，故B正确， 对于C, 是递减数列，则时，， 即，故，故C正确， 对于D, 是递减数列，则时，， 即， 故不存在且，使得．故D错误， 故选：BC 6．（24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末）（多选）已知数列各项均为正数，其前项和满足．则下列结论正确的有（    ） A．的第2项小于 B． C．为递减数列 D．中存在小于的项． 【答案】ACD 【分析】求得，即可判断A；由已知可得，结合，可判断B；由，可判断C；利用反证法可得中存在小于的项，可判断D． 【详解】对于A，当时，，所以，因为数列各项均为正数，解得， 当时，，所以，所以， 解得， 因为数列各项均为正数，故，故A正确； 对于B，由，得，当时，可得， 两式相减得，所以，所以， 解得， 因为数列各项均为正数，所以， 又，由选项可得：显然无意义，故B错误； 对于C，因为，则得， 所以为递减数列，故C正确； 对于D，假设对，都有，则， 所以，与已知矛盾，即假设不成立， 所以数列中存在小于的项，故D正确． 故选：ACD． 地 城 考点05 数列求和 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则写错之前这个数为（   ） A．64 B． C．100 D． 【答案】A 【分析】由分组求和及等差数列的前n项和公式即可直接求得答案. 【详解】由，则其前20项和为． 设写错项为，则，解得，故写错之前这个数为. 故选：A 2．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与的关系求得，进而求出，利用裂项相消求和法即可求解. 【详解】由题意知①， 当时，， 当时，②， ①-②，得， 若，，符合题意， 所以，则， 所以， 则 . 故选：D. 二、解答题 3．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用等差数列通项公式及求和公式基本量运算求解即可； （2）裂项相消法计算求和. 【详解】（1）由已知可得， 解得， 所以． （2）由（1）可知， 所以． ． 4．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式; （2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可. 【详解】（1）因为， 所以 （2）因为， 所以 . 5．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退一相减法可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法可得. 【详解】（1）当时，； 当时，由可知， 两式相减得，即． 又因为，且， 所以数列从第二项起是等比数列，公比为， 所以， 综上所述，； （2）由（1）可知． ，① ，② ①②，得 ． 所以． 6．（24-25高二下·沈阳重点高中联合体·期末）已知正项数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，得到，两式相减得，结合得出数列的定义，即可证得数列为等差数列； （2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）由（1）得，求得，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】（1）证明：因为，所以， 两式相减得， 因为，所以，所以， 又因为，令，可得，解得或（舍去）， 则，符合上式，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． （2）解：由（1）知，数列的通项公式为，则， 可得， 则， 两式相减得， 所以，即数列的前n项和. （3）解：由（1）知，所以， 则， 所以． 7．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）已知数列是首项为1的等比数列，且是和的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．记 ，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由条件可知，，再代入等比数列通项公式，即可求解； （2）若选①，利用裂项相消法求和；若选②，结合绝对值里面的正负，分情况求和；若选③，利用等差和等比数列求和公式，即可求解. 【详解】（1）设数列的公比为， 由条件可知，， 即，得或（舍）， 所以； （2）若选①，，， 所以， 则； 若选②，， 数列是前项和是， 当时，数列的每一项都是非正数，所以， 当时，数列的每一项都是正数， 所以， 所以； 如选择③，则， 数列的前项和为，数列的前项和为， 则. 8．（24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末）已知数列中，，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)记，数列的前项和为． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）将左右两边取倒数，得到，将其变形为，即可根据等差数列的定义，证明数列为等比数列； （2）（i）由（1）得到及的解析式，进而得到的解析式，通过讨论的取值范围，即可得到的取值范围；（ii）先得到的解析式，进而得到其前项和的解析式，通过放缩，将其转化成求一个等比数列的前项和，通过讨论的范围，即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又，所以， 所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列； （2）（i）由（1）可知， 所以，， 因为， 因为，，所以，所以， 所以，的取值范围； （ii）因为，又因为， 所以 设 . 当时，成立； 当时，成立； 当时，成立； 且随着值增大，逐渐减小，逐渐增大， 因为，所以，所以， 即. 地 城 考点06 数列奇偶项问题 一、多选题 1．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末）（多选）已知是数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A． B．是等比数列 C．是递增数列 D．能被7整除 【答案】BCD 【分析】根据题设，计算求解即可判断A；根据等比数列的定义结合题设判断B；求出，结合递增数列的定义判断C；先求出，再结合二项式定理判断D. 【详解】对于A，由，可得， 故，A错误； 对于B，由， 则，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，B正确； 对于C，，即， 所以，即， 令， 所以是递增数列，C正确； 对于D，因为， 所以， 即， 因为 ， 所以能被7整除，又也能被7整除，所以D正确. 故选：BCD. 二、填空题 2．（24-25高二下·沈阳重点高中联合体·期末）已知数列满足，且当n为奇数时，；当n为偶数时，则被9整除所得余数为______． 【答案】 【分析】根据题意，当n为奇数时，得到，当n为偶数时，得到，得到数列为等比数列，求得，结合二项式的展开式，即可求解. 【详解】当n为奇数时，，所以． 当n为偶数时，，所以，所以， 所以数列是首项为4、公比为2的等比数列， 所以， 所以， 又由, 可得被整除的余数为，即被整除的余数为. 故答案为：. 3．（24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末）甲、乙玩报数游戏，约定规则如下：甲、乙轮换报数，若一人报出的正整数为奇数，则另一人报出的数为；若一人报出的正整数为偶数，则另一人报出的数为；当一人报出的数为1时，游戏结束．已知由甲先报数，且报出的正整数为．若，则游戏结束时，甲报出数字的次数为_____；若游戏结束时，甲、乙共报数次，则正整数所有可能的取值之和为_____． 【答案】 【分析】根据报数规则依次列举可得当时，甲报数的次数；根据数列的递推公式，可推出的值，即可得解. 【详解】设甲、乙报出的数构成数列， 则甲报出的数为该数列的奇数项，乙报出的数为该数列的偶数项， 当时，，，，，，，，， 所以甲报出数字的次数为； 由上可知， 因为游戏结束时，甲、乙共报数次，所以，从而，， 可知（舍）或， 所以， 若为奇数，由，得； 若为偶数，由，得． 当时，因为不是的整数倍，则为偶数， 所以， 则或， 又或均不是的整数倍，则为偶数， 进而得出或； 当时，因为不是的整数倍，则为偶数， 所以，则或， 又或均不是的整数倍，则为偶数， 进而得出或， 综上，正整数所有可能的取值为，和为， 故答案为：，. 三、解答题 4．（24-25高二下·辽宁鞍山二十四中·期末）已知数列首项为，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件推出，结合等差数列性质，推出数列的通项公式； （2）利用前项和公式定义，利用（1）的结论，分和两种情况计算. 【详解】（1）已知数列首项为，且，，成等差数列，则①② 令，得：.由②减①，得. （i）令，则，，即. （ii）令，则，，即. 综上所述，数列的通项公式为. （2）令， ，即， 令，则， 即. 综上所述，数列的前项和. 5．（24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末）已知数列满足，且． (1)求，，； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）分别将，，代入中计算即可得解； （2）将整理等式得到，进而根据等比数列的通项公式即可得到答案； （3）结合（2）得到的通项公式，再运用错位相减，分为奇数，为偶数两种情况计算即可得到答案． 【详解】（1）由，则， 又， 得， ， ． （2）由， 得， 所以， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故． （3）由（2）得， 所以． 设，① 则，② 由①－②得 则； 当为奇数时， ；                              当为偶数时， ； 故 6．（24-25高二下·辽宁省辽西重点高中·期末）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而可求得，； （2）由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解． 【详解】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为，由，，，， 可得，解得：（负的舍去）， 则， （2） ∴ . 地 城 考点07 数列不等式问题 一、解答题 1．（24-25高二下·辽宁五校联考·期末）设数列的前n项和为，且满足：． (1)求； (2)设数列满足：． （ⅰ）求的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若对任意，有，求实数的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ） 【分析】（1）应用及累加法计算得出通项公式； （2）（ⅰ）应用累乘法得出通项应用错位相减计算求和；（ⅱ）先根据作商计算得出数列的单调性得出数列的最小值，结合最值计算求参. 【详解】（1）当时， 当时，，即， 记，则． 由累加得，是也适合， 故； （2）（i）由题，由累乘得， ① ② ①-②得， ； （ⅱ）， 记． ， 当时，，当时，， 所以，故， ，数列单调递增，所以， 于是只需，得，所以最大值为. 2．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知数列的首项的前项和为，且. (1)证明数列是等比数列； (2)令，求函数在点处的导数； (3)设，是否存在实数，使对任意正整数都成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）由和作差结合等比数列定义即可求证； （2）先由（1）得，接着计算导数再结合错位相减法和等差等比数列前n项和公式即可计算求解； （3）分为偶数和为奇数分析不等式成立时的参数解即可得解. 【详解】（1）证明：因为，所以， 所以， 又，即， 所以数列是公比和首项均为2的等比数列. （2）由（1），所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. （3）不存在，理由如下：由题， 则，设对任意正整数都成立， 则当为偶数时，， 因为为偶数，所以，所以； 当为奇数时，， 因为为奇数，所以，所以， 综上所述，不存在实数，使对任意正整数都成立. 3．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）已知等差数列 的前 项和为 ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)记数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的性质和前项和公式列出关于首项和公差的方程组，求解得到和，进而得到通项公式.（2）先根据第（1）问的结果求出的表达式，再用裂项相消法求出，然后将恒成立转化为小于一个关于的式子的最小值问题，借助导数求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 根据等差数列的性质：可得，则，即. 由等差数列的前项和公式，可得，即. 联立方程组， 解得. 将代入，可得. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知，则，. 所以. 则 . 因为对恒成立，即恒成立. 因为，所以恒成立. 令，. 对求导得，所以在上单调递增. 则， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数列 7大高频考点概览 考点01数列的概念 考点02等差数列性质与求和 考点03等比数列性质与求和 考点04数列通项 考点05数列求和 考点06数列奇偶项问题 考点07数列不等式问题 地 城 考点01 数列的概念 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知数列中，，则（   ） A． B． C． D．5 2．（24-25高二下·辽宁鞍山二十四中·期末）已知单调递增数列的通项公式为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）写出数列的一个递推公式：，___________；一个通项公式：___________. 地 城 考点02 等差数列性质与求和 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列中，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知等差数列的前项和为，则（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 3．（24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末）设为等差数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D．0 4．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）等差数列的前项和为，若，则（    ） A．18 B．24 C．12 D．32 5．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·辽宁省朝阳市建平县高中·期末）记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则（    ） A．70 B．65 C．55 D．50 7．（24-25高二下·辽宁五校联考·期末）已知数列，若数列与数列都是公差不为零的等差数列，则数列的公差为（   ） A． B． C． D．不确定 二、多选题 8．（24-25高二下·辽宁省朝阳凌源高中·期末）（多选）已知等差数列的公差，其前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．若，则有最大值 C．，，成等差数列 D．若，，则 9．（24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末）（多选）已知是等差数列的前项和，，则下列说法正确的是（    ） A．的公差为 B． C．数列为递增数列 D．当且仅当时，取得最大值 10．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）（多选）已知数列 满足 ，则（    ） A．数列 是等差数列 B． C．若 ，则 D． 三、填空题 11．（24-25高二下·辽宁大连·期末）下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每一行和每一列都分别是等差数列．记第行第列的数为（其中），则________，数字在表中总计出现________次． 13 地 城 考点03 等比数列性质与求和 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末）在等比数列中，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 2．（24-25高二下·沈阳重点高中联合体·期末）已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·辽宁大连·期末）“数列，，为等比数列”是“数列，，为等比数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）“为等比数列”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高二下·辽宁五校联考·期末）已知数列为等比数列，则“数列为单调递增数列”的_____条件是“对任意有恒成立”．（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．非充分非必要 二、填空题 6．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设等比数列的前项和为，若，则______． 7．（24-25高二下·辽宁省朝阳市建平县高中·期末）已知等比数列的前项和为，且，则__________. 8．（24-25高二下·辽宁鞍山二十四中·期末）已知正项等比数列，，则_______． 9．（24-25高二下·辽宁五校联考·期末）《庄子·天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.其中隐含了关系式：．类似的，我们可以将一个无限循环小数表示为分数：_____． 三、解答题 10．（24-25高二下·沈阳重点高中联合体·期末）已知数列的前n项和为． (1)若是等差数列，且，求； (2)若是等比数列，且，3，成等差数列，求． 11．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列． (2)若，求满足条件的最小整数． 地 城 考点04 数列通项 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁省辽西重点高中·期末）对于任意，，且，则（    ） A． B．1 C．2025 D．4049 2．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）在数列中，若，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高二下·沈阳五校协作体·期末）（多选）设数列的前项n和为，若，，则下列说法正确的是（   ） A．为等比数列 B． C．既有最大值也有最小值 D． 4．（24-25高二下·辽宁大连·期末）（多选）在数列中，下列结论正确的是（   ） A．若数列的前项和，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，，且，则 5．（24-25高二下·辽宁五校联考·期末）（多选）已知无穷数列满足，设其前n项和为，记，则（   ） A．存在等差数列，使得是递增数列； B．存在等比数列，使得是递增数列； C．若是递减数列，则且； D．若是递减数列，则可能存在且，使得． 6．（24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末）（多选）已知数列各项均为正数，其前项和满足．则下列结论正确的有（    ） A．的第2项小于 B． C．为递减数列 D．中存在小于的项． 地 城 考点05 数列求和 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则写错之前这个数为（   ） A．64 B． C．100 D． 2．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 4．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 5．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 6．（24-25高二下·沈阳重点高中联合体·期末）已知正项数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和； (3)若，求数列的前n项和． 7．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）已知数列是首项为1的等比数列，且是和的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．记 ，求数列的前项和． 8．（24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末）已知数列中，，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)记，数列的前项和为． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 地 城 考点06 数列奇偶项问题 一、多选题 1．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末）（多选）已知是数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A． B．是等比数列 C．是递增数列 D．能被7整除 二、填空题 2．（24-25高二下·沈阳重点高中联合体·期末）已知数列满足，且当n为奇数时，；当n为偶数时，则被9整除所得余数为______． 3．（24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末）甲、乙玩报数游戏，约定规则如下：甲、乙轮换报数，若一人报出的正整数为奇数，则另一人报出的数为；若一人报出的正整数为偶数，则另一人报出的数为；当一人报出的数为1时，游戏结束．已知由甲先报数，且报出的正整数为．若，则游戏结束时，甲报出数字的次数为_____；若游戏结束时，甲、乙共报数次，则正整数所有可能的取值之和为_____． 三、解答题 4．（24-25高二下·辽宁鞍山二十四中·期末）已知数列首项为，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 5．（24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末）已知数列满足，且． (1)求，，； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 6．（24-25高二下·辽宁省辽西重点高中·期末）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 地 城 考点07 数列不等式问题 一、解答题 1．（24-25高二下·辽宁五校联考·期末）设数列的前n项和为，且满足：． (1)求； (2)设数列满足：． （ⅰ）求的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若对任意，有，求实数的最大值． 2．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知数列的首项的前项和为，且. (1)证明数列是等比数列； (2)令，求函数在点处的导数； (3)设，是否存在实数，使对任意正整数都成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 3．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）已知等差数列 的前 项和为 ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)记数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，求 的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $