精品解析：天津市四校2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题

天津市四校2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分.） 1. 是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数运算法则求结论即可. 【详解】， 故选：A. 2. 已知向量.若与共线，则实数k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算法则求，结合向量 的坐标表示列方程求. 【详解】因为， 所以，又，与共线， 所以， 所以， 故选：C. 3. 在中，三个内角为.若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，角化边并利用余弦定理求解即得. 【详解】中，由及正弦定理得， 令，则，由余弦定理得. 故选：D 4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理可推断A，利用面面平行的性质定理可推断B，利用空间垂直与平行的关系可推断CD. 详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，则或与是异面直线，故B错误； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则，又因为所以，故D正确， 故选：D. 5. 正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图）.则原图形的周长是（ ） A. 12 B. 24 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法原理做出原图形，求出边长即可得原图形的周长. 【详解】由直观图可得，， 所以原图形为 所以，，，， ， 所以原图形的周长是， 故选：B. 6. 一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个白色球（标号为和），个黑色球（标号为、和），从袋中不放回地依次随机取出个球，每次摸出一个球，设事件，“至少摸到一次白球”，“两次都摸到白球”，“两次都摸到黑球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（ ） A. 与互斥但不对立 B. 与互斥 C. 与对立 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由互斥事件、对立事件的概念依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，“摸到的两球均为白色或均为黑色”，“摸到的两球一个是白球，一个是黑球”， 则，，与为对立事件，A错误； 对于B，与不能同时发生，与互斥，B正确； 对于C，“两次摸到的都是白球或一个是白球，一个是黑球”，则，与对立，C正确； 对于D，“摸到的两球均为白色或均为黑色”，则，D正确. 故选：A. 7. 某校高一数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：37，31，42，32，41，46，45，48，35，53，则下列说法错误的是（ ） A. 该组数据极差为22 B. 如再增加一位41岁的老师，则该组数据的方差变大 C. 该组数据平均数为41 D. 该组数据的第60百分位数为43.5 【答案】B 【解析】 【分析】将给定数据组由小到大排列，求出极差、平均数判断AC；利用方差计算公式说明判断B；求出第60百分位数判断D. 【详解】原数据组由小到大排列为： 31，32，35，37，41，42，45，46，48，53， 对于A，该组数据极差为，A正确； 对于C，年龄平均数为，C正确； 对于B，增加一位41岁的老师，新数据组的平均数不变，由方差计算公式知， 分子不变，而分母增大，因此新数据组的方差变小，B错误； 对于D，由，该组数据的第60百分位数为，D正确. 故选：B 8. 在平行四边形中，分别在边上，，，与相交于点，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，利用平行线分线段成比例可推导得到，结合向量加法和数乘运算可求得结果. 【详解】作，交于点， ，，， ，， . 故选：C. 9. 在中，分别是角的对边，下列四个命题中正确的个数为（ ） ①若，则是等腰三角形； ②若，三角形面积，则三角形外接圆半径为； ③若点为内一点，且，则； ④在中，若有解，则的取值范围是. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对①，利用正弦定理边转角及正弦的和角公式，得，即可求解；对②，利用三角形面积公式及余弦定理求出，再利用正弦定理即可求解；对③，取中点，根据条件，利用向量的中线公式得到三点共线，且，即可求解；对于④，利用正弦定理，即可求解. 【详解】对于①，因为，由正弦定理得， 所以，又，且，则，所以①正确， 对于②，由题知，又，所以，解得， 又，得到， 又由正弦定理知（其中是三角形外接圆半径）， 所以，解得，所以②错误， 对于③，如图，取中点，因为，又， 所以，即，所以三点共线，且， 又共底边，所以，故③正确， 对于④，由正弦定理知，得到， 所以，又因为有解，又，则，得到，故④错误， 故选：B. 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分.） 10. 假设，且A与B相互独立，则______. 【答案】0.6## 【解析】 【分析】根据条件结合独立事件定义求，利用和事件的概率公式即可求出结论. 【详解】因为A与B相互独立，， 所以， 所以， 故答案为：. 11. 已知向量满足，且，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据得，由，两边同时平方得，结合两式计算即可. 【详解】因， 所以， 又因为， 所以， 所以， 解得. 故答案为：. 12. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为______；两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设事件甲第轮答对为，事件乙第轮答对为，，设事件乙在两轮活动中恰好答对个问题为，，则，结合互斥事件的概率加法公式和独立事件定义求，设事件甲在两轮活动中恰好答对一个问题为，，根据概率加法公式和独立事件定义求，再求可得结论. 【详解】设事件甲第轮答对为，事件乙第轮答对为，， 则相互独立，且，， ，， 设事件乙在两轮活动中恰好答对个问题为，， 则，其中事件，互斥， 所以， 所以，故乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为， 设事件甲在两轮活动中恰好答对一个问题为，， 则，其中事件，互斥， 所以， 所以， 则，， 事件两人在两轮活动中共答对3个问题可表示为，其中事件互斥，事件相互独立，事件相互独立， 所以， 所以两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为， 故答案为：；. 13. 已知；是夹角为的两个单位向量，若向量在上的投影向量为，则实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】由投影向量计算公式，结合数量积的运算律计算即得. 【详解】由题意可得向量在上的投影向量： ， ，即，，解得： 故答案为：2 14. 设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用球的截面圆的性质得球心到所在平面的距离，进而得到所在平面的距离的最大值，再根据三棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】设的边长为，由题知，解得， 设外接圆的半径为，由正弦定理， 得到，解得， 设球心到所在平面的距离为，由球的截面圆的性质知， 要使三棱锥体积的最大，则在所在平面的投影为的中心， 且到所在平面距离的最大值为， 所以三棱锥体积的最大值为. 故答案为：. 15. 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点，其中点M在线段OB上且满足，则______，若点是线段AB上的动点，则的最大值为______. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】取定平面向量的一个基底，利用向量数量积的定义及运算律求解即得. 【详解】在中，由，得， 设，则，， ， 整理得，而，解得，又， 则，所以； 设，，， ，当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故答案为：； 三、解答题（本题共5题，共75分.） 16. 已知复数，且，a为实数. （1）求实数a的值； （2）若z为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数b的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数运算化简条件，结合复数模的公式列方程求； （2）由条件，根据纯虚数的定义求，结合共轭复数定义，复数运算法则再求，根据复数的几何意义列不等式求的范围； 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 为纯虚数， ，且 ∴， 又 因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，则， 解得.因此，实数的取值范围是. 17. 如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）求点到面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方体的相关性质，得到各线面之间的关系，最后由线面垂直的性质证明； （2）利用正方体性质，通过线面垂直判定，确定为二面角平面角，根据正方体棱长及中位线、勾股定理，得，的线段长度，用，算出结果 ； （3）利用等体积法求点到面的距离. 【小问1详解】 在正方体中，,,所以. 根据正方形的性质，其对角线互相垂直，所以， 因为正方体中相对面的面对角线平行，所以，故, 又因，, 所以平面； 【小问2详解】 连接，交于点，设与交于点，连接，. 作的中点，连接交于点，， 由（1）得，平面 因为，，，则， 又，所以. 易知平面,则 那么就是二面角的平面角, 由中位线定理得 已知正方体棱长为4，则. 在中，根据勾股定理，得. 根据正弦函数的定义，在中，， 所以，二面角的平面角的正弦值为 . 【小问3详解】 设点到面的距离为，点到面的距离为， 因为 所以， 又的面积， 的面积，， 所以，解得：， 所以点到面的距离为. 18. 2025年秋天将在天津举办上合组织峰会，为了加深师生对上合峰会的了解，天津某校举办了“上合组织峰会”知识竞赛，并将100名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）分成六段后得到如下频率分布直方图.观察图形信息，回答下列问题： （1）求a的值，并估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）估计这组数据的第75百分位数； （3）用分层抽样的方法在分数落在内的师生中随机抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在内的概率. 【答案】（1），71 （2）82分 （3） 【解析】 【分析】（1）利用直方图面积之和为1可计算得出a的值；将每组矩形底边的中点横坐标值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得出本次考试的平均分； （2）先判断第75百分位数的位置，再根据左边的矩形面积之和为0.75，可求得本次考试成绩的第75百分位数； （3）分析可知，分数在的人数为2，分别记为a、b，分数在的人数为4，分别记为A、B、C、D，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知：，即； 估计本次竞赛成绩的平均分为 . 【小问2详解】 由图中前四组面积之和为：， 图中前五组面积之和为：， 故这组数据的第75百分位数在第五组数据中， 设这组数据的第75百分位数为m， 则有， 故，即估计这组数据的第75百分位数为82分； 【小问3详解】 用分层抽样的方法在分数在内的师生中抽取一个容量为6的样本， 其中分数在的人数为2，分别记为a、b，分数在的人数为4，分别记为A，B，C，D 从6人中任取2人，所有的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、bA、bB、bC、bD、AB、AC、AD、BC、BD、CD，共15种， 其中，事件“从6人中任取2人，至多有1人的分数在内”所包含的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、bA、bB、bC、bD，共9种， 故所求概率为. 19. 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，是PD的中点. （1）求证：平面PAB； （2）若， （i）求证：平面平面ABCD； （ii）求直线CE与底面ABCD所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）取PA中点，利用线面平行的判定推理得证. （2）（i）借助余弦定理、勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （ii）作于点，利用几何法求出线面角的余弦. 【小问1详解】 在四棱锥中，取PA中点，连接EF、BF， 由是PD的中点，得，而， 则，四边形EFBC是平行四边形，，平面平面PAB， 所以平面PAB. 【小问2详解】 （i）等腰梯形ABCD中，，过点作交AD于点， 由，得， 在中，由余弦定理得， 则，，又，平面PBD， 因此平面，而平面ABCD， 所以平面平面ABCD. （ii）过点作于点，连接CH，由平面平面ABCD， 平面平面平面PBD，则平面ABCD， 是斜线CE在平面ABCD上的射影，是CE与底面ABCD所成的角， 在Rt中，，得，， 在中，是PD的中点，得，， ，在Rt中，， ，所以即直线AE与底面ABCD成角的余弦值为. 20. 在中，为角对应的边，S为的面积，且满足如下条件：. （1）求角A； （2）若，求面积的最大值； （3）为锐角三角形，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理面积公式，和正弦定理由边化角，及余弦定理解三角形； （2）根据平面向量的加法运算，化简题目条件，再根据正弦定理面积公式和基本不等式，求出面积的最大值； （3）根据正余弦定理解三角形，根据三角函数值，通过换元法，和二次函数单调性，求出值域，得出参数的范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以； 【小问2详解】 由得：， 则， 从而， 由余弦定理可得：， 因为，所以，所以， 当且仅当时等号成立， 从而， 所以面积的最大值为； 【小问3详解】 由及正弦定理可得：， ，， 则 ， 为锐角三角形，，， ，， 令，，二次函数在上单调递减，在上单调递增， ，，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市四校2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分.） 1. 虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量.若与共线，则实数k的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，三个内角为.若，则值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图）.则原图形的周长是（ ） A. 12 B. 24 C. D. 6. 一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个白色球（标号为和），个黑色球（标号为、和），从袋中不放回地依次随机取出个球，每次摸出一个球，设事件，“至少摸到一次白球”，“两次都摸到白球”，“两次都摸到黑球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（ ） A. 与互斥但不对立 B. 与互斥 C. 与对立 D. 7. 某校高一数学备课组老师年龄（单位：岁）分别为：37，31，42，32，41，46，45，48，35，53，则下列说法错误的是（ ） A. 该组数据极差为22 B. 如再增加一位41岁的老师，则该组数据的方差变大 C. 该组数据平均数41 D. 该组数据的第60百分位数为43.5 8. 在平行四边形中，分别在边上，，，与相交于点，记，，则（ ） A. B. C. D. 9. 在中，分别是角的对边，下列四个命题中正确的个数为（ ） ①若，则是等腰三角形； ②若，三角形面积，则三角形外接圆半径为； ③若点为内一点，且，则； ④在中，若有解，则的取值范围是. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分.） 10. 假设，且A与B相互独立，则______. 11. 已知向量满足，且，则___________. 12. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为______；两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为______. 13. 已知；是夹角为的两个单位向量，若向量在上的投影向量为，则实数______. 14. 设是同一个半径为球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为______. 15. 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点，其中点M在线段OB上且满足，则______，若点是线段AB上的动点，则的最大值为______. 三、解答题（本题共5题，共75分.） 16. 已知复数，且，a为实数. （1）求实数a的值； （2）若z为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数b的取值范围. 17. 如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）求点到面的距离. 18. 2025年秋天将在天津举办上合组织峰会，为了加深师生对上合峰会的了解，天津某校举办了“上合组织峰会”知识竞赛，并将100名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）分成六段后得到如下频率分布直方图.观察图形信息，回答下列问题： （1）求a的值，并估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）估计这组数据的第75百分位数； （3）用分层抽样的方法在分数落在内的师生中随机抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在内的概率. 19. 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，是PD的中点. （1）求证：平面PAB； （2）若， （i）求证：平面平面ABCD； （ii）求直线CE与底面ABCD所成角的余弦值. 20. 在中，为角对应的边，S为的面积，且满足如下条件：. （1）求角A； （2）若，求面积的最大值； （3）为锐角三角形，且，若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $