10.1 随机事件与概率巩固练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本练习通过基础选择、中档填空多选、提升解答的三级分层，构建从随机事件概念到概率综合应用的巩固路径，培养数学抽象、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念（对立事件、事件表示）|单选直接考查定义辨析（如第1题对立事件判断）| |中档|综合应用（古典概型、事件关系）|多选结合表格数据（如第9题方阵统计概率）| |提升|复杂情境（样本空间构建、多事件概率）|解答题融入实际情境（如第15题科技文化节选参赛同学）|

10.1 随机事件与概率巩固练习 一、单选题 1．连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对立事件的定义判断即可. 【详解】连续抛掷一枚硬币4次，共有5种结果：4正0反，3正1反，2正2反，1正3反，0正4反， 事件“至少2次出现正面”包含了4正0反，3正1反，2正2反， 则其对立事件包含1正3反，0正4反，即有3次或4次出现反面. 故选：A 2．设是三个事件，则事件“至少有一个发生且不发生”可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】事件“、至少有一个发生”可表示为，事件“不发生”可表示为. 选项A中表示同时发生且不发生，不符合题意 选项B中表示至少一个发生且不发生，与题意一致 选项C中表示至少一个发生或不发生，不符合题意 选项D中表示同时发生或不发生，不符合题意. 故选：B. 3．设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分，也不必要条件 【答案】B 【详解】若A、B互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的； 条件不是充分的：如掷一枚均匀的骰子，设事件A为“点数为偶数”，事件B为“点数小于等于3”， 即： , ,此时，满足， 但是，所以事件A与B不互斥，当然也不对立。故充分性不成立. 综上，“”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件. 故选：B. 4．某社团现有成员5人，其中男生3人，女生2人，随机抽两人进行“纳新”推介，则抽取的两人都为女生的概率是（   ） A．0.6 B．0.3 C．0.1 D．0.05 【答案】C 【详解】男生编号1,2,3，女生编号a,b，则随机抽两人的样本空间: ，， 记事件“抽取的两人都为女生”为A，则, 。 所以抽取的两人都为女生的概率是. 故选：C. 5．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ． 故选：A. 6．某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设末位数字是奇数为事件A，则末位数字可以为：,8,9共10种情况，而末位数字为奇数的情况有：1,3,5,7,9，共5种情况，所以末位数字是奇数的概率 . 故选：B. 7．甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】甲的袋子中3个黑球、3个红球分别标记为，乙的袋子中3个黑球、2个红球标分别记为,记样本空间, , 记事件“乙获胜”为A，则 ,则乙获胜的概率: ． 故选：D. 8.若是从四个数中任取的一个数,是从三个数中任取的一个数,则关于 的一元二次 方程有实根的概率是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先找出方程有实根的充要条件，列举出试验发生的所有样本点，再找出符合条件的事件所包含的样本点，根据古典概型公式得到结果． 【详解】由题意知本题是一个古典概型， 设事件A为“有实根” , , 所以方程有实根的充要条件为，即 ， 样本空间,, 其中,, 所以事件A发生的概率： . 故选C. 二、多选题 9．在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表，若从这100名学生中随机选一名学生，则下列概率正确的是（   ） 性 别 M 14 20 18 F 17 21 10 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据频数，结合古典概型公式依次求概率即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因为从这100名学生中随机选一名学生，不是男生就是女生，故事件与互为对立事件， 故，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由题， 所以，故D错误 故选：BC 10．先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数，下列叙述正确的是（    ） A．表示第一次掷出点，第2次掷出点，其中， 则样本空间为 B．记事件：“点数之和小于3”，事件：“点数之和不超过3”，则， C．点数之和为5的概率P= D．点数相等的概率P= 【答案】ABD 【详解】先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数， 对于A，表示第一次掷出点，第2次掷出点，其中， 则样本空间为，故A正确； 对于B，用集合表示事件：“点数之和小于3”，事件：“点数之和不超过3”， 则，，故B正确； 对于C，由A知，点数之和为5包含的样本点有，，，，共4个， 所以点数之和为5的概率为，故C错误； 对于D，点数相等包含的样本点有，，，，，，共6个， 所以点数相等的概率为，故D正确． 故选：ABD. 11.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是（    ） A．取出的两个球上标号都是2的概率为 B．取出的两个球上标号为不同数字的概率为 C．取出的两个球上标号中至少有一个标号为1的概率为 D．甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为 【答案】AD 【分析】利用古典概率模型，写出样本空间中的所有样本点，求各选项对应概率，逐项判断即可. 【详解】从甲、乙两个盒子中各取出1个球，其标号构成的样本空间为，共9个样本点. 取出的两个球上标号都是2的样本点只有（2,2）一个，故概率为，所以A正确； 取出的两个球上标号为不同数字的样本点有，共6个， 所以概率为，所以B错误； 取出的两个球上标号中至少有一个标号为1的样本点有，共5个， 所以概率为，所以C错误； 从甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的样本点有，共3个， 所以概率为.所以D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．设随机事件满足，则__________． 【答案】 【分析】根据随机事件概率的加法公式直接计算即可. 【详解】由题意得 ． 故答案为： 13．从标有的个小球中随机摸取个，则摸到的个小球上数字之和是的倍数的概率为____． 【答案】 【分析】根据题意求出取3个小球的结果总数，再找出之和为3的倍数的情况，然后求其概率. 【详解】从袋中的5个小球中取出3个小球，样本空间为： ,, 记事件“摸到的3个小球上数字之和是3的倍数”为A,则, 所以所求的概率： ． 故答案为： . 14．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等），若，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是__________． 【答案】 【详解】：依题意由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个； 由1，2，4组成的三位自然数为124，142，214，241，412，421，共6个； 由1，3，4组成的三位自然数为134，143，341，314，413，431，也是6个； 由2，3，4组成的三位自然数为234，243，324，342，423，432也是6个． 所以共有6＋6＋6＋6＝24个． 由1，2，3组成的三位自然数，“有缘数”为123，132，213，231，312，321，共6个；． 由1，3，4组成的三位自然数，“有缘数”为134，143，341，314，413，431，也是6个，共12个． 所以三位数为“有缘数”的概率． 故答案为： . 四、解答题 15．在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)设事件为“参赛的名同学都是女同学”，求事件发生的概率； (3)求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 【分析】（1）列举法写出样本空间； （2）由题意写出A，根据古典概型求概率； （3）根据题意写出B，根据古典概型求概率. 【详解】（1）从5名同学中选取2名同学参赛，这个随机试验的样本空间为 ， . （2） 事件A为“参赛的2名同学都是女同学”, ，， 所以 . （3）设 “参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，. 所以 . 16．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式列出方程组求解即可. 【详解】从袋中任取一球，记事件“取到红球”，“取到黑球”，“取到黄球”和“取到绿球”分别为A,B,C,D， 则事件A,B,C,D两两互斥， 依题意，，则，解得， 所以取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是． 17．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． (1)求事件“为实数”的概率； (2)求事件“”的概率． 【分析】（1）若为实数，则该复数的虚部为0，可解得，所以第二次抛掷出现的点数，可求事件“为实数”的概率； （2）由题意，结合复数模的计算，有，逐个分析所有的可能，先确定的取值，再分析可能的取值，经计算，共有9种情况下可使事件“”成立，又的取值情况共有种，进而可求得该事件的概率. 【详解】（1）记事件“为实数”为A,若为实数，即为实数，所以b=3， 故该事件只与第二次抛掷骰子的点数有关，与第一次抛掷骰子的点数无关， 又依题意，第二次抛掷所有可能的点数为1，2，3，4，5，6，共6个，出现b=3只有1个， ,即事件“为实数”的概率为. （2）记事件“”为B, 由已知，,可知，的值只能取1，2，3， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取2， 由上可知，共有9种情况下可使事件“”成立， 又的取值情况共有种， , 故事件“”的概率为 . 18．一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，求的概率． 【分析】（1）通过不放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率； （2）通过有放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率. 【详解】（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ，， 记事件A=“”，则A=，， 所以满足的概率: ； （2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ， ， 记事件B=“”，则有：B=，， 所以满足的概率: ． 19．抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 【分析】（1）明确样本空间的总数后，计算对应样本点个数即可得； （2）利用交集与并集定义，并计算对应样本点个数即可得. 【详解】（1）样本空间为, 事件, , 故 ； 事件, , 故 ； 事件, , 故 ； （3） ， 则， ； ，则， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1 随机事件与概率巩固练习 一、单选题 1．连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 2．设是三个事件，则事件“至少有一个发生且不发生”可表示为（   ） A． B． C． D． 3．设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分，也不必要条件 4．某社团现有成员5人，其中男生3人，女生2人，随机抽两人进行“纳新”推介，则抽取的两人都为女生的概率是（   ） A．0.6 B．0.3 C．0.1 D．0.05 5．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 6．某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 7．甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 8.若是从四个数中任取的一个数,是从三个数中任取的一个数,则关于 的一元二次 方程有实根的概率是 A． B． C． D． 二、多选题 9．在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表，若从这100名学生中随机选一名学生，则下列概率正确的是（   ） 性 别 M 14 20 18 F 17 21 10 A． B． C． D． 10．先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数，下列叙述正确的是（    ） A．表示第一次掷出点，第2次掷出点，其中， 则样本空间为 B．记事件：“点数之和小于3”，事件：“点数之和不超过3”，则， C．点数之和为5的概率P= D．点数相等的概率P= 11.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是（    ） A．取出的两个球上标号都是2的概率为 B．取出的两个球上标号为不同数字的概率为 C．取出的两个球上标号中至少有一个标号为1的概率为 D．甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为 三、填空题 12．设随机事件满足，则__________． 13．从标有的个小球中随机摸取个，则摸到的个小球上数字之和是的倍数的概率为____． 14．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等），若，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是__________． 四、解答题 15．在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)设事件为“参赛的名同学都是女同学”，求事件发生的概率； (3)求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 16．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 17．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． (1)求事件“为实数”的概率； (2)求事件“”的概率． 18．一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，求的概率． 19．抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $