专题4-3 空间两直线的位置关系（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4-3空间两直线的位置关系讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01基本事实4的应用 题型02等角定理 知识点01空间两直线的位置关系 题型03异面直线辨析 4-3空间两直线的位置关系 题型04异面直线的判定 知识点02异面直线所成的角 题型05异面直线的距离 题型06求异面直线的角 知识点03等角定理 题型07已知异面直线的角求其它 教学目标、教学重难点 教学目标 理解掌握空间直线的位置关系，能判断平行与异面直线，能求异面直线的角和距离 教学重点 判断平行与异面直线，求异面直线的角和距离 教学难点 判断异面直线，求异面直线的角和距离。 知识清单 知识点01空间两直线的位置关系 1.异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线. 共面直线 (平行直线 2.空间两直线的位置关系： (相交直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 3.基本事实4：平行与同一条直线的两条直线平行， (这个基本事实4在老教材中也称为平行公理) 【即学即练1-1】(24-25高一下.全国课堂例题)如图所示，在三棱锥S-MNP中，E,F,G,H分别是棱SN, SP,MN,MP的中点，则EF与HG的位置关系是() M G A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】平行公理 【分析】利用中位线定理与平行线的传递性即可得解， 【详解】因为E,F分别是棱SN,SP的中点，所以EF//NP 因为G,H分别是棱MN,MP的中点，所以HG//NP;所以EF/IHG. 第1页共61页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：A 【即学即练1-2】（多选）(21-22高一，全国·课后作业)如图所示，在空间四边形ABCD中，点E,H分别是边AB,AD 的中点，点F,G分别是边BC,CD上的点，且g=e=名，有以下结论正确的是() CB CD 3 A.EF与GH平行： B.EF与GH共面； C.EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上； D.EF与GH的交点M一定在直线AC上. H D B 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】平行公理、空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题 【分析】如图，连接EH,FG,依题意得EH/BD,FG1/BD,即可得出E,F,G,H共面，又HE=BD,FG-BD, 可得EF与GH必相交，从而判断选项A和B的正误：设交点为M,可得点M在平面ACB与平面ACD的交线上， 又AC是这两个平面的交线，即可得出点M一定在直线AC上，从而判断出选项C和D的正误，即可求解. 【详解】如图所示.连接EH,FG, D G B 依题意，可得EH//BD,FG/IBD,所以EH//FG,所以E,F,G,H共面，所以选项B正确， 因为HE=BD,FG=BD,所以四边形EFGH是梯形，EF与GH必相交，所以选项A错误， 设EF与GH的交点为M,因为点M在EF上，故点M在平面ACB上， 同理，点M在平面ACD上，所以点M在平面ACB与平面ACD的交线上， 又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上，故选项C错误，选项D正确， 故选：BD 知识点02异面直线所成的角 1.定义：设a,b是异面直线，过空间任一点O作a∥a,b∥b,把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a与b所成的角（或夹角）. 2范用：(0，引 【即学即练2-1】(25-26高一下·全国·课后作业)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB,AD 第2页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的中点，则异面直线A1C1与EF所成的角的大小为() A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求异面直线所成的角 【详解】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接BD,B1D1,则EF/BD/B1D1, 异面直线A1C1与EF所成的角等于A1C1,B1D1所成的角，而A1C11B1D1, 所以所求角的大小为90°. 【即学即练2-2】（多选）(24-25高一下·河南南阳·期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为棱 C1D1,C1C的中点，AB=1,则() A.AM//BN B.异面直线MN与AC所成的角为60 C.四边形MNBA1的面积为 D。沿正方体的表面从点A到点N的最短路线的长度为受 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、求异面直线所成的角 【分析】根据线线平行，异面直线所形成的夹角，梯形面积分别计算判断A、B、C选项，再将正方体的表 面展开至面ABCD与面CDD1C1共面，求得点A到点N的最短路线， 【详解】对于A,取DD的中点E,连接AE,如图(1)，由正方体的性质可知AE/BN, 若AM/IBN,则AE/AM,显然这与AE,AM相交于点A矛盾，故A错误： 对于B,连接CD1,AD1,如图(1)，可得MN/CD1,所以LACD1为异面直线N与AC所成的角， 而∠ACD1=60°，所以异面直线MN与AC所成的角为60°，故B正确： 对于C,易知四边形MNBA为等腰梯形，且A,B=V反，MN=号，BN=1+目-号 第3页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则等腰梯形的高为 ()-(（图-平，因此s稀形Mw4=x(V2+写×平=台故C正确： 对于D,如图(2，若将正方体的表面展开至面BCC1B1与面ABB1A1共面， 则AN=√AC2+CN2= 22+ V1 2 ,若将正方体的表面展开至面ABCD与面CDD1C1共面， 则AN=√AB2+BN2= +-<，故D错误 2 故选：BC 图(1) 图(2) 知识点03等角定理 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 《即学即练3-1】(22-23高一全国·课后作业)两等角的一组对应边平行，则) A.另一组对应边平行 B.另一组对应边不平行 C.另一组对应边垂直 D.以上都不对 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】等角定理及其辨析 【分析】根据空间图形的平行关系求解即可. 【详解】两个等角的一组对应边平行，另一组边可以具有各种位置关系，并不能确定是哪一种关系， 故选：D 【即学即练3-2】(25-26高一下·全国课堂例题)两条相交直线与另两条相交直线对应平行，它们所成的锐角（或 直角)相等吗？ 【答案】相等. 【难度】0.94 【知识点】等角定理及其辨析 【分析】由等角定理判断 【详解】由“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补”的定理， 可知两组直线所成的角相等或互补。 又因为题干中所指的角为锐角（或直角），所以它们只能相等。 题型精讲 题型01基本事实4的应用 【典例1-1】(21-22高一，全国课后作业)如图，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA 的中点，则四边形EFGH是() 第4页共61页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D G A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】平行公理 【分析】利用中位线定理和平行四边形判定定理分析判断 【详解】因为E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点， 所以EF∥AC,EF=二AC,HG∥AC,HG=AC, 2 所以EF∥HG且EF=HG,可知四边形EFGH为平行四边形 故选：B 【典例1-2】(22-23高下.全国课后作业)如图，设E,F,G,H依次是空间四边形ABCD的边AB,BC, CD,D1上除端点外的点，怎-铝=，需-器=4，则下列结论中不正确的是() A.当λ=u时，四边形EFGH是平行四边形 B.当入≠时，四边形EFGH是梯形 C.当≠时，四边形EFGH一定不是平行四边形 D.当λ=时，四边形EFGH是梯形 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】平行公理 【分析】由线段对应成比例可得线线平行，由平行线的传递性即可结合长度关系求解. 【详解】连接BD.因为始=总=入，器-答= AB AD 所以EHIBD,且EH=ABD,FG II BD,且FG=UBD. 若λ=L,则EHFG,四边形EFGH是平行四边形： 若入≠u,则EHIFG,但EH≠FG,四边形EFGH是梯形. 故选D 第5页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 R 【典例1-3】（多选24-25高一下·全国课后作业）如图，设E,F,G,H依次是空间四边形ABCD的边AB, BC,CD,D1上除端点外的点，且指=铝=，器=答=4，则下列结论不正确的是() A.当λ=时，四边形EFGH是平行四边形 B.当入≠时，四边形EFGH是梯形 C.当入≠时，四边形EFGH是平行四边形D.当入=时，四边形EFGH是梯形 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】平行公理 【分析】利用平行分线段成比例的推论，结合平行线的传递性即可得解. 【详解】如图，连接BD,“兰=总=么BH/BD且EH=BD, 同理，FG/BD且FG=BD,∴EH/FG, ∴当=u时，EH=FG,此时四边形EFGH是平行四边形，故A正确，D不正确， 当入≠时，EH≠FG,四边形EFGH是梯形，故B正确，C不正确. 故选：CD 【典例1-4】(2024高一下·全国·专题练习)棱长为3的正四面体A-BCD中，E,F分别是△ABC和△ACD的 重心，则EF=, EF与BD的位置关系为 【答案】 1 平行 【难度】0.65 【知识点】平行公理 【分析】根据重心的性质得EF/MH,EF例=MH,三角形中位线的性质及平行公理可得结果。 【详解】连接并延长AE交BC于M,连接并延长AF交CD于H,连接MH, 因为E,F分别是△ABC和△ACD的重心，所以M,N分别为BC,CD中点， 第6页共61页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即EF1IMH,IEF|=IMH, 又MH/BD,MH=IBD1,且IBD1=3,所以EF/BD,EF=MH川=号×IBD1=号x×3=1, 故答案为：IEF=1,EF/BD. 【变式1-1】(24-25高一下·全国·周测)如图，在三棱锥A-BCD中，E,F,G,H分别是边AC,CD,BD,AB的中点， 且AD=BC,那么四边形EFGH是() H B A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】平行公理 【分析】根据中位线定理和平行公里，利用平行关系转化，即可判断 【详解】因为，G分别是AB,BD的中点，所以HG1/AD,且HG=AD, 同理EF1/AD,且EF=AD,所以四边形EFGH是平行四边形， 同理，HE/BC且HE=BC,GF/BC,且GF=BC,又AD=BC, 所以EF=FG=GH=HE,故四边形EFGH为菱形. 故选：C 【变式1-2(23-24高一下.内蒙古赤峰·月考)连接空间四边形ABCD四条边的中点，得到四边形EFGH,则EFGH 是一个() A.菱形 B.矩形 C.平行四边形 D.空间四边形 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平行公理 【分析】连接BD,由中位线，得到EH/FG,且EH=FG,即可得证. 【详解】如图所示，在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点，连接BD, 第7页共61页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E G EH是△ABD的中位线，所以EH/IBD,且EH=BD. 同理FG/BD,且FG=二BD,÷EH/FG,且EH=FG四边形EFGH是一个平行四边形 故选：C 【变式1-3】(24-25高一下辽宁沈阳·月考)如图，A是△BCD所在平面外一点，M,N分别是△ABC和△ACD 的重心，若BD=6,则MN的长为) M- --N A.2 B. C.1 0. 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平行公理 【分析】若E,F为CD,CB的中点，连接AE,AF,根据重心的性质是-=警=子且器= ,即可得. 【详解】由M,N分别是△ABC和△ACD的重心，则M,N为三角形中线的交点， 若三，F为C0,CB的中点，连接A,AC,则M,N分别在AAE上，兴-是-警-号 而8D=6,票-中F=3,故MN=2 故选：A I变式1-4】(24-25高一下·广东广州期中)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是侧面AA1DD1, 侧面CC1DD1的中心，G,H分别是线段AB,BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是() 第8页共61页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A A.相交 B.异面 C.平行 D.无法确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平行公理 【分析】连接AD1,CD1,根据三角形中位线性质以及平行直线的传递性，即可判断答案. 【详解】如图，连接AD1,CD1,则E,F分别为AD1,CD1的中点，则EF/AC, 由G,H分别是线段AB,BC的中点，得GH/AC,故EF/GH, 故选：C 凰变式1-5】（多选）23-24高三上河北石家庄·月考)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA1= V√2，E为AB的中点，F是棱BB1上一点，则() D A.EF+FC1的最小值为V10 B.存在点F,使得EF⊥D1E C.存在点F,使得EF/DC1 D.存在点F,使得∠EFC=60° 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】平行公理、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据侧面展开图、三角形中位线定理、余弦定理逐一判断即可. 【详解】A:将平面AA1B1B沿着B1B展开到平面B1BC1C内， 则EF+FC1的最小值为EC1= 1+2)2+(2=V1五，所以本选项不正确： C E B:当F是棱BB1的中点时， 第9页共61页 丽学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 D,-12+2+(V回-万，EF=12+(③-，DF=2+2+(9- 因为D1E2+EF2=D1F2,所以EF1D1E,因此本选项正确： D C D C:当F是棱BB1的中点时，显然EF/AB1, 因为AD/BC//B1C1,AD=BC=B1C1,所以四边形ADC1B1是平行四边形，所以DC1/AB1, 所以EF/DC1,因此本选项正确： D:假设存在点F,使得LEFC=60°，设BF=a(a∈[O,V②)： 则有EF2=a2+1,EC2=12+22=5,CF2=22+a2=4+a2, 由余弦定理得，cos4EFC=E24Fc2-EC2=a2+1+4+a25 201x4后是 化简，得3a-5a2-4=0→a2=5v匝>2，或a2=5=厘<0 6 6 所以假设不成立，因此不存在点F,使得∠EFC=60°，因此本选项不正确， D 故选：BC 凰变式1-6】(24-25高一下.上海浦东新·月考)在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD, DA的中点，则当AC,BD满足条件时，四边形EFGH是正方形. 【答案】AC=BD且AC 1 BD 【难度】0.65 【知识点】平行公理 【分析】由题意得四边形EFGH为平行四边形，要使四边形EFGH为正方形即可得解. 【详解】由E,F分别为AB,BC中点，所以EFI/AC且EF=AC, 同理HG∥AC且HG=AC,所以EF/HG且EF=HG,所以四边形EFGH为平行四边形， 同理得EH=FG=BD,要使四边形EFGH为正方形，则AC=BD且AC1BD, 故答案为：AC=BD且AC⊥BD 第10页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型02等角定理 【典例2-1】(24-25高二·上海·课堂例题)若两等角的一组对应边平行，则() A.另一组对应边平行： B.另一组对应边不平行： C.另一组对应边也可能垂直： D.以上皆有可能. 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】等角定理的应用 【分析】举例分析判断即可 【详解】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，∠ABC=LA1B1C1=90°，两组对应边分别是平行， ∠ABC=∠A1B1B=90°，一组对应边平行，另一组对应边不平行，且垂直， 故选：D 《典例2-2(21-22高一下.全国·课后作业)已知空间中两个角%，B,%,β的两边对应平行，且=30°，则B=() A.30° B.60° C.120° D.30°或150° 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】等角定理的应用 【分析】根据等角定理即可确定β大小. 【详解】由等角定理得：，β相等或互补，所以β=30°或150°， 故选：D 【典例2-3】（多选23-24高一下·黑龙江期中）下面四个命题中，正确的为) A.相交于同一点的三条直线在同一平面内 B.△ABC在平面a外，其三边延长线分别和交于P,Q,R,则P,Q,R一定共线 C.一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D.若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】等角定理的应用、空间中的点（线）共面问题、平面的基本性质及辨析 【分析】举例说明判断A:利用平面基本事实判断B:利用等角定理判断C;利用反证法判断D. 【详解】对于A,三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点，而这三条直线不共面，故A错误： 对于B,△ABC所在平面与平面a相交，由平面基本事实知，公共点P,Q,R都在交线上，故B正确： 第11页共61页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 对于C,一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等或互补，故C错误： 对于D,因为四个点不共面，假设其中任意三点共线， 由平面公理2的推论可得此四点共面，与己知矛盾，所以假设错误，故D正确. 故选：BD 【典例2-4】(25-26高一下.全国课堂例题)如图，已知直线a,b为异面直线，A,B,C为直线a上三点，D,E, F为直线b上三点，A,B,C,D,E'分别为AD,DB,BE,EC,CF的中点.若LABC'=120°，则∠CDE'= 【答案】120° 【难度】0.85 【知识点】平行公理、等角定理的应用 【分析】根据给定条件，利用三角形中位线的性质、平行公理及等角定理求解。 【详解】由A,B分别是AD,DB的中点，得A'B'/Q,同理CD'/Ia,BCI/b,D'E/b, 则AB'/CD',B'C/D'E,又LA'B'C的两边和∠CDE的两边的方向分别相同， 因此∠ABC'=∠CDE',所以LC'DE'=120. 【变式2-1】(24-25高一下·全国课后作业)若∠A0B=∠A101B1,且0A//01A1,0A与01A1方向相同，则下 列结论正确的是()】 A.OB/O1B1且方向相同 B.0B/01B1,方向可能不同 C.0B与01B1不平行 D.0B与01B1不一定平行 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等角定理及其辨析 【分析】依题意画出图形，即可判断 【详解】如图，∠A0B=LA1O1B1,0A/01A1,0A与01A1的方向相同， 但是0B与01B1不平行， B 如图，∠A0B=∠A101B1,0A/01A1,0A与01A1的方向相同，此时0B/01B1且方向相同， 故0B与O1B1不一定平行，故D正确. 故选：D 第12页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-2】(24-25高一下·全国·课后作业)若AB/AB',BC/B'C,且∠ABC=45°，则LAB'C等于() A.45 B.135 C.45°或135° D.不能确定 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】等角定理的应用 【详解】因为AB/AB,BC/BC,且∠ABC=45°，根据等角定理， 可得∠ABC'=45°或LABC=135°. 【变式2-3】(23-24高二·上海·课堂例题)如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这 两个三角形队)】 A.全等 B.相似 C.相似但不全等 D.不相似 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等角定理的应用 【分析】根据等角定理进行判断， 【详解】根据等角定理：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 两个三角形的两边分别平行，那么这两个三角形的三个角可能出现以下情况： (1)三组角对应相等，那么这两个三角形相似： (2)三组角中有一组对应角互补，如LA+∠A'=180°，∠B=∠B,LC=∠C, 又LA+∠B+∠C=180°，则180°-∠A+∠B+∠C'=180°→LB'+∠C=∠A'→∠A'=90°， 所以∠A=90°，此时两个三角形相似： (3)三组角中有两组对应角互补，如∠A+∠A'=180°，∠B+∠B′=180°，∠C=∠C, 由∠A+∠B+∠C=180°，则180°-∠A+180°-∠B'+∠C'=180°→180°+∠C'=∠A'+∠B', 这与LA'+∠B'+∠C'=180°矛盾，故这种情况不会出现 (4)三组对应角都互补，即∠A+∠A'=180°，∠B+∠B'=180°，∠C+∠C'=180°， 这与∠A+∠B+∠C=180°，∠A'+∠B+∠C'=180°矛盾，所以该情况也不会出现 综上可知，两个三角形相似. 故选：B 【变式2-4】(20-21高一下·全国·课后作业)如图，在三棱柱ABC-ABC,中，E,F,G分别为棱AC,BC, BB的中点，则∠EFG与∠ABC() A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不确定 【答案】B 第13页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.65 【知识点】等角定理的应用 【分析】利用已知条件判断线段EF和AB,线段FG和BC1的位置关系即可求解. 【详解】因为E,F,G分别为A1C1,B1C1,BB1的中点，所以EF∥A1B1,EF∥AB,FG∥BC1, 所以∠EFG与∠ABC的两组对应边分别平行，一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反， 故∠EFG与∠ABCI互补 故选：B. 【变式2-5】（多选23-24高一下·新疆省直辖县级单位·月考）如图所示，在四面体A-BCD中，M,N,P,Q, E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点，则下列说法正确的是() A.四边形MNPQ是菱形 B.LQME=∠DBC C.△BCD∽△MEQ D.四边形MNPQ为矩形 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】棱锥中截面的有关计算、等角定理的应用 【分析】由由等角定理即可判断BC,由三角形的中位线即可判断四边形形状判断A,D. 【详解】由三角形中位线的性质知MQ/IBD,MQ=二BD,NPI/BD,NP=二BD, 所以MQ/NP,MQ=NP,所以四边形MNPQ为平行四边形，但不能确定是否为菱形或矩形，故AD不正确. 在△ABC中中位线定理得ME/BC,同理在△ABD中，由中位线定理得MQ//BD, 所以由等角定理知，LQME=∠DBC,所以B正确： 在△ADC中，由中位线定理得QE/DC,所以ME/BC,MQ/BD,QE/DC, 所以由等角定理可知，LQME=∠DBC,∠QEM=LDCB,LMQE=LBDC, 所以△BCD△MEQ,所以C正确； 故选：BC 【变式2-6】(25-26高一下.全国·课前预习)若0A/10'A,0B/0B且LA0B=130°，则∠A0B为 【答案】130或50 【难度】0.85 【知识点】等角定理的应用 【详解】根据空间中两个角的边分别平行时，两个角相等或互补即可得解 根据空间中两个角的边分别平行时，两个角相等或互补，即∠A'0B'与∠AOB相等或互补 所以∠A0B=130或∠A0B'=50°. 第14页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型03异面直线辨析 【典例3-1】(24-25高一下.山东菏泽·期中)如果a,b是空间中两条直线，下列说法正确的是 A.a,b要么相交，要么平行 B.a,b要么相交，要么异面 C.ab要么平行，要么垂直 D.a,b不相交时，要么平行，要么异面 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据空间中直线的位置关系的类型可得正确的选项 【详解】空间直线间的位置关系有相交，平行或异面，故D正确： 故选：D 【典例3-2】(25-26高一下·全国·课后作业)下列说法中正确的是() A.空间中没有交点的两条直线是平行直线 B.一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交 C.己知空间中四条直线a,b,c,d,如果a/b,c/d,且a//d,那么b//c D.分别在两个平面内的直线是平行直线 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平行公理、异面直线的判定、异面直线的概念及辨析 【分析】由空间直线的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A:空间中没有交点的两条直线可能平行，也可能异面，故错误， 对于B,一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条可能相交，也可能异面，故错误， 对于c,因为a/b,且a//d,则b/d,又c/d,则b/c,正确， 对于D,分别在两个平面内的直线，可能平行，也可能相交，也可能异面，故错误， 故选：C 【典例3-3（多选(24-25高一下江苏镇江·月考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为C1D1,B1C1 的中点，O,M分别为BD,EF的中点，则) A.四点B,D,E,F在同一平面内 B.三条直线BF,DE,CC1有公共点 C.直线A1C与直线OF相交 D.直线A1C上存在点N使M,N,O三点共线 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】空间中的点（线）共面问题、异面直线的概念及辨析、空间中的点共线问题、空间中的线共点问题 【分析】根据题意，由平面的基本性质分析A、B和D,由异面直线的定义分析C,综合可得答案， 第15页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】根据题意，如图： D 对于A,连接B1D1,则B1D1IBD,而E,F分别为C1D1,B1C1的中点，则B1D1IEF, 所以BDIEF,所以四点B,D,E,F在同一平面内，故A正确： 对于B,延长BF,DE,则BF,DE相交于点P,又BFC平面BCC1B1, DEC平面DD1C1C,则PE平面BCC1B1,PE平面DD1C1C, 且平面BCC1B1∩平面DD1C1C=CC1,所以P∈CC1,即三条直线BF,DE,CC1有公共点，故B正确： 对于C,直线A1C为正方体的体对角线，所以直线A1C与直线OF不可能在同一平面内， 所以直线A1C与直线OF是异面直线，故C错误： 对于D,A1,O,C,C1均在平面AA1C1C内，连接0M,则OM与A1C相交， 所以直线A1C上存在点N使M,N,O三点共线，故D正确： 故选：ABD 【典例3-4】(2007上海·高考真题)在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.已知，B是两 个相交平面，空间两条直线l1、L2在a上的射影是直线s1、S2,11、l2在β上的射影是直线t1,t2·用s1与s2,t1 与t2的位置关系，写出一个总能确定L1与2是异面直线的充分条件： 【答案】s1/s2,且t1与t2相交（或：t1/t2,且s1与s2相交） 【难度】0.65 【知识点】充分条件、异面直线的概念及辨析 【分析】由异面直线的定义、充要条件的判断结合空间中点线面的位置关系即可得出答案 【详解】当l1、l2是异面直线时，l1、l2在α上的射影是直线s1、S2,可能平行或相交： 11、l2在β上的射影是直线t1、t2,可能平行或相交： 但当直线s1/s2与直线t1/t2,同时成立时，则l1/l2可能平行： 而当直线s1与s2直线t1与t2,均相交时，则l1与l2可能相交， 所以能确定l1与l2是异面直线的充分条件是s1/s2,且t1与t2相交（或：t1/t2,且s1与s2相交）， 故答案为：S1/s2:且t1与t2相交（或：t1/t2,且s1与s2相交） 【变式31】(23-24高一下浙江嘉兴期末)如图，下列几何关系表达正确的是() A.m∈a,Aca,l,n共面 B.mca,A∈a,,n共面 C.m∈a,nna=A,m,n异面 D.mca,nna=A,l,n异面 【答案】D 第16页共61页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.94 【知识点】异面直线的概念及辨析、判断图形中的线面关系 【分析】根据点线面的位置关系，正确应用数学符号即可判断. 【详解】因m是直线，A是点，故它们与平面a的关系应该是mca,A∈a, 而且从虚线看，，n异面，故A,B,C均错误；故答案为D 故选：D 【变式32】(25-26高一下，全国·课后作业)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱A1B1异面的棱有()条 A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】异面直线的判定、异面直线的概念及辨析 【分析】结合长方体的特征及异面直线的定义判断即可. 【详解】与A1B1异面的是AD,DD1,BC,CC14条棱. 【变式33】(24-25高一下山东泰安·期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H,M,N分别为 棱AD,AB,BC,CD,B1C1,A1D1的中点，K为AN的中点，连接NG,HM,对于空间任意两点P,Q,若线 段PQ上不存在线段NG与MH上的点，则称P,Q两点“可透视”，则与点C1“可透视"的是() D B M K A.点K B.点A C.点F D.点E 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据点、线、面的位置关系，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易得AG/NC1,即A,G,C1,N四点共 面，可得C1K,NG相交，C1A,NG也相交，另易得AG//NC1,即A,G,C1,N四点共面，同理可得C1F,MH相交， 对于D,根据异面直线的判定可确定C1E与NG、MH为异面直线即可判断. 【详解】连接C1N,C1G,AG,HF,HC1,B1F, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N,G分别为A1D1,BC的中点，所以AG//NC1,即A,G,C1,N四点共面， 第17页共61页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D-- G 则C1K,NGC平面AGC1N,又C1K,NG不平行，所以C1K,NG相交，故A错误： 同理C1A,NG也相交，故B错误； 又H,F分别为DC,AB的中点，所以FH/B1C1, 所以H,F,B1,C1共面，又C1E,MH不平行，所以C1E,MH相交，故C错误； C1En平面AGC1N=C1,C1NG,所以C1E,NG为异面直线， 同理可知C1E,MH也是异面直线，所以线段C1E上不存在线段NG与MH上的点，故D正确： 故选：D 【变式3-4】(24-25高一下陕西汉中.期末)下列命题正确的是() A.三个点可以确定一个平面 B.用斜二测画法画等边三角形的直观图为等腰三角形 C.一个棱柱至少有五个面 D.如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】异面直线的概念及辨析、平面的基本性质及辨析、斜二测画法中有关量的计算、棱柱的结构特 征和分类 【分析】当三个点位于同一直线时则不能确定一个平面可对A判断：等边三角形的直观图不为等腰三角形 可对B判断：根据棱柱的知识可对C判断：当两条直线异面时也没有公共点即可对D判断 【详解】A:当三个点位于同一直线时则不能确定一个平面，故A错误： B:如图，等边△ABC,设其边长为2，以AB边的中点为原点建立直角坐标系，在其直观图中OC=马 2 在△C0A中由余弦定理可得AC2=0C2+0A2-20C-0Ac0s135°-3+1+2×5×1×=？+5， 4 2 242 同理可得AC2=0C2+002-20C-0Bcos45°=+1-2×号×1×号-号-号 2-42 则AC2≠BC2≠AB2,故B错误： V B A/O B C:因三棱柱有五个面，则可得所有的棱柱至少有五个面，故C正确： D:当两条直线异面时，这两条直线没有公共点且不平行，故D错误。 故选：C 【变式35】（多选）24-25高一下·全国课后作业)（多选）直线a/b,直线b与c相交，则直线a,c的位置关系可 第18页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 能是() A.相交 B.平行 C.异面 D.在同一平面内 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】异面直线的判定、异面直线的概念及辨析 【分析】借助长方体，画图判断 【详解】如图，a与c相交或异面. 故选：ACD. 【变式36】(23-24高一下北京顺义期中)从正方体的12条面对角线中选出k条，使得这k条面对角线所在 直线两两异面，则k的最大值为 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】异面直线的概念及辨析、异面直线的判定 【分析】先依次选定第一条、第二条面对角线结合正方体结构特征进行分析即可求解 【详解】如图，在面A1B1C1D1中选定一条面对角线A1C1, 由正方体结构特征剩余五个面内均只剩一条面对角线与A1C1异面， 但当继续选定第二条面对角线AD1时， 面ABB1A1与面DCC1D1中与A1C1异面的直线均与面对角线AD1相交，故不符合， 0 所以最终只剩最后两个面的对角线可以与A1C1和AD1两两异面，故k的最大值为4. 故答案为：4. 题型04异面直线的判定 【典例41】(24-25高一下.安徽·月考)如图，在正方体ABCD-ABCD中，M,N分别为棱CD,CC的中 点，则直线AM与BN的关系是() A.相交 B.平行 C.异面 D.垂直 【答案】C 第19页共61页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.94 【知识点】异面直线的判定 【分析】判断直线AM与BN所成角不是直角，利用异面直线判定定理判定其为异面关系. 【详解】取DD1中点R,连接AR,RM,RN,则容易得到RN/DC,RN=DC,AB/IDC,AB=DC, 则RN//AB,RN=AB, D 由题意得四边形ARNB为平行四边形，则AR/BN,则LRAM是直线AM与BN夹角或其补角 设正方体棱长为2a,则AR=√2a)2+a2=√5a,MR=√a2+a2=√2a, MA=AD?+D M2 =a2+(2a)2+(2a)2=3a,AR2+MR2=7a2<AM2, 则∠RAM为锐角，不是直角，则直线AM与BN不垂直. 因为A∈平面ARNB,ME平面ARNB,BNc平面ARNB,AEBN,所以AM,BN为异面直线， 综上所得，AM与BN异面且不垂直. 故选：C 【典例4-2】(25-26高一下·福建厦门·月考)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点E,F,G,H分别为BB1,CC1, A1B1,A1C1的中点，则下列说法错误的是() A.E,F,G,H四点共面 B.AA1与GH是异面直线 C.EG,FH,AA1三线共点 D.∠EGH=∠FHG 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题、异面直线的判定 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB;利用平面的基本事实推理判断C:举反例 即可判断D. 【详解】对于A,在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F,G,H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点，连接EF, 第20页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由GH是△A1B1C1的中位线，得GH/B1C,GH=B1C1 由B1E/C1F,且B1E=C1F,得四边形B1EFC1是平行四边形， 则EF/B1C1,EF//GH,因此E,F,G,H四点共面，A正确： 对于B,因为GHC平面A1B1C1,AA1∩平面A1B1C1=A1,A1∈GH,所以AA1与GH是异面直线，正确： 对于C,延长EG,FH相交于点P,由P∈EG,EGC平面ABB1A1,得P∈平面ABB1A1, 由PEFH,FHC平面ACC1A1,得PE平面ACC1A1, 而平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1,则PEAA1,EG,FH,AA1三线共点，C正确： 对于D,由GH/EF,且GH-;EF可知，四边形EFHG是梯形， 若∠EGH=∠FHG,则梯形EFHG是等腰梯形，而题设条件无法得出EG=FH,所以D不一定正确 【典例43】（多选(24-25高一下…吉林白城期末）已知ABCD-A1B1C1D1是正方体，则下列结论正确的是() A.直线A1C1与B1C是异面直线 B.A1D与B1C所成的角为60° C.A]C1 1 BD D.直线A1C1与B1C所成的角为60° 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、证明异面直线垂直、异面直线的判定 【分析】由异面直线的判定判断A:证得线线平行判断B；由异面直线垂直判断C:求出异面直线所成角判 断D 【详解】对于A,B1CC平面BCC1B1,点C1∈平面BCC1B1,C1B1C,而A1E平面BCC1B1, A1,C1E直线A1C1,直线A1C1与B1C是异面直线，A正确： 对于B,由A1B1/CD,A1B1=CD,得□A1DCB1,则A1D/B1C,B错误： 对于C,由选项B同理得A1C1/AC,而AC⊥BD,则A1C1⊥BD,C正确： 对于D,连接C1D,B1C/A1D,则∠DA1C1或其补角为异面直线A1C1与B1C所成的角， 又A1D,DC1,A1C1为正方体的面对角线，即A1D=DC1=A1C1,∠C1A1D=60°， 因此异面直线A1C1与B1C所成的角为60°，D正确. 故选：ACD 【典例44】(23-24高二上·上海浦东新月考)已知ABCDEF-A1B1C1D1E1F1是单位正六棱柱（即所有的棱长 第21页共61页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 都是1，如图所示)，黑、白两个蚂蚁同时从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”黑蚂蚁 爬行的路线是AA1→A1F1→…，白蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→….它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2 段与第i段所在的直线必须是异面直线（其中i是正整数）设黑、白两蚂蚁走完2023段后各停留在正六棱柱 的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是 【答案】√5 【难度】0.65 【知识点】异面直线的判定、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据已知条件先分析出黑、白蚁路线的规律，然后考虑走完2023段相当于走了多少个周期，从而 确定出最终位置即可求解出黑、白两蚁的距离。 【详解】因为蚂蚁爬行的第+2段与第段所在直线必须是异面直线，则黑蚂蚁爬行的路线是 A→A1→F1→E1→E→D→C→C1→B1→A1→A→F→E→E1→D1→C1→C→B→A, 因此每隔18段后回到点A,并重复按原来线路爬行， 而2023=112×18+7，于是黑蚂蚁走完2023段后停留在正六棱柱的点C1处，白蚂蚁爬行的路线是 A→B→B1→C1→D1→D→E→F→F1→A1→B1→B→C→D→D1→E1→F1→F→A, 因此每隔18段后回到点A,并重复按原来线路爬行， 于是白蚂蚁走完2023段后停留在正六棱柱的点F处，显然CF是正六边形ABCDEF的外接圆直径， 即CF=2,则C1F=√22+12=√5，所以黑、白两蚂蚁的距离是√5 故答案为：√5 【变式41】(23-24高一下河北期中)如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直 线中，与直线AD是异面直线的是() A.FG B.EH C.EF D.BC 【答案】c 【难度】0.94 第22页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据正方体展开图得到直观图，即可判断。 【详解】由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线AD是异面直线的是EF, 其中ADI/BC/EHI/FG,所以AD与BC共面、AD与EH共面、AD与FG共面. 故选：C 【变式42】(25-26高一下·吉林.月考)己知α，b,c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是() A.若aIb,bIc,则aIc B.若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C.若a,b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D.若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平行公理、异面直线的判定 【详解】对于A,由平行的传递性知A正确： 对于B,如图①，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 当AD1AB,AB1AA1时，AD与AA1相交： 当AD L AB,AB1BC时，AD/BC: 当AD 1 AB,AB⊥CC1时，AD与CC1异面： D D.- ① 所以由a1b,b1c可得a与c可能相交、平行或异面，故B正确： 对于C,若a,b分别在两个相交平面内，如图所示， b b 可知这两条直线可能平行、相交或异面，故C正确： 对于D,如图①，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， AB与BC相交，C1D1与BC异面，此时AB与C1D1平行： AB与BC相交，AA1与BC异面，此时AB与AA1相交： AB与BC相交，DD1与BC异面，此时AB与DD1异面： 第23页共61页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误. 【变式43】(2025高一下·全国.专题练习)如图是正四面体的平面展开图，DM,CN分别是△ACD,△BCE 的中线，以下说法正确的是() A.MN II AB B.DM与CN为异面直线 C.若BC=a,则异面直线AC,BD的距离为 D.异面直线MN与BC所成角为60° 2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】异面直线的判定、求异面直线的距离、求异面直线所成的角 【分析】还原成正四面体D-ABC,利用反证法可判断AB:连接AN,CN,BM,可证AC⊥平面BDM,可证MN⊥ AC,同理可得MN⊥BD,计算可判断C:取AB中点P,连接PM,PN,可得异面直线MN与BC所成角为 ∠NMP(或其补角)，计算求解即可， 【详解】还原成正四面体D-ABC,如图， D(E,F) 对于AB,假设AN I AB,则A,B,M,N四点共面，又M∈AC,N∈BD上，÷AC与BD共面， 从而A,B,C,D共面，这与ABCD为正四面体矛盾，故A错误， 假设DM,CN不异面，则可得DM,CN共面，记为平面DMCN, 又A∈MC,B∈DN,所以A∈平面DMCN,B∈平面DMCN, 故A,B,C,D共面，这与ABCD为正四面体矛盾，故B正确， 对于C,连接AN,CN,BM,由三线合一，得DM1AC,BM1AC,AN L BD,CN L BD, 从而AC⊥平面BDM,又MNc平面BDM,∴MN L AC. 同理可证MN⊥BD,∴MN为异面直线AC,BD的公垂线段， 在R△AWNt,AM=AC=a,AN=号a:MN=Va-Am )- a,故C错误. 2 对于D,取AB中点P,连接PM,PN,则PM/BC,PM=BC,PN/∥AD,PN=AD, 异面直线MN与BC所成角为∠NMP(成其补角，在△MNP吨，PM=PN=?MN=号a, PM2+PN2=MN2,∴△PMN为等腰直角三角形，异面直线MN与BC所成角为45°，故D错误. 故选：B. 【变式4-4】（24-25高一下河北承德月考)下列各图是正方体或正四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中 第24页共61页 丽学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 点，这四个点不共面的图形是( P A. B C 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间中的点（线）共面问题、异面直线的判定 【分析】根据线线平行得出四点共面分别判定A,B,C,根据异面直线判定D 【详解】在A中，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，所以PS/IAB,因为AQ//BR,AQ=BR, 所以ABRQ是平行四边形，所以AB//QR,所以PS/QR,∴.P,Q,R,S四点共面. 在B中，取BC的中点N,P,Q,R,S分别是所在棱的中点，可得PS,NR交于直线B1C1延长线上一点， ∴P,N,R,S四点共面，设为a,因为PS/QN,∴P,Q,N,S四点共面，设为B ,a,B都经过不共线的P,N,S三点，a与B重合，P,Q,R,S四点共面. 在C中，P,Q,R,S分别是所在棱中点，所以PQ/ICD,SR/CD,所以PQ/SR,.P,Q,R,S四点共面 在D中，连接QR,PS,如图②，，QRc平面ABC.PS∩平面ABC=P且PEQR, .直线PS与QR为异面直线.∴，P,Q,R,S四点不共面，故选：D. ① ① 【变式45I(多选)(24-25高一下·广东揭阳·月考)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N 分别为棱C1D1,C1C的中点，则下列结论正确的是() A.直线AM与BN是平行直线 B.直线BN与MB1是异面直线 C.直线MN与AC所成的角为30° D.四边形MNBA1的面积为 【答案】BD 【难度】0.65 第25页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线的判定 【分析】根据EM/BN即可由异面直线的定义判断AB;根据MN/CD1得到∠ACD1=60°为异面直线所成角 可判断C；根据题设条件依次求出所需的量再直接计算求解即可D. 【详解】对于AB,连接A1B,A1M,CD1,取A1B中点E,连接ME, 由正方体结构性质可知A1D1/BC,A1D1=BC,即四边形A1D1CB是平行四边形， 所以A1B/CD1且A1B=CD1,又CD1/MN且CD1=2MN 所以A1B/MN且A1B=2MN,所以EB/MW且EB=MN, 所以四边形EBNM是平行四边形，所以EM/BN,又EMOAM=M,EMnMB1=M, 所以直线AM与BN不是平行直线，直线BN与MB1是异面直线，故A错误，B正确： 对于C,连接AD1,MN/CD1,∠ACD1为直线MN与AC所成的角， 而AD1=CD1=AC,故LACD1=60°，可得直线MN与AC所成的角60°，故C错误； 对于D,A1B/MN,四边形A1BNM为等腰梯形， 因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，所以A1B=2N2,MN=√2，BN=V12+22=√5， 所以等腰梯形的高为5 =后所以SA BNM=x(2V2+V回×=是故D正确： 3 故选：BD I变式46】(2023上海嘉定.一模)如图为正六棱柱ABCDEF-A'BC'D'EF'其6个侧面的12条面对角线所在 直线中，与直线AB异面的共有 条 【答案】5 【难度】0.4 【知识点】异面直线的判定 【分析】作出辅助线，得到A,D,B,C四点共面，AB,CD'不是异面直线，同理得到EF与AB共面，再由AB/DE', AB,A'F,BC与AB相交，得到与A'B不是异面直线的面对角线，从而得到与异面的面对角线，求出答案 【详解】连接A'D',因为六边形AB'CDEF为正六边形，所以A'D'/BC, 故AD'I/BC,所以A,D,B,C四点共面，AB,CD不是异面直线， 同理可得：EF与AB共面，不是异面直线， 而AB/DE,又AB,AE,BC'与AB相交， 第26页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故12条面对角线中，与AB不是异面直线的面对角线为AB,A'F,BC,DE,EF,CD, 其余面对角线均与A'B异面，分别为BC,CD,DE,FE,AF,共5条. 故答案为：5 题型05异面直线的距离 【典例5-1】(24-25高二·上海课堂例题)两条异面直线之间的距离是(） A.和两条异面直线都垂直相交的直线： B.和两条异面直线都垂直的直线： C.它们的公垂线的两个垂足之间的线段长： D.两条直线上任意两点间的距离. 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】求异面直线的距离 【分析】根据异面直线的距离定义即可求解」 【详解】两条异面直线的距离即为它们的公垂线夹在垂足间的线段的长， 故选：C 《典例5-2】(24-25高二上福建泉州期中)三棱锥P-ABC中，PA=BC=V5,PB=AC=V10,PC=AB= V13,M,N分别是两条相对棱上的动点，则MN最小距离为() A.1 B.2 C.V5 D.3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求异面直线的距离 【分析】由题意三棱锥的对棱相等，可构造长方体使三棱锥的棱长为长方体的面对角线，求出长方体棱长， 再当M,N分别为两条棱的中点时，MN最小，求出即可： 【详解】由题意可得，三棱锥的对棱相等，可构造长方体，使三棱锥的棱长为长方体的面对角线， 6 a2+b2=5 设长方体的长宽高分别为a,b,c,则{a2+c2=10,解得 b2+c2=13 =3 由于对棱为异面直线，所以MN为异面直线间的公垂线时最小， 由长方体的性质可得当M,N分别为两条棱的中点时最小，此时MN=1, 第27页共61页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：A 【典例5-3】(24-25高二·上海·随堂练习)己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则异面直线A1A与B1C1 距离是 D D:. 【答案】a 【难度】0.94 【知识点】求异面直线的距离 【分析】由正方体性质结合异面直线公垂线定义即可得解. 【详解】由正方体性质可知A1B1分别与A1A、B1C1垂直， 故A1B1是A1A与B1C1的公垂线段，所以A1A与B1C1之间的距离为A1B1=a. 故答案为：a. 【典例541(24-25高二.上海随堂练习)如图，己知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=2,B1B=3, 则异面直线A1B与B1C1距离是 D. 【答案】号 【难度】0.85 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求异面直线的距离 【分析】根据正方体的性质找出异面直线的公垂线，即可求出异面直线的距离： 【详解】因为B1C11平面ABB1A1 则异面直线A1B与B1C1距离是过B1作A1B的垂线即△A1BB1的边A1B上的高h1,A1B=5, 则时h×A1B=AB1×BB1→h×5=×4x3h=号 故答案为：号 【变式51】(2026甘肃·二模)正四面体ABCD的棱长为2，点M,N分别在棱AB,CD上，则线段MN长度的最小 值为() A.1 B.√2 c.3 D.2 第28页共61页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求异面直线的距离 【详解】如图，将正四面体ABCD放于正方体中，使AB,CD分别为相对两面的对角线， 由于异面直线间公垂线段最短， 当M,N分别为AB,CD的中点时，易知MN为AB,CD的公垂线，且其长度等于正方体的棱长， 由图可知正方体的棱长为后=√2，则线段MN长度的最小值为√2 【变式52】(22-23高二上重庆期中)如图在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,中E为BC的中点，点 P在线段DE上，点P到直线CC1的距离的最小值为) D A.V5 B.26 5 c.9 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、求异面直线的距离 【分析】取B1C1的中点F,连接EF,D1F,利用线面平行的性质即可得到CC1/平面D1EF,进而得到异面直 线D1E与CC1的距离，即为点P到直线CC1距离的最小值. 【详解】 如图所示，取B1C1的中点F,连接EF,FD1,,EF/CC1,CC1⊥底面ABCD,.四边形EFC1C是矩形，∴.CC1/EF, D 又EFC平面D1EF,CC1￠平面D1EF,∴.CC1/平面D1EF, ∴.直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D,E与CC1的距离， 过点C1作C1M1D1F,,平面D1EF1平面A1B1C1D1,平面D1EF∩平面A1B1C1D1=D1F, C1MC平面A1B1C1D1,.C1M1平面D1EF, 过点M作MP//EF交D1E于点P,则MP/C1C, 第29页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 取CN=MP,连接PN,则四边形MPNC1是矩形.可得NPI平面D1EF, 在Rt△DCF中，C1M·DF=D1C1·C1E,得C1M=2xL=25 224i2=5, :点P到直线C,的距离的最小值为号 故选：B I变式53】（多选(21-22高二上·重庆石柱·月考）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点P,Q分 别在线段C1D,AC上，则下列命题正确的是() B A. 直线BC与平面ABC1D1所成的角等于牙B.点C到平面ABC1D1的距离为V2 C.异面直线D1C和BC,所成的角为 D.线段PQ长度的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】求异面直线的距离、求异面直线所成的角、求点面距离、求线面角 【分析】根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法 进行逐项判断 【详解】由题意得：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2 对于选项A:连接B1C,设B1C、BC1交于O点 B1C1BC1,B1C1AB,B1C1平面ABC1D1 LCBC1即为直线BC与平面ABCD1所成的角，且∠CBC1=故A正确： 对于选项B:连接B1C,设B1C、BC1交于O点，~C01BC1,B1C1AB,.C0⊥平面ABC1D1 点C到平面ABCD1的距离为C0=B1C=×2V2=V2,故B正确： 对于选项C:连接D1C、AD1,由正方体性质可知AD1∥BC1 故异面直线D1C和BC1所成的角即为D1C和AD1所成的角∠AD1C 又AD1=AC=CD1,△ADC为等边三角形。·LAD1C=,故C错误： 对于选项D:过P作PMI CD,过M作MO L AC,连接PQ PQ为异面直线之间的距离，这时PQ距离最小： 设DP=x,RE△DPM为等腰直角三角形，则PM=号x,CM=CD-DM=2-兰x Rt△CQM也为等腰直角三角形，则MQ=cM=受x×(2-号)=V2-之x △PMQ为直角三角形，故PQ2=pM2+MQ2=(停)+(N2-x)-x2-V2x+2=c-29)+情 第30页共61页 而学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 当x=时，PQ2取最小值能故PQn=等，故D正确： 故选：ABD D D M 4 B 【变式5-4】(23-24高二上.上海黄浦·期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则异面直线AA1与B1D1 之间的距离是 【答案】号 【难度】0.85 【知识点】求异面直线的距离 【分析】由题意直线AA1与B1D1的距离，即为点A1到B1D1的距离，然后求出点A1到B1D1的距离即可. 【详解】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA11平面A1B1C1D1, 所以直线AA1与B1D1的距离即为点A1到B1D1的距离， 又因为正方形A1B1C1D1的对角线为2，且A1G11BD1,所以点A1到B,D,的距离为号 即异面直线A,与8，D,之间的距离是受枚答案为：号 【变式55】(23-24高二上·上海普陀期中)已知长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD=AA1=1,AB=2,则异 面直线BD与B1C1所成角的余弦值为 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】求异面直线的距离 【分析】由定义说明∠DBC是异面直线BD与BC1所成角或其补角，然后计算. 【详解】因为B1C1/BC,所以∠DBC是异面直线BD与B1C1所成角或其补角， 在直角△BDC中，BD=VGD2+C=V5.cos4CBD-器-存-S故答案为：号 【变式56】.(24-25高二上·广东汕头期中)在四面体ABCD中，AB=CD=2V5,AD=BC=√13，AC= 第31页共61页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 BD=5,M,N分别为棱AB,CD所在直线的点，则线段MN长度的最小值为 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】求异面直线的距离 【分析】将该四面体放置于长方体中，列方程求出长方体长宽高，再转化为求异面直线距离即可. 【详解】如图，将四面体ABCD放入长方体AFBP-EDQC中，O,O1分别为矩形AFBP,EDQC的中心， 设AP=a,AF=b,AE=c,则a2+b2=20,c2+b2=13,a2+c2=25, 得a=4,b=2,c=3.由图易知直线AB与CD异面，则线段MN长度的最小值即为求两异面直线距离， 即长方体AFBP-EDQC的二平行平面AFBP,EDQC间的距离OO1=3. 故答案为：3 0 题型06求异面直线的角 【典例61】(24-25高一下·贵州毕节·期末)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则直线AB 与EF所成角的大小为) A.0° B.45° C.60° D.90° 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】还原正方体，根据直线夹角的定义可得解 【详解】还原正方体可知点B与点F重合，如图所示，设正方体棱长为a,则AB=BE=AE=√2a, 即△ABE为等边三角形，即∠ABE=60°，所以直线AB与EF所成角为60°， 故选：C B(F) 【典例6-2】(25-26高一上河北唐山月考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2,AA1=3,∠BAC= 第32页共61页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 60°，则异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为() A司 B.3 c. 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】延长CA到点D,使AD=AC=2,连接A1D、BD,可得LBA1D(或其补角)就是异面直线A1B与AC1 所成的角 【详解】延长CA到点D,使AD=AC=2,连接A1D、BD, 因为AD/A1C1且AD=A1C1,所以四边形ADC1A1是平行四边形，因此A1D/AC 所以，∠BA1D(或其补角)就是异面直线A1B与AC1所成的角， 在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形，BC=2, 直三棱柱中，A1A=3,则：A1B= AB2+AA=V22+32=√13 A]D=AC1 AC2+AA?=V22+32=13 在△ABD中，AD=2,AB=2,∠BAD=180°-60°=120°， 由余弦定理：BD2=AB2+AD2-2·AB:AD·c0s120°=22+22-2×2×2×(-)=12， 所以BD=2V3 在△A1BD中，A1B=A1D=√13，BD=2V3, 由余弦定理：cos☑BA,D=C=装品-兰=言 2-A B-AD 【典例6-3】（多选24-25高一下·福建莆田·期中）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，0为正方 体的中心，M为DD1的中点，F为侧面正方形AA1D1D内一动点，且满足B1F/平面BC1M,则() D D A.动点F的轨迹是一条线段 B.直线AB1与BC1的夹角为60 C.三棱锥F-BC1M的体积是随点F的运动而变化的D.平面AMC1截正方体所得截面的面积为26 【答案】ABD 【难度】0.65 第33页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】证明面面平行、求异面直线所成的角 【分析】对于A,过B1做一个平面，使得该平面与平面BC1M平行，该平面与正方体左侧面的交线段即为动 点F的轨迹；对于B,∠D1AB1或其补角为异面直线AB1与BC1的夹角，在三角形中求角即可；对于C,由A 知GH//平面BC1M,故点F到平面BC1M的距离为定值，又△BC1M的面积为定值，进而体积为定值：对于D, 取BB1的中点P,连接AP,PC1,则四边形为APC1M为正方体的截面，计算边长即可求面积 【详解】对于A,如图：分别取AA1,A1D1的中点H,G,连接B1G,GH,HB1,AD1, 由正方体的性质可得B1H/C1M,且B1Hc平面B1GH,C1M￠平面B1GH, 所以C1M/平面B1GH,同理可得：BC1//平面B1GH, 且BC1∩C1M=C1,BC1,C1MC平面BC1M,所以平面B1GH/平面BC1M, 而B1F/平面BC1M,所以B1FC平面B1GH,所以点F的轨迹为线段GH,故A正确： 对于C,由A可知F的轨迹为线段GH,平面B1GH//平面BC1M,所以GH/平面BC1M, 所以点F到平面BC1M的距离为定值，又△BC1M的面积为定值， 故三棱锥F一BC1M的体积是定值，不会随点F的运动而变化，故C错误： 对于B,如图：连接AD1,B1D1,因为AB/D1C1,所以四边形ABC1D1为平行四边形， D B 所以BC1/AD1,所以∠D1AB1或其补角为异面直线AB1与BC1的夹角， 因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，AD1,B1D1,AB1都为面对角线，所以AD1=B1D1=AB1 所以△AB1D1为等边三角形，所以LD1AB1=60°，故B正确： 对于D,如图：取BB1的中点P,连接AP,PC1,取CC1的中点Q,连接DQ,PQ, D A 易知AD/BC且AD=BC,BC/PQ且BC=PQ,所以AD//PQ且AD=PQ,所以四边形APQD为平行四边形， 所以AP/DQ且AP=DQ 同理可证四边形DQC1M也为平行四边形，所以DQ/MC1且DQ=MC1, 第34页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以AP/MC1且AP=MC1 所以A,P,C1,M四点共面，即四边形为APC1M为正方体的截面，AP|=√AB2+BP2=√4+1=V5,同理可 求得四边形为APC1M的其它边长也为V5 故该四边形为APC1M为棱形，对角线|AC1l AC2+CC2=8+4=2V3,IMPI=IDBI =2v2, 故该棱形的面积为×2V3×√2×2=2V6,故D正确 故选：ABD 《典例6-4】(25-26高二上陕西西安期中)如图，己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E,F,G,H, I分别为线段A1D1,A1B1,B1B,BC,B1D1的中点，连接CD1,B1D1,B1C,DE,BF,CI,EH,则下列正 确结论的序号是 ①点E,F,G,H不在同一个平面内；②直线DE,BF,CI交于同一点： ③直线BF与直线B1C所成角的余弦值为画， 5 【答案】②③ 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、空间中的线共点问题、空间中的点（线）共面问题 【分析】连接FG,A1B,则四边形A1BHE是平行四边形，进而EH/FG,即可判断①：连接BD,EF,延长DE,BF 交于点M,延长C,BF交于点N,则晤-器-器即可判断@：取CD的中点K,连接FK,CK.BK.B1C ∠B1CK为直线BF与B1C所成角的平面角，利用余弦定理解三角形即可判断③， 【详解】①连接FG,A1B,则FG/A1B,A1E/BH且A1E=BH, D 所以四边形A1BHE是平行四边形，得EH/A1B,所以EH//FG, 所以点E,F,G,H在同一个平面内，故①错误： ②连接BD,ER,则BD1/EF且EP=BD,所以E,FBD四点共面，延长DEBF交于点M,号-号- 连接F/Bc且FI=BC,所以RZB,C四点共面，延长C1BF交于点，则号-船-于器 第35页共61页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M(N) D 所以M,N两点重合，则直线DE,BF,CI交于同一个点.故②正确： ③取C1D1的中点K,连接FK,CK,B1K,B1C,则FK/BC且FK=BC, 所以四边形BCKF为平行四边形，得BF/CK,所以LB1CK为直线BF与B1C所成角的平面角， 在△B1CK中，B1C=2WZ,CK=V5,B1K=√5， 由余弦定理得cos2B,CK=点严即直线BF与B,C所成角的余弦值为罗放国正确 故答案为：②③ 【变式61】(24-25高一下广东广州期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为BD的中点，则直线BC1与0D1 所成角的大小为( A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】利用正方体的性质，通过平移即可得∠AD1O就是直线BC1与OD1所成的角或其补角，通过计算即可 求解。 【详解】由正方体的性质可知：BC1/AD1,所以∠AD1O就是直线BC1与0D1所成的角或其补角， D C B 由正方体的性质可知：AC⊥平面BDD1B1,OD1C平面BDD1B1,所以AC⊥OD1, 假设正方体的棱长为1，则AD1=V2,A0=三， 所以有n00=总-著-专 因为∠AD10为锐角，所以∠AD10=30°， 故选：A 第36页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 《变式62】(2425高一下.山东聊城期末)已知正四棱锥S-ABCD的所有棱长均相等，则直线SA与其它经过 该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为() A.30° B.45° C.609 D.909 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、正棱锥及其有关计算 【分析】确定直线SA与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角的大小，再进行判断即可. 【详解】如图：因为四棱锥S-ABCD是正四棱锥，且所有棱长均相等. 所以∠SAB=60°，故C可能成立： D B 在△SAC中，∠ASC=90°，∠SAC=45°，所以BD可能成立； SA与其余的棱或对角线都不能成30°，故A不可能成立. 故选：A 【变式63】(25-26高一下·全国·课堂例题)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，点E为AC1 的中点，AB=AA1=V2,且AD=2V5,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为() A. B,9 c.号 0.9 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据题意得该直四棱柱为长方体，平移直线找到异面直线所成角，结合直角三角形求解即可， 【详解】由题意直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，故该直四棱柱为长方体连接C1D. 因为四边形ABCD为矩形，则BC/AD,所以∠C1AD或其补角即为异面直线AE与BC所成角， 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面CDD1C1,因为C1Dc平面CDD1C1,所以AD1C1D. 因为AB=AA1=√2，且AD=2V3,则AC1= AB2+AD2+AA=V2+12+2=4, 在t△ACD中，C0C1AD=光=9=呉因此，异面直线AB与BC所成角的余弦值为号 AC1 4 2 【变式6-4】(24-25高一下·吉林长春期末)如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，MN分别是BC与AD 的中点，则异面直线AM和CN所成角的余弦值为) 第37页共61页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A司 B.V3 3 c. D.8 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】连接DM,取DM的中点为P,连接PM,PC,则得NP/AM,∠CNP即异面直线AM和CN所成角或 其补角，求出相关边长，借助于△CPN,利用余弦定理即可求得 【详解】如图，连接DM,取DM中点为P,连接PM,PC,因MN分别是BC与AD的中点，故NP/AM, 则∠CNP即异面直线AM和CN所成角或其补角，又因正四面体ABCD,则AM=CN=, 2 则PM=PN=x9-易知DM1BC,则PC=VPM+CW- 2 4 4 在△CPN中，由余弦定理，cos∠CNP=Np+cw2-cP2_ +?--2 2×WP×CW 29 故选：A 【变式65】（多选）21-22高一下.福建泉州月考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，则下列命题正 确的是() A.两条异面直线D1C和BC1所成的角为45° B.若M,N分别是AA1,DC的中点，过D1,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线L,且l∩AB=P,则 PB=3 C.若平面a1AC1,则平面a截此正方体所得截面面积最大值为12V3 D.若用一张正方形的纸把此正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是128 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】棱柱及其有关计算、求异面直线所成的角、判断正方体的截面形状 【分析】A选项，找到异面直线所成的角，并求出角度；B选项，画出图形，找到直线和P点，求出PB的 第38页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 长：C选项，画出平面α截此正方体所得面积最大的截面，求出面积；D选项，画出图形，找到所需纸的面 积最小的图形，求出面积 【详解】对于选项A:连接D1C,A1B,A1C1, ,D1C∥A1B,∴.∠A1BC1或其补角为异面直线D1C和BC1所成的角， 又：BC1=A1B=A1C1=V2,·∠ABC1-号故A不正确： 对于选项B:连接D1M并延长DA交于点Q,连接QN即为直线I即QN∩AB=P 由△MAQ和△MA1D1全等得：AQ=A1D1=AD=4,∴.A为QD的中点 又AP∥DN,∴AP=DN=CD=1,PB=AB-AP=3,故B正确： 对于选项C:如图取A1B1,BB1,BC,CD,D1D,A1D1的中点E,F,G,H,K,J,并依次连接， 得到正六边形EFGHK,此时可证明出平面α1AC1,且平面a截此正方体所得正六边形截面面积最大， S=2×(2W2+4W2×V6=-12W3,故C正确： 图① 图② 对于选项D:如图①为棱长为4的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平 面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②（图中数字“1"表示正方体的4个侧面）所示，由图知正方形的 边长为8√2，其面积为128，故D正确. 故选：BCD 凰变式66】(23-24高三下.全国·强基计划)四面体V-ABC中，VA=VB=22,VC=3,CA=CB=4,求 CA与VB所成角的余弦值的取值范围 【答案】0，) 【难度】0.4 【知识点】空间中距离和角的计算、求异面直线所成的角 【分析】根据几何关系求PQ的范围，再通过平行关系构造异面直线所成的角，根据余弦定理，即可求解。 【详解】如图，取P,Q分别为VC,AB的中点 cos4vcB--号PR= +16-2×号×4×=， 242 △VAC≈△VBC,所以PA=PB=@, 2 在△ABP中，PQ<PA=要当A:B重合时取等 第39页共61页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 过B作BH1VC于H,设HP=x,则VB2-VH2=BC2-HC2,即BC2-BV2=HC2-HV2, 即8=6x,得x=所以PQ>x.当A,B,V,C共面时取等。 取BC中点M,则PM/BV,QM/AC,所以所求的角即为∠PMQ或其补角， 于是cos4PMQ=PM24wMO2-PQ=2+4PQ2=6-PQ 2PM-MQ 42 42 时<PQ<要知g<PQ2<号于是-竖<cas∠PM0< 36 所以CM与VB所成角的余弦值的取值范围为[0，) 故答案为：D,) 题型07已知异面直线的角求其它 《典例7-1】(21-22高一.全国·课后作业)在空间四边形ABCD中，AB=CD,且异面直线AB与CD所成的角 为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于() A.15° B.30° C.75° D.15°或75° 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求异面直线所成的角、由异面直线所成的角求其他量 【分析】根据线线平行可得异面直线所成角的角，即可分情况求解 【详解】如图，设G是AC的中点，分别连接EG,GF,由已知得EG/AB,EG=AB,FG=CD,FG/CD, 所以LEGF是AB,CD所成的角或是其补角. 因为AB=CD,所以EG=GF, 当∠EGF=30时，AB和EF所成角∠GEF=75°， 当LEGF=150时，AB和EF所成角∠GEF=15°. 故选：D I典例7-21(25-26高二上河北月考)在空间四边形ABCD中，AD=4,BC=6,点M,N分别是线段AB,CD 的中点，若异面直线AD与BC所成角为60°，则线段MN的长度为) A.7 B.V19 c.27 D.√7或19 【答案】D 第40页共61页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.65 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】分别取AC,BD中点P,Q,可证MPNQ为平行四边形，结合异面直线夹角的平面角可得平行四边形 的各顶角，结合余弦定理可得MN. 【详解】如图所示，分别取AC,BD中点P,Q,连接MP,MQ,NP,NQ,MN, M 则PM/BC,NQ/BC,PNI/AD,MQ/AD,且PM=NQ=号BC=3,PN=MQ=号AD=2, 所以四边形MPNQ为平行四边形， 又异面直线AD,BC夹角为60°，∴.∠MPN=60°或∠MPN=120°， 当LMPN=60时，在△PMN中由余弦定理得 MN2=PM2+PN2-2PM,PN:cos∠MPW=2+32-2×2×3×2=7,即MN=V7: 当4MPN=120时，在△PMN中由余弦定理得 MN2=PM2+PN-2PM:PN:cos∠MPN=2+32-2×2×3×(-) =19,即MN=√19 故选：D. 【典例7-31（多选）(24-25高一下江西南昌·期末)如图，四面体ABCD中，AC=3,BD=2,M,N分别为AB,CD 的中点若异面直线AC与BD所成角的大小为60°，则MN的长为() A.② B.3 2 2 C.V1S 2 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得 【详解】取BC的中点为P,连接PM,PN,如图： 在△ABC中，PM/AC,且PM=AC=在△BCD中，PN/BD,且PN=BD=1, 因为异面直线AC与BD所成角的大小为60°，所以直线PM,PN的夹角为60°，则∠MON=60°或120°， 第41页共61页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当∠MPN=60时，由余弦定理得，MN2=PM2+PW2-2PM:PW×cos60°=+1-是=子 得Mw= 2 当∠MPN=120时，由余弦定理得，MN2=PM2+PN2-2PM:PN×c0s120=+1+2 入 得MwW=四 2 综上所述，MN=或MW=画 2 2 故选：CD 【典例7-41(20-21高-下湖北期末)在Rt△ABC中，∠C=2,AC=1,BC=V3,D是AB边上动点，设BD=x, 把△BDC沿DC翻折为△B1DC,若存在某个位置，使得异面直线B1C与AD所成的角为？，则实数x的取值范围 是 【答案192 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、由异面直线所成的角求其他量、正弦定理解三角形 【分析】△BDC沿DC翻折为△B1DC,则B1C是以BCF为轴截面的圆锥的母线，过点C作CE/AD, 则B1C与AD所成的角等于B1C与CE所成的角， 设∠BCD=0,则0>立∠BDC<华利用正弦定理进行求解即可. 【详解】在Rt△ABC中LC=乏AC=1,BC=V3,则LABC=若 △BDC沿DC翻折为△B1DC,则B1C是以BCF为轴截面的圆锥的母线， 其中，C,D,O共线，C0为圆锥的轴，B1与B,F不重合，如图， 过点C作CE/AD,则B,C与AD所成的角等于B1C与CE所成的角， 第42页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设∠BCD=0,易知∠BCF=20+号 如图，若存在某个位置，使得异面直线BC与AD所成的角为则20+>行 0>立又4h8c=后4B0c<号m后=sin(（日月=sinco-coss血g=69 4 在△BCD中，由正弦定理得BC BD sin0、sin竖 =B1,x>3-5 2 2 又x<2,<x<2,即实数x的取值范国是(，2) 2 故答案为： 92) 【点睛】方法点睛：立体几何中取值范围与最值问题，一般可从三个方面处理解决：一是函数法，即根据 题中信息直接建立函数关系式，或通过空间向量的坐标运算建立函数关系式，转化为函数的最值问题求解， 最后根据函数的形式，选择利用函数的性质、基本不等式或导数求最值；二是根据几何体的结构特征，变 动态为静态，直观判断求解；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解. 【变式7-1】(2324高三上河北邯郸月考)如图，已知圆柱0102的底面半径和母线长均为1，B、A分别为上、 下底面圆周上的点，若异面直线01B,02A所成的角为5，则AB=() A.1 B.V2 C.1或2 D.2或√2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、求异面直线所成的角 【分析】过点A作AD1平面O,于点D,则AD是母线，则∠D01B=或∠D0B=号，分类讨论即可求解 【详解】如图，过点A作ADI平面O1于点D,则AD是母线， 连接DB,01021底面，AD/0102AD=0102,则四边形AD0102是平行四边形，01D/02A, ·02A与01B所成的角就是∠D01B或其补角 当∠D01B=时，△D01B是等边三角形，BD=1,在Rt△ABD中，AB=VBD2+AD2=V2: 当∠D01B=2时，在△01DB中，BD=2×9=V5,在Rt△ABD中，AB=VBD2+AD=2. 30 2 综上，AB=2或V2. 故选：D. 【变式7-2】(24-25高二上重庆长寿，月考)如图所示，两条异面直线a,b所成的角为60°，在直线a,b上分别 取点A,E和点A,F,使AA'1Q,且AA'1b.已知AE=3,AF=4,EF=7,则线段AA的长为() 第43页共61页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.23 B.4 C.6或25 D.4或2V3 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、余弦定理及辨析 【分析】由题意作图，利用分类讨论，根据线面垂直判定以及线线角定义，结合余弦定理与勾股定理，可 得答案 【详解】过A作直线L,使得l//a,在直线l上取AO=AE,连接OE,OF,如下图： 因为a/L,且AA'1a,所以AA'1L, 因为AA'1b,l∩b=A,设L,bCa,所以AA'1a, 因为AE//A0,且AE=A0,所以AA/0E,AA'=OE,则0E1a, 由图可知0Fca,则0E1OF, 因为异面直线a,b所成的角为60°，且l//a,所以L0AF=60°或L0AF=120°， 当L0AF=60时，在△OFA中，由余弦定理可得0F2=OA2+AF2-2·0A·AF·c0s∠0AF,则0F=V13, 在Rt△E0F中，OE2+OF2=EF2,解得AA'=OE=6; 当L0AF=120时，在△0FA中，由余弦定理可得0F2=0A2+AF2-2·0A·AF·c0S∠0AF,则0F=V37, 在Rt△E0F中，OE2+OF2=EF2,解得AA'=OE=2V3】 故选：C 【变式7-3】(23-24高一下.宁夏固原·期末)在三棱锥P-ABC中，AC=PB,且直线AC与PB所成的角为60°， E,F分别为棱PC,AB的中点，则直线EF与AC所成角的大小为) A.30° B.45° C.30°或60 D.45°或60° 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、异面直线所成的角的概念及辨析、求异面直线所成的角 【分析】利用异面直线夹角的定义即可求解 【详解】如图，取BC的中点D,连接ED,FD, 易知ED1/PB,FDI/AC,且ED=PB,FD=AC, 故ED=FD,且∠EDF是异面直线AC与PB所成角或其补角，所以∠EDF=60°或120°， 第44页共61页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 所以异面直线EF与AC所成角为∠EFD或其补角， 当LEDF=60时，∠EFD=60;当∠EDF=120时，∠EFD=30°， 所以直线EF与AC所成角的大小为30°或60° 故选：C 【变式7-4】(23-24高二上.上海奉贤·期中)若两异面直线a,b所成的角为70°，过空间内一点P作与直线a,b 所成角均为70°的直线，则所作直线的条数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点M,经过点M分别作a/a,b/b, 设直线a,b确定平面a,当直线MP满足它的射影MQ在a,b所成角的平分线上时， MP与a所成的角等于MP与b所成的角， 因为直线a,b所成的角为70°，得a,b'所成锐角等于70°， 所以当MP射影MQ在a,b所成锐角的平分线上时，MP与a,b所成角的范围是[35,90). 这种情况下，过点M有两条直线与a,b所成的角都是70°， 当MP的射影MQ在a,b所成钝角的平分线上时，MP与a,b所成角的范围是[55,90). 这种情况下，过点M有两条直线与a,b所成的角都是70°， 综上所述，过空间任意一点M可作与a,b所成的角都是70的直线有4条. 故选：D a'M 凰变式7-5】（多选(21-22高二上·重庆万州月考）已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点P是棱CC1的中点，设直 线AB为a,直线A1D1为b,则下列判断正确的是() A.过点P有且只有一条直线l与a,b都相交B.过点P有且只有一条直线l与a,b都垂直 C.过点P只有两条直线与a,b都成45°角D.过点P只有两条直线与a,b都成60角 【答案】ABC 【难度】0.4 第45页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】A若G是BB1中点，连接A1G并延长交a于F,连接GP,易得A1,G,F,P,E,D1均共面且a不在该平面上， 由两个相交的平面有交线则有且只有一条即可判断正误；B应用正方体的性质有CC11面ABCD,又b/AD、 AD,ac面ABCD、P在CC1上，结合过一点与平面垂线有且只有一条即可判断正误；C、D首先确定过P直线 与b成45°或60时另一个点在面ABB1A1上轨迹，再应用数形结合判断该轨迹上的点与P的所有连线中与a 成45°或60时位置，即可判断正误， 【详解】若G是BB1中点，连接A1G并延长交a于F,连接GP,则GP/Ib, .连接FP并延长交b于E,则A1,G,F,P,E,D均共面且a不在该平面上， 由题设，相交直线EF,b所成面A1EF与相交直线EF,a所成面有且只有1条相交直线， .过点P有且只有一条直线与a,b都相交，如图直线EF,故A正确： A b E G /B4 由b/AD,而ADna=A,又CC1⊥面ABCD,又P在CC1上， 过一点有且只有一条直线与平面垂直：故过点P只有CC1垂直于面ABCD 由AD,ac面ABCD,知：CC1⊥a,CC1⊥AD,即CC1⊥a,CC1⊥b, ∴过点P有且只有一条直线l与a,b都垂直，如图直线CC1,故B正确： 如下图：要使过P直线与b成45°，即过P直线与GP成45°即可， ∴.G为圆心，正方体棱长为半径在面ABB1A1上画圆，则圆上点与P的连线均与GP成45°，而同时要使过P直 线与a成45°，即与GK成45即可， B H 如上图，G与上图中圆上虚线部分点的连线有1条与GK成45°，根据对称性知：另一侧也有1条与GK成45°， 过P共2条直线与a,b都成45°角，故C正确： 同理，要使过P直线与b成60°，即过P直线与GP成60°即可， ∴.G为圆心，正方体棱长的V5倍为半径在面ABB1A1上画圆，则圆上点与P的连线均与GP成60°， 而同时要使过P直线与a成60°，即与GK成60即可， 第46页共61页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P与L,I的连线分别与GK成30°、90°，故在上必有一点与P连线与GK成60°， .由圆的对称性知：圆上共有4个这样的点，故过点P有4条直线与a,b都成60°角，故D错误. 故选：ABC 【变式7-6】(2025黑龙江哈尔滨.模拟预测)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形 且∠DAB=;,AA11底面ABCD,AA1=V3,点P是四棱柱ABCD-A1B1CD1表面上的一个动点，且直线AP 与CC1所成的角为，则点P的轨迹长度为一 【答案】4+号 【难度】0.4 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】根据四棱柱的性质可得点P的轨迹是以AA1为轴的圆锥的侧面与四棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面的 交线，分析点P在各平面的轨迹，计算轨迹长度可得结果， 【详解】：CC,IAA,直线AP与CC,所成的角为号六直线AP与AA,所成的角为号 .点P的轨迹是以AA1为轴（其中A为顶点），母线与轴所成角为-的圆锥的侧面与四棱柱ABCD-A1B1C1D1的 表面的交线 M A1 N 如图，在线段A1B1和A1D1上分别取点M,N,使得A1M=A1N=1,连接AM,AWN, ,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD,∴.AA1I平面A1B1C1D1 A1B1,A1D1C平面A1B1C1D1,∴.AA1⊥A1B1,AA1⊥A1D1, .tan/MAA:=tan-NAA:=-号故MAA=∠NAA=君 ∴.点P在四边形ABB1A1与四边形ADD1A1上的运动轨迹为线段AM和AN, 且AM=AN= (3+12=2 当P在四边形A1B1C1D1上运动时，其轨迹是以A1为圆心，1为半径，圆心角为的圆弧， 故点P在四边形A1B1C1D1上运动的轨迹长度为×1=号 综上得，点P的轨迹长度为4+ 故答案为：4+ 第47页共61页 命学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 强化训练 一、单选题 1.(2024高一下.全国.专题练习)直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1AC,在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异 面的有() A.1条 B.2条C.3条 D.4条 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】证明异面直线垂直 【分析】由已知直三棱柱的结构特征，列举与AC垂直且异面的棱即可。 【详解】直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,则与AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1, 故选：B. 2.(24-25高一下·河北邢台·期中)如图，这是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下四个结论：①AB/CD: (2)EF/CD:(3)CD⊥CG;(4)AB1CG.其中正确结论的个数是() B A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】证明异面直线垂直、求异面直线所成的角 【分析】画出正方体，由正方体的性质可得 【详解】原正方体如图所示，由正方体的性质可知AB,CD相交，ED/AH,ED=AH,AH/CF,AH=CF, 则ED/ICF,ED=CF,则四边形EDCF为平行四边形，则EF//CD: 因△CDG为等边三角形，则LGCD=60°， 又空间内两条直线的夹角范围为[0°，90]，则直线CD与CG所成的角为60°： 因HE//CG且AB⊥HE,则AB⊥CG,则①③错误，②④正确， 第48页共61页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B(D) 故选：B. 3.(24-25高一下·全国·课后作业)下列结论正确的是() A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质及辨析、异面直线的概念及辨析、等角定理的应用 【分析】运用等角定理，平面性质，点共面共线等知识逐个判断 【详解】若两个角相等，它们的两边不一定分别平行比如一个角的两边与另一个角的两边方向相反时，两 角相等但两边不平行，所以A选项错误. 空间四边形的定义就是四个顶点不共面的四边形，如果四个顶点在一个平面内，那就变成平面四边形了， 所以B选项错误， 空间四边形的四个顶点不共面，若两条对角线相交，那么四个顶点就会共面，这与空间四边形的定义矛盾， 所以C选项错误 由空间四边形的定义可知，其四个项点不共面，所以两条对角线不相交，D选项正确】 故选：D 4.(24-25高一下·湖北期末)正方体中，A、B、C、D分别是所在棱的中点，则下列图形中AB与CD是异面直线， 且所成的角为60°的是() A. D 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线的判定 【分析】利用异面直线的定义结合异面直线所成角的定义逐项判断即可 【详解】对于A选项，连接NG、MH、EQ,如下图所示： 在正方体EFGH-MNPQ中，因为C、D分别为FG、FN的中点，所以CD/NG, 同理可证AB/EQ,由图可知，AB、CD为异面直线， 因为MN/GH,MN=GH,故四边形MNGH为平行四边形， 故MH/NG,则MN/CD, 第49页共61页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为四边形MQHE为正方形，所以MH⊥EQ,故AB 1 CD,A不满足要求： 对于B选项，连接PM、EQ、EG、QG,如下图所示：由图可知，直线AB、CD为异面直线， 因为A、B分别为HQ、HE的中点，所以AB/IEQ,同理可得CD/MN, 因为ME//PG,ME=PG,故四边形MEGP为平行四边形，故MP/EG, 所以，异面直线AB、CD所成角等于∠QEG或其补角， 在正方体EFGH-MNPQ中，易知△QEG为等边三角形，故LQEG=60°， 故异面直线AB、CD所成角为60°，B满足要求： 对于C选项，连接BC、AD、MN,如下图所示： 在正方体EFGH-MNPQ中，MQ/FG,MQ=FG, 因为A、D分别为MQ、FG的中点，所以AM/DF,AM=DF, 所以四边形ADFM为平行四边形，所以AD/FM, 因为B、C分别为EM、EF的中点，所以BC/FM,故BC/AD, 所以，AB、CD共面，C不满足要求； 对于D选项，在正方体EFGH-MNPQ中，取棱GH的中点S,连接QG、AS、BS, 由图可知，直线AB、CD为异面直线，因为C、D分别为PG、PQ的中点， 所以CD/PQ,同理可证AS/PQ,故AS/CD,故异面直线AB、CD所成角为LBAS或其补角， 因为EF//GH,EF=GH,B、S分别为EF、GH的中点， 所以EB/HS,EB=HS,故四边形BEHS为平行四边形，所以BS=HE,BS/EH, 因为EH⊥平面HGPQ,故BS⊥平面HGPQ,因为ASC平面HGPQ,故BS⊥AS, 不妨设正方体的棱长为2，则BS=EH=2,AS=VAH2+HS2=V1+1=√2， 所以tam∠BA5-架-音-V万，故∠BAS≠60，D不满足要求 故选：B 5.(23-24高二上四川成都期中)己知正四棱锥P一ABCD的所有棱长均为1，E为PC的中点，则线段PA上的动 点M到直线BE的距离的最小值为 【答案】/0.5 【难度】0.65 第50页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】求异面直线的距离 【分析】分析证明PE为异面直线的公垂线段，由此可求动点M到直线BE的距离的最小值即可. 【详解】因为为△PBC等边三角形，E为的中点，所以PE 1 BE, 由已知PA=1,PC=1,AC=√2，所以PA2+PC2=AC2,所以PA1PC, 所以PE为异面直线PA,BE的公垂线段，所以PE的长为动点M到直线BE的距离最小值， 所以动点M到直线BE的距离最小值为号 故答案为： 6.(25-26高二上·上海·月考)已知S是正方形ABCD所在平面外一点，连接SA,SB,SC,SD,AC,BD,则 在所有的10条直线中，异面直线共有() A.8对 B.10对 C.12对 D.14对 【答案】c 【难度】0.4 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据异面直线的定义求解即可. 【详解】AC和SB,AC和SD,BD和SA,BD和SC,AB和SD,AB和SC, CD和SA,CD和SB,AD和SB,AD和SC,BC和SD,BC和SA,共有以上12对异面直线， 故选：C 7.(22-23高一下·海南海口·期末)在矩形ABCD中，AB=2,AD=2V5,沿对角线AC将矩形折成一个二面角B- AC-D,且使得BD=2√2，则异面直线AC与BD所成的角为) A.30 B.45° C.60° D.90° 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、等角定理的应用、求异面直线所成的角 【分析】根据三角形中位线的性质，作出异面直线的夹角，根据余弦定理求出三角形的边长，再根据余弦 定理，求出异面直线夹角的余弦值，进而求出异面直线夹角 【详解】如图所示，作AB,BC,CD的中点E,F,G,连接EC,ED,EG,EF,FG, 第51页共61页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D B 因为E,F,G是AB,BC,CD的中点，根据三角形中位线定理可知， 在△ABC,△BCD中，EF/IAC,FG/BD,且EF=AC,FG=BD, 所以直线EF,FG的夹角，就是异面直线AC与BD所成的角， 因为AB=2,AD=2V,所以根据勾股定理可知AC=4, 因为BD=22,所以EF=2,FG=V2,由BE=1,BC=23,所以CE=√1+12=V13, 因为AB=2,AD=2W3,BD=2N2,则在△ABD中AD2=BD2+AB2,所以∠B= 因为BE=AB=1,所以在△EBD中ED2=BE2+BD2=1+8,即ED=3, 因为ED=3,CE=V3,CD=2,所以在△ECD中CE2=ED2+CD2,所以∠EDC= 因为DG=DC=1,所以在△EDG中EG2=ED2+DG2=9+1,即EG=√10， 可得EG=0,EF=2,FG=V2,所以在△EFG中cos∠EFG=E462C2-2-9-号 2EF-FG 2×2×V2 所以∠EFG=票因为异面直线AC与BD所成的角在(O,上，所以异面直线AC与BD所成的角为号 故选：B 8(25-26高二上广西崇左·月考)我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形 的六面体（如图），现从某城楼中抽象出一几何体ABCD一EFGH,其中ABCD是边长为4的正方形，EFGH为 矩形，上、下底面与左、右两侧面均垂直，EF=4,FG=2,AE=BF=CG=DH,且平面ABCD与平面EFGH 的距离为4，则异面直线BG与CH所成角的余弦值为) A.1333 B.1333 C.13/13 165 30 D.133 30 165 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】棱柱及其有关计算、求异面直线所成的角、棱柱的结构特征和分类、余弦定理解三角形 【分析】补形为正方体，利用正方体的性质以及异面直线所成角的定义，结合余弦定理即可求解 【详解】如图，把此六面体补成正方体，连接AH,AC, 第52页共61页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由题可知AHIIBG,所以∠AHC是异面直线BG与CH所成角或其补角， 在△AHC中，AH=V32+4=5,CH=V12+4+4平=V33,AC=4V2, 则c0 SLAHC=4m2+CH2-AC2-25+33-32=13v3厘 2XAHXCH 2×5×W33 165 故选：A 二、多选题 9.(23-24高一下，四川成都期末)已知m,n是两条不同的直线，是平面，若m‖a,nc,则m,n的关系可能 为) A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】异面直线的概念及辨析、平行公理 【分析】根据平行、垂直、相交和异面的性质即可求解。 【详解】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 9 若a是平面ABCD,A1B1为m,AB为n,此时m与n平行，故A正确： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若a是平面ABCD,A1D1为m,AB为n,此时m1n,故B正确： 若m‖a,nca,m不可能与n垂直和相交，故C错误： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若a是平面ABCD,B1D1为m,AB为n,此时m与n异面，故D正确 故选：ABD. 10.(24-25高一下·浙江温州期末)如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点P,Q分别是线段AB,GH上 的动点，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的有() A.线段AB与GH所在的直线是异面直线B.三棱锥E-QMF的体积为定值 C.存在点P,使得LEPD< D.记点Q到平面ABC的距离为d,则d+AQ的最小值为6+v 4 第53页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G D E 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角 【分析】把正方体的展开图还原为正方体，画出直观图，由异面直线的判断方法判断A,由体积公式判断B, 利用余弦定理判断C,利用平面展开图判断D. 【详解】根据正方体的展开图画出该正方体的原图，如下图所示： G(C D 0 F(B) 对于A:线段AB与GH所在的直线既不平行也不相交，故A错误： 对于B:因为△EMF的面积为定值，点Q到平面EMF的距离也为定值， 根据三棱锥体积公式可知三棱锥E-QMF的体积为定值，故B正确： 对于C:如图，连接EP,PD,ED,则ED=√5，设PF=b,由余弦定理可得PD2=b2+1-√2b, 而LAFE=60°，由余弦定理可得EP2=b2+2-√2b, 故ED2-DP2-EP2=2-(b2+2-V2b)-(b2+1-V2b)=3-(b2+2-√2b)-(b2+1-V2b) =2V2b-2b2=2b(V2-b)>0,故LEPD始终为钝角，故C错误. G(C) GC⊙ F(B) F(B) 对于D:取AF的中点为U,连接UG,过Q作QV1GU,垂足为V, 由正方体的性质可得HUI平面ABC,而GUC平面GHU, 故HU⊥GU,故QV/HU,故QV1平面ABC,故QV为Q到平面ABC的距离， 将△AGH,△GHU平展到一个平面中，如图所示，在直角三角形HGU中， 斜边GH=VZ,HU= ,故∠HGU=30°，故∠AGV=45°+30°， 2 故d+AQ的最小值即为A到直线GU的距离，该距离为1×sin75°=+严，故D正确。 4 故选：ABD 第54页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11.(21-22高一下·安徽合肥·期末)正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的是() A.在空间中，过A1作与AD,C1D1夹角都为60°的直线可以作4条 B.在空间中，过A1作与AD,C1D1夹角都为45的直线可以作4条 C.棱AA1,CC1的中点分别为E,F,在空间中，能且只能作一条直线与直线A1D1,CD,EF都相交 D.在空间中，过A1与直线A1D1,CD,B1B夹角都相等的直线有4条 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】对于选项A、B、D,通过直线在空间中的位置关系进行判断： 对于选项C,可以找到不止一条直线与A1D1,CD,EF都相交 【详解】记过A1且与AD,CD1夹角都相等的角为6，则6∈[子，引，夹角都为60°的直线有4条，A正确；夹 角都为45°的直线有2条，所以B错误： 过A1与直线A1D1,CD,B1B夹角都相等的直线有4条，所以D正确： D 如图所示，直线D1F,DE分别延长之后与A1D1,CD,EF都相交；事实上，可以在直线CD上任取一点，都 可以作出一条直线与A1D1,EF都相交的直线，所以可以作无数条，故C错误， 故选：AD 【点睛】本题借助正方体考查空间中直线与直线所成的角和直线与直线的位置关系，解答此类题目时，可 以从以下两个角度思考： (1)在正方体（或其它特殊几何体）中，找到符合要求的直线，即可对选项作出判断： (2)空间中与两条直线所形成的角度相等的直线，构成两个平面，在这两个平面上寻找符合要求的直线即可. 三、填空题 12.(22-23高一·全国.单元测试)己知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点， 若AC=BD=6,则EG2+HF2= 【答案】36 【难度】0.65 【知识点】平行公理 【分析】由题意得到四边形EGH为平行四边形，再利用余弦定理求解即可. 【详解】解：因为E、F分别为空间四边形ABCD边AB、BC的中点， 所以EF1/AC且EF=AC=3,同理HG/AC且HG=AC=3,EH=BD=3,FG=BD=3, 所以EF//HG且EF=HG,所以四边形EFGH为平行四边形， 又EH=FG=BD=3,由余弦定理得EG2=EF2+FG2-2EF·FG·cos-EFG=18-18 icos_EFG, 第55页共61页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 FH2 EF2 EH2-2EF.EH.cosLFEH 18-18cosLFEH, 因为∠FEH+∠EFG=L,所以cosLFEH+cos∠EFG=0, 所以EG2+HF2=18-18c0s∠EFG+18-18 cosLEFH=36. 故答案为：36 13.(25-26高二上·全国·期中)在正方体ABCD一A1B1C1D1中，过点D作直线l与异面直线AC和BC1所成的角均为 6,则的取值范围为 【答案】后，引 【难度】0.25 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据异面直线所成角的定义求解. 【详解】如图，因为AC/A1C1,所以∠BC1A1或其补角为异面直线AC和BC1所成的角. 因为A1C1=BC1=A1B,所以△A1BC1是等边三角形，所以∠BC1A1=60°， 过点B作直线的平行线，则当与∠BC1A1的角平分线平行时，6取得最小值为30°， 故0的取值范围为仁·习 故答案为：后引 14.(22-23高二下·上海浦东新·开学考试)己知异面直线a,b所成角为60°，直线AB与a,b均垂直，且垂足分别是 点A,B.若动点P∈a,Q∈b,lPA+IQB|=2,则线段PQ中点M的轨迹围成的区域的面积是 【答案】 【难度】0.15 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】构造线段AB的中垂面α，求得M点的轨迹，从而求得M的轨迹围成的区域的面积. 【详解】设线段AB的中垂面为a,则M的轨迹在平面α内， 在平面α内分别作直线a,b的投影a,b',则两直线的夹角为60°， 设A,B在平面a的投影为O,设P,Q在平面a内的投影为P,Q',则M为P'Q的中点， 第56页共61页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以oP1=IPAL,oQ1=IBQI, 因为PA+IQBl=2,所以oP1+loQ1=2 在直线a,b'上分别取点E,E,G,H四点，使得10E=l0F例=I0G=I0川=2×2=1， 因为o+1o=|oP1+loQ1=2,所以PE=lHQ1 过P'作PR/EH交OQ于R,则IHR=|PE=HQ,所以PQ的中点M在EH上， 同理可得M在EF,FG,GH上，所以M的轨迹是矩形EHGH, 因为∠E0H=60°，I0E=10F1=I0G=I0H川=2×2=1， 所以SEFGH=号×1×1×sin60°×2+2×1×1×sim120°×2=V3 2 故答案为：√5 【点睛】求解空间异面直线所成角有关的问题，关键点在于如何利用两异面直线所成的角，根据异面直线 所成的角的概念，可在空间一点O作两条异面直线的平行直线，从而可得异面直线所成角。 四、解答题 15.(24-25高一下·全国·课后作业)在梯形ABCD中，AB/CD,E,F分别为BC和AD的中点，DN//BC,DN与EF 相交于M.将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C'D的位置，G,H分别为AD和BC的中点，求证： D (1)四边形EFGH为平行四边形：(2)C'EB=LD'MN. 【答案】(1)证明见解析；(2证明见解析 【难度】0.85 【知识点】空间中的点（线）共面问题、等角定理的应用、平面的基本性质及辨析 【分析】(1)根据梯形中位线的性质得到GH/EF且GH=EF,即可证明： (2)依题意折叠前DM/CE,MN/EB,即可得到折叠后DM/CE,MW/EB,根据空间等角定理即可证明. 【详解】(1)因为在梯形ABCD中，AB/CD,E,F分别为BC,AD的中点， 所以EFI/AB且EF=;(AB+CD) 又C'D'IIEF,EF/IAB,所以C'D'IIAB 因为G,H分别为AD,BC的中点， 所以GHl/AB且GH=(AB+CD)=AB+CD), 第57页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以GH/EF且GH=EF,所以四边形EFGH为平行四边形. (2)折叠前DN/BC,且DMI/CE,MN/EB, 折叠后D'M//CE,MNI/EB, 所以LCEB与LDMN的对应边平行且方向相同， 所以∠CEB=∠D'MN, 16.(24-25高一下·湖北·期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H分别是棱BB1, BC,CD,DD1的中点. H G (1)求证：E,F,G,H四点共面记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必说明 画法和理由)：(2)求证：A1E,DF,AB三线共点 【答案】(1)证明及作图见解析：(2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】平行公理、空间中的点（线）共面问题 【分析】(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行，通过证明EH与FG都平行于正方体中的某条棱，进而证 明EH/FG,E,F,G,H四点共面： (2)通过分别找出A1E与AB延长线的交点，DF与AB延长线的交点，证明这两个交点重合. 【详解】(1)如图①，连接BD,EH,FG,因为E,H分别是棱BB1,DD,的中点，所以EH/BD, 又F,G分别是棱BC,CD的中点，所以FG/BD,故EH/FG,所以E,F,G,H四点共面 平面a与该正方体各面的交线如图①（多边形EFGH)所示 (2)如图②，易知EF/B1C/IA1D,且EF≠A1D,所以A1E与DF必相交，设交点为P, 又由PEDF,DFC平面ABCD,得PE平面ABCD,同理P∈平面A1B1BA, 又因为平面A1B1BAn平面ABCD=AB,所以P∈AB, 所以A1E,DF,AB三线共点. 1722:23高一·全国单元测试)如图所示，在四面体ABCD中，瓜、P分别是线段AD、BC上的点，号=装=号 (1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AB=CD=3,EF=√7，求AB、CD所成角的大小. 第58页共61页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D F 【答案】(1)证明见解析；(2)60° 【难度】0.65 【知识点】异面直线的判定、求异面直线所成的角 【分析】(1)G为DC上靠近D的三等分点，易证F,G,B,D四点共面FGDB(面FDB),结合异面直线的定义判断EF 与BD是否异面： (2)H,I分别为AC,BD靠近A,B的三等分点，易知AB、CD所成角为∠IFH或其补角，进而求其大小 【详解】(1)若G为DC上靠近D的三等分点， 则器-凭=故FG/BD, 所以F,G,B,D四点共面FGDB,显然F,B,D不共线， 故面FDB与面FGDB为同一个平面， 而E面FDB,F∈面FDB,即EF∩面FDB=F,BDC面FDB,FEBD, 所以直线EF与BD是异面直线： A E D D B F 2若，I分别为AC,BD靠近AB的三等分点，测吧-兴-熙-铝-克 所以EI/AB/FH,FI//DC//HE,故IFHE为平行四边形，且AB、CD所成角为∠IFH或其补角， 又HE=CD=1,FH=AB=2, 则osL1FH=cosL-∠EHA=-cos4EH=-E- 2HE-FH 由∠IFH∈(0,180)，故∠IFH=120°，则AB、CD所成角为60°. 18.(21-22高一·全国·课后作业)如图，在空间四边形ABCD中，已知AD=1,BC=√3，AD1BC,对角线BD= 罗，AC=号，M、N分别为AC、BD的中点。 第59页共61页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求线段MN的长度；(2)求直线AC和BD所成角. 【答案】(1)1：(2)90 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、由异面直线所成的角求其他量 【分析】(1)设CD中点为G,连接MG,NG,推出MG LNG,即可求得答案； (2)设AB中点为E,BC中点为F,连接EEFG,EN,EG,利用平移法找到直线AC和BD所成角，结合(1)推出EF2+ FG2=EG2,即可求得答案 【详解】(1)设CD中点为G,连接MG,NG,因为M、N分别为AC、BD的中点，AD=1,BC=V3, 所以MGI/AD,MG=AD=NGWBC,.NG=BC=号 2 因为AD⊥BC,所以MG1NG,故MN= )2+()2=1; (2)设AB中点为E,BC中点为F,连接EFFG,EN,EG 则EF/AC,FG//BD,则∠EFG或其补角即为直线AC和BD所成角： 由E,N为AB,BD的中点可得ENIAD,EN=二AD, 故结合(1)可知ENIMG,EN=MG,故四边形MGNE为平行四边形，又MG1NG 第60页共61页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 故四边形MGNE为矩形，所以EG=MN=1, 而BD=受AC=兰，AB中点为B,BC中点为R,G为CD中点， 故EF-吉AC-9,FG=BD=军故有EF2+FG2=BG2,即∠EFG=90, 4 所以直线AC和BD所成角为90°. 19.(25-26高一下·全国·课后作业)在空间四边形ABCD中，两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边 AD,BC上的点，且铝-哭-克EF=V5,求AB和CD所成角的大小. B 【答案】90° 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】连接BD,过点五作AB的平行线交BD于点0，连接0F.通过E01/AB得到器==京结合熙-月 得到哈器-器得到OF/DC,从而得到OE与0F所成的角即为AB和CD所成的角，在△OEF中，利用勾股定理 的逆定理得到∠EOF,从而得到AB和CD所成的角， 【详解】如图，连接BD,过点E作AB的平行线交BD于点O,连接OF, F C:E01/AB,品=能=克器=积-号 AB=3,E0=2. 袋-京船器 0F/DC,0E与0F所成的角即为AB和CD所成的角，器=能=号 ,DC=3,∴，0F=1 在△0EF中，0E2+0F2=5,EF2=(√5)2=5， 0E2+0F2=EF2,∠E0F=90°， 所以AB和CD所成的角为90°. 第61页共61页 4-3 空间两直线的位置关系 讲义 教学目标 理解掌握空间直线的位置关系，能判断平行与异面直线，能求异面直线的角和距离. 教学重点 判断平行与异面直线，求异面直线的角和距离. 教学难点 判断异面直线，求异面直线的角和距离. 知识点01 空间两直线的位置关系 1.异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线. 2.空间两直线的位置关系： 3.基本事实4：平行与同一条直线的两条直线平行. （这个基本事实4在老教材中也称为平行公理） 【即学即练1-1】(24-25高一下·全国·课堂例题)如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是(    ) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【即学即练1-2】(多选)(21-22高一·全国·课后作业)如图所示，在空间四边形中，点，分别是边的中点，点，分别是边，上的点，且，有以下结论正确的是(    ) A．与平行； B．与共面； C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； D．与的交点一定在直线上． 知识点02 异面直线所成的角 1.定义：设a，b是异面直线，过空间任一点O作∥a，∥b，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2.范围：. 【即学即练2-1】(25-26高一下·全国·课后作业)如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为(    ) A． B． C． D． 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·河南南阳·期末)如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，，则(   ) A． B．异面直线MN与AC所成的角为 C．四边形的面积为 D．沿正方体的表面从点到点的最短路线的长度为 知识点03 等角定理 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【即学即练3-1】(22-23高一·全国·课后作业)两等角的一组对应边平行，则(    ) A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行 C．另一组对应边垂直 D．以上都不对 【即学即练3-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)两条相交直线与另两条相交直线对应平行，它们所成的锐角(或直角)相等吗？ 题型01 基本事实4的应用 【典例1-1】(21-22高一·全国·课后作业)如图，空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则四边形是(        ) A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【典例1-2】(22-23高一下·全国·课后作业)如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，，，则下列结论中不正确的是(    ) A．当时，四边形EFGH是平行四边形 B．当时，四边形EFGH是梯形 C．当时，四边形EFGH一定不是平行四边形 D．当时，四边形EFGH是梯形 【典例1-3】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且，，则下列结论不正确的是(    ) A．当时，四边形EFGH是平行四边形 B．当时，四边形EFGH是梯形 C．当时，四边形EFGH是平行四边形 D．当时，四边形EFGH是梯形 【典例1-4】(2024高一下·全国·专题练习)棱长为3的正四面体中，E，F分别是和的重心，则______，与的位置关系为______. 【变式1-1】(24-25高一下·全国·周测)如图，在三棱锥中，分别是边的中点，且，那么四边形是(   ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式1-2】(23-24高一下·内蒙古赤峰·月考)连接空间四边形四条边的中点，得到四边形，则是一个(　　) A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．空间四边形 【变式1-3】(24-25高一下·辽宁沈阳·月考)如图，A是所在平面外一点，M，N分别是和的重心，若，则MN的长为(    ) A．2 B． C．1 D． 【变式1-4】(24-25高一下·广东广州·期中)如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是(   ) A．相交 B．异面 C．平行 D．无法确定 【变式1-5】(多选)(23-24高三上·河北石家庄·月考)如图，在正四棱柱中，为的中点，是棱上一点，则(    ) A．的最小值为 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得 【变式1-6】(24-25高一下·上海浦东新·月考)在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形. 题型02 等角定理 【典例2-1】(24-25高二·上海·课堂例题)若两等角的一组对应边平行，则(    ) A．另一组对应边平行； B．另一组对应边不平行； C．另一组对应边也可能垂直； D．以上皆有可能． 【典例2-2】(21-22高一下·全国·课后作业)已知空间中两个角，的两边对应平行，且，则(    ) A． B． C． D．或 【典例2-3】(多选)(23-24高一下·黑龙江·期中)下面四个命题中，正确的为(    ) A．相交于同一点的三条直线在同一平面内 B．在平面外，其三边延长线分别和交于，则一定共线 C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 【典例2-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，分别为，，，，的中点.若，则______. 【变式2-1】(24-25高一下·全国·课后作业)若，且，与方向相同，则下列结论正确的是(    ) A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 【变式2-2】(24-25高一下·全国·课后作业)若，，且，则等于(    ) A． B． C．或 D．不能确定 【变式2-3】(23-24高二·上海·课堂例题)如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形(    ) A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 【变式2-4】(20-21高一下·全国·课后作业)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1(　　) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【变式2-5】(多选)(23-24高一下·新疆省直辖县级单位·月考)如图所示，在四面体中，M，N，P，Q，E分别是的中点，则下列说法正确的是(    ) A．四边形是菱形 B． C． D．四边形为矩形 【变式2-6】(25-26高一下·全国·课前预习)若，且，则为________. 题型03 异面直线辨析 【典例3-1】(24-25高一下·山东菏泽·期中)如果是空间中两条直线，下列说法正确的是 A．要么相交，要么平行 B．要么相交，要么异面 C．要么平行，要么垂直 D．不相交时，要么平行，要么异面 【典例3-2】(25-26高一下·全国·课后作业)下列说法中正确的是(   ) A．空间中没有交点的两条直线是平行直线 B．一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交 C．已知空间中四条直线a，b，c，d，如果，，且，那么 D．分别在两个平面内的直线是平行直线 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·江苏镇江·月考)如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则(   ) A．四点，，，在同一平面内 B．三条直线，，有公共点 C．直线与直线相交 D．直线上存在点使，，三点共线 【典例3-4】(2007·上海·高考真题)在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知，是两个相交平面，空间两条直线、在上的射影是直线、，、在上的射影是直线，．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件：________． 【变式3-1】(23-24高一下·浙江嘉兴·期末)如图，下列几何关系表达正确的是(    ) A．，，m，n共面 B．，，m，n共面 C．，，m，n异面 D．，，m，n异面 【变式3-2】(25-26高一下·全国·课后作业)在长方体中，与棱异面的棱有(   )条 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-3】(24-25高一下·山东泰安·期末)如图，正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，，对于空间任意两点，，若线段上不存在线段与上的点，则称，两点“可透视”，则与点“可透视”的是(    ) A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-4】(24-25高一下·陕西汉中·期末)下列命题正确的是(   ) A．三个点可以确定一个平面 B．用斜二测画法画等边三角形的直观图为等腰三角形 C．一个棱柱至少有五个面 D．如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行 【变式3-5】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)(多选)直线，直线与相交，则直线，的位置关系可能是(    ) A．相交 B．平行 C．异面 D．在同一平面内 【变式3-6】(23-24高一下·北京顺义·期中)从正方体的12条面对角线中选出k条，使得这k条面对角线所在直线两两异面，则k的最大值为______． 题型04 异面直线的判定 【典例4-1】(24-25高一下·安徽·月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则直线AM与BN的关系是(   ) A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【典例4-2】(25-26高一下·福建厦门·月考)如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是(   )． A．E，F，G，H四点共面 B．与是异面直线 C．，，三线共点 D． 【典例4-3】(多选)(24-25高一下·吉林白城·期末)已知是正方体，则下列结论正确的是(    ) A．直线与是异面直线 B．与所成的角为60° C． D．直线与所成的角为60° 【典例4-4】(23-24高二上·上海浦东新·月考)已知是单位正六棱柱(即所有的棱长都是1，如图所示)，黑、白两个蚂蚁同时从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.黑蚂蚁爬行的路线是，白蚂蚁爬行的路线是.它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在的直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑、白两蚂蚁走完2023段后各停留在正六棱柱的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是______. 【变式4-1】(23-24高一下·河北·期中)如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】(25-26高一下·吉林·月考)已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是(   ) A．若，，则 B．若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C．若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D．若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 【变式4-3】(2025高一下·全国·专题练习)如图是正四面体的平面展开图，DM，CN分别是，的中线，以下说法正确的是(    ) A． B．DM与CN为异面直线 C．若，则异面直线的距离为 D．异面直线与所成角为 【变式4-4】(24-25高一下·河北承德·月考)下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(　　) A． B． C． D． 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·广东揭阳·月考)如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是(    ) A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为30° D．四边形的面积为 【变式4-6】(2023·上海嘉定·一模)如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 题型05 异面直线的距离 【典例5-1】(24-25高二·上海·课堂例题)两条异面直线之间的距离是(    ) A．和两条异面直线都垂直相交的直线； B．和两条异面直线都垂直的直线； C．它们的公垂线的两个垂足之间的线段长； D．两条直线上任意两点间的距离． 【典例5-2】(24-25高二上·福建泉州·期中)三棱锥中，，，，，分别是两条相对棱上的动点，则最小距离为(   ) A．1 B．2 C． D．3 【典例5-3】(24-25高二·上海·随堂练习)已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是________． 【典例5-4】(24-25高二·上海·随堂练习)如图，已知长方体中，，，，则异面直线与距离是________． 【变式5-1】(2026·甘肃·二模)正四面体的棱长为2，点分别在棱上，则线段长度的最小值为(    ) A．1 B． C． D．2 【变式5-2】(22-23高二上·重庆·期中)如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为(    ) A． B． C． D． 【变式5-3】(多选)(21-22高二上·重庆石柱·月考)如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是(    ) A．直线BC与平面所成的角等于 B．点到平面的距离为 C．异面直线和所成的角为. D．线段长度的最小值为 【变式5-4】(23-24高二上·上海黄浦·期中)已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是______. 【变式5-5】(23-24高二上·上海普陀·期中)已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【变式5-6】．(24-25高二上·广东汕头·期中)在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为______． 题型06 求异面直线的角 【典例6-1】(24-25高一下·贵州毕节·期末)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则直线与所成角的大小为(   ) A． B． C． D． 【典例6-2】(25-26高一上·河北唐山·月考)在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为(   ) A． B． C． D． 【典例6-3】(多选)(24-25高一下·福建莆田·期中)如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则() A．动点的轨迹是一条线段 B．直线与的夹角为 C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D．平面截正方体所得截面的面积为 【典例6-4】(25-26高二上·陕西西安·期中)如图，已知正方体的棱长为2，点，，，，分别为线段，，，，的中点，连接，，，，，，，则下列正确结论的序号是_____． ①点，，，不在同一个平面内；②直线，，交于同一点； ③直线与直线所成角的余弦值为． 【变式6-1】(24-25高一下·广东广州·期末)在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为(    )． A． B． C． D． 【变式6-2】(24-25高一下·山东聊城·期末)已知正四棱锥的所有棱长均相等，则直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为(    ) A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式6-3】(25-26高一下·全国·课堂例题)在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【变式6-4】(24-25高一下·吉林长春·期末)如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN 所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【变式6-5】(多选)(21-22高一下·福建泉州·月考)如图，正方体的棱长为4，则下列命题正确的是(　　) A．两条异面直线和所成的角为45° B．若分别是的中点，过三点的平面与正方体的下底面相交于直线，且，则 C．若平面，则平面截此正方体所得截面面积最大值为 D．若用一张正方形的纸把此正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是128 【变式6-6】(23-24高三下·全国·强基计划)四面体中，，，，求与所成角的余弦值的取值范围________． 题型07 已知异面直线的角求其它 【典例7-1】(21-22高一·全国·课后作业)在空间四边形ABCD中，，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于(　　) A．15° B．30° C．75° D．15°或75° 【典例7-2】(25-26高二上·河北·月考)在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为(    ) A． B． C． D．或 【典例7-3】(多选)(24-25高一下·江西南昌·期末)如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为(    ) A． B． C． D． 【典例7-4】(20-21高一下·湖北·期末)在中，是边上动点，设，把沿翻折为，若存在某个位置，使得异面直线与所成的角为，则实数的取值范围是________．    【变式7-1】(23-24高三上·河北邯郸·月考)如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则(    ) A．1 B． C．1或2 D．2或 【变式7-2】(24-25高二上·重庆长寿·月考)如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为(    ) A． B．4 C．6或 D．4或 【变式7-3】(23-24高一下·宁夏固原·期末)在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为(    ) A． B． C．或 D．或  【变式7-4】(23-24高二上·上海奉贤·期中)若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-5】(多选)(21-22高二上·重庆万州·月考)已知正方体，点是棱的中点，设直线为，直线为，则下列判断正确的是(    ) A．过点有且只有一条直线与，都相交 B．过点有且只有一条直线与，都垂直 C．过点只有两条直线与，都成角 D．过点只有两条直线与，都成角 【变式7-6】(2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测)已知四棱柱中，底面是边长为的菱形且，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为______. 一、单选题 1.(2024高一下·全国·专题练习)直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2.(24-25高一下·河北邢台·期中)如图，这是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下四个结论：①；(2)；(3)；(4).其中正确结论的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 3.(24-25高一下·全国·课后作业)下列结论正确的是(    ) A．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行 B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C．空间四边形的两条对角线可以相交 D．空间四边形的两条对角线不相交 4.(24-25高一下·湖北·期末)正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则下列图形中与是异面直线，且所成的角为的是(   ) A． B． C． D． 5.(23-24高二上·四川成都·期中)已知正四棱锥的所有棱长均为为的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为______． 6.(25-26高二上·上海·月考)已知S是正方形ABCD所在平面外一点，连接SA，SB，SC，SD，AC，BD，则在所有的10条直线中，异面直线共有(   ) A．8对 B．10对 C．12对 D．14对 7.(22-23高一下·海南海口·期末)在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个二面角，且使得，则异面直线与所成的角为(   ) A． B． C． D． 8.(25-26高二上·广西崇左·月考)我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形的六面体(如图)，现从某城楼中抽象出一几何体，其中是边长为的正方形，为矩形，上、下底面与左、右两侧面均垂直，，，，且平面与平面的距离为，则异面直线与所成角的余弦值为(  ) A． B． C． D． 二、多选题 9.(23-24高一下·四川成都·期末)已知是两条不同的直线，是平面，若 ，则的关系可能为(    ) A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 10.(24-25高一下·浙江温州·期末)如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点P，Q分别是线段AB，GH上的动点，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的有(    ) A．线段AB与GH所在的直线是异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．存在点，使得 D．记点到平面ABC的距离为，则的最小值为 11.(21-22高一下·安徽合肥·期末)正方体中，下列说法正确的是(    ) A．在空间中，过作与夹角都为60°的直线可以作4条 B．在空间中，过作与夹角都为45°的直线可以作4条 C．棱的中点分别为E，F，在空间中，能且只能作一条直线与直线，，都相交 D．在空间中，过与直线，，夹角都相等的直线有4条 三、填空题 12.(22-23高一·全国·单元测试)已知E、F、G、H分别为空间四边形四条边AB、BC、CD、DA的中点，若，则______． 13.(25-26高二上·全国·期中)在正方体中，过点作直线与异面直线和所成的角均为，则的取值范围为____________. 14.(22-23高二下·上海浦东新·开学考试)已知异面直线所成角为，直线与均垂直，且垂足分别是点.若动点，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是__________; 四、解答题 15.(24-25高一下·全国·课后作业)在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证： (1)四边形为平行四边形；(2)． 16.(24-25高一下·湖北·期末)如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是棱，，，的中点. (1)求证：E，F，G，H四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线(不必说明画法和理由)；(2)求证：，，三线共点. 17.(22-23高一·全国·单元测试)如图所示，在四面体中，E、F分别是线段AD、BC上的点，． (1)求证：直线与是异面直线；(2)若，，求、所成角的大小． 18.(21-22高一·全国·课后作业)如图，在空间四边形中，已知，，，对角线，，、分别为、的中点． (1)求线段的长度；(2)求直线和所成角． 19.(25-26高一下·全国·课后作业)在空间四边形中，两条对边，E，F分别是另外两条对边，上的点，且，，求和所成角的大小． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4-3空间两直线的位置关系讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01基本事实4的应用 题型02等角定理 知识点01空间两直线的位置关系 题型03异面直线辨析 4-3空间两直线的位置关系 题型04异面直线的判定 知识点02异面直线所成的角 题型05异面直线的距离 题型06求异面直线的角 知识点03等角定理 题型07已知异面直线的角求其它 教学目标、教学重难点 教学目标 理解掌握空间直线的位置关系，能判断平行与异面直线，能求异面直线的角和距离 教学重点 判断平行与异面直线，求异面直线的角和距离 教学难点 判断异面直线，求异面直线的角和距离。 知识清单 知识点01空间两直线的位置关系 1.异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 共面直线 (平行直线 2.空间两直线的位置关系： (相交直线 (异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 3.基本事实4：平行与同一条直线的两条直线平行 (这个基本事实4在老教材中也称为平行公理) 【即学即练1-1】(24-25高一下.全国课堂例题)如图所示，在三棱锥S-MNP中，E,F,G,H分别是棱SN, SP,MN,MP的中点，则EF与HG的位置关系是() A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 D 【即学即练1-2】（多选）(21-22高一，全国·课后作业)如图所示，在空间四边形ABCD中，点E,H分别是边AB,AD 的中点，点R,G分别是边BC,CD上的点，器-答=子有以下结论正确的是()） CB CD A.EF与GH平行： B.EF与GH共面： C.EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上： D.EF与GH的交点M一定在直线AC上. 第1页共17页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点02异面直线所成的角 1.定义：设a,b是异面直线，过空间任一点O作a∥α，b∥b,把a'与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a与b所成的角（或夹角）： 2范围：(0，身 【即学即练2-1】(25-26高一下.全国·课后作业)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB,AD 的中点，则异面直线A1C1与EF所成的角的大小为() A.30 B.45° C.60° D.90° D D 【即学即练2-2】（多选）(24-25高一下·河南南阳期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为棱 C1D1,C1C的中点，AB=1,则() A.AM//BN B.异面直线MN与AC所成的角为60° C.四边形MNBA1的面积为号 D.沿正方体的表面从点A到点N的最短路线的长度为 2 知识点03等角定理 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 【即学即练3-1】(22-23高一.全国·课后作业)两等角的一组对应边平行，则) A.另一组对应边平行 B.另一组对应边不平行 C.另一组对应边垂直 D.以上都不对 【即学即练3-2(25-26高一下·全国课堂例题)两条相交直线与另两条相交直线对应平行，它们所成的锐角（或 直角)相等吗？ 题型精讲 题型01基本事实4的应用 凰典例1-1】(21-22高一·全国·课后作业)如图，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA 的中点，则四边形EFGH是() A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 【典例1-2】(22-23高一下·全国·课后作业)如图，设E,F,G,H依次是空间四边形ABCD的边AB,BC, 第2页共17页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD,DA上除端点外的点，怎=铝=元，需=惡=：，则下列结论中不正确的是() A.当孔=时，四边形EFGH是平行四边形 B.当≠时，四边形EFGH是梯形 C.当≠时，四边形EFGH一定不是平行四边形 D.当=u时，四边形EFGH是梯形 【典例1-3】（多选）24-25高一下·全国课后作业)如图，设E,F,G,H依次是空间四边形ABCD的边AB, BC,CD,D1上除端点外的点，且岩-侣=需-侣=，则下列结论不正确的是() AB AD A.当λ=时，四边形EFGH是平行四边形B.当≠时，四边形EFGH是梯形 C.当孔≠时，四边形EFGH是平行四边形D.当入=时，四边形EFGH是梯形 【典例1-4】(2024高一下.全国.专题练习)棱长为3的正四面体A-BCD中，E,F分别是△ABC和△ACD的 重心，则EF=,EF与BD的位置关系为 【变式1-1】(24-25高一下·全国·周测)如图，在三棱锥A-BCD中，E,F,G,H分别是边AC,CD,BD,AB的中点， 且AD=BC,那么四边形EFGH是() A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 《变式1-2(23-24高一下·内蒙古赤峰·月考)连接空间四边形ABCD四条边的中点，得到四边形EFGH,则EFGH 是一个( A.菱形 B.矩形 C.平行四边形 D.空间四边形 I变式1-3】(24-25高一下·辽宁沈阳·月考)如图，A是△BCD所在平面外一点，M,N分别是△ABC和△ACD 的重心，若BD=6,则MN的长为) A.2 B. C.1 2 D Me- --+N 【变式1-41(24-25高一下.广东广州期中)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是侧面AA1DD1, 第3页共17页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 侧面CC,DD1的中心，G,H分别是线段AB,BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是() A.相交 B.异面 C.平行 D.无法确定 【变式1-5】（多选）(23-24高三上河北石家庄·月考)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA1= V√2，E为AB的中点，F是棱BB1上一点，则() A.EF+FC1的最小值为V10 B.存在点F,使得EF⊥D1E C.存在点F,使得EF//DC1 D.存在点F,使得∠EFC=60° D 【变式1-6】(24-25高一下.上海浦东新月考)在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD, DA的中点，则当AC,BD满足条件 时，四边形EFGH是正方形 题型02等角定理 【典例2-1】(24-25高二·上海课堂例题)若两等角的一组对应边平行，则() A.另一组对应边平行： B.另一组对应边不平行： C.另一组对应边也可能垂直： D.以上皆有可能. 【典例2-2(21-22高一下.全国·课后作业)已知空间中两个角a,B,%,B的两边对应平行，且a=30°，则B=() A.30° B.60° C.120° D.30°或150° 【典例2-3】（多选23-24高一下·黑龙江·期中）下面四个命题中，正确的为() A.相交于同一点的三条直线在同一平面内 B.△ABC在平面a外，其三边延长线分别和a交于P,Q,R,则P,Q,R一定共线 C.一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D.若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 【典例2-4】(25-26高一下.全国课堂例题)如图，已知直线a,b为异面直线，A,B,C为直线a上三点，D,E, F为直线b上三点，A,B,C,D,E分别为AD,DB,BE,EC,CF的中点.若∠A'BC'=120°，则∠CDE'= 【变式2-1】(24-25高一下·全国课后作业)若LA0B=∠A101B1,且0A/01A1,0A与01A1方向相同，则下 列结论正确的是() 第4页共17页 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.0B/01B1且方向相同 B.0B/01B1,方向可能不同 C.0B与01B1不平行 D.OB与01B1不一定平行 《变式2-2I(24-25高一下·全国课后作业)若AB/AB',BC/B'C',且∠ABC=45°，则∠AB'C等于() A.45° B.135° C.45°或135° D.不能确定 【变式2-3】(23-24高二·上海·课堂例题)如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这 两个三角形队) A.全等 B.相似C.相似但不全等 D.不相似 〖变式2-4】(20-21高一下·全国课后作业)如图，在三棱柱ABC-ABC1中，E,F,G分别为棱AC,BC, BB的中点，则∠EFG与∠ABC() A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不确定 【变式2-5】（多选）(23-24高一下·新疆省直辖县级单位·月考)如图所示，在四面体A-BCD中，M,N,P,Q, E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点，则下列说法正确的是() A.四边形MNPQ是菱形 B.∠QME=∠DBC C.△BCD∽△MEQ D.四边形MNPQ为矩形 〖变式2-6】(25-26高一下.全国·课前预习)若0A//0'A,0B/0'B且∠A0B=130°，则∠A0B为 题型03异面直线辨析 【典例3-1】(24-25高一下山东菏泽期中)如果a,b是空间中两条直线，下列说法正确的是 A.a,b要么相交，要么平行 B.ab要么相交，要么异面 C.a,b要么平行，要么垂直 D.a,b不相交时，要么平行，要么异面 【典例3-2】(25-26高一下·全国·课后作业)下列说法中正确的是() A.空间中没有交点的两条直线是平行直线 B.一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交 C.己知空间中四条直线a,b,c,d,如果a/b,c/d,且a//d,那么b//c D.分别在两个平面内的直线是平行直线 【典例3-31（多选24-25高一下江苏镇江·月考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为C1D1,B1C1 第5页共17页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的中点，O,M分别为BD,EF的中点，则() A.四点B,D,E,F在同一平面内 B.三条直线BF,DE,CC1有公共点 C.直线A1C与直线OF相交 D.直线A1C上存在点N使M,N,O三点共线 D 〖典例3-4】(2007·上海·高考真题)在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.己知α，B是两 个相交平面，空间两条直线l1、12在u上的射影是直线s1、S2,l1、l2在B上的射影是直线t1,t2·用s1与S2,t1 与t2的位置关系，写出一个总能确定l与l2是异面直线的充分条件： 【变式31】(23-24高一下·浙江嘉兴期末)如图，下列几何关系表达正确的是() A.m∈C,Aca,,n共面 B.mcC,A∈，，n共面 C.m∈a,nna=A,m,n异面 D.mca,nna=A,,n异面 【变式32】(25-26高一下·全国课后作业)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱A1B1异面的棱有()条 A.4 B.3 C.2 D.1 〖变式33】(24-25高一下山东泰安期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H,M,N分别为 棱AD,AB,BC,CD,B1C1,AD1的中点，K为AN的中点，连接NG,HM,对于空间任意两点P,Q,若线 段PQ上不存在线段NG与MH上的点，则称P,Q两点“可透视”，则与点C1“可透视"的是() A.点K B.点A C.点F D.点E D B M K 【变式3-4】(24-25高一下陕西汉中.期末)下列命题正确的是() A.三个点可以确定一个平面 B.用斜二测画法画等边三角形的直观图为等腰三角形 C.一个棱柱至少有五个面 D.如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行 【变式35】（多选）(24-25高一下·全国课后作业)（多选）直线a//b,直线b与c相交，则直线a,c的位置关系可 能是() A.相交 B.平行 c.异面 D.在同一平面内 【变式36】(23-24高一下.北京顺义·期中)从正方体的12条面对角线中选出k条，使得这k条面对角线所在 第6页共17页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 直线两两异面，则k的最大值为 题型04异面直线的判定 〖典例41】(24-25高一下·安徽·月考)如图，在正方体ABCD-ABCD,中，M,N分别为棱CD1,CC的中 点，则直线AM与BN的关系是() A.相交 B.平行 C.异面 D.垂直 【典例421(25-26高一下·福建厦门月考)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点E,F,G,H分别为BB1,CC1, A1B1,A1C1的中点，则下列说法错误的是(). A.E,F,G,H四点共面 B.AA1与GH是异面直线 C.EG,FH,AA1三线共点 D.∠EGH=∠FHG 《典例43】（多选(24-25高一下·吉林白城期末）已知ABCD-A1B1C1D1是正方体，则下列结论正确的是() A.直线A1C1与B1C是异面直线 B.A1D与B1C所成的角为609 C.A]C1 1 BD D.直线A1C1与B1C所成的角为60° 【典例44】(23-24高二上·上海浦东新·月考)已知ABCDEF-A1B1C1D1E1F1是单位正六棱柱（即所有的棱长 都是1，如图所示)，黑、白两个蚂蚁同时从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”黑蚂蚁 爬行的路线是AA1→A1F1→…，白蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→….它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2 段与第i段所在的直线必须是异面直线（其中i是正整数）设黑、白两蚂蚁走完2023段后各停留在正六棱柱 的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是 【变式41】(23-24高一下河北期中)如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直 线中，与直线AD是异面直线的是() A.FG B.EH C.EF D.BC 【变式42】(25-26高一下.吉林.月考)已知a,b,c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是() 第7页共17页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.若aIb,bIc,则aIc B.若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C.若α，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D.若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 【变式43】(2025高一下·全国专题练习)如图是正四面体的平面展开图，DM,CN分别是△ACD,△BCE 的中线，以下说法正确的是() A.MN II AB B.DM与CN为异面直线 C.若BC=a,则异面直线AC,BD的距离为 D.异面直线MN与BC所成角为60° 【变式44】(24-25高一下河北承德月考)下列各图是正方体或正四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中 点，这四个点不共面的图形是( B 【变式451（多选）(24-25高一下广东揭阳·月考)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N 分别为棱C1D1,C1C的中点，则下列结论正确的是() A.直线AM与BN是平行直线 B.直线BN与MB1是异面直线 C.直线MN与AC所成的角为30° D.四边形MNBA1的面积为号 【变式46】(2023上海嘉定.一模)如图为正六棱柱ABCDEF-A'BCD'EF'其6个侧面的12条面对角线所在 直线中，与直线AB异面的共有 条 题型05异面直线的距离 【典例5-1】(24-25高二·上海课堂例题)两条异面直线之间的距离是() 第8页共17页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.和两条异面直线都垂直相交的直线： B.和两条异面直线都垂直的直线： C.它们的公垂线的两个垂足之间的线段长； D.两条直线上任意两点间的距离. 【典例5-21(24-25高二上福建泉州期中)三棱锥P-ABC中，PA=BC=V5,PB=AC=V10,PC=AB= √13，M,N分别是两条相对棱上的动点，则MN最小距离为() A.1 B.2 C.5 D.3 【典例5-3】(24-25高二·上海-随堂练习)己知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为a,则异面直线A1A与B1C1 距离是 D Di. 【典例5-4】(24-25高二上海·随堂练习)如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=2,B1B=3, 则异面直线A1B与B1C1距离是 【变式51】(2026甘肃.二模)正四面体ABCD的棱长为2，点M,N分别在棱AB,CD上，则线段MN长度的最小 值为) A.1 B.V2 C.v3 D.2 【变式52】(22-23高二上·重庆期中)如图在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,中E为BC的中点，点 P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为) A.V5 B.25 D. √5 5 C.5 2 5 D 【变式53】（多选）(21-22高二上·重庆石柱·月考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点P,Q分 别在线段C1D,AC上，则下列命题正确的是() A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于B.点C到平面ABC1D的距离为V2 C.异面直线D1C和BC1所成的角为 D.线段PQ长度的最小值为 【变式5-4】(23-24高二上·上海黄浦·期中)己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则异面直线AA1与B1D1 之间的距离是」 第9页共17页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 I变式55】(23-24高二上·上海普陀期中)已知长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD=AA1=1,AB=2,则异 面直线BD与B1C1所成角的余弦值为 【变式56】.(24-25高二上广东汕头期中)在四面体ABCD中，AB=CD=2V5,AD=BC=V13,AC= BD=5,M,N分别为棱AB,CD所在直线的点，则线段MN长度的最小值为· 题型06求异面直线的角 《典例6-1】(24-25高一下.贵州毕节期末)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则直线AB 与EF所成角的大小为) A.0° B.45° C.60° D.90° 【典例6-2】(25-26高一上河北唐山·月考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2,AA1=3,∠BAC= 60°，则异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为() A.是 C. 【典例63】（多选24-25高一下.福建莆田·期中）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，0为正方 体的中心，M为DD1的中点，F为侧面正方形AA1D1D内一动点，且满足B1F/平面BC1M,则() A.动点F的轨迹是一条线段 B.直线AB1与BC1的夹角为60° C.三棱锥F一BC1M的体积是随点F的运动而变化的 D.平面AMC1截正方体所得截面的面积为2V6 0 Mi- B D 凰典例64】(25-26高二上陕西西安期中)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E,F,G,H, I分别为线段A1D1,A1B1,B1B,BC,B1D1的中点，连接CD1,B1D1,B1C,DE,BF,CI,EH,则下列正 确结论的序号是一， ①点E,F,G,H不在同一个平面内；②直线DE,BF,CI交于同一点： ③直线BF与直线B1C所成角的余弦值为画 5 【变式61】(24-25高一下广东广州期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为BD的中点，则直线BC1与0D1 所成角的大小为) 第10页共17页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.30° B.45° C.60° D.90° 【变式62】(24-25高一下.山东聊城期末)已知正四棱锥S-ABCD的所有棱长均相等，则直线SA与其它经过 该四棱锥的两个项点的直线所成的角不可能为) A.30° B.45° C.60° D.90° 【变式63】(25-26高一下·全国课堂例题)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，点E为AC1 的中点，AB=AA1=V2,且AD=2V5,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为() A号 c号 号 《变式6-4】(24-25高一下·吉林长春期末)如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD 的中点，则异面直线AM和CN所成角的余弦值为) A. B号 C. D. 5 3 6 【变式65】（多选）21-22高一下福建泉州月考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，则下列命题正 确的是(） A.两条异面直线D1C和BC1所成的角为45° B.若M,N分别是AA1,DC的中点，过D1,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线L,且lnAB=P,则 PB=3 C.若平面a1AC1,则平面a截此正方体所得截面面积最大值为12V3 D.若用一张正方形的纸把此正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是128 【变式66】(23-24高三下·全国强基计划)四面体V-ABC中，VA=VB=2V2,VC=3,CA=CB=4,求 CA与VB所成角的余弦值的取值范围 题型07已知异面直线的角求其它 I典例7-1】(21-22高一.全国课后作业)在空间四边形ABCD中，AB=CD,且异面直线AB与CD所成的角 为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于() A.15° B.309 C.75 D.15°或75% 《典例7-2】(25-26高二上河北·月考)在空间四边形ABCD中，AD=4,BC=6,点M,N分别是线段AB,CD 的中点，若异面直线AD与BC所成角为60°，则线段MN的长度为) A.V7 B.V19 C.2v7 D.√7或√19 第11页共17页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例7-3】（多选）24-25高一下·江西南昌·期末)如图，四面体ABCD中，AC=3,BD=2,M,N分别为AB,CD 的中点.若异面直线AC与BD所成角的大小为60°，则MN的长为) A.② B.3 D.v 2 2 c.四 2 --D 【典例7-41(20-21高一下湖北·期末)在Rt△ABC中，∠C=2,AC=1,BC=V3,D是AB边上动点，设BD=x, 把△BDC沿DC翻折为△B1DC,若存在某个位置，使得异面直线B1C与AD所成的角为5，则实数x的取值范围 是 【变式7-1】(23-24高三上河北邯郸·月考)如图，已知圆柱0102的底面半径和母线长均为1，B、A分别为上、 下底面圆周上的点，若异面直线01B,02A所成的角为5，则AB=() A.1 B.V2 C.1或2 D.2或√2 B …*0 【变式7-2】(24-25高二上.重庆长寿·月考)如图所示，两条异面直线a,b所成的角为60°，在直线ab上分别 取点A,E和点A,F,使AA'1a,且AA'1b.已知A'E=3,AF=4,EF=7,则线段AA的长为) A.2V3 B.4 c.6或2√3 D.4或2V3 【变式7-3】(23-24高一下.宁夏固原期末)在三棱锥P-ABC中，AC=PB,且直线AC与PB所成的角为60°， E,F分别为棱PC,AB的中点，则直线EF与AC所成角的大小为) A.30° B.45° C.30或60 D.45或60° 【变式7-4】(23-24高二上.上海奉贤·期中)若两异面直线a,b所成的角为70°，过空间内一点P作与直线a,b 所成角均为70°的直线l,则所作直线的条数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式7-5】（多选）21-22高二上重庆万州月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点P是棱CC1的中点，设直 线AB为a,直线A1D1为b,则下列判断正确的是() A.过点P有且只有一条直线l与a,b都相交B.过点P有且只有一条直线l与a,b都垂直 C.过点P只有两条直线与a,b都成45°角 D.过点P只有两条直线与a,b都成60°角 第12页共17页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式7-6】(2025黑龙江哈尔滨·模拟预测)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形 且∠DAB=子AM11底面ABCD,AA1=V3,点P是四棱柱ABCD-AB,CD1表面上的一个动点，且直线AP 与CC1所成的角为”，则点P的轨迹长度为 6 强化训练 一、单选题 1.(2024高一下·全国·专题练习)直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1AC,在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异 面的有() A.1条 B.2条C.3条 D.4条 2.(24-25高一下·河北邢台·期中)如图，这是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下四个结论：①AB/CD; (2)EF/CD;(3)CD1CG;(4)AB1CG.其中正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(24-25高一下·全国·课后作业)下列结论正确的是() A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交 4.(24-25高一下·湖北期末)正方体中，A、B、C、D分别是所在棱的中点，则下列图形中AB与CD是异面直线， 且所成的角为60°的是() 5.(23-24高二上四川成都期中)己知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为1，E为PC的中点，则线段PA上的动 点M到直线BE的距离的最小值为· 6.(25-26高二上·上海·月考)已知S是正方形ABCD所在平面外一点，连接S4,SB,SC,SD,AC,BD,则 在所有的10条直线中，异面直线共有() 第13页共17页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.8对 B.10对 C.12对 D.14对 7.(22-23高一下.海南海口·期末)在矩形ABCD中，AB=2,AD=2V5,沿对角线AC将矩形折成一个二面角B- AC-D,且使得BD=2V2,则异面直线AC与BD所成的角为) A.30° B.45° C.60° D.90° 8(25-26高二上广西崇左·月考)我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形 的六面体（如图），现从某城楼中抽象出一几何体ABCD-EFGH,其中ABCD是边长为4的正方形，EFGH为 矩形，上、下底面与左、右两侧面均垂直，EF=4,FG=2,AE=BF=CG=DH,且平面ABCD与平面EFGH 的距离为4，则异面直线BG与CH所成角的余弦值为) 13V33 A. B.1333 C.13v 165 30 30 D.13g 165 H 二、多选题 9.(23-24高一下，四川成都期末)已知m,n是两条不同的直线，a是平面，若mⅡ心，nc,则m,n的关系可能 为) A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面 10.(24-25高一下·浙江温州期末)如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点P,Q分别是线段AB,GH上 的动点，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的有() A.线段AB与GH所在的直线是异面直线B.三棱锥E-QMF的体积为定值 C.存在点P,使得∠EPD<5 D.记点Q到平面ABC的距离为d,则d+AQ的最小值为6+亚 4 G 11.(21-22高一下·安徽合肥期末)正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的是(） A.在空间中，过A1作与AD,C1D1夹角都为60°的直线可以作4条 B.在空间中，过A1作与AD,C1D1夹角都为45的直线可以作4条 C.棱AA1,CC1的中点分别为E,F,在空间中，能且只能作一条直线与直线A1D1,CD,EF都相交 D.在空间中，过A1与直线A1D1,CD,B1B夹角都相等的直线有4条 第14页共17页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、填空题 12.(22-23高一全国.单元测试)己知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点， 若AC=BD=6,则EG2+HF2= 13.(25-26高二上·全国·期中)在正方体ABCD一A1B1C1D1中，过点D作直线l与异面直线AC和BC1所成的角均为 6,则的取值范围为 14.(22-23高二下·上海浦东新·开学考试)已知异面直线a,b所成角为60°，直线AB与a,b均垂直，且垂足分别是 点A,B.若动点P∈a,Q∈b,IPA+IQB|=2,则线段PQ中点M的轨迹围成的区域的面积是 四、解答题 15.(24-25高一下·全国·课后作业)在梯形ABCD中，AB//CD,E,F分别为BC和AD的中点，DN//BC,DN与EF 相交于M.将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到CD的位置，G,H分别为AD和BC的中点，求证： (1)四边形EFGH为平行四边形：(2)LCEB=∠D'MN. D 16.(24-25高一下·湖北期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H分别是棱BB1, BC,CD,DD的中点. D H G (1)求证：E,F,G,H四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面α与该正方体各面的交线（不必说明 画法和理由)：(2)求证：A1E,DF,AB三线共点 第15页共17页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 17223高一全国单元测试如图所示，在四面体A8CD中，区、P分别是线段AD、BC上的点，告-影-专 (1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AB=CD=3,EF=V7,求AB、CD所成角的大小. A E B 18.(21-22高一·全国.课后作业)如图，在空间四边形ABCD中，己知AD=1,BC=V3,AD1BC,对角线BD= 受AC=号M、N分别为AC、BD的中点. 第16页共17页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求线段MN的长度；(2)求直线AC和BD所成角. 19.(25-26高一下·全国·课后作业)在空间四边形ABCD中，两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边 AD,BC上的点，且铝-器-F=V5,求AB和CD所成角的大小 E 第17页共17页 4-3 空间两直线的位置关系 讲义 教学目标 理解掌握空间直线的位置关系，能判断平行与异面直线，能求异面直线的角和距离. 教学重点 判断平行与异面直线，求异面直线的角和距离. 教学难点 判断异面直线，求异面直线的角和距离. 知识点01 空间两直线的位置关系 1.异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线. 2.空间两直线的位置关系： 3.基本事实4：平行与同一条直线的两条直线平行. （这个基本事实4在老教材中也称为平行公理） 【即学即练1-1】(24-25高一下·全国·课堂例题)如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是(    )    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】平行公理 【分析】利用中位线定理与平行线的传递性即可得解. 【详解】因为，分别是棱，的中点，所以 因为，分别是棱，的中点，所以；所以. 故选：A. 【即学即练1-2】(多选)(21-22高一·全国·课后作业)如图所示，在空间四边形中，点，分别是边的中点，点，分别是边，上的点，且，有以下结论正确的是(    ) A．与平行； B．与共面； C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； D．与的交点一定在直线上． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】平行公理、空间中的点(线)共面问题、空间中的点共线问题 【分析】如图，连接，，依题意得，，即可得出共面，又，可得与必相交，从而判断选项A和B的正误；设交点为，可得点在平面与平面的交线上，又是这两个平面的交线，即可得出点一定在直线上，从而判断出选项C和D的正误，即可求解． 【详解】如图所示．连接，，    依题意，可得，，所以，所以共面，所以选项B正确， 因为，所以四边形是梯形，与必相交，所以选项A错误， 设与的交点为，因为点在上，故点在平面上． 同理，点在平面上，所以点在平面与平面的交线上， 又是这两个平面的交线，所以点一定在直线上，故选项C错误，选项D正确， 故选：BD． 知识点02 异面直线所成的角 1.定义：设a，b是异面直线，过空间任一点O作∥a，∥b，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2.范围：. 【即学即练2-1】(25-26高一下·全国·课后作业)如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求异面直线所成的角 【详解】在正方体中，连接，则， 异面直线与所成的角等于所成的角，而， 所以所求角的大小为. 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·河南南阳·期末)如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，，则(   ) A． B．异面直线MN与AC所成的角为 C．四边形的面积为 D．沿正方体的表面从点到点的最短路线的长度为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、求异面直线所成的角 【分析】根据线线平行，异面直线所形成的夹角，梯形面积分别计算判断A、B、C选项，再将正方体的表面展开至面ABCD与面共面，求得点到点的最短路线. 【详解】对于A，取的中点，连接AE，如图(1)，由正方体的性质可知， 若，则，显然这与AE，AM相交于点矛盾，故A错误； 对于B，连接，如图(1)，可得，所以为异面直线MN与AC所成的角， 而 ，所以异面直线MN与AC所成的角为，故B正确； 对于C，易知四边形为等腰梯形，且， 则等腰梯形的高为，因此，故C正确； 对于D，如图(2)，若将正方体的表面展开至面与面共面， 则 ，若将正方体的表面展开至面ABCD与面共面， 则 ，故D错误. 故选：BC. 知识点03 等角定理 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【即学即练3-1】(22-23高一·全国·课后作业)两等角的一组对应边平行，则(    ) A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行 C．另一组对应边垂直 D．以上都不对 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】等角定理及其辨析 【分析】根据空间图形的平行关系求解即可. 【详解】两个等角的一组对应边平行，另一组边可以具有各种位置关系，并不能确定是哪一种关系， 故选：D 【即学即练3-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)两条相交直线与另两条相交直线对应平行，它们所成的锐角(或直角)相等吗？ 【答案】相等． 【难度】0.94 【知识点】等角定理及其辨析 【分析】由等角定理判断. 【详解】由“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补”的定理， 可知两组直线所成的角相等或互补。 又因为题干中所指的角为锐角(或直角)，所以它们只能相等。 题型01 基本事实4的应用 【典例1-1】(21-22高一·全国·课后作业)如图，空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则四边形是(        )    A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】平行公理 【分析】利用中位线定理和平行四边形判定定理分析判断 【详解】因为E，F，G，H分别是，，，的中点， 所以∥，，∥，， 所以∥且，可知四边形为平行四边形 故选：B 【典例1-2】(22-23高一下·全国·课后作业)如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，，，则下列结论中不正确的是(    )    A．当时，四边形EFGH是平行四边形 B．当时，四边形EFGH是梯形 C．当时，四边形EFGH一定不是平行四边形 D．当时，四边形EFGH是梯形 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】平行公理 【分析】由线段对应成比例可得线线平行，由平行线的传递性即可结合长度关系求解. 【详解】连接BD．因为，， 所以，且，，且． 若，则，四边形EFGH是平行四边形； 若，则，但，四边形EFGH是梯形． 故选:D．    【典例1-3】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且，，则下列结论不正确的是(    ) A．当时，四边形EFGH是平行四边形 B．当时，四边形EFGH是梯形 C．当时，四边形EFGH是平行四边形 D．当时，四边形EFGH是梯形 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】平行公理 【分析】利用平行分线段成比例的推论，结合平行线的传递性即可得解. 【详解】如图，连接BD，，且， 同理，且，， 当时，，此时四边形EFGH是平行四边形，故A正确，D不正确， 当时，，四边形EFGH是梯形，故B正确，C不正确. 故选：CD. 【典例1-4】(2024高一下·全国·专题练习)棱长为3的正四面体中，E，F分别是和的重心，则______，与的位置关系为______. 【答案】 1 平行 【难度】0.65 【知识点】平行公理 【分析】根据重心的性质得，三角形中位线的性质及平行公理可得结果. 【详解】连接并延长交于M，连接并延长交于H，连接， 因为E，F分别是和的重心，所以分别为中点， 所以，即 又，且，所以， 故答案为：. 【变式1-1】(24-25高一下·全国·周测)如图，在三棱锥中，分别是边的中点，且，那么四边形是(   ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平行公理 【分析】根据中位线定理和平行公里，利用平行关系转化，即可判断. 【详解】因为H，G分别是，的中点，所以，且， 同理，且 ，所以四边形是平行四边形， 同理，且，且，又， 所以，故四边形为菱形. 故选：C. 【变式1-2】(23-24高一下·内蒙古赤峰·月考)连接空间四边形四条边的中点，得到四边形，则是一个(　　) A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．空间四边形 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平行公理 【分析】连接，由中位线，得到，且，即可得证. 【详解】如图所示，在空间四边形中，分别为的中点，连接， 是的中位线，所以，且. 同理，且，且.四边形是一个平行四边形. 故选：C 【变式1-3】(24-25高一下·辽宁沈阳·月考)如图，A是所在平面外一点，M，N分别是和的重心，若，则MN的长为(    )    A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平行公理 【分析】若为的中点，连接，根据重心的性质，且，即可得. 【详解】由M，N分别是和的重心，则为三角形中线的交点， 若为的中点，连接，则分别在上，， 而，，故. 故选：A    【变式1-4】(24-25高一下·广东广州·期中)如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是(   )    A．相交 B．异面 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平行公理 【分析】连接，根据三角形中位线性质以及平行直线的传递性，即可判断答案. 【详解】如图，连接，则分别为的中点，则, 由分别是线段的中点，得，故, 故选：C 【变式1-5】(多选)(23-24高三上·河北石家庄·月考)如图，在正四棱柱中，为的中点，是棱上一点，则(    )      A．的最小值为 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】平行公理、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据侧面展开图、三角形中位线定理、余弦定理逐一判断即可. 【详解】A：将平面沿着展开到平面内， 则的最小值为，所以本选项不正确；      B：当是棱的中点时， ，，， 因为，所以，因此本选项正确；    C：当是棱的中点时，显然， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，因此本选项正确；  D：假设存在点，使得，设， 则有， 由余弦定理得，， 化简，得，或， 所以假设不成立，因此不存在点，使得，因此本选项不正确，    故选：BC 【变式1-6】(24-25高一下·上海浦东新·月考)在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形. 【答案】且 【难度】0.65 【知识点】平行公理 【分析】由题意得四边形为平行四边形，要使四边形为正方形即可得解. 【详解】由分别为中点，所以且， 同理且，所以且，所以四边形为平行四边形， 同理得，要使四边形为正方形，则且， 故答案为：且. 题型02 等角定理 【典例2-1】(24-25高二·上海·课堂例题)若两等角的一组对应边平行，则(    ) A．另一组对应边平行； B．另一组对应边不平行； C．另一组对应边也可能垂直； D．以上皆有可能． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】等角定理的应用 【分析】举例分析判断即可. 【详解】在长方体中，，两组对应边分别是平行， ，一组对应边平行，另一组对应边不平行，且垂直， 故选：D 【典例2-2】(21-22高一下·全国·课后作业)已知空间中两个角，的两边对应平行，且，则(    ) A． B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】等角定理的应用 【分析】根据等角定理即可确定大小. 【详解】由等角定理得：相等或互补，所以 或， 故选：D 【典例2-3】(多选)(23-24高一下·黑龙江·期中)下面四个命题中，正确的为(    ) A．相交于同一点的三条直线在同一平面内 B．在平面外，其三边延长线分别和交于，则一定共线 C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】等角定理的应用、空间中的点(线)共面问题、平面的基本性质及辨析 【分析】举例说明判断A；利用平面基本事实判断B；利用等角定理判断C；利用反证法判断D. 【详解】对于A，三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点，而这三条直线不共面，故A错误； 对于B，所在平面与平面相交，由平面基本事实知，公共点都在交线上，故B正确； 对于C，一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线,则这两角相等或互补，故C错误； 对于D，因为四个点不共面，假设其中任意三点共线， 由平面公理2的推论可得此四点共面，与已知矛盾，所以假设错误，故D正确. 故选：BD. 【典例2-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，分别为，，，，的中点.若，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平行公理、等角定理的应用 【分析】根据给定条件，利用三角形中位线的性质、平行公理及等角定理求解. 【详解】由分别是，的中点，得，同理， 则，，又的两边和的两边的方向分别相同， 因此，所以. 【变式2-1】(24-25高一下·全国·课后作业)若，且，与方向相同，则下列结论正确的是(    ) A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等角定理及其辨析 【分析】依题意画出图形，即可判断. 【详解】如图，，，与的方向相同， 但是与不平行， 如图，，，与的方向相同，此时且方向相同， 故与不一定平行，故D正确. 故选：D 【变式2-2】(24-25高一下·全国·课后作业)若，，且，则等于(    ) A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等角定理的应用 【详解】因为，，且，根据等角定理， 可得 或 ． 【变式2-3】(23-24高二·上海·课堂例题)如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形(    ) A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等角定理的应用 【分析】根据等角定理进行判断. 【详解】根据等角定理：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 两个三角形的两边分别平行，那么这两个三角形的三个角可能出现以下情况： (1)三组角对应相等，那么这两个三角形相似； (2)三组角中有一组对应角互补，如，，， 又，则 ， 所以，此时两个三角形相似； (3)三组角中有两组对应角互补，如，，， 由，则 ， 这与矛盾，故这种情况不会出现. (4)三组对应角都互补，即，，， 这与，矛盾，所以该情况也不会出现. 综上可知，两个三角形相似. 故选：B 【变式2-4】(20-21高一下·全国·课后作业)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1(　　) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等角定理的应用 【分析】利用已知条件判断线段和，线段和的位置关系即可求解. 【详解】因为E，F，G分别为，，的中点，所以∥,∥,∥， 所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行，一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反， 故∠EFG与∠ABC1互补. 故选：. 【变式2-5】(多选)(23-24高一下·新疆省直辖县级单位·月考)如图所示，在四面体中，M，N，P，Q，E分别是的中点，则下列说法正确的是(    ) A．四边形是菱形 B． C． D．四边形为矩形 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】棱锥中截面的有关计算、等角定理的应用 【分析】由由等角定理即可判断BC，由三角形的中位线即可判断四边形形状判断A，D. 【详解】由三角形中位线的性质知，，，， 所以，所以四边形为平行四边形，但不能确定是否为菱形或矩形，故AD不正确． 在中中位线定理得同理在中，由中位线定理得, 所以由等角定理知，，所以B正确; 在中，由中位线定理得，所以 , 所以由等角定理可知，，,, 所以，所以C正确; 故选：BC． 【变式2-6】(25-26高一下·全国·课前预习)若，且，则为________. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】等角定理的应用 【详解】根据空间中两个角的边分别平行时，两个角相等或互补即可得解. 根据空间中两个角的边分别平行时，两个角相等或互补，即与相等或互补 所以或. 题型03 异面直线辨析 【典例3-1】(24-25高一下·山东菏泽·期中)如果是空间中两条直线，下列说法正确的是 A．要么相交，要么平行 B．要么相交，要么异面 C．要么平行，要么垂直 D．不相交时，要么平行，要么异面 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据空间中直线的位置关系的类型可得正确的选项. 【详解】空间直线间的位置关系有相交，平行或异面，故D正确； 故选：D. 【典例3-2】(25-26高一下·全国·课后作业)下列说法中正确的是(   ) A．空间中没有交点的两条直线是平行直线 B．一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交 C．已知空间中四条直线a，b，c，d，如果，，且，那么 D．分别在两个平面内的直线是平行直线 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平行公理、异面直线的判定、异面直线的概念及辨析 【分析】由空间直线的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A：空间中没有交点的两条直线可能平行，也可能异面，故错误， 对于B，一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条可能相交，也可能异面，故错误， 对于C，因为，且，则，又，则，正确， 对于D，分别在两个平面内的直线，可能平行，也可能相交，也可能异面，故错误， 故选：C 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·江苏镇江·月考)如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则(   ) A．四点，，，在同一平面内 B．三条直线，，有公共点 C．直线与直线相交 D．直线上存在点使，，三点共线 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】空间中的点(线)共面问题、异面直线的概念及辨析、空间中的点共线问题、空间中的线共点问题 【分析】根据题意，由平面的基本性质分析A、B和D，由异面直线的定义分析C，综合可得答案． 【详解】根据题意，如图： 对于A，连接，则，而，分别为，的中点，则， 所以，所以四点，，，在同一平面内，故A正确； 对于B，延长，，则，相交于点，又平面， 平面，则平面，平面， 且平面平面，所以，即三条直线，，有公共点，故B正确； 对于C，直线为正方体的体对角线，所以直线与直线不可能在同一平面内， 所以直线与直线是异面直线，故C错误； 对于D，，，，均在平面内，连接，则与相交， 所以直线上存在点使，，三点共线，故D正确； 故选：ABD． 【典例3-4】(2007·上海·高考真题)在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知，是两个相交平面，空间两条直线、在上的射影是直线、，、在上的射影是直线，．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件：________． 【答案】，且与相交(或：，且与相交) 【难度】0.65 【知识点】充分条件、异面直线的概念及辨析 【分析】由异面直线的定义、充要条件的判断结合空间中点线面的位置关系即可得出答案. 【详解】当、是异面直线时，、在上的射影是直线、，可能平行或相交； 、在上的射影是直线、，可能平行或相交； 但当直线与直线，同时成立时，则可能平行； 而当直线与、直线与，均相交时，则与可能相交， 所以能确定与是异面直线的充分条件是，且与相交(或：，且与相交)． 故答案为：，且与相交(或：，且与相交) 【变式3-1】(23-24高一下·浙江嘉兴·期末)如图，下列几何关系表达正确的是(    )    A．，，m，n共面 B．，，m，n共面 C．，，m，n异面 D．，，m，n异面 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】异面直线的概念及辨析、判断图形中的线面关系 【分析】根据点线面的位置关系，正确应用数学符号即可判断. 【详解】因是直线，是点，故它们与平面的关系应该是 ， 而且从虚线看，m，n异面，故A, B，C均错误；故答案为D. 故选：D. 【变式3-2】(25-26高一下·全国·课后作业)在长方体中，与棱异面的棱有(   )条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】异面直线的判定、异面直线的概念及辨析 【分析】结合长方体的特征及异面直线的定义判断即可. 【详解】与异面的是4条棱． 【变式3-3】(24-25高一下·山东泰安·期末)如图，正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，，对于空间任意两点，，若线段上不存在线段与上的点，则称，两点“可透视”，则与点“可透视”的是(    ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据点、线、面的位置关系，在正方体中，易得，即四点共面，可得相交，也相交，另易得，即四点共面，同理可得相交，对于D，根据异面直线的判定可确定与、为异面直线即可判断. 【详解】连接， 在正方体中，分别为的中点，所以，即四点共面， 则平面，又不平行，所以相交，故A错误； 同理也相交，故B错误； 又分别为的中点，所以， 所以共面，又不平行，所以相交，故C错误； 平面，，所以为异面直线， 同理可知也是异面直线，所以线段上不存在线段与上的点，故D正确； 故选：D. 【变式3-4】(24-25高一下·陕西汉中·期末)下列命题正确的是(   ) A．三个点可以确定一个平面 B．用斜二测画法画等边三角形的直观图为等腰三角形 C．一个棱柱至少有五个面 D．如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】异面直线的概念及辨析、平面的基本性质及辨析、斜二测画法中有关量的计算、棱柱的结构特征和分类 【分析】当三个点位于同一直线时则不能确定一个平面可对A判断；等边三角形的直观图不为等腰三角形可对B判断；根据棱柱的知识可对C判断；当两条直线异面时也没有公共点即可对D判断. 【详解】A：当三个点位于同一直线时则不能确定一个平面，故A错误； B：如图，等边，设其边长为2，以边的中点为原点建立直角坐标系，在其直观图中， 在中由余弦定理可得， 同理可得 则，故B错误； C：因三棱柱有五个面，则可得所有的棱柱至少有五个面，故C正确； D：当两条直线异面时，这两条直线没有公共点且不平行，故D错误. 故选：C. 【变式3-5】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)(多选)直线，直线与相交，则直线，的位置关系可能是(    ) A．相交 B．平行 C．异面 D．在同一平面内 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】异面直线的判定、异面直线的概念及辨析 【分析】借助长方体，画图判断 . 【详解】如图，与相交或异面． 故选：ACD. 【变式3-6】(23-24高一下·北京顺义·期中)从正方体的12条面对角线中选出k条，使得这k条面对角线所在直线两两异面，则k的最大值为______． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】异面直线的概念及辨析、异面直线的判定 【分析】先依次选定第一条、第二条面对角线结合正方体结构特征进行分析即可求解. 【详解】如图，在面中选定一条面对角线， 由正方体结构特征剩余五个面内均只剩一条面对角线与异面， 但当继续选定第二条面对角线时， 面与面中与异面的直线均与面对角线相交，故不符合， 所以最终只剩最后两个面的对角线可以与和两两异面，故k的最大值为4. 故答案为：4. 题型04 异面直线的判定 【典例4-1】(24-25高一下·安徽·月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则直线AM与BN的关系是(   ) A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】异面直线的判定 【分析】判断直线与所成角不是直角，利用异面直线判定定理判定其为异面关系. 【详解】取中点R， 连接，则容易得到，， 则， 由题意得四边形为平行四边形，则，则是直线AM与BN夹角或其补角. 设正方体棱长为，则，， ，则， 则为锐角，不是直角，则直线AM与BN不垂直. 因为平面，平面，平面，，所以为异面直线， 综上所得，与异面且不垂直. 故选：C. 【典例4-2】(25-26高一下·福建厦门·月考)如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是(   )． A．E，F，G，H四点共面 B．与是异面直线 C．，，三线共点 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间中的点(线)共面问题、空间中的线共点问题、异面直线的判定 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点，连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，，所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点，由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出，所以D不一定正确. 【典例4-3】(多选)(24-25高一下·吉林白城·期末)已知是正方体，则下列结论正确的是(    ) A．直线与是异面直线 B．与所成的角为60° C． D．直线与所成的角为60° 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、证明异面直线垂直、异面直线的判定 【分析】由异面直线的判定判断A；证得线线平行判断B；由异面直线垂直判断C；求出异面直线所成角判断D. 【详解】对于A，平面，点平面，，而平面， 直线，直线与是异面直线，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，由选项B同理得，而，则，C正确； 对于D，连接，，则或其补角为异面直线与所成的角， 又为正方体的面对角线，即，， 因此异面直线与所成的角为，D正确. 故选：ACD 【典例4-4】(23-24高二上·上海浦东新·月考)已知是单位正六棱柱(即所有的棱长都是1，如图所示)，黑、白两个蚂蚁同时从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.黑蚂蚁爬行的路线是，白蚂蚁爬行的路线是.它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在的直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑、白两蚂蚁走完2023段后各停留在正六棱柱的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】异面直线的判定、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据已知条件先分析出黑、白蚁路线的规律，然后考虑走完2023段相当于走了多少个周期，从而确定出最终位置即可求解出黑、白两蚁的距离. 【详解】因为蚂蚁爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线，则黑蚂蚁爬行的路线是 ， 因此每隔18段后回到点，并重复按原来线路爬行， 而，于是黑蚂蚁走完2023段后停留在正六棱柱的点处，白蚂蚁爬行的路线是 ， 因此每隔18段后回到点，并重复按原来线路爬行， 于是白蚂蚁走完2023段后停留在正六棱柱的点处，显然是正六边形的外接圆直径， 即，则，所以黑、白两蚂蚁的距离是. 故答案为： 【变式4-1】(23-24高一下·河北·期中)如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据正方体展开图得到直观图，即可判断. 【详解】由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线是异面直线的是， 其中，所以与共面、与共面、与共面． 故选：C 【变式4-2】(25-26高一下·吉林·月考)已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是(   ) A．若，，则 B．若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C．若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D．若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平行公理、异面直线的判定 【详解】对于A，由平行的传递性知A正确； 对于B，如图①，在正方体中， 当，时，与相交； 当，时， ； 当，时，与异面； 所以由，可得a与c可能相交、平行或异面，故B正确； 对于C，若 a ，b 分别在两个相交平面内，如图所示， 可知这两条直线可能平行、相交或异面，故C正确； 对于D，如图①，在正方体中， 与相交，与异面，此时与平行； 与相交，与异面，此时与相交； 与相交，与异面，此时与异面； 所以a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误. 【变式4-3】(2025高一下·全国·专题练习)如图是正四面体的平面展开图，DM，CN分别是，的中线，以下说法正确的是(    ) A． B．DM与CN为异面直线 C．若，则异面直线的距离为 D．异面直线与所成角为 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】异面直线的判定、求异面直线的距离、求异面直线所成的角 【分析】还原成正四面体，利用反证法可判断AB；连接，可证平面，可证，同理可得，计算可判断C；取中点，连接，可得异面直线与所成角为(或其补角)，计算求解即可. 【详解】还原成正四面体，如图， 对于AB，假设，则四点共面，又上，与共面， 从而共面，这与为正四面体矛盾，故A错误， 假设不异面，则可得共面，记为平面， 又，，所以平面，平面， 故共面，这与为正四面体矛盾，故B正确． 对于C，连接，由三线合一，得， 从而平面，又平面，． 同理可证，为异面直线的公垂线段． 在中，，，，故C错误． 对于D，取中点，连接，则//，，//，， 异面直线与所成角为(或其补角)，在中，，， ，为等腰直角三角形，异面直线与所成角为，故D错误． 故选：B． 【变式4-4】(24-25高一下·河北承德·月考)下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间中的点(线)共面问题、异面直线的判定 【分析】根据线线平行得出四点共面分别判定A，B，C，根据异面直线判定D. 【详解】在A中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，所以，因为， 所以是平行四边形，所以，所以，∴四点共面． 在B中，取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，可得交于直线延长线上一点， ∴P，N，R，S四点共面，设为，因为，∴P，Q，N，S四点共面，设为. ∵都经过不共线的P，N，S三点，∴与重合，∴P，Q，R，S四点共面． 在C中，P，Q，R，S分别是所在棱中点，所以，所以，∴P，Q，R，S四点共面． 在D中，连接，如图②，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴P，Q，R，S四点不共面．故选：D. 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·广东揭阳·月考)如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是(    ) A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为30° D．四边形的面积为 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线的判定 【分析】根据即可由异面直线的定义判断A B；根据得到为异面直线所成角可判断C；根据题设条件依次求出所需的量再直接计算求解即可D. 【详解】对于AB，连接，取中点，连接， 由正方体结构性质可知，即四边形是平行四边形， 所以且，又且， 所以且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，又， 所以直线与不是平行直线，直线与是异面直线，故A错误，B正确； 对于C，连接，为直线与所成的角， 而，故，可得直线与所成的角，故C错误； 对于D，，四边形为等腰梯形， 因为正方体的棱长为2，所以， 所以等腰梯形的高为，所以，故D正确； 故选：BD 【变式4-6】(2023·上海嘉定·一模)如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 【答案】5 【难度】0.4 【知识点】异面直线的判定 【分析】作出辅助线，得到四点共面，不是异面直线，同理得到与共面，再由，与相交，得到与不是异面直线的面对角线，从而得到与异面的面对角线，求出答案. 【详解】连接，因为六边形为正六边形，所以， 故，所以四点共面，不是异面直线， 同理可得：与共面，不是异面直线， 而，又与相交， 故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为， 其余面对角线均与异面，分别为，共5条. 故答案为：5 题型05 异面直线的距离 【典例5-1】(24-25高二·上海·课堂例题)两条异面直线之间的距离是(    ) A．和两条异面直线都垂直相交的直线； B．和两条异面直线都垂直的直线； C．它们的公垂线的两个垂足之间的线段长； D．两条直线上任意两点间的距离． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求异面直线的距离 【分析】根据异面直线的距离定义即可求解. 【详解】两条异面直线的距离即为它们的公垂线夹在垂足间的线段的长， 故选：C. 【典例5-2】(24-25高二上·福建泉州·期中)三棱锥中，，，，，分别是两条相对棱上的动点，则最小距离为(   ) A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求异面直线的距离 【分析】由题意三棱锥的对棱相等，可构造长方体使三棱锥的棱长为长方体的面对角线，求出长方体棱长，再当分别为两条棱的中点时，最小，求出即可； 【详解】由题意可得，三棱锥的对棱相等，可构造长方体，使三棱锥的棱长为长方体的面对角线， 设长方体的长宽高分别为，则，解得， 由于对棱为异面直线，所以为异面直线间的公垂线时最小， 由长方体的性质可得当分别为两条棱的中点时最小，此时， 故选：A. 【典例5-3】(24-25高二·上海·随堂练习)已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是________． 【答案】a 【难度】0.94 【知识点】求异面直线的距离 【分析】由正方体性质结合异面直线公垂线定义即可得解. 【详解】由正方体性质可知分别与、垂直， 故是与的公垂线段，所以与之间的距离为. 故答案为：. 【典例5-4】(24-25高二·上海·随堂练习)如图，已知长方体中，，，，则异面直线与距离是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求异面直线的距离 【分析】根据正方体的性质找出异面直线的公垂线，即可求出异面直线的距离； 【详解】因为平面， 则异面直线与距离是过作的垂线即的边上的高，， 则， 故答案为： 【变式5-1】(2026·甘肃·二模)正四面体的棱长为2，点分别在棱上，则线段长度的最小值为(    ) A．1 B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求异面直线的距离 【详解】如图，将正四面体放于正方体中，使分别为相对两面的对角线， 由于异面直线间公垂线段最短， 当分别为的中点时，易知为的公垂线，且其长度等于正方体的棱长， 由图可知正方体的棱长为，则线段长度的最小值为. 【变式5-2】(22-23高二上·重庆·期中)如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、求异面直线的距离 【分析】取的中点F，连接，，利用线面平行的性质即可得到平面，进而得到异面直线与的距离，即为点P到直线距离的最小值． 【详解】 如图所示，取的中点F，连接，，∵，底面，∴四边形是矩形，∴， 又平面，平面，∴平面， ∴直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离， 过点作，∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面， 过点M作交于点P，则， 取，连接，则四边形是矩形．可得平面， 在中，，得， ∴点P到直线的距离的最小值为． 故选：B． 【变式5-3】(多选)(21-22高二上·重庆石柱·月考)如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是(    ) A．直线BC与平面所成的角等于 B．点到平面的距离为 C．异面直线和所成的角为. D．线段长度的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】求异面直线的距离、求异面直线所成的角、求点面距离、求线面角 【分析】根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法进行逐项判断. 【详解】由题意得：正方体的棱长为2 对于选项A：连接，设交于O点 平面 即为直线BC与平面所成的角，且，故A正确； 对于选项B：连接，设交于O点，，平面 点到平面的距离为,故B正确； 对于选项C：连接、，由正方体性质可知∥ 故异面直线和所成的角即为和所成的角 又，为等边三角形。，故C错误； 对于选项D：过作，过作，连接PQ 为异面直线之间的距离，这时距离最小； 设，为等腰直角三角形，则， 也为等腰直角三角形，则 为直角三角形，故 当时，取最小值，故，故D正确； 故选：ABD 【变式5-4】(23-24高二上·上海黄浦·期中)已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求异面直线的距离 【分析】由题意直线与的距离，即为点到的距离，然后求出点到的距离即可． 【详解】在正方体中，平面， 所以直线与的距离即为点到的距离， 又因为正方形的对角线为，且，所以点到的距离为， 即异面直线与之间的距离是.故答案为：． 【变式5-5】(23-24高二上·上海普陀·期中)已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求异面直线的距离 【分析】由定义说明是异面直线与所成角或其补角，然后计算． 【详解】因为，所以是异面直线与所成角或其补角， 在直角中，，，故答案为：．    【变式5-6】．(24-25高二上·广东汕头·期中)在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为______． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】求异面直线的距离 【分析】将该四面体放置于长方体中，列方程求出长方体长宽高，再转化为求异面直线距离即可. 【详解】如图，将四面体放入长方体中，分别为矩形的中心， 设，，，则，，， 得，，．由图易知直线与异面，则线段长度的最小值即为求两异面直线距离， 即长方体的二平行平面间的距离. 故答案为：3 题型06 求异面直线的角 【典例6-1】(24-25高一下·贵州毕节·期末)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则直线与所成角的大小为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】还原正方体，根据直线夹角的定义可得解. 【详解】还原正方体可知点与点重合，如图所示，设正方体棱长为，则， 即为等边三角形，即，所以直线与所成角为， 故选：C. 【典例6-2】(25-26高一上·河北唐山·月考)在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】延长到点，使，连接,可得(或其补角)就是异面直线 与所成的角. 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，(或其补角)就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理：, 所以 ​ 在中， 由余弦定理： 【典例6-3】(多选)(24-25高一下·福建莆田·期中)如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则() A．动点的轨迹是一条线段 B．直线与的夹角为 C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D．平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、求异面直线所成的角 【分析】对于A，过做一个平面，使得该平面与平面平行，该平面与正方体左侧面的交线段即为动点的轨迹；对于B，或其补角为异面直线与的夹角，在三角形中求角即可；对于C，由A知平面，故点到平面的距离为定值，又的面积为定值，进而体积为定值；对于D，取的中点，连接，则四边形为为正方体的截面，计算边长即可求面积. 【详解】对于A，如图：分别取的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得，且平面，平面， 所以平面，同理可得：平面， 且平面，所以平面平面， 而平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，故A正确； 对于C，由A可知的轨迹为线段，平面平面，所以平面， 所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积是定值，不会随点的运动而变化，故C错误； 对于B，如图：连接，，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角为异面直线与的夹角， 因为为正方体，，都为面对角线，所以， 所以为等边三角形，所以，故B正确； 对于D，如图：取的中点，连接，取的中点，连接， 易知且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且. 同理可证四边形也为平行四边形，所以且， 所以且. 所以四点共面，即四边形为为正方体的截面，，同理可求得四边形为的其它边长也为， 故该四边形为为棱形，对角线，， 故该棱形的面积为，故D正确. 故选：ABD 【典例6-4】(25-26高二上·陕西西安·期中)如图，已知正方体的棱长为2，点，，，，分别为线段，，，，的中点，连接，，，，，，，则下列正确结论的序号是_____． ①点，，，不在同一个平面内；②直线，，交于同一点； ③直线与直线所成角的余弦值为． 【答案】②③ 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、空间中的线共点问题、空间中的点(线)共面问题 【分析】连接，则四边形是平行四边形，进而，即可判断①；连接，延长交于点，延长交于点，则，即可判断②；取的中点，连接，为直线与所成角的平面角，利用余弦定理解三角形即可判断③. 【详解】①连接，则且， 所以四边形是平行四边形，得，所以， 所以点在同一个平面内，故①错误； ②连接，则且，所以四点共面，延长交于点，则； 连接且，所以四点共面，延长交于点，则， 所以两点重合，则直线交于同一个点.故②正确； ③取的中点，连接，则且， 所以四边形为平行四边形，得，所以为直线与所成角的平面角， 在中，， 由余弦定理得，即直线与所成角的余弦值为，故③正确. 故答案为：②③ 【变式6-1】(24-25高一下·广东广州·期末)在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为(    )． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】利用正方体的性质，通过平移即可得就是直线与所成的角或其补角，通过计算即可求解. 【详解】由正方体的性质可知：，所以就是直线与所成的角或其补角， 由正方体的性质可知：平面，平面，所以， 假设正方体的棱长为，则，所以有， 因为为锐角，所以， 故选：A. 【变式6-2】(24-25高一下·山东聊城·期末)已知正四棱锥的所有棱长均相等，则直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为(    ) A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、正棱锥及其有关计算 【分析】确定直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角的大小，再进行判断即可. 【详解】如图：因为四棱锥是正四棱锥，且所有棱长均相等. 所以，故C可能成立； 在中，，，所以BD可能成立； 与其余的棱或对角线都不能成，故A不可能成立. 故选：A 【变式6-3】(25-26高一下·全国·课堂例题)在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据题意得该直四棱柱为长方体，平移直线找到异面直线所成角，结合直角三角形求解即可. 【详解】由题意直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体.连接. 因为四边形为矩形，则，所以或其补角即为异面直线与所成角， 长方体中，平面，因为平面，所以. 因为，且，则， 在中，，因此，异面直线与所成角的余弦值为. 【变式6-4】(24-25高一下·吉林长春·期末)如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN 所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】连接，取的中点为，连接，则得，即异面直线AM和CN 所成角或其补角，求出相关边长，借助于，利用余弦定理即可求得. 【详解】如图，连接，取中点为，连接，因M、N分别是BC与AD的中点，故， 则即异面直线AM和CN 所成角或其补角，又因正四面体，则， 则，易知，则， 在中，由余弦定理，. 故选：A. 【变式6-5】(多选)(21-22高一下·福建泉州·月考)如图，正方体的棱长为4，则下列命题正确的是(　　)    A．两条异面直线和所成的角为45° B．若分别是的中点，过三点的平面与正方体的下底面相交于直线，且，则 C．若平面，则平面截此正方体所得截面面积最大值为 D．若用一张正方形的纸把此正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是128 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】棱柱及其有关计算、求异面直线所成的角、判断正方体的截面形状 【分析】A选项，找到异面直线所成的角，并求出角度；B选项，画出图形，找到直线和P点，求出PB的长；C选项，画出平面截此正方体所得面积最大的截面，求出面积；D选项，画出图形，找到所需纸的面积最小的图形，求出面积 【详解】对于选项A：连接，，， ∵∥，∴∠或其补角为异面直线和所成的角， 又∵＝＝＝，∴∠＝，故A不正确； 对于选项B：连接并延长交于点，连接即为直线即 由△和△全等得:，∴为的中点 又∵∥，∴，∴，故B正确； 对于选项C：如图取的中点，并依次连接， 得到正六边形，此时可证明出平面，且平面截此正方体所得正六边形截面面积最大， ，故C正确； 对于选项D：如图①为棱长为4的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②(图中数字“1”表示正方体的4个侧面)所示，由图知正方形的边长为8，其面积为128，故D正确． 故选：BCD 【变式6-6】(23-24高三下·全国·强基计划)四面体中，，，，求与所成角的余弦值的取值范围________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】空间中距离和角的计算、求异面直线所成的角 【分析】根据几何关系求的范围，再通过平行关系构造异面直线所成的角，根据余弦定理，即可求解. 【详解】如图，取，分别为，的中点． ，， ，所以， 在中，，当，重合时取等． 过作于，设，则,即， 即，得．所以．当，，，共面时取等． 取中点，则，，所以所求的角即为或其补角， 于是 由知，于是， 所以与所成角的余弦值的取值范围为 故答案为： 题型07 已知异面直线的角求其它 【典例7-1】(21-22高一·全国·课后作业)在空间四边形ABCD中，，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于(　　) A．15° B．30° C．75° D．15°或75° 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求异面直线所成的角、由异面直线所成的角求其他量 【分析】根据线线平行可得异面直线所成角的角，即可分情况求解. 【详解】如图，设G是AC的中点，分别连接，由已知得，所以是所成的角或是其补角．      因为，所以 当时，AB和EF所成角， 当时，AB和EF所成角. 故选：D 【典例7-2】(25-26高二上·河北·月考)在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为(    ) A． B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】分别取，中点，，可证为平行四边形，结合异面直线夹角的平面角可得平行四边形的各顶角，结合余弦定理可得. 【详解】如图所示，分别取，中点，，连接，，，，， 则，，，，且，， 所以四边形为平行四边形， 又异面直线，夹角为，或， 当时，在中由余弦定理得 ，即； 当时，在中由余弦定理得 ，即， 故选：D. 【典例7-3】(多选)(24-25高一下·江西南昌·期末)如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为(    )    A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得. 【详解】取的中点为，连接，，如图： 在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得， ， 得. 当时，由余弦定理得， ， 得. 综上所述，或. 故选：CD 【典例7-4】(20-21高一下·湖北·期末)在中，是边上动点，设，把沿翻折为，若存在某个位置，使得异面直线与所成的角为，则实数的取值范围是________．    【答案】 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、由异面直线所成的角求其他量、正弦定理解三角形 【分析】沿翻折为，则是以为轴截面的圆锥的母线，过点C作， 则与AD所成的角等于与CE所成的角， 设，则，，利用正弦定理进行求解即可． 【详解】在中，则， 沿翻折为，则是以为轴截面的圆锥的母线， 其中，共线，为圆锥的轴，与不重合，如图，    过点C作，则与AD所成的角等于与CE所成的角， 设，易知， 如图，若存在某个位置，使得异面直线与所成的角为，则， ∴，又，∴，， 在中，由正弦定理得，∴，∴， 又，∴，即实数的取值范围是 故答案为：． 【点睛】方法点睛：立体几何中取值范围与最值问题，一般可从三个方面处理解决：一是函数法，即根据题中信息直接建立函数关系式，或通过空间向量的坐标运算建立函数关系式，转化为函数的最值问题求解，最后根据函数的形式，选择利用函数的性质、基本不等式或导数求最值；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断求解；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解． 【变式7-1】(23-24高三上·河北邯郸·月考)如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则(    ) A．1 B． C．1或2 D．2或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、求异面直线所成的角 【分析】过点作平面于点，则是母线，则或，分类讨论即可求解. 【详解】如图，过点作平面于点，则是母线， 连接底面，，则四边形是平行四边形，， 与所成的角就是或其补角． 当时，是等边三角形，，在中，； 当时，在中，，在中，． 综上，或. 故选：D． 【变式7-2】(24-25高二上·重庆长寿·月考)如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为(    ) A． B．4 C．6或 D．4或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、余弦定理及辨析 【分析】由题意作图，利用分类讨论，根据线面垂直判定以及线线角定义，结合余弦定理与勾股定理，可得答案. 【详解】过作直线，使得，在直线上取，连接，如下图： 因为，且，所以， 因为，，设，所以， 因为，且，所以，，则， 由图可知，则， 因为异面直线所成的角为，且，所以或， 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得； 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得. 故选：C. 【变式7-3】(23-24高一下·宁夏固原·期末)在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、异面直线所成的角的概念及辨析、求异面直线所成的角 【分析】利用异面直线夹角的定义即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接， 易知，，且，， 故，且是异面直线与所成角或其补角，所以或， 所以异面直线与所成角为或其补角， 当时，；当时，， 所以直线与所成角的大小为或     故选：C  【变式7-4】(23-24高二上·上海奉贤·期中)若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点，经过点分别作， 设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 所以当射影在所成锐角的平分线上时，与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时，与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故选：D. 【变式7-5】(多选)(21-22高二上·重庆万州·月考)已知正方体，点是棱的中点，设直线为，直线为，则下列判断正确的是(    ) A．过点有且只有一条直线与，都相交 B．过点有且只有一条直线与，都垂直 C．过点只有两条直线与，都成角 D．过点只有两条直线与，都成角 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】A若是中点，连接并延长交于，连接，易得均共面且不在该平面上，由两个相交的平面有交线则有且只有一条即可判断正误；B应用正方体的性质有面，又、面、在上，结合过一点与平面垂线有且只有一条即可判断正误；C、D首先确定过直线与成或时另一个点在面上轨迹，再应用数形结合判断该轨迹上的点与的所有连线中与成或时位置，即可判断正误. 【详解】若是中点，连接并延长交于，连接，则， ∴连接并延长交于，则均共面且不在该平面上， 由题设，相交直线所成面与相交直线所成面有且只有1条相交直线， ∴过点有且只有一条直线与，都相交，如图直线，故A正确； 由，而，又面，又在上， 过一点有且只有一条直线与平面垂直：故过点只有垂直于面. 由面，知：，即， ∴过点有且只有一条直线与，都垂直，如图直线，故B正确； 如下图：要使过直线与成，即过直线与成即可， ∴为圆心，正方体棱长为半径在面上画圆，则圆上点与的连线均与成，而同时要使过直线与成，即与成即可， 如上图，与上图中圆上虚线部分点的连线有1条与成，根据对称性知：另一侧也有1条与成，过共2条直线与，都成角，故C正确； 同理，要使过直线与成，即过直线与成即可， ∴为圆心，正方体棱长的倍为半径在面上画圆，则圆上点与的连线均与成， 而同时要使过直线与成，即与成即可， ∵与的连线分别与成、，故在上必有一点与连线与成， ∴由圆的对称性知：圆上共有4个这样的点，故过点有4条直线与，都成角，故D错误. 故选：ABC 【变式7-6】(2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测)已知四棱柱中，底面是边长为的菱形且，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】根据四棱柱的性质可得点的轨迹是以为轴的圆锥的侧面与四棱柱的表面的交线，分析点在各平面的轨迹，计算轨迹长度可得结果. 【详解】∵，直线与所成的角为，∴直线与所成的角为， ∴点的轨迹是以为轴(其中为顶点)，母线与轴所成角为的圆锥的侧面与四棱柱的表面的交线． 如图，在线段和上分别取点，使得，连接， ∵在四棱柱中，底面，∴平面， ∵平面，∴， ∴，故， ∴点在四边形与四边形上的运动轨迹为线段和， 且. 当在四边形上运动时，其轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧， 故点在四边形上运动的轨迹长度为， 综上得，点的轨迹长度为． 故答案为：. 一、单选题 1.(2024高一下·全国·专题练习)直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】证明异面直线垂直 【分析】由已知直三棱柱的结构特征，列举与AC垂直且异面的棱即可. 【详解】直三棱柱中，，则与AC垂直且异面的直线有和. 故选：B. 2.(24-25高一下·河北邢台·期中)如图，这是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下四个结论：①；(2)；(3)；(4).其中正确结论的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】证明异面直线垂直、求异面直线所成的角 【分析】画出正方体，由正方体的性质可得. 【详解】原正方体如图所示，由正方体的性质可知相交，， 则，则四边形为平行四边形，则； 因为等边三角形，则， 又空间内两条直线的夹角范围为，则直线与所成的角为； 因且，则，则①③错误，②④正确. 故选：B. 3.(24-25高一下·全国·课后作业)下列结论正确的是(    ) A．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行 B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C．空间四边形的两条对角线可以相交 D．空间四边形的两条对角线不相交 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质及辨析、异面直线的概念及辨析、等角定理的应用 【分析】运用等角定理，平面性质，点共面共线等知识逐个判断. 【详解】若两个角相等，它们的两边不一定分别平行.比如一个角的两边与另一个角的两边方向相反时，两角相等但两边不平行，所以A选项错误. 空间四边形的定义就是四个顶点不共面的四边形，如果四个顶点在一个平面内，那就变成平面四边形了，所以B选项错误. 空间四边形的四个顶点不共面，若两条对角线相交，那么四个顶点就会共面，这与空间四边形的定义矛盾，所以C选项错误. 由空间四边形的定义可知，其四个顶点不共面，所以两条对角线不相交，D选项正确. 故选：D. 4.(24-25高一下·湖北·期末)正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则下列图形中与是异面直线，且所成的角为的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线的判定 【分析】利用异面直线的定义结合异面直线所成角的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，连接、、，如下图所示： 在正方体中，因为、分别为、的中点，所以， 同理可证，由图可知，、为异面直线， 因为，，故四边形为平行四边形， 故，则， 因为四边形为正方形，所以，故，A不满足要求； 对于B选项，连接、、、，如下图所示：由图可知，直线、为异面直线， 因为、分别为、的中点，所以，同理可得， 因为，，故四边形为平行四边形，故， 所以，异面直线、所成角等于或其补角， 在正方体中，易知为等边三角形，故， 故异面直线、所成角为，B满足要求； 对于C选项，连接、、，如下图所示： 在正方体中，，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为、分别为、的中点，所以，故， 所以，、共面，C不满足要求； 对于D选项，在正方体中，取棱的中点，连接、、， 由图可知，直线、为异面直线，因为、分别为、的中点， 所以，同理可证，故，故异面直线、所成角为或其补角， 因为，，、分别为、的中点， 所以，，故四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，故平面，因为平面，故， 不妨设正方体的棱长为，则，， 所以，故，D不满足要求. 故选：B. 5.(23-24高二上·四川成都·期中)已知正四棱锥的所有棱长均为为的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为______． 【答案】/0.5 【难度】0.65 【知识点】求异面直线的距离 【分析】分析证明为异面直线的公垂线段，由此可求动点M到直线BE的距离的最小值即可. 【详解】因为为等边三角形，为的中点，所以， 由已知，，，所以，所以， 所以为异面直线，的公垂线段，所以的长为动点M到直线BE的距离最小值， 所以动点M到直线BE的距离最小值为. 故答案为：. 6.(25-26高二上·上海·月考)已知S是正方形ABCD所在平面外一点，连接SA，SB，SC，SD，AC，BD，则在所有的10条直线中，异面直线共有(   ) A．8对 B．10对 C．12对 D．14对 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据异面直线的定义求解即可. 【详解】和，和，和，和，和，和， 和，和，和，和，和，和，共有以上12对异面直线. 故选：C. 7.(22-23高一下·海南海口·期末)在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个二面角，且使得，则异面直线与所成的角为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、等角定理的应用、求异面直线所成的角 【分析】根据三角形中位线的性质，作出异面直线的夹角，根据余弦定理求出三角形的边长，再根据余弦定理，求出异面直线夹角的余弦值，进而求出异面直线夹角. 【详解】如图所示，作的中点，连接， 因为是的中点，根据三角形中位线定理可知， 在中，，且， 所以直线的夹角，就是异面直线与所成的角， 因为，所以根据勾股定理可知， 因为，所以，由，所以， 因为，则在中，所以， 因为，所以在中，即， 因为，所以在中，所以， 因为，所以在中，即， 可得，所以在中， 所以，因为异面直线与所成的角在上，所以异面直线与所成的角为. 故选：B. 8.(25-26高二上·广西崇左·月考)我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形的六面体(如图)，现从某城楼中抽象出一几何体，其中是边长为的正方形，为矩形，上、下底面与左、右两侧面均垂直，，，，且平面与平面的距离为，则异面直线与所成角的余弦值为(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】棱柱及其有关计算、求异面直线所成的角、棱柱的结构特征和分类、余弦定理解三角形 【分析】补形为正方体，利用正方体的性质以及异面直线所成角的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】如图，把此六面体补成正方体，连接AH，AC， 由题可知，所以是异面直线与所成角或其补角， 在中，，，， 则． 故选：A 二、多选题 9.(23-24高一下·四川成都·期末)已知是两条不同的直线，是平面，若 ，则的关系可能为(    ) A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】异面直线的概念及辨析、平行公理 【分析】根据平行、垂直、相交和异面的性质即可求解. 【详解】如图，在正方体中， 若是平面，为，为，此时与平行，故A正确； 在正方体中，若是平面，为，为，此时，故B正确； 若 ，不可能与垂直和相交，故C错误； 在正方体中，若是平面，为，为，此时与异面，故D正确. 故选：ABD. 10.(24-25高一下·浙江温州·期末)如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点P，Q分别是线段AB，GH上的动点，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的有(    ) A．线段AB与GH所在的直线是异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．存在点，使得 D．记点到平面ABC的距离为，则的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角 【分析】把正方体的展开图还原为正方体，画出直观图，由异面直线的判断方法判断A，由体积公式判断B，利用余弦定理判断C，利用平面展开图判断D. 【详解】根据正方体的展开图画出该正方体的原图，如下图所示： 对于A：线段AB与GH所在的直线既不平行也不相交，故A错误； 对于B：因为的面积为定值，点到平面的距离也为定值， 根据三棱锥体积公式可知三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C： 如图，连接，则，设，由余弦定理可得 ， 而，由余弦定理可得， 故 ，故始终为钝角，故C错误. 对于D：取的中点为，连接，过作，垂足为， 由正方体的性质可得平面，而平面， 故，故，故平面，故为到平面的距离， 将平展到一个平面中，如图所示，在直角三角形中， 斜边，故，故， 故的最小值即为到直线的距离，该距离为，故D正确. 故选：ABD. 11.(21-22高一下·安徽合肥·期末)正方体中，下列说法正确的是(    ) A．在空间中，过作与夹角都为60°的直线可以作4条 B．在空间中，过作与夹角都为45°的直线可以作4条 C．棱的中点分别为E，F，在空间中，能且只能作一条直线与直线，，都相交 D．在空间中，过与直线，，夹角都相等的直线有4条 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】对于选项A、B、D，通过直线在空间中的位置关系进行判断； 对于选项C，可以找到不止一条直线与都相交. 【详解】记过且与夹角都相等的角为，则，夹角都为60°的直线有4条，A正确；夹角都为45°的直线有2条，所以B错误； 过与直线，CD，夹角都相等的直线有4条，所以D正确； 如图所示，直线分别延长之后与，，都相交；事实上，可以在直线CD上任取一点，都可以作出一条直线与，EF都相交的直线，所以可以作无数条，故C错误． 故选：AD. 【点睛】本题借助正方体考查空间中直线与直线所成的角和直线与直线的位置关系，解答此类题目时，可以从以下两个角度思考： (1)在正方体(或其它特殊几何体)中，找到符合要求的直线，即可对选项作出判断； (2)空间中与两条直线所形成的角度相等的直线，构成两个平面，在这两个平面上寻找符合要求的直线即可. 三、填空题 12.(22-23高一·全国·单元测试)已知E、F、G、H分别为空间四边形四条边AB、BC、CD、DA的中点，若，则______． 【答案】36 【难度】0.65 【知识点】平行公理 【分析】由题意得到四边形EFGH为平行四边形，再利用余弦定理求解即可. 【详解】解：因为E、F分别为空间四边形边AB、BC的中点， 所以且，同理 且，， 所以且，所以四边形EFGH为平行四边形， 又，由余弦定理得， ， 因为，所以， 所以. 故答案为：36. 13.(25-26高二上·全国·期中)在正方体中，过点作直线与异面直线和所成的角均为，则的取值范围为____________. 【答案】 【难度】0.25 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据异面直线所成角的定义求解. 【详解】如图，因为，所以或其补角为异面直线和所成的角. 因为，所以是等边三角形，所以， 过点作直线的平行线，则当与的角平分线平行时，取得最小值为， 故的取值范围为， 故答案为：. 14.(22-23高二下·上海浦东新·开学考试)已知异面直线所成角为，直线与均垂直，且垂足分别是点.若动点，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是__________; 【答案】 【难度】0.15 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】构造线段的中垂面，求得点的轨迹，从而求得的轨迹围成的区域的面积. 【详解】设线段的中垂面为，则的轨迹在平面内， 在平面内分别作直线的投影，则两直线的夹角为， 设在平面的投影为，设在平面内的投影为，则为的中点， 所以， 因为，所以， 在直线上分别取点四点，使得， 因为，所以， 过作交于，则，所以的中点在上， 同理可得在上，所以的轨迹是矩形， 因为，， 所以. 故答案为： 【点睛】求解空间异面直线所成角有关的问题，关键点在于如何利用两异面直线所成的角，根据异面直线所成的角的概念，可在空间一点作两条异面直线的平行直线，从而可得异面直线所成角. 四、解答题 15.(24-25高一下·全国·课后作业)在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：    (1)四边形为平行四边形；(2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】空间中的点(线)共面问题、等角定理的应用、平面的基本性质及辨析 【分析】(1)根据梯形中位线的性质得到且，即可证明； (2)依题意折叠前，，即可得到折叠后，，根据空间等角定理即可证明. 【详解】(1)因为在梯形中，，，分别为，的中点， 所以且， 又，，所以． 因为，分别为，的中点， 所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形． (2)折叠前，且，， 折叠后，， 所以与的对应边平行且方向相同， 所以． 16.(24-25高一下·湖北·期末)如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是棱，，，的中点. (1)求证：E，F，G，H四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线(不必说明画法和理由)；(2)求证：，，三线共点. 【答案】(1)证明及作图见解析；(2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】平行公理、空间中的点(线)共面问题 【分析】(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行，通过证明与都平行于正方体中的某条棱，进而证明，E，F，G，H四点共面； (2)通过分别找出与延长线的交点，与延长线的交点，证明这两个交点重合. 【详解】(1)如图①，连接，，，因为E，H分别是棱，的中点，所以， 又F，G分别是棱，的中点，所以，故，所以E，F，G，H四点共面. 平面与该正方体各面的交线如图①(多边形)所示. (2)如图②，易知，且，所以与必相交，设交点为P， 又由，平面，得平面，同理平面， 又因为平面∩平面，所以， 所以，，三线共点. 17.(22-23高一·全国·单元测试)如图所示，在四面体中，E、F分别是线段AD、BC上的点，． (1)求证：直线与是异面直线；(2)若，，求、所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2)60° 【难度】0.65 【知识点】异面直线的判定、求异面直线所成的角 【分析】(1)为上靠近的三等分点，易证四点共面(面)，结合异面直线的定义判断与是否异面； (2)分别为靠近的三等分点，易知、所成角为或其补角，进而求其大小. 【详解】(1)若为上靠近的三等分点， 则，故， 所以四点共面，显然不共线， 故面与面为同一个平面， 而面，面，即面，面，， 所以直线与是异面直线； (2)若分别为靠近的三等分点，则， 所以，，故为平行四边形，且、所成角为或其补角， 又，， 则， 由，故，则、所成角为60°. 18.(21-22高一·全国·课后作业)如图，在空间四边形中，已知，，，对角线，，、分别为、的中点． (1)求线段的长度；(2)求直线和所成角． 【答案】(1)1；(2)90° 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、由异面直线所成的角求其他量 【分析】(1)设CD中点为G,连接MG,NG,推出，即可求得答案； (2)设AB中点为E，BC中点为F,连接EF,FG,EN，EG,利用平移法找到直线和所成角，结合(1)推出，即可求得答案. 【详解】(1)设CD中点为G,连接MG,NG，因为、分别为、的中点，，， 所以 , 因为，所以,故 ; (2)设AB中点为E，BC中点为F,连接EF,FG,EN，EG, 则 ,则或其补角即为直线和所成角； 由E,N为AB,BD的中点可得 , 故结合(1)可知 ,故四边形MGNE为平行四边形，又， 故四边形MGNE为矩形，所以 , 而，，AB中点为E，BC中点为F，G为CD中点， 故 ,故有 ,即， 所以直线和所成角为. 19.(25-26高一下·全国·课后作业)在空间四边形中，两条对边，E，F分别是另外两条对边，上的点，且，，求和所成角的大小． 【答案】． 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】连接，过点E作的平行线交于点O，连接．通过得到，结合得到，得到，从而得到与所成的角即为和所成的角，在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到和所成的角． 【详解】如图，连接，过点E作的平行线交于点O，连接． ，，． ，． 又，， ，与所成的角即为和所成的角，． ，． 在中，，， ，， 所以和所成的角为． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $