26.2.3.1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，系统梳理一般式定义、三参数意义、对称轴与顶点坐标公式等核心知识点。通过“思考如何将一般式化为顶点式”的问题链，引导学生从已学的顶点式知识过渡，以配方法示例为支架，构建知识衔接。 其亮点在于以“问题探究-例题示范-中考链接”为主线，通过配方法步骤分解、列表描点与平移法作图等学科特色教学，培养学生运算能力与推理意识。如将y=1/2x²-6x+21配方转化为顶点式，结合“左同右异”口诀判断对称轴位置，课堂小结系统归纳知识要点。学生能深化理解与应用，教师可借助分层练习与易错总结提升教学针对性。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月25日 26.2.3.1二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第26章 二次函数 26.2.3.1 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象和性质 练习题（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 一般式定义：形如 $$y=ax^2+bx+c$$（$$a、b、c$$为常数，$$a eq0$$）的二次函数称为一般式，是二次函数最通用的形式，所有二次函数均可化为一般式。 2. 三参数意义：$$a$$决定开口方向与开口宽窄；$$a、b$$共同决定对称轴位置；$$c$$决定抛物线与$$y$$轴交点位置。 3. 核心公式（必考）： 对称轴公式：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$ 顶点横坐标：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$ 顶点纵坐标：$$y=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$ 顶点坐标：$$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)$$ 4. 图象基本性质：图象为抛物线，形状、开口由$$a$$决定。 ① $$a&gt;0$$：开口向上，顶点为最低点，有最小值； ② $$a<0$$：开口向下，顶点为最高点，有最大值； ③ $$|a|$$越大，开口越窄；$$|a|$$越小，开口越宽。 5. 增减性规律（以对称轴为分界线）： ① $$a>0$$：当$$x<-\dfrac{b}{2a}$$时，$$y$$随$$x$$增大而减小；当$$x>-\dfrac{b}{2a}$$时，$$y$$随$$x$$增大而增大。 ② $$a<0$$：当$$x<-\dfrac{b}{2a}$$时，$$y$$随$$x$$增大而增大；当$$x>-\dfrac{b}{2a}$$时，$$y$$随$$x$$增大而减小。 6. 最值公式： $$a>0$$，$$y_{min}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$；$$a<0$$，$$y_{max}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$。 7. 特殊交点：抛物线与$$y$$轴交点坐标恒为 $$(0,c)$$。 8. 对称轴符号口诀：左同右异。 ① $$a、b$$同号，对称轴在y轴左侧；② $$a、b$$异号，对称轴在y轴右侧；③ $$b=0$$，对称轴为y轴。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 抛物线$$y=x^2-4x+1$$的对称轴是（） A. 直线$$x=2$$ B. 直线$$x=-2$$ C. 直线$$x=4$$ D. 直线$$x=-4$$ 2. 抛物线$$y=-2x^2+3x-5$$的开口方向和最值情况是（） A. 向上，有最小值 B. 向上，有最大值 C. 向下，有最小值 D. 向下，有最大值 3. 抛物线$$y=3x^2-6x$$与y轴的交点坐标是（） A. $$(0,-6)$$ B. $$(0,0)$$ C. $$(0,3)$$ D. $$(0,6)$$ （二）填空题 4. 二次函数$$y=2x^2+8x-1$$的对称轴为________，顶点横坐标为________。 5. 抛物线$$y=-x^2+4x-2$$有最________值，最值为________。 6. 若抛物线$$y=ax^2+2x+3$$的对称轴在y轴右侧，则$$a$$的取值范围是________。 （三）解答题 7. 求二次函数$$y=x^2-2x-3$$的对称轴、顶点坐标和最值。 8. 写出二次函数$$y=-2x^2+8x-5$$的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：A。解析：$$a=1,b=-4$$，对称轴$$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2}=2$$。 2. 答案：D。解析：$$a=-2<0$$，开口向下，抛物线有最高点，存在最大值。 3. 答案：B。解析：与y轴交点令$$x=0$$，得$$y=0$$，交点$$(0,0)$$。 4. $$x=-2$$$$-2$$答案：直线，。解析：$$a=2,b=8$$，$$x=-\dfrac{8}{4}=-2$$。 5. 答案：大，2。解析：$$a=-1<0$$有最大值，代入公式：$$y=\dfrac{4\times(-1)\times(-2)-16}{-4}=\dfrac{8-16}{-4}=2$$。 6. $$a<0$$答案：。解析：对称轴在y轴右侧，满足“右异”，$$a、b$$异号，$$b=2>0$$，故$$a<0$$。 7. 解析：由$$a=1,b=-2,c=-3$$，对称轴：$$x=-\dfrac{-2}{2}=1$$。 顶点纵坐标：$$y=\dfrac{4\times1\times(-3)-4}{4}=\dfrac{-12-4}{4}=-4$$，顶点坐标$$(1,-4)$$。 $$a=1&gt;0$$，当$$x=1$$时，函数最小值为$$-4$$，无最大值。 8. 解析：$$a=-2,b=8,c=-5$$ 开口方向：$$a=-2<0$$，开口向下； 对称轴：$$x=-\dfrac{8}{2\times(-2)}=2$$，即直线$$x=2$$； 顶点纵坐标：$$y=\dfrac{4\times(-2)\times(-5)-64}{4\times(-2)}=\dfrac{40-64}{-8}=3$$，顶点坐标$$(2,3)$$； 最值：$$a<0$$，当$$x=2$$时，最大值为$$3$$； 增减性：$$x<2$$时，$$y$$随$$x$$增大而增大；$$x>2$$时，$$y$$随$$x$$增大而减小。 四、易错总结 1. 对称轴公式记错符号，漏写负号，是本节第一易错点；2. 混淆一般式与顶点式的最值求法，乱用公式；3. “左同右异”理解错误，判断对称轴位置出错；4. 求顶点纵坐标计算量大，容易算错符号；5. 判断增减性时，未区分开口方向直接套用结论。 会用配方法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k. 能熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. 会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，探索并掌握二次函数的性质. 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ 【思考1】怎样将 化成 y=a(x-h)2+k的形式？ 探究新知 画出二次函数y=ax2+bx+c的图象 知识点 1 3 配方可得 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 探究新知 怎样将 化成 y=a(x-h)2+k的形式？ 配方 (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 【提示】配方后的解析式通常称为配方式或顶点式. 探究新知 【思考2】你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）. 【思考3】二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 探究新知 6 【思考4】 如何画二次函数 的图象？ … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 1. 利用图象的对称性列表 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 2.然后描点画图，得到 图象如右图. O 方法一：描点法 探究新知 方法二：平移法 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 探究新知 【思考5】 结合二次函数 的图象，说出其性质. 5 10 x y 5 10 x=6 当x<6时，y随x的增大而减小； 当x>6时，y随x的增大而增大. O 探究新知 开口方向： 对 称 轴： 顶 点： 向上 x=6 (6,3) 例 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质. x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 解: 函数 通过配方可得 ， 先列表： 画二次函数y=ax2+bx+c的图象并且说出它的性质 素养考点 探究新知 2 x y -2 0 4 -2 -4 -4 -6 -8 然后描点、连线，得到图象如下图： 由图象可知，这个函数具有如下性质： 开口方向：向下； 顶点坐标：（1，-2）； 对称轴：直线x=1； 最值：当x=1时，y最大值=-2； 当x＜1时，函数值y随x的增大而增大； 当x＞1时，函数值y随x的增大而减小； 当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2. 探究新知 根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗？ y=ax2+bx+c 探究新知 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质 知识点 2 y=ax2+bx+c 二次函数的顶点式 对称轴为 . 二次函数的一般式 因此，抛物线的对称轴是 ，顶点是 . 探究新知 显然，二次函数 的顶点坐标为 . 13 y O x （a>0） y O x （a<0） 二次函数y=ax2+bx+c的图象： 增减性？ 最小值 最大值 探究新知 探究新知 解析式 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： x y O y=k1x+b1 x y O y=k3x+b3 y=k2x+b2 k1 ___ 0 b1 ___ 0 k3 ___ 0 b3 ___ 0 ＞ ＞ ＜ k2 ___ 0 b2 ___ 0 ＜ ＞ 探究新知 二次函数字母系数与图象的关系 知识点 3 ＞ x y O 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a1 ___ 0 b1 ___ 0 c1 ___ 0 a2___ 0 b2___ 0 c2___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 开口向上，a＞0 对称轴在y轴左侧，x＜0 对称轴在y轴右侧，x＞0 x=0时，y=c. 探究新知 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________ a＜0 开口_____________ b=0 对称轴为_____轴 a，b同号 对称轴在y轴的____侧 a，b异号 对称轴在y轴的____侧 c=0 经过原点 c＞0 与y轴交于_____半轴 c＜0 与y轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 探究新知 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c的关系 知识点1 二次函数 与 间的关系 1. 将二次函数化成 的形 式是( ) A A. B. C. D. 2.把二次函数化为 的形式， 那么 ___. 1 中考考法 19 知识点2 二次函数 的图象和性质 （第3题） 3. 二次函数 的 图象如图，则一次函数 的图象一 定不经过( ) D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 中考考法 20 4. [2025广州] 在平面直角坐标系中，两点 ， 在抛物线 上，则下列结论中 正确的是( ) A A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 中考考法 21 【点拨】由 知，该抛物线的开口向上， 对称轴为直线.把代入 ，得 ， 抛物线的顶点坐标为 两点 ，在抛物线上， 当 且时，（因时,抛物线在 轴上 方），，此时 ,故A选项的结论正确；当 时，抛物线在时递减，故越大， 越小， 中考考法 22 即，故B选项的结论错误；当且 时， ，此时应满足或 ，故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增，故越大， 越大， 即 ，故D选项的结论错误.故选A. 中考考法 5. 已知二次函数 的自 变量与函数值 之间满足的数量关系如下表，则 的值为_______. 3 5 12 12 100 1 200 中考考法 24 知识点3 二次函数的图象与，， 符号间的关系 （第6题） 6. [2025安徽] 已知二次函数 的图象如图所示， 则( ) C A. B. C. D. 中考考法 25 顶 点： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 课堂小结 $