专题4-4 线面平行（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4-4线面平行讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01判断线面平行 4-4线面平行 知识点01空间直线与平面的位置关系 题型02证明线面平行 题型03线面平行的性质 题型04线面平行性质得应用 知识点02线面平行 教学目标、教学重难点 教学目标 掌握线面平行的判定与性质，能熟练应用线面平行的性质解决距离和角度问题 教学重点 线面平行的判定与性质： 教学难点 应用线面平行的性质解决距离和角度问题. 知识清单 知识点01空间直线与平面的位置关系 (直线与平面平行 空间直线与平面的位置关系： 直线在平面外 (直线与平面相交 、直线在平面内 【即学即练1-1】(23-24高一下·云南保山期中)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点E,F分别是棱A1C1, BC的中点，则下列结论中正确的是() A.AF与C1C异面 B.AE与C1C异面 C.EFC平面A1C1CD.AFC平面A1B1C1 【即学即练1-2】（多选）(24-25高一下福建福州·期中)如图，在透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1 内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器以BC所在直线为轴顺时针旋转，则() A.有水的部分始终是棱柱 B.四边形EFGH为矩形且面积不变 C.棱A1D1始终与水面平行 D.当点H在棱CD上且点G在棱CC1上（均不含端点）时，BE·BF是定值 D B H 第1页共13页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点02线面平行 1.线面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 (简记为：线线平行→线面平行) 符号表示：1∥a,aCa,4a→l∥a 2线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 (简记为：线面平行→线线平行) 符号表示：1∥a,lCB,anB=b→l∥b 【即学即练2-1】(23-24高一下·陕西渭南·月考)若两个平面平行，则下列说法中不正确的是() A.其中一个平面内的所有直线与另一个平面平行 B.若一个平面与这两个平面相交，则这两条交线无公共点 C.其中一个平面内的所有直线与另一个平面内的所有直线平行 D.不在这两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则与另一个平面也平行 【即学即练2-2】（多选）25-26高一下·全国·课后作业)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的是() A.AD1/平面BCC1B1 B.AC与BC1相交 C.点A1,D1到平面BCC1B1的距离相等 D.与AB平行的面只有一个，与AB垂直的面有两个 题型精讲 题型01判断线面平行 【典例1-1】(21-22高一下.宁夏吴忠期中)下列命题正确的是() A.a//b,bca→al/a B.a//a,bca→a//b c.a/1a,a/b→b/1a D.ata,a/b,bca→a/a 【典例1-2】(25-26高一下.全国·课堂例题)己知直线a/直线b,b/直线c,c/平面a,则() A.a//a B.aca C.a与a相交 D.a/a或aca 【典例1-3】（多选）22-23高一下·海南海口·期末)已知m,n为两条不同的直线，%，B为两个不同的平面，则下 列命题正确的是() A.若m1a,n1a,则m/m B.若mca,nca,m/B,n/B,则a/B C.若⊥B,mca,则m⊥B D.若a⊥B,m⊥B,m￠a,则m//a 【典例1-4】(2025高一·全国.专题练习)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,H分别为DD1,AB的中点， 点F,G分别在线段BC,CC1上，且CF=CG=BC,则在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中，与平面ACE 第2页共13页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 平行的条数为 【变式1-1】(2023高一下.全国.专题练习)已知a,b,c为三条不重合的直线，a,B,y为三个不重合的平面 其中正确的命题()】 ①al/c,b/c→al/b:②al/y,b/1y→al/b:③a/c,cl1a→al/a;④a/y,a/a→a/y: ⑤ata,bca,al/b→a/a. A.①⑤ B.①② c.②④ D.③⑤ 【变式1-21(24-25高一下江苏准安期末)已知α，β是两个不同的平面，1是一条直线，下列条件中一定能使 /B成立的是() A.lIla,alBB.l⊥a,a1BC.lIIa,a⊥B D.Ica,allB 【变式1-31(2025高一，全国专题练习)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E,F,H,K分别为AC1,CB1,A1B, B1C1的中点，G为△ABC的重心.在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是(. A.平面EFB1 B.平面EFH C.平面EFK D.平面EFG B 【变式1-4】(24-25高二下四川内江·开学考试)一棱长为a的正四面体木块如下图所示，点P在平面VAC内， 过点P将木块锯开，且使截面平行于直线VB和AC,则在木块表面画线的总长度为() A.a B.2a C.4a D.无法确定 〖变式1-5】（多选）24-25高一下江西南昌期末)如图，点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则 下列各图中满足直线MNI平面ABC的是() D. B-- 【变式1-6】(24-25高一下·天津.期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的 第3页共13页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 中点给出下列三个推断： ①FG/平面AA1D1D;②EF/平面BC1D1;③FG/平面BC1D1; 其中推断正确的序号是 题型02证明线面平行 【典例2-1】(24-25高二下·湖南长沙期中)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线B1D1与平面BC1D 的位置关系是() A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.直线B1D1在平面BC1D内 【典例2-2】(24-25高一下·河北月考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D、E分别在棱AA1,CC1上，且 AA1=4,CE=AD=3,点F满足BF=BD(0<1<1),若B1E/平面ACF,则λ的值为) A号 c 0. 【典例2-3】（多选）(24-25高一下·重庆.期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F,G,H分别为棱 A1B1,BC,CD,B1C1的中点，则下列结论正确的是() A.异面直线EF与A,C,所成角的正弦值为 B.EFI平面AA1C1C C.直线AE与CH是异面直线 D.过A,E,G三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面形状为菱形 【典例2-4】(25-26高一下.全国课堂例题)如图，棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为AD, AB的中点，点G在上底面ABCD(含边界)上运动，若满足BC/平面EFG,则点G的轨迹长度为 第4页共13页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 《变式2-1】(24-25高一下·江苏苏州月考)如图，在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,M,N 分别为棱A,AD,D,G,C1B,的点，满足器=-铝=怎=AQ∈(Q,1》,过，户，M,N四点作该 正方体的截面，则下列说法错误的是() A.1-时，该截面是正六边形 B.1=时，四边形EFMN为正方形 C.MN//平面AD1B1 D.当四边形EFMN为正方形时，它的面积为号 C 〖变式2-21(24-25高一下·福建三明·期中)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为4，点E为AB的中点， 过点E及直线A1C1的平面截这个正三棱柱，则该截面的面积是() A.2V5 B.3V5 c.2V19 D.3V19 【变式2-3】(24-25高一下河南·期中)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D,E分别在棱AA1,CC1上， AB=AC=AD=A1D=3,CE=2C1E=4,点F满足BF=BD(0<1<1),若B1E//平面ACF,则λ的值 为) 2 A.5 B. C. 0. 【变式2-4】(2022安徽.三模)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=AA1=4,BC=3,M为AA1的中点，N 为C1D1的中点，过B1的平面a与DM,A1N都平行，则平面a截长方体所得截面的面积为) A.3V22 B.3V11 C.4v22 D.5V11 I变式2-5】（多选）23-24高一下山东临沂·月考)如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为 3,D,E,F,G分别在棱A1B1,A1C1,AB,AC上，且A1D=A1E=BF=CG,H,P分别为BC,A1H的中点，则) G A.DE/平面PFG B.过点A且与直线AA1和BC所成的角都为45°的直线有且仅有1条 第5页共13页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.若BF=子AB,过卫，E,G三点的平面截三棱柱所得截面的面积为3 D.若M,N分别是平面A1ABB1和A1ACC1内的动点，则△MWP周长的最小值为 《变式2-6】(23-24高二上四川内江·期中)如图，已知菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=120°，E为边BC的中 点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E(点B1位于平面ABCD上方)，连接B1C和B1D,F为B1D的中点，则在翻折过 程中，点F的轨迹的长度为 题型03线面平行的性质 【典例3-1】(22-23高一下山西太原·期末)已知直线a与平面ax满足a//a,直线bca,下列结论正确的是() A.a与b无公点 B.a与b异面 C.a//b D.a⊥b I典例3-2(24-25高一下.山东济南·期中)如图，在四棱锥P-ABCE中，四边形ABCE是梯形，AB/CE,且AB= 3CE,点F在棱PA上，且EFI平面PBC,则贤） C. 0. 【典例3-3】（多选）(24-25高一下·黑龙江哈尔滨期中)下列命题正确的是() A.若直线a与直线b分别在两个相交平面内，则a与b可能平行、相交或异面 B.若直线1与平面a平行，则平面内有无数条直线与1平行 C.若直线a与直线b平行，则a平行于经过b的任何平面 D.若直线l上有无数个点不在平面a内，则l/a 【典例3-4(24-25高一下·河北邢台期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，P元=3PF, PD=λPE,直线BF/平面ACE,则入= 第6页共13页 丽学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 《变式31】(20-21高一·全国·课后作业)如图，四边形ABDC是梯形，AB/CD,且AB/平面a,M是AC的 中点，BD与平面a交于点N,AB=4,CD=6,则MN等于() A.4.5 B.5 C.5.4 D.5.5 a 【变式32】(25-26高一下，全国·课堂例题)如果直线a//平面a,那么直线a与平面a内的) A.一条直线不相交 B.两条相交直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交 【变式33】(24-25高一下·广东广州期中)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F 为PC上一点，当PA/平面BBF时，影() C.2 【变式3-4】(23-24高一下四川宜宾期末)已知菱形ABCD沿对角线BD向上折起，得到三棱锥A-BCD,E,F 分别是棱AB,BC的中点，AB=BD=2,Q为棱CD上的一点，且DE/平面AFQ,则PC的值为) locl A B.月 C.1 D.2 【变式35】（多选）22-23高一下全国课后作业)设α，b,c为三条不同的直线，，B为两个不同的平面， 则下列结论中不正确的有() A.若alb,blc,则allc B.若ala,bI,则ab C.若alB,aca,anB=b,则alb D.若alb,a‖，则b‖a 【变式36】(2024辽宁.模拟预测)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长V3的正方形，PA=V3,PA1 平面ABCD,M为线段PA的中点，若空间中存在平而a满足BD/a,MCCa,记平面a与直线PD,PB分别交 于点E,F,则PE=, 四边形MECF的面积为 题型04线面平行性质的应用 【典例4-1】(24-25高一下广东期中)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M是BB1上靠近B的三等 分点，直线DM交平面BCD1A1于点N,则=() 第7页共13页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A. 1 2 B. c.3 【典例42】(22-23高一下辽宁锦州月考)已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中 点，点M在枝PC上，且满足PA/平面MQB,则瓷=() A B. c D. 【典例43】（多选）25-26高二上·四川内江·月考)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，O是AC的中点，M 是线段PB上的点，OM/平面PDA,则下列说法正确的是() A.PM:PB=1:2 B.OM/平面PCDC.OM/平面PBA D.OM//平面PAC 【典例44】(25-26高二上.上海杨浦·月考)己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E,F分别在棱AB 与线段CD1上，CF=1,G在线段BC上，若BD1/∥平面GEF,则CG= 【变式41】(23-24高二上·上海·月考)在棱长为10的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一 点，己知点P到A1D1的距离为2，点P到AA1的距离为3，则过点P且与A1C平行的直线交正方体于P、Q两点， 则Q点所在的平面是() A.AA BB B.BBC1C C.CCDD D.ABCD 【变式42】(2025海南·模拟预测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱BB1上，且BD=BB1,M,E 分别是棱A1B,AA1的中点，点N在棱CC上，若MN/平面CDB,则兴-) A.月 B.日 c. 第8页共13页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式43】(24-25高一下·安徽宿州期末)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M是BB1上靠近B的三等 分点，直线DM交平面BCD,4于点N则器() A B. C. 0. 【变式44(25-26高二上河南南阳·月考)如图，一个正四棱台的上底边长是下底边长的一半，经过点C,B1,D1 的平面与直线AA1交于点M,则A=) AA1 A B.月 C. D A 【变式45】（多选）24-25高三上山西大同期末)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，过AB1 且与BD1平行的平面交A1D1于点P,下列说法正确的是() A.PA= B.PD1=号 C.直线B,P与AD所成角正切值为2 D.直线B1P与AD所成角正切值为号 【变式46】(24-25高三上湖南长沙，期中)在棱长为4的正四面体ABCD中，0为其外接球的球心，过点0作 平面a使得a//CD.若B∈a,则a截正四面体所得截面的面积为 强化训练 一、单选题 1.(2024高三·全国专题练习)下列命题中正确的个数是() ①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a/:②若直线a/平面a,则直线a与平面aα内的任意一条直线 都平行；③若直线a/直线b,直线b/平面a,则直线a//平面a:④若直线a//平面a,则直线a与平面a 内的任意一条直线都没有公共点. A.0 B.1 C.2 D.3 2.(24-25高一下·安微蚌埠·期中)己知直线a,b,平面a,B,且ac,bcB,anB=1,4,b共面，则下 列结论一定成立的是() A.a/LB.b1lC.直线a与B内的任意直线均异面D.a,b,1交于一点或互相平行 第9页共13页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(24-25高一下·全国课后作业)如图，已知平面anB=CD,anY=EF,Bny=AB,若AB/a,则CD与EF 的位置关系是() A.平行 B.相交 C.异面 D.无法确定 D 4.(23-24高一下·安徽六安·期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点， 有四个结论： ①AP与CM是异面直线：②AP,MN,DD1相交于一点；③MN/BD1:④MN/平面BB1D1D. 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.(24-25高一下，全国·课后作业)在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点，当BD// 平面EFGH时，下列结论中正确的是() A.E,F,G,H一定是各边的中点 B.G,H一定是CD,DA的中点 C.BE:EA=BF:FC,DH:HA=DG:GC D.AE:EB=AH:HD,BF:FC=DG:GC 6.(20-21高一下·江苏南通·期中)四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中点，点M在 线段PC上，PM=tPC,PA//平面MQB,则实数t的值为) A B. c 0.月 7.(22-23高三下湖北武汉·期中)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2A1B1,AA1=2V3,M为棱B1C1 的中点，当正四棱台的体积最大时，平面MBD截该正四棱台的截面面积是() A.5/3 B.153 C.10V3 D.6V2 4 2 8.(22-23高三·北京顺义·期末)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点P在棱A1B1上，动点Q在线 段BC1上、若A1P=入，BQ=u,则三棱锥D1-APQ的体积() A.与无关，与有关B.与有关，与μ无关C.与几，都有关 D.与入，u都无关 二、多选题 9.(24-25高一下河南期中)已知α，b是两条不同的直线，是一个平面，下列命题错误的是() 第10页共13页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.a//b,bc&→a/a B.a//a,bc&→a//b C.a/1a,a//b→b//a D.ata,a//b,bca→a//a 10.(24-25高一下江苏苏州月考)在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB II CD,则() A.平面ADD1A1内任意一条直线都不与BC平行 B.平面BCC1B1内存在无数条直线与平面ADD1A1平行 C.平面ABB1A1和平面CDD1C1的交线不与底面ABCD平行 D.平面ADD1A1和平面BCC1B1的交线不与底面ABCD平行 11.(23-24高二上河北唐山开学考试)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F,G分别为BC,CC1, BB1的中点，则() A.直线A1G与直线DC所成角的正切值为2B.直线A1G与平面AEF平行 C.点C与点G到平面AEF的距离相等 D.平面AEF截正方体所得的截面面积为号 D D 三、填空题 12(24-25高一下安徽芜湖期中)如图，在三棱柱ABC-AB1C中，g是棱C1上的一点，且竖=号D是棱 BC上一点若AB/平面ADE,则2的值为 13.(2027高三·全国.专题练习)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是棱BC,CC1的中点，点P 在正方形ABB1A1内，若AB=2,A1P∥平面AEF,则DP的最小值是 14.(2023·浙江宁波.一模)在棱长均相等的四面体ABCD中，P为棱AD(不含端点)上的动点，过点A的平面a与平 面PBC平行.若平面a与平面ABD,平面ACD的交线分别为m,n,则m,n所成角的正弦值的最大值为 四、解答题 15.(22-23高一下·吉林通化月考)如图所示，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个平行四边形. (1)求证：CD//平面EFGH 第11页共13页 丽学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 (2)若AB⊥CD且AB=8,CD=6,EFGH为其所在棱的中点，求四边形EFGH面积. 16.(24-25高一下·安徽合肥期末)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1,D为棱BC的中点. (1)证明：A1B//平面ADC1;(2)求异面直线A1B与AD所成角的余弦值. B D 17.(2025高一.全国.专题练习)如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB、 PC、PA的中点，平面PBCn平面APD=L. (1)判断直线l与BC的位置关系并证明：(2)求证：MN//平面PAD: 第12页共13页 丽学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 18.(24-25高一下·湖北恩施期末)如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAB1平面ABCD, (1)若LBAD=,AB=CD,记三棱锥P-ABC外接球的球心为O. ()求证：OD/平面PAB;()求三棱锥P-ABC外接球的表面积. (2)记LBAD=8,6E(O,习，当LABC=+时，求三棱锥P-BCD体积的最大值. 19.(23-24高一下·福建龙岩·期中)如图1，在平面四边形PABC中，PA1AB,CD//AB,CD=2AB=2PD= 2AD=4.E是线段PC上靠近P端的三等分点，F是线段CD的中点，DE∩PF=M.将△PDC沿CD折成四棱锥 P-ABCD,连接PA,PB,BD,如图2. (1)在图2中，证明：PA/平面BDE:(2)在图1中，求P的值. IMFI 图1 图2 第13页共13页 4-4 线面平行 讲义 教学目标 掌握线面平行的判定与性质，能熟练应用线面平行的性质解决距离和角度问题. 教学重点 线面平行的判定与性质. 教学难点 应用线面平行的性质解决距离和角度问题. 知识点01 空间直线与平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系： 【即学即练1-1】(23-24高一下·云南保山·期中)如图，在直三棱柱中，点，分别是棱，的中点，则下列结论中正确的是(   ) A．与异面 B．与异面 C．平面 D．平面 【即学即练1-2】(多选)(24-25高一下·福建福州·期中)如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器以BC所在直线为轴顺时针旋转，则(   ) A．有水的部分始终是棱柱 B．四边形EFGH为矩形且面积不变 C．棱始终与水面平行 D．当点H在棱CD上且点G在棱上(均不含端点)时，是定值 知识点02 线面平行 1.线面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 (简记为：线线平行⇒线面平行) 符号表示：l∥a，a⊂α，l⊄αl∥α 2.线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 (简记为：线面平行⇒线线平行) 符号表示：l∥α，l⊂β，α∩β＝bl∥b 【即学即练2-1】(23-24高一下·陕西渭南·月考)若两个平面平行，则下列说法中不正确的是(    ) A．其中一个平面内的所有直线与另一个平面平行 B．若一个平面与这两个平面相交，则这两条交线无公共点 C．其中一个平面内的所有直线与另一个平面内的所有直线平行 D．不在这两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则与另一个平面也平行 【即学即练2-2】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)在正方体中，下列说法正确的是(   ) A．平面 B．与相交 C．点到平面的距离相等 D．与平行的面只有一个，与垂直的面有两个 题型01 判断线面平行 【典例1-1】(21-22高一下·宁夏吴忠·期中)下列命题正确的是(    ) A． B． C． D． 【典例1-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)已知直线直线b，直线c，平面，则(   ) A． B． C．a与相交 D．或 【典例1-3】(多选)(22-23高一下·海南海口·期末)已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例1-4】(2025高一·全国·专题练习)如图，在正方体中，，分别为，的中点，点分别在线段，上，且，则在这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的条数为______． 【变式1-1】(2023高一下·全国·专题练习)已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题( ) ①，；②，；③，；④，； ⑤，，． A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤ 【变式1-2】(24-25高一下·江苏淮安·期末)已知，是两个不同的平面，是一条直线，下列条件中一定能使成立的是(    ) A．， B．， C．， D．， 【变式1-3】(2025高一·全国·专题练习)如图，在三棱柱中，点，分别为，，，的中点，为的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是(    ). A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【变式1-4】(24-25高二下·四川内江·开学考试)一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为( ) A． B． C． D．无法确定 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·江西南昌·期末)如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线 平面的是(   ) A．   B．   C．   D．   【变式1-6】(24-25高一下·天津·期中)在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列三个推断： ①平面;②平面;③平面; 其中推断正确的序号是______________________________. 题型02 证明线面平行 【典例2-1】(24-25高二下·湖南长沙·期中)如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是(    ) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．直线在平面内 【典例2-2】(24-25高一下·河北·月考)如图，在直三棱柱中，点、分别在棱上，且，点满足，若平面，则的值为(   ) A． B． C． D． 【典例2-3】(多选)(24-25高一下·重庆·期末)如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是(    ) A．异面直线与所成角的正弦值为 B． 平面 C．直线与是异面直线 D．过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 【典例2-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面(含边界)上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 【变式2-1】(24-25高一下·江苏苏州·月考)如图，在边长为1的正方体中，，，，分别为棱，，，的点，满足，过，，，四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是(   ) A．时，该截面是正六边形 B．时，四边形为正方形 C．平面 D．当四边形为正方形时，它的面积为 【变式2-2】(24-25高一下·福建三明·期中)已知正三棱柱的所有棱长都为，点为的中点，过点及直线的平面截这个正三棱柱，则该截面的面积是(   ) A． B． C． D． 【变式2-3】(24-25高一下·河南·期中)如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱，上，，，点F满足，若平面ACF，则的值为(   ) A． B． C． D． 【变式2-4】(2022·安徽·三模)已知长方体中，，M为的中点，N为的中点，过的平面与DM，都平行，则平面截长方体所得截面的面积为(    ) A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)(23-24高一下·山东临沂·月考)如图，已知直三棱柱的所有棱长均为分别在棱上，且，分别为的中点，则(    ) A． 平面 B．过点且与直线和所成的角都为的直线有且仅有1条 C．若，过三点的平面截三棱柱所得截面的面积为 D．若分别是平面和内的动点，则周长的最小值为 【变式2-6】(23-24高二上·四川内江·期中)如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成(点位于平面上方)，连接和，为的中点，则在翻折过程中，点的轨迹的长度为______.    题型03 线面平行的性质 【典例3-1】(22-23高一下·山西太原·期末)已知直线与平面满足，直线，下列结论正确的是(    ) A．a与b无公点 B．a与b异面 C． D． 【典例3-2】(24-25高一下·山东济南·期中)如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且 平面，则=(    ) A． B． C． D． 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中)下列命题正确的是(    ) A．若直线a与直线b分别在两个相交平面内，则a与b可能平行、相交或异面 B．若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 C．若直线a与直线b平行，则a平行于经过b的任何平面 D．若直线l上有无数个点不在平面内，则 【典例3-4】(24-25高一下·河北邢台·期中)如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，直线平面，则______. 【变式3-1】(20-21高一·全国·课后作业)如图，四边形是梯形，，且平面，M是AC的中点，与平面交于点N，，，则等于(    ) A．4.5 B．5 C．5.4 D．5.5 【变式3-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)如果直线平面，那么直线与平面内的(    ) A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 【变式3-3】(24-25高一下·广东广州·期中)如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，(   ) A． B． C．2 D． 【变式3-4】(23-24高一下·四川宜宾·期末)已知菱形沿对角线向上折起，得到三棱锥，分别是棱的中点，，为棱上的一点，且平面，则的值为(    ) A． B． C．1 D．2 【变式3-5】(多选)(22-23高一下·全国·课后作业)设a，b，c为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中不正确的有(    ) A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【变式3-6】(2024·辽宁·模拟预测)已知四棱锥的底面是边长的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平而满足，，记平面与直线，分别交于点，，则=______，四边形的面积为______． 题型04 线面平行性质的应用 【典例4-1】(24-25高一下·广东·期中)如图，在平行六面体中，点是上靠近的三等分点，直线DM交平面于点，则(    ) A． B． C． D． 【典例4-2】(22-23高一下·辽宁锦州·月考)已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则(    ) A． B． C． D． 【典例4-3】(多选)(25-26高二上·四川内江·月考)如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是(　　) A． B．平面 C．平面 D．平面 【典例4-4】(25-26高二上·上海杨浦·月考)已知正方体的棱长为2，点，分别在棱与线段上，，在线段上，若//平面，则__________. 【变式4-1】(23-24高二上·上海·月考)在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为2，点到的距离为3，则过点且与平行的直线交正方体于两点，则点所在的平面是(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】(2025·海南·模拟预测)如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则(   ) A． B． C． D． 【变式4-3】(24-25高一下·安徽宿州·期末)在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则(   ) A． B． C． D． 【变式4-4】(25-26高二上·河南南阳·月考)如图，一个正四棱台的上底边长是下底边长的一半，经过点的平面与直线交于点，则(    ) A． B． C． D． 【变式4-5】(多选)(24-25高三上·山西大同·期末)如图，在棱长为1的正方体中，过且与平行的平面交于点，下列说法正确的是(    ) A． B． C．直线与所成角正切值为2 D．直线与所成角正切值为 【变式4-6】(24-25高三上·湖南长沙·期中)在棱长为 4的正四面体中，为其外接球的球心，过点 作平面使得 .若，则截正四面体所得截面的面积为______. 一、单选题 1.(2024高三·全国·专题练习)下列命题中正确的个数是(    ) ①若直线上有无数个点不在平面内，则；②若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都平行；③若直线直线，直线平面，则直线平面； ④若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 2.(24-25高一下·安徽蚌埠·期中)已知直线a，b，平面，，且，，，a，b共面，则下列结论一定成立的是(   ) A． B． C．直线与内的任意直线均异面 D．a，b，l交于一点或互相平行 3.(24-25高一下·全国·课后作业)如图，已知平面，，，若，则与的位置关系是(   ) A．平行 B．相交 C．异面 D．无法确定 4.(23-24高一下·安徽六安·期末)如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线；②相交于一点；③；④平面. 其中正确的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 5.(24-25高一下·全国·课后作业)在空间四边形中，，，，分别是，，，上的点，当平面时，下列结论中正确的是(    ) A．，，，一定是各边的中点 B．，一定是，的中点 C．，且 D．，且 6.(20-21高一下·江苏南通·期中)四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中点，点M在线段PC上，，平面，则实数t的值为(    ) A． B． C． D． 7.(22-23高三下·湖北武汉·期中)在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是(    )． A． B． C． D． 8.(22-23高三·北京顺义·期末)在棱长为1的正方体中，动点P在棱上，动点Q在线段上、若，则三棱锥的体积(    ) A．与无关，与有关 B．与有关，与无关 C．与都有关 D．与都无关 二、多选题 9.(24-25高一下·河南·期中)已知a，b是两条不同的直线，是一个平面，下列命题错误的是(    ) A．， B．， C．， D．，， 10.(24-25高一下·江苏苏州·月考)在四棱台中，底面ABCD为梯形，，则(   ) A．平面内任意一条直线都不与BC平行 B．平面内存在无数条直线与平面平行 C．平面和平面的交线不与底面ABCD平行 D．平面和平面的交线不与底面ABCD平行 11.(23-24高二上·河北唐山·开学考试)如图，正方体的棱长为1，，，分别为BC，，的中点，则(    ) A．直线与直线DC所成角的正切值为2 B．直线与平面AEF平行 C．点与点到平面AEF的距离相等 D．平面AEF截正方体所得的截面面积为 三、填空题 12.(24-25高一下·安徽芜湖·期中)如图，在三棱柱中，E是棱上的一点，且，D是棱BC上一点.若平面ADE，则的值为________. 13.(2027高三·全国·专题练习)如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在正方形内，若，∥平面，则的最小值是________． 14.(2023·浙江宁波·一模)在棱长均相等的四面体中，为棱(不含端点)上的动点，过点的平面与平面平行．若平面与平面，平面的交线分别为，则所成角的正弦值的最大值为________．    四、解答题 15.(22-23高一下·吉林通化·月考)如图所示，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形． (1)求证：平面 (2)若且，为其所在棱的中点，求四边形面积. 16.(24-25高一下·安徽合肥·期末)如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． (1)证明：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值． 17.(2025高一·全国·专题练习)如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，、、分别为、、的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明；(2)求证：平面； 18.(24-25高一下·湖北恩施·期末)如图，四棱锥中，平面平面 (1)若，记三棱锥外接球的球心为O． (i)求证：平面PAB；(ii)求三棱锥外接球的表面积． (2)记，当时，求三棱锥体积的最大值． 19.(23-24高一下·福建龙岩·期中)如图1，在平面四边形中，，，.是线段上靠近端的三等分点，是线段的中点，.将沿折成四棱锥，连接，，，如图2. (1)在图2中，证明：平面；(2)在图1中，求的值. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4-4 线面平行 讲义 教学目标 掌握线面平行的判定与性质，能熟练应用线面平行的性质解决距离和角度问题. 教学重点 线面平行的判定与性质. 教学难点 应用线面平行的性质解决距离和角度问题. 知识点01 空间直线与平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系： 【即学即练1-1】(23-24高一下·云南保山·期中)如图，在直三棱柱中，点，分别是棱，的中点，则下列结论中正确的是(   ) A．与异面 B．与异面 C．平面 D．平面 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断线面平行、判断图形中的线面关系、异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】根据直三棱柱的性质及空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】在直三棱柱中，，平面， ，且平面，,所以与异面，故A正确； 显然平面，平面，故与共面，故B错误； 因为平面，所以平面，故C错误； 在直三棱柱中平面平面，平面， 所以平面，显然平面，故D错误. 故选：A 【即学即练1-2】(多选)(24-25高一下·福建福州·期中)如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器以BC所在直线为轴顺时针旋转，则(   ) A．有水的部分始终是棱柱 B．四边形EFGH为矩形且面积不变 C．棱始终与水面平行 D．当点H在棱CD上且点G在棱上(均不含端点)时，是定值 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行、棱柱的结构特征和分类 【分析】利用棱柱的几何特征判断A；根据水面矩形变化情况判断B；利用线面平行的判定判断C；利用盛水的体积判断D作答. 【详解】对于A，有水部分的几何体，有两个面都垂直于BC，这两个面始终平行，而， 并且BC始终与水面平行，即有，若点H在棱上，由面面平行的性质知， ，若点H在棱CD上，，因此该几何体有两个面互相平行，其余各 面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱，A正确； 对于B，因为水面为矩形，边的长不变，随旋转角的变化而变化，矩形的面积不是定值，B错误； 对于C，因为始终与平行，而始终与水面平行，并且不在水面所在平面内，即棱始终与水面平行，C正确； 对于D，当点在棱上且点在棱上(均不含端点)时，有水部分的棱柱的底面为三角形， 而水的体积不变，高不变，则底面面积不变，即为定值，D正确. 故选：ACD 知识点02 线面平行 1.线面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 (简记为：线线平行⇒线面平行) 符号表示：l∥a，a⊂α，l⊄αl∥α 2.线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 (简记为：线面平行⇒线线平行) 符号表示：l∥α，l⊂β，α∩β＝bl∥b 【即学即练2-1】(23-24高一下·陕西渭南·月考)若两个平面平行，则下列说法中不正确的是(    ) A．其中一个平面内的所有直线与另一个平面平行 B．若一个平面与这两个平面相交，则这两条交线无公共点 C．其中一个平面内的所有直线与另一个平面内的所有直线平行 D．不在这两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则与另一个平面也平行 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行 【分析】根据两平面平行的定义和性质判断各个选项； 【详解】对于A，根据两个平面平行可知，其中一个平面内的所有直线与另一个平面平行，A正确； 对于B，根据两平面平行性质可知，若一个平面与这两个平面相交，则这两条交线平行无公共点，B正确； 对于C，根据两平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线平行或异面，C错误； 对于D，不在这两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则与另一个平面也平行，D正确； 故选：C. 【即学即练2-2】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)在正方体中，下列说法正确的是(   ) A．平面 B．与相交 C．点到平面的距离相等 D．与平行的面只有一个，与垂直的面有两个 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、判断线面平行、异面直线的概念及辨析、棱柱的结构特征和分类 【详解】对于A：在正方体中，可证四边形为平行四边形，则， 又平面，且平面， 由线面平行的判定定理可知平面，故A正确； 对于B：底面，平面，两条直线没有公共点，是异面直线，不相交，B错误； 对于C：设正方体棱长为，到平面的距离为， 到平面的距离为，二者距离相等，C正确； 对于D：与平行的面不只1个：如平面、平面等，因此“只有一个”的描述错误，D错误. 题型01 判断线面平行 【典例1-1】(21-22高一下·宁夏吴忠·期中)下列命题正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】线面平行的性质、判断线面平行 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理依次判断各选项即可得出结果. 【详解】对于A，，有可能，A错误； 对于B，，有可能异面，B错误； 对于C，，有可能，C错误； 对于D，由线面平行的判定定理可知D正确． 故选：D 【典例1-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)已知直线直线b，直线c，平面，则(   ) A． B． C．a与相交 D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断线面平行 【分析】由平行公理得，再由直线和平面的位置关系即可判断. 【详解】，，，，或． 故选：D. 【典例1-3】(多选)(22-23高一下·海南海口·期末)已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线平行、判断线面是否垂直、判断面面平行、判断线面平行 【分析】根据线面垂直、线面平行、面面平行、面面垂直的判定定理和性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A：若，那么垂直于同一平面的两条直线平行，所以，所以A正确； 对于选项B：若，那么可能平行，也可能相交，只有当相交时，，所以B错误； 对于选项C：若，那么可能垂直，可能平行，也可能相交，所以C错误； 对于选项D：若，那么平面外的一条直线平行于该平面，所以，所以D正确. 故选：AD. 【典例1-4】(2025高一·全国·专题练习)如图，在正方体中，，分别为，的中点，点分别在线段，上，且，则在这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的条数为______． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行、证明线面平行、线面平行的性质 【分析】根据线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理得出及，即可判断. 【详解】如图，取的中点，且． 又且，所以且，四边形为平行四边形，则． 又平面，平面，故平面； 若平面，平面，平面平面，则，矛盾； 过点作交于点，连结，，则． 若平面，平面，平面平面，故， 又，则四边形是平行四边形，但，矛盾． 故在这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的有1条． 故答案为：1. 【变式1-1】(2023高一下·全国·专题练习)已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题( ) ①，；②，；③，；④，； ⑤，，． A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤ 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断线面平行 【分析】分析各直线，平面的关系即可得出结论. 【详解】由题意，①，，故，故正确； ②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误； ③，则或，故错误；④，；则与可能平行或相交，故错误； ⑤，，，由线面平行的判定定理可得，故正确. 故选：A. 【变式1-2】(24-25高一下·江苏淮安·期末)已知，是两个不同的平面，是一条直线，下列条件中一定能使成立的是(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断线面平行 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】A.若，，则或，故A错误；B.若，，则或，故B错误； C.若，，则，或或相交，故C错误；D.若，，则，故D正确. 故选：D 【变式1-3】(2025高一·全国·专题练习)如图，在三棱柱中，点，分别为，，，的中点，为的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是(    ). A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行 【分析】根据线面平行的关系直接判断得出. 【详解】如图1，平面即平面，只有1条棱与其平行，所以A错误； 如图2，对于平面，有6条棱与其平行，它们分别为．所以B错误； 如图3，对于平面，有5条棱与其平行，它们分别为．所以C错误； 如图4，平面由平面绕直线旋转得到，有2条棱与其平行，其余各棱均与其相交，所以D正确. 故选：D． 【变式1-4】(24-25高二下·四川内江·开学考试)一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为( ) A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】棱锥中截面的有关计算、判断线面平行 【分析】根据线面平行的判定定理，通过构造平行线确定截面，截面周长即为所求. 【详解】如图，在平面内过点作，分别交于点，则，. 在平面内作交于点，在平面内作交于点，则，， ∴，故截面为平行四边形， ∴在木块表面画线的总长度为. 故选：B. 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·江西南昌·期末)如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线 平面的是(   ) A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行 【分析】根据线面平行的判定定理逐项判断即可. 【详解】选项A，如题所示连接交与，则为中点，   又因为是中点，所以， 因为平面，平面，所以 平面，A满足题意； 选项B，将直线平移使得点与点重合，则显然可知与平面不平行，B不满足题意； 选项C， 连接，由条件和正方体的性质可知，， 所以五点共面，即在平面内，所以与平面不平行，C不满足题意； 选项D，取的中点为，连接，    因为是棱上中点，所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以 平面，D满足题意； 故选：AD 【变式1-6】(24-25高一下·天津·期中)在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列三个推断： ①平面;②平面;③平面; 其中推断正确的序号是______________________________. 【答案】①③ 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行 【分析】由已知可得，由线面平行的判定定理可判断①；由，与平面相交可判断②；由，根据线面平行的判定定理可判断③， 【详解】如图，连接， 对于①：因为在正方体中，，，分别是，，的中点， 所以，因为，所以， 因为平面， 平面，所以平面，故①正确； 对于②：因为，与平面相交，所以与平面相交，故②错误； 对于③：因为，，分别是，，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，故③正确； 故答案为：①③ 题型02 证明线面平行 【典例2-1】(24-25高二下·湖南长沙·期中)如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是(    ) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．直线在平面内 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】证明线面平行 【分析】根据正方体性质，结合线面平行的判定来判断即可. 【详解】根据正方体性质知道，平面，平面，则平面. 故选：A. 【典例2-2】(24-25高一下·河北·月考)如图，在直三棱柱中，点、分别在棱上，且，点满足，若平面，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行 【分析】根据线面平行的判定定理找到过直线且与直线平行的平面，进而确定点的位置，最后利用相似求解即可. 【详解】在上取一点使得，连接，与交于一点，即为所求(如图所示). 证明如下：因，，则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面，即平面， 又，，，则，则，即的值为. 故选：D 【典例2-3】(多选)(24-25高一下·重庆·期末)如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是(    ) A．异面直线与所成角的正弦值为 B． 平面 C．直线与是异面直线 D．过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、异面直线的判定、求异面直线所成的角、证明线面平行 【分析】利用定义法作出异面直线所成的角，然后求解即可判断A，利用线面平行的判定定理即可判断B，利用平面的性质判断C，作出截面利用菱形的定义判断D. 【详解】对于A，如图所示，取的中点，连接，因为， 所以四边形为平行四边形，所以，故或其补角即为异面直线与所成角， 设正方体的棱长为，在中，， 所以，即异面直线与所成角的正弦值为，故A正确； 对于B，由选项A可知，，平面，平面，所以 平面，故B正确； 对于C，如图所示，连接，因为，，所以，所以四点共面， 所以直线与直线共面，故C错误； 对于D，如图所示，取的中点，连接，连接， 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 同理，所以，所以四边形为平行四边形， 则过，，三点的平面截正方体所得的截面为四边形， 又，所以四边形为菱形，故D正确，故选：ABD 【典例2-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面(含边界)上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】取，，，中点分别为，，，，连接，，，，，，，证明平面，点在平面内，可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以，同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，，所以，，，，，共面， 因为，面，面，所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面(含边界)，所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 【变式2-1】(24-25高一下·江苏苏州·月考)如图，在边长为1的正方体中，，，，分别为棱，，，的点，满足，过，，，四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是(   ) A．时，该截面是正六边形 B．时，四边形为正方形 C．平面 D．当四边形为正方形时，它的面积为 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断正方体的截面形状、证明线面平行 【分析】先根据线段比例关系利用相似三角形性质判断线线平行，再依据线面平行判定定理判断线面平行；然后针对四边形为正方形的情况，通过构建直角三角形，利用勾股定理建立等式求解相关参数，并进一步判断选项. 【详解】在正方体中，因为，根据相似三角形的判定定理(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)，可知与相似，所以，进而可得. 又因为线面平行的判定定理，已知平面，平面，所以平面，故C选项正确.   判断当时截面的形状：当时，如前面第一个图，可以得到该截面为正六边形，所以A选项正确.   判断四边形为正方形时的情况：如前面第二个图，作，垂足为. 在正方体中，棱长设为，所以. 因为，根据正方体棱长以及线段比例关系可得. 又因为的长度，根据正方体棱长以及的关系可得. 在中，根据勾股定理. 由于四边形为正方形，所以，即. 等式两边同时平方可得. 展开括号：. 移项化简可得：，解得. 此时，正方形的面积为，所以B选项错误，D选项正确.    综上，A、C、D选项正确，B选项错误. 故选： B. 【变式2-2】(24-25高一下·福建三明·期中)已知正三棱柱的所有棱长都为，点为的中点，过点及直线的平面截这个正三棱柱，则该截面的面积是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】由线面平行的判断定理和性质定理可得截面为等腰梯形，故可求其面积. 【详解】设过点及直线的平面交直线于， 由棱柱可得，而平面，平面， 故平面，而面平面，面， 故，而为的中点，故为的中点，故，而， 故在等腰梯形中，高为，故截面的面积为， 故选：D. 【变式2-3】(24-25高一下·河南·期中)如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱，上，，，点F满足，若平面ACF，则的值为(   )    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行 【分析】根据线面平行的判定定理找到过直线且与直线平行的平面，从而可以确定点位置，进而求解即可. 【详解】在上取一点使得，连接，与交于一点，即为所求(如图所示).    证明如下：根据已知，， 在直三棱柱中， ，且， 四边形为平行四边形，，平面，平面， 平面，即平面. 又，，，即的值为. 故选：A. 【变式2-4】(2022·安徽·三模)已知长方体中，，M为的中点，N为的中点，过的平面与DM，都平行，则平面截长方体所得截面的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、正棱柱及其有关计算、由平面的基本性质作截面图形、证明线面平行 【分析】过作交延长线于，为中点，连接，利用长方体性质及线面平行的判定证面、面，即面为平面，再延长交于，连接，利用线线、线面的性质确定面为平面截长方体所得截面，最后延长分别交于一点并判断交于同一点，根据已知结合余弦定理、三角形面积公式及求截面面积即可. 【详解】过作交延长线于，则，若为中点，连接， 而M为的中点，在长方体中，而且面， 由面，则面，由面，则面， 所以面即为平面，延长交于， 易知：为中点，则且，又且， 故为平行四边形，则且，故共面， 连接，即面为平面截长方体所得截面， 延长分别交于一点，而在中都为中位线， 由，，则，故交于同一点， 易知：△为等腰三角形且，， 则，可得，又. 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用长方体的性质及线面平行的判定确定平面，再根据平面的基本性质找到平面截长方体所得截面，并应用余弦定理、三角形面积公式及相似比求截面面积. 【变式2-5】(多选)(23-24高一下·山东临沂·月考)如图，已知直三棱柱的所有棱长均为分别在棱上，且，分别为的中点，则(    ) A． 平面 B．过点且与直线和所成的角都为的直线有且仅有1条 C．若，过三点的平面截三棱柱所得截面的面积为 D．若分别是平面和内的动点，则周长的最小值为 【答案】CD 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、求异面直线所成的角 【分析】根据线面平行的定义判断A；找出所求直线构成圆锥，结合给定条件判断B，作出过三点的截面，再求解面积判断C，作出点关于面和面的对称点，求出点到对称点的距离，找到周长最小时的条件，判断D即可. 【详解】由题意得，直三棱柱的所有棱长均为3， 所以，所以是等边三角形， 对于A，如图，连接， 因为，所以，故得， 而，所以是等边三角形， 因为，所以，故得， 因为三棱柱是直三棱柱，所以，故得，所以四点共面， 由题意得，且记，则，， 而，所以，所以，，即是的中点， 同理记，因为直三棱柱， 所以，可得，， 因为，所以，所以，，故是的中点， 所以是的中位线，可得，， 因为分别为的中点，所以是的中线， 是的中位线，可得，，所以与是同一条直线，故， 由勾股定理得，所以， 而，所以，故， 故，得到是的中点，因为面， 所以面，所以面和面是同一个平面，所以面，故A错误， 对于B，因为直三棱柱，所以面， 面，故，，， 则与所成角为，故点作的平行线，得到， 故与直线成角为的所有直线构成以为顶点的两个对顶圆锥(为轴)， 同理与直线成角为的所有直线构成以为顶点两个对顶圆锥(为轴)， 而与所成角为，因此圆锥面上公共直线共有2条， 过点且与直线和所成的角都为的直线有且仅有2条，故B错误， 对于C，由已知得面，所以截面是四边形， 因为，，所以，故， 所以，故， ，因为，所以， 故，解得，而，所以，故，解得， 如图，作，则四边形是矩形，所以， ，在中，由勾股定理得， 作，因为直三棱柱，所以面， 面，故，，所以四边形是矩形， 故，，在中，由勾股定理得， 因为，，所以，而，所以四边形是梯形， 如图，作，，所以，所以四边形是矩形， 所以，，由勾股定理得，而， 所以，由勾股定理得，所以梯形的面积为，故C正确， 对于D，因为，，所以是面和面所成二面角的平面角， 因为是等边三角形，所以， 如图，作，因为分别为的中点，所以， 由锐角三角函数定义得，解得，因为面，面， 所以，而，面，所以面， 故到面的距离为，作，由锐角三角函数定义得，解得， 而面，所以，因为，面，所以面， 故到面的距离为，而是的中点，所以到面的距离为，到面的距离为， 如图，取关于面的对称点为，关于面的对称点为， 当分别取直线与面和面的交点时，周长的最短， 此时，，由余弦定理得， 故D正确.故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，然后利用两点之间线段最短得到所要求的最值即可． 【变式2-6】(23-24高二上·四川内江·期中)如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成(点位于平面上方)，连接和，为的中点，则在翻折过程中，点的轨迹的长度为______.    【答案】 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、证明线面平行 【分析】设是的中点，可证的轨迹与的轨迹相同，求得的轨迹之后再求的轨迹. 【详解】由，，为边的中点 设是的中点，又为的中点，则且， 而且，所以且， 即为平行四边形，故且，故的轨迹与的轨迹相同. 因为面，且，所以的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 设的中点为O，则，， 又面，面，所以面，故的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 所以的轨迹长度为. 故答案为： 题型03 线面平行的性质 【典例3-1】(22-23高一下·山西太原·期末)已知直线与平面满足，直线，下列结论正确的是(    ) A．a与b无公点 B．a与b异面 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】线面平行的性质 【分析】根据线面平行的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意可知，而，所以没有公共点， 与可能异面、平行、垂直，所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 【典例3-2】(24-25高一下·山东济南·期中)如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且 平面，则=(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线面平行的性质、由线面平行求线段长度 【分析】首先作辅助线，构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质求得的比值. 【详解】过作交于，连接，如图所示. 因为，平面，不在平面上， 根据线面平行的判定定理可得平面. 又因为平面，，平面， 根据平面与平面平行的判定定理的推论，可得平面平面. 又平面平面，平面平面，所以. 根据相似三角形性质可得：. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以. 又，所以，所以. 故选：B. 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中)下列命题正确的是(    ) A．若直线a与直线b分别在两个相交平面内，则a与b可能平行、相交或异面 B．若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 C．若直线a与直线b平行，则a平行于经过b的任何平面 D．若直线l上有无数个点不在平面内，则 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、线面平行的性质 【分析】对于A，在两个相交平面内，把空间两条直线所有的位置关系都考虑到即可判断；对于B，根据线面平行的性质定理即可判断；对于C，考虑到a可能与b在同一平面内即可判断；对于D，考虑到直线与平面平行或相交即可判断. 【详解】对于A，若直线a与直线b分别在两个相交平面内， 则a与b的位置关系可能平行、相交或异面，故A正确； 对于B，若直线l与平面平行，则由线面平行的性质定理可知， l平行于过直线l的平面与平面的交线， 所以平面内，所有与交线平行的直线都与l平行， 所以平面内有无数条直线与l平行，故B正确； 对于C，若直线a与直线b平行，则a可能与b在同一平面内， a也可能平行于不经过直线a，但是经过b的平面，故C错误； 对于D，若直线l上有无数个点不在平面内， 则直线与平面平行或相交，故D错误. 故选：AB 【典例3-4】(24-25高一下·河北邢台·期中)如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，直线平面，则______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、线面平行的性质 【分析】在线段上取点，使得，连接，，，由平面，可得，进而可得是线段的中点，由向量关系可得，即可求. 【详解】如图，在线段上取点，使得. 连接，，，记，， 连接，因为直线平面，且平面平面，所以. 因为四边形是平行四边形，所以为线段的中点，则为线段的中点. 因为，，所以 ，所以，即. 因为为线段的中点，所以是线段的中点，则，所以，则.故答案为： 【变式3-1】(20-21高一·全国·课后作业)如图，四边形是梯形，，且平面，M是AC的中点，与平面交于点N，，，则等于(    ) A．4.5 B．5 C．5.4 D．5.5 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】线面平行的性质 【分析】利用线面平行的性质得到，利用中位线的性质得到答案. 【详解】因为平面，平面，平面平面，所以. 又M是的中点，所以是梯形的中位线，故. 故选：B 【变式3-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)如果直线平面，那么直线与平面内的(    ) A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】线面平行的性质 【分析】由线面平行的性质判断即可. 【详解】线面平行，则线面无公共点， 所以直线与平面内的所有直线都不相交，故ABC错误，D正确． 故选：D 【变式3-3】(24-25高一下·广东广州·期中)如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，(   ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】线面平行的性质、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接交于 ，连接，由线面平行的性质可得，再利用平行线分线段成比例定理列式求解． 【详解】连接交于 ，连接，因为平面，平面，平面平面， 所以，所以， 因为四边形为平行四边形，所以，所以， 因为为的中点，所以，所以，所以. 故选：A 【变式3-4】(23-24高一下·四川宜宾·期末)已知菱形沿对角线向上折起，得到三棱锥，分别是棱的中点，，为棱上的一点，且平面，则的值为(    ) A． B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】重心、线面平行的性质 【分析】连接，交于点，连接，再利用线面平行的性质、三角形重心的性质以及三角形一边的平行线性质定理即可求解. 【详解】如图，连接，交于点，连接， 因为平面，平面，平面 平面 ，所以， 又因为，分别为，的中点，所以点为的重心，所以， 在中，，根据三角形一边的平行线性质定理， 有. 故选：B. 【变式3-5】(多选)(22-23高一下·全国·课后作业)设a，b，c为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中不正确的有(    ) A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行、线面平行的性质 【分析】由平行的传递性、线面关系及线面平行的性质依次判断即可. 【详解】对于A，线线平行具有传递性，故A中结论正确； 对于B，平行于同一个平面的两条直线也可以相交或异面，故B中结论不正确； 对于C，由线面平行的性质定理知C中结论正确； 对于D，b还可以在平面内，故D中结论不正确. 故选：BD. 【变式3-6】(2024·辽宁·模拟预测)已知四棱锥的底面是边长的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平而满足，，记平面与直线，分别交于点，，则=______，四边形的面积为______． 【答案】 / 【难度】0.4 【知识点】线面平行的性质、三角形面积公式及其应用 【分析】根据题意作出平面即平面，取中点，利用平行线成比例式可得进而求出的值；通过线面平行的性质得到，，推理得到，故可间接法求得四边形的面积. 【详解】如图，过点作的平行线分别交的延长线于点， 则分别为的中点，连接，分别交于点，则平面即平面， 取的中点，由是正方形，得连接，则， ，，因此； 连接，因为，平面平面，平面，所以， 所以，， 依题意，,由，得，由，得,从而， 由，得为的中点，由，得,, ,因, 故四边形的面积．故答案为：； 【点睛】思路点睛：解题思路在于正确理解题意，作出合理的截面，充分利用平行与垂直的判定、性质定理，借助于相似三角形和三角形之间的面积关系计算即得. 题型04 线面平行性质的应用 【典例4-1】(24-25高一下·广东·期中)如图，在平行六面体中，点是上靠近的三等分点，直线DM交平面于点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】通过线线平行得到线面平行，再利用线面平行的性质得到线线平行，进而得到线段成比例，结合是上靠近的三等分点即可求得结果. 【详解】设平面与交于点，连接交于点，连接， 平行六面体中， ∵∥，平面，平面，∴∥平面， 又平面，平面平面，∴∥， 又是上靠近的三等分点，∴ ∵平面，平面，∴∥平面， 又平面，平面平面，∴∥，∴；所以. 故选：C. 【典例4-2】(22-23高一下·辽宁锦州·月考)已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN，由线面平行的性质定理可得，再借助比例式可得答案. 【详解】如下图，四棱锥中，连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN， 因底面ABCD为平行四边形，则O是AC中点，也是BD中点， 而点Q是AD中点，于是得点N是重心，从而得， 因平面，平面，平面平面， 因此得，于是得，所以. 故选：C.    【典例4-3】(多选)(25-26高二上·四川内江·月考)如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是(　　) A． B．平面 C．平面 D．平面 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】判断线面平行、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】根据线面平行的性质可知，由此可得A正确；根据线面平行的判定定理可得B正确；对于C，运用反证法即可排除；对于D，根据条件从线面有公共点即可排除. 【详解】对于A，平面，平面平面，平面，， 四边形为矩形，为中点，为中点，为中点，即，A正确； 对于B，平面，平面，，平面，B正确； 对于C，假设平面，因，则平面或平面， 平面，平面，平面且与平面不平行， 故假设错误，即不平行于平面，C错误； 对于D，因是的中点，平面，则点平面，故平面不成立，故D错误. 故选：AB. 【典例4-4】(25-26高二上·上海杨浦·月考)已知正方体的棱长为2，点，分别在棱与线段上，，在线段上，若//平面，则__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】根据线面平行的性质定理可得，所以在中，再由正方体的棱长为2，代入数据即可求解. 【详解】如图所示，因为平面，平面，平面平面, 所以，所以在中，, 因为正方体的棱长为2，所以，， 因为，所以，所以. 故答案为： 【变式4-1】(23-24高二上·上海·月考)在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为2，点到的距离为3，则过点且与平行的直线交正方体于两点，则点所在的平面是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间中的点(线)共面问题、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】根据平面的基本性质，确定点与直线所确定的平面，即直线所确定的平面，延长，交于点M，即得Q所在的平面. 【详解】如图，由条件可知直线交线段于点，连接，过点作的平行线，必与相交，那么也与平面相交. 故选：C. 【变式4-2】(2025·海南·模拟预测)如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则(   )    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、由线面平行求线段长度 【分析】在平面内，作，与DE交于点，连接CF，证明MFCN是平行四边形，根据梯形中位线可求MF长度，从而得到答案. 【详解】如图所示，在平面内，作，与DE交于点，连接CF，则，所以共面，因为∥平面CDE，由线面平行的性质知，所以MFCN是平行四边形，所以. 又是的中点，所以MF是梯形的中位线， 设，则，即，所以，所以. 故选：B. 【变式4-3】(24-25高一下·安徽宿州·期末)在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】作图，根据线面平行的判定定理可知平面，然后根据线面平行的性质定理可知，可得，判断即可. 【详解】设平面DAM与交于点P，连接DP交于点Q，连接QN，如图： 因为平面DAM，平面DAM， 所以平面DAM，又平面，平面平面，所以， 因为M是三等分点，所以，因为平面平面，所以平面， 又平面PDM，平面平面，所以， 所以，因此． 故选：C 【变式4-4】(25-26高二上·河南南阳·月考)如图，一个正四棱台的上底边长是下底边长的一半，经过点的平面与直线交于点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】正棱台及其有关计算、由平面的基本性质作截面图形、判断线段比例或点所在的位置 【分析】根据正四棱台的性质，作出面与直线的交点，进而求出结果. 【详解】连接，且，连接并延长交直线于，连接，如下图所示， 因为，所以面，所以面， 由正四棱台性质可知，，所以四点共面， 所以直线和直线相交，交点即为经过点的平面与直线交于点； 因为正四棱台的上底边长是下底边长的一半，则，则，所以，可得. 故选：A. 【变式4-5】(多选)(24-25高三上·山西大同·期末)如图，在棱长为1的正方体中，过且与平行的平面交于点，下列说法正确的是(    ) A． B． C．直线与所成角正切值为2 D．直线与所成角正切值为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、求异面直线所成的角 【分析】利用补形思想，在正方体的左侧补一个全等的正方体，则P点位置即可直接确定，结合P点位置所有选项都可直接验证. 【详解】解析：如图，利用补形思想，在正方体的左侧 补一个全等的正方体，并平移到，则平面为过且与平行的平面， 显然平面交于点，为的中点，故对，错； 由于直线与所成角为，且，故正切值为2，故C对，D错， 故选：AC. 【变式4-6】(24-25高三上·湖南长沙·期中)在棱长为 4的正四面体中，为其外接球的球心，过点 作平面使得 .若，则截正四面体所得截面的面积为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、棱锥中截面的有关计算 【分析】根据正四面体的对称性确定截面，分析计算截面三角形的底和高，利用公式求面积. 【详解】如图，即为截面三角形，取中点，连接 ，，连接. 由对称性得，为等边的中心、重心， 三点共线，. ∵平面，平面，平面平面， ∴，分别为线段上靠近点的三等分点，. 在 中，，由为的中心得平面， ∵平面，平面，∴，， 由题意得，，故， ∴的面积为：. 故答案为：. 一、单选题 1.(2024高三·全国·专题练习)下列命题中正确的个数是(    ) ①若直线上有无数个点不在平面内，则；②若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都平行；③若直线直线，直线平面，则直线平面； ④若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】对于①，由线面位置关系的定义判断；对于②，由线面平行的性质判断；对于③，由线面平行的判定定理判断；对于④，由线面平行的定义判断. 【详解】对于①，若直线上有无数个点不在平面内，则直线可能与平面相交，也可能与平面平行，①错误； 对于②，当直线 平面时，直线与平面内的直线平行或异面，②错误； 对于③，当直线直线，直线平面，则直线平面，或直线在平面内，③错误； 对于④，当直线平面时，则直线与平面无公共点，所以直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，④正确. 故选：B. 2.(24-25高一下·安徽蚌埠·期中)已知直线a，b，平面，，且，，，a，b共面，则下列结论一定成立的是(   ) A． B． C．直线与内的任意直线均异面 D．a，b，l交于一点或互相平行 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间中的点(线)共面问题、线面关系有关命题的判断、判断线面平行 【分析】令a，b共面，分或进行判断. 【详解】令a，b共面，则， 若，，，则， 又，，所以，则； 若，则，而，所以， 所以a，b，l交于一点， ，b，l交于一点或互相平行. 故选：D 3.(24-25高一下·全国·课后作业)如图，已知平面，，，若，则与的位置关系是(   ) A．平行 B．相交 C．异面 D．无法确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】线面平行的性质、判断线面平行 【分析】应用线面平行性质定理得出线线平行，进而得出线面平行，最后再应用性质定理即可得解. 【详解】由，，得． 因为平面，平面，所以平面． 又，平面，所以． 故选：A. 4.(23-24高一下·安徽六安·期末)如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线；②相交于一点；③；④平面. 其中正确的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、异面直线的判定、空间中的点(线)共面问题 【分析】①，作出辅助线，得到四点共面，故①错误；②，在①基础上得到交于一点，故②错误；③，作出辅助线，得到为平行四边形，，③错误；④，作出辅助线，得到面面平行，进而得到线面平行. 【详解】①，连接，因为分别是的中点，所以， 因为，所以，故四点共面，故与是共面直线，①错误； ②，由①可知，与是共面直线，延长相交于一点，故平面，平面， 所以平面与平面的交线，即， 故交于一点，所以不相交于一点，②错误； ③，取的中点，连接，则且， 又且，故且，故四边形为平行四边形， 故，故不平行，③错误； ④，取的中点，连接，，因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，④正确 故选：A 5.(24-25高一下·全国·课后作业)在空间四边形中，，，，分别是，，，上的点，当平面时，下列结论中正确的是(    ) A．，，，一定是各边的中点 B．，一定是，的中点 C．，且 D．，且 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、线面平行的性质 【分析】运用线面平行的性质，结合平行线分线段成比例定理可解. 【详解】∵在三棱锥中，分别是上的点. 平面，平面,平面平面， ∴，同理，∴且． 由题意无法确定其余选项是否正确， 故选：D．    6.(20-21高一下·江苏南通·期中)四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中点，点M在线段PC上，，平面，则实数t的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN，证明MN//PA，再借助比例式即可作答. 【详解】四棱锥中，连接AC交BQ，BD分别于点N，O， 因底面ABCD为平行四边形，则O是AC中点，也是BD中点， 而点Q是AD中点，于是得点N是重心，从而得， 连接MN，如图，因平面，平面，平面平面， 因此得，于是得，所以实数t的值为. 故选：C 7.(22-23高三下·湖北武汉·期中)在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是(    )． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、台体体积的有关计算、棱台表面积的有关计算 【分析】根据正四棱台的体积公式、结合基本不等式、线面平行的判定定理、梯形的面积公式进行求解即可． 【详解】设，上底面和下底面的中心分别为，，过作, 该四棱台的高， 在上下底面由勾股定理可知，． 在梯形中，， 所以该四棱台的体积为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，． 取,的中点，,连接,，显然有， 由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面． 显然，在直角梯形中，， 因此在等腰梯形中，， 同理在等腰梯形中，， 在等腰梯形中，设，，则， ，所以梯形的面积为， 故选：C． 8.(22-23高三·北京顺义·期末)在棱长为1的正方体中，动点P在棱上，动点Q在线段上、若，则三棱锥的体积(    ) A．与无关，与有关 B．与有关，与无关 C．与都有关 D．与都无关 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、判断线面平行 【分析】根据得出平面，所以点到平面的距离也即到平面的距离，得到点到平面的距离为定值，而底面的面积也是定值，并补随的变化而变化，进而得到答案. 【详解】因为为正方体，所以 因为平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离也即到平面的距离，也即点到平面的距离不随的变化而变化，设点到平面的距离为，过点作，根据正方体的特征可知：平面，因为平面，所以，，所以平面，则有， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以点到的距离也即到的距离，且距离为1，所以(定值)， 所以(定值)， 则三棱锥的体积不随与的变化而变化，也即与与都无关. 故选：. 二、多选题 9.(24-25高一下·河南·期中)已知a，b是两条不同的直线，是一个平面，下列命题错误的是(    ) A．， B．， C．， D．，， 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】判断线面平行 【分析】A. 利用线面平行的判定定理判断；B.利用线面平行的性质定理判断；C.利用线面平行的判定定理判断；D.利用线面平行的判定定理判断. 【详解】A. ，或，故错误； B. ，或a与b异面，故错误； C. ，或，故错误； D. ，，，故正确； 故选：ABC 10.(24-25高一下·江苏苏州·月考)在四棱台中，底面ABCD为梯形，，则(   ) A．平面内任意一条直线都不与BC平行 B．平面内存在无数条直线与平面平行 C．平面和平面的交线不与底面ABCD平行 D．平面和平面的交线不与底面ABCD平行 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行、线面平行的性质 【分析】根据线线，线面平行的判断定理和性质定理，即可判断选项. 【详解】A.由条件可知，梯形中，和是相交直线，且平面，则直线与平面相交， 所以平面内任意一条直线都不与BC平行，故A正确； B.平面与平面相交，则平面内与交线平行的线都与平面平行，故B正确； C.设平面和平面交于直线，因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面平面，所以， 因为平面，平面，所以平面，故C错误； D. 若平面和平面交于直线，若平面，平面平面， 平面平面，所以，且，则，这与梯形的两腰不平行矛盾，所以D正确. 故选：ABD 11.(23-24高二上·河北唐山·开学考试)如图，正方体的棱长为1，，，分别为BC，，的中点，则(    ) A．直线与直线DC所成角的正切值为2 B．直线与平面AEF平行 C．点与点到平面AEF的距离相等 D．平面AEF截正方体所得的截面面积为 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、求异面直线所成的角、证明线面平行、求点面距离 【分析】.根据，得到直线与直线所成的角求解；.取中点，连接，，利用面面平行的判定定理和性质定理判断；.假设与到平面的距离相等，转化平面是否过的中点判断；.根据，把截面补形为等腰梯形判断. 【详解】如图所示：.因为，所以直线与直线所成的角，，故错误； B.取中点，连接，，在正方体中，，， 平面，平面，所以平面，同理可证平面， 又平面，所以平面平面， 平面，所以平面，故正确； .假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点， 连接交于，显然不是中点，则假设不成立，故错误； .在正方体中，，把截面补形为等腰梯形， 易知，之间的距离为， 所以其面积为，故正确， 故选：BD 三、填空题 12.(24-25高一下·安徽芜湖·期中)如图，在三棱柱中，E是棱上的一点，且，D是棱BC上一点.若平面ADE，则的值为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质及可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面，所以，所以， 因为，所以，所以，即，可得. 故答案为：. 13.(2027高三·全国·专题练习)如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在正方形内，若，∥平面，则的最小值是________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】判断线面平行 【分析】通过作辅助线构造与已知平面平行的平面，确定出动点P所在的线段，再求定点到该线段上点的距离的最小值. 【详解】如图，分别取棱，的中点，，连接，，． 因为正方体中，，所以平面内两相交直线，与平面平行， 所以平面平面，则点在线段上． 过点作，垂足为，连接，则， 当且仅当与重合时，． 故答案为：. 14.(2023·浙江宁波·一模)在棱长均相等的四面体中，为棱(不含端点)上的动点，过点的平面与平面平行．若平面与平面，平面的交线分别为，则所成角的正弦值的最大值为________． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、余弦定理解三角形、求异面直线所成的角、线面平行的性质 【分析】根据面面平行的性质定理说明，从而说明或其补角即为所成的平面角，利用余弦定理求得的长，结合同角的三角函数关系即可求得答案. 【详解】连接，由题意知过点的平面与平面平行， 平面与平面、平面的交线分别为， 由于平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 所以或其补角即为所成的平面角， 设正四棱锥的棱长为1，，则， 在中，由余弦定理得， 同理求得， 故在中，， 由于，则， 进而， 当时取等号，故的最小值为， 进而，故的最大值为. 故答案为：．    四、解答题 15.(22-23高一下·吉林通化·月考)如图所示，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形．    (1)求证：平面 (2)若且，为其所在棱的中点，求四边形面积. 【答案】(1)证明见解析;(2) 【难度】0.85 【知识点】棱锥中截面的有关计算、证明线面平行、线面平行的性质、由线面平行求线段长度 【分析】(1)根据题意，利用线面平行的判定和性质定理，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得. (2)根据题意，得到四边形为矩形，进而求得其面积. 【详解】(1)证明：因为截面是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面，， 因为平面，且平面平面，所以， 又因为平面，EH在面EFGH内，所以平面. (2)因为分别为的中点，且， 可得且，且， 因为，可得，所以四边形为矩形， 所以四边形的面积为.   16.(24-25高一下·安徽合肥·期末)如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． (1)证明：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行 【分析】(1)根据线面平行的判定定理即可证明结论； (2)作出异面直线与所成角，判断是直角三角形，即可求得答案. 【详解】(1)连接交于，连接，易得为中点． 在正三棱柱中，因为、分别为、中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 (2)取中点，连接． 在正三棱柱中，设，因为、分别为、中点， 可得，且，所以四边形是平行四边形 所以，或其补角即为异面直线与所成的角． 在中，，满足， 则是直角三角形，所以． 即异面直线与所成角的余弦值为． 17.(2025高一·全国·专题练习)如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，、、分别为、、的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明；(2)求证：平面； 【答案】(1)，证明见解析;(2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. (2)取中点，证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】(1).证明如下： 因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. (2)取中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以且， 因为四边形为平行四边形，所以且， 因为为的中点，所以且， 所以，故四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面. 18.(24-25高一下·湖北恩施·期末)如图，四棱锥中，平面平面 ． (1)若，记三棱锥外接球的球心为O． (i)求证：平面PAB；(ii)求三棱锥外接球的表面积． (2)记，当时，求三棱锥体积的最大值． 【答案】(1)(i)证明见解析；(ii)；(2). 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】(1)(i)首先根据正弦定理求出的外接圆半径，然后确定的外接圆圆心，最后通过证明证明线面平行；(ii)先确定外接球的半径，然后利用公式求出三棱锥外接球的表面积. (2)要使得三棱锥体积的最大，只需底面的面积最大，结合余弦定理和三角形面积公式求出三棱锥体积的最大值. 【详解】(1)(i)证明：因为平面平面，平面平面， 作，则为的中点，且平面． 因为．所以底面四边形为菱形， 因为，所以，即． 由正弦定理得外接圆的半径为． 设外接圆圆心为，则． 又，从而与重合，即为外接圆圆心． 由三棱锥的外接球的性质，即平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面． (ii)由题意，为正三角形，则外接圆的圆心在上，记为， 由正三角形性质可得圆的半径，则． 连接，则平面，所以为矩形， 三棱锥的外接球． 所以三棱锥的外接球的表面积． (2)由(1)可知，平面，为三棱锥底面上的高，． 要使得三棱锥体积的最大，只需底面的面积最大． 连接，那么． 又．因为，所以 ． 所以 ． 从而． 令，所以时，面积最大． ．故． 19.(23-24高一下·福建龙岩·期中)如图1，在平面四边形中，，，.是线段上靠近端的三等分点，是线段的中点，.将沿折成四棱锥，连接，，，如图2. (1)在图2中，证明：平面；(2)在图1中，求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2)1 【难度】0.4 【知识点】已知向量共线(平行)求参数、用基底表示向量、证明线面平行 【分析】(1)由得到，从而，结合得到，所以，由线面平行的判定得到平面； (2)由，，三点共线，，又由、的位置得到，从而，再由，，三点共线得到，解出，从而. 【详解】(1)证明：连接，交于点，连接， ， ， 又 ， ， 又 是线段上靠近端的三等分点， ， ， ， 平面，平面， 平面. (2)由，可知，，三点共线，，，三点共线， 由，，三点共线，可设()， . 是的中点， ， 是线段上靠近端的三等分点， ， ， 故，即， 由，，三点共线，可得，解得， 故. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4-4线面平行讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01判断线面平行 4-4线面平行 知识点01空间直线与平面的位置关系 题型02证明线面平行 题型03线面平行的性质 题型04线面平行性质得应用 知识点02线面平行 教学目标、教学重难点 教学目标 掌握线面平行的判定与性质，能熟练应用线面平行的性质解决距离和角度问题 教学重点 线面平行的判定与性质： 教学难点 应用线面平行的性质解决距离和角度问题. 知识清单 知识点01空间直线与平面的位置关系 (直线与平面平行 空间直线与平面的位置关系： 直线在平面外 (直线与平面相交 、直线在平面内 【即学即练1-1】(23-24高一下·云南保山期中)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点E,F分别是棱A1C1, BC的中点，则下列结论中正确的是() A.AF与C1C异面 B.AE与C1C异面C.EFC平面A1C1CD.AFC平面A1B1C1 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断线面平行、判断图形中的线面关系、异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】根据直三棱柱的性质及空间中线线、线面的位置关系判断即可。 【详解】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1/CC1,AA1,CC1C平面AA1C1A, AF∩AA1=A,且AFt平面AA1C1A,C￠AF,所以AF与C1C异面，故A正确： 第1页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 显然AEC平面AA1C1A,C1CC平面AA1C1A,故AE与C1C共面，故B错误： 因为FE平面A1C1C,所以EF￠平面A1C1C,故C错误； 在直三棱柱ABC-A1B1C1中平面ABC/平面A1B1C1,AFC平面ABC, 所以AF/平面A1B1C1,显然AF￠平面A1B1C1,故D错误. 故选：A 【即学即练1-21（多选）(24-25高一下，福建福州·期中)如图，在透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1 内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器以BC所在直线为轴顺时针旋转，则() D B B A.有水的部分始终是棱柱 B.四边形EFGH为矩形且面积不变 C.棱A1D1始终与水面平行 D.当点H在棱CD上且点G在棱CC1上（均不含端点）时，BE·BF是定值 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行、棱柱的结构特征和分类 【分析】利用棱柱的几何特征判断A:根据水面矩形变化情况判断B；利用线面平行的判定判断C;利用盛 水的体积判断D作答 【详解】对于A,有水部分的几何体，有两个面都垂直于BC,这两个面始终平行，而AD/BC, 并且BC始终与水面平行，即有FG/BC,若点H在棱DD1上，由面面平行的性质知， EH/FG,若点H在棱CD上，EH/BC,因此该几何体有两个面互相平行，其余各 面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱，A正确： 对于B,因为水面EFGH为矩形，边FG的长不变，EF随旋转角的变化而变化，矩形EFGH的面积不是定值， B错误： 对于C,因为A1D1始终与BC平行，而BC始终与水面平行，并且A1D1不在水面所在平面内，即棱A1D1始终与 水面平行，C正确： 对于D,当点H在棱CD上且点G在棱CC1上（均不含端点）时，有水部分的棱柱的底面为三角形， 而水的体积不变，高BC不变，则底面面积BE·BF不变，即BE·BF为定值，D正确 故选：ACD 知识点02线面平行 1.线面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 (简记为：线线平行→线面平行) 符号表示：l∥a,aCa,tc→l∥a 第2页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 /a 2线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 (简记为：线面平行→线线平行) 符号表示：1∥a,ICB,anB=b→l∥b 【即学即练2-1】(23-24高一下·陕西渭南·月考)若两个平面平行，则下列说法中不正确的是() A.其中一个平面内的所有直线与另一个平面平行 B.若一个平面与这两个平面相交，则这两条交线无公共点 C.其中一个平面内的所有直线与另一个平面内的所有直线平行 D.不在这两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则与另一个平面也平行 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行 【分析】根据两平面平行的定义和性质判断各个选项： 【详解】对于A,根据两个平面平行可知，其中一个平面内的所有直线与另一个平面平行，A正确： 对于B,根据两平面平行性质可知，若一个平面与这两个平面相交，则这两条交线平行无公共点，B正确： 对于C,根据两平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线平行或异面，C错误： 对于D,不在这两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则与另一个平面也平行，D正确： 故选：C 【即学即练2-2】（多选）25-26高一下·全国·课后作业)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的是() A.AD1//平面BCC1B1 B.AC与BC1相交 C.点A1,D1到平面BCC1B1的距离相等 D.与AB平行的面只有一个，与AB垂直的面有两个 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、判断线面平行、异面直线的概念及辨析、棱柱的结构特征和分类 【详解】对于A:在正方体中，可证四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1/BC1, 又BC1C平面BCC1B1,且AD1￠平面BCC1B1, 由线面平行的判定定理可知AD1/平面BCC1B1,故A正确： 对于B:ACC底面ABCD,BC1C平面BCC1B1,两条直线没有公共点，是异面直线，不相交，B错误： 对于C:设正方体棱长为a,A1到平面BCC1B1的距离为A1B1=a, D1到平面BCC1B1的距离为D1C1=a,二者距离相等，C正确： 对于D:与AB平行的面不只1个：如平面A1B1C1D1、平面CDD1C1等，因此“只有一个"的描述错误，D错误. 题型精讲 第3页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型01判断线面平行 【典例1-1】(21-22高一下.宁夏吴忠·期中)下列命题正确的是() A.a//b,bca→a/a B.al/a,bca→al/b c.a/1a,a//b→b/1a D.ata,a/b,bca→a/c 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】线面平行的性质、判断线面平行 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理依次判断各选项即可得出结果. 【详解】对于A,a/b,bca,有可能aca,A错误： 对于B,a/a,bca,有可能a,b异面，B错误： 对于C,a//a,a//b,有可能bca,C错误： 对于D,由线面平行的判定定理可知D正确. 故选：D 【典例1-2】(25-26高一下，全国·课堂例题)已知直线a/直线b,b/直线c,c/平面a,则(） A.a//a B.acaC.a与a相交D.a/a或aCa 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断线面平行 【分析】由平行公理得a/c,再由直线和平面的位置关系即可判断. 【详解】a/b,b/c,.a/c,c//a,a/a或aca. 故选：D 【典例1-3】（多选22-23高一下·海南海口·期末）已知m,n为两条不同的直线，%，B为两个不同的平面，则下 列命题正确的是() A.若m1,n1a,则m/m B.若mc,nca,m/B,n/B,则a/B C.若1B,mca,则m1B D.若⊥B,m⊥B,m￠，则m//a 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线平行、判断线面是否垂直、判断面面平行、判断线面平行 【分析】根据线面垂直、线面平行、面面平行、面面垂直的判定定理和性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A:若m⊥a,n1a,那么垂直于同一平面的两条直线平行，所以m/n,所以A正确： 对于选项B:若mca,nca,m/β，n/B,那么a,B可能平行，也可能相交，只有当m,n相交时，a/B,所 以B错误； 对于选项C:若aIB,mca,那么m,B可能垂直，可能平行，也可能相交，所以C错误： 对于选项D:若a1B,m1B,m￠a,那么平面a外的一条直线平行于该平面，所以m/a,所以D正确. 故选：AD 第4页共43页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 《典例1-4】(2025高一·全国.专题练习)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,H分别为DD1,AB的中点， 点E,G分别在线段BC,CC上，且CF=CG=BC,则在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中，与平面ACE 平行的条数为 Dy H 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行、证明线面平行、线面平行的性质 【分析】根据线面平行判定定理得出GH/平面ACE,再应用线面平行性质定理得出HF/AC及FG//IN,即 可判断 【详解】如图，取CE,CC的中点L,M,1G/EM且IG=EM. D 分 又AH/EM且AH=二EM,所以AH/IG且AH=IG,四边形AHGI为平行四边形，则GH/AL. 又GH丈平面ACE,AIC平面ACE,故GH/平面ACE: 若HF/平面ACE,HFC平面ABCD,平面ABCD∩平面ACE=AC,则HF//AC,矛盾； 过点F作FNI/AB交AC于点N,连结N,CF=CB,则FN=AB 若FG/平面ACE,FGc平面FGIN,平面FGIN O平面ACE=IN,故FG/IN, 又IG/FN,则四边形FGIN是平行四边形，但IG=AB≠NE,矛盾。 故在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中，与平面ACE平行的有1条. 故答案为：1. 【变式1-1】(2023高一下·全国.专题练习)已知a,b,c为三条不重合的直线，a,B,Y为三个不重合的平面 其中正确的命题()》 ①al/c,b/c→al/b:②aly,b/y→al/b;③a/c,cl/a→al/a;④a/1y,a/a→al/y; ⑤ata,bc,a/b→a/a. A.①⑤ B.①② c.②④ D.③⑤ 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断线面平行 第5页共43页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】分析各直线，平面的关系即可得出结论 【详解】由题意，①a//c,b/c,故aIb,故正确： ②a/Y,b/y,则a与b有可能平行、相交、异面，故错误： ③a/c,cl/a,则a/a或aca,故错误；④a/y,a/a:则y与a可能平行或相交，故错误： ⑤a￠a,bca,alb,由线面平行的判定定理可得a‖a,故正确 故选：A I变式1-2】(24-25高一下江苏准安期末)已知a,B是两个不同的平面，是一条直线，下列条件中一定能使 /B成立的是() A.Illa,allB B.l⊥，a⊥B C.II‖a,a1B D.Ica,allB 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断线面平行 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项 【详解】A.若lIa,aIB,则lCB或/IB,故A错误：B.若l⊥a,a⊥B,则lCB或l/B,故B错误； C.若lIa,a1B,则//B,或lcB或相交，故C错误；D.若lca,aIB,则l/B,故D正确， 故选：D 【变式1-3】(2025高一全国.专题练习)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E,F,H,K分别为AC1,CB1,A1B, B1C1的中点，G为△ABC的重心.在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是(). G A.平面EFB1 B.平面EFH C.平面EFK D.平面EFG 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行 【分析】根据线面平行的关系直接判断得出. 【详解】如图1，平面EFB1即平面A1CB1,只有1条棱AB与其平行，所以A错误： 如图2，对于平面EFH,有6条棱与其平行，它们分别为AB,BC,CA,A1B,B1C1,C1A1,所以B错误： 图1 图2 图3 图4 第6页共43页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图3，对于平面EFK,有5条棱与其平行，它们分别为AB,A1B1,AA1,BB1,CC1,所以C错误： 如图4，平面EFG由平面EFK绕直线EF旋转得到，有2条棱AB,A1B1与其平行，其余各棱均与其相交，所 以D正确， 故选：D 【变式1-4】(24-25高二下.四川内江·开学考试)一棱长为a的正四面体木块如下图所示，点P在平面VAC内， 过点P将木块锯开，且使截面平行于直线VB和AC,则在木块表面画线的总长度为) A.a B.2a C.4a D.无法确定 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】棱锥中截面的有关计算、判断线面平行 【分析】根据线面平行的判定定理，通过构造平行线确定截面，截面周长即为所求 【详解】如图，在平面VAC内过点P作MNI‖AC,分别交VA,VC于点M,N,则VM=VN=MN,MN=NC. 在平面VAB内作ME II VB交AB于点E,在平面VBC内作VF II VB交BC于点F,则ME=MA,NF=NC, ∴.ME I NF,ME=NF,故截面为平行四边形MNFE, ∴.在木块表面画线的总长度为2(MN+ME)=2(WM+MA)=2VA=2a. 故选：B 〖变式1-5】（多选）24-25高一下江西南昌期末)如图，点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则 下列各图中满足直线MNI平面ABC的是() A. D B 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行 第7页共43页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】根据线面平行的判定定理逐项判断即可. 【详解】选项A,如题所示连接ND交BC与E,则E为BC中点， 又因为A是MD中点，所以AE II MN, 因为MN女平面ABC,AEC平面ABC,所以MNI平面ABC,A满足题意： 选项B,将直线MW平移使得点N与点C重合，则显然可知MN与平面ABC不平行，B不满足题意： 选项C,连接AM,由条件和正方体的性质可知BCI‖AM,AC II MN, 所以A,B,C,M,N五点共面，即MN在平面ABC内，所以MN与平面ABC不平行，C不满足题意： 选项D,取BC的中点为E,连接AE,NE, 因为N是棱上中点，所以EN II AM,EN=AM,所以四边形AMNE是平行四边形， 所以MN IIAE,因为MN丈平面ABC,AEC平面ABC,所以MNI平面ABC,D满足题意： 故选：AD 【变式1-6】(24-25高一下.天津期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的 中点给出下列三个推断： ①FG/平面AA1D1D;②EF//平面BC1D1;③FG/平面BC1D1 其中推断正确的序号是 【答案】①③ 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行 【分析】由己知可得FG/BC1/AD1,由线面平行的判定定理可判断①：由EF/A1C1,A1C1与平面BC1D1 相交可判断②：由FG/BC1,根据线面平行的判定定理可判断③， 【详解】如图，连接AD1BC1,A1C1: 第8页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于①：因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点， 所以FG/BC1,因为BC1/AD1,所以FG/AD1, 因为FG￠平面AA1D1D,AD1C平面AA1D1D,所以FG/平面AA1D1D,故①正确： 对于②：因为EF/A1C1,A1C1与平面BCD1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误： 对于③：因为E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点，所以FG/BC1, 因为FG平面BC1D1,BC1C平面BC1D1,所以FG/平面BC1D1,故③正确； 故答案为：①③ 题型02证明线面平行 【典例2-1】(24-25高二下·湖南长沙期中)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线B1D1与平面BC1D 的位置关系是() A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.直线BD1在平面BC1D内 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】证明线面平行 【分析】根据正方体性质，结合线面平行的判定来判断即可。 【详解】根据正方体性质知道，B1D1/IBD,BDC平面BC1D,B1D1￠平面BC1D,则B1D1/平面BC1D. 故选：A 【典例2-2】(24-25高一下·河北月考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D、E分别在棱AA1,CC1上，且 AA1=4,CE=AD=3,点F满足BF=λBD(0<λ<1)，若B1E//平面ACF,则的值为() A C. 0. 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行 第9页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据线面平行的判定定理找到过直线AC且与直线B1E平行的平面，进而确定点F的位置，最后利用 相似求解即可」 【详解】在BB1上取一点G使得B1G=3,连接CG,AG,AG与BD交于一点F,即为所求（如图所示）. 证明如下：因CE=B1G=3,CE/B1G,则四边形B1GCE为平行四边形，则B1E//GC, 又B1E￠平面ACG,CGc平面ACG,则B1E/平面ACG,即B1E/平面ACF, 又△BFG△DFA,AD=3,BG=1,则=胎=号则BF=8D,即A的值为 故选：D 【典例2-3】（多选(24-25高一下·重庆期末）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F,G,H分别为棱 A1B1,BC,CD,B1C1的中点，则下列结论正确的是() A.异面直线EF与A1C:所成角的正弦值为 B.EFII平面AA1C1C C.直线AE与CH是异面直线 D.过A,E,G三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面形状为菱形 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、异面直线的判定、求异面直线所成的角、证明线面平行 【分析】利用定义法作出异面直线所成的角，然后求解即可判断A,利用线面平行的判定定理即可判断B, 利用平面的性质判断C,作出截面利用菱形的定义判断D. 【详解】对于A,如图所示，取A1C1的中点0，连接0E,0C,因为0E1/B1C/BC,0E=B1C,CF-BC, 所以四边形0EFC为平行四边形，所以EF/OC,故LCOC1或其补角即为异面直线EF与A1C1所成角， 设正方体ABCD-4B1C1D:的棱长为a,在Rt△0C1C中，0G1=号acG=a0C=兰a, 所以s血C0C=瓷=号即异面直线F与A1C,所成角的正弦值为号，赦A正确： 对于B,由选项A可知，EF/OC,OCC平面AA1C1C,EF2平面AA1C1C,所以EFI平面AA1C1C,故B正确： 第10页共43页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于C,如图所示，连接EH,因为A1C1//EH,A1C1/AC,所以AC/EH,所以A,C,E,H四点共面， 所以直线AE与直线CH共面，故C错误： 对于D,如图所示，取AB的中点K,连接KE,KC,连接C1E,C1G, 因为KE/B1B/C1C,KE=C1C,所以四边形C1EKC为平行四边形，所以C1E/CK,C1E=CK, 同理AG/CK,AG=CK,所以C1E/GA,C1E=GA,所以四边形C1EAG为平行四边形， 则过A,E,G三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形C1EAG, 又AE=AG= a2+ -a,所以四边形CEAG为菱形，故D正确，故途：A80 【典例2-4】(25-26高一下.全国课堂例题)如图，棱长为1的正方体ABCD-A'BCD中，E,F分别为AD, AB的中点，点G在上底面ABCD(含边界)上运动，若满足BC/平面EFG,则点G的轨迹长度为 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】取BB,BC,CD,DD中点分别为Q,M,N,P,连接BD,BD',FQ,QM,MN,NP,PE,证 明BC/平面EFQMNP,点G在平面EFQMNP内，可得点G在面EFQMNP与面ABCD的交线上，即可求解 【详解】取BB,BC',CD',DD的中点分别为Q,M,N,P,连接BD,BD,FQ,QM,MN,NP,PE, 因为E,F分别为AD,AB的中点，所以EF/IBD,同理可得MN//BD, 因为BB'/IDD,BB=DD,所以四边形BB'D'D是平行四边形，可得B'D/IBD, 所以EF/MN,同理可证PE/QM,PN/FQ,所以E,F,Q,M,N,P共面， 因为BC'/QM,BC'￠面EFQMNP,QMC面EFQMNP,所以BC/平面EFQMNP, 若BC/平面EFG,则点G在平面EFQMNP内， 又因为点G在上底面A'B'C'D(含边界)，所以点G在面EFQMNP与面AB'C'D的交线上， 所以点G在线段MN上，则点G轨迹长度为号 第11页共43页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 【变式2-1】(24-25高一下江苏苏州·月考)如图，在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,M,N 分别为棱A,AD,D,G,C1B,的点，满足器=-铝=怎=AQ∈(Q,1》,过，户，M,N四点作该 正方体的截面，则下列说法错误的是() A.入=时，该截面是正六边形 B.1=时，四边形EFMN为正方形 C.MN/平面AD1B1 D.当四边形EFMN为正方形时，它的面积为号 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断正方体的截面形状、证明线面平行 【分析】先根据线段比例关系利用相似三角形性质判断线线平行，再依据线面平行判定定理判断线面平行： 然后针对四边形为正方形的情况，通过构建直角三角形，利用勾股定理建立等式求解相关参数，并进一步 判断选项， 【详解】在正方体中，因为”=，根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角 C1D1-C1B1' 形相似)，可知△C1MN与△C1B1D1相似，所以∠MC1N=∠B1C1D1,进而可得MN/B1D1, 又因为线面平行的判定定理，已知MN2平面AD1B1,B1D1C平面AD1B1,所以MN/平面AD1B1,故C选项 正确 判断当入=时截面的形状：当入=时，如前面第一个图，可以得到该截面为正六边形，所以A选项正确。 判断四边形EFMN为正方形时的情况：如前面第二个图，作NH⊥BC,垂足为H. 在正方体中，棱长设为1，所以NH=1. 因为=9N=元，根据正方体棱长以及线段比例关系可得MN=√2元 C1D1 C1B1 又因为EH的长度，根据正方体棱长以及的关系可得EH=√2(1一)， 在Rt△ENH中，根据勾股定理EN=√WH2+EH严=√1+2(1-)2】 由于四边形EFMN为正方形，所以MN=EN,即V21=√1+2(1-)7 等式两边同时平方可得22=1+2(1-21+2)， 展开括号：22=1+2-4M+22.移项化简可得：4以=3，解得入=子 比时MN=V2×:=2,正方形EFMN的面积为MN=(平)P=?所以B选项错误，D选项正确. 第12页共43页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 综上，A、C、D选项正确，B选项错误， 故选：B. 【变式2-2】(24-25高一下.福建三明·期中)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为4，点E为AB的中点， 过点E及直线A1C1的平面截这个正三棱柱，则该截面的面积是() A.2V5 B.3V5 c.219 D.3W19 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】由线面平行的判断定理和性质定理可得截面为等腰梯形，故可求其面积 【详解】设过点E及直线A1C1的平面交直线BC于F, 由棱柱ABC-A1B1C1可得A1C1/AC,而A1C1￠平面ABC,ACC平面ABC, 故A1C1/平面ABC,而面ABCn平面A1C1E=EF,A1C1C面A1C1E, 故A1C1/EF,而E为AB的中点，故F为BC的中点，故A1E=C1F=√4+16=2V5,而EF=2, 故在等腰梯形A1C1FE中，高为20-( =V西.故截面的面积为2学×V西=3西， 故选：D. 〖变式2-3】(24-25高一下·河南·期中)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D,E分别在棱AA1,CC1上， AB=AC=AD=A1D=3,CE=2C1E=4,点F满足BF=1BD(0<1<1),若B1E//平面ACF,则λ的值 为) A. B. C. 0.月 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行 【分析】根据线面平行的判定定理找到过直线AC且与直线B1E平行的平面，从而可以确定F点位置，进而求 解即可， 【详解】在BB1上取一点G使得B1G=2BG,连接CG,AG,AG与BD交于一点F,即为所求（如图所示） 第13页共43页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 证明如下：根据已知CE=2C1E=4,∴CC1=BB1=6, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1G/CE,且B1G=CE=4, .四边形B1GCE为平行四边形，B1E/CG,~B1E￠平面ACG,CGCc平面ACG, ·B1E/平面ACG,即B1E/平面ACF 又△BFG△DFA,=-器-号匪-8D,即A的值号 故选：A 〖变式2-4】(2022·安徽.三模)己知长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=AA1=4,BC=3,M为AA1的中点，N 为C1D1的中点，过B1的平面a与DM,A1N都平行，则平面a截长方体所得截面的面积为) A.3V22 B.3V11 C.4v22 D.5V11 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、正棱柱及其有关计算、由平面的基本性质作截面图形、证明线面平 行 【分析】过B1作B1E//A1N交D1C1延长线于E,G为CC1中点，连接B1G,利用长方体性质及线面平行的判定 证A1N//面B1GE、DM/面B1GE,即面B1GE为平面a,再延长EG交DC于F,连接AF,利用线线、线面的性 质确定面AFGB1为平面a截长方体所得截面，最后延长AF,B1G分别交BC于一点并判断交于同一点，根据已 知结合余弦定理、三角形面积公式及SAFGB,=3△AHB,求截面面积即可. 【详解】过B1作B1E/A1N交D1C1延长线于E,则C1E=D1C1,若G为CC1中点，连接B1G, 而M为AA1的中点，在长方体中B1G/DM,而B1GnB1E=B1且B1G,B1EC面B1GE, B 由A1N面B1GE,则A1N/面B1GE,由DM￠面B1GE,则DM/面B1GE, 所以面B1GE即为平面a,延长EG交DC于F, 易知：F为DC中点，则EF//C1D且EF=C1D,又C1D/B1A且C1D=B1A, 故AFEB1为平行四边形，则EF/B1A且EF=B1A,故A,F,E,G,B1共面， 连接AF,即面AFGB1为平面a截长方体所得截面， 延长AF,B1G分别交BC于一点，而在△ABH,△B1BH中CF,CG都为中位线， 第14页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由AB=AA1=4,BC=3,则品= ,故AF,B1G交BC于同一点H, 易知：△AHB1为等腰三角形且AH=B1H=2W13,AB1=4W2, 则o,,=装-吕可得mAB,=晋，又5a,-5a,=x×52x29=3V元 13 13 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用长方体的性质及线面平行的判定确定平面，再根据平面的基本性质找到平面α 截长方体所得截面，并应用余弦定理、三角形面积公式及相似比求截面面积 【变式2-5】（多选）23-24高一下.山东临沂·月考)如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为 3,D,E,F,G分别在棱A1B1,A1C1,AB,AC上，且A1D=A1E=BF=CG,H,P分别为BC,A1H的中点，则() A.DE/平面PFG B.过点A且与直线AA1和BC所成的角都为45°的直线有且仅有1条 C.若BF=AB,过P,E,G三点的平面截三棱柱所得截面的面积为3 D.若M,N分别是平面A1ABB1和A1ACC1内的动点，则△MNP周长的最小值为 【答案】CD 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、求异面直线所成的角 【分析】根据线面平行的定义判断A:找出所求直线构成圆锥，结合给定条件判断B,作出过P,F,G三点的 截面，再求解面积判断C,作出点P关于面A1ABB,和面A1ACC1的对称点，求出点到对称点的距离，找到周 长最小时的条件，判断D即可 【详解】由题意得，直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为3， 所以AB=AC=BC,所以△ABC是等边三角形， 对于A,如图，连接DE,FG,DF,EG,A1B,A1C,A1H, 因为BF=CG,所以=总故得BC1/FG, 而A1B1=A1C1=B1C1,所以△A1B1C1是等边三角形， 因为A1D=A1E,所以=5，故得B1C1/DE, DB1 C1E 第15页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以BC//B1C1,故得DE/FG,所以D,E,F,G四点共面， 由题意得A1D/BF,且记A1BnDF=O1,则∠A1D01=∠BFO1,∠DA1O1=∠FBO1, 而A1D=BF,所以△A1D01兰△BF01,所以A101=B01,D01=F01,即01是A1B,DF的中点， 同理记A1CnEG=02,因为直三棱柱ABC-A1B1C1, 所以A1C1/AC,可得∠A1E02=∠CG02,LEA102=∠GC02, 因为A1E=CG,所以△A1E02兰△CG02,所以A102=C02,E02=G02,故02是A1C,EG的中点， 所以0102是△A1BC的中位线，可得01021/BC,0102=BC, 因为H,P分别为BC,A1H的中点，所以A1H是△A1BC的中线， 01P是△A1BH的中位线，可得01P-BH,O1P/BC,所以0102与01P是同一条直线，故PEO102, 由勾股定理得A1B=A1C=3V√2，所以A1H1BC, 而BH=BC,所以0P=BC,故02P=BC, 故01P=02P,得到P是0102的中点，因为0102C面DEFG, 所以P∈面DEGF,所以面DEGF和面PFG是同一个平面，所以DEc面PFG,故A错误， 对于B,因为直三棱柱ABC-A1B1C1,所以AA1⊥面ABC, AA11面A1B1C1,故AA11BC,AA11AC,AA11A1C1 则AA1与BC所成角为90°，故点A作BC的平行线B'C,得到AA1IBC, 故与直线AA1成角为45°的所有直线构成以A为顶点的两个对顶圆锥(AA1为轴)， 同理与直线B'C成角为45的所有直线构成以A为顶点两个对项圆锥(B'C为轴)， 而AA1与BC所成角为90°，因此圆锥面上公共直线共有2条， 过点A且与直线AA1和BC所成的角都为45°的直线有且仅有2条，故B错误， 对于C,由已知得D,EE面PFG,所以截面是四边形DEGF, 因为BF=AB,AB=3,所以BF=1,故A1D=A1E=BF=CG=1, 所以BD-CE=AF=AG=2.放始-能-铝-笑- 福==景因为LBAC=∠BAC,所以△AFG~△ABC, 故号=子解得FG=2,而∠B,A1C1=∠B1A1C1,所以△DA1B~△B1A1C1,故号=号解得DB=1, 如图，作ET1AC,则四边形AA1ET是矩形，所以ET=AA1=3, AT=A1E=1,在△ETG中，由勾股定理得EG=√10， 作DS1AB,因为直三棱柱ABC-A1B1,C1,所以AA11面ABC, AA11面A1B1C1,故AA11AB,AA11A1B1,所以四边形AA1DS是矩形， 故AS=A1D=1,DS=AA1=3,在△DSF中，由勾股定理得DF=V10, 因为DE=1,FG=2,所以DE≠FG,而DE//FG,所以四边形DEFG是梯形， 如图，作DV1FG,EQ L FG,所以DV L DE,所以四边形DEQV是矩形， 所以DE=VQ=1,DV=EQ,由勾股定理得FV=GQ,而FV+GQ=1, 第16页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以FV=GQ= 由勾股定理得DV=受，所以梯形DEGF的面积为受××1+2)=要， 故C正确， 对于D,因为AA11AB,AA11AC,所以∠BAC是面A1ABB1和面A1ACC1所成二面角的平面角， 因为△ABC是等边三角形，所以LBAC=∠ABC=∠ACB=60°， 如图，作刊1AB,因为H,P分别为BC,A1H的中点，所以BH=CH= 由锐角三角函数定义得=受，解得川=9，因为A11面ABC,c面ABC, 所以AA1⊥H,而AA1∩AB=A,AA1,ABC面A1ABB1,所以HJ⊥面A1ABB1, 故H到面A1ABB1的距离为平，作HK1AC,由锐角三角函数定义得警-，解得HK= -21 4 而HKC面ABC,所以AA1⊥HK,因为AA1∩AC=A,AA1,ACC面A1ACC1,所以HK⊥面A1ACC1, 故H到面A,4CG:的距离为，而P是H的中点，所以P到面AAC:的距离为.P到面A,AB,的距离为 如图，取P关于面A1ABB1的对称点为M1,P关于面A1ACC1的对称点为N1 当M,N分别取直线M1N1与面A1ABB1和面A1ACC1的交点时，△MNP周长的最短， 此时PM:=PN1=9,∠M,PN1=120,由余弦定理得M1NM1=层+会-2×名×(-克= 故D正确.故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内， 然后利用两点之间线段最短得到所要求的最值即可， 【变式2-6】(23-24高二上·四川内江·期中)如图，己知菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=120°，E为边BC的中 点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E(点B1位于平面ABCD上方)，连接B1C和B1D,F为B1D的中点，则在翻折过 程中，点F的轨迹的长度为 第17页共43页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】月 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、证明线面平行 【分析】设G是AB1的中点，可证F的轨迹与G的轨迹相同，求得B1的轨迹之后再求G的轨迹. 【详解】由AB=2,∠BAD=120°，E为边BC的中点 设G是AB,的中点，又F为B1D的中点，则GF1/AD且GF=AD, 而CE=BC=AD且EC1/AD,所以GF/EC且GF=EC, 即FGEC为平行四边形，故EG//CF且EG=CF,故F的轨迹与G的轨迹相同， 因为AE1面B1EC,且B1E=1,所以B1的轨迹为以E为圆心，1为半径的圆， 设AE的中点为0，则0G=B1E,0G1/B1E, 又0G面B1BC,B1EC面B1EC,所以0G7/面B5C,故G的轨迹为以0为圆心，些=为半径的圆， 所以F的轨迹长度为号×2m×B1B=号 2 故答案为： 题型03线面平行的性质 【典例3-1】(22-23高一下山西太原·期末)已知直线a与平面a满足a//a,直线bca,下列结论正确的是() A.a与b无公点 B.a与b异面 C.a//b D.a⊥b 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】线面平行的性质 【分析】根据线面平行的知识进行分析，从而确定正确答案， 【详解】依题意可知a//a,而bca,所以a,b没有公共点， a与b可能异面、平行、垂直，所以A选项正确，BCD选项错误 故选：A 【典例3-2(24-25高一下山东济南·期中)如图，在四棱锥P-ABCE中，四边形ABCE是梯形，AB/CE,且AB= 3CE,点F在棱PA上，且EF平面PBC,则) B. C. D. 第18页共43页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线面平行的性质、由线面平行求线段长度 【分析】首先作辅助线，构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质求得的比值. FA 【详解】过E作EG/BC交AB于G,连接FG,如图所示. 因为EG/BC,BCC平面PBC,EG不在平面PBC上， 根据线面平行的判定定理可得EG//平面PBC. 又因为EF/平面PBC,EGn EF=E,EG,EFC平面EFG, 根据平面与平面平行的判定定理的推论，可得平面EFG/平面PBC. 又平面PABO平面EFG=FG,平面PAB∩平面PBC=PB,所以FG/PB. 根据相似三角形性质可得：背-职 因为EG/IBC,CE/AB,所以四边形BCEG为平行四边形，所以CE=EG. 又AB=3CE,所以4G=2BG,所以片=器=黄 故选：B 【典例3-3】（多选）24-25高一下·黑龙江哈尔滨期中)下列命题正确的是()》 A.若直线a与直线b分别在两个相交平面内，则a与b可能平行、相交或异面 B.若直线I与平面平行，则平面a内有无数条直线与l平行 C.若直线a与直线b平行，则a平行于经过b的任何平面 D.若直线l上有无数个点不在平面a内，则l/a 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、线面平行的性质 【分析】对于A,在两个相交平面内，把空间两条直线所有的位置关系都考虑到即可判断：对于B,根据线 面平行的性质定理即可判断；对于C,考虑到a可能与b在同一平面内即可判断：对于D,考虑到直线与 平面a平行或相交即可判断. 【详解】对于A,若直线a与直线b分别在两个相交平面内， 则a与b的位置关系可能平行、相交或异面，故A正确： 对于B,若直线1与平面a平行，则由线面平行的性质定理可知， 1平行于过直线l的平面与平面a的交线， 所以平面α内，所有与交线平行的直线都与1平行， 所以平面α内有无数条直线与I平行，故B正确： 第19页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于C,若直线a与直线b平行，则a可能与b在同一平面内， a也可能平行于不经过直线a,但是经过b的平面，故C错误： 对于D,若直线l上有无数个点不在平面a内， 则直线与平面α平行或相交，故D错误 故选：AB 【典例3-4】(24-25高一下·河北邢台期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，P元=3PF, PD=λPE,直线BF/平面ACE,则λ= 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、线面平行的性质 【分析】在线段PE上取点H,使得PE=3PF,连接HF,DF,BD,由BF/平面ACE,可得MNI/BF,进而 可得E是线段DH的中点，由向量关系可得NE/HF,即可求入 【详解】如图，在线段PE上取点H,使得PE=3P五 连接HF,DF,BD,记AC∩BD=M,CE nDF=N 连接MN,因为直线BF/平面ACE,且平面BDFO平面ACE=MN,所以MN/BF 因为四边形ABCD是平行四边形，所以M为线段BD的中点，则N为线段DF的中点. 因为PC=3P吓，PE=3Pi,所以器=器=京所以HF/CE,即NE/HE 因为N为线段DF的中点，所以E是线段DH的中点，则DE=HE,所以PD-号PE,则入=号故答案为：昌 【变式31】(20-21高一全国·课后作业)如图，四边形ABDC是梯形，AB/CD,且AB/平面a,M是AC的 中点，BD与平面a交于点N,AB=4,CD=6,则MN等于() A.4.5 B.5 C.5.4 D.5.5 第20页共43页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】线面平行的性质 【分析】利用线面平行的性质得到AB/MW,利用中位线的性质得到答案， 【详解】因为AB//平面a,ABc平面ABDC,平面ABDC∩平面a=MN,所以AB/MN. 又M是AC的中点，所以MN是梯形ABDC的中位线，故MN=(AB+CD)=5, 故选：B 〖变式32】(25-26高一下.全国·课堂例题)如果直线a//平面a,那么直线a与平面a内的) A.一条直线不相交 B.两条相交直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】线面平行的性质 【分析】由线面平行的性质判断即可. 【详解】线面平行，则线面无公共点， 所以直线a与平面a内的所有直线都不相交，故ABC错误，D正确. 故选：D 【变式33】(24-25高一下·广东广州期中)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F 为PC上一点，当PA/平面EBF时，S) D A C.2 0.月 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】线面平行的性质、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接AC交BE于G,连接FG,由线面平行的性质可得PA//FG,再利用平行线分线段成比例定理列 式求解. 【详解】连接AC交BE于G,连接FG,因为PA//平面EBF,PAC平面PAC,平面PACn平面BEF=FG, 第21页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以PA/Fc,所以号-总 因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD/BC,所以兰=能 因为E为AD的中点，所以竖=能=子所号-台所号-号 故选：A 【变式3-4】(23-24高一下四川宜宾期末)已知菱形ABCD沿对角线BD向上折起，得到三棱锥A-BCD,E,F 分别是棱AB,BC的中点，AB=-BD=2,Q为棱CD上的一点，且DE/平面AFQ,则C的值为) A.吉 B.月 C.1 D.2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】重心、线面平行的性质 【分析】连接CE,交AF于点M,连接QM,再利用线面平行的性质、三角形重心的性质以及三角形一边的平 行线性质定理即可求解. 【详解】如图，连接CE,交AF于点M,连接QM, 因为DE//平面AFQ,DEc平面CDE,平面CDEO平面AFQ=QM,所以DE//QM, 又因为E,F分别为AB,BC的中点，所以点M为△ABC的重心，所器=克 在△GD6中，D/04,根据三角形边的平行钱性质定理，有器-器-专 故选：B 【变式35】（多选(22-23高一下·全国·课后作业）设a,b,c为三条不同的直线，Q,B为两个不同的平面， 则下列结论中不正确的有() A.若alb,bllc,则allc B.若a‖a,bIa,则alb C.若alB,ac,anB=b,则alb D.若aIb,aⅡ，则bⅡc 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行、线面平行的性质 【分析】由平行的传递性、线面关系及线面平行的性质依次判断即可. 【详解】对于A,线线平行具有传递性，故A中结论正确： 对于B,平行于同一个平面的两条直线也可以相交或异面，故B中结论不正确： 对于C,由线面平行的性质定理知C中结论正确： 对于D,b还可以在平面α内，故D中结论不正确 第22页共43页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：BD 《变式36】(2024辽宁.模拟预测)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长V5的正方形，PA=V3,PA1 平面ABCD,M为线段PA的中点，若空间中存在平而a满足BD/a,MCc,记平面a与直线PD,PB分别交 于点E,F,则PE= 四边形MECF的面积为 【答案】 2626 3V2 373 2 【难度】0.4 【知识点】线面平行的性质、三角形面积公式及其应用 【分析】根据题意作出平面α即平面MQH,取AD中点G,利用平行线成比例式可得PE=PD进而求出PE 的值：通过线面平行的性质得到EF/QH,熙-子推理得到SC=SacF-S△MQ,故可间接法求得四边 形MECF的面积. 【详解】如图，过点C作BD的平行线QH分别交AD,AB的延长线于点Q,H, H 则D,B分别为AQ,AH的中点，连接MQ,MH,分别交PD,PB于点E,F,则平面MQH即平面a, 取AD的中点G,由ABCD是正方形，得GD=AD=QD,连接MG,则MG/PD, 器=品=器-号BD-NMG-PD,因此PE-P0-VPA+AD= 3 连接EF,因为BD/a,平面a∩平面PBD=EF,BDc平面PBD,所以BD/EF, 所以EFIQ,器-器-号 依题意，PD=PB,由BD/IEF,得PE=PF,由△PEM=△PFM,得ME=MF,从而MQ=MH, 由AC1QH,得C为QH的中点，由AB=√3，得BD=√6，QH=2V6 MC =VMA2+AC2= 3aP+(V⑥P=9因5%gE=SaF=5aw0u=子S NOH, 23 3 故四边形MECF的面积5=1-2×5aw0m=Saw0H=QH:MC=名2V6蓝=婴故答案为：99 2 2 【点睛】思路点睛：解题思路在于正确理解题意，作出合理的截面，充分利用平行与垂直的判定、性质定 理，借助于相似三角形和三角形之间的面积关系计算即得. 题型04线面平行性质的应用 I典例41】(24-25高一下广东期中)如图，在平行六面体ABCD一A1B1C1D1中，点M是BB1上靠近B的三等 分点，直线DM交平面BCDA1于点N,则Y-() 第23页共43页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A c.是 0.8 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】通过线线平行得到线面平行，再利用线面平行的性质得到线线平行，进而得到线段成比例，结合M 是BB1上靠近B的三等分点即可求得结果. 【详解】设平面DAM与CC1交于点P,连接DP交D1C于点Q,连接QN, 平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， ,CB∥DA,CB平面DAMP,DAC平面DAMP,,CB∥平面DAMP, 又CBC平面CBB1C1,平面DAMP 0平面CBB1C1=PM,.CB∥PM, 又M是B1上靠近B的三等分点，÷兽-3 ,CBc平面CBD1A1,PM￠平面CBD1A1,.PM∥平面CBD1A1 又PMc平面PDM,平面CDA平面PDM=QN,QN∥PM:器-器-29-答=3：所以器-号 CP C 故选：C 【典例42】(22-23高一下，辽宁锦州·月考)已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中 点，点M在棱PC上，且满足PA/平面MQB,则() A B C. 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接AC交BO,BD分别于点N,O,连接MN,由线面平行的性质定理可得PA//MN,再借助比 例式可得答案 【详解】如下图，四棱锥P-ABCD中，连接AC交BO,BD分别于点N,O,连接N, 因底面ABCD为平行四边形，则O是AC中点，也是BD中点， 第24页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 而点Q是AD中点，于是得点N是△ABD重心，从而得AN=A0=AC, 因PA/平面MQB,PAC平面PAC,平面PACn平面MQB=MN, 因此得PA/MN,于是得器-芒-京所以是-是 故选：C 【典例43】（多选）25-26高二上·四川内江·月考)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，O是AC的中点，M 是线段PB上的点，OM/平面PDA,则下列说法正确的是() A.PM:PB=1:2 B.OM/平面PCD C.OM/平面PBA D.OM//平面PAC 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】判断线面平行、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】根据线面平行的性质可知OM/PD,由此可得A正确：根据线面平行的判定定理可得B正确：对于 C,运用反证法即可排除；对于D,根据条件从线面有公共点即可排除 【详解】对于A,OM/平面PDA,平面PDAn平面PBD=PD,OMc平面PBD,·.OM/PD, 四边形ABCD为矩形，O为AC中点，O为BD中点，∴M为PB中点，即PM:PB=1:2,A正确： 对于B,OM丈平面PCD,PDC平面PCD,OM/PD,∴.OM//平面PCD,B正确： 对于C,假设OM/平面PBA,因OM/PD,则PD/平面PBA或PDC平面PBA, P∈平面PBA,D平面PBA,∴PD￠平面PBA且PD与平面PBA不平行， 故假设错误，即OM不平行于平面PBA,C错误； 对于D,因O是AC的中点，ACc平面PAC,则点O∈平面PAC,故OM/平面PAC不成立，故D错误. 故选：AB. 【典例44】(25-26高二上·上海杨浦·月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E,F分别在棱AB 与线段CD1上，CF=1,G在线段BC上，若BD1/平面GEF,则CG= 【答案1号 【难度】0.4 第25页共43页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】根据线面平行的性质定理可得BD1/FG,所以在△BD,C中品-答再由正方体ABCD-A1B,CD1 的棱长为2，代入数据即可求解 【详解】如图所示，因为BD1/平面GEF,BD1c平面BD1C,平面GEFn平面BD1C=FG, D 所以8D,/RG,所以在△BD,C中，号=兽 因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，所以CB=2,CD1=2V2, 因为CF=1,所以克受所以cG=号 故答案为：号 【变式41】(23-24高二上.上海·月考)在棱长为10的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一 点，已知点P到A1D1的距离为2，点P到AA1的距离为3，则过点P且与A1C平行的直线交正方体于P、Q两点， 则Q点所在的平面是() A.AAB B B.BB]CC C.CCDD D.ABCD 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间中的点（线）共面问题、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】根据平面的基本性质，确定点P与直线A1C所确定的平面，即直线A1C,A1P所确定的平面，延长A1P, 交DD1于点M,即得Q所在的平面. 【详解】如图，由条件可知直线A1P交线段DD1于点M,连接MC,过点P作A1C的平行线，必与MC相交，那 么也与平面CDD1C1相交. D 故选：C 【变式42】(2025海南·模拟预测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱BB1上，且BD=BB1,M,E 分别是棱A1B,AA1的中点，点N在棱CC1上，若MN/平面CDB,则-) 第26页共43页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.月 C. 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、由线面平行求线段长度 【分析】在平面ABB1A1内，作MF I AA1,与DB交于点F,连接CF,证明MFCN是平行四边形，根据梯形 中位线可求MF长度，从而得到答案 【详解】如图所示，在平面ABB1A1内，作MF IAA1,与DE交于点F,连接CF,则AF II CC1,所以MF,CC1 共面，因为MN∥平面CDE,由线面平行的性质知MN II CF,所以MFCN是平行四边形，所以MF=CN. 又M是A1B1的中点，所以MF是梯形A1B1DE的中位线 设A,=6,则MF=-号-即CN-系所以CN=6-=子所g-舌 故选：B 【变式43】(24-25高一下·安徽宿州期末)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M是BB1上靠近B的三等 分点，直线DM交平面BCD141于点N则器) A月 C. 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】作图，根据线面平行的判定定理可知PM/平面CBA1D1,然后根据线面平行的性质定理可知PM IIQN, 可相兴一号-兽-兽判断即可， 【详解】设平面DAM与CC1交于点P,连接DP交D1C于点Q,连接QN,如图： 第27页共43页 丽学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 因为CB II DA,CB2平面DAM,DAC平面DAM, 所以CB/平面DAM,又CBC平面CBB1C1,平面DAMn平面CBB1C1=PM,所以CB I PM, 因为M是=等分点，所以答=3，因为CBc平面CBA1D,PMz平面CBA1D1,所以PM/平面CBA1D1, 又PMc平面PDM,平面CBA1D1∩平面PDM=QN,所以PM II QN, 所以兴-器-兽-答=3，因此器-是 故选：C 【变式4425-26高二上河南南阳·月考)如图，一个正四棱台的上底边长是下底边长的一半，经过点C,B1,D1 的平面与直线AA交于点M,则燃-() D D A A手 B. 5 c. 0.月 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】正棱台及其有关计算、由平面的基本性质作截面图形、判断线段比例或点所在的位置 【分析】根据正四棱台的性质，作出面CB1D1与直线AA1的交点，进而求出结果 【详解】连接A1C1,B1D1,且A1C1∩B1D1=O,连接C0并延长交直线AA1于M,连接AC,如下图所示， A B 万 B 因为0∈B1D1,所以0∈面CB1D1,所以C0C面CB1D1, 由正四棱台性质可知，A10/AC,所以A,C,A1,0四点共面， 所以直线CO和直线AA1相交，交点即为经过点C,B1,D1的平面与直线AA1交于点M: 因为正四棱台的上底边长是下底边长的一半，则始=子则架一子所以兴=4，可得兴-专 故选：A 【变式45】（多选）24-25高三上山西大同·期末)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，过AB1 且与BD1平行的平面交A1D1于点P,下列说法正确的是() A.PA=7 B.PD1-3 第28页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.直线B1P与AD所成角正切值为2 D.直线B1P与AD所成角正切值为号 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、求异面直线所成的角 【分析】利用补形思想，在正方体ABCD-A1B1C1D1的左侧补一个全等的正方体，则P点位置即可直接确 定，结合P点位置所有选项都可直接验证， 【详解】解析：如图，利用补形思想，在正方体ABCD-A1B1C1D1的左侧 补一个全等的正方体，并平移BD1到AM,则平面MAB1为过AB1且与BD1平行的平面， 显然平面交A1D1于点P,P为A1D1的中点，故A对，B错： 由于直线B1P与AD所成角为LA1PB1,且∠PA1B1=90°，故正切值为2，故C对，D错， 故选：AC D I变式46(24-25高三上湖南长沙期中)在棱长为4的正四面体ABCD中，0为其外接球的球心，过点0作 平面a使得a/CD.若B∈a,则a截正四面体所得截面的面积为 【答案】66 9 【难度】0.4 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、棱锥中截面的有关计算 【分析】根据正四面体的对称性确定截面，分析计算截面三角形的底和高，利用公式求面积 【详解】如图，△BMN即为截面三角形，取CD中点E,连接AE,BE,AE nMN=P,连接BP. B 由对称性得，P为等边△ACD的中心、重心，B,O,P三点共线，AP=二AE. ,CD//平面BMN,CDC平面ACD,平面BMNn平面ACD=MN, .CD II MN,M,N分别为线段AC,AD上靠近点C,D的三等分点，· 在△ACD中，MN=引CD=号由P为△ACD的中心得BPI平面ACD, ,AEc平面ACD,MNC平面ACD,.BP LAE,BP LMN, 由题意得，BE=AE=2V3,PE=AE=9,枚1P8= 第29页共43页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 △BMN的面积为：×MN×PB=x号x=1S 3 9 故答案为： 16V6 9 强化训练 一、单选题 1.(2024高三·全国.专题练习)下列命题中正确的个数是()】 ①若直线a上有无数个点不在平面a内，则a/a:②若直线a/平面au,则直线a与平面ax内的任意一条直线 都平行；③若直线a/直线b,直线b/平面a,则直线a/平面a:④若直线a//平面a,则直线a与平面a 内的任意一条直线都没有公共点。 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】对于①，由线面位置关系的定义判断：对于②，由线面平行的性质判断；对于③，由线面平行 的判定定理判断：对于④，由线面平行的定义判断. 【详解】对于①，若直线a上有无数个点不在平面a内，则直线a可能与平面α相交，也可能与平面a平行， ①错误： 对于②，当直线a/平面a时，直线a与平面a内的直线平行或异面，②错误： 对于③，当直线a/直线b,直线b/平面a,则直线a/平面a,或直线a在平面a内，③错误： 对于④，当直线a/平面a时，则直线a与平面a无公共点，所以直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共 点，④正确， 故选：B. 2(24-25高一下.安徽蚌埠.期中)己知直线a,b,平面a,B,且aC,bcB,anB=l,a,b共面，则下 列结论一定成立的是() A.a// B.b⊥L C.直线a与B内的任意直线均异面 D.a,b,1交于一点或互相平行 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间中的点（线）共面问题、线面关系有关命题的判断、判断线面平行 【分析】令a,b共面y,分a/b或anb=P进行判断. 【详解】令a,b共面y,则yna=a,YnB=b, 若a//b,bcB,a￠B,则a/IB, 又aca,anB=l,所以a/几，则a/b/l: 若anb=P,则P∈aP∈B,而anB=l,所以P∈l, 所以a,b,1交于一点， 第30页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a,b,I交于一点或互相平行. 故选：D 3.(24-25高一下.全国·课后作业)如图，己知平面anB=CD,any=EF,BnY=AB,若AB/a,则CD与EF 的位置关系是() B A.平行 B.相交 C.异面 D.无法确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】线面平行的性质、判断线面平行 【分析】应用线面平行性质定理得出线线平行，进而得出线面平行，最后再应用性质定理即可得解. 【详解】由AB/a,anY=EF,ABcY得AB/EF. 因为EF￠平面B,ABC平面B,所以EF/平面B. 又anB=CD,EFc平面a,所以CD/EF 故选：A 4.(23-24高一下·安徽六安期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点， 有四个结论： ①AP与CM是异面直线：②AP,MN,DD1相交于一点；③MN/BD1:④MN/平面BB1D1D. 其中正确的个数为) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、异面直线的判定、空间中的点（线）共面问题 【分析】①，作出辅助线，得到四点共面，故①错误：②，在①基础上得到AP,MC,DD1交于一点，故② 错误；③，作出辅助线，得到RWMD1为平行四边形，MN/RD1,③错误：④，作出辅助线，得到面面平 行，进而得到线面平行 【详解】①，连接MP,AC,A1C1,因为M,P分别是C1D1,A1D1的中点，所以MP/A1C1, 因为AC//A1C1,所以MP//AC,故A,P,M,C四点共面，故AP与CM是共面直线，①错误： 第31页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B A D 5 ②，由①可知，AP与CM是共面直线，延长AP,CM相交于一点T,故T∈平面ADD1A1,TE平面CDD1C1, 所以TE平面ADD1A1与平面的交线，即T∈DD1, 故AP,MC,DD1交于一点，所以AP,MN,DD1不相交于一点，②错误： ③，取BD的中点R,连接RN,则RN/ICD且RN=二CD 又D1M/CD且D1M=CD,故RW/D1M且RN=D1M,故四边形RNMD1为平行四边形， 故MN//RD1,故MW,BD1不平行，③错误： B D ④，取CD的中点W,连接MW,WN,因为N为BC的中点，所以WN//BD, 因为WN￠平面BDD1,BDC平面BDD1,所以WN//平面BDD1, 因为WM/DD1,WM￠平面BDD1,DD1C平面BDD1,所以WM/平面BDD1, 因为VMOWN=W,WM,WNc平面MWN,所以平面MWN/平面BDD1: 因为MNc平面MWN,所以MW/平面BDD1B1,④正确 故选：A 5.(24-25高一下·全国·课后作业)在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点，当BD// 平面EFGH时，下列结论中正确的是() A.E,F,G,H一定是各边的中点 B.G,H一定是CD,DA的中点 C.BE:EA=BF:FC,DH:HA=DG:GC D.AE:EB=AH:HD,BF:FC=DG:GC 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、线面平行的性质 【分析】运用线面平行的性质，结合平行线分线段成比例定理可解 【详解】，在三棱锥ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点 BD/平面EFGH,BDC平面ABD,平面EFGH∩平面ABD=EH, .BD/EH,同理BD//FG,∴.AE:EB=AH:HD且BF:FC=DG:GC 由题意无法确定其余选项是否正确， 第32页共43页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：D. G 6.(20-21高一下·江苏南通·期中)四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中点，点M在 线段PC上，PM=tPC,PA//平面MQB,则实数t的值为) A B. c. D.3 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接AC交BQ,BD分别于点N,O,连接MN,证明MNV/PA,再借助比例式即可作答 【详解】四棱锥P-ABCD中，连接AC交BQ,BD分别于点N,O, 因底面ABCD为平行四边形，则O是AC中点，也是BD中点， 而点Q是AD中点，于是得点N是△ABD重心，从而得AW=子A0=AC, 连接N,如图，因PA/平面MQB,PAC平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN, D 因此得PA/MN,于是得t-是-是-专所以实数1的值为号 故选：C 7.(22-23高三下·湖北武汉·期中)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2A1B1,AA1=2V3,M为棱B1C1 的中点，当正四棱台的体积最大时，平面MBD截该正四棱台的截面面积是(). A.5v/3 4 B.153 2 C.10v3 D.6V2 【答案】c 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、台体体积的有关计算、棱台表面积的有关计算 【分析】根据正四棱台的体积公式、结合基本不等式、线面平行的判定定理、梯形的面积公式进行求解即 可 【详解】设AB=2A1B1=4x,上底面和下底面的中心分别为01，O,过A1作A1H1AC, 该四棱台的高010=h, 第33页共43页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在上下底面由勾股定理可知，A101=V(2)2+(2x=V2x,A0=V4x)2+(42=2V2x, 在梯形A1010A中，A1A2=AH2+A1H2→12=(2V2x-V2x)2+h2→h2=12-2x2, 所以该四棱台的体积为V=16x2+V16x24r2+4x2h=婴x2h, 所以2-学2=号a2-2内≤号( 9 当且仅当x2=12-2x2,即x=2时取等号，此时AB=8,A1B1=4,010=h=2. 取C1D1,BC的中点N,E,连接NM,ND,显然有MN/D1B1/DB, 由于MN2平面ABCD,BDC平面ABCD,所以MN/平面ABCD,因此平面MBDN就是截面 显然MW=B1D1=2V2,BD=8V2,在直角梯形01ME0中，ME=√h2+(OE-O1M)2=√4+4=2W2, 因此在等腰梯形B1C1CB中，MB=VME2+EB2=V8+16=2V6, 同理在等腰梯形D1C1CD中，DN=2V6, 在等腰梯形MBDN中，设MF/DN,MG 1 BD,则MF=2V6,BF=8V2-2√2=6V2 MG=J(2W6)2-(×6W②2=V6,所以梯形MBDN的面积为2E+82×V6=10V3, 2 故选：C 8.(22-23高三，北京顺义·期末)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点P在棱A1B1上，动点Q在线 段BC1上、若A1P=入BQ=u,则三棱锥D1-APQ的体积() A.与无关，与有关B.与有关，与无关C.与入，u都有关D.与u都无关 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、判断线面平行 【分析】根据C1D1/A1B,得出A1B1/平面ABC1D1,所以点P到平面ABC1D1的距离也即A1B1到平面ABC1D1 的距离，得到点P到平面AQD1的距离为定值，而底面AQD1的面积也是定值，并补随BQ的变化而变化，进而 得到答案 【详解】因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以C1D1/A1B1 D 因为C1D1C平面ABC1D1,A1B1丈平面ABC1D1,所以A1B1/平面ABC1D1, 所以点P到平面ABC1D1的距离也即A1B1到平面ABC1D1的距离，也即点P到平面AQD1的距离不随A1P=1的 第34页共43页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变化而变化，设点P到平面AQD1的距离为h,过点A1作A1F1AD1,根据正方体的特征可知：AB1平面ADD1A1, 因为A,FC平面ADD,A1,所以AB1AR,AB D AD,=A,所以A,F1平面ABCD:则有h=AF=号 因为C1D1/AB且C1D1=AB,所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以BC1/AD1, 所以点Q到AD1的距离也即BC1到AD1的距离，且距离为1，所以SA41Q=×AD1×1=定值， 所以V,-0=Vp-40=SaA,Qh=×受×要-定值)。 3226N 则三棱锥D1一APQ的体积不随与的变化而变化，也即与与入，u都无关. 故选：D 二、多选题 9.(24-25高一下河南期中)已知α，b是两条不同的直线，α是一个平面，下列命题错误的是() A.a//b,bc→a/Ia B.a//a,bc→a//b c.a/1a,a//b→b/1ax D.ata,a/b,bca→a//a 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】判断线面平行 【分析】A.利用线面平行的判定定理判断；B.利用线面平行的性质定理判断：C.利用线面平行的判定定理判 断；D.利用线面平行的判定定理判断， 【详解】A.a//b,bca→a/a或aca,故错误： B.a//a,bca→a/b或a与b异面，故错误： C.a//a,a//b→b//a或bca,故错误： D.a￠a,a//b,bca→a//a,故正确： 故选：ABC 10.(24-25高一下江苏苏州月考)在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB II CD,则() A.平面ADD1A1内任意一条直线都不与BC平行 B.平面BCC1B1内存在无数条直线与平面ADD1A1平行 C.平面ABB1A1和平面CDD1C1的交线不与底面ABCD平行 D.平面ADD1A1和平面BCC1B1的交线不与底面ABCD平行 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行、线面平行的性质 【分析】根据线线，线面平行的判断定理和性质定理，即可判断选项， 【详解】A.由条件可知，梯形ABCD中，AD和BC是相交直线，且BC￠平面ADD1A1,则直线BC与平面ADD1A1 相交， 所以平面ADD1A1内任意一条直线都不与BC平行，故A正确： B.平面BCC1B1与平面ADD1A1相交，则平面BCC1B1内与交线平行的线都与平面ADD1A1平行，故B正确： 第35页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.设平面ABB1A1和平面CDD1C1交于直线L,因为AB//CD,AB￠平面CDD1C1,CDC平面CDD1C1,所以AB// 平面CDD1C1, 因为ABC平面ABB1A1,且平面ABB1A1n平面CDD1C1=I,所以AB/L, 因为l￠平面ABCD,ABC平面ABCD,所以I//平面ABCD,故C错误： D.若平面ADD1A1和平面BCC1B1交于直线m,若m//平面ABCD,平面ADD1A1n平面ABCD=AD, 平面BCC1B1∩平面ABCD=BC,所以m//AD,且m/BC,则AD/BC,这与梯形的两腰不平行矛盾，所以D 正确 故选：ABD 11.(23-24高二上河北唐山开学考试)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F,G分别为BC,CC1, BB1的中点，则() D D A.直线A1G与直线DC所成角的正切值为2 B.直线A1G与平面AEF平行 C.点C与点G到平面AEF的距离相等 D.平面AEF截正方体所得的截面面积为 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、求异面直线所成的角、证明线面平行、求点面距离 【分析】A.根据A1B1/DC,得到∠B1A1G直线A1G与直线DC所成的角求解；B取B1C1中点N,连接A1N,GN, 利用面面平行的判定定理和性质定理判断；C.假设C与G到平面AEF的距离相等，转化平面AEF是否过CG 的中点判断：D.根据AD1/EF,把截面AEF补形为等腰梯形AEFD1判断， 【详解】如圈所示：A因为A,B/DC,所以∠B4,G直线4，G与直线DC所成的角，an☑BA,G=器-言 故错误： B.取B1C1中点N,连接A1N,GN,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1N//AE,NG/EF, A1N丈平面AEF,AEC平面AEF,所以A1N//平面AEF,同理可证NG/平面AEF, 又A1NnNG=N,A1N,NGC平面A1GN,所以平面A1GN/平面AEF, A1GC平面A1GN,所以A1G/平面AEF,故正确： C.假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点， 连接CG交EF于H,显然H不是CG中点，则假设不成立，故错误； D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1//EF,把截面AEF补形为等腰梯形AEFD1, 第36页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易知AD,=V2,EF=号，AE=只，AD,EF之间的距离为d= AE2- AD1-EF\2 3V 2 4 所以其面积为S=(4D,+EFd=×9×9-名故正确， 2 4 故选：BD 三、填空题 12(24-25高一下安徽芜湖期中)如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，E是棱CC上的一点，且瓷=子D是棱 BC上一点若A1B/平面ADB,则2的值为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接A1C、AE相交于O,根据线面平行的性质及△A1OA∽△COE可得答案. 【详解】连接A1C、AE相交于点O,连接OD 因为A,B/平面ADE,平面A,BCn平面ADE=0D,ABc平面A,Bc,所以A,B/0D,所以%-器 因为A,1/CE,所以△A,0A△CoE,所以号=器号%=子可得婴-音 故答案为：号 13.(2027高三·全国·专题练习)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是棱BC,CC1的中点，点P 在正方形ABB1A1内，若AB=2,A1P∥平面AEF,则DP的最小值是 D 【答案】警 【难度】0.4 第37页共43页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】判断线面平行 【分析】通过作辅助线构造与己知平面平行的平面，确定出动点P所在的线段，再求定点到该线段上点的 距离的最小值， 【详解】如图，分别取棱B1C1,BB1的中点M,N,连接A1M,A1N,MN. 因为正方体中A1MIAE,MN IEF,所以平面A1MN内两相交直线A1M,MN与平面AEF平行， 所以平面A1MNII平面AEF,则点P在线段A1N上 过点A作AHIA1N,垂足为H,连接DH,则DP≥DH, 当且仅当P与H重合时，DP=DH=VDA2+AF=5 5 故答案为： 14.(2023·浙江宁波.一模)在棱长均相等的四面体ABCD中，P为棱AD(不含端点)上的动点，过点A的平面与平 面PBC平行.若平面a与平面ABD,平面ACD的交线分别为m,n,则m,n所成角的正弦值的最大值为 【答案】2 【难度】0.4 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理解三角形、求异面直线所成的角、线面平行的性质 【分析】根据面面平行的性质定理说明m//PB,n/PC,从而说明∠BPC或其补角即为m,n所成的平面角，利 用余弦定理求得PB,PC的长，结合同角的三角函数关系即可求得答案. 【详解】连接PB,PC,由题意知过点A的平面a与平面PBC平行， 平面a与平面ABD、平面ACD的交线分别为m,n, 由于平面a//平面PBC,平面PBCn平面ABD=PB, 平面PBCn平面ACD=PC,所以m/PB,n/PC, 所以∠BPC或其补角即为m,n所成的平面角， 设正四棱锥ABCD的棱长为1，AP=x(0<x<1),则PD=1-x, 在△ABP中，由余弦定理得BP=VAB2+AP2-2AB'APcos60°=，1+x2-2×1×x×3=V1+x2-x, 同理求得PC=V1+x2-x, 故在APBC中，c0s2BPc-四mC-2-1-×-1 1 2PB-PC 2(x2-x+1) 1 (x-)+≥则 ()+ 进而1 第38页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当x=时取等号，故cos_BPCf的最小值为 进而si-BPC=V-oBPC≤兰故sin/BPC的最大值为号 故答案为： 3 m ( 四、解答题 15.(22-23高一下·吉林通化·月考)如图所示，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个平行四边形. (1)求证：CD/平面EFGH (2)若AB1CD且AB=8,CD=6,EFGH为其所在棱的中点，求四边形EFGH面积. 【答案】(1)证明见解析；(2)12 【难度】0.85 【知识点】棱锥中截面的有关计算、证明线面平行、线面平行的性质、由线面平行求线段长度 【分析】(1)根据题意，利用线面平行的判定和性质定理，证得CD//EH,结合线面平行的判定定理，即可证 得CD/平面EFGH. (2)根据题意，得到四边形EFGH为矩形，进而求得其面积 【详解】(1)证明：因为截面EFGH是平行四边形，所以EH/GF, 又因为GFC平面BCD,EH丈平面BCD,所以EH/平面BCD,, 因为EHC平面ACD,且平面ACDn平面BCD=CD,所以CD/EH, 又因为CD￠平面EFGH,EH在面EFGH内，所以CD//平面EFGH. (2)因为E,F,G,H分别为AD,BD,BC,AC的中点，且AB=8,CD=6, 可得EF/AB/GH且EF=GH=2AB=4,EHI/CD1IGF且EH=GF=;CD=3, 因为AB 1 CD,可得EF L GF,所以四边形EFGH为矩形， 所以四边形EFGH的面积为S=EF·GF=4×3=12. 16.(24-25高一下·安徽合肥·期末)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1,D为棱BC的中点. (1)证明：A1B//平面ADC1;(2)求异面直线A1B与AD所成角的余弦值. 第39页共43页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 【答案】证明见解析，2 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行 【分析】(1)根据线面平行的判定定理即可证明结论： (2)作出异面直线A1B与AD所成角∠BA1F,判断△A1BF是直角三角形，即可求得答案 【详解】(1)连接A1C交AC1于E,连接ED,易得E为A1C中点 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，因为D、E分别为BC、A1C中点，所以A1B/DE 又因为DEC平面ADC1,A1B￠平面ADC1,所以A1B/平面ADC1 (2)取B1C1中点F,连接A1F,BF,DF. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，设AB=AA1=2Q,因为D、F分别为BC、B1C1中点， 可得DF/BB1/AA1,且DF=BB1=AA1,所以四边形ADFA1是平行四边形 所以AD/A1F,LBA1F或其补角即为异面直线A1B与AD所成的角. 在△A1BF中，A1B=2V2a,BF=V5a,A1F=√3a,满足A1B2=BF2+A1F2, 则△A1BF是直角三角形，所以cos∠BA1F=4世=5a=6 A1B 2v2a 4 即异面直线A1B与AD所成角的余弦值为源 17.(2025高一全国.专题练习)如图所示，己知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB、 PC、PA的中点，平面PBCn平面APD=L. M (1)判断直线l与BC的位置关系并证明；(2)求证：MN/平面PAD; 【答案】(1/BC,证明见解析；(2)证明见解析 第40页共43页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明BC/平面PAD,再由线面平行的性质定理证明即可. (2)取PD中点F,证明四边形AFNM为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】(1)/BC.证明如下： 因为四边形ABCD为平行四边形，所以BC/AD 因为ADC平面PAD,BC￠平面PAD,则BC/平面PAD, 又平面PADO平面PBC=L,BCc平面PBC,所以l//BC. (2)取PD中点F,连接AF、FN, 因为F、N分别为PD、PC的中点，所以FN/CD且FN=CD, 因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB/ICD且AB=CD, 因为M为AB的中点，所以AM//CD且AM=CD, 所以AM/FN,故四边形AFNM为平行四边形，故MN/AF, 因为AFC平面PAD,MN丈平面PAD,所以MN//平面PAD. 18.(24-25高一下·湖北恩施·期末)如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAB1平面ABCD, PA=PB-AB=BC=AD=2. (1)若∠BAD=,AB=CD,记三棱锥维P-ABC外接球的球心为O. ()求证：OD/平面PAB;()求三棱锥P-ABC外接球的表面积. (2)记∠BAD=8,日∈(0，)，当LABC=+时，求三棱锥P-BCD体积的最大值. 【答案】0证明见解析：（受，29 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】(1)首先根据正弦定理求出△ABC的外接圆半径，然后确定△ABC的外接圆圆心，最后通过证明OD/ /PE证明线面平行；（先确定外接球的半径，然后利用公式求出三棱锥外接球的表面积。 (2)要使得三棱锥P一BCD体积的最大，只需底面△BCD的面积最大，结合余弦定理和三角形面积公式求出三 第41页共43页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 棱锥体积的最大值 【详解】(1i)证明：因为平面PABI平面ABCD,平面PABn平面ABCD=AB,PA=PB, 作PE⊥AB,则E为AB的中点，且PEI平面ABCD. A 因为AB=CD,AB=BC=AD=2.所以底面四边形ABCD为菱形， 因为BAD=号所以∠ABC=号，AC2=AB2+BC2-2AB·BCc0s号=12，即AC=2V3, 由正弦定理得△ABC外接圆的半径为r=9=2 设△ABC外接圆圆心为01，则01A=01B=01C=T=2. 又DA=DB=DC=2,从而O1与D重合，即D为△ABC外接圆圆心 由三棱锥P-ABC的外接球的性质，即OD⊥平面ABCD,又PE⊥平面ABCD,所以OD/PE, 因为PEc平面PAB,所以OD//平面PAB, (i)由题意，△PAB为正三角形，则△PAB外接圆的圆心在PE上，记为O2: 由正三角形性质可得圆02的半径P02=PE=-25, 则06-号 连接002，则0021平面PAB,所以ED002为矩形，0D=02E-号 三棱锥P-ABC的外接球R=0A=VOD2+AD-3丽 3 所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积S=4R2=52 3 (2)由(1)可知，PE1平面ABCD,PE为三棱锥P-BCD底面BCD上的高，PE=V3. 要使得三棱锥P-BCD体积的最大，只需底面△BCD的面积最大. 连接BD,那么BD2=AB2+AD2-2AB:ADc0s0=8-8Cos0,BD=2V2:VT-cos6=4sin号 又AB=AD,∠ADB=∠ABD=号，因为LABC=+0,所以 DBG=∠ABC-∠ABD-+0-号-兰 所以5acD=BD-Bc·sin4DBc=46m2sin号=46m(in2cos0+cos号sin0） =4sin2 cos0+4sin cossine 2cose(1-cose)+2sin20=2cos0-2cos20. 从而S△BcD=2c0s0-2(2c0s20-1)=-4c0s20+2c0s0+2, 令t=c0s0,S8cD=-42+2t+2=-4-)°+}所以t=cos9=时，面积最大. Sacn-是故y-Bco=SPE≤号x:-9 4 19.(23-24高一下·福建龙岩·期中)如图1，在平面四边形PABC中，PA1AB,CD//AB,CD=2AB=2PD= 2AD=4.E是线段PC上靠近P端的三等分点，F是线段CD的中点，DE∩PF=M.将△PDC沿CD折成四棱锥 第42页共43页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P-ABCD,连接PA,PB,BD,如图2. B 图1 图2 a在图2中，证明：PA/平面8DE:(2在图1中，求的值。 【答案】(1)证明见解析；(2)1 【难度】0.4 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、证明线面平行 【分析】（油CD1/AB得到△A0B~△00D,从而0C=20A,结合CE=2PE得到哈%- ,所以OE//PA, 由线面平行的判定得到PA//平面BDE: (2)油P,F,M三点共线，P吓=PM,又由E、F的位置得到P呼-PD+PE,从而PM=PD+PE,再 由D,8,M三点共线得到+兰=1，解出入=克从而器=1 【详解】(1)证明：连接AC,交BD于点O,连接OE, D B CD//AB,△AOB△OOD, 又CD=2AB,0C=20A, 又~E是线段PC上靠近P端的三等分点，CB=2P6,胎-号0E/PA, ~PA2平面BDE,OEC平面BDE,·PA/平面BDE. (2)由DEnPF=M,可知D,E,M三点共线，P,F,M三点共线， 由P,F,M三点共线，可设PM=PF0<1<1),PF=PM. ~F是CD的中点，PF=PD+P元 ~E是线段PC上靠近P端的三等分点，P元=3P尼，P下=PD+P呢， 故PM=PD+PE,即PM=PD+婴PE, 由D,E,M三点共线，可得+号=1，解得A=支PM-=所 =1 第43页共43页