专题4-7 面面垂直(高效培优讲义)高一数学湘教版必修第二册

本讲义聚焦高中数学“面面垂直”核心知识点，系统梳理其定义（二面角为直二面角）、判定定理（线面垂直推面面垂直）及性质定理（面面垂直推线面垂直），构建线线垂直、线面垂直到面面垂直的垂直关系转化学习支架。 资料以金刚石正八面体等实例引导学生用数学眼光观察空间形式，通过判定与性质定理的逻辑转化培养数学思维，结合即学即练、典例变式训练提升数学语言表达能力。课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

4-7 面面垂直 讲义 教学目标 理解面面垂直的概念、判定定理、性质定理，掌握空间面面垂直的证明方法与应用. 教学重点 面面垂直的判定定理、性质定理. 教学难点 性质定理的应用. 知识点01 面面垂直的判定 1.两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 2.判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.（线面垂直面面垂直） ⇒α⊥β 【即学即练1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）直线平面，平面，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．以上均有可能 【即学即练1-2】(多选)（24-25高一下·江苏无锡·月考）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则⊥ B．若，，则 C．若，m ，，则 D．若，，则m与所成的角和n与所成的角相等 知识点02 面面垂直的性质 1.性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（面面垂直线面垂直） ⇒l⊥ 2.三垂线定理:直线AB为斜线OB在平面内的投影，. 3.垂直关系的转化 (1)判定定理转化：线线垂直线面垂直面面垂直 (2)性质定理转化：面面垂直线面垂直线线垂直. (3)同时，在平行与垂直之间也存在相互转化，即：线线垂直线面垂直线线平行线面平行. 5.易错提醒 （1）注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交． （2）不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”． 【即学即练2-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知两个平面互相垂直．下列命题中 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③过一个任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 正确命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【即学即练2-2】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）对于空间中三个不同的平面，下列四个命题中，正确的是（    ） A．，，则 B．，，则 C．，，则 D．，，则 题型01 面面垂直的判断 【典例1-1】（22-23高一下·全国·课后作业）下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例1-2】（25-26高一下·全国·课后作业）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项正确的为（ ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【典例1-3】(多选)（24-25高一下·四川成都·期末）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例1-4】（22-23高一下·北京东城·期末）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美．下面给出四个结论：      ①平面；②平面平面；③过点存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等； ④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的． 其中所有正确结论的序号是__________． 【变式1-1】（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线与平面，则能使的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-4】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1-5】(多选)（22-23高一下·浙江绍兴·期末）如图，在边长为的正方形中，为的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且二面角为.若、分别为、的中点，则（    ）    A． B．平面 C．平面平面 D．点到平面的距离为 【变式1-6】（22-23高一下·北京朝阳·期中）如图，在正方体中，点为线段上异于，的动点，则下列四个命题： ①平面平面；②二面角的正弦值为；③设，则三棱锥的体积随着增大先减少后增大；④连接，总有平面．其中正确的命题是______． 题型02 证明面面垂直 【典例2-1】（2025高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面，，则该四面体的四个表面中，互相垂直的平面有（    ）. A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【典例2-2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【典例2-3】(多选)（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，直线垂直于圆所在的平面，内接于圆，且为圆的直径，点为线段的中点．现有结论中正确的是（   ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D． 【典例2-4】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，四棱锥中，底面是矩形，底面，则这个五面体的五个面中两两互相垂直的共有____________对. 【变式2-1】（2024高一下·全国·专题练习）在空间四边形中，，那么必有（    ） A．平面⊥平面 B．平面⊥平面 C．平面⊥平面 D．平面⊥平面 【变式2-2】（24-25高一下·北京顺义·期末）如图，在棱长为a的正方体中，E是棱上的一个动点，给出下列三个结论：    ①存在点E使得平面平面；②的面积为定值；③的最小值为. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．① B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式2-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，在正四面体中，分别是线段的三等分点，是线段的中点，是线段上的动点，则（    ）． A．存在点，使成立 B．存在点，使成立 C．不存在点，使平面平面成立 D．不存在点，使平面平面成立 【变式2-4】（22-23高一下·北京海淀·期末）如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（    ）    ①AM与 异面；②平面AEM；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-5】(多选)（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则（    ） A．存在点，使得平面平面 B．不存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与所成角为 D．平面截正方体所得的截面可能是等腰三角形 【变式2-6】（24-25高一上·江苏苏州·月考）在正三棱柱中，，点为的中点．Q是棱上一点，且AQ⊥平面，则______. 题型03 面面垂直的性质 【典例3-1】1．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【典例3-2】（25-26高一下·四川成都·期中）已知点不在直线和平面上，若存在空间中过的直线和平面，则（    ） A．由直线平面可唯一确定 B．由直线平面可唯一确定平面 C．由直线平面可唯一确定 D．由平面平面可唯一确定平面 【典例3-3】(多选)（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱CD上，且，平面平面ABCD，则下列结论正确的是（    ）    A． B．平面平面PBM C．存在某个位置，使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行 D．若，则直线CM与平面PAM所成角为 【典例3-4】（24-25高一下·河南信阳·月考）在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 【变式3-1】（24-25高一下·天津和平·期末）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则（   ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 【变式3-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选题）已知平面平面，，点，则下列结论不正确的是（    ） A．过和垂直的直线在内 B．过和垂直的直线在内 C．过和垂直的直线必与垂直 D．过和垂直的平面必与垂直 【变式3-3】（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（   ） A． 平面 B．平面 C． D．平面平面 【变式3-4】（2026高一下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的个数（  ） ①平面平面；②直线与平面所成角是；③平面平面； ④二面角余弦值为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-5】(多选)（24-25高一下·贵州铜仁·期末）如图，在正方形中，点分别是线段上的动点（不含端点），且与交于点．现将四边形沿直线折起，使平面平面，则（   ） A． B．与所成角为定值 C．为定值 D．存在点，使得直线与平面所成角为 【变式3-6】（2026高一·全国·专题练习）点D是斜边上一动点，，，将沿着翻折，翻折后的三角形为，且平面平面，则翻折后的最小值是_____． 题型04 二面角 【典例4-1】（24-25高一下·全国·课后作业）把正方形沿对角线折成直二面角，则是（    ） A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【典例4-2】（24-25高一下·天津西青·期末）如图，四棱锥的底面为正方形，面，，则异面直线与所成角的大小及平面与平面所成的二面角的大小分别为（    ）. A．和 B．和 C．和 D．和 【典例4-3】(多选)（25-26高一下·云南昆明·期中）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图①，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图②，在平面四边形中，，，，如图③，将沿翻折至，记二面角的平面角为，记二面角的平面角为，则下列说法正确的有（   ） A．当时，则 B．当时，则 C．当时， D．的最小值为 【典例4-4】（23-24高一下·山东青岛·期末）在四面体中，面与面所成的二面角为，顶点在面上的射影是，的重心是，若，，则______． 【变式4-1】（20-21高一下·全国·课后作业）如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则AB与平面β所成的角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知正四棱锥的底面边长和侧棱长相等，记异面直线与所成角为，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成的二面角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一下·重庆·期末）如图，在平行四边形中，，，，现将沿直线翻折至，使得点到达点的位置，且二面角的平面角等于，则直线与平面所成的角为（    ）． A． B． C． D． 【变式4-4】（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知二面角的大小为，，，且，B为β内异于O的任意一点，且的最大值是，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-5】(多选)（23-24高一下·江苏常州·月考）如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，点是线段上一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得 B．当为的中点时，二面角的正切值为 C．直线与平面所成角为 D．异面直线与所成角的余弦值的最大值为 【变式4-6】（24-25高一下·天津滨海新区·期末）如图， 在空间四边形中， 是边长为的等边三角形，平面平面，， 且， 则与平面所成角的大小是________________；二面角的余弦值是________． 一、单选题 1.（20-21高一·全国·课后作业）下列命题中正确的是（　　） A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 2.（24-25高一下·福建福州·期末）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.（25-26高一下·全国·课后作业）已知长方体，在平面上任取一点M，作于E（与不重合），则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．以上都有可能 4.（22-23高一下·天津和平·期末）如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 5.（24-25高一下·陕西西安·期末）设，，为不同的平面，，为不同的直线，则下列能使平面与平面平行的一个条件是（    ） A．， B．，， C．内有无数条直线与平行 D．，， 6.（24-25高一下·黑龙江双鸭山·月考）已知长方体中，，，则点D到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7.（2026高一·全国·专题练习）图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D． 8.（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折．在翻折过程中，当二面角的平面角最大时，其正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9.（23-24高一下·江苏南京·月考）如图所示，AB是半圆O的直径，垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．平面VAC B．平面ABC C．MN与BC所成的角为 D．平面平面VBC 10.（24-25高一下·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，，平面平面是棱的中点，且∥平面，则（    ） A．平面 B．异面直线与所成角的正切值为2 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．底面四边形内（包含边界）有一动点Q，，则动点Q的轨迹长度为 11.（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，，平面ABCD，E为PB上动点，过点E作垂直BD的截面，则下列说法正确的是（    ） A．存在点E，使得 B．存在点E，使得二面角E-AC-D为 C．存在点E，使得直线AE与平面PCD所成角为 D．存在点E，使得截面截该四棱锥截得的截面面积为 三、填空题 12.（2025高一·全国·专题练习）如图，已知二面角，线段分别在平面内，且都与成角，若，则二面角的大小为______． 13.（23-24高一下·北京·期末）如图，在棱长为4的正方体中，点P是线段AC上的动点（包含端点），点E在线段上，且，给出下列四个结论：    ①存在点P，使得直线平面； ②点P沿直线AC从点A移动到点C的过程中，四面体的体积逐渐减小； ③若，则点P轨迹的长度为； ④当二面角的平面角的正切值为时，平面截正方体所得截面图形的面积为． 其中所有正确结论的序号是______． 14.（23-24高一下·浙江台州·期末）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为线段上的动点（含端点），则下列选项正确的是（    ） A．若直线与直线所成角为，则的最大值为 B．若直线与平面所成角为，则的最大值为 C．若点到平面的距离为，则的最小值为 D．若过三点的平面截正方体所得截面面积为，则的最小值为 四、解答题 15.（20-21高一下·江苏镇江·月考）如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA (1)求证：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD． 16.（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图，为菱形平面外一点，且，为线段上的动点． (1)求证：平面平面； (2)是否存在点E使得平面，若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由． 17.（25-26高一下·湖南株洲·期中）如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面；(2)设二面角为，求． 18.（24-25高一下·浙江杭州·期末）在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，． (1)若点M在棱PC上，，若平面DMB，求的值； (2)设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：平面ABCD； (3)当平面PAD与平面PBC所成的二面角为时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值． 19.（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为棱，，的中点. (1)证明： 平面；(2)证明：； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面和平面所成角（锐角）的正切值. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-7面面垂直讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01面面垂直的判定 4-7面面垂直 题型02证明面面垂直 知识点01面面垂直的判定 题型03面面垂直的性质 题型04二面角 知识点02面面垂直的性质 教学目标、教学重难点 教学目标 理解面面垂直的概念、判定定理、性质定理，掌握空间面面垂直的证明方法与应用 教学重点 面面垂直的判定定理、性质定理， 教学难点 性质定理的应用 知识清单 知识点01面面垂直的判定 1.两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 2判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.（线面垂直→面面垂直） EaA 【即学即练1-1】(24-25高一下·全国·课后作业)直线l1平面a,1c平面B,则a与β的位置关系是() A.平行 B.相交但不垂直C.垂直 D.以上均有可能 【即学即练1-2】（多选）(24-25高一下江苏无锡·月考)设，是两条不同的直线，心，B是两个不同的平 面，下列命题中正确的是() A.若m1a,m//m,n/B,则⊥B B.若a/1B,mca,则m/B C.若m1n,mc,ncB,则a1B D.若m/n,a/B,则m与a所成的角和n与β所成的角相等 知识点02面面垂直的性质 1性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（面面垂直→线面垂直） 第1页共16页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (a1B, anB=a,→l⊥a l∈B,l1a, 2.三垂线定理：直线AB为斜线OB在平面a内的投影，l1AB→l1OB. 3.垂直关系的转化 (1)判定定理转化：线线垂直→线面垂直→面面垂直 (2)性质定理转化：面面垂直→线面垂直→线线垂直. 判定 判定 判定 线线垂直 线面垂直 面面垂直 性质 性质 性质 (3)同时，在平行与垂直之间也存在相互转化，即：线线垂直→线面垂直→线线平行→线面平行」 5.易错提醒 (1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交. (2)不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 【即学即练2-1】(25-26高一下，全国·课堂例题)已知两个平面互相垂直.下列命题中 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线：②一个平面内的已知直线必垂直于另一 个平面内的无数条直线：③过一个任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 正确命题的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 【即学即练2-2】（多选）(25-26高一下·全国·课后作业)对于空间中三个不同的平面，B,Y,下列四个命题中， 正确的是() A.a//B,B1Y,则a⊥Y B.a/IB,B/y,则a//N C.1B,Y1B,则a1y D.a1B,y1B,则a/y 题型精讲 题型01面面垂直的判断 【典例1-1】(22-23高一下·全国·课后作业)下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直 线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直：③垂直同一平面 的两条直线互相平行：④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 第2页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1-2】(25-26高一下·全国·课后作业)设a,b是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，则下列选 项正确的为(). A.若ab,bC,则a‖a B.若a⊥b,a⊥a,b⊥B,则a1B C.若ac,bca,aIB,bIB,则allB D.若aB,ac,bcB,则ab 【典例1-3】（多选）(24-25高一下.四川成都期末)己知a%,B是两个不同的平面，a,b是两条不同的直线，下 列命题正确的是() A.若a/b,bcB,/B,则a/a B.若a//a,acB,anB=b,则a//b C.若a1,b1B,a1b,则a1B D.若a1B,ac,bCB,则a⊥b 【典例1-4】(22-23高一下·北京东城期末)金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切 割玻璃，也用作钻探机的钻头.金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形.正八面体由八个全等的等边三 角形围成，体现了数学的对称美.下面给出四个结论： ①AE//平面CDF;②平面ABE⊥平面BCE;③过点E存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等： ④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的号。 其中所有正确结论的序号是 【变式1-1(24-25高一下·黑龙江黑河·期末)已知a、B是不同的平面，m为β内的一条直线，则“a1B"是“m1a” 的()条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式1-2】(24-25高一下·浙江宁波·期末)己知直线a,b与平面a,B,则能使1B的充分条件是() A.a L a,b L B,a//b B.aca,bcB,alb C.a//b,a 1 B,bca D.anB=ab⊥a,bcB 【变式1-3】（24-25高一下·重庆渝北期中)己知a,b是两条不同的直线，心，B,y是三个不同的平面，则下列 命题中正确的是() A.若ac,a/IB,则a/B B.若b1a,bcB,则a1B 第3页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若a1B,B1y,则a1y D.若a/b,b/a,则a/a 【变式1-4】(24-25高一下江苏常州·期末)己知m,n表示两条不同的直线，，β表示两个不同的平面，则 下列命题正确的是() A.若mca,n/a,则m/m B.若mca,m/m,则n//a C.若m/a,1B,则m⊥B D.若m/a,m⊥B,则a⊥B 【变式1-5】（多选）（22-23高一下·浙江绍兴·期末)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，将 △ABE沿BE折起，使点A到达点A的位置，且二面角A'-BE-C为90°.若M、N分别为A'B、CD的中点，则() M A.BE⊥AN B.MN/平面ADE C.平面A'BE⊥平面A'DE D.点C到平面ADE的距离为@ 【变式1-6】(22-23高一下·北京朝阳·期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为线段B1C上异于B1: C的动点，则下列四个命题： ①平面A1ACC11平面A1BD:②二面角A1-BD-A的正弦值为③设CM=x,则三棱锥A1-ADM的体 积随着x增大先减少后增大：④连接D1M,总有D1M//平面A1BD.其中正确的命题是 题型02证明面面垂直 【典例2-1】(2025高一全国.专题练习)如图，在四面体ABCD中，AB1平面BCD,BC1CD,则该四面体 的四个表面中，互相垂直的平面有(). A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【典例2-2】(23-24高一下·湖北武汉·期末)如图，在立体图形D-ABC中，若AB=CB,AD=CD,E是AC 第4页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的中点，则下列命题中一定正确的是() A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABDI平面BDC C.平面ADC⊥平面BDE D.平面ABCI平面ADC 【典例2-3】（多选）（25-26高一下.全国·单元测试)如图所示，直线PA垂直于圆0所在的平面，△ABC内接 于圆O,且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点.现有结论中正确的是() A.OM//平面PAC B.平面PAC⊥平面PBC C.OC1平面PAC D.BC⊥PC 【典例2-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA1底面ABCD, 则这个五面体的五个面中两两互相垂直的共有 对. 【变式2-1】(2024高一下.全国.专题练习)在空间四边形ABCD中，AD1BC,BD1AD,那么必有() A.平面ABD⊥平面ADC B.平面ABD⊥平面ABC C.平面ADC⊥平面BCD D.平面ABC⊥平面BCD 【变式2-2】(24-25高一下.北京顺义期末)如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AA1 第5页共16页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上的一个动点，给出下列三个结论： D ①存在点E使得平面BED1I平面B1D1DB;②△BED1的面积为定值；③D1E+BE的最小值为√5a. 其中所有正确结论的序号是() A.① B.②③ c.①③ D.①②③ 【变式2-3】(2025高一.全国.专题练习)如图，在正四面体ABCD中，E,F分别是线段AC的三等分点，P是线 段AB的中点，G是线段BD上的动点，则(). A.存在点G,使PG L EF成立 B.存在点G,使FG⊥EP成立 C.不存在点G,使平面EFGI平面ACD成立 D.不存在点G,使平面EFG⊥平面ABD成立 【变式2-4】(22-23高一下北京海淀期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F、G、H分别为棱 BC,CD,C1D1,B1C1的中点，点M为棱CC1上的动点，则下列说法中正确的个数是() C ①AM与BB1异面；②A1H/平面AEM;③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面 AEM⊥平面BB1GF. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式2-5】（多选）(24-25高一下湖南岳阳·期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不 包含端点)，则() A.存在点P,使得平面PD1A1⊥平面PAA1 B.不存在点P,使得平面APD1II平面BDC1 C.存在点P,使得直线PD1与AC所成角为 D.平面APD,截正方体所得的截面可能是等腰三角形 第6页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式26】(24-25高一上江苏苏州-月考)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,点M为A1B1的 中点.Q是棱BB1上-点，且40L平面BC,M,则g铝 QB 题型03面面垂直的性质 【典例3-1】1.(24-25高一下.广东汕尾期末)已知平面a,B,Y和直线m,n,c,下列命题正确的是（) A.若mc,ncx,m/B,n//B,则a/BB.若m1c,n1c,则m/m c.若a/Iy,B/Iy,则a/B D.若m1a,a1B,则m/B 【典例3-2】(25-26高一下.四川成都期中)已知点A不在直线a和平面α上，若存在空间中过A的直线b和平 面B,则() A.由直线b/平面a可唯一确定b B.由直线a/平面B可唯一确定平面B C.由直线b1平面a可唯一确定b D.由平面a1平面B可唯一确定平面B 【典例3-3】（多选）(24-25高一下·重庆渝北·期中)如图，己知底面为矩形的四棱锥P-ABCD的顶点P的位 置不确定，点M在棱CD上，且AM1BM,平面PAM1平面ABCD,则下列结论正确的是() A.PA⊥BM B.平面PAMI平面PBM C.存在某个位置，使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行 D.若AD=2V3,MD=2,则直线CM与平面PAM所成角为 【典例3-4】(24-25高一下·河南信阳·月考)在△ABC中，AB=2,AC=1,BC=V3,点M为AB中点，连 接CM,将△ACM沿CM折起，使点A到达点A的位置，且平面ACM1平面BCM,则二面角A'-BC-M的余 弦值为 【变式31(24-25高一下·天津和平.期末)设%，B是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，且mca,ncB, 则() A.若a/B,则m/m B.若n/a,则a/B C.若a1B,则m1n D.若m⊥B,则a⊥B 【变式32】(25-26高一下.全国·课堂例题)（多选题）己知平面a1平面β，a∩B=l,点P∈l,则下列结论 不正确的是() 第7页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.过P和l垂直的直线在a内 B.过P和B垂直的直线在α内 C.过P和l垂直的直线必与B垂直 D.过P和B垂直的平面必与l垂直 【变式33】(24-25高一下.江西南昌·期末)如图，己知△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC,且 EA=AB=2DC,F,G分别是EB和AB的中点，则下列结论错误的是() E D B A.FD/平面ABC B.FG⊥平面ABC C.FC⊥AB D.平面EBC⊥平面EAB 【变式3-4】(2026高一下.全国.专题练习)如图，在四边形ABCD中，AD/BC,AD=AB,∠BCD=45°， ∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A一BCD中， 下列判断正确的个数() ①平面ABD⊥平面ABC;②直线BC与平面ABD所成角是45°；③平面ACD1平面ABC: ④二面角C-AB-D余弦值为号 C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式35】（多选）(24-25高一下.贵州铜仁.期末)如图，在正方形ABCD中，点M,N分别是线段AD,BC上的 动点（不含端点），且MN II AB,MN与AC交于点E.现将四边形MNCD沿直线MN折起，使平面MNCD L平面 ABNM,则() A.AM L CN B.AC与MN所成角为定值 C.∠AEC为定值 D.存在点M、N,使得直线AC与平面CDMN所成角为 第8页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式36】(2026高一全国.专题练习)点D是Rt△ABC斜边AB上一动点，AC=3,BC=4,将△BCD 沿着CD翻折，翻折后的三角形为△BCD,且平面BDCI平面ADC,则翻折后AB的最小值是， 题型04二面角 【典例41】(24-25高一下.全国·课后作业)把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则△ABC是() A.正三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 【典例4-2】(24-25高一下·天津西青·期末)如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD1面ABCD,SD=AB, 则异面直线SB与AC所成角的大小及平面SAB与平面ABD所成的二面角的大小分别为(). DL------ A.90°和45° B.60°和45° C.45°和90° D.45°和60° 【典例4-3】（多选）（25-26高一下·云南昆明·期中)类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余 弦定理：如图①，由不共面的三条射线PA,PB,PC构成的图形称为三面角P-ABC,记∠APC=,∠BPC=B, ∠APB=Y,二面角A-PC-B的大小为0，则cosY=cosacosB+sinasinBcose0.如图②，在平面四边形ABCD 中，AB=AC=CD=1,LADC=若∠DAB=牙，如图③，将△ACD沿AC翻折至△ACP,记二面角P-AC一B 的平面角为61，记二面角A-CP-B的平面角为62，则下列说法正确的有() A B ② ③ A.当8=时，则PA1AB B.当01=时，则PB= 6 2 C.当PC1BC时，cos02=号 D.c0s6,的最小值为 3 【典例44】(23-24高一下·山东青岛·期末)在四面体ABCD中，面ABC与面BCD所成的二面角为30°，顶点A 在面BCD上的射影是H,△ABC的重心是G,若AD1BC,AB=AC=BC=4,则GH= 第9页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式41】（20-21高一下·全国课后作业)如图，二面角a-l-B的大小是60°，线段ABca,B∈l,AB 与所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是() a B 2W5 A.29 B.V3 4 c.9 0. 【变式42】(24-25高一下·江苏常州期末)己知正四棱锥P-ABCD的底面边长和侧棱长相等，记异面直线 PA与CD所成角为a,侧棱PA与底面ABCD所成角为B,侧面PAB与底面ABCD所成的二面角为Y,则() A.a>y>B B.a>B>y C.y>β>a D.B>a>y 【变式43】（24-25高一下.重庆期末)如图，在平行四边形ABCD中，AB=1,AD=V2,∠ADB=45°， 现将△ABD沿直线BD翻折至△PBD,使得点A到达点P的位置，且二面角P-BD-C的平面角等于45°，则 直线PD与平面BCD所成的角为(). A.30° B.45° C.60° D.90° 【变式44K25-26高-下·浙江宁波期中)已知二面角a-MN-B的大小为0,0∈MW,AEa,且∠A0M= 6 B为B内异于O的任意一点，且CSA0B的最大值是g,则sin9=（) A司 c.9 D.9 【变式45】（多选）(23-24高一下·江苏常州·月考)如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P 是平面A1BC1内一个动点，且满足PD+PB1=2+V3,点Q是线段BC1上一个动点，则下列结论正确的是 () B B A.存在点P,使得A1P1DQ B.当Q为BC,的中点时，二面角Q-AD-C1的正切值为 第10页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.直线B1P与平面A1BC1所成角为5 D.异面直线B1P与AD1所成角的余弦值的最大值为 【变式46】(24-25高一下·天津滨海新区·期末)如图，在空间四边形ABCD中，△BCD是边长为2V2的等 边三角形，平面ABDI平面BCD,∠BAD=90°，且AB=AD,则AD与平面BCD所成角的大小是 :二面角A一CD一B的余弦值是 强化训练 一、单选题 1.(20-21高一，全国·课后作业)下列命题中正确的是() A.平面a和B分别过两条互相垂直的直线，则aLB B.若平面a内的一条直线垂直于平面B内的两条平行直线，则a⊥B C.若平面a内的一条直线垂直于平面B内的两条相交直线，则aLB D.若平面a内的一条直线垂直于平面B内的无数条直线，则a⊥B 2.（24-25高一下·福建福州期末)设m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，下列命题中为真命 题的是() A.若m//a,nc&,则m/n B.若m//a,a/B,则m/B C.若m1a,m/B,则a1B D.若m1a,m1n,则n/c 3.(25-26高一下.全国课后作业)己知长方体ABCD-A1B1C1D1,在平面ABB1A1上任取一点M,作ME1AB 于E(M与E不重合)，则() A.ME⊥平面ABCD B.MEC平面ABCD C.ME/平面ABCD D.以上都有可能 4.(22-23高一下天津和平期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1,棱长为2，E是CC1的中点，则二面角E- DB-C的正弦值为() D B D 第11页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.号 B. 3 c.9 D. 5.(24-25高一下·陕西西安期末)设，B,Y为不同的平面，m,n为不同的直线，则下列能使平面a与平面 B平行的一个条件是() A.aLy,BIY B.m⊥a,n⊥B,m//m C.内有无数条直线与B平行 D.mca,ncB,m//n 6.（24-25高一下.黑龙江双鸭山月考)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1,DD1=V2,则点D 到平面ACD,的距离为() A 89 c.9 D.9 7.(2026高一全国.专题练习)图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1,E,F分别是棱BC,A1C1上的 点.记EF与AA1所成的角为C,EF与平面ABC所成的角为B,二面角F-BC一A的平面角为Y,则() F B B A.a≤B≤Y B.B<a≤Y C.B≤y≤a D.a≤Y≤B 8.(23-24高一下.安徽合肥期末)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,M为AB的中点，将△ADM沿DM 翻折.在翻折过程中，当二面角A一BC一D的平面角最大时，其正弦值为() M 1 A. B.v3 5 C.② 3 二、多选题 9.(23-24高一下江苏南京·月考)如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是 圆周上不同于A,B的任意一点，M,N分别为VA,VC的中点，则下列结论正确的是() A.OC⊥平面AC B.MN//平面ABC C.N与BC所成的角为90° D.平面VAC⊥平面BC 第12页共16页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 10.（24-25高一下·湖南永州期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，AP=PD=2,AB=V6,CD=1,LADC= ∠APD=90°，平面PADI平面ABCD,E是棱PA的中点，且BE∥平面PCD,则() D A.API平面PCD B.异面直线BE与PD所成角的正切值为2 C.三棱锥P-ACD的外接球的表面积为36π D.底面四边形ABCD内（包含边界）有一动点Q,IPQ|=V3,则动点Q的轨迹长度为π 11.(24-25高一下.浙江宁波期末)如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD=AD=2,PD1平面ABCD, E为PB上动点，过点E作垂直BD的截面a,则下列说法正确的是() A.存在点E,使得DE 1 PB B.存在点B,使得二面角EACD为 C.存在点B,使得直线AB与平面PCD所成角为 D.存在点E,使得截面a截该四棱锥截得的截面面积为V3 三、填空题 12.(2025高一.全国.专题练习)如图，己知二面角a-l一B,线段AB,AC分别在平面%，B内，且都与l成45° 角，若LBAC=120°，则二面角a-l-B的大小为： B 13.(23-24高一下.北京期末)如图，在棱长为4的正方体中，点P是线段AC上的动点（包含端点），点E 第13页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在线段B1D1上，且D1E=D1B1,给出下列四个结论： D C A D C ①存在点P,使得直线PE/平面C1BD: ②点P沿直线AC从点A移动到点C的过程中，四面体C一D1B1P的体积逐渐减小； ③若PE≤5，则点P轨迹的长度为V7; ④当二面角P-D1B1-C的平面角的正切值为2V2时，平面PD1C1截正方体所得截面图形的面积为16√2 其中所有正确结论的序号是一· 14.(23-24高一下.浙江台州·期末)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CD的中点，N为线段BM 上的动点（含端点），则下列选项正确的是() A.若直线A1M与直线AN所成角为a,则cos的最大值为号 B.若直线C,W与平面ABCD所成角为B,则simB的最大值为 6 C.若点N到平面ABC1D1的距离为d,则d+CN的最小值为2w+W巨 5 D.若过A1,N,C三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面面积为S,则S的最小值为2V6 四、解答题 15.（20-21高一下·江苏镇江·月考)如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB,PB⊥PA (1)求证：PB⊥平面APD:(2)若AGLPD,G为垂足，求证：AG⊥BD. D G 第14页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(24-25高一下四川宜宾期末)如图，P为菱形ABCD平面外一点，且PA=PC,E为线段PD上的动点. (1)求证：平面ACE1平面PBD: (2)是否存在点E使得PB/平面ACE,若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由， “-- 17.(25-26高一下·湖南株洲期中)如图，ABCD是边长为3的正方形，DE1平面ABCD,AF/DE,DE=3AF, BE与平面ABCD所成角为60°， (1)求证：AC1平面BDE:(2)设二面角F-BE-D为a,求sima. D B 第15页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(24-25高一下浙江杭州期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/BC,∠ADC=90°， AB=2N2,AD=3,BC=1,△PAD≌△BAD (1)若点M在棱PC上，PM=MC,若PA//平面DMB,求的值： (2)设平面PAD与平面PBC的交线为1，证明：l//平面ABCD: (3)当平面PAD与平面PBC所成的二面角为45时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值. D 19.(24-25高一下·河南南阳·期末)如图，在三棱锥P-ABC中，PA1平面ABC,PA=2AC,AB1BC,D, E,F分别为棱PA,PC,AB的中点 (1)证明：DE/平面ABC:(2)证明：AB1EF: (3)若直线PC与平面PAB所成角的正弦值为 ,，求平面PAB和平面CEF所成角（锐角）的正切值. 第16页共16页函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-7面面垂直讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01面面垂直的判定 4-7面面垂直 题型02证明面面垂直 知识点01面面垂直的判定 题型03面面垂直的性质 题型04二面角 知识点02面面垂直的性质 教学目标、教学重难点 教学目标 理解面面垂直的概念、判定定理、性质定理，掌握空间面面垂直的证明方法与应用 教学重点 面面垂直的判定定理、性质定理. 教学难点 性质定理的应用 知识清单 知识点01面面垂直的判定 1两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 2判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.（线面垂直→面面垂直） 壮a月 【即学即练1-1】(24-25高一下·全国·课后作业)直线l1平面a,1c平面B,则a与β的位置关系是() A.平行 B.相交但不垂直C.垂直 D.以上均有可能 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】判断面面是否垂直、证明面面垂直 【分析】根据面面垂直的判定定理判断即可 【详解】因为直线l1平面a,lc平面B, 根据面面垂直的判定定理可得αIB,即aα与β的位置关系是垂直. 故选：C 【即学即练1-2】（多选）(24-25高一下江苏无锡，月考)设m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平 面，下列命题中正确的是() A.若m1a,m/n,n/B,则a⊥B B.若a//B,mca,则m/B C.若m1n,ca,ncB,则a1B D.若m/n,a/B,则m与a所成的角和n与B所成的角相等 【答案】ABD 第1页共58页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、求线面角、判断面面是否垂直 【分析】根据线面位置关系及面面位置关系判断各个选项. 【详解】Am/m,m1a,则n1a,又n/B,则存在n/m,ncB,n'1&,所以a1B,A正确： B.a/B,mca,则m//B,故B正确： C当a/B,可以存在m1n,mca,ncB,则C不正确： D.a/β时，由面面平行的性质知n与a,B所成的角相等，m与a,β所成的角相等， 又m/m,,则m与a所成的角和n与B所成的角相等，D正确. 故选：ABD. 知识点02面面垂直的性质 1性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（面面垂直→线面垂直） (a I B, {anB=a,→l⊥a l∈B,l1a, 2.三垂线定理：直线AB为斜线OB在平面a内的投影，L⊥AB→l⊥OB 3.垂直关系的转化 (1)判定定理转化：线线垂直→线面垂直→面面垂直 (2)性质定理转化：面面垂直→线面垂直→线线垂直. 判定 判定 判定 线线垂直 线面垂直 性质 面面垂直 性质 性质 (3)同时，在平行与垂直之间也存在相互转化，即：线线垂直→线面垂直→线线平行→线面平行. 5.易错提醒 (1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交. (2)不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 【即学即练2-1】(25-26高一下，全国·课堂例题)己知两个平面互相垂直.下列命题中 ①一个平面内的己知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线：②一个平面内的已知直线必垂直于另一 个平面内的无数条直线：③过一个任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 正确命题的个数是() 第2页共58页 命学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】空间垂直的转化 【分析】利用面面垂直的性质定理判断即可 【详解】①不正确，因为没有这条直线垂直于它们的交线这个条件， 所以这条直线不一定垂直于另一个平面， 因而它也就不一定垂直于另一个平面内的任意一条直线： ②正确，无论这一条直线与它们的交线平行或者相交， 另一个平面内与两平面交线垂直的直线都垂直于第一个平面， 因而也垂直于这个平面内的该已知直线： ③不正确，这个命题中没有强调在平面内作交线的垂线， 过一点作一条直线的垂线有无数条， 只有在两个互相垂直的平面的一个面内作它们交线的垂线， 这条垂线才垂直于另一个平面。 故选：C 【即学即练2-2】（多选）(25-26高一下·全国·课后作业)对于空间中三个不同的平面，B,Y,下列四个命题中， 正确的是() A.a/IB,B1Y,则a1Y B.a/IB,β/y,则a/y C.a⊥B,y1B,则a1Y D.a1B,y1B,则a//Y 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】面面关系有关命题的判断 【分析】根据线面、面面的位置关系即可判别： 【详解】对于A,因为a/B,所以平面a内任意一条直线都平行于平面B, 又因为β1Y,根据面面垂直的性质，在平面B内存在直线l1Y, 由于a/B,在平面a内可以找到直线m//儿，因此m1Y 因为mC,所以a1Y,故A正确： 对于B,根据平面平行关系的传递性，若a/B,B/Y,则α/Y,故B正确： 对于CD,a1B,YIB,则a与Y可能相交（包含垂直）、平行，故CD错误. 故选：AB. 题型精讲 题型01面面垂直的判断 【典例1-1】(22-23高一下.全国课后作业)下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直 线，那么这条直线和这个平面垂直：②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面 第3页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】判断线面是否垂直、判断面面是否垂直、线面垂直证明线线平行 【分析】根据线面垂直的判定及性质判断①②③：由面面垂直的判定定理判断④ 【详解】如果一条直线与一个平面内的无数条平行线垂直，这条直线可能在平面内，可能与面平行，也可 能与平面斜交，故①错误： 由线面垂直的性质可知，过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直，故②正确； 由线面垂直的性质可知，垂直同一平面的两条直线互相平行，故③正确： 由面面垂直的判定定理可知，经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直，故④正确 故选：C 【典例1-2】(25-26高一下.全国课后作业)设4，b是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，则下列选 项正确的为(). A.若ab,bCa,则a‖a B.若a⊥b,a⊥a,b1B,则a1B C.若aca,bca,aIB,bB,则aB D.若B,ac,bcB,则ab 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行、判断面面平行、判断面面是否垂直 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系进行判定. 【详解】在A选项中，若alIb,bCa,根据位置关系可得a‖a或aCa,故A错误， 在B选项中，若a1b,a1a,则b//a或bca, 又bIB,所以a1B,故B正确， 在C选项中，若aca,bca,alB,blB, 根据面面平行的判定定理，因为缺少a,b是相交直线的条件， 不能推出alB,故C错误， 在D选项中，若alB,aca,bCB, 两个平行平面内的直线可能异面，不一定平行， 所以ab或异面，故D错误 【典例1-3】（多选）（24-25高一下四川成都期末)已知a%,B是两个不同的平面，a,b是两条不同的直线，下 列命题正确的是() A.若a/b,bcB,//B,则a/a B.若a/1aacB,anB=b,则a//b C.若a⊥a,b1B,a1b,则a1B D.若a1B,ac,bcB,则a⊥b 【答案】BC 【难度】0.65 第4页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断面面是否垂直 【分析】根据线面平行及线面平行性质定理及面面垂直性质定理判断各个选项即可. 【详解】若a/b,bcB,a/B,则aca或a/a,A选项错误： 由线面平行性质定理a//a,acB,anB=b,则a/b,B选项正确： 若a1a,b1B,a1b,则a1B,C选项正确： 若a1B,aca,bcB,则a,b可能平行，D选项错误： 故选：BC 【典例1-4】(22-23高一下.北京东城.期末)金刚石也被称作钻石，是天然存在的最使的物质，可以用来切 割玻璃，也用作钻探机的钻头.金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形.正八面体由八个全等的等边三 角形围成，体现了数学的对称美.下面给出四个结论： ①AE/平面CDF;②平面ABE⊥平面BCE;③过点E存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等： ④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的号 其中所有正确结论的序号是 【答案】①④ 【难度】0.65 【知识点】判断面面是否垂直、线面角的概念及辨析、判断线面平行 【分析】根据线面平行的判定定理判断①；根据二面角相关知识判断②：根据线面角相关知识并结合图形 特点进而判断③；根据题意找出正方体的棱长，结合相似三角形从而判断（④： 【详解】对于①，根据正八面体性质可知，AE/CF, 又因为AE￠平面CDF,CFC平面CDF,所以AE/平面CDF,故①正确. 对于②，如下图所示，取BE中点G,连接AG,GC,AC, 根据等边三角形性质可知AG1EB,CG1EB,所以LAGC是二面角A-BE-C的平面角， 设该正八面体棱长为a,则AC=V2a,AG=GC=5a,则在△AGC中，AG2+GC2=a2≠AC2, 所以∠AGC≠90°，所以平面ABE与平面BCE不垂直，故（②错误. 第5页共58页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于③，直线AC,BD与正八面体的各个面所成角均相等，将其平移后使其过点E, 则过点E至少存在两条直线与正八面体的各个面所成角均相等，故③错误， 对于④，如下图所示，取AB,BC中点M,N,△ABE,△BEC的中心P,Q, 连接AC,MN,EM,EN,则PQ即正方体的一条棱， 设该正八面体棱长为a,则AC=V2a,MN=AC=号a, 根据品-器-PEQ=∠ME,得△PEQ~△MEN,所以PQ=MN=号a, 3 所以以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的导，故④正确。 故答案为：①④ 【变式1-1】(24-25高一下.黑龙江黑河期末)已知a、B是不同的平面，m为B内的一条直线，则“Q1B"是“m1a” 的()条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、面面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直 【分析】利用面面垂直的判定定理和性质定理即可作出判断 【详解】非充分性：a⊥B,mcβ不能推出m⊥a, 必要性：m1%,mcB→a1B, 则“a1B是“m1a"的必要不充分条件. 故选：B 【变式1-2】(24-25高一下.浙江宁波.期末)己知直线a,b与平面a,B,则能使a1B的充分条件是() A.a1a,b⊥B,a/b B.aca,bCB,alb C.a//b,a⊥B,bca D.anB=a,b la,bcB 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】充分条件、判断面面是否垂直 【分析】利用线面垂直的性质、面面垂直的判定及充分条件的定义逐项判断. 【详解】对于A,由a1a,a//b,得b1a,而b1B,则a/IB,A不是： 第6页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于B,a/B,a,b分别是平面a,B内互相垂直的异面直线，满足aC,bcB,a1b,B不是； 对于C,由a/b,a1B,得b1B,又bca,则a1B,C是： 对于D,由a∩B=a,b1a,bCB,得二面角a-a-B的平面角可以是锐角、直角，也可以是钝角，D不是 故选：C 【变式1-3】(24-25高一下·重庆渝北期中)己知a,b是两条不同的直线，%，B,y是三个不同的平面，则下列 命题中正确的是() A.若aca,a/IB,则a/IB B.若b⊥，bCB,则⊥B C.若a1B,B⊥y,则a1Y D.若a/b,b/a,则a//a 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直 【分析】根据线、面之间的位置关系逐项分析即可. 【详解】选项A:若aca,a/B,则a/B或a与B相交，故A选项不正确： 选项B:若bIa,bcB,根据面面垂直的判定，则a1B,故B选项正确： 选项C:若aIB,B1Y,则aIy或a与Y相交且不垂直或两平面平行，故C选项不正确： 选项D:若a//b,b/a,则a/a或aca,故D选项不正确： 故选：B 【变式1-4】(24-25高一下·江苏常州期末)己知m,n表示两条不同的直线，，B表示两个不同的平面，则 下列命题正确的是() A.若mca,n/a,则m/n B.若mca,m//m,则n//a C.若m/a,&1B,则m1β D.若m/a,m1B,则a1B 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断线面是否垂直、判断面面是否垂直 【分析】以正方体的线面关系为例，说明ABC是错误的. 【详解】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中： D B 因为A1B1/平面ABCD,BCc平面ABCD,且A1B1与BC为异面直线，故A错误： 因为ABC平面ABCD,AB/CD,但CDC平面ABCD,而非CD/平面ABCD,故B错误： 因为A1B1/平面ABCD,平面ABCD⊥平面CDD1C1,但A1B1/平面CDD1C1,而非A1B1⊥平面CDD1C1,故C 第7页共58页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 错误： 对D:若m/a,m1B,则a1B,故D正确. 故选：D 【变式1-5】（多选）(22-23高一下.浙江绍兴·期末)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，将 △ABE沿BE折起，使点A到达点A'的位置，且二面角A'-BE-C为90°.若M、N分别为A'B、CD的中点，则() B C A.BE⊥AN B.MN/平面A'DE C.平面A'BEI平面A'DE D.点C到平面ADE的距离为@ 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、判断面面是否垂直、面面平行证明线面平行、三角形面积公式及其应 用 【分析】连接AN交BE于点O,连接AO,取BE的中点F,连接FM、FN,推导出BEI平面A'ON,利用线面 垂直的性质可判断A选项；证明出平面FMN/平面A'DE,利用面面平行的性质可判断B选项；利用反证法 可判断C选项；利用等体积法计算出点C到平面ADE的距离，可判断D选项. 【详解】连接AN交BE于点O,连接AO,取BE的中点F,连接FM、FN, M E B∈= D C 对于A选项，在正方形ABCD中，因为AB=DA,AE=DN,∠BAE=∠ADN=90°， 所以，Rt△ABE兰Rt△DAN,则∠ABE=∠DAN, 所以，∠DAN+∠AEB=LABE+∠AEB=90°，则∠AOE=90°，即BE1AN, 翻折后，则有BE1A'O,BE1ON 又因为AO∩ON=O,AO、ONC平面AON,所以，BE⊥平面AON, 因为ANc平面AON,所以，BE LAN,A对： 第8页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于B选项，因为M、F分别为AB、BE的中点，所以，MF/AE, 因为MF￠平面A'DE,AEC平面ADE,所以，MF/平面A'DE, 因为DE/IBC,BC=2DE,则四边形BCDE为梯形， 又因为F、N分别为BE、CD的中点，所以，FN/IDE, 因为FN￠平面ADE,DEC平面A'DE,则FN/平面ADE, 因为ME n FN=F,MF、FNC平面FMN,则平面FMN/平面ADE, 因为MNc平面FMN,故MW/平面ADE,B对： 对于C选项，因为A01BE,且AB=2,AE=1,∠BAE=90°， 所以，BE=VAB2+AE区=V22+T卫-V5,所以，A0=4Be=2×1=25, BE V5 5 则A0=2 5 在Rt△ADN中，coS∠DAN= AD 2=25 AN-√AD2+DN2 5 所以，OD=VOA2+AD2-20A·ADC0S∠DAN +4-2×25x2x25=2@, 5 5 5 因为平面A'BE⊥平面BCDE,平面A'BE∩平面BCDE=BE,A'O⊥BE, A'OC平面A'BE,所以，A'OI平面BCDE, 因为0Dc平面BCDE,所以，A'OIOD, 所以，AD=VA'O2+0D2= 目+号=酒，且BD=VBC2+cD-4+4=22 翻折前，AB1AE,翻折后，AB1AE, 若平面ABE⊥平面ADE,且平面ABE∩平面ADE=AE,ABC平面ABE, 所以，ABI平面A'DE, 因为A'DC平面ADE,则AB⊥A'D, 事实上，AB=2,AD-29,BD=2V2,则AB2+AD2≠B02, 即AB、AD不垂直，假设不成立，故平面ABE与平面ADE不垂直，C错： 对于D选项，因为SACDE=CD:DE=×2×1=1,且A01平面BCDE, 2 所以，V4c0E=c0gA0=x1x2号=沿 15 在△ADE中，AE-DE=1,AD=2E 5 由余弦定理可得coS∠AED=A2+DB2-AD2 2AE-DE 一 2×12 所以：Sm-A'BD=V1-os'zABD=1-(（一-29 所以，SA4ED=5AE·D5 EsinA'ED=专×12×25-5 55 设点C到平面AED的距离为d,由y。-AD=V-coe即时Sd- 15 第9页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25 所以，d= =25×=画，D对 △AED 故选：ABD. 【变式1-6】(22-23高一下北京朝阳期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为线段B1C上异于B1, C的动点，则下列四个命题： D ①平面A1ACC11平面A1BD:②二面角A1-BD-A的正弦值为；③设CM=x,则三棱锥A1-ADM的体 积随着x增大先减少后增大：④连接D1M,总有D1M/平面A1BD.其中正确的命题是 【答案】①④ 【难度】0.65 【知识点】求二面角、判断面面是否垂直、面面平行证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】对于①，由线面垂直的判断定理证明BD⊥平面A1ACC1,即可得证平面A1ACC1⊥平面A1BD:对于 ②，取BD的中点O,可得∠A1OA即为二面角A1-BD-A的平面角，求解即可：对于③，由CM//平面A1ADD1 可得点M到平面A1AD的距离d为定值，从而可得三棱锥A1-ADM的体积为定值：对于④，由面面平行的 判断定理证明平面B1D1C/平面A1BD,再根据面面平行的性质定理即可判断. 【详解】对于①，因为ABCD是正方形，所以AC1BD 因为AA1I平面ABCD,BDC平面ABCD,所以AA11BD 因为AC 0 AA1=A,AC,AA1C平面A1ACC1, 所以BD⊥平面A1ACC1, 因为BDC平面A1BD,所以平面A1ACC11平面A1BD,故①正确： 对于②，取BD的中点O,易知△A1BD是等边三角形，△ABD为等腰直角三角形(BD为斜边)， 所以A1O1BD,AO L BD,所以∠A1OA即为二面角A1-BD-A的平面角. 设AA1=2,则A1D=V22+27=2V2,所以A10=2V2×=V6, 因为AA11平面ABCD,OAC平面ABCD,所以AA1⊥OA. 所以s血A0A=始-元故@错误： 对于③，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为平面A1ADD1/平面BCC1B1,CMc平面BCC1B, 第10页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以CM/平面A1ADD1 所以点M到平面A1AD的距离d为定值， 所以VA-ADM=VM-4AD=号SAAAD·d为定值，故国错误， 对于④：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为B1C/A1D,B1C平面A1BD,A1DC平面A1BD, 所以B1C/平面A1BD,同理可得B1D1/平面A1BD, 又B1CnB1D1=B1,B1C,B1D1C平面B1D1C, 所以平面B1D1C/平面A1BD, 因为D1MC平面B1D1C, 所以D1M/平面A1BD,故④正确. D B 故答案为：①④ 题型02证明面面垂直 【典例2-1】（2025高一全国.专题练习)如图，在四面体ABCD中，AB1平面BCD,BC1CD,则该四面体 的四个表面中，互相垂直的平面有()· D A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定定理推理判断. 【详解】由ABI平面BCD,ABC平面ABC,ABC平面ABD, 得平面ABCI平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ACD与平面BCD不垂直： 由AB⊥平面BCD,CDC平面BCD,得AB⊥CD, 而BC⊥CD,AB∩BC=B,AB,BCC平面ABC,则CD⊥平面ABC, 又CDC平面ACD,因此平面ACD⊥平面ABC,平面ABD与平面ABC不垂直： 假定平面ABDI平面ACD,在平面ABD内过点B作BE⊥AD于E,连接CE, 由AD是Rt△ABD斜边，得E不与点A,D重合，由平面ABD∩平面ACD=AD, 得BE⊥平面ACD,而CDC平面ACD,则CD⊥BE,又BE∩BC=B,BE,BCC平面BCE, 第11页共58页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于是CDI平面BCE,又CEC平面BCE,则CD⊥CE,由CD⊥平面ABC,ACC平面ABC, 得CD⊥AC,而AC,CEC平面ACD,因此AC/CE与ACnCE=C矛盾，即平面ABD与平面ACD不垂直， 所以平面ABDI平面BCD,平面ABCI平面BCD,平面ACDI平面ABC,共有3对. 故选：C 【典例2-2】(23-24高一下·湖北武汉·期末)如图，在立体图形D-ABC中，若AB=CB,AD=CD,E是AC 的中点，则下列命题中一定正确的是() A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABDI平面BDC C.平面ADC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项。 【详解】因为AB=CB,且E是AC的中点，所以BE⊥AC, 因为AD=CD,且E是AC的中点，所以DE⊥AC, 因为BE n DE=E,BE,DEC平面BDE, 所以AC⊥平面BDE,由于ACC平面ADC, 所以平面ADC⊥平面BDE,C正确： 在平面ABC内取点P,作PM L AB,PN⊥BE,垂足分别为M,N,如图， 因为ACI平面BDE,由于ACC平面ABC, 所以平面ABC⊥平面BDE,平面ABCO平面BDE=BE,PNC平面ABC,PN L BE, 第12页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则PNI平面BDE,BDC平面BDE,所以PN L BD, 若平面ABCI平面ABD,同理可得PM⊥BD,而PM OPN=P,PM,PNC平面ABC, 于是得BDI平面ABC,显然BD与平面ABC不一定垂直，A不正确： 过A作△ABD边BD上的高AF,连CF,由△ABD兰△CBD得，CF是△CBD边BD上的高， 则∠AFC是二面角A-BD-C的平面角，而LAFC不一定是直角，即平面ABD与平面BDC不一定垂直，B不正 确： 因AC⊥平面BDE,则∠DEB是二面角D-AC-B的平面角，∠DEB不一定是直角， 平面ABC与平面ADC不一定垂直，D不正确. 故选：C 【典例2-3】（多选）（25-26高一下·全国·单元测试)如图所示，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接 于圆O,且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点.现有结论中正确的是() 0 A.OM/平面PAC B.平面PAC⊥平面PBC C.OC1平面PAC D.BC⊥PC 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【详解】因为M为PB的中点，O为AB的中点，所以OMIPA, 因为OM￠平面PAC,PAC平面PAC,所以OM/平面PAC,所以A正确. 又PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PA 1 BC, 由AB为圆O的直径，得BC⊥AC, 因为PAnAC=A,PA,ACC平面PAC,所以BC1平面PAC 又BCC平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC,所以B正确 因为BCI平面PAC,且过一点只能作平面的一条垂线，所以C错误； 【典例2-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA1底面ABCD, 则这个五面体的五个面中两两互相垂直的共有 对. 【答案】5 【难度】0.65 第13页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定推理证明即可. 【详解】在四棱锥P-ABCD中，由PA1平面ABCD,BC,DCC平面ABCD, 得PA L BC,PA⊥DC,由矩形ABCD,得BC⊥AB,DC⊥AD, 而PA∩AB=A,PA∩AD=A,PA,ABC平面PAB,PA,ADC平面PAD, 则BC⊥平面PAB,DC⊥平面PAD,又BC,DCC平面ABCD, 因此平面PABI平面ABCD,平面PADI平面ABCD: 又BCC平面PBC,DCC平面PCD,因此平面PBCI平面PAB,平面PCDI平面PAD: 而AD/BC,则AD⊥平面PAB,又ADC平面PAD,因此平面PAB⊥平面PAD: 由PA⊥平面ABCD,可得平面PBC与平面PCD都不垂直于平面ABCD: 假定平面PBCI平面PCD,在平面PBC内过点B作BE L PC,而平面PBC∩平面PCD=PC, 则BEI平面PCD,BE⊥CD,而BC⊥CD,BE nBC=B,BE,BCC平面PBC, 于是CD1平面PBC,CD L PC,与LPCD为锐角矛盾，因此平面PBC与平面PCD不垂直， 所以五面体的五个面中两两互相垂直的共有5对. 故答案为：5 【变式2-1】(2024高一下.全国.专题练习)在空间四边形ABCD中，AD1BC,BD1AD,那么必有() A.平面ABD⊥平面ADC B,平面ABD⊥平面ABC C.平面ADC⊥平面BCD D.平面ABC⊥平面BCD 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】证明面面垂直 【分析】由面面垂直的判定定理判断. 【详解】在空间四边形ABCD中，AD⊥BC,BD⊥AD, 又由BC n BD=B,且BCC面BCD,BDC平面BCD,AD￠平面BCD, 所以ADI平面BCD, 又因为ADC平面ACD, 第14页共58页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以平面ADC⊥平面BCD, 故选：C 【变式2-2】（24-25高一下北京顺义·期末)如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AA1 上的一个动点，给出下列三个结论： D C B D ①存在点E使得平面BED1I平面B1D1DB;②△BED1的面积为定值：③D1E+BE的最小值为V5a. 其中所有正确结论的序号是() A.① B.②③ c.①③ D.①②③ 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、证明面面垂直 【分析】对于①当E为AA1的中点时即证EF1平面B1D1DB即可判断，对于②当E为AA1的中点计算S△BBD, 当E与A重合时，计算S△BD,即可判断，对于③将侧面ADD1A1与侧面ABB1A1展开铺平，利用勾股定理计算 即可判断 【详解】对于①：当E为AA1的中点时，连接EB,ED1,EB1,ED,BD,B1D1,B1D,设BD1交B1D于F,连接EF, 则F为BD1和B1D的中点， D C 由AE=A1E,AB=A1D1,所以EB=ED1,由F为BD1的中点，所以EF⊥BD1, 同理EF⊥B1D,又BD1nB1D=F,BD1,B1DC平面B1D1DB, 所以EF⊥平面B1D1DB,又EFC平面BED1,所以平面BED1⊥平面B1D1DB,故①正确， 对于②：当E为A1的中点时，由①有EF1BD,则BD,=V3a,EF=AC=竖a, 所以Sa8D,=BDEF=xV3axa=a2 当点E与A点重合时，AD1=BD1=V2a,SaBe,=AB:AD1=×axV2a=号a2, 2 故△BED1的面积不是定值，故（②错误： 对于③：如图，将侧面ADD1A1与侧面ABB1A1展开铺平， 所以DB=2a,DD1=a,所以D1B=,DD1+DB2=V5a, 第15页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则D1E+EB的最小值为V5a,故③正确 D A B E D A 故选：C 【变式2-3】(2025高一·全国.专题练习)如图，在正四面体ABCD中，E,F分别是线段AC的三等分点，P是线 段AB的中点，G是线段BD上的动点，则(). A.存在点G,使PG⊥EF成立 B.存在点G,使FG⊥EP成立 C.不存在点G,使平面EFGI平面ACD成立 D.不存在点G,使平面EFGI平面ABD成立 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】A选项，作出辅助线，得到BD⊥平面ACQ,故BD⊥EF,假设PG⊥EF成立，又BD和PG均在平面ABD 中，则PG IBD,显然这是不可能的，故A错误：B选项，EP IBF,当点G在D处时，∠BFD最大，设正四 面体ABCD的棱长为3，由余弦定理得cos∠BFD>0,故LBFD小于90°，故B错误：C选项，取AC的中点M, LBMD为二面角B-AC-D的平面角，由余弦定理得到cos∠BMD=>0,所以LBMD为锐角，C正确：D 选项，由A知，当点G为BD中点时，平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误. 【详解】A选项，取BD的中点Q,连接AQ,CQ, 因为正四面体ABCD中，AB=AD,BC=CD,所以AQ⊥BD,CQ⊥BD, 因为4Q ncQ=Q,AQ,CQc平面ACQ,所以BD⊥平面ACQ, 又ACC平面ACQ,所以BD⊥AC,故BD⊥EF, 假设PG L EF成立，又BD和PG均在平面ABD中，EF为平面ABD的斜线， 则PG IIBD,显然这是不可能的，故A错误； B选项，因为P是线段AB的中点，AE=EF,所以EP I BF, 第16页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当点G在D处时，∠BFD最大， 设正四面体ABCD的棱长为3，则CF=1,BC=CD=BD=3, 由余弦定理得BF=VBC2+CF2-2BC·CFcose60°=√7， 同理可得DF=√7， 故o4BFD=90D-=品20， 2BF.DF 故∠BFD小于90°，所以不存在点G,使FG⊥EP成立，故B错误： C选项，取AC的中点M,连接BM,DM, 因为AB=BC,AD=CD,所以BM⊥AC,DM⊥AC, 故LBMD为二面角B一AC-D的平面角， 其中BM=DM=3E, E,故COS/BMD-BM+Dw2aD='2=≥0， 2BM.DM 27 2 所以∠BMD为锐角， 经过EF与平面ACD垂直的平面有且只有一个，且与线段BD无公共点，故C正确： D选项，由A知，当点G为BD中点时，BD⊥平面EFG, 又BDC平面ABD,故平面EFGI平面ABD成立，故D错误. 故选：C 【变式2-4】(22-23高一下北京海淀·期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F、G、H分别为棱 BC,CD,C1D1,B1C1的中点，点M为棱CC1上的动点，则下列说法中正确的个数是() D G B ①AM与BB1异面；②AH/平面AEM;③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面 AEM⊥平面BB1GF A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】c 【难度】0.4 【知识点】证明面面垂直、证明线面平行、判断正方体的截面形状 【分析】根据正方体的几何性质逐项分析。 【详解】对于①，连接A1C,AC,~AA1=CC1,AA1/CC1,四边形AA1C1C是平行四边形， AMC平面AA1C1C,BB1/CC1,CC1C平面AA1C1C,BB1平面AA1C1C BB1/平面AA1C1C,又CC1∩AM=M,所以BB1与AM是异面直线，正确： 第17页共58页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C A B M D B 对于②，连接EH,则EH/AA1,EH=AA1,四边形AA1HE是平行四边形，A1H/AE, 又AEC平面AEM,A1H￠平面AEM,·A1H/平面AEM,正确： D A D 对于③，取CC1的中点T,当M与T重合时，连接AD1,则有ET/AD1,E,T,A,D1四点共面， 即平面AEM截正方体的图形是四边形AD1TE,如下图： D G A, 当M点在线段C1T上时，在平面AA1D1D内作直线AU/EM,交DD1的延长线于U,交A1D1于V,连接M, DD1/C1,D,U,C,C1四点共面，UMc平面DD1C1C,.UMnD1C1=W, 即平面AEM截正方体的图形是五边形AEMWV,如下图： D C A ! D B 错误： 对于④，在正方形ABCD内，Rt△ABE兰Rt△BCF,∠EAB=LFBC,LFBC+∠BEA= 所以AE 1 BF,又BB11平面ABCD,AEC平面ABCD, AE⊥BB1,BB1,BFC平面BB1GF,BB1∩BF=B,AE⊥平面BB1GF, 第18页共58页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AEC平面AEM,平面AEM⊥平面BB,GF,正确： 故选：C 【变式2-5】（多选）(24-25高一下·湖南岳阳·期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不 包含端点)，则() A.存在点P,使得平面PD1A1I平面PAA1B.不存在点P,使得平面APD1I平面BDC1 C.存在点P,使得直线PD1与AC所成角为 D.平面APD截正方体所得的截面可能是等腰三角形 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、求异面直线所成的角、证明面面平行、证明面面垂直 【分析】对A,利用面面垂直的判定定理即可判断：对B,当点P为A1B的中点时，证明面面平行，即可判 断；对C,当点P为线段A1B上靠近A1的四等分点时，利用线线角的定义求解判断；对D,当点P为线段A1B 的中点时，此时平面APD1截正方体所得的截面为正三角形AB1D1: 【详解】对于A,因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1I平面AA1B1B, 又平面PAA1与平面AA1B1B是同一个平面，A1D1C平面PD1A1, 所以无论点P在线段A1B(不含端点)上任何位置都有平面PD1A1I平面PAA1,故A正确： 对于B,当点P为A1B的中点时，有AP/DC1,AP￠平面BDC1,DC1C平面BDC1,所以AP/平面BDC1, 同理，AD1/平面BDC1且AD1∩AP=A,AD1,APC平面APD1 所以平面APD1/平面BDC1,故B错误： 0 对于C,当点P为线段A1B上靠近A1的四等分点时，如图，连接BC1,A1C1, 过点P作PQ/AC1,交BC,于Q,则PQ=A1C1=华 4 又正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC/A1C1,所以PQ/AC,则直线PD1与AC所成角为∠D1PQ, 又D1P=, DA好+AP2=√1+（图 -90Q=D,c+c0=1+图-9 所以△DPQ为等边三角形，所以∠DPQ=故C正确： 0 B 对于D,如图，当点P为线段A1B的中点时，此时平面APD1截正方体所得的截面为正三角形AB1D1,故D正 第19页共58页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 确. D 故选：ACD. 【变式2-6】(24-25高一上江苏苏州·月考)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2AA1=2,点M为A1B1的 中点.Q是棱BB1上一点，且40⊥平面BC1M,则= 【答案】7 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】证明C1M1A1B1,证明AA11C1M,证明平面BC1M1平面AA1B1B,在平面AA1B1B内过点A作AQ1 BM交BB于点Q,根据△ABQ~△BB1M求出器 【详解】在正三棱柱ABC-A1B1C1中，因为点M为A1B1的中点， 所以C1M⊥A1B1,因为A1A1平面A1B1C1,C1MC平面A1B1C1, 所以AA11C1M,因为AA1∩A1B1=A1,AA1,A1B1C平面AA1B1B, 所以C1M1平面AA1B1B,因为C1MC平面BC1M, 所以平面BC1M1平面AA1B1B, 在平面AA1B1B内过点A作AQ⊥BM交BB1于点Q B A A B 因为平面BC1MO平面AA1B1B=BM, 所以AQI平面BC1M,显然△ABQ∽△BB1M, 所以品品所以8Q=片所以B,Q=BB-BQ-名所以器=7 QB 故答案为：7. 题型03面面垂直的性质 【典例3-1】1.(24-25高一下广东汕尾·期末)已知平面a,B,y和直线m,n,c,下列命题正确的是() A.若mca,nca,m/B,n/B,则a/BB.若m1c,n1c,则m//m 第20页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若a/Iy,B/Iy,则a/IB D.若m1a,a1B,则m/1B 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】利用空间中线线，线面，面面的位置关系逐项判断即可得结论 【详解】对于A,mca,nca,m/B,/B,若m,n相交时，可得a/B, 若m,n不相交时，a,B可能相交，故A错误： 对于B,若m1c,n1c,则m/n或m,n是异面直线或m,n是相交直线，故B错误； 对于C,若a/Y,B/Y,则a/IB,故C正确： 对于D,若m1a,a1B,则m//B或mcB,故D错误. 故选：C 【典例3-2】（25-26高一下.四川成都期中)己知点A不在直线a和平面a上，若存在空间中过A的直线b和平 面B,则() A.由直线b/平面a可唯一确定b B.由直线a//平面B可唯一确定平面β C.由直线b1平面a可唯一确定b D.由平面《⊥平面B可唯一确定平面B 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】由空间中点，直线，平面的位置关系分别判断即可. 【详解】对于A,过平面a外一点A与平面a平行的直线有无数条，故A错误： 对于B,过直线外一点且与该直线平行的平面有无数个，故B错误： 对于C,过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故C正确： 对于D,过平面外一点，与已知平面垂直的平面有无数个，故D错误. 【典例3-3】（多选）(24-25高一下·重庆渝北·期中)如图，己知底面为矩形的四棱锥P-ABCD的顶点P的位 置不确定，点M在棱CD上，且AM⊥BM,平面PAM1平面ABCD,则下列结论正确的是() ◇ A.PA⊥BM B.平面PAM⊥平面PBM C.存在某个位置，使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行 D.若AD=2V5,MD=2,则直线CM与平面PAM所成角为 【答案】ABD 【难度】0.65 第21页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】求线面角、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、线面平行的性质 【分析】根据面面垂直的性质可得面BM1平面PAM,即可求解判断AB:根据线面平行的性质即可求解可判 断C,直线CM与平面PAM所成的角为LBAM,求解可判断D. 【详解】对于A,平面PAMI平面ABCD, 平面PAM∩平面ABCD=AM,AM⊥BM,BMC平面ABCD,·.BM⊥平面PAM, 又PAC平面PAM,∴PA⊥BM,故A正确： 对于B,由A知BMI平面PAM,又BMC平面PBM,∴平面PAM⊥平面PBM,故B正确； 对于C,设平面PAMn平面PBC=l,假设II底面ABCD, 平面ABCD∩平面PAM=AM,平面ABCD∩平面PBC=BC, lIAM,lIBC,·AM II BC,则M与D重合，则AD 1 BD, 显然不成立，则假设不成立，故C错误： 对于D,由A知BMI平面PAM,在矩形ABCD中，AB II CD, 二直线CM与平面PAM所成的角为∠BAM,在Rt△ADM中，AD=2V3,MD=Z,tam∠MAD= 3 ∠MAD=名∠BAM=-∠MAD=行故D正确， 故选：ABD 【典例3-4】(24-25高一下河南信阳·月考)在△ABC中，AB=2,AC=1,BC=V3,点M为AB中点，连 接CM,将△ACM沿CM折起，使点A到达点A的位置，且平面ACM⊥平面BCM,则二面角A'-BC-M的余 弦值为 【答案】行压 【难度】0.5 【知识点】求二面角、线面垂直证明线线平行、面面垂直证线面垂直 【分析】根据翻折后的立体图形，取CM中点为D,过点D作DE⊥BC交于E,连接AE,AD,先证A'DI平面 BCM,再证BC⊥平面A'DE,得到∠A'ED就是二面角A'-BC一M的平面角，在Rt△A'DE中求解即可. 【详解】取CM中点为D,过点D作DE L BC交于E,连接A'E,A'D, A(A 在△ABC中，AB=2,AC=1,BC=V3, 则AC2+BC2=AB2,所以AC1BC 又点M为AB中点，所以AM=BM=CM=1,即△ACM为等边三角形， 所以∠CMA=60°，∠CMB=120°，∠MCB=∠MBC=30°， 将△ACM沿CM折起，使点A到达点A'的位置， 第22页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则△A'CM为等边三角形，又D为CM中点，所以A'D⊥CM, 又平面A'CM1平面BCM,平面A'CM∩平面BCM=CM, 所以A'DI平面BCM, 又BCC平面BCM,所以A'D L BC. 又DE⊥BC,AD∩DE=D,AD,DEC平面ADE, 所以BCI平面A'DE 因为AEC平面A'DE,所以BC⊥A'E. 所以∠AED即为二面角A'-BC一M的平面角， 在R胜△AD6中，AD-亭DE=CDsin/MCB=-X专 2 2 所以A'E=√AD2+DE2 2 )+ 4 1 则c0 S4A'ED=DE= 13 4 故=面角A-BC-M的余弦值为停 【变式31(24-25高一下·天津和平期末)设%，β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，且mca%,ncB, 则() A.若/IB, 则m/m B.若n//a,则a/B C.若a⊥B,则m⊥n D.若m⊥B,则a1B 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断面面平行、面面平行证明线线平行、判断面面是否垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】根据面面平行、面面垂直的判定和性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A: 若a/B,m,n可能平行，也可能异面，所以A错误： 对于选项B: 若n/a,则a,B可能平行，也可能相交，所以B错误： 对于选项C: 若a1B,则m,n可能平行，可能垂直，可能异面，所以C错误： 对于选项D: 若mIB,那么经过m的平面与B垂直，所以a1B,所以D正确. 故选：D. 【变式32】(25-26高一下.全国课堂例题)（多选题）己知平面a1平面β，anB=l,点P∈l,则下列结论 不正确的是() A.过P和l垂直的直线在aα内 B.过P和B垂直的直线在a内 C.过P和垂直的直线必与β垂直 D.过P和B垂直的平面必与l垂直 第23页共58页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】利用空间中线线，线面，面面的位置关系逐项判断可得结论 【详解】对于A、C,过P与l垂直的直线可能不在a内：过P和l垂直的直线不一定垂直B,故A、C错误， 对于B,过P和B垂直的直线一定在a内，故B正确， 对于D,过P和B垂直的平面不一定与垂直，故D错误. 故选：ACD. 【变式33】(24-25高一下·江西南昌·期末)如图，己知△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC,且 EA=AB=2DC,F,G分别是EB和AB的中点，则下列结论错误的是() E D B A.FD/平面ABC B.FGI平面ABC C.FC⊥AB D.平面EBC⊥平面EAB 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】连接AF,CG,根据线面平行的判定定理判断A,利用三角形的中位线和平行关系判断B,根据线 面垂直的判断定理和性质定理判断C,根据面面垂直的性质定理判断D. 【详解】连接AF,CG, 2 D G B 因为F,G分别是EB和AB的中点，所以FG/IEA且FG=三EA, 又因为EA垂直于平面ABC,所以FG⊥平面ABC,B正确： 因为ABc平面ABC,所以FG⊥AB, 又因为△ABC是正三角形，所以CG L AB, 因为FGnCG=G,FG,CGC平面CFG,所以ABI平面CFG, 第24页共58页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又因为FCC平面CFG,所以FC L AB,C正确： 因为EA=AB=2DC,DC垂直于平面ABC,所以FG/IDC且FG=DC, 所以四边形FGCD是平行四边形，FD/GC, 又因为GCC平面ABC,FD￠平面ABC,所以FD/平面ABC,A正确： 由EA=AB和F为EB中点可知AF⊥BE, 假设平面EBC⊥平面EAB, 又AFC平面EAB,平面EBC∩平面EAB=EB,则AFI平面EBC, 因为BCC平面ABC,所以AF L BC, 又因为EA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以EA⊥BC, 因为AF∩EA=A,AF,EAC平面EAB,所以BC⊥平面EAB, 因为ABC平面EAB,所以AB⊥BC,与△ABC是正三角形矛盾， 所以平面EBC与平面EAB不垂直，D错误： 故选：D 【变式3-4】(2026高一下.全国.专题练习)如图，在四边形ABCD中，AD/BC,AD=AB,∠BCD=45°， LBAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABDI平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中， 下列判断正确的个数() ①平面ABD1平面ABC:②直线BC与平面ABD所成角是45°：③平面ACD1平面ABC: ④二面角C-AB-D余弦值为5 3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【难度】0.52 【知识点】求线面角、证明面面垂直、求二面角、面面垂直证线面垂直 【分析】根据面面垂直的性质及线面垂直的性质定理，可证DCI平面ABD,结合图象，分析证明，即可判 断①的正误：根据DC1平面ABD结合线面角的定义，分析求解，即可判断②的正误；根据面面垂直的判定 定理，可判断③的正误；分析可得∠DAC为二面角C-AB-D的平面角，设AD=AB=1,求出各个长度， 结合三角函数定义，即可判断④的正误 【详解】对于①：因为LBCD=45°，AD/BC,所以∠ADC=135°， 又AD=AB,∠BAD=90°，所以∠ADB=45, 则∠BDC=90°，即BD1DC, 因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABDO平面BDC=BD,DCC平面BCD, 第25页共58页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以DCI平面ABD, 若平面ABDI平面ABC,则DC/平面ABC或DCC平面ABC, 由图象得DC∩平面ABC于点C,则平面ABD不垂直平面ABC,故①错误； 对于②：在四边形ABCD中，由①得DCI平面ABD, 则∠DBC为直线BC与平面ABD所成角，且为45°，故②正确： 对于③：因为DC⊥平面ABD,ABC平面ABD, 所以DC1AB, 又BA L AD,AD∩DC=D,AD,DCC平面ADC,所以AB⊥平面ADC, 因为ABC平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC,故③正确； 对于④：由③得，AB1平面ADC,则∠DAC为二面角C-AB-D的平面角， 设AD=AB=1,则BD=DC=√2， 因为DC1AD,所以AC=V5,所以c0sDAC=架-马故⊙正确 故选：C 【变式35】（多选）（24-25高一下贵州铜仁·期末)如图，在正方形ABCD中，点M,N分别是线段AD,BC上的 动点（不含端点），且MN II AB,MN与AC交于点E.现将四边形MNCD沿直线MN折起，使平面MNCD L平面 ABNM,则() D D A.AM L CN B.AC与MN所成角为定值 C.∠AEC为定值 D.存在点M、N,使得直线AC与平面CDMN所成角为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】令AB=2,CN=x(0<x<2),利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得AM1CN,判断 A:利用余弦定理计算∠AEC判断C;确定AC,MN所成角，计算判断B:确定直线AC与平面CDMN所成角， 计算判断D, 【详解】在正方形ABCD中，令AB=2,CN=x(0<x<2),则EN=x,ME=AM=BN=2-X, EC=V2x,AE=V2(2-x),如图，连接AN,AN=√4+(2-x)2, 显然CN L MN,而平面MNCD L平面ABNM,平面MNCD n平面ABNM=MN,CNc平面MNCD 第26页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则CNI平面ABNM,而AM,BN,ANC平面ABNM, 于是CN1BN,CN L AN,AM1CN,故选项A正确： AC=VAN2+CN2=V2x2-4x+8,BC=VBN2+CN2=V2x2-4x+4, 因为os2ABc=44cAC_2=298- 2AE.EC 2×V2(2-x)×V2x 所以ABC=为定值，故C正确： 显然AB2+BC2=AC2,即有AB1BC,因为AB/MN,则∠BAC是AC与N所成的角， cos∠BAC=A2= Ac2+8x车≤宁，当且仅当x=1时取等号 2 所以AC与MN所成角为定值，故B错误： AM⊥MN,平面MNCD L平面ABNM,平面MNCD n平面ABNM=MN, AMC平面ABNM,则AM1平面CDMN,所以∠MCA是AC与平面CDMN所成的角， 从而an4MCA=袋品当4MCA=.am∠MCA=益5， 3 化简得x2+2x+4=0,方程无解， 故不存在点M、N,使得直线AC与平面CDMN所成角为5，故D错误. 故选：AC 【变式36】(2026高一，全国.专题练习)点D是Rt△ABC斜边AB上一动点，AC=3,BC=4,将△BCD 沿着CD翻折，翻折后的三角形为△BCD,且平面BDCI平面ADC,则翻折后AB的最小值是 【答案】√13 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、面面垂直证线面垂直 【分析】过点B'作BE L CD,设∠BCD=∠B'CD=a,△AEC中，利用余弦定理得AE的值，然后利用面面 垂直证明BE⊥平面ACD,即得B'E L AE,在Rt△AEB中，由勾股定理得AB与a的关系式，可得当a- 时，AB取得最小值， 【详解】解：过点B'作BE⊥CD于点E,连接AE,如图所示. B' 设LBCD=∠BCD=a(0<<),由BC=4 则BE=4sina,CE=4cos,∠ACE= -a. 在△AEC中，由余弦定理得， AE2=AC2 +CE2-2AC.CEcos(-a)9+16cos2a-24cosasina. ,平面B'CD⊥平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,B'ELCD,BEC平面BCD, 第27页共58页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BEI平面ACD 又AEC平面ACD,∴，BE1AE. 在Rt△AEB中，由勾股定理得， AB2=AE2+BE2=9+16cos'a -24cosasina+16sin'a=25-12sin2a “当a=时，AB取得最小值，为V3. 题型04二面角 【典例41】(24-25高一下·全国课后作业)把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则△ABC是() A.正三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离 【分析】利用正方形及折叠的性质计算AC的长即可判定 【详解】设正方形边长为1，AC与BD相交于点O,则CA1BD, 所以折成直二面角后，易知∠C0A=90°，AB=BC=1, AC=C02+A02= =1, 则△ABC是正三角形 D B 故选：A 【典例42】(24-25高一下·天津西青·期末)如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD1面ABCD,SD=AB, 则异面直线SB与AC所成角的大小及平面SAB与平面ABD所成的二面角的大小分别为()· S C B A.90°和45° B.60°和45° C.45°和90° D.45°和60° 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、求二面角 第28页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】通过证明ACI平面SBD,得证AC L SB,即可确定异面直线所成角大小，再证明LSAD是平面SAB 与平面ABD所成的二面角的平面角，求出其大小后可得结论， 【详解】SDI面ABCD,ACC面ABCD,则SD L AC,同理SD⊥AB,SD1AD, ABCD是正方形，则AC⊥BD, BD∩SD=D,BD,SDC平面SBD,所以AC⊥平面SBD, 又SBc平面SBD,所以AC 1 SB,即异面直线SB与AC所成角的大小为90°，这时可确定只有选项A正确： 又AB⊥AD,AD∩SD=D,AD,SDC平面SAD,所以AB1平面SAD, 又SAC平面SAD,所以AB⊥SA, 所以∠SAD是平面SAB与平面ABD所成的二面角的平面角， 而SD=AB=AD,∠SDA=90°，所以∠SAD=45°，即平面SAB与平面ABD所成的二面角大小为45°， 故选：A. S 4E-- B 【典例43】（多选）(25-26高一下·云南昆明期中)类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余 弦定理：如图①，由不共面的三条射线PA,PB,PC构成的图形称为三面角P-ABC,记∠APC=,∠BPC=B, ∠APB=Y,二面角A-PC-B的大小为0，则cosy=cosacosB+sinasinBcos6.如图②，在平面四边形ABCD 中，AB=AC=CD=1,LADC=若LDAB=受，如图③，将△ACD沿AC翻折至△ACP,记二面角P-AC-B 的平面角为61，记二面角A一CP-B的平面角为02，则下列说法正确的有() 《 B ① ② ③ A.当01=时，则PA1AB B.当01=时，则PB=@ C.当PC1BC时，cos02=号 D.cos0,的最小值为号 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、求二面角 【分析】借助翻折性质及三面角余弦定理，在三面角A-PCB中，可得cosLPAB=cos∠PACcosLCAB+ sin∠PACsinCABcose01,计算即可得A、B;在三面角C-PAB中，可得cosLACB=cosLACPcos.∠PCB+ 第29页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin∠ACPsin/PCBcos02,计算即可得C、D. 【详解】由题，可知在△ACD中，由AC=CD=1得∠CAD=∠ADC=云 故∠ACD=号，AD=V5,又因为LDAB=钙 所以∠BAC=∠DAB-∠DAC=号-若=号 于是在等腰Rt△ABC中，BC=VAB2+AC=V2,∠ACB= 翻折保持边长与角度不变，因此在△ACP中，AP=AD=√3，CP=CD=1, 且LPAC=∠DAC=E,∠ACP=∠ACD=2Z, 6 3 在三面角A一-PCB中，应用三面角余弦定理， 得cos∠PAB=cos∠PACcosLCAB+sinPACsin/CABcos01, 代入得cos∠PAB=cosc0s+sin sincos01=cos01①： 6 6 对于A,当01=时，cos∠PAB=0,所以∠PAB=即PA1AB,故A正确： 对于B,由O式，当0，-，cos2PAB=os号 在△PAB中，AP=V,AB=1, 则PB2=AP2+AB2-2:AP,ABCOS-PAB-=3+1-2XVB×1×年=4-号-月 因此PB= 设LPCB=x,在三面角C-PAB中，应用三面角余弦定理， 得cos∠ACB=cos∠ACPcos.∠PCB+sinACPsin/PCBcos02, 即cos-cos号cosx+sinsicos0, 3 代入化简得号-cosx+9 sinxcos02,从而cos0,= 2+0s②： √3sinx 对于C,若PC1BC,则x=∠PCB= 代入上式得cos0,一贸-9故C错误： 对于0，由②式，由于xe(0,m.令t=tam>0).则simx=点，cosx= -t2 +t2 于是c0s02= 盏_-+型=t ,V2+11 2v3t 25t+25· 由基本不等式，c0s0,之2x-9 2 31 当且仅当受会=器时取等号，此时最小值可取得， 2v3 t 故cos0,的最小值为号故D正确， 【典例44】(23-24高一下·山东青岛期末)在四面体ABCD中，面ABC与面BCD所成的二面角为30°，顶点A 在面BCD上的射影是H,△ABC的重心是G,若AD1BC,AB=AC=BC=4,则GH=· 【答案】yV3网 第30页共58页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.4 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、证明线面垂直、余弦定理解三角形 【分析】取BC中点E,连接AE,DE,即可证明BC1平面ADE,从而可得面ABC与面BCD所成的二面角为 ∠AED=30°，且H在ED上，再利用余弦定理计算可得. 【详解】如图，取BC中点E,连接AE,DE, G B ~AB=AC=BC=4,∴AE1BC,且GE=AE=V4-2=29 又AD 1 BC,且AE∩AD=A,AE,ADC平面ADE, ∴BCI平面ADE,DEC平面ADE,所以BC⊥DE, ∴面ABC与面BCD所成的二面角为LAED=30°，且H在ED上， ∴EH=AE×c0s30°=2V5×5=3,又GB=25, ∠AED=30°， 2 3 ∴根据余弦定理可得GH=√GE2+EH2-2GE·EHcos∠AED =32+() -2x3×25x5-厘 3 23 故答案为：受 【变式41】(20-21高一下.全国课后作业)如图，二面角一1-B的大小是60°，线段ABca,B∈l,AB 与所成的角为30°，则AB与平面所成的角的正弦值是() B A祭 B.3 c o. 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由二面角大小求线线角或线面角、求线面角、线面角的概念及辨析、由异面直线所成的角求其 他量 【分析】作出辅助线，找到二面角a-l-B的平面角，AB与I所成的角及AB与B所成的角，利用sin60sin30° 求出答案 【详解】如图，作AO⊥B于O,AC⊥1于C,连接OB,OC, 因为lcB,所以A0⊥l, 第31页共58页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为A0nAC=A,A0,ACC平面A0C,所以11平面AOC, 因为0Cc平面A0C,所以OC1l, 则∠AC0为二面角a-1-B的平面角，即∠AC0=60°， ∠ABC为AB与I所成的角，∠ABC=30°， a B 设AB与B所成的角为0，则∠AB0=6. 由图得sin9=号-是希-sin60sn30-号 故选：B 【变式42】(24-25高一下·江苏常州期末)己知正四棱锥P-ABCD的底面边长和侧棱长相等，记异面直线 PA与CD所成角为a,侧棱PA与底面ABCD所成角为B,侧面PAB与底面ABCD所成的二面角为Y,则() A.a>y>B B.a>B>Y C.Y>B>a D.B>a>y 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、求二面角 【分析】根据异面直线所成角的概念，线面角，二面角的平面角的概念，构造出，B,Y,求出它们的三角 函数，利用三角函数的单调性，比较它们的大小 【详解】如图： 不妨设AB=2.取AC和BD的交点为H,AB中点E,连接PE,HE,PH. 则AE=EH=1,PE=√3，HA=HP=√2 因为AB/GD,所以PAB为异面直线PA与CD所成的角，为a,所以cosa=是=京所以a=青 因为PH1平面ABCD,所以∠PAH为直线PA与底面ABCD所成的角B,所以cosB=部=号，所以B=是 因为AB1EH,AB⊥ER,所以∠PEH为侧面PAB与底面ABCD所成的=面角y,所以coSY=熙=方一号 因为对<兽<号y=cosx在(0)上单调递减 所以a>Y>B. 故选：A 第32页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式43】（24-25高一下.重庆·期末)如图，在平行四边形ABCD中，AB=1,AD=√2，∠ADB=45°， 现将△ABD沿直线BD翻折至△PBD,使得点A到达点P的位置，且二面角P-BD-C的平面角等于45°，则 直线PD与平面BCD所成的角为(). B D A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求线面角、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】在平行四边形ABCD中，利用正弦定理求得∠ABD=90°，则AB 1 BD,CD1BD.在翻折后的立体 图形中，根据定义作出二面角P-BD一C的平面角LEFG,以及直线PD与平面BCD所成的角LEDH,利用边 长关系可求得LEDH 【详解】在平行四边形ABCD中，AB=1,AD=√2，∠ADB=45°， 在△ABD中，根据正弦定理，maD即时-D AB AD 解得sinABD=1,所以∠ABD=90°，即AB1BD,则CD L BD,且AB=CD=1. 翻折后，如图，分别取PD,BD,BC的中点E,F,G,连接EF,FG, D 则EF/PB,FG/CD,所以EF1BD,FG⊥BD,故LEFG是二面角P-BD-C的平面角，即∠EFG=45°， 过点E作EH L FG于点H,连接HD, 由EF⊥BD,FG⊥BD,EF∩FG=F,EFC平面EFH,FGC平面EFH,可得BDI平面EFH, 因为EHC平面EFH,所以EH 1 BD, 又BD∩FG=F,BDC平面BDC,FGC平面BDC,可得EH⊥平面BDC 所以∠EDH是直线PD与平面BCD所成的角. 在Rt△EFH中，EF=PB=分∠EFH=45°，则EH=EF×sin45°= 4 在Rt△EHD中，ED=PD=亭，EH=华则sin∠EDH-器= 因为LEDH是锐角，所以∠EDH=30°. 故选：A 【变式44水25-26高-下浙江宁波期中)已知二面角a-MN-B的大小为9,0EMN,AEa,且∠A0M=号 第33页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B为B内异于O的任意一点，且c0sLA0B的最大值是， 则sin0=() A月 8.9 c D.9 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】线面角的概念及辨析、求线面角、二面角的概念及辨析、求二面角 【分析】过A作AH⊥B,垂足为H,先根据二面角的定义作出二面角一MN-B的平面角，再由最小角定理 分析出当B与H重合时，∠AOB取到最小值，此时cos∠AOB取到最大值，分别求出OH,AH,AC的值，即可求 出sind. 【详解】 B 如图所示，过A作AH1B,垂足为H,作AC1MN交MN于点C,连接CH,OH. AH⊥B,MNcB,·.AH⊥MN.AC⊥MN,AH n AC=A,·.MN⊥平面ACH CHC平面ACH,∴.CH⊥MN,∴∠ACH就是二面角a-MN-B的平面角，·∠ACH=O. AH1B,H为垂足，六OH为OA在平面B内的射影，∴LAOH就是OA与平面B所成的线面角， 由最小角定理可知∠AOH是OA与平面B内的任意一条直线所成角中的最小角， B为B内异于O的任意一点，当且仅当B与H重合时，∠AOB取到最小值，此时cos∠AOB取到最大值. 在Rt△A0H中，cosA0H=盟=D ,OH=300A. OA 6 6 由勾股定理可得AH=√OA2-OH亚= VoA-) 6 又LA0M=5LA0c=若÷AC=0 Asin=0A 6 62 在Rt△AHC中，sm0=sn∠ACH=盟=A=S AC 0A 3 【变式45】（多选）(23-24高一下江苏常州月考)如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P 是平面A1BC1内一个动点，且满足PD+PB1=2+V13,点Q是线段BC1上一个动点，则下列结论正确的是 () ⊙ A.存在点P,使得A1P1DQ B.当Q为BC1的中点时，二面角Q-AD-C1的正切值为 C.直线B1P与平面A1BC1所成角为 D.异面直线B,P与AD1所成角的余弦值的最大值为 第34页共58页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】BCD 【难度】0.15 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、求二面角、线面垂直证明线线平行 【分析】先证明B1DI平面A1BC1,由条件确定点P的轨迹，根据线面角定义求直线B1P与平面A1BC1所成角 判断C,根据异面直线夹角定义作异面直线B1P与AD1所成角，解三角形确定其范围，判断D,结合二面角 定义作二面角Q-AD-C1平面角，解三角形判断B:根据线面垂直判定定理可得命题存在点P,使得A1P1 DQ等价于命题存在点P,使得A1P⊥平面BC1D,利用反证法证明距离不成立，判断A. 【详解】由己知△A1BC1为等边三角形，设点0为其中心， 因为A1B=BC1=CA1=3V2,所以A10=3V2x号×号=V6. 因为三棱锥B1-A1BC1为正三棱锥，所以B10I平面A1BC1, 因为B14=3,所以B0=√32-(V同'=V3, 因为三棱锥D-A1BC1为正三棱锥，所以D01平面A1BC1, 所以D,O,B1三点共线，故B1D1平面A1BC1,同理A1C1平面BC1D, 因为B1D=3V3,所以D0=2V5, 设0P=x,则PD=V12+x2,PB1=V3+x2, 因为PD+PB1=2+V13,所以V12+x2+V3+x2=√13+2，解得x=1, 所以P0=1,点P的轨迹为以0为圆心，1为半径的圆， 对于C,因为B101平面A1BC1,P0C平面A1BC1, 所以直线B1P与平面A1BC1所成角为∠B1PO,B1O⊥PO, 在Rt△B10P中，B10=√3，P0=1,所以tanzB1P0=V3,结合线面角定义可得∠B1P0= 所以直线B1P与平面A1BC1所成角为5，C正确： A B 对于D,因为AD1/BC1,所以异面直线B1P与AD1所成角与直线B1P与BC1所成角相等， 作三棱锥B1-A1BC1,点O为△A1BC1的中心， 图中圆0为点P的轨迹，OP=1,B,P=2, 过点P作PM/BC1,交圆O与点M, 取PM的中点为N,则∠B1PN为异面直线B1P与AD1所成角的平面角， 由已知△B1NP为直角三角形，所以coszB1PN=N=PW, B1P 2 第35页共58页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又PN≤1，所以coszB1PN≤当且仅当PO/BC1时等号成立， 所以异面直线BP与AD所成角的余弦值的最大值为，D正确： 对于B,过点Q作EF/BC,分别交CC1,BB1于点E,F, 因为BC/AD,所以EF/AD,所以平面QAD与平面ADEF重合， 由正方体性质可得AD⊥平面DCC1D1,DE,DC1C平面DCC1D1: 所以AD⊥DE,AD 1 DC1,所以LC1DE为二面角Q-AD-C1的平面角， 过点E作EG1DC,垂足为G,在Rt△D5G中，DE=3+周-9BG=x9=9 4 所以DG= 空-名-9，所以taCD8-器-青 所以二面角Q-AD-C1的正切值为B正确： D C P B 对于A,点Q是线段BC1上一个动点， 所以命题存在点P,使得A1P1DQ,等价于存在点P,使得A1P1平面BC1D, 假设命题存在点P,使得A1P1平面BC1D成立，而A1C1平面BC1D, 所以A1,P,C三点共线，与点P的轨迹是平面A1BC1内以O为圆心，1为半径的圆矛盾，A错误. 故选：BCD. 【变式46】(24-25高一下·天津滨海新区·期末)如图，在空间四边形ABCD中，△BCD是边长为2√2的等 边三角形，平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°，且AB=AD,则AD与平面BCD所成角的大小是 :二面角A-CD-B的余弦值是 【答案】 45 a 第36页共58页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.4 【知识点】求线面角、求二面角 【分析】说明∠ADO为AD与平面BCD所成的角，二面角A-CD-B的平面角为LFGB,结合解三角形知识即 可求解 【详解】第一空：过点A作AO 1 BD于点O, C 平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AOC平面ABD, ∴AO⊥平面BCD,则∠AD0为AD与平面BCD所成的角， :∠BAD=90°，AB=AD,∴.∠AD0=45°， 第二空：如图所示，过点B作BG L CD于点G,过点G作GF交AC于点F,过点A作AE垂直CD交CD于点E,则AE/ FG, 取AD的中点H,连接CH, 所以二面角A一CD一B的平面角为∠FGB, D 由题意BC=CD=DB=2V2,因为AO⊥BD,AB=AD,BG L CD, 所以点O,G分别是BD,CD的中点，所以BG=C0=√2×V3=V6, 因为∠BAD=90°，∠AD0=45°，所以A0=1,AD=V2XV√2=2， 因为A01平面BCD,C0C平面BCD,所以A0IOC,所以AC=2V2, 所以三角形ACD是等腰三角形，其中AC=CD=2V2,AD=2, 由等面积法有，×2×V8-1=×2W2×AB,解得AB= 2 所以CE _32=2CD,所以CG=子CE, 2 2 所以FG=子AE=, 3 因为A01平面BCD,CF=号CA,所以点F在三角形BCD内的射影必定为BG,CO的交点L, 即点F在三角形BCD内的射影必定为等边三角形BCD的中心， 所以B1=5,F1=号A0=29,所以BF=, 39 39 第37页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故所求为cOS∠FGB=G82+GP2-BP2_6+4 2GB-GF 26x@ 7 3 故答案为：45；四 7 强化训练 一、单选题 1.(20-21高一·全国·课后作业)下列命题中正确的是() A.平面a和B分别过两条互相垂直的直线，则a⊥B B.若平面a内的一条直线垂直于平面B内的两条平行直线，则a⊥f C.若平面a内的一条直线垂直于平面B内的两条相交直线，则a⊥B D.若平面a内的一条直线垂直于平面B内的无数条直线，则a⊥B 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】判断面面是否垂直 【分析】根据线面垂直的判定及面面垂直的判定方法结合选项可得答案 【详解】当平面a和B分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和B有可能平行，故A不正确； 条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直， 由平面与平面垂直的判定定理知B,D均不正确，C正确 故选：C 2.(24-25高一下·福建福州期末)设m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，下列命题中为真命 题的是() A.若m//a,nca,则m/m B.若m//a,x/B,则m/B C.若m1a,m/B,则a⊥B D.若m1a,m1n,则n/a 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、证明面面垂直、线面平行的性质 【分析】对于ABD,由答案不完备即可判断错误；对于C,由线面平行的性质、面面垂直的判定定理即可判 断。 【详解】对于A,若m/a,nca,则m/n或m,n异面，故A错误： 对于B,若m/a,a/B,则m//B或mcB,故B错误： 对于C,若m/B,则存在m1cB,且m/m1,因为m1a,所以m11a,而m1cB,从而a1B,故C正确： 对于D,若m1a,m1n,则n/a或nca,故D错误. 故选：C 3.(25-26高一下.全国·课后作业)己知长方体ABCD-A1B1C1D1,在平面ABB1A1上任取一点M,作ME1AB 于E(M与E不重合)，则() 第38页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.ME⊥平面ABCD B.MEC平面ABCD C.ME/平面ABCD D.以上都有可能 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断图形中的线面关系 【分析】易知MEc平面ABB1A1,由面面垂直的性质可得结论. 【详解】 D D E B M∈平面ABB1A1,E∈AB,即E∈平面ABB1A1,MEC平面ABB1A1 又平面ABB1A1I平面ABCD,平面ABB1A1n平面ABCD=AB,ME1AB, ·ME⊥平面ABCD. 故选：A. 4.（22-23高一下·天津和平期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1,棱长为2，E是CC1的中点，则二面角E- DB-C的正弦值为() D B E A号 B.3 3 c.9 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求二面角 【分析】根据二面角平面角的定义得到∠EOC是二面角E-DB-C的平面角，然后求正弦值即可. 【详解】如图，取BD中点O,连接OE,OC, D 因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以CD=CB,ED=EB, 因为O为BD中点，所以OE⊥BD,OC⊥BD 因为平面BDEO平面BDC=BD,OEC平面BDE,OCC平面BDC, 所以∠EOC是二面角E-DB一C的平面角， CE=1,0C=V2,0E=√2+1=V3, 第39页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sim<B0C=器=方=马所以二面角E-DB-C的正弦值为停 故选：B 5.(24-25高一下·陕西西安期末)设a,B,y为不同的平面，m,n为不同的直线，则下列能使平面a与平面 B平行的一个条件是() A.a1y,B⊥y B.m⊥，n⊥B,m//m C.内有无数条直线与β平行 D.mca,n cB,m//n 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断面面平行、证明面面垂直 【分析】结合空间平面间的位置关系判断ACD,由线面垂直的性质即可判断B. 【详解】选项A,直棱柱的侧面都与底面垂直，但相邻侧面是相交的，A错： 选项B,由m1a,m/m,可得n1a,又n1B,所以a/B,B正确： 选项C,当这无数条直线相互平行时，平面与B可能相交，C错： 选项D,mca,ncB,m//n,此时平面aB可以是相交的，D错， 故选：B. 6.(24-25高一下·黑龙江双鸭山月考)己知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1,DD1=V2,则点D 到平面ACD1的距离为() A.0 5 B.2v8 C.23 5 3 09 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、证明面面垂直、由线面角的大小求值 【分析】连接AC交BD于O,连接OD1.在ABCD-A1B1C1D1中，由AB=AD=1得AC1BD.根据线面垂直的 性质及面面垂直的判定定理可得AC1平面ODD1,由面面垂直的判定定理可得平面ACD1I平面ODD1,所以 ∠DD,0是直线DD与平面ACD,所成的角，所以amDD,0-器-在Rt△DD:0中即可求解点D到平面 ACD1的距离 【详解】连接AC交BD于O,连接OD1,如图所示. D B 因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1,所以AC1BD. 又DD1I平面ABCD,ACC平面ABCD,所以DD1IAC. 又DD1nBD=D,DD1,BDC平面ODD1,所以AC⊥平面ODD 第40页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又ACC平面ACD1,所以平面ACD1⊥平面ODD1, 所以∠DD,0是直线D,与平面ACD,所成的角，所以an2DD,0-品- 又D0=号所以DD,=V2,由tan-DD,0-克可得sinDD,0=号 所以点D到平面ACD1的距离为DD1 sinDD,0=5×V2=画 5 故选：A 7.(2026高一全国.专题练习)图，己知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1,E,F分别是棱BC,A1C1上的 点.记EF与AA1所成的角为a,EF与平面ABC所成的角为B,二面角F-BC-A的平面角为Y,则() A B C A.a≤B≤y B.B<a≤Y c.B≤y≤a D.a≤y≤B 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、求二面角 【分析】比较三个角a,β，的大小，直接比较角度很困难，但我们可以比较它们的正切值，因为这三个角都 在[0，)之间，正切函数在这个范围内是单调递增的，所以比较正切值的大小就等同于比较角度的大小. 【详解】解：正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AA1, 正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1， 如图，过F作FG1AC,垂足点为G,连接GE,则A1A/FG, B _GE-GE. EF与AA1所成的角为LEFG=a,且tan?=F元 又GE∈[0,1]，.tanaE[0,1], ∴BF与平面ABC所成的角为LFEG=B,且ta明=能=忘∈L,+o), ∴.tanβ≥tana,①， 再过G点作GH L BC,垂足点为H,连接HF, 第41页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又易知FG⊥底面ABC,BCC底面ABC, BC⊥FG,又FGnGH=G,FG,GHC平面GHF, ·BCI平面GHF, 二面角F-BC-A的平面角为2GHF=y,且amy=品=品又GH∈b,引 tany∈[S,tm）,tay≥tana,②. 又GE≥GH,.tanB≤tany,③， 由①②③得tana≤tanB≤tany,又a,B,y∈[o,),y=tanx在[0，)单调递增， a≤B≤Y. 8.(23-24高一下.安徽合肥·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,M为AB的中点，将△ADM沿DM 翻折.在翻折过程中，当二面角A一BC-D的平面角最大时，其正弦值为() M A. B.v3 5 C. 3 0.9 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求二面角 【分析】过A作DM的垂线，垂足为E,交CD于F,交BC于G,设A在平面BCD内的时影为O,则O在直线EG 上，过O作BC的垂线，垂足为H,则∠AHO为二面角A一BC-D的平面角，通过辅助角公式和正弦函数的值 域，解不等式可得所求正切值的最大值，进一步即可求解. 【详解】在图1中，过A作DM的垂线，垂足为E,交CD于F,交BC于G. B M 图1 图2 在图2中，设A在平面BCD内的射影为O,则O在直线EG上，过0作BC的垂线，垂足为H,连接AH, 因为AOI平面MBCD,BCC平面MBCD, 所以BC1AO, 又因为BC10H,A0nOH=O,A0c平面AOH,OHc平面A0H, 所以BC1平面AOH, 因为AHC平面AOH, 第42页共58页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以BC⊥AH, 因为OH1BC,OHC平面BCD,AHC平面BCA,平面BCDn平面BCA=BC, 所以∠AHO为二面角A一BC-D的平面角 AEO=0,(0)E-AO=AEsing =s 2 2 sin0, 由26aB=45,可得AG=2V2,0G=27-9-号cos0=2V2-91+cos0).0H=号0G=2-1+ c0s6) 即有tanzAH0=A0= 号in 0H2-1+c0s0) =V20<0<四， 3-c0s6 今t=.0<g<,可得sm0+icos0=3t=+isin(0+)≤V+1, 其中c0sp= 1 t sing= 解得0<t≤2，则tan乙AH0≤行等号成立当且仅当sin(+p)=1. 4 当二面角A-BC-D的平面角最大时，其正切值为，此时它的正弦值为 故选：B 二、多选题 9.(23-24高一下·江苏南京·月考)如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是 圆周上不同于A,B的任意一点，M,N分别为VA,VC的中点，则下列结论正确的是() A.OC⊥平面AC B.MN/平面ABC C.MN与BC所成的角为90 D.平面VAC⊥平面BC 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】判断面面是否垂直、判断线面是否垂直、判断线面平行、求异面直线所成的角 【分析】对于A,举例判断，对于B,利用线面平行的判定定理分析判断，对于C,利用异面直线所成的角 求解判断，对于C,利用面面垂直的判定理分析判断， 【详解】对于A,连接OC,因为AB是半圆O的直径，所以AC L BC,所以OC与AC不垂直， 因为ACc平面VAC,所以OC与平面VAC不可能垂直，所以A错误， 对于B,因为M,N分别为VA,VC的中点，所以MN∥AC, 因为MN平面ABC,ACC平面ABC,所以MN∥平面ABC,所以B正确， 对于C,由选项B可知MN∥AC,所以LACB为MN与BC所成的角， 第43页共58页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为AC1BC,所以N与BC所成的角为90°，所以C正确， 对于D,因为VA1平面ABC,BCC平面ABC,所以/A L BC, 因为AC⊥BC,VAnAC=A,VA,ACc平面VAC,所以BC1平面VAC, 因为BCc平面VBC,所以平面VACI平面VBC,所以D正确， 故选：BCD 10.(24-25高一下.湖南永州期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，AP=PD=2,AB=V6,CD=1,∠ADC= ∠APD=90°，平面PADI平面ABCD,E是棱PA的中点，且BE∥平面PCD,则() A.AP⊥平面PCD B.异面直线BE与PD所成角的正切值为2 C.三棱锥P-ACD的外接球的表面积为36π D.底面四边形ABCD内（包含边界）有一动点Q,IPQ1=V5,则动点Q的轨迹长度为π 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、面面平行证明线线平行、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】由面面垂直的性质定理及线面垂直的判断定理可判断A:取AD中点为F,连接EF,BF,则可得∠BEF 为BE与PD所成角（或补角），由面面平的判断定理及以性质定理可得BF1平面PAD,在直角三角形BEF中， 求解即可；由题意可得三棱锥P-ACD的外接球球心为AC的中点，求得半径为，求出外接球的表面积，即 可判断C;确定动点Q的轨迹是以F为圆心1为半径的半圆，即可判断D. 【详解】解：对于A,因为平面PADI平面ABCD,交线为AD, 又CDC平面ABCD,CD L AD,所以CD⊥平面PAD, 又因为APC平面PAD,所以AP L CD, 又因为AP⊥PD,PDn CD=D,PDC平面PCD,CDC平面PCD, 所以AP⊥平面PCD,故A正确： 对于B,取AD中点为F,连接EF,BF, 因为E为AP中点，所以EF∥PD, 所以∠BEF为BE与PD所成角（或补角）， 第44页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又EF￠平面PCD,PDc平面PCD,所以EF∥平面PCD, 又因为BE∥平面PCD,EFnBE=E,EFC平面BEF,BFC平面BEF, 所以平面BEF∥平面PCD, 又平面BEFN平面ABCD=BF,平面PCD∩平面ABCD=CD, 所以CD∥BF, 又CD⊥平面PAD, 所以BF⊥平面PAD,EFC平面PAD, 所以BF1EF,BF=VAB2-AF2=2,EF=1, 所以am∠BEF=部=2，故B正确： 对于C,因为△APC和△ADC为直角三角形， 所以三棱锥P一ACD的外接球球心为AC的中点， 又因为AP=PD=2,∠APD=90°， 所以AD=2V2,AC=V√AD2+CD2=V8+1=3, 所以半径发号 所以三棱锥P-ACD的外接球表面积为9π，故C错误： 对于D,连接PF,则PF为三棱锥P一ABCD的高， 又IPQ|=V3,AD=2W2, 所以PF=AD=V2 故QF=√PQ2-PF2=1, 所以动点Q的轨迹是以F为圆心1为半径的半圆，故D正确. 故选：ABD 11.(24-25高一下·浙江宁波.期末)如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD=AD=2,PD⊥平面ABCD, E为PB上动点，过点E作垂直BD的截面a,则下列说法正确的是() P E D B A.存在点E,使得DE 1 PB 第45页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.存在点B,使得二面角BACD为 C.存在点B,使得直线AE与平面PCD所成角为 D.存在点E,使得截面α截该四棱锥截得的截面面积为√3 【答案】ACD 【难度】0.15 【知识点】余弦定理解三角形、由平面的基本性质作截面图形、求线面角、求二面角 【分析】A选项，在PB上取点E,使得PE=9,利用余弦定理和勾股定理逆定理得到DELPB,A正确： B选项，作出辅助线，得到∠EOD即为二面角EACD的平面角，显然，当E,P重合时，∠EOD取得最小值， 此时tan/POD=V2,∠POD>石B错误；C选项，作出辅助线，得到LAEF即为直线AE与平面PCD所成的 角，设AF=t,0≤t≤2，表达出其他边长，利用正切得到方程，解得t=2V2-2,故存在点E,使得直 线AE与平面PCD所成角为：D选项，作出截面α截该四棱锥截得的截面，设4G=u,0≤u<2,表达出 其他边长，表达出截面面积，从而列出方程，结合零点存在性定理得到存在点E,使得截面截该四棱锥截 得的截面面积为√3 【详解】对于A,连接BD,由勾股定理得BD=√AD2+AB2=2V2, 因为PDI平面ABCD,BDC平面ABCD,所以PD 1 BD, 由勾股定理得PB=VPD+BD=25,故cos∠DPB=号=京-号 在PB上取点E,使得PE-9则BE=9 在△PDE吨，由余孩定理得DE2=DP2+PE2-2 DPPE0s4DPE=4+-2×2x9×号=号 由于DE2+PE2=DP2,故DE⊥PB,A正确： B选项，设AC∩BD=O,连接EO 因为PD1平面ABCD,ACC平面ABCD,所以PD1AC, 又AC L BD,PD n BD=D,PD,BDC平面PBD, 所以AC⊥平面PBD, 因为OEc平面PBD,所以AC⊥OE, 故∠EOD即为二面角E-ACD的平面角， 显然，当E,P重合时，∠B0D取得最小值，此时anuP0D=器=是=V2, 第46页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由于y=tamx在xe(o,上单调递增，且tamg=号<V2, 所以∠P0D>F不存在点E,使得二面角BACD为，B错误： C选项，过点E作EQ⊥BD于点Q, 因为AC⊥平面PBD,EQC平面PBD,所以AC 1 EQ 因为BD∩AC=O,BD,ACC平面ABCD,所以EQ⊥平面ABCD, 因为PDI平面ABCD,所以PD/EQ, 因为EQ￠平面PCD,PDC平面PCD,所以EQ/平面PCD, 过点Q作QF/CD交AD于点F,连接EF, 因为FQ￠平面PCD,CDc平面PCD,所以FQ/平面PCD, 因为FQnEQ=Q,FQ,EQc平面EFQ,所以平面EFQ/平面PCD, 因为PDI平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PD L AD, 又CD⊥AD,PDnCD=D,PD,CDC平面PCD,所以AD⊥平面PCD, 故AF⊥平面EFQ,所以∠AEF即为直线AE与平面PCD所成的角， 设MP=t,0≤t≤2，则DF=FQ-2-t,器-器-铝- 所以EQ=PD=t, 由勾股定理得EF=√EQ2+FQ2=t2+(2-t)2=V2t2-4t+4, 令tan/AEF=-2= ,解得t=2√2-2， 故存在点E,使得直线AB与平面PCD所成角为2C正确： D选项，当点E为PB中点时，此时EO/PD,故EO⊥平面ABCD, 因为E0C平面EAC,所以平面EAC⊥平面ABCD,交线为AC, 因为BD⊥AC,所以BD⊥平面EAC, 即三角形EAC即为截面a截该四棱锥截得的截面， 此时0E=1,S△BAc=AC·0E=V2<V3, D 刀 B 故当E靠近P点时，过点Q作GH/AC交AD,CD于点G,H, 过点G,H作GM//EQ,NH//EQ,分别交PA,PC于点M,N,连接EM,EN, 五边形EMGHN即为截面a截四棱锥截得的截面， 设AG=u,0≤u<2,则DG=DH=2-,器-g-g=号 第47页共58页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故cQ=H0=号 ”-0=总=片故w6=MH=u,黑=器-08-器++片故0-+1， 20D 所以五边形EMGHN的面积为oC"+@×2=岩（侵+1 2 号（侵+1）=V3得32-4u+26-4=0. 令g(0=3u2-4u+2V6-4,对称轴为u=号 9)=-普+26<0,90)=2W6-4>0,9(2)=2w6>0, 故由零点存在性定理得，在(0，)和（作，2）上均存在一个零点， 故存在点E,使得截面α截该四棱锥截得的截面面积为V3,D正确。 M -9C D 故选：ACD 三、填空题 12.(2025高一.全国.专题练习)如图，已知二面角a一1一B,线段AB,AC分别在平面a,B内，且都与L成45° 角，若∠BAC=120°，则二面角a-1-B的大小为一· a 【答案】90° 【难度】0.65 【知识点】求二面角 【分析】不妨设AB=AC=√2，由余弦定理求出BC=√6，作出辅助线，得到LBOD即为二面角a-I-B 的平面角，证明线面垂直，并得到各边长，由勾股定理逆定理得到∠B0D=90°，求出答案. 【详解】如图，不妨设AB=AC=√2， 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACc0s120°=2+2+2=6， 则BC=V6 过点B作B01I交直线I于点0，过点0作OD1L, 则∠B0D即为二面角a-l-B的平面角. 第48页共58页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点C作CDI交直线OD于点D, B B D 因为线段AB,AC都与l成45°角，所以B0=0D=1,DC=2. B01l且OD1L,B0nOD=O,B0,ODC平面B0D, 故11平面BOD 结合CDIl得CDI平面BOD, 又BDC平面BOD,故CD⊥BD, 所以BD2=BC2-DC2=2=B02+0D2, 故B01OD,即∠B0D=90°. 故答案为：90° 13.(23-24高一下北京期末)如图，在棱长为4的正方体中，点P是线段AC上的动点（包含端点），点E 在线段B1D1上，且D1E=D1B1,给出下列四个结论： D C E A B C PK- B ①存在点P,使得直线PE/平面C1BD: ②点P沿直线AC从点A移动到点C的过程中，四面体C-D1B1P的体积逐渐减小： ③若PE≤5，则点P轨迹的长度为V7: ④当二面角P-D1B1-C的平面角的正切值为2√2时，平面PD1C1截正方体所得截面图形的面积为16√2， 其中所有正确结论的序号是 【答案】①②④ 【难度】0.4 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、立体几何中的轨迹问题、判断线面平行、锥体体积的有关计 算 【分析】根据面面平行以及线面平行的判断可判断A:结合三棱锥体积的公式可判断B；判断出点P所处的 位置，即可求其轨迹长度，判断C:由二面角P-D1B1-C的平面角的正切值确定P点位置，进而求得截面 面积，判断D 【详解】对于①，当P点位于A点时，由于BB1IDD,BB1=DD1,即四边形BB1D1D为平行四边形， 则B1D1IBD,同理可证ADlBC1, 第49页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由于B1D1￠平面C1BD,BDC平面C1BD,故B1DI平面C1BD, 同理AD1I平面C1BD,而B1D1∩AD1=D1,B1D1,AD1C平面AB1D1, 故平面AB1D1/平面C1BD,此时PEC平面AB1D1,则PE平面C1BD, 即存在点P,使得直线PE/平面C1BD,①正确： D C 对于②，由于AA1I平面A1B1C1D1,B1D1C平面A1B1C1D1,故AA11B1D1, 而A1C1⊥B1D1,而AA1nA1C1=A1,AA,A1C1C平面AA1C1,故B1D11平面AA1C1, AC1C平面AA1C1,故B1D11AC1,同理可证B1C1AC1 B1D1∩B1C=B1B1D1,B1CC平面CB1D1,故AC11平面CB1D1 由于Vc-DBP=Vp-cD18,过点P作PQ1平面CBD1,垂足为O,则PQILAC1 当P点沿直线AC从点A移动到点C的过程中，PQ长逐渐变小， 而△CB1D1的面积为定值，故Vp-cDB1逐渐变小，即Vc-D1BP逐渐减小，②正确： D P 对于③，D1E=D1B1=×4W2=V2,作EG1A1D1,垂足为G,连接AG, 则A1G=3,EG=1,此时EA=EC=√4+32+1卫=V26>5 则P点轨迹为在AC上的线段，如图示， △EAC为等腰三角形，则其底边上的高为EH 26-(2W2=3V2<5, 故当P向点C运动时，EP逐渐变小，故在线段AH上存在一点P,使得PE=5, 同理在靠近C的那一侧也存在一点P,使得PE=5, 当PE=5时，PH= J52-(3V22-V7,则点P轨迹的长度为2W7,③错误： D H 对于④，设A1C1,B1D1交于R,则R为B1D1的中点， 由于AB1=AD1,CB1=CD1,故AR⊥B1D1,CRIB1D1, 第50页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即LARC为二面角A-B1D1-C的平面角，而AR=CR= J42+(22 =2W6,AC=4v2, 故c0s∠ARC=4R2+CR2-AC2 48-321 即∠ARC为锐角， 2ARXCR 2x2w6x2WG=行 则sin-ARC=-2,即tanARC=2W2, 当P点由A向C运动时，∠ARC将变小， 即可知当二面角P-D1B1-C的平面角的正切值为2W2时，P点位于A处， 由于ABIC1D1,此时平面PD1C1截正方体所得截面即为矩形ABC1D1, 面积为4×4v2=16v2,④正确， D 故答案为：①②④ 14.(23-24高一下.浙江台州·期末)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CD的中点，N为线段BM 上的动点（含端点），则下列选项正确的是() A.若直线A1M与直线AW所成角为a,则cos的最大值为 B.若直线CW与平面ABCD所成角为B,则sinB的最大值为 6 C.若点V到平面ABC1D1的距离为d,则d+CN的最小值为25+w恒 5 D.若过A1,N,C三点的平面截正方体ABCD一A1B1C1D1所得截面面积为S,则S的最小值为2G 【答案】BCD 【难度】0.15 【知识点】求线面角、求点面距离、求异面直线所成的角、由平面的基本性质作截面图形 【分析】对于选项A,根据点N运动情况，求得c0sa-号>知可判断：对于选项B,根据点N运动情况找 到使角B最大的位置即可求解：对于选项C,根据动点到面和点到线的距离转化求解即可：对于选项D,当 截面为经过AB的中点E,C1D1的中点M1时，面积最小 【详解】对A,当点V运动到与M点重合时，求得cos0-号> 3 ,故A错误： B 对B,因为sm6=票=品所以当线段c,N最小时，si血g最大， 分析知，当点N运动到满足CN L MB时，CN最小，此时根据勾股定理，C1N也最小. 第51页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又因为CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥MB,又CN L MB,CC1nCN=C,所以MB1平面CC1N,所以C1N⊥MB. 在Rt△MBC中，由勾股定理得MB=√MC2+BCZ=√12+2z=√5， 时MBCN=MCBC得，CN=G=号-后 MB V5 在Rt△CC1B中，由勾股定理得C1B= CC+BC2 2v2 在Rt△BCW中，由勾股定理得BN=VBC2-C=2-( -音 在R△CvB中，由勾服定理得c,N=VGD-Bm=2回-()=居 所AG,CN冲，f=票-京 2 2 , 6 故B正确； 对C,过N作NP/AB,再作PQ1BC1,又PQ⊥AB,易证PQ⊥平面ABC1D1, 所以点N到平面ABC1D,等于点P到平面ABC1D1,所以d+CN=PQ+CN, 将平面ABCD和平面BC,B,展开放在同-平面内（如图所示），取8P的中点K,则有器-瓷-片所以PK=NP, 所以△PNK为等腰直角三角形，所以NK=√2NP, 又因为△PBQ为等腰直角三角形，所以PQ=号PB=竖2NP=V2NP, 所以PQ=NK,所以d+CN=NK+CN,设∠NCP=6,PK=KB=t,则CP=2-2t,NK=√2t, NK CN 在△CNK中，m2wCP 天cKE匹=w 2-t snWKc= sn加（便可 所以t=nag9e.)所以cN= 2 NK =V2t= 2v2sine 2sin@+cos0 所以d+CN=NK+CN= 2 2v2sin0 2v2sin0+2 下面求其最小值，令k= 2v2sin0+2 2sin8+cos日 2sin0+cose 2sine+cos0 2sin@+cos0 ,(k>0),则 (2k-2√2sin0+kcos0=2,由辅助角公式可得， (2k-2W22+k2sin(0+p)=2, 其中取tanp=-万>0，所以k>V2, k 所以存在角p使得sin(0+p)≤1，即存在 (2k-2V)+k2≥2，化简得， 5k2-8V2k+4≥0，又由方程5k2-8V2k+4=0解得k=N2±厢=2±25， 2×5 5 所以k≥25或k≤525，又因为k>V2,所以k≥42 5 5 5 所以d+CN=NK+CN= 2 2√2sin6 2sine+cos0 2sin0+cos0 的最小值为2三故C正确： 2sin0+cos0 D D M 对D,分析知，经过A1,N,C三点的平面截正方体得到的截面经过AB的中点E,C1D1的中点M1时，截面面 第52页共58页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 积最小，此时截面为四边形A1M1CE,由于△A1D1M1,△A1AE,△M1C1C,△CBE都全等，所以A1M1=M1C= CE=A1E,所以四边形A1M1CE为菱形， 易求A1C=V3AB=2V3,M1E=D1A=2W2 所以S=A1CM1E=×2V3×2V2=2W6,故D正确. M C D Mi A E 故选：BCD. 四、解答题 15.（20-21高一下·江苏镇江·月考)如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB,PB⊥PA B (1)求证：PB⊥平面APD:(2)若AG⊥PD,G为垂足，求证：AG⊥BD. 【答案】(1)证明见解析：(2)证明见解析. 【难度】0.94 【知识点】面面垂直证线面垂直、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】(1)由线面垂直的性质有AD1PB,再根据线面垂直的判定证结论 (2)由(1)及面面垂直的判定可得面PBD1面APD,再由面面垂直的性质有AG⊥面PBD,根据线面垂直 的性质即可证结论 【详解】(1)由AD⊥平面PAB,PBC面PAB,则AD⊥PB, 又PB⊥PA,PA∩AD=A,则PB⊥平面APD: (2)由(1)及PBC面PBD,则面PBD1面APD, 又面PBD∩面APD=PD,AG⊥PD,AGC面APD, 所以AG⊥面PBD,而BDc面PBD, 所以AG⊥BD. 16.(24-25高一下四川宜宾期末)如图，P为菱形ABCD平面外一点，且PA=PC,E为线段PD上的动点. (1)求证：平面ACE1平面PBD: (2)是否存在点E使得PB/平面ACE,若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由. 第53页共58页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 夕 【答案】(1)证明见解析：(2)存在；E为线段PD的中点： 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】(1)根据菱形性质以及等腰三角形性质可证明ACI平面PBD,再由面面垂直判定定理可证明得出 结论 (2)利用线面平行判定定理证明可得当E为线段PD的中点时，满足题意： 【详解】(1)取AC,BD的交点为0，连接P0,如下图所示： 因为菱形ABCD,所以AC 1 BD,且O为AC的中点， 又PA=PC,可得PO1AC 又BD∩PO=O,BD,POC平面PBD,所以ACI平面PBD,又ACC平面ACE, 所以平面ACE⊥平面PBD: (2)存在，E为线段PD的中点，满足PB/平面ACE: 连接0E,因为O,E分别为BD,PD的中点，所以OE//PB, 因为OEC平面ACE,PB丈平面ACE,所以PB//平面ACE; 因此存在点E,当E为线段PD的中点时，满足PB/平面ACE. 17.(25-26高一下·湖南株洲期中)如图，ABCD是边长为3的正方形，DE1平面ABCD,AF/DE,DE=3AF, BE与平面ABCD所成角为60°. 0 (1)求证：AC1平面BDE;(2)设二面角F-BE-D为，求sima. 【答案】a证明见解折： 【难度】0.64 第54页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】证明线面垂直、求二面角 【分析】(1)求证AC⊥BD,ACL DE即可求证； (2)利用ACI平面BDE求出点F到平面DEB的距离，再利用余弦定理求出点F到直线BE的距离即可求出. 【详解】(1)因为ABCD是正方形，所以AC1BD, 因为DEI平面ABCD,ACC平面ABCD,所以AC⊥DE, 因为BD∩DE=D,BD,DEC平面BDE,所以AC⊥平面BDE: (2)因为DEI平面ABCD,DBC平面ABCD,所以DB⊥DE, 因为BE与平面ABCD所成角为60°，所以∠EBD=60°， 则DE=DBtan60°=3V2×V5=3V6,AF=DE=V6, 3 因为AC1平面8DB,所以点A到平面BDE的距离d=AC=碧， 2 因为AF/DE,AF￠平面BDE,DEC平面BDE,所以AF//平面BDE, 所以点F到平面DEB的距离d=3三， 2 在直角梯形AFED中EF=√32+(36-V同'=V33, 在Rt△AFB中FB=V√6+9=VI5,在Rt△DEB中EB 3同+(3v2 =6v2, 则在△BEF中利用余弦定理得cOs∠EBF= BF2+EB2-EF2 15+72-33 9 2EB.BF 2x6/2x√元=2V30' 则sin-EBF-VT-cos2ZEBF=v西 2V30 则点P到直线BE的距浅为BPsin-EBF=V压×需-器 则sina= d_322V2_2v39 V3丽-2V3丽-13 2W2 18.(24-25高一下·浙江杭州期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,∠ADC=90°， AB=2V2,AD=3,BC=1,△PAD≌△BAD. (1)若点M在棱PC上，PM=MC,若PA/平面DMB,求的值； (2)设平面PAD与平面PBC的交线为l,证明：//平面ABCD: (3)当平面PAD与平面PBC所成的二面角为45时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值. 【答案】(13：(2证明见解析：(3号 【难度】0.4 【知识点】求线面角、线面平行的性质、由二面角大小求线段长度或距离 第55页共58页 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)连接AC交BD于点N,连接MN,利用线面平行的性质可得出PA/MN,由△ADN∽△CBN可得 出袋=器=专再由PA/MN可求得2的值： (2)证明出BC/平面PAD,利用线面平行的性质可证得结论成立： (3)取AD的中点O,连接OP、OB,过点P作l//AD,分析可知，∠BPO为平面PAD与平面PBC所成的锐二面 角，即有∠BP0=45°，证明出PO1平面ABCD,则∠PC0为PC与平面ABCD所成的角，计算出PC、PO的长， 即可计算出∠PCO的正切值， 【详解】(1)如图，连接AC交BD于点N,连接MN, ,PA/平面BDM,PAc平面PAC,平面PAC∩平面BDM=MN, PA/MN,在椭形ABcD中，BCAD,∴△ADN△CBN,÷器-号-台 :PA/MN,-兴=3，A=3 (2):BC/IAD,BC￠平面PAD,ADC平面PAD,.BC/平面PAD, 又BCc平面PBC,平面PBCn平面PAD=I,∴.BC/I, 又~It平面ABCD,BCC平面ABCD,∴.l//平面ABCD. (3)在AD上取一点0，使得D0=1,连接0P、OB,0C, BC//AD,AD=3BC,.OD/BC且OD=BC,∴.四边形OBCD为平行四边形，∴.CD//OB, ,∠ADC=90°，.∠B0D=90°，.AD10B, 又AB=2N2,A0=2,∴.B0=2,又△PAD≌△BAD,.AD1OP ,OP∩OB=O,OPC平面POB,OBC平面POB,..AD⊥平面POB, ,BPC平面POB,.AD 1 BP, 过点P作/IAD,由AD//BC,则l/IBC,lc平面PAD,1c平面PBC, 即平面PADn平面PBC=l,.l⊥OP,I1BP, ∴.∠BPO为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角，∴.∠BP0=45°. 又由0P=0B=2,.∠0BP=45°，∴.∠B0P=90°， .PO⊥OB,AD⊥PO, ,AD∩OB=O,ADC平面ABCD,OBC平面ABCD,.PO⊥平面ABCD, ∴.∠PCO为PC与平面ABCD所成的角， PC-PO+C0-PO+CD+DO4+1-3..sinPCH- 因此，PC与平面ABCD所成角的正弦值为号 D 19.(24-25高一下河南南阳·期末)如图，在三棱锥P-ABC中，PAI平面ABC,PA=2AC,AB1BC,D, 第56页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E,F分别为棱PA,PC,AB的中点. (1)证明：DE/平面ABC:(2)证明：AB1EF; (3)若直线PC与平面PAB所成角的正弦值为D,求平面PAB和平面CEF所成角（锐角）的正切值， 109 【答案】证明见解析：2证明见解析：(3 【难度】0.15 【知识点】证明线面平行、求二面角、线面垂直证明线线垂直、由线面角的大小求值 【分析】(1)根据中位线定理及线面平行的判定定理即可证明： (2)取AC的中点G,连接EG,FG根据中位线定理及线面垂直的性质可得EG⊥AB,AB L FG.根据线面垂直 的判定定理及线面垂直的性质即可证明： (3)根据线面垂直的性质可得PA⊥BC.结合线面垂直的判定定理可得BCI平面PAB,故LCPB即为直线PC 与平面PMB所成的角，即sn∠CPB=票设PA=2AC=4,则可求得PG,BC,AB连接PR,过点B作B01PP, 交PF的延长线于点O,连接CO.根据线面垂直的性质及线面垂直的判定可得PO1平面BOC,进而PO1CO, 故LBOC即为平面PAB和平面CEF所成的角.过点A作AH⊥PF于点H.证明△AHF与△BOF全等，所以AH= B0.由等面积法可解得BO.在Rt△BOC中求出tanBOC即可求解. 【详解】(1)，D,E分别为棱PA,PC的中点，∴.DE/AC. ,DE￠平面ABC,ACC平面ABC,,.DE/平面ABC. (2)取AC的中点G,连接EG,FG ○ B ,E,G分别为棱PC,AC的中点，∴.EG/PA. ,PA⊥平面ABC,.EG1平面ABC.,ABC平面ABC,,EG1AB, :F,G分别为棱AB,AC的中点，.FG/IBC.,AB⊥BC,.AB⊥FG ,EG∩FG=G,EG,FGC平面EFG,.AB⊥平面EFG. 第57页共58页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,EFC平面EFG,.AB⊥EF (3)PAI平面ABC,BCC平面ABC,,PA1BC ,AB 1 BC,AB∩PA=A,PA,ABC平面PAB,.BCI平面PAB, CP8即为直线Pc与平面PAB所成的角，.sinCP8=凭-哥 设PA=2AC=4a,则Pc=VP42+AC=V16a2+4a=2V5a,BC=四PC=×2W5a=V2a,AB= 10 10 √AC2-BCz=√4a2-2a=V2a 如图，连接PF.易得平面PAB和平面CEF的交线为PF过点B作BO 1 PF,交PF的延长线于点O,连接CO. ,BC⊥平面PAB,POC平面PAB,BOC平面PAB,.BO⊥BC,PO⊥BC. ,P0⊥B0,B0nBC=B,B0,BCC平面BOC,∴.P0I平面BOC. 又C0c平面BOC,∴.P01CO,∴，∠BOC即为平面PAB和平面CEF所成的角. 过点A作AH⊥PF于点H ,AF=BF,∠AHF=∠BOF,LAFH=∠BFO,.△AHF与△BOF全等，∴.AH=BO 由S△Pae=PA:AF=PF·AH可得AH=PAA 4a。 PF 停+6e B80=授 33 .ta-m0c-器=盗-g 4 33 即平面PAB和平面CBF所成的角的正切值为一 第58页共58页 4-7 面面垂直 讲义 教学目标 理解面面垂直的概念、判定定理、性质定理，掌握空间面面垂直的证明方法与应用. 教学重点 面面垂直的判定定理、性质定理. 教学难点 性质定理的应用. 知识点01 面面垂直的判定 1.两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 2.判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.（线面垂直面面垂直） ⇒α⊥β 【即学即练1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）直线平面，平面，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．以上均有可能 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断面面是否垂直、证明面面垂直 【分析】根据面面垂直的判定定理判断即可. 【详解】因为直线平面，平面， 根据面面垂直的判定定理可得，即与的位置关系是垂直. 故选：C 【即学即练1-2】(多选)（24-25高一下·江苏无锡·月考）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则⊥ B．若，，则 C．若，m ，，则 D．若，，则m与所成的角和n与所成的角相等 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、求线面角、判断面面是否垂直 【分析】根据线面位置关系及面面位置关系判断各个选项. 【详解】A.，，则，又，则存在，，所以，A正确； B.，，则，故B正确； C. 当，可以存在，m ，，则C不正确； D. 时，由面面平行的性质知与所成的角相等，与所成的角相等， 又，,则m与所成的角和n与所成的角相等，D正确. 故选：ABD. 知识点02 面面垂直的性质 1.性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（面面垂直线面垂直） ⇒l⊥ 2.三垂线定理:直线AB为斜线OB在平面内的投影，. 3.垂直关系的转化 (1)判定定理转化：线线垂直线面垂直面面垂直 (2)性质定理转化：面面垂直线面垂直线线垂直. (3)同时，在平行与垂直之间也存在相互转化，即：线线垂直线面垂直线线平行线面平行. 5.易错提醒 （1）注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交． （2）不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”． 【即学即练2-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知两个平面互相垂直．下列命题中 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③过一个任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 正确命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间垂直的转化 【分析】利用面面垂直的性质定理判断即可. 【详解】①不正确，因为没有这条直线垂直于它们的交线这个条件， 所以这条直线不一定垂直于另一个平面， 因而它也就不一定垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②正确，无论这一条直线与它们的交线平行或者相交， 另一个平面内与两平面交线垂直的直线都垂直于第一个平面， 因而也垂直于这个平面内的该已知直线； ③不正确，这个命题中没有强调在平面内作交线的垂线， 过一点作一条直线的垂线有无数条， 只有在两个互相垂直的平面的一个面内作它们交线的垂线， 这条垂线才垂直于另一个平面. 故选：C． 【即学即练2-2】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）对于空间中三个不同的平面，下列四个命题中，正确的是（    ） A．，，则 B．，，则 C．，，则 D．，，则 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】面面关系有关命题的判断 【分析】根据线面、面面的位置关系即可判别． 【详解】对于A，因为，所以平面内任意一条直线都平行于平面， 又因为，根据面面垂直的性质，在平面内存在直线， 由于，在平面内可以找到直线，因此， 因为，所以，故A正确； 对于B，根据平面平行关系的传递性，若，，则，故B正确； 对于CD，，，则与可能相交（包含垂直）、平行，故CD错误． 故选：AB． 题型01 面面垂直的判断 【典例1-1】（22-23高一下·全国·课后作业）下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断线面是否垂直、判断面面是否垂直、线面垂直证明线线平行 【分析】根据线面垂直的判定及性质判断①②③；由面面垂直的判定定理判断④. 【详解】如果一条直线与一个平面内的无数条平行线垂直，这条直线可能在平面内，可能与面平行，也可能与平面斜交，故①错误； 由线面垂直的性质可知，过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直，故②正确； 由线面垂直的性质可知，垂直同一平面的两条直线互相平行，故③正确； 由面面垂直的判定定理可知，经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直，故④正确. 故选：C. 【典例1-2】（25-26高一下·全国·课后作业）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项正确的为（ ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行、判断面面平行、判断面面是否垂直 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系进行判定. 【详解】在A选项中，若，，根据位置关系可得或，故A错误， 在B选项中，若，，则或， 又，所以，故B正确， 在C选项中，若，，，， 根据面面平行的判定定理，因为缺少是相交直线的条件， 不能推出，故C错误， 在D选项中，若，，， 两个平行平面内的直线可能异面，不一定平行， 所以或异面，故D错误. 【典例1-3】(多选)（24-25高一下·四川成都·期末）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断面面是否垂直 【分析】根据线面平行及线面平行性质定理及面面垂直性质定理判断各个选项即可. 【详解】若，则或，A选项错误； 由线面平行性质定理，则，B选项正确； 若，则，C选项正确； 若，则可能平行，D选项错误； 故选：BC. 【典例1-4】（22-23高一下·北京东城·期末）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美．下面给出四个结论：      ①平面；②平面平面；③过点存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等； ④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①④ 【难度】0.65 【知识点】判断面面是否垂直、线面角的概念及辨析、判断线面平行 【分析】根据线面平行的判定定理判断①；根据二面角相关知识判断②；根据线面角相关知识并结合图形特点进而判断③；根据题意找出正方体的棱长，结合相似三角形从而判断④. 【详解】对于①，根据正八面体性质可知，， 又因为平面，平面，所以平面，故①正确. 对于②，如下图所示，取中点，连接，      根据等边三角形性质可知，所以是二面角的平面角， 设该正八面体棱长为，则，，则在中，， 所以，所以平面与平面不垂直，故②错误. 对于③，直线与正八面体的各个面所成角均相等，将其平移后使其过点， 则过点至少存在两条直线与正八面体的各个面所成角均相等，故③错误. 对于④，如下图所示，取中点，的中心， 连接，则即正方体的一条棱，    设该正八面体棱长为，则，， 根据,，得，所以， 所以以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的，故④正确. 故答案为：①④ 【变式1-1】（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、面面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直 【分析】利用面面垂直的判定定理和性质定理即可作出判断. 【详解】非充分性：不能推出， 必要性：， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式1-2】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线与平面，则能使的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】充分条件、判断面面是否垂直 【分析】利用线面垂直的性质、面面垂直的判定及充分条件的定义逐项判断. 【详解】对于A，由，得，而，则，A不是； 对于B，，分别是平面内互相垂直的异面直线，满足，B不是； 对于C，由，得，又，则，C是； 对于D，由，得二面角的平面角可以是锐角、直角，也可以是钝角，D不是. 故选：C 【变式1-3】（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直 【分析】根据线、面之间的位置关系逐项分析即可. 【详解】选项A：若，则或与相交，故A选项不正确； 选项B：若，根据面面垂直的判定，则，故B选项正确； 选项C：若，则或与相交且不垂直或两平面平行，故C选项不正确； 选项D：若，则或，故D选项不正确； 故选：B. 【变式1-4】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断线面是否垂直、判断面面是否垂直 【分析】以正方体的线面关系为例，说明ABC是错误的. 【详解】如图，在正方体中：    因为平面，平面，且与为异面直线，故A错误； 因为平面，，但平面，而非平面，故B错误； 因为平面，平面 平面，但平面，而非平面，故C错误； 对D：若，，则，故D正确. 故选：D 【变式1-5】(多选)（22-23高一下·浙江绍兴·期末）如图，在边长为的正方形中，为的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且二面角为.若、分别为、的中点，则（    ）    A． B．平面 C．平面平面 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、判断面面是否垂直、面面平行证明线面平行、三角形面积公式及其应用 【分析】连接交于点，连接，取的中点，连接、，推导出平面，利用线面垂直的性质可判断A选项；证明出平面平面，利用面面平行的性质可判断B选项；利用反证法可判断C选项；利用等体积法计算出点到平面的距离，可判断D选项. 【详解】连接交于点，连接，取的中点，连接、，    对于A选项，在正方形中，因为，，， 所以，，则， 所以，，则，即， 翻折后，则有，， 又因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，，A对； 对于B选项，因为、分别为、的中点，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，，则四边形为梯形， 又因为、分别为、的中点，所以，， 因为平面，平面，则平面， 因为，、平面，则平面平面， 因为平面，故平面，B对； 对于C选项，因为，且，，， 所以，，所以，， 则， 在中，， 所以，， 因为平面平面，平面平面，， 平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 所以，，且， 翻折前，，翻折后，， 若平面平面，且平面平面，平面， 所以，平面， 因为平面，则， 事实上，，，，则， 即、不垂直，假设不成立，故平面与平面不垂直，C错； 对于D选项，因为，且平面， 所以，， 在中，，， 由余弦定理可得， 所以，， 所以，， 设点到平面的距离为，由，即， 所以，，D对. 故选：ABD. 【变式1-6】（22-23高一下·北京朝阳·期中）如图，在正方体中，点为线段上异于，的动点，则下列四个命题： ①平面平面；②二面角的正弦值为；③设，则三棱锥的体积随着增大先减少后增大；④连接，总有平面．其中正确的命题是______． 【答案】①④ 【难度】0.65 【知识点】求二面角、判断面面是否垂直、面面平行证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】对于①，由线面垂直的判断定理证明平面，即可得证平面平面；对于②，取的中点，可得即为二面角的平面角，求解即可；对于③，由平面,可得点M到平面的距离为定值，从而可得三棱锥的体积为定值；对于④，由面面平行的判断定理证明平面 平面，再根据面面平行的性质定理即可判断. 【详解】对于①，因为是正方形，所以. 因为 平面，平面，所以 . 因为平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面，故①正确； 对于②，取的中点，易知是等边三角形，为等腰直角三角形（为斜边）， 所以,所以即为二面角的平面角. 设，则,所以. 因为 平面，平面，所以 . 所以,故②错误； 对于③，在正方体中，因为平面 平面, 平面, 所以平面, 所以点M到平面的距离为定值， 所以为定值，故③错误； 对于④：在正方体中，因为，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又平面， 所以平面 平面， 因为平面， 所以 平面，故④正确. 故答案为:①④. 题型02 证明面面垂直 【典例2-1】（2025高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面，，则该四面体的四个表面中，互相垂直的平面有（    ）.    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定定理推理判断. 【详解】由平面，平面，平面， 得平面平面，平面平面，平面与平面不垂直； 由平面，平面，得， 而，平面，则平面， 又平面，因此平面平面，平面与平面不垂直； 假定平面平面，在平面内过点作于，连接， 由是斜边，得不与点重合，由平面平面， 得平面，而平面，则，又平面， 于是平面，又平面，则，由平面，平面， 得，而平面，因此与矛盾，即平面与平面不垂直，    所以平面平面，平面平面，平面平面，共有3对. 故选：C 【典例2-2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项. 【详解】因为，且是的中点，所以BE⊥AC， 因为，且是的中点，所以DE⊥AC， 因为，平面， 所以平面，由于平面， 所以平面平面，C正确； 在平面内取点，作，，垂足分别为，，如图， 因为平面，由于平面， 所以平面平面，平面平面，平面，， 则平面，平面，所以， 若平面平面，同理可得，而，平面， 于是得平面，显然与平面不一定垂直，A不正确； 过A作边上的高，连，由得，是边上的高， 则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面与平面不一定垂直，B不正确； 因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角， 平面与平面不一定垂直，D不正确. 故选：C 【典例2-3】(多选)（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，直线垂直于圆所在的平面，内接于圆，且为圆的直径，点为线段的中点．现有结论中正确的是（   ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【详解】因为为的中点，为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面，所以A正确. 又平面，平面，所以， 由为圆的直径，得， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面平面，所以B正确. 因为平面，且过一点只能作平面的一条垂线，所以C错误； 【典例2-4】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，四棱锥中，底面是矩形，底面，则这个五面体的五个面中两两互相垂直的共有____________对. 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定推理证明即可. 【详解】在四棱锥中，由平面，平面， 得，由矩形，得， 而，平面，平面， 则平面，平面，又平面， 因此平面平面，平面平面； 又平面，平面，因此平面平面，平面平面； 而，则平面，又平面，因此平面平面； 由平面，可得平面与平面都不垂直于平面； 假定平面平面，在平面内过点作，而平面平面， 则平面，，而，平面， 于是平面，，与为锐角矛盾，因此平面与平面不垂直， 所以五面体的五个面中两两互相垂直的共有5对. 故答案为：5 【变式2-1】（2024高一下·全国·专题练习）在空间四边形中，，那么必有（    ） A．平面⊥平面 B．平面⊥平面 C．平面⊥平面 D．平面⊥平面 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】证明面面垂直 【分析】由面面垂直的判定定理判断． 【详解】在空间四边形中，, 又由,且面，平面，平面， 所以平面， 又因为平面, 所以平面⊥平面， 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一下·北京顺义·期末）如图，在棱长为a的正方体中，E是棱上的一个动点，给出下列三个结论：    ①存在点E使得平面平面；②的面积为定值；③的最小值为. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．① B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、证明面面垂直 【分析】对于①当为的中点时即证平面即可判断，对于②当为的中点计算,当与重合时，计算即可判断，对于③将侧面与侧面展开铺平，利用勾股定理计算即可判断. 【详解】对于①：当为的中点时，连接,设交于，连接， 则为和的中点，    由，所以，由为的中点，所以， 同理，又，平面， 所以平面,又平面，所以平面平面，故①正确， 对于②：当为的中点时，由①有，则，， 所以， 当点与点重合时，，， 故的面积不是定值，故②错误； 对于③：如图，将侧面与侧面展开铺平， 所以，所以， 则的最小值为，故③正确.    故选：C. 【变式2-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，在正四面体中，分别是线段的三等分点，是线段的中点，是线段上的动点，则（    ）． A．存在点，使成立 B．存在点，使成立 C．不存在点，使平面平面成立 D．不存在点，使平面平面成立 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】A选项，作出辅助线，得到⊥平面，故⊥，假设成立，又和均在平面中，则，显然这是不可能的，故A错误；B选项，，当点在处时，最大，设正四面体的棱长为3，由余弦定理得，故小于，故B错误；C选项，取的中点，为二面角的平面角，由余弦定理得到，所以为锐角，C正确；D选项，由A知，当点为中点时，平面平面成立，故D错误. 【详解】A选项，取的中点，连接， 因为正四面体中，，所以， 因为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥，故⊥， 假设成立，又和均在平面中，为平面的斜线， 则，显然这是不可能的，故A错误； B选项，因为是线段的中点，，所以， 当点在处时，最大， 设正四面体的棱长为3，则， 由余弦定理得， 同理可得， 故， 故小于，所以不存在点，使成立，故B错误； C选项，取的中点，连接， 因为，所以⊥，⊥， 故为二面角的平面角， 其中，故， 所以为锐角， 经过与平面垂直的平面有且只有一个，且与线段无公共点，故C正确； D选项，由A知，当点为中点时，⊥平面， 又平面，故平面平面成立，故D错误. 故选：C. 【变式2-4】（22-23高一下·北京海淀·期末）如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（    ）    ①AM与 异面；②平面AEM；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】证明面面垂直、证明线面平行、判断正方体的截面形状 【分析】根据正方体的几何性质逐项分析. 【详解】对于①，连接，四边形是平行四边形， 平面，平面，平面， 平面，又，所以与AM是异面直线，正确；    对于②，连接EH，则四边形是平行四边形，， 又平面AEM，平面AEM，平面AEM，正确；    对于③，取的中点T，当M与T重合时，连接，则有四点共面， 即平面AEM截正方体的图形是四边形，如下图：    当M点在线段上时，在平面内作直线，交的延长线于U，交于V，连接UM， 四点共面，平面，， 即平面AEM截正方体的图形是五边形，如下图：    错误； 对于④，在正方形ABCD内， 所以，又平面ABCD，平面ABCD， ，平面，平面， 平面AEM，平面平面，正确； 故选：C. 【变式2-5】(多选)（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则（    ） A．存在点，使得平面平面 B．不存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与所成角为 D．平面截正方体所得的截面可能是等腰三角形 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、求异面直线所成的角、证明面面平行、证明面面垂直 【分析】对A，利用面面垂直的判定定理即可判断；对B，当点为的中点时，证明面面平行，即可判断；对C，当点为线段上靠近的四等分点时，利用线线角的定义求解判断；对D，当点为线段的中点时，此时平面截正方体所得的截面为正三角形. 【详解】对于A，因为在正方体中，平面， 又平面与平面是同一个平面，平面， 所以无论点在线段（不含端点）上任何位置都有平面平面，故A正确； 对于B，当点为的中点时，有，平面，平面，所以平面， 同理，平面，且，平面， 所以平面平面，故B错误； 对于C，当点为线段上靠近的四等分点时，如图，连接， 过点作，交于，则， 又正方体中，，所以，则直线与所成角为， 又，， 所以为等边三角形，所以，故C正确； 对于D，如图，当点为线段的中点时，此时平面截正方体所得的截面为正三角形，故D正确. 故选：ACD. 【变式2-6】（24-25高一上·江苏苏州·月考）在正三棱柱中，，点为的中点．Q是棱上一点，且AQ⊥平面，则______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】证明，证明，证明平面平面，在平面内过点作交于点，根据求出. 【详解】在正三棱柱中，因为点为的中点， 所以，因为平面，平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面， 在平面内过点作交于点， 因为平面平面， 所以平面，显然， 所以，所以，所以，所以. 故答案为：. 题型03 面面垂直的性质 【典例3-1】1．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】利用空间中线线，线面，面面的位置关系逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，，，，，若相交时，可得， 若不相交时，可能相交，故A错误； 对于B，若，，则或是异面直线或是相交直线，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，则或，故D错误. 故选：C. 【典例3-2】（25-26高一下·四川成都·期中）已知点不在直线和平面上，若存在空间中过的直线和平面，则（    ） A．由直线平面可唯一确定 B．由直线平面可唯一确定平面 C．由直线平面可唯一确定 D．由平面平面可唯一确定平面 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】由空间中点，直线，平面的位置关系分别判断即可． 【详解】对于A，过平面外一点与平面平行的直线有无数条，故A错误； 对于B，过直线外一点且与该直线平行的平面有无数个，故B错误； 对于C，过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故C正确； 对于D，过平面外一点，与已知平面垂直的平面有无数个，故D错误． 【典例3-3】(多选)（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱CD上，且，平面平面ABCD，则下列结论正确的是（    ）    A． B．平面平面PBM C．存在某个位置，使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行 D．若，则直线CM与平面PAM所成角为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求线面角、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、线面平行的性质 【分析】根据面面垂直的性质可得面平面，即可求解判断AB；根据线面平行的性质即可求解可判断C，直线与平面所成的角为，求解可判断D. 【详解】对于A，平面平面， 平面平面平面平面， 又平面，故A正确； 对于B，由A知平面，又平面平面平面，故B正确； 对于C，设平面平面，假设 底面， 平面平面，平面平面， ，则与重合，则， 显然不成立，则假设不成立，故C错误； 对于D，由A知平面，在矩形中， ， 直线与平面所成的角为，在中， ，故D正确. 故选：ABD 【典例3-4】（24-25高一下·河南信阳·月考）在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 【答案】/ 【难度】0.5 【知识点】求二面角、线面垂直证明线线平行、面面垂直证线面垂直 【分析】根据翻折后的立体图形，取中点为，过点作交于，连接，，先证平面，再证平面，得到就是二面角的平面角，在中求解即可. 【详解】取中点为，过点作交于，连接，， 在中，，，， 则，所以. 又点为中点，所以，即为等边三角形， 所以，，， 将沿折起，使点到达点的位置， 则为等边三角形，又为中点，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 所以即为二面角的平面角， 在中，，， 所以， 则. 故二面角的余弦值为. 【变式3-1】（24-25高一下·天津和平·期末）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则（   ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断面面平行、面面平行证明线线平行、判断面面是否垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】根据面面平行、面面垂直的判定和性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 若，可能平行，也可能异面，所以A错误； 对于选项B： 若，则可能平行，也可能相交，所以B错误； 对于选项C： 若，则可能平行，可能垂直，可能异面，所以C错误； 对于选项D： 若，那么经过的平面与垂直，所以，所以D正确. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选题）已知平面平面，，点，则下列结论不正确的是（    ） A．过和垂直的直线在内 B．过和垂直的直线在内 C．过和垂直的直线必与垂直 D．过和垂直的平面必与垂直 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】利用空间中线线，线面，面面的位置关系逐项判断可得结论. 【详解】对于A、C，过与垂直的直线可能不在内；过和垂直的直线不一定垂直，故A、C错误， 对于B，过和垂直的直线一定在内，故B正确， 对于D，过和垂直的平面不一定与垂直，故D错误． 故选：ACD. 【变式3-3】（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（   ） A． 平面 B．平面 C． D．平面平面 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】连接，，根据线面平行的判定定理判断A，利用三角形的中位线和平行关系判断B，根据线面垂直的判断定理和性质定理判断C，根据面面垂直的性质定理判断D. 【详解】连接，， 因为分别是和的中点，所以且， 又因为垂直于平面，所以平面，B正确； 因为平面，所以， 又因为是正三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，C正确； 因为，垂直于平面，所以且， 所以四边形是平行四边形，， 又因为平面，平面，所以 平面，A正确； 由和为中点可知， 假设平面平面， 又平面，平面平面，则平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，与是正三角形矛盾， 所以平面与平面不垂直，D错误； 故选：D. 【变式3-4】（2026高一下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的个数（  ） ①平面平面；②直线与平面所成角是；③平面平面； ④二面角余弦值为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.52 【知识点】求线面角、证明面面垂直、求二面角、面面垂直证线面垂直 【分析】根据面面垂直的性质及线面垂直的性质定理，可证平面，结合图象，分析证明，即可判断①的正误；根据平面结合线面角的定义，分析求解，即可判断②的正误；根据面面垂直的判定定理，可判断③的正误；分析可得为二面角的平面角，设，求出各个长度，结合三角函数定义，即可判断④的正误. 【详解】对于①：因为，，所以， 又，，所以， 则，即， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 若平面平面，则平面或平面， 由图象得平面于点C，则平面不垂直平面，故①错误； 对于②：在四边形中，由①得平面， 则为直线与平面所成角，且为，故②正确； 对于③：因为平面，平面， 所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故③正确； 对于④：由③得，平面，则为二面角的平面角， 设，则， 因为，所以，所以，故④正确. 故选：C. 【变式3-5】(多选)（24-25高一下·贵州铜仁·期末）如图，在正方形中，点分别是线段上的动点（不含端点），且与交于点．现将四边形沿直线折起，使平面平面，则（   ） A． B．与所成角为定值 C．为定值 D．存在点，使得直线与平面所成角为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】令，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得，判断A；利用余弦定理计算判断C；确定所成角，计算判断B；确定直线与平面所成角，计算判断D. 【详解】在正方形中，令，则， ，如图，连接，， 显然，而平面平面，平面平面，平面， 则平面，而平面， 于是，，故选项A正确； ，， 因为， 所以为定值，故C正确； 显然，即有，因为，则是AC与MN所成的角， ，当且仅当时取等号， 所以与所成角为定值，故B错误； ，平面平面，平面平面， 平面，则平面，所以是与平面所成的角， 从而，当时，， 化简得，方程无解， 故不存在点，使得直线与平面所成角为，故D错误. 故选：AC 【变式3-6】（2026高一·全国·专题练习）点D是斜边上一动点，，，将沿着翻折，翻折后的三角形为，且平面平面，则翻折后的最小值是_____． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、面面垂直证线面垂直 【分析】过点作， 设，中，利用余弦定理得的值，然后利用面面垂直证明平面，即得，在中，由勾股定理得与的关系式，可得当时，取得最小值． 【详解】解：过点作于点E，连接，如图所示． 设，由 则，，． 在中，由余弦定理得， ． ∵平面平面，平面平面，，平面， ∴平面． 又平面，∴． 在中，由勾股定理得， ∴当时，取得最小值，为． 题型04 二面角 【典例4-1】（24-25高一下·全国·课后作业）把正方形沿对角线折成直二面角，则是（    ） A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离 【分析】利用正方形及折叠的性质计算的长即可判定. 【详解】设正方形边长为1，与相交于点，则, 所以折成直二面角后，易知，， ， 则是正三角形. 故选：A 【典例4-2】（24-25高一下·天津西青·期末）如图，四棱锥的底面为正方形，面，，则异面直线与所成角的大小及平面与平面所成的二面角的大小分别为（    ）. A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、求二面角 【分析】通过证明平面，得证，即可确定异面直线所成角大小，再证明是平面与平面所成的二面角的平面角，求出其大小后可得结论． 【详解】面，面，则，同理，， 是正方形，则， 平面，所以平面， 又平面，所以，即异面直线与所成角的大小为，这时可确定只有选项A正确； 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是平面与平面所成的二面角的平面角， 而，所以，即平面与平面所成的二面角大小为， 故选：A． 【典例4-3】(多选)（25-26高一下·云南昆明·期中）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图①，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图②，在平面四边形中，，，，如图③，将沿翻折至，记二面角的平面角为，记二面角的平面角为，则下列说法正确的有（   ） A．当时，则 B．当时，则 C．当时， D．的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、求二面角 【分析】借助翻折性质及三面角余弦定理，在三面角中，可得，计算即可得A、B；在三面角中，可得，计算即可得C、D. 【详解】由题，可知在中，由得， 故，，又因为， 所以， 于是在等腰中，，， 翻折保持边长与角度不变，因此在中，，， 且，， 在三面角中，应用三面角余弦定理， 得， 代入得①； 对于A，当时，，所以，即，故A正确； 对于B，由①式，当时，， 在中，，， 则， 因此，故B正确； 设，在三面角中，应用三面角余弦定理， 得， 即， 代入化简得，从而②； 对于C，若，则， 代入上式得，故C错误； 对于D，由②式，由于，令，则，， 于是， 由基本不等式，， 当且仅当时取等号，此时最小值可取得， 故的最小值为，故D正确. 【典例4-4】（23-24高一下·山东青岛·期末）在四面体中，面与面所成的二面角为，顶点在面上的射影是，的重心是，若，，则______． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、证明线面垂直、余弦定理解三角形 【分析】取中点，连接，，即可证明平面，从而可得面与面所成的二面角为，且在上，再利用余弦定理计算可得． 【详解】如图，取中点，连接，， ，，且， 又，且，平面， 平面，平面，所以， 面与面所成的二面角为，且在上， ，又，， 根据余弦定理可得 ． 故答案为：． 【变式4-1】（20-21高一下·全国·课后作业）如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则AB与平面β所成的角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由二面角大小求线线角或线面角、求线面角、线面角的概念及辨析、由异面直线所成的角求其他量 【分析】作出辅助线，找到二面角的平面角，AB与l所成的角及AB与β所成的角，利用求出答案. 【详解】如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC， 因为，所以⊥， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 则为二面角的平面角，即， 为AB与l所成的角，， 设AB与所成的角为θ，则. 由图得. 故选：B 【变式4-2】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知正四棱锥的底面边长和侧棱长相等，记异面直线与所成角为，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成的二面角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、求二面角 【分析】根据异面直线所成角的概念，线面角，二面角的平面角的概念，构造出，，，求出它们的三角函数，利用三角函数的单调性，比较它们的大小. 【详解】如图： 不妨设.取和的交点为，中点，连接，，. 则，，. 因为，所以为异面直线与所成的角，为，所以，所以. 因为平面，所以为直线与底面所成的角，所以，所以. 因为，，所以为侧面与底面所成的二面角，所以. 因为，且在上单调递减. 所以. 故选：A 【变式4-3】（24-25高一下·重庆·期末）如图，在平行四边形中，，，，现将沿直线翻折至，使得点到达点的位置，且二面角的平面角等于，则直线与平面所成的角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求线面角、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】在平行四边形中，利用正弦定理求得，则，.在翻折后的立体图形中，根据定义作出二面角的平面角，以及直线与平面所成的角，利用边长关系可求得. 【详解】在平行四边形中，，，， 在中，根据正弦定理，，即， 解得，所以，即，则，且. 翻折后，如图，分别取的中点，连接， 则，所以，故是二面角的平面角，即， 过点作于点，连接， 由，，平面，平面，可得平面， 因为平面，所以， 又，平面，平面，可得平面. 所以是直线与平面所成的角. 在中，，，则， 在中，，，则， 因为是锐角，所以. 故选：A. 【变式4-4】（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知二面角的大小为，，，且，B为β内异于O的任意一点，且的最大值是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】线面角的概念及辨析、求线面角、二面角的概念及辨析、求二面角 【分析】过作，垂足为，先根据二面角的定义作出二面角的平面角，再由最小角定理分析出当与重合时，取到最小值， 此时取到最大值，分别求出的值，即可求出. 【详解】 如图所示，过作，垂足为，作交于点，连接. ，， . ，， 平面. 平面， ， 就是二面角的平面角， . ，为垂足， 为在平面β内的射影， 就是与平面β所成的线面角. 由最小角定理可知是与平面β内的任意一条直线所成角中的最小角， B为β内异于O的任意一点， 当且仅当与重合时，取到最小值， 此时取到最大值. 在中， ，. 由勾股定理可得. 又 ， ， . 在中，. 【变式4-5】(多选)（23-24高一下·江苏常州·月考）如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，点是线段上一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得 B．当为的中点时，二面角的正切值为 C．直线与平面所成角为 D．异面直线与所成角的余弦值的最大值为 【答案】BCD 【难度】0.15 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、求二面角、线面垂直证明线线平行 【分析】先证明平面，由条件确定点的轨迹，根据线面角定义求直线与平面所成角判断C，根据异面直线夹角定义作异面直线与所成角，解三角形确定其范围，判断D，结合二面角定义作二面角平面角，解三角形判断B；根据线面垂直判定定理可得命题存在点，使得等价于命题存在点，使得平面，利用反证法证明距离不成立，判断A. 【详解】由已知为等边三角形，设点为其中心， 因为，所以， 因为三棱锥为正三棱锥，所以平面， 因为，所以， 因为三棱锥为正三棱锥，所以平面， 所以，，三点共线，故平面，同理平面， 因为，所以， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 对于C，因为平面，平面， 所以直线与平面所成角为，， 在中，，，所以，结合线面角定义可得， 所以直线与平面所成角为，C正确； 对于D，因为，所以异面直线与所成角与直线与所成角相等， 作三棱锥，点为的中心， 图中圆为点的轨迹，，， 过点作，交圆与点， 取的中点为，则为异面直线与所成角的平面角， 由已知为直角三角形，所以， 又，所以，当且仅当时等号成立， 所以异面直线与所成角的余弦值的最大值为，D正确； 对于B，过点作，分别交，于点，， 因为，所以，所以平面与平面重合， 由正方体性质可得平面，平面， 所以，，所以为二面角的平面角， 过点作，垂足为，在中，，， 所以，所以， 所以二面角的正切值为，B正确； 对于A，点是线段上一个动点， 所以命题存在点，使得，等价于存在点，使得平面， 假设命题存在点，使得平面成立，而平面， 所以三点共线，与点的轨迹是平面内以为圆心，为半径的圆矛盾，A错误. 故选：BCD. 【变式4-6】（24-25高一下·天津滨海新区·期末）如图， 在空间四边形中， 是边长为的等边三角形，平面平面，， 且， 则与平面所成角的大小是________________；二面角的余弦值是________． 【答案】 / 【难度】0.4 【知识点】求线面角、求二面角 【分析】说明为与平面所成的角，二面角的平面角为，结合解三角形知识即可求解. 【详解】第一空：过点作于点，   平面平面，平面平面，平面， 平面，则为与平面所成的角， ，，， 第二空：如图所示，过点作于点，过点作交于点，过点作垂直交于点，则， 取的中点，连接， 所以二面角的平面角为， 由题意，因为，，， 所以点分别是的中点，所以， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以，所以， 所以三角形是等腰三角形，其中，， 由等面积法有，，解得， 所以，所以， 所以， 因为平面，，所以点在三角形内的射影必定为的交点， 即点在三角形内的射影必定为等边三角形的中心， 所以，，所以， 故所求为. 故答案为：；. 一、单选题 1.（20-21高一·全国·课后作业）下列命题中正确的是（　　） A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断面面是否垂直 【分析】根据线面垂直的判定及面面垂直的判定方法结合选项可得答案. 【详解】当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A不正确; 一条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直， 由平面与平面垂直的判定定理知B，D均不正确，C正确. 故选：C. 2.（24-25高一下·福建福州·期末）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、证明面面垂直、线面平行的性质 【分析】对于ABD，由答案不完备即可判断错误；对于C，由线面平行的性质、面面垂直的判定定理即可判断. 【详解】对于A，若，则或异面，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则存在，且，因为，所以，而，从而，故C正确； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：C. 3.（25-26高一下·全国·课后作业）已知长方体，在平面上任取一点M，作于E（与不重合），则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．以上都有可能 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断图形中的线面关系 【分析】易知平面，由面面垂直的性质可得结论． 【详解】 平面，，即平面，平面， 又平面平面ABCD，平面平面，， 平面ABCD． 故选：A． 4.（22-23高一下·天津和平·期末）如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求二面角 【分析】根据二面角平面角的定义得到是二面角的平面角，然后求正弦值即可. 【详解】如图，取中点，连接，， 因为为正方体，所以，， 因为为中点，所以，， 因为平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角， ，，， ，所以二面角的正弦值为. 故选：B. 5.（24-25高一下·陕西西安·期末）设，，为不同的平面，，为不同的直线，则下列能使平面与平面平行的一个条件是（    ） A．， B．，， C．内有无数条直线与平行 D．，， 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断面面平行、证明面面垂直 【分析】结合空间平面间的位置关系判断ACD，由线面垂直的性质即可判断B． 【详解】选项A，直棱柱的侧面都与底面垂直，但相邻侧面是相交的，A错； 选项B，由，，可得，又，所以，B正确； 选项C，当这无数条直线相互平行时，平面与可能相交，C错； 选项D，，，，此时平面可以是相交的，D错， 故选：B． 6.（24-25高一下·黑龙江双鸭山·月考）已知长方体中，，，则点D到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、证明面面垂直、由线面角的大小求值 【分析】连接交于，连接.在中，由得.根据线面垂直的性质及面面垂直的判定定理可得平面.由面面垂直的判定定理可得平面平面，所以是直线与平面所成的角，所以.在中即可求解点到平面的距离. 【详解】连接交于，连接，如图所示. 因为长方体中，，所以. 又平面，平面，所以. 又，，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面， 所以是直线与平面所成的角，所以. 又，所以，由，可得， 所以点D到平面的距离为. 故选：A. 7.（2026高一·全国·专题练习）图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、求二面角 【分析】比较三个角,,的大小，直接比较角度很困难，但我们可以比较它们的正切值，因为这三个角都在之间，正切函数在这个范围内是单调递增的，所以比较正切值的大小就等同于比较角度的大小． 【详解】解：正三棱柱中，， 正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1， 如图，过作，垂足点为，连接，则， 与所成的角为，且， 又，， 与平面所成的角为，且， ，①， 再过点作，垂足点为，连接， 又易知底面，底面， ，又，平面， 平面， 二面角的平面角为，且，又， ，，②， 又，，③， 由①②③得，又，，，在单调递增， ． 8.（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折．在翻折过程中，当二面角的平面角最大时，其正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求二面角 【分析】过作的垂线，垂足为，交于，交于，设在平面内的时影为，则在直线上，过作的垂线，垂足为，则为二面角的平面角，通过辅助角公式和正弦函数的值域，解不等式可得所求正切值的最大值，进一步即可求解． 【详解】在图1中，过作的垂线，垂足为，交于，交于. 在图2中，设在平面内的射影为，则在直线上，过作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为，平面，平面，平面平面， 所以为二面角的平面角. 设．， 由，可得． 即有， 令，可得， 其中， 解得，则，等号成立当且仅当． 当二面角的平面角最大时，其正切值为，此时它的正弦值为． 故选：B． 二、多选题 9.（23-24高一下·江苏南京·月考）如图所示，AB是半圆O的直径，垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．平面VAC B．平面ABC C．MN与BC所成的角为 D．平面平面VBC 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】判断面面是否垂直、判断线面是否垂直、判断线面平行、求异面直线所成的角 【分析】对于A，举例判断，对于B，利用线面平行的判定定理分析判断，对于C，利用异面直线所成的角求解判断，对于C，利用面面垂直的判定理分析判断. 【详解】对于A，连接，因为AB是半圆O的直径，所以，所以与不垂直， 因为平面，所以与平面不可能垂直，所以A错误， 对于B，因为M，N分别为，的中点，所以‖， 因为平面，平面，所以‖平面，所以B正确， 对于C，由选项B可知‖，所以为MN与BC所成的角， 因为，所以MN与BC所成的角为，所以C正确， 对于D，因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，所以D正确， 故选：BCD 10.（24-25高一下·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，，平面平面是棱的中点，且∥平面，则（    ） A．平面 B．异面直线与所成角的正切值为2 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．底面四边形内（包含边界）有一动点Q，，则动点Q的轨迹长度为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、面面平行证明线线平行、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】由面面垂直的性质定理及线面垂直的判断定理可判断A；取中点为，连接，则可得为与所成角（或补角），由面面平的判断定理及以性质定理可得平面在直角三角形中，求解即可；由题意可得三棱锥的外接球球心为的中点，求得半径为，求出外接球的表面积，即可判断C；确定动点的轨迹是以为圆心1为半径的半圆，即可判断D. 【详解】解：对于A，因为平面平面，交线为， 又平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以平面，故A正确； 对于B，取中点为，连接， 因为为中点，所以∥， 所以为与所成角（或补角）， 又平面，平面，所以∥平面， 又因为∥平面，，平面平面， 所以平面∥平面， 又平面平面，平面平面， 所以∥， 又平面， 所以平面平面， 所以，，， 所以，故B正确； 对于C，因为和为直角三角形， 所以三棱锥的外接球球心为的中点， 又因为 ， 所以，， 所以半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误； 对于D，连接，则为三棱锥的高， 又，， 所以, 故， 所以动点的轨迹是以为圆心1为半径的半圆，故D正确. 故选：ABD. 11.（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，，平面ABCD，E为PB上动点，过点E作垂直BD的截面，则下列说法正确的是（    ） A．存在点E，使得 B．存在点E，使得二面角E-AC-D为 C．存在点E，使得直线AE与平面PCD所成角为 D．存在点E，使得截面截该四棱锥截得的截面面积为 【答案】ACD 【难度】0.15 【知识点】余弦定理解三角形、由平面的基本性质作截面图形、求线面角、求二面角 【分析】A选项，在PB上取点，使得，利用余弦定理和勾股定理逆定理得到⊥，A正确；B选项，作出辅助线，得到即为二面角E-AC-D的平面角，显然，当重合时，取得最小值，此时，，B错误；C选项，作出辅助线，得到即为直线AE与平面所成的角，设，，表达出其他边长，利用正切得到方程，解得，故存在点E，使得直线AE与平面PCD所成角为；D选项，作出截面截该四棱锥截得的截面，设，，表达出其他边长，表达出截面面积，从而列出方程，结合零点存在性定理得到存在点E，使得截面截该四棱锥截得的截面面积为. 【详解】对于A，连接，由勾股定理得， 因为平面ABCD，平面，所以， 由勾股定理得，故， 在PB上取点，使得，则， 在中，由余弦定理得， 由于，故⊥，A正确； B选项，设，连接， 因为平面ABCD，平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 故即为二面角E-AC-D的平面角， 显然，当重合时，取得最小值，此时， 由于在上单调递增，且， 所以，不存在点E，使得二面角E-AC-D为，B错误； C选项，过点作⊥于点， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面ABCD，所以， 因为平面，平面，所以平面， 过点作交于点，连接， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面ABCD，平面，所以， 又，，平面，所以⊥平面， 故⊥平面，所以即为直线AE与平面所成的角， 设，，则，， 所以， 由勾股定理得， 令，解得， 故存在点E，使得直线AE与平面PCD所成角为，C正确； D选项，当点为中点时，此时，故⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面，交线为， 因为⊥，所以⊥平面， 即三角形即为截面截该四棱锥截得的截面， 此时， 故当靠近点时，过点作交于点， 过点作，分别交于点，连接， 五边形即为截面截四棱锥截得的截面， 设，，则，， 故， ，故，，故， 所以五边形的面积为， 令得， 令，对称轴为， ，，， 故由零点存在性定理得，在和上均存在一个零点， 故存在点E，使得截面截该四棱锥截得的截面面积为，D正确.    故选：ACD 三、填空题 12.（2025高一·全国·专题练习）如图，已知二面角，线段分别在平面内，且都与成角，若，则二面角的大小为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二面角 【分析】不妨设，由余弦定理求出，作出辅助线，得到即为二面角的平面角，证明线面垂直，并得到各边长，由勾股定理逆定理得到，求出答案. 【详解】如图，不妨设， 由余弦定理得， 则． 过点作交直线于点，过点作， 则即为二面角的平面角． 过点作交直线于点， 因为线段都与成角，所以，． 且，，平面， 故平面， 结合得平面， 又平面，故， 所以， 故，即． 故答案为： 13.（23-24高一下·北京·期末）如图，在棱长为4的正方体中，点P是线段AC上的动点（包含端点），点E在线段上，且，给出下列四个结论：    ①存在点P，使得直线平面； ②点P沿直线AC从点A移动到点C的过程中，四面体的体积逐渐减小； ③若，则点P轨迹的长度为； ④当二面角的平面角的正切值为时，平面截正方体所得截面图形的面积为． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【难度】0.4 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、立体几何中的轨迹问题、判断线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】根据面面平行以及线面平行的判断可判断A；结合三棱锥体积的公式可判断B；判断出点P所处的位置，即可求其轨迹长度，判断C；由二面角的平面角的正切值确定P点位置，进而求得截面面积，判断D. 【详解】对于①，当P点位于A点时，由于，即四边形为平行四边形， 则，同理可证， 由于平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 故平面平面，此时平面，则平面， 即存在点P，使得直线平面，①正确；    对于②，由于平面，平面，故， 而，而平面，故平面， 平面，故，同理可证, 平面，故平面， 由于，过点P作平面，垂足为Q，则， 当P点沿直线AC从点A移动到点C的过程中，长逐渐变小， 而的面积为定值，故逐渐变小，即逐渐减小，②正确；    对于③，，作，垂足为G，连接， 则，此时 则P点轨迹为在上的线段，如图示， 为等腰三角形，则其底边上的高为， 故当P向点C运动时，逐渐变小，故在线段上存在一点P，使得, 同理在靠近C的那一侧也存在一点P，使得, 当时，，则点P轨迹的长度为，③错误；    对于④，设交于R，则R为的中点， 由于，故， 即为二面角的平面角，而， 故，即为锐角， 则，即， 当P点由A向C运动时，将变小， 即可知当二面角的平面角的正切值为时，P点位于A处， 由于，此时平面截正方体所得截面即为矩形， 面积为，④正确，    故答案为：①②④ 14.（23-24高一下·浙江台州·期末）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为线段上的动点（含端点），则下列选项正确的是（    ） A．若直线与直线所成角为，则的最大值为 B．若直线与平面所成角为，则的最大值为 C．若点到平面的距离为，则的最小值为 D．若过三点的平面截正方体所得截面面积为，则的最小值为 【答案】BCD 【难度】0.15 【知识点】求线面角、求点面距离、求异面直线所成的角、由平面的基本性质作截面图形 【分析】对于选项A，根据点运动情况，求得即可判断；对于选项B，根据点运动情况找到使角最大的位置即可求解；对于选项C，根据动点到面和点到线的距离转化求解即可；对于选项D，当截面为经过的中点，的中点时，面积最小. 【详解】对A，当点N运动到与M点重合时，求得，故A错误； 对B，因为，所以当线段最小时，最大， 分析知，当点运动到满足时， 最小，此时根据勾股定理，也最小. 又因为平面，所以，又，，所以平面，所以. 在中，由勾股定理得， 由得，. 在中，由勾股定理得. 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 所以中， ，故B正确； 对C，过作，再作，又，易证平面， 所以点到平面等于点到平面，所以， 将平面和平面展开放在同一平面内（如图所示），取的中点，则有，所以，所以为等腰直角三角形，所以， 又因为为等腰直角三角形，所以， 所以，所以，设，，则，， 在中，， 所以，所以，， 所以，下面求其最小值，令，则，由辅助角公式可得，， 其中取，所以， 所以存在角使得，即存在，化简得， ，又由方程解得， 所以或，又因为，所以， 所以的最小值为，故C正确；    对D，分析知，经过，，三点的平面截正方体得到的截面经过的中点，的中点时，截面面积最小，此时截面为四边形，由于，，，都全等，所以，所以四边形为菱形， 易求，， 所以，故D正确.   ， 故选：BCD. 四、解答题 15.（20-21高一下·江苏镇江·月考）如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA (1)求证：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【难度】0.94 【知识点】面面垂直证线面垂直、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】（1）由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定证结论. （2）由（1）及面面垂直的判定可得面 面APD，再由面面垂直的性质有面，根据线面垂直的性质即可证结论. 【详解】（1）由AD⊥平面PAB，面，则， 又PB⊥PA，，则PB⊥平面APD； （2）由（1）及面，则面 面APD， 又面 面APD，AG⊥PD，面APD， 所以面，而面， 所以AG⊥BD． 16.（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图，为菱形平面外一点，且，为线段上的动点． (1)求证：平面平面； (2)是否存在点E使得平面，若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在；为线段的中点； 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】（1）根据菱形性质以及等腰三角形性质可证明平面，再由面面垂直判定定理可证明得出结论； （2）利用线面平行判定定理证明可得当为线段的中点时，满足题意. 【详解】（1）取的交点为，连接，如下图所示： 因为菱形，所以，且为的中点， 又，可得， 又平面，所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）存在，为线段的中点，满足平面； 连接，因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； 因此存在点，当为线段的中点时，满足平面. 17.（25-26高一下·湖南株洲·期中）如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面；(2)设二面角为，求． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【难度】0.64 【知识点】证明线面垂直、求二面角 【分析】（1）求证，即可求证； （2）利用平面求出点到平面的距离，再利用余弦定理求出点到直线的距离即可求出. 【详解】（1）因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 因为与平面所成角为，所以， 则，， 因为平面，所以点到平面的距离， 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离， 在直角梯形中， 在中，在中， 则在中利用余弦定理得， 则， 则点到直线的距离为， 则. 18.（24-25高一下·浙江杭州·期末）在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，． (1)若点M在棱PC上，，若平面DMB，求的值； (2)设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：平面ABCD； (3)当平面PAD与平面PBC所成的二面角为时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值． 【答案】(1)3；(2)证明见解析；(3) 【难度】0.4 【知识点】求线面角、线面平行的性质、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质可得出，由可得出，再由可求得的值； （2）证明出平面，利用线面平行的性质可证得结论成立； （3）取的中点，连接、，过点作，分析可知，为平面与平面所成的锐二面角，即有，证明出平面，则为与平面所成的角，计算出、的长，即可计算出的正切值. 【详解】（1）如图，连接交于点，连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴，在梯形中，∵，∴，∴， ∵，∴，∴. （2）∵，平面，平面，∴平面， 又 平面，平面平面，∴， 又 平面，平面，∴平面. （3）在上取一点，使得，连接、，， ，，∴且，∴四边形为平行四边形，∴， ∵，∴，∴， 又，，∴，又，∴， ∵，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴， 过点作，由，则，∴平面，平面， 即平面平面，∴，， ∴为平面与平面所成的锐二面角的平面角，∴. 又由，∴，∴， ∵，， ∵，平面，平面，∴平面， ∴为与平面所成的角， ，∴， 因此，与平面所成角的正弦值为. 19.（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为棱，，的中点. (1)证明： 平面；(2)证明：； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面和平面所成角（锐角）的正切值. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【难度】0.15 【知识点】证明线面平行、求二面角、线面垂直证明线线垂直、由线面角的大小求值 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接，.根据中位线定理及线面垂直的性质可得，.根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质即可证明； （3）根据线面垂直的性质可得.结合线面垂直的判定定理可得平面，故即为直线与平面所成的角，即.设，则可求得，，.连接，过点作，交的延长线于点，连接.根据线面垂直的性质及线面垂直的判定可得平面，进而，故即为平面和平面所成的角.过点作于点.证明与全等，所以.由等面积法可解得.在中求出即可求解. 【详解】（1）∵，分别为棱，的中点，∴. ∵平面，平面，∴平面. （2）取的中点，连接，. ∵，分别为棱，的中点，∴. ∵平面，∴平面.∵平面，∴. ∵，分别为棱，的中点，∴.∵，∴. ∵，，平面，∴平面. ∵平面，∴. （3）∵平面，平面，∴. ∵，，，平面，∴平面， ∴即为直线与平面所成的角，∴. 设，则，，. 如图，连接.易得平面和平面的交线为.过点作，交的延长线于点，连接. ∵平面，平面，平面，∴，. ∵，，，平面，∴平面. 又平面，∴，∴即为平面和平面所成的角. 过点作于点. ∵，，，∴与全等，∴. 由可得，∴. ∴， 即平面和平面所成的角的正切值为. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $