专题01 平面向量及其应用13大考点（期末真题汇编，天津专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 平面向量专题期末试题汇编，覆盖13个高频考点，精选2020-2025年天津各区期末真题，注重基础与能力梯度，适配高中数学期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|81题|涵盖向量概念（四边形形状判断）、线性运算、数量积（结合正方形/矩形）、四心问题（外心/重心）等13个考点|基础题（概念辨析）、能力题（基底表示向量）、创新题（数量积最值）梯度分布，真题来源贴合天津本地教学，突出几何直观与逻辑推理|

专题01 平面向量及其应用 高频考点概览 考点 01 平面向量的概念 考点 02 平面向量的线性运算 考点 03 平面向量共线定理及其应用 考点 04 用基底表示向量 考点 05 平面向量基本定理求参 考点 06 平面向量的坐标表示 考点 07 平面向量的数量积 考点 08 求向量的模 考点 09 求向量的夹角 考点 10 向量垂直问题 考点 11 求投影向量 考点 12 数量积的最值问题 考点 13 平面向量的四心问题 考点01 平面向量的概念 1．（2024春•南开区期末）已知平面四边形满足，则四边形是（　　） A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 2．（2022春•西青区期末）在四边形中，若，则（　　） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形 3．（2025春•西青区期末）如图，在平行四边形中，（　　） 考点02 平面向量的线性运算 A． B． C． D． 4．（2025春•天津期末）化简的结果等于（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•红桥区期末）化简　　． 6．（2020春•滨海新区校级期末）设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（　　） A．与的方向相同 B．与的方向相反 C． D． 7．（2024春•红桥区期末）已知点是内一点，满足，，则实数为 　　． 考点03 平面向量共线定理及其应用 8．（2022春•河北区校级期末）已知，，，则（　　） A．，，三点共线 B．，， 三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 9．（2024春•滨海新区校级期末）已知向量，，．若，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 10．（2021春•天津期末）已知向量，是两个不共线的向量，且与共线，则实数的值为 　　． 11．（2020春•东丽区校级期末）若向量不共线，且与共线，则实数的值为（　　） A． B．3 C． D． 12．（2020春•天津期末）已知，是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，则实数的值为　　． 13．（2024春•天津期末）已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为 　　 ． 14．（2023秋•红桥区期末）已知，，，，若存在非零实数，使得，则的最小值为 　　． 考点04 用基底表示向量 15．（2024春•东丽区校级期末）在△中，为边上的中线，，则（　　） A． B． C． D． 16．（2025春•天津期末）在平行四边形中，，分别在边，上，，与相交于点，记，则（　　） A． B． C． D． 17．（2021春•宝坻区校级期末）已知在平行四边形中，点、分别是、的中点，如果，，那么向量（　　） A． B． C． D． 18．（2024春•河北区期末）如图，已知，则　　 A． B． C． D． 19．（2023春•天津期末）在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连接并延长交于点，则（　　） A． B． C． D． 20．（2025春•和平区期末）在△中，点在边上，．记，，则（　　） A． B． C． D． 考点05 平面向量基本定理求参 21．（2025春•天津校级期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，记，则 　　 ． 22．（2024秋•和平区期末）在平行四边形中，，，与交于点．设，，请用、表示 　　；若，则 　　． 23．（2023秋•和平区期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，记，，用，表示　　；设，，若，，则的最小值为 　　． 24．（2023春•和平区校级期末）在△中，角，，的对边分别为，，．已知，点是△的外心，若，则（　　） A． B． C． D． 25．（2023春•天津期末）如图，在中，点，分别在边，上，且均为靠近的四等分点，与交于点，若，则　　． 26．（2020春•天津期末）已知中，为边上的点，且，若，则　　． 27．（2022秋•津南区校级期末）已知中，，，点，分别在边，上，且，，若，则　　；　　． 考点06 平面向量的坐标表示 28．（2025春•天津期末）已知，，记的相反向量为，则（　　） A． B． C． D． 29．（2022春•和平区期末）若向量，则与平行的单位向量是 　　． 30．（2021春•南开区期末）设点，，，且，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 31．（2021春•天津期末）已知平行四边形，，，，则点的坐标为 　　． 考点07 平面向量的数量积 32．（2024春•河北区期末）在边长为2的正方形中，为的中点，则（　　） A．1 B．3 C．4 D．6 33．（2023春•南开区期末）在矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则　　 ． 34．（2024春•天津期末）已知向量，满足，． （Ⅰ）求向量，的数量积； （Ⅱ）求向量，夹角的余弦值； （Ⅲ）求的值． 35．（2024秋•河北区期末）如图，在平行四边形中，为对角线与的交点，为直线与的交点，为直线与的交点，若，，，且，，，则 　　， 　　． 36．（2025秋•和平区期末）已知是△内的一点，且，，，，三点共线，则 ，若，且向量在向量上的投影向量为，则　　 ． 37．（2025秋•南开区期末）如图，在等腰梯形中，，是的中点，连接，相交于点，连接，若，则 ；　　 ． 38．（2023春•和平区期末）如图，在中，是线段上的点，且，是线段的中点，延长交于点，设，则　　；若为边长等于2的正三角形，则　　． 39．（2025春•天津期末）如图，在△中，点，在边上，且，点，分别在线段，上，且，直线交于点，且，则 　　 ．若直线交于点且△是边长为2的等边三角形，则 　　 ． 考点08 求向量的模 40．（2023春•和平区期末）已知平面向量，且与的夹角为，则（　　） A．12 B．16 C． D． 41．（2025秋•西青区期末）如图，在△中，，，为上一点，且满足，则实数的值为 ；若，则的最小值为 　　 ． 42．（2025春•天津期末）已知为一个单位向量，与的夹角为，若在上的投影向量为，则 　　 ． 43．（2024秋•天津期末）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则 　　 ，的最小值为 　　 ． 44．（2024秋•河东区期末）在等腰梯形中，，，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 　　 ． 45．（2025春•滨海新区校级期末）已知向量，，若，则（　　） A． B． C． D． 考点09 求向量的夹角 46．（2025秋•南开区期末）已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 47．（2025春•滨海新区校级期末）已知非零向量，满足，向量在方向上的投影向量为，则，（　　） A． B． C． D． 48．（2024春•和平区校级期末）若，，，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 49．（2024春•天津期末）在四边形中，，，且，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 50．（2024春•南开区期末）已知为单位向量，向量，且，则，（　　） A． B． C． D． 51．（2024春•和平区校级期末）已知单位向量满足，则　　． 52．（2024春•西青区校级期末）设，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是　　． 考点10 向量垂直问题 53．（2025春•河北区期末）已知向量，，，若，则（　　） A． B．1 C． D．4 54．（2024春•天津期末）已知向量，，且，则（　　） A．2 B． C． D． 55．（2023春•天津期末）已知向量，，若与垂直，则实数（　　） A．1 B． C． D． 56．（2023春•南开区期末）已知为的一个内角，向量，．若，则角等于　　． A． B． C． D． 57．（2021春•河北区校级期末）已知向量与的夹角为，，，若，则实数的值为（　　） A． B． C．1 D． 考点11 求投影向量 58．（2023春•天津期末）已知向量，，则在上的投影向量为（　　） A． B． C．， D． 59．（2025春•天津期末）已知向量，，则在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 60．（2024春•西青区期末）已知向量，，设与的夹角为，则在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 61．（2024春•东丽区校级期末）向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 62．（2024春•和平区期末）已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在上的投影向量为，则实数　　． 63．（2024春•南开区校级期末）已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为 　　． 64．（2023春•天津期末）向量在向量方向上的投影向量是 　　． 65．（2023春•和平区期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 　　． 66．（2022春•南开区校级期末）已知向量，，且，，，则向量在上的投影向量是（　　） A． B． C． D． 67．（2023春•天津期末）已知△的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 68．（2023春•南开区期末）已知向量，，则在方向上的投影向量为 　　． 69．（2021秋•和平区期末）已知向量，向量，则向量在方向上的投影向量为 　　． 考点12 数量积的最值问题 70．（2025秋•红桥区期末）在△中，是边的中点，是线段的中点，设，试用，表示为 ；的面积为，则的最小值为　　 ． 71．（2025春•滨海新区校级期末）已知非零向量与满足，且，点是△的边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 72．（2025春•天津期末）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例，根据记载西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过这一问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，△满足“勾3股4弦5”，且，为线段上一点，．若，则的值为 　　 ；若是线段上一动点，求的最小值为 　　 ． 73．（2025春•河北区期末）已知是边长为1的正三角形的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 74．（2025春•天津期末）已知平行四边形的两条对角线相交于点，，其中点在线段上且满足，则 　　 ，若点是线段上的动点，则的最大值为 　　 ． 75．（2023春•和平区校级期末）如图，在平行四边形中，，点，，分别在边，，上，且，若点为的中点，且满足，则　　 ；当点在线段上运动时，的取值范围为 　　 ． 76．（2025春•天津期末）在△中，，则 　　 ；若，点在线段上，则的最大值为 　　 ． 77．（2025春•南开区期末）如图，在中，已知，，为线段上一动点，则的最小值为 　　． 78．（2022秋•河西区校级期末）在四边形中，，，，，为的中点，，则　　；设点为线段上的动点，则最小值为 　　． 考点13 平面向量的四心问题 79．（2023春•天津期末）三个不共线的向量，，满足，则点是△的（　　） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 80．（2021春•和平区期末）若点是的重心，点、分别在、上，且满足，其中．若，则与的面积之比为 　　． 81．（2025春•天津期末）在△中，角，，的对边分别为，，．已知，，，点是△的外心，若，则（　　） A． B． C． D． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量及其应用 高频考点概览 考点 01 平面向量的概念 考点 02 平面向量的线性运算 考点 03 平面向量共线定理及其应用 考点 04 用基底表示向量 考点 05 平面向量基本定理求参 考点 06 平面向量的坐标表示 考点 07 平面向量的数量积 考点 08 求向量的模 考点 09 求向量的夹角 考点 10 向量垂直问题 考点 11 求投影向量 考点 12 数量积的最值问题 考点 13 平面向量的四心问题 ( 考点01 平面向量的概念 ) 1．（2024春•南开区期末）已知平面四边形满足，则四边形是（　　） A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 【解答】解：在平面四边形中，由， 知，，故四边形为平行四边形． 故选：． 2．（2022春•西青区期末）在四边形中，若，则（　　） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形 【解答】解：在四边形中，，， ，，，，四点不共线， 四边形是平行四边形． 故选：． ( 考点02 平面向量的线性运算 ) 3．（2025春•西青区期末）如图，在平行四边形中，（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得，． 故选：． 4．（2025春•天津期末）化简的结果等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：． 故选：． 5．（2024春•红桥区期末）化简　　． 【解答】解： ， 故答案为． 6．（2020春•滨海新区校级期末）设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（　　） A．与的方向相同 B．与的方向相反 C． D． 【解答】解：因为，所以与的方向相同，故选项正确； 当时，与的方向相同，故选项错误； 当时，，故选项错误 ；当时，，故选项错误． 故选：． 7．（2024春•红桥区期末）已知点是内一点，满足，，则实数为 　　． 【解答】解：根据题意，因为已知点是内一点，满足， 可令， 则，，三点共线， 又与共线反向， 即有， 所以， 解得． 故答案为：． ( 考点0 3 平面向量共线定理及其应用 ) 8．（2022春•河北区校级期末）已知，，，则（　　） A．，，三点共线 B．，， 三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【解答】解：，，， 所以， 因为， 、、三点共线． 故选：． 9．（2024春•滨海新区校级期末）已知向量，，．若，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【解答】解：向量，，． ，，，， ， ，解得． 故选：． 10．（2021春•天津期末）已知向量，是两个不共线的向量，且与共线，则实数的值为 　　． 【解答】解：向量，是两个不共线的向量，且与共线， 存在使得， ，解得或． 故答案为：或2． 11．（2020春•东丽区校级期末）若向量不共线，且与共线，则实数的值为（　　） A． B．3 C． D． 【解答】解：不共线， ，且与共线， 存在实数，使， ，解得． 故选：． 12．（2020春•天津期末）已知，是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，则实数的值为　　． 【解答】解：根据题意，若与是共线向量，设， 即， ，是两个不共线的向量， 则有， 解可得：； 故答案为：． 13．（2024春•天津期末）已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为 　　 ． 【解答】解：向量与共线， 则存在实数，使得， ，是两个不共线的向量， 则，解得． 故答案为：． 14．（2023秋•红桥区期末）已知，，，，若存在非零实数，使得，则的最小值为 　　． 【解答】解：要使，而，， 所以，即， 因为，，则， 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值为9． 故答案为：9． ( 考点0 4 用基底表示向量 ) 15．（2024春•东丽区校级期末）在△中，为边上的中线，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， 由已知可得，， ， ． 故选：． 16．（2025春•天津期末）在平行四边形中，，分别在边，上，，与相交于点，记，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点作，交于点， ，，可得， ，可得， ，即． 故选：． 17．（2021春•宝坻区校级期末）已知在平行四边形中，点、分别是、的中点，如果，，那么向量（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图， ，，且、分别是、的中点， ． 故选：． 18．（2024春•河北区期末）如图，已知，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：由图可得， 又因为，所以， 则， 故选：． 19．（2023春•天津期末）在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连接并延长交于点，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：四边形为平行四边形，点为对角线上靠近点的三等分点， △△， ， ，， ． 故选：． 20．（2025春•和平区期末）在△中，点在边上，．记，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，在△中，， 故， 又在△中，， 故选：． ( 考点0 5 平面向量基本定理求参 ) 21．（2025春•天津校级期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，记，则 　　 ． 【解答】解：由题意得，， 因为、、三点共线，所以存在实数使得， 又因为，，三点共线，所以存在实数使得， 所以且，解得，可得， 所以，可得，，． 故答案为：1． 22．（2024秋•和平区期末）在平行四边形中，，，与交于点．设，，请用、表示 　　；若，则 　　． 【解答】解：因为，所以； 因为，，， 所以， 因为，，三点共线，所以． 连接，则，， 因为，，三点共线，所以， 所以，即， 联立，解得， 所以． 故答案为：；． 23．（2023秋•和平区期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，记，，用，表示　　；设，，若，，则的最小值为 　　． 【解答】解：由题知，，即， 由，，，所以， 因为、、三点共线，所以， 所以； 当且仅当，即时等号成立． 故答案为：；． 24．（2023春•和平区校级期末）在△中，角，，的对边分别为，，．已知，点是△的外心，若，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 所以， 整理得， 所以， 因为为△的外心，， 所以，， 所以，， 所以． 故选：． 25．（2023春•天津期末）如图，在中，点，分别在边，上，且均为靠近的四等分点，与交于点，若，则　　． 【解答】解：因为在中，点，分别在边，上，且均为靠近的四等分点， 若， 因为，，三点共线， 所以①， 又， 则②， ①②联立得， 则． 故答案为：． 26．（2020春•天津期末）已知中，为边上的点，且，若，则　　． 【解答】解：， ， ． ，． ． 故答案为：． 27．（2022秋•津南区校级期末）已知中，，，点，分别在边，上，且，，若，则　　；　　． 【解答】解：如图因为，， 所以， 所以． 又， 所以． 又因为与不共线， 所以， 所以， 所以． 故答案为：，． ( 考点0 6 平面向量的坐标表示 ) 28．（2025春•天津期末）已知，，记的相反向量为，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知，， 所以． 故选：． 29．（2022春•和平区期末）若向量，则与平行的单位向量是 　　． 【解答】解：向量，则与平行的单位向量是，， 即，或，， 故答案为：，或，． 30．（2021春•南开区期末）设点，，，且，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，，，，，， 则点的坐标为． 故选：． 31．（2021春•天津期末）已知平行四边形，，，，则点的坐标为 　　． 【解答】解：平行四边形中，，，， 设点的坐标为，，， 由，得，解得，所以． 故答案为：． ( 考点0 7 平面向量的数量积 ) 32．（2024春•河北区期末）在边长为2的正方形中，为的中点，则（　　） A．1 B．3 C．4 D．6 【解答】解：因为四边形是边长为2的正方形， 所以，， 由为的中点，可得， 所以 ． 故选：． 33．（2023春•南开区期末）在矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则　　 ． 【解答】解：以为基底向量， 则， ， 因为，，且， 则， 所以． 故答案为：． 34．（2024春•天津期末）已知向量，满足，． （Ⅰ）求向量，的数量积； （Ⅱ）求向量，夹角的余弦值； （Ⅲ）求的值． 【解答】解：（Ⅰ），， ； （Ⅱ），， ，， ； （Ⅲ）， ． 35．（2024秋•河北区期末）如图，在平行四边形中，为对角线与的交点，为直线与的交点，为直线与的交点，若，，，且，，，则 　　， 　　． 【解答】解：在中，由，可得， 由，可得，即， 则，即，， 故； 由，分别为，的中点， 得为△的重心， 则， 而， 所以 ． 故答案为：；． 36．（2025秋•和平区期末）已知是△内的一点，且，，，，三点共线，则 ，若，且向量在向量上的投影向量为，则　　 ． 【解答】解：因为，且，， 所以， 展开并整理得：，即， 因为，所以，所以， 因为，，三点共线，所以，解得； 因为向量在上的投影向量为，所以， 所以，代入，得， 因为，且， 所以 ． 故答案为：；3． 37．（2025秋•南开区期末）如图，在等腰梯形中，，是的中点，连接，相交于点，连接，若，则 ；　　 ． 【解答】解：因为是的中点，所以 ， 因为，所以； 因为，，三点共线，设， 因为，所以存在唯一实数，使得， 所以十， 因为，不共线，所以，所以， 所以， 因为等腰梯形中，，所以，，， 所以 ． 故答案为：． 38．（2023春•和平区期末）如图，在中，是线段上的点，且，是线段的中点，延长交于点，设，则　　；若为边长等于2的正三角形，则　　． 【解答】解：在中，是线段上的点，且，是线段的中点，延长交于点，设， 由于， 则， 则， 又是线段的中点， 故 ， 则， 故； 设， 而，是线段的中点， 故 ， 又，，三点共线， 故， 则， 故， 则． 故答案为：；． 39．（2025春•天津期末）如图，在△中，点，在边上，且，点，分别在线段，上，且，直线交于点，且，则 　　 ．若直线交于点且△是边长为2的等边三角形，则 　　 ． 【解答】解：由，得为的中点，， ，，且， ，即， 又，，三点共线，，解得，即， 设，点为的中点，， ，即， ，，三点共线，，解得， 即，点为的中点，， 设， 由， 得，即， 又，，三点共线，，解得， 即，， 又由， 又△是边长为2的等边三角形， ． 故答案为：；． ( 考点0 8 求向量的模 ) 40．（2023春•和平区期末）已知平面向量，且与的夹角为，则（　　） A．12 B．16 C． D． 【解答】解：根据题意，可得， 所以，可得． 故选：． 41．（2025秋•西青区期末）如图，在△中，，，为上一点，且满足，则实数的值为 ；若，则的最小值为 　　 ． 【解答】解：设，可得 结合，可得，解得； 根据， 解得， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立． 所以时，取得最小值为2． 故答案为：；2． 42．（2025春•天津期末）已知为一个单位向量，与的夹角为，若在上的投影向量为，则 　　 ． 【解答】解：由为单位向量，与的夹角为， 可得， 又在上的投影向量为， 则有， 所以，即． 故答案为：4． 43．（2024秋•天津期末）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则 　　 ，的最小值为 　　 ． 【解答】解：设，，，结合，可得． 所以， 因为，所以，解得． 根据，解得，所以． 由，可得， 因为， 所以，当且仅当时，取等号． 因此，当时，有最小值，可得的最小值为． 故答案为：；． 44．（2024秋•河东区期末）在等腰梯形中，，，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 　　 ． 【解答】解：过点作于点， 因为等腰梯形中，，，， 所以，， 以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建系如图： 则，， 所以， 设，，设， 则， 可得， 所以， 所以 ， 所以 ， 所以当时，取得最小值为． 故答案为：，． 45．（2025春•滨海新区校级期末）已知向量，，若，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，向量，， 若，则，解可得， 故． 故选：． ( 考点0 9 求向量的夹角 ) 46．（2025秋•南开区期末）已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：向量，， 与夹角为锐角，等价于，解得且， 集合是集合的真子集， “”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件． 故选：． 47．（2025春•滨海新区校级期末）已知非零向量，满足，向量在方向上的投影向量为，则，（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，在方向上的投影向量为：， ， ， ． 故选：． 48．（2024春•和平区校级期末）若，，，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，，， 所以，，解得， 所以， 设与的夹角为，则， 因为，，所以，即与的夹角为． 故选：． 49．（2024春•天津期末）在四边形中，，，且，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，所以且，所以四边形为平行四边形， 又，两边平方得：， 所以，即，所以平行四边形为矩形， 为与的夹角，所以与的夹角为， 又，所以在△中，， 所以，所以与的夹角为． 故选：． 50．（2024春•南开区期末）已知为单位向量，向量，且，则，（　　） A． B． C． D． 【解答】解：为单位向量，向量，，又， ， ，， ，，又，，， ，． 故选：． 51．（2024春•和平区校级期末）已知单位向量满足，则　　． 【解答】解：因为，且， 所以， 所以， 即． 又， 所以． 故答案为：． 52．（2024春•西青区校级期末）设，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是　　． 【解答】解：的夹角为钝角， ，且不平行， ， 解得，且， 的取值范围是． 故答案为：． ( 考点 10 向量垂直问题 ) 53．（2025春•河北区期末）已知向量，，，若，则（　　） A． B．1 C． D．4 【解答】解：向量，，，， 则，解得． 故选：． 54．（2024春•天津期末）已知向量，，且，则（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：，，且， 则，解得． 故选：． 55．（2023春•天津期末）已知向量，，若与垂直，则实数（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：向量，， ，， 与垂直， ， 解得实数． 故选：． 56．（2023春•南开区期末）已知为的一个内角，向量，．若，则角等于　　． A． B． C． D． 【解答】解：，，， 则，即，解得或（舍去）， ， ． 故选：． 57．（2021春•河北区校级期末）已知向量与的夹角为，，，若，则实数的值为（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：向量与的夹角为，，， ， 由，得， 即，得． 故选：． ( 考点 11 求投影向量 ) 58．（2023春•天津期末）已知向量，，则在上的投影向量为（　　） A． B． C．， D． 【解答】解：由题意，在上的投影向量为，． 故选：． 59．（2025春•天津期末）已知向量，，则在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：向量，， 则，， 故在上的投影向量为． 故选：． 60．（2024春•西青区期末）已知向量，，设与的夹角为，则在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由已知条件得：． 故选：． 61．（2024春•东丽区校级期末）向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，且， 则，即， ， 故向量在向量上的投影向量为：． 故选：． 62．（2024春•和平区期末）已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在上的投影向量为，则实数　　． 【解答】解：，是夹角为的两个单位向量， 则， 向量在上的投影向量为， 则，即，解得． 故答案为：． 63．（2024春•南开区校级期末）已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为 　　． 【解答】解：根据题意，向量，，则， 则有，， 则向量在方向上的投影向量为，，． 故答案为：，． 64．（2023春•天津期末）向量在向量方向上的投影向量是 　　． 【解答】解：，， 向量在向量方向上的投影向量是： ． 故答案为：． 65．（2023春•和平区期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 　　． 【解答】解：因为向量， 所以， 所以向量在方向上的投影向量为． 故答案为：． 66．（2022春•南开区校级期末）已知向量，，且，，，则向量在上的投影向量是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：向量在上的投影向量是， 故选：． 67．（2023春•天津期末）已知△的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：△的外接圆圆心为，且， ， 为的中点，即为外接圆的直径， ， 又， △为等边三角形， ，， 向量与向量的夹角为， ， 向量在向量上的投影向量为． 故选：． 68．（2023春•南开区期末）已知向量，，则在方向上的投影向量为 　　． 【解答】解：由题意可得：， 所以在方向上的投影向量为． 故答案为：． 69．（2021秋•和平区期末）已知向量，向量，则向量在方向上的投影向量为 　　． 【解答】解：向量，向量， ，， 设与的夹角为， 则夹角的余弦值为，方向上的单位向量，， 所以：在方向上的投影向量为，， 故答案为：，． ( 考点 12 数量积的最值问题 ) 70．（2025秋•红桥区期末）在△中，是边的中点，是线段的中点，设，试用，表示为 ；的面积为，则的最小值为　　 ． 【解答】解：因为是边的中点，是线段的中点， 所以，所以，所以， 所以， 因为是边的中点，所以， 因为的面积为， 所以，即，所以， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：；． 71．（2025春•滨海新区校级期末）已知非零向量与满足，且，点是△的边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：已知非零向量与满足，且，点是△的边上的动点， 分别表示与方向相同的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 故所在直线为的角平分线所在直线， ，的平分线与垂直，故； 取的中点，连接，则， 根据平面向量的减法法则和中线向量可得， ， 建立如图平面直角坐标系， 则，故， 因为点是△的边上的动点， 所以设，则，， ，， 根据平面向量数量积的坐标公式可得， 利用二次函数的性质可知当时，有最小值，最小值为． 故选：． 72．（2025春•天津期末）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例，根据记载西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过这一问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，△满足“勾3股4弦5”，且，为线段上一点，．若，则的值为 　　 ；若是线段上一动点，求的最小值为 　　 ． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意知，，，，则，，，设， 则，，，， 又，所以，即，解得； 又，则，，，解得，， 所以； 设，即 所以， ， 所以， 当时，． 故答案为：；． 73．（2025春•河北区期末）已知是边长为1的正三角形的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：取的中点，连接， 以为原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设，，则，， 所以， 又， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的取值范围是． 故选：． 74．（2025春•天津期末）已知平行四边形的两条对角线相交于点，，其中点在线段上且满足，则 　　 ，若点是线段上的动点，则的最大值为 　　 ． 【解答】解：在中，由，，， 得， 设， 则， ， 则， 整理得，而，解得， 又，则， 所以； 设，则， ， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为． 故答案为：；． 75．（2023春•和平区校级期末）如图，在平行四边形中，，点，，分别在边，，上，且，若点为的中点，且满足，则　　 ；当点在线段上运动时，的取值范围为 　　 ． 【解答】解：， ，， 设， 则， ， ， ， ， ， 的取值范围为，． 76．（2025春•天津期末）在△中，，则 　　 ；若，点在线段上，则的最大值为 　　 ． 【解答】解：如图所示，， 则，解得． 设，，则，， 所以 ， 因为，， 所以， 又因为，所以时，为最大值． 故答案为：4；． 77．（2025春•南开区期末）如图，在中，已知，，为线段上一动点，则的最小值为 　　． 【解答】解：因为为线段上一动点， 所以设，则， 所以， 所以， 则， 所以当时，取得最小值． 故答案为：． 78．（2022秋•河西区校级期末）在四边形中，，，，，为的中点，，则　　；设点为线段上的动点，则最小值为 　　． 【解答】解：如图， ，，，，为的中点，， ， ， ； 设，，则： ， 时，取得最小值． 故答案为：． ( 考点 13 平面向量的四心问题 ) 79．（2023春•天津期末）三个不共线的向量，，满足，则点是△的（　　） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【解答】解：在上取点，在延长线上取点，使得，， 则，以，为邻边作平行四边形，则， ，平行四边形是菱形，， 过作的平行线交于点， ，即，， 在直线上， ，， 由菱形的性质可知，， 为的角平分线，故在的角平分线上， 同理可得：在的平分线上，在的角平分线上， 是△的内心． 故选：． 80．（2021春•和平区期末）若点是的重心，点、分别在、上，且满足，其中．若，则与的面积之比为 　　． 【解答】解：设的中点为，则， 又，即， ， ，又，， ，即， ． 故答案为：． 81．（2025春•天津期末）在△中，角，，的对边分别为，，．已知，，，点是△的外心，若，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：△中，， 由余弦定理得，， 整理得，，解得， 由得，， ， 即，，解得，， 所以． 故选：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $