专题04 立体几何初步16大考点（期末真题汇编，天津专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 立体几何专题汇编，涵盖16个高频考点，精选天津各区近年期末真题，注重基础概念辨析与空间能力考查，适配期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约60题|空间几何体结构（三棱台截去三棱锥判断）、直观图（斜二测画法面积计算）、表面积体积（宫灯表面积、石凳体积）|结合真题，基础概念与辨析题占比高，如棱柱结构正误判断| |解答|约30题|平行垂直证明（正方体线面平行）、空间角（异面直线所成角、二面角）、截面与动点问题|突出逻辑推理，如正三棱柱线面垂直证明；融入实际情境，如圆柱形容器液体体积计算|

专题04 立体几何初步 高频考点概览 考点 01 空间几何体的结构 考点 02 空间几何体的直观图 考点 03 空间几何体的表面积 考点 04 空间几何体的体积 考点 05 与球有关的切接问题 考点 06 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点 07 证明线面平行 考点 08 证明面面平行 考点 09 证明线线垂直 考点 10 证明线面垂直 考点 11 证明面面垂直 考点 12 异面直线所成的角 考点 13 直线与平面所成的角 考点 14 二面角 考点 15 空间几何体的截面问题 考点 16 空间几何体的动点问题 ( 考点01 空间几何体的结构 ) 1．（2025春•河西区期末）如图，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（　　） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．五棱锥 【解答】解：如图所示， 三棱台中，沿截去三棱锥， 剩余部分是四棱锥． 故选：． 2．（2022春•河东区期末）下列说法中正确的是（　　） A．棱柱的侧面可以是三角形 B．棱柱的各条棱都相等 C．所有几何体的表面都能展成平面图形 D．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 【解答】解：逐一考查所给的命题： ．棱柱的侧面一定是平行四边形，不可能是三角形，选项错误； ．棱柱的各条侧棱都相等，不一定与底面的棱相等，选项错误； ．所有多面体的表面都能展成平面图形，旋转体的表面不一定能展开成平面图形，选项错误； ．正方体和长方体都是特殊的四棱柱，选项正确． 故选：． 3．（2025春•天津期末）下列说法正确的是（　　） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．若一个多面体共有5个面，则这个多面体可能是三棱锥 D．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 【解答】解：对于中，正四棱柱中，相对的两个侧面互相平行，所以不正确； 对于中，用平行于棱锥底面的平面截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，所以不正确； 对于中，三棱锥是由一个底面和3个侧面组成，所以一个多面体有5个面，一定不是三棱锥，所以错误； 对于中，可以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥，所以正确． 故选：． 4．（2024春•南开区期末）给出下列命题： ①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台； ④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形． 其中正确命题是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【解答】解：对于①，根据圆锥的母线的定义，可知①正确； 对于②，把梯形的腰延长后有可能不交于一点，此时得到几何体就不是棱台，故②错误； 对于③，根据圆台的定义，可知③正确； 对于④，当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时，得到的截面不是圆和矩形，故④错误． 故选：． 5．（2024春•天津期末）下列说法正确的是（　　） A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线 B．直四棱柱是长方体 C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【解答】解：对于，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线与轴线平行是该圆柱的母线， 故错误； 对于，直四棱柱的上下底面不一定是矩形，故不一定是长方体，故错误； 对于，将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个简单组合体，由两个圆锥和一个圆柱组成，故错误； 对于，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故正确． 故选：． ( 考点02 空间几何体的直观图 ) 6．（2025春•天津期末）在△中，为直角，，若用斜二测画法画出其水平放置的平面图形的直观图，则其直观图的面积是（　　） A．2 B． C．1 D． 【解答】解：根据斜二测法规则及三角形面积公式可得所求为：． 故选：． 7．（2021春•天津期末）已知直角梯形上下两底分别为分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为　　 A． B． C．3 D．6 【解答】解 根据斜二测画法可知， 轴上的，在新系中在轴上， 且， 作轴于，则， 又，， ． 故选：． 8．（2025春•和平区期末）用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形，所得直观图的周长为（　　） A．8 B．6 C． D．4 【解答】解：边长为2正方形的直观图如下所示： 则，，， 所以直观图的周长为． 故选：． 9．（2024春•和平区期末）若采用斜二测画法画水平放置的△的直观图△，△的面积为，则△的面积为（　　） A．2 B． C．4 D． 【解答】解：根据题意，△的直观图△的面积为， 则原图△的面积． 故选：． 10．（2025春•南开区期末）如图，△是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为 　　． 【解答】解：根据题意，在直观图中，轴，轴，，， 则， 故的面积． 故答案为：2． 11．（2025春•天津期末）正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图）．则原图形的周长是（　　） A．12 B．24 C． D． 【解答】解：根据题意，直观图为正方形，且其边长为3， 故， 由斜二测画法还原原图形，如图： 则四边形为平行四边形，其中，， ， 所以其周长为． 故选：． 12．（2025春•天津期末）如图，△是水平放置的的斜二测直观图，若，，，则的面积为 　　． 【解答】解：把△还原为，如图所示： 所以， ， 所以的面积为． 故答案为：． ( 考点0 3 空间几何体的表面积 ) 13．（2021春•河北区校级期末）如图，四棱锥的体积为，底面是边长为4的正方形，且，则此四棱锥的表面积为 　　． 【解答】解：四棱锥的底面是边长为4的正方形，设高为， 则四棱锥的体积为，解得， 又因为，所以四棱锥是正四棱锥，斜高为， 所以四棱锥的表面积为． 故答案为：40． 14．（2020春•红桥区期末）已知四面体的各棱长均为1，则该四面体的表面积为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：由于四面体的个各棱长为1， 所以该四面体为正四面体． 所以． 故选：． 15．（2022春•和平区校级期末）宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一，如图为一件三层六角宫灯，三层均为正六棱柱，其中上下层正棱柱的底面周长均为，高为，中间一层角宫灯，三层均为正六棱柱，其中上、下层正棱柱的底面周长均为，高为，中间一层的正棱柱高为．设计一个装该宫灯的可从中间打开的球形盒子，则该盒子的表面积至少为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意，将该宫灯看成一个高为、底面边长为的正六棱柱， 而正六棱柱的外接球（球形盒子）的直径是其对角线的长， 则，得， 故外接球（球形盒子）的表面积至少为． 故选：． 16．（2020春•东丽区校级期末）已知正三棱锥的底面边长为，顶点到底面的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可作底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：， 所以正三棱锥的斜高为：， 所以这个正三棱锥的侧面积为：． 故选：． 17．（2025春•滨海新区校级期末）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为 　　 ． 【解答】解：设圆锥的母线长为， 由题可得：，解得， 所以圆锥的表面积为：． 故答案为：． 18．（2023春•河北区期末）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：圆锥的底面半径为2，母线长为3， 则该圆锥的侧面积为 ． 故选：． 19．（2025秋•西青区期末）已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为　　 时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为　　． 【解答】解：设矩形的边长为时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，则圆柱的高为， 因为矩形的周长为， 所以圆柱的底面半径为， 故圆柱的侧面积为， 故当矩形的边长为时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为． 故答案为：9，． ( 考点0 4 空间几何体的体积 ) 20．（2025春•天津期末）如图所示，长方体中，若，，，，分别为棱，的中点，用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设左侧几何体的体积为，长方体的体积为， 右侧三棱柱的体积为， 因为长方体中，，，， 所以． 故选：． 21．（2023秋•天津期末）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的．如图所示，已知正方体棱长为6，则该石凳的体积为（　　） A．180 B．36 C．72 D．216 【解答】解：由题意可得：一个四面体的体积为， 又正方体的体积为， 则该石凳的体积为． 故选：． 22．（2025春•河西区期末）正方形边长为1，以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积为 . 【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 圆柱的底面圆半径为1，高为1， 则所得几何体的体积为：． 故答案为：． 23．（2024春•和平区校级期末）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设圆锥的底面半径为：，圆锥的母线长为：， 圆柱和圆锥的侧面积相等，可得， 解得，圆锥的体积为：． 故选：． 24．（2024秋•西青区期末）如图，一个圆柱形容器中装有某种液体，固定容器在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是10和22，则容器内液体的体积是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图所示，过作容器壁的垂线，垂足为， 因为平行于底面，所以， 由于，到容器底部的距离分别是10和22， 所以， 在直角三角形中，有， 即该圆柱的底面圆的半径为， 所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为的圆柱体体积的一半， 所以液体体积． 故选：． 25．（2023春•和平区校级期末）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为 　　． 【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 因为圆锥的表面积为， 所以，即， 又圆锥的侧面展开图是一个半圆， 所以，即， 所以， 所以这个圆锥的体积为． 故答案为：． 26．（2025春•河东区期末）如图，多面体，为的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在矩形中，有，， 因为，，，平面， 所以平面 则平面，因为，平面， 所以，， 在△中，由，， 则， 又因为的中点，则， 则，， 易知△△，则， 因为，则， 在△中，， 则矩形的面积， 因为，，，，平面， 所以平面， 多面体的体积． 故选：． 27．（2024秋•和平区期末）在正方体中，是棱上的点，且，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，取的靠近的四等分点，易得， 平面截正方体所得截面为等腰梯形， 设正方体的棱长为4， ， ， ． 故选：． 28．（2024秋•天津期末）如图，四边形为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，有如下的结论，其中正确的个数是（　　） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：如图，设，连接，分别延长，交于点， 则根据题意可得为中点，又，从而可得，又， 所以， 所以，所以，所以①错误，③正确； 又，且， 所以，所以，又， 所以，所以②错误，④正确． 故选：． 29．（2025春•天津校级期末）如图，两个正交的全等正四面体（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点），若正四面体棱长为2，则这两正交四面体公共部分的体积为 　　 ． 【解答】解：因为该几何图形的体积由八个小正四面体和所求公共部分的体积组成， 设大正四面体为，是△中心， 因为大正四面体的棱长为2，所以，， 所以大正四面体的高， 小正四面体的高， 设所求部分的体积为，大正四面体的体积为，小正四面体的体积为， 则， ， 所以， 即， 解得， 即这两正交四面体公共部分的体积为， 故答案为：． ( 考点0 5 与球有关的切接问题 ) 30．（2025秋•和平区期末）已知某圆锥的母线长为，该圆锥内切球的球心与其外接球的球心重合，则该圆锥内切球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，圆锥的轴截面为△，圆锥的底面中心为，则点为 中点， 设内切球的球心与其外接球的球心为，则点在圆锥的高上， 连接，过作于， 设圆锥内切球半径为，外接球半径为，圆锥底面半径为，高为，母线为， 由题可得，，，，， 则， 由勾股定理可得：， 所以，整理得， 所以， 又由，可得，联立解得，， 故该圆锥内切球的半径为， 所以内切球的表面积为． 故选：． 31．（2025秋•南开区期末）正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，设为外接球球心，底面于点，设， 由正四棱锥的体积为8，即，解得，则， 又，所以，， 在△ 中，，即，解得， 所以外接球的表面积为． 故选：． 32．（2020春•天津期末）棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为（　　） （注：球的体积，其中为球的半径） A． B． C． D． 【解答】解：由正方体的对角线为其外接球的直径可得，解得， 所以外接球的体积， 故选：． 33．（2025秋•红桥区期末）已知一个体积为27的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为 ． 【解答】解：设半球球心是正方体下底面正方形的中心， 过该正方体的对角面作截面，截半球得半圆，如图所示： 设正方体棱长为，则， 则半球半径， 因为正方体的体积为， 所以该半球体的体积． 故答案为：． 34．（2024秋•红桥区期末）球面上有三点，，，若，，，且球心到△所在平面的距离，等于球的半径的一半，则该球的球面面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得球心在平面内的射影为中点， 又球心到△所在平面的距离，等于球的半径的一半，设球的半径为， 则，解得， 该球的球面面积为． 故选：． 35．（2025春•天津校级期末）在平面四边形中，，，，将△沿折起，使点到达点的位置，且三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为在平面四边形中，，，， 所以易得三角形为边长为2的等边三角形， 三角形为等腰三角形，腰为，底为2，底边上的高，为中点， 设三棱锥中到底面的距离为， 则其体积为，解得， 又等腰三角形底边上的高也为，所以底面， 设三角形的中心为，过作平面，则球心在直线上， 过作于点， 设，外接球的半径为， 又易知，， 则根据勾股定理可得：， 解得，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为． 故选：． 36．（2025春•天津期末）如图，空间几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若，且所有顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设球心为，底面正方形中心为，上底面正方形中心为， 几何体上下底面平行且所有顶点在同一球面上，所以球心在直线上． 已知，则底面正方形对角线长为，所以． 上底面正方形边长为，其对角线为2，则． 设，则，又， 根据勾股定理，在直角三角形△，△中， 为球的半径），， 过作垂直，垂足为，由题意可知，为的中点， 在直角中，， 根据勾股定理可得， 即， 联立可得：， 解得， 代入可得 所以球的表面积． 故选：． 37．（2022秋•天津校级期末）三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，△是正三角形，，则该球的表面积是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，设△的外接圆圆心为，过点作平面， 设三棱锥外接球球心为，半径为， 平面，平面， ，连接、、， △是正三角形，， ， ，，， ， 该球的表面积． 故选：． 38．（2025春•红桥区期末）三棱锥的4个顶点都在球的表面上，已知是边长为的等边三角形，平面，，则球的表面积为 　　． 【解答】解：如图， 设的中心为，连接，，，可得， ， 又，， 球的表面积为． 故答案为：． 39．（2024春•和平区校级期末）已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图， 将正三棱锥放到棱长为2的正方体中， 则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，正方体的外接球的直径为正方体的体对角线， 设外接球的半径为，则，得， 外接球的表面积． 故选：． ( 考点0 6 空间点、直线、平面之间的位置关系 ) 40．（2021春•河东区期末）已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　） A．若，垂直于同一平面，则与平行 B．若，平行于同一平面，则与平行 C．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面 D．若，不平行，则在内不存在与平行的直线 【解答】解：对于，若，垂直于同一平面，则与平行或相交，不正确； 对于，若，平行于同一平面，则与平行、相交或异面，不正确； 对于，根据垂直于同一平面的两条直线平行，可知正确； 对于，若，不平行，则在内存在与平行的直线，与交线平行即可，不正确， 故选：． 41．（2025春•红桥区期末）如图，下列正方体中，，，，分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线和为异面直线的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，和是平行直线，不符合题意； 对于，和是相交直线，不符合题意； 对于，和是相交直线，不符合题意； 对于，和是异面直线，符合题意． 故选：． 42．（2025春•天津期末）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【解答】解：若，，则或，所以选项错误； 若，，，则，所以选项正确； 若，，则或与相交成，的任意角，所以选项错误； 若，，，则或与异面，所以选项错误． 故选：． 43．（2025春•和平区期末）设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，且，，则（　　） A．若，则B．若，则C．若，则 D．若，则 【解答】解：因为、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，且，， 所以若，，可能平行，也可能异面，所以错误； 若，则，可能平行，也可能相交，所以错误； 若，则，可能平行，可能垂直，可能异面，所以错误； 若，那么经过的平面与垂直，所以，所以正确． 故选：． 44．（2025春•河西区期末）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题： ①当时，若，则； ②当，时，若，则； ③当，时，，则，是异面直线； ④当，时，若，则． 其中正确命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：当时，若，则，所以①正确； 当，时，若，则，所以②正确； 当，时，，则或与是异面直线，所以③错误； 当，时，若，则，所以④正确． 故选：． 45．（2020春•东丽区期末）给出下列四个命题，其中正确的命题是（　　） ①平行于同一直线的两条直线平行； ②平行于同一平面的两条直线平行； ③平行于同一直线的两个平面平行； ④平行于同一平面的两个平面平行． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【解答】解：由平行公理可得，平行于同一直线的两条直线平行，故①正确； 平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故②错误； 平行于同一直线的两个平面平行或相交，故③错误； 由面面平行的性质定理可得平行于同一平面的两个平面平行，故④正确． 故选：． 46．（2023春•河北区期末）设、、、是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．异面 D．无法确定 【解答】解：解法一：如图，延长使， 因为，，，为棱的中点， 所以延长，都会交中点处， 所以直线和直线的位置关系为相交． 解法二：如图所示，连接．，， 则易得平行且等于，平行且等于2倍， 所以平行且等于2倍， 所以四边形为梯形， 所以直线和直线的位置关系是相交． 故选：． ( 考点0 7 证明线面平行 ) 47．（2025春•河东区期末）如图，为正方体的棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值． 【解答】（1）证明：连接与，设交于点，连接， 由正方体的性质可知：为的中点，又因为为的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）解：由（1）可知等于为直线与所成的角， 由题意，平面， 所以，， 所以， 由（1）可证得：， 设正方体的棱长为2，则，， ， 所以． 所以直线与所成角的余弦值为． 48．（2025春•和平区期末）在平行六面体中，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面． 【解答】证明：（Ⅰ）因为平行六面体中， ，平面，平面， 所以平面； （Ⅱ）因为平行六面体中，， 所以平面是菱形，， 因为，， 所以， 又因为， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面． 49．（2024春•天津期末）如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 【解答】证明：（1）连接与交于点，连接， 四边形是正方形， 为中点，又为中点， ，又平面，平面， 平面； （2）在正方体 中， 平面，又平面， ，又，， 平面，又平面， ． 50．（2024春•河东区期末）如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点． （1）证明：平面； （2）若平面，证明：． 【解答】证明：（1）连接，交于点，连接， 因为底面是正方形，所以点是的中点， 又为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为平面，平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 又，、平面， 所以平面， 因为平面， 所以． 51．（2021春•和平区期末）如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，是的中点．求证： （1）平面； （2）若，求证：． 【解答】证明：（1）连结． 侧面是菱形，与交于点 为的中点 是的中点 ； 平面，平面 平面 （2）侧面是菱形 ，，平面，平面 平面 平面 ． 52．（2021春•河北区期末）如图，四棱锥中，底面是正方形，，，点，分别为棱，的中点，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：，分别为棱，的中点， ， 平面，平面， 平面． （Ⅱ）证明：，，且，、平面， 平面． （Ⅲ）解：连接，由（Ⅱ）知平面， 为直线与平面所成角， ，且四边形为正方形， ， ， ， 故直线与平面所成角的正弦值为． ( 考点0 8 证明面面平行 ) 53．（2023春•西青区期末）设，为两个平面，则的充要条件是（　　） A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 【解答】解：内有无数条直线与平行，不一定有，也可能相交，故错误； 内有两条相交直线与平行，则，反之成立，故正确； ，平行于同一条直线，不一定有，也可能相交，故错误； ，垂直于同一平面，不一定有，也可能相交，故错误． 故选：． ( 考点0 9 证明线线垂直 ) 54．（2021春•河东区期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 【解答】解：（1）证明：因为， 所以，， 又底面，所以， ，所以平面． 因为平面， 所以． （2）证明：连接交于点，连接． 因为四边形为矩形，所以点为的中点． 又因为点为的中点，所以． 因为平面，平面， 所以平面． 55．（2020春•滨海新区校级期末）在正方体中，为棱的中点，底面对角线与相交于点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：． 【解答】证明：（1）设与交于点，连接， 底面是正方形， 为中点， 又因为是的中点， ， 面，平面 平面． （2）底面是正方形， ， 底面， ，且， 平面． 平面， ． 56．（2024春•西青区校级期末）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，点在上． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅲ）若二面角的平面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：设为的中点，连接（如图，则，， 四边形为平行四边形， ，，， 平面，平面， ，平面，． （Ⅱ）解：设，连接（如图，由（Ⅰ）得， ，即是△的中位线，， 就是异面直线与所成角． 平面，，，面． 在△中，，， ． 异面直线与所成角的余弦值为． （Ⅲ）解：设，连接（如图，过点作，过点作于，连接，则， 由平面，可得平面， ， ，， 平面， ， 是二面角的平面角，即 设，则，， 可得为的中点，连接交于，连接， 由（Ⅰ）平面，是与平面所成的角 在△中，，，， ， 与互余， 与平面所成的角的正弦值为． 57．（2024春•东丽区校级期末）如图1所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到△的位置，使平面平面，如图2所示． （1）求证：； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【解答】解：（1）证明：在图1中，连接，易求， 四边形为菱形．连接交于点，则． 在图2中，，．又于，平面． 又平面，． （2）平面平面，平面平面， ，平面， 即为直线在平面上的射影， 故为直线与面所成角， 由（1）知，△，为等边三角形， ，， 在直角△中，， 即直线与面所成角的正弦值为． （3）在图2中延长，，设，连接． 平面，平面．又平面，平面． 是平面与平面的交线， 平面平面，，平面平面， 平面，又平面，，作，垂足为，连接， 又，平面，又平面，． 即为平面与平面所成锐二面角的平面角． 由（1）知，△，为等边三角形， ，△， ，解得． 在中，， ． 平面与平面所成锐二面角的余弦值． ( 考点 10 证明线面垂直 ) 58．（2025春•天津期末）如图，在多面体中，平面，平面平面，且，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若，求直线和平面所成的角的正弦值． 【解答】解：（1）证明：取中点，又为的中点， 所以，且， 又，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）证明：在平面内过作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又平面，平面，所以，又， 所以平面； （3）由（2）知平面， 所以与平面所成的角为， 在△中，，所以， 所以， 在△中，，， 所以直线和平面所成的角的正弦值为． 59．（2024春•天津期末）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点． （Ⅰ）求证：直线平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值． 【解答】（Ⅰ）证明：连接，交于点，连接， 在△中，为的中点，为的中点， 所以是△的中位线，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （Ⅱ）证明：在正三棱柱中， 为平面，平面，所以， 在等边△中，为的中点，， 又因为， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （Ⅲ）解：连接，因为△和△都是直角三角形， 且， 所以△△，所以， 因为，所以， 所以， 由（Ⅱ）得，平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 为直线与平面所成的角， 在△中，因为，， 所以， 所以直线与平面所成角的正切值为． 60．（2024春•河北区期末）如图，在三棱柱中，与交于点，平面，，是的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）证明：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知为的中点，为的中点，连接， 可得， 又平面，平面， 所以平面； （Ⅱ）证明：由直棱柱可得底面，平面， 所以， 又因为，是的中点， 所以，而， 所以平面； （Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得为在面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， ，设， 则，， 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为． 61．（2023春•河东区期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面平面，，为，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【解答】（1）证明：在中，，为，的中点， 可得， 又因为为正方形， 可得， 所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）证明：因为侧面平面，且侧面平面， 又因为平面，且，所以平面， 因为平面， 所以， 由为等边三角形，且为的中点， 所以， 因为且，平面， 所以平面． 62．（2024春•南开区期末）如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面． 【解答】证明：（Ⅰ）连接，则 ，，为线段的中点， 四边形是平行四边形，是平行四边形， 设，连接，则是的中点， 为线段的中点， ， 平面，平面， 平面； （Ⅱ）是平行四边形， ， 平面，平面， ， ， ，四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 平面． ( 考点 11 证明面面垂直 ) 63．（2025春•河东区期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）证明：因为，为的中点，所以， 又底面为矩形，所以，所以． （2）证明：底面为矩形，． 平面平面，平面平面， 平面，平面， 又平面，． 又，，、平面，平面， 而平面，平面平面； （3）存在，且，理由如下： 连接、，，连接， 因为是矩形，且为的中点，所以△△，所以， 又平面，平面平面，平面， 所以， 所以． 64．（2025春•河西区期末）如图，四边形是平行四边形，平面平面，，，，，，，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求二面角的正切值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，且， 又，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （Ⅱ）证明：因为，，， 所以由余弦定理可得，进而根据勾股定理易得， 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （Ⅲ）过点作，，连接， 由（Ⅱ）知平面平面，平面平面， 所以平面，又，所以， 所以即为二面角的平面角， 在△中，，，， 由余弦定理得，所以， 所以，， 在直角三角形中，，， 所以，， 又，所以， 所以， 所以二面角的正切值． 65．（2025春•滨海新区校级期末）如图，在四棱锥中底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，为的中点．求证： （1）平面； （2）平面平面． 【解答】解：（1）连接，交于点，连接， 四边形为正方形， 是的中点， 又为的中点， ， 又平面， 平面， 平面； （2）底面为正方形， 平面平面，且平面平面，平面， 平面， 平面， ， 又是正三角形，为的中点， ，， 平面， 平面， 平面平面． 66．（2021春•宝坻区校级期末）如图所示，在三棱锥中，点、分别在棱、上，且． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，，求证：平面平面． 【解答】证明：（1）在三棱锥中，点、分别在棱、上，且 平面，平面， 平面． （2），，， ，， 平面， 平面， 平面平面． 67．（2023春•南开区期末）如图，四棱锥的底面为菱形，，，分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【解答】证明：（1）取的中点， 是的中点， ，且， 又底面是菱形，是中点， ，且， ，且， 四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面； （2）设，则是中点， 底面是菱形， ， 又，是中点， ， 又，平面，平面， 平面， 平面， 平面平面． 68．（2021春•南开区期末）在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示的五面体是一个羡除，其中棱，，相互平行，四边形是梯形．已知，平面，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【解答】证明：（1），，相互平行，四边形是梯形．， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面． （2）平面，平面， ， ，． 平面， 平面，平面平面． ( 考点 12 异面直线所成的角 ) 69．（2025春•南开区期末）在正三棱柱中，面，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：分别取，，，的中点，，，， 连接，，，，，所以，， 所以异面直线与所成角即为与所成角（或其补角）， 即，设，所以， ， 所以在△中，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：． 70．（2025春•滨海新区校级期末）如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对中点，连接，， ，， 四边形是平行四边形，则， 或其补角是异面直线与所成角， 设，则，， 异面直线与所成角的余弦值为： ． 故选：． 71．（2025春•天津校级期末）如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，、分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接，设为中点，连接，． 因为是中点，根据三角形中位线定理，可得且， 所以为异面直线和所成的角或其补角． 由空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，在等边三角形中，是中点， 根据等边三角形三线合一及勾股定理，可得，同理． 所以，． 在△中，，根据勾股定理可得． 在△中，根据余弦定理， 将，，代入可得： ． 即异面直线和所成角的余弦值为． 故选：． 72．（2021春•天津期末）如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为 ． 【解答】解：， 直线与所成的锐角或直角就是直线和所成的角， ， 与所成的角大小是． 故答案为：． 73．（2025春•和平区期末）已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ． 【解答】解：如图， 取中点，连接，， 因为为线段中点，所以，则异面直线与所成角即为或其补角， 因为，，， 所以，，，， 所以在△中由余弦定理可得 ， 所以异面直线与所成角的正弦值为， 故答案为：． 74．（2022春•河北区校级期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：连结，因为且 所以四边形是平行四边形，故， 所以就是异面直线与所成的角或其补角， 连结，由，， 则， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为． 故选：． 75．（2023春•天津期末）正四面体中，、分别为，的中点，则异面直线与所成角大小为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：取中点，连接，，，， 设，则，，，， ，，， ，， ，是异面直线与所成角（或所成角的补角）， ，，， 异面直线与所成角大小为． 故选：． ( 考点 13 直线与平面所成的角 ) 76．（2025春•天津校级期末）在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点作，交于，连接， 由长方体的性质知，平面， 因为平面， 所以， 又，，平面， 所以平面， 所以即为直线与平面所成角， 由题意知， 因为， 所以， 在△中，， 即直线与平面所成角的正弦值为． 故选：． 77．（2025春•天津期末）如图，在空间四边形中，△是边长为的等边三角形，平面平面，，且，则与平面所成角的大小是 　　 ；二面角的余弦值是 　　 ． 【解答】解：第一空：过点作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 则为与平面所成的角， ，， ； 第二空：如图所示，过点作于点，过点作交于点，过点作垂直交于点，则， 取的中点，连接， 所以二面角的平面角为， 由题意，因为，，， 所以点，分别是，的中点， 所以， 因为，， 所以， 因为平面，平面， 所以，所以， 所以三角形是等腰三角形，其中，， 由等面积法有，， 解得， 所以， 所以， 所以， 因为平面，， 所以点在三角形内的射影必定为，的交点， 即点在三角形内的射影必定为等边三角形的中心， 所以，， 所以， 故所求为． 故答案为：；． 78．（2025春•河西区期末）如图，在正方体中，、分别为，的中点，则直线与所成角的大小为 　　 ；直线与平面所成角的正弦值为 　　 ． 【解答】解：连接，， 因为、分别为，的中点，则可知直线与所成角为（或其补角）， 又因为可知△为等边三角形，可得， 所以直线与所成角的大小为， 设正方体的边长为2，点到平面的距离为， 因为，， 则△的面积， 又因为， 即， 解得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：；． 79．（2025春•西青区期末）如图，直三棱柱中，，，为线段的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：连接交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点， 又因为点为中点， 所以． 又因为平面，平面， 故平面 （Ⅱ）证明：因为三棱柱为直棱柱， 则平面， 因为平面，所以． 又因为，，平面，平面， 所以平面， 而平面，所以． 又因为，所以． 由题知，为线段的中点，所以， 又，平面，平面， 所以平面． 又因为平面， 故平面平面． （Ⅲ）取的中点，连接，，则． 已知三棱柱为直棱柱，平面， 因为平面，所以． 又因为，，平面，平面， 所以平面． 又因为，所以平面， 所以为直线与平面所成的角． 因为，所以，，． 在△中，． 因为平面，平面，所以． 在△中，， 所以直线与平面所成角的正切值为． 80．（2025春•天津期末）如图，在四棱锥中，△是边长为2的等边三角形，底面是等腰梯形，，，，是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若， 求证：平面平面； 求直线与底面所成角的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：取中点，连接、， 是的中点，，， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面； （Ⅱ）证明：在等腰梯形中，过点作交于点， ，，， 可知， 在△中由余弦定理可得， ，， ，，平面，平面， 平面，平面， 平面平面； 过点作于点，连接， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 是斜线在平面上的射影， 是与底面所成的角， 在△中，，，得， ，所以， 在△中，，，是的中点，得， 在△中，， 在△中，， ， 即直线与底面成角的余弦值为． ( 考点 14 二面角 ) 81．（2025春•西青区期末）如图，四棱锥的底面为正方形，面，，则异面直线与所成角的大小及平面与平面所成的二面角的大小分别为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【解答】解：连接， 因为面，所以，，， 又因为是正方形，所以， ，，平面，所以平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成角为，所以可确定只有选项正确； 又因为，，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是平面与平面所成的二面角的平面角， 而因为，，所以， 即平面与平面所成的二面角大小为， 故选：． 82．（2025春•河东区期末）如图，是边长为的正方形外一点，，，且，则二面角的余弦值为 　　 ． 【解答】解：如图， 因为，，， 所以平面，又平面， 所以， 又因为四边形为正方形， 所以， 所以平面（其中为与的交点）， 所以， 所以为二面角的平面角． 又因为， 所以， 所以． 又因为，， 所以． 故答案为：． 83．（2025春•天津校级期末）已知正四面体，则二面角的余弦值为 　　 ． 【解答】解：取中点，连接，， 正四面体，所有棱长都相等， ， 等边三角形三线合一的性质， ，， 又平面平面， 结合图象可知即为二面角的平面角， 设正四面体的棱长为，则，， 在△中由余弦定理可得， 故二面角的余弦值为， 故答案为：． 84．（2024春•天津期末）如图，在四棱锥中，△为等边三角形，平面平面，，，，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）证明：取棱的中点，连接， 因为△为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面，又平面， 故， 又已知，， 所以平面； （2）连接， 由（1）中平面， 可知为直线与平面所成的角， 因为△为等边三角形，，且为的中点， 所以， 又，在△中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）取中点，连接，， 在△中，， 因为平面，又平面， 所以，在△中，， 所以△△， 所以， 又点为中点， 所以， 同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在△中，， 在△中，， 在△中，，，， 由余弦定理可得， 即， 化简得到， 所以舍）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为， ． ( 考点 15 空间几何体的截面问题 ) 85．（2025春•河西区期末）在各棱长均为1的正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，延长与相交于点，反向延长线交于点， 连接交于点，连接，得到截面，由题意得， 在各棱长均为1的正三棱柱中，， 因为，，，，， 所以， 即， 所以， 所以． 故选：． 86．（2024春•河东区期末）如图，正方体中，点、、、分别为棱，，，的中点，点为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（　　） ①与异面； ②平面； ③平面截正方体所得的截面图形始终是四边形； ④平面平面． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：对于①，连接，， ，，四边形是平行四边形， 又平面，，平面，平面， 平面，又，与是异面直线，故①正确； 对于②，连接，则，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面，平面，故②正确； 对于③，取的中点，当与重合时，连接，则有，，，，四点共面， 即平面截正方体的图形是四边形，如下图： 当点在线段上时，在平面内作直线，交的延长线于，交于，连接， ，，，，四点共面，平面， ， 即平面截正方体的图形是五边形，如下图： 故③错误； 对于④，在正方形内，△△，， ， ，又平面，平面， ，，平面，， 平面，又平面， 平面平面，故④正确． 故选：． 87．（2023春•河西区期末）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面为（　　） A．三角形 B．五边形 C．平行四边形 D．等腰梯形 【解答】解：根据题意，取的中点，的中点，连接，，，， 则，，所以，故在同一平面内， 连接，因为，分别为的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，不在平面内， 所以平面， 同理平面， 因为， 所以平面平面， 即平面截该正方体所得截面为梯形； 又由梯形中，，即平面截该正方体所得截面为等腰梯形． 故选：． ( 考点 16 空间几何体的动点问题 ) 88．（2023春•河西区期末）如图，在正方体中，点，分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线（　　） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有无数条 D．不存在 【解答】解：作交于，连接，在正方体中，可知， 当，的高度一样时，则， 可得四边形为平行四边形，所以， 正方体中，面，面， 所以，进而可证得， 因为，点的位置无数多个，所以这样的直线由无数多条． 故选：． 89．（2022春•南开区校级期末）正方体中，为正方体的中心，为正方体表面上的一个动点，若直线与平面、平面所成的角都是，则这样的点的个数为　　 A．4 B．6 C．8 D．无数个 【解答】解：为正方形，则， 又平面，则， ，则平面， ， 同理可得：，， 平面， 如图，取的中点，若平面（即平面存在点， 使得与平面、平面所成的角都是， 连接，过作，垂足为，连接，则， 设正方体的棱长为6，则， ， 即在线段作确定点，再过点作，且， 连接，则直线即为满足题意的直线根据对称可知满足条件的直线共有4条， 则这些直线与正方体表面的交点共有8个， 故选：． 90．（2021春•河东区期末）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，现有下列结论： ①； ②平面与平面的交线平行于直线； ③异面直线，所成的角为定值； ④三棱锥的体积为定值． 其中错误结论的是 　　 ． 【解答】解：对于①，平面，平面，，故①正确； 对于②，平面平面，设平面平面，平面平面，故，故②正确； 对于③，当点在处，为的中点时， 由可知异面直线，所成的角是； 当在上底面的中心时，在的位置， 异面直线，所成的角是，两个角不相等， 从而异面直线，所成的角不一定为定值，故③错误； 对于④，到平面的距离是定值， 是定值， 三棱锥的体积为定值，故④正确． 故答案为：③． 91．（2024春•河西区期末）如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面中恒成立的为　　 A．①③ B．③④ C．①② D．②③④ 【解答】解：如图所示，连接、相交于点，连接，． 在①中：由正四棱锥，可得底面，， ． ，平面， ，，分别是，，的中点， ，，而， 平面平面，平面，．故正确． 在②中：由异面直线的定义可知：与是异面直线， 不可能，因此不正确； 在③中：由①可知平面平面， 平面，因此正确． 在④中：由①同理可得：平面， 若平面，则，与相矛盾， 因此当与不重合时，与平面不垂直．即不正确． 故选：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 立体几何初步 高频考点概览 考点 01 空间几何体的结构 考点 02 空间几何体的直观图 考点 03 空间几何体的表面积 考点 04 空间几何体的体积 考点 05 与球有关的切接问题 考点 06 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点 07 证明线面平行 考点 08 证明面面平行 考点 09 证明线线垂直 考点 10 证明线面垂直 考点 11 证明面面垂直 考点 12 异面直线所成的角 考点 13 直线与平面所成的角 考点 14 二面角 考点 15 空间几何体的截面问题 考点 16 空间几何体的动点问题 考点01 空间几何体的结构 1．（2025春•河西区期末）如图，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（　　） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．五棱锥 2．（2022春•河东区期末）下列说法中正确的是（　　） A．棱柱的侧面可以是三角形 B．棱柱的各条棱都相等 C．所有几何体的表面都能展成平面图形 D．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 3．（2025春•天津期末）下列说法正确的是（　　） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．若一个多面体共有5个面，则这个多面体可能是三棱锥 D．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 4．（2024春•南开区期末）给出下列命题： ①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台； ④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形． 其中正确命题是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 5．（2024春•天津期末）下列说法正确的是（　　） A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线 B．直四棱柱是长方体 C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 6．（2025春•天津期末）在△中，为直角，，若用斜二测画法画出其水平放置的平面图形的直观图，则其直观图的面积是（　　） 考点02 空间几何体的直观图 A．2 B． C．1 D． 7．（2021春•天津期末）已知直角梯形上下两底分别为分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为　　 A． B． C．3 D．6 8．（2025春•和平区期末）用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形，所得直观图的周长为（　　） A．8 B．6 C． D．4 9．（2024春•和平区期末）若采用斜二测画法画水平放置的△的直观图△，△的面积为，则△的面积为（　　） A．2 B． C．4 D． 10．（2025春•南开区期末）如图，△是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为 　　． 11．（2025春•天津期末）正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图）．则原图形的周长是（　　） A．12 B．24 C． D． 12．（2025春•天津期末）如图，△是水平放置的的斜二测直观图，若，，，则的面积为 　　． 考点03 空间几何体的表面积 13．（2021春•河北区校级期末）如图，四棱锥的体积为，底面是边长为4的正方形，且，则此四棱锥的表面积为 　　． 14．（2020春•红桥区期末）已知四面体的各棱长均为1，则该四面体的表面积为（　　） A．2 B． C． D． 15．（2022春•和平区校级期末）宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一，如图为一件三层六角宫灯，三层均为正六棱柱，其中上下层正棱柱的底面周长均为，高为，中间一层角宫灯，三层均为正六棱柱，其中上、下层正棱柱的底面周长均为，高为，中间一层的正棱柱高为．设计一个装该宫灯的可从中间打开的球形盒子，则该盒子的表面积至少为（　　） A． B． C． D． 16．（2020春•东丽区校级期末）已知正三棱锥的底面边长为，顶点到底面的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 17．（2025春•滨海新区校级期末）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为 　　 ． 18．（2023春•河北区期末）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 19．（2025秋•西青区期末）已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为　　 时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为　　． 考点04 空间几何体的体积 20．（2025春•天津期末）如图所示，长方体中，若，，，，分别为棱，的中点，用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为（　　） A． B． C． D． 21．（2023秋•天津期末）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的．如图所示，已知正方体棱长为6，则该石凳的体积为（　　） A．180 B．36 C．72 D．216 22．（2025春•河西区期末）正方形边长为1，以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积为 . 23．（2024春•和平区校级期末）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（　　） A． B． C． D． 24．（2024秋•西青区期末）如图，一个圆柱形容器中装有某种液体，固定容器在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是10和22，则容器内液体的体积是（　　） A． B． C． D． 25．（2023春•和平区校级期末）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为 　　． 26．（2025春•河东区期末）如图，多面体，为的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为（　　） A． B． C． D． 27．（2024秋•和平区期末）在正方体中，是棱上的点，且，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则（　　） A． B． C． D． 28．（2024秋•天津期末）如图，四边形为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，有如下的结论，其中正确的个数是（　　） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（2025春•天津校级期末）如图，两个正交的全等正四面体（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点），若正四面体棱长为2，则这两正交四面体公共部分的体积为 　　 ． 考点05 与球有关的切接问题 30．（2025秋•和平区期末）已知某圆锥的母线长为，该圆锥内切球的球心与其外接球的球心重合，则该圆锥内切球的表面积为（　　） A． B． C． D． 31．（2025秋•南开区期末）正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（　　） A． B． C． D． 32．（2020春•天津期末）棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为（　　） （注：球的体积，其中为球的半径） A． B． C． D． 33．（2025秋•红桥区期末）已知一个体积为27的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为 ． 34．（2024秋•红桥区期末）球面上有三点，，，若，，，且球心到△所在平面的距离，等于球的半径的一半，则该球的球面面积为（　　） A． B． C． D． 35．（2025春•天津校级期末）在平面四边形中，，，，将△沿折起，使点到达点的位置，且三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 36．（2025春•天津期末）如图，空间几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若，且所有顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（　　） A． B． C． D． 37．（2022秋•天津校级期末）三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，△是正三角形，，则该球的表面积是（　　） A． B． C． D． 38．（2025春•红桥区期末）三棱锥的4个顶点都在球的表面上，已知是边长为的等边三角形，平面，，则球的表面积为 　　． 39．（2024春•和平区校级期末）已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（　　） A． B． C． D． 考点06 空间点、直线、平面之间的位置关系 40．（2021春•河东区期末）已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　） A．若，垂直于同一平面，则与平行 B．若，平行于同一平面，则与平行 C．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面 D．若，不平行，则在内不存在与平行的直线 41．（2025春•红桥区期末）如图，下列正方体中，，，，分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线和为异面直线的是（　　） A． B． C． D． 42．（2025春•天津期末）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 43．（2025春•和平区期末）设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，且，，则（　　） A．若，则B．若，则C．若，则 D．若，则 44．（2025春•河西区期末）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题： ①当时，若，则； ②当，时，若，则； ③当，时，，则，是异面直线； ④当，时，若，则． 其中正确命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 45．（2020春•东丽区期末）给出下列四个命题，其中正确的命题是（　　） ①平行于同一直线的两条直线平行； ②平行于同一平面的两条直线平行； ③平行于同一直线的两个平面平行； ④平行于同一平面的两个平面平行． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 46．（2023春•河北区期末）设、、、是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．异面 D．无法确定 考点07 证明线面平行 47．（2025春•河东区期末）如图，为正方体的棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值． 48．（2025春•和平区期末）在平行六面体中，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面． 49．（2024春•天津期末）如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 50．（2024春•河东区期末）如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点． （1）证明：平面； （2）若平面，证明：． 51．（2021春•和平区期末）如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，是的中点．求证： （1）平面； （2）若，求证：． 52．（2021春•河北区期末）如图，四棱锥中，底面是正方形，，，点，分别为棱，的中点，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 考点08 证明面面平行 53．（2023春•西青区期末）设，为两个平面，则的充要条件是（　　） A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 考点09 证明线线垂直 54．（2021春•河东区期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 55．（2020春•滨海新区校级期末）在正方体中，为棱的中点，底面对角线与相交于点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：． 56．（2024春•西青区校级期末）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，点在上． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅲ）若二面角的平面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 57．（2024春•东丽区校级期末）如图1所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到△的位置，使平面平面，如图2所示． （1）求证：； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 考点10 证明线面垂直 58．（2025春•天津期末）如图，在多面体中，平面，平面平面，且，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若，求直线和平面所成的角的正弦值． 59．（2024春•天津期末）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点． （Ⅰ）求证：直线平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值． 60．（2024春•河北区期末）如图，在三棱柱中，与交于点，平面，，是的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）证明：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 61．（2023春•河东区期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面平面，，为，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 62．（2024春•南开区期末）如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面． 考点11 证明面面垂直 63．（2025春•河东区期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 64．（2025春•河西区期末）如图，四边形是平行四边形，平面平面，，，，，，，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求二面角的正切值． 65．（2025春•滨海新区校级期末）如图，在四棱锥中底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，为的中点．求证： （1）平面； （2）平面平面． 66．（2021春•宝坻区校级期末）如图所示，在三棱锥中，点、分别在棱、上，且． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，，求证：平面平面． 67．（2023春•南开区期末）如图，四棱锥的底面为菱形，，，分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 68．（2021春•南开区期末）在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示的五面体是一个羡除，其中棱，，相互平行，四边形是梯形．已知，平面，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 考点12 异面直线所成的角 69．（2025春•南开区期末）在正三棱柱中，面，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 70．（2025春•滨海新区校级期末）如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 71．（2025春•天津校级期末）如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，、分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 72．（2021春•天津期末）如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为 ． 73．（2025春•和平区期末）已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ． 74．（2022春•河北区校级期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 75．（2023春•天津期末）正四面体中，、分别为，的中点，则异面直线与所成角大小为（　　） A． B． C． D． 考点13 直线与平面所成的角 76．（2025春•天津校级期末）在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 77．（2025春•天津期末）如图，在空间四边形中，△是边长为的等边三角形，平面平面，，且，则与平面所成角的大小是 　　 ；二面角的余弦值是 　　 ． 78．（2025春•河西区期末）如图，在正方体中，、分别为，的中点，则直线与所成角的大小为 　　 ；直线与平面所成角的正弦值为 　　 ． 79．（2025春•西青区期末）如图，直三棱柱中，，，为线段的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值． 80．（2025春•天津期末）如图，在四棱锥中，△是边长为2的等边三角形，底面是等腰梯形，，，，是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若， 求证：平面平面； 求直线与底面所成角的余弦值． 考点14 二面角 81．（2025春•西青区期末）如图，四棱锥的底面为正方形，面，，则异面直线与所成角的大小及平面与平面所成的二面角的大小分别为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 82．（2025春•河东区期末）如图，是边长为的正方形外一点，，，且，则二面角的余弦值为 　　 ． 83．（2025春•天津校级期末）已知正四面体，则二面角的余弦值为 　　 ． 84．（2024春•天津期末）如图，在四棱锥中，△为等边三角形，平面平面，，，，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 考点15 空间几何体的截面问题 85．（2025春•河西区期末）在各棱长均为1的正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 86．（2024春•河东区期末）如图，正方体中，点、、、分别为棱，，，的中点，点为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（　　） ①与异面； ②平面； ③平面截正方体所得的截面图形始终是四边形； ④平面平面． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 87．（2023春•河西区期末）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面为（　　） A．三角形 B．五边形 C．平行四边形 D．等腰梯形 考点16 空间几何体的动点问题 88．（2023春•河西区期末）如图，在正方体中，点，分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线（　　） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有无数条 D．不存在 89．（2022春•南开区校级期末）正方体中，为正方体的中心，为正方体表面上的一个动点，若直线与平面、平面所成的角都是，则这样的点的个数为　　 A．4 B．6 C．8 D．无数个 90．（2021春•河东区期末）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，现有下列结论： ①； ②平面与平面的交线平行于直线； ③异面直线，所成的角为定值； ④三棱锥的体积为定值． 其中错误结论的是 　　 ． 91．（2024春•河西区期末）如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面中恒成立的为　　 A．①③ B．③④ C．①② D．②③④ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $