专题01 实数（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材沪科版

专题01 实数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 算术平方根的概念与计算 题型02 平方根的概念与计算 题型03 立方根的概念与计算 题型04 平方根、算术平方根、立方根辨析判断 题型05 无理数的识别与实数的分类 题型06 实数的相反数、绝对值、倒数 题型07 实数与数轴 题型08 利用数轴化简绝对值与根式 题型09 实数的大小比较 题型10 无理数的估算与整数或小数部分求解 题型11 非负数的性质及求值应用 题型12 实数的混合运算 题型13 利用平方根、立方根解方程 题型14 程序设计中的实数运算 题型15 新定义下的实数运算 题型16 实数运算在实际问题中的应用 题型17 立方根中的规律问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 算术平方根  能准确表述算术平方根定义；掌握双重非负性；能判断式子有意义的条件以及熟练进行算术平方根的化简与简单运算。 以选择、填空为主，偶尔简单解答，极可能出现1-2题，属于必考基础点。 平方根 能区分平方根与算术平方根，会用符号正确表示；熟练求非负数的平方根，理解“互为相反数”的特征；会用平方运算检验平方根，解决简单平方的方程问题。 常以选择、填空、简单解答形式出现，每卷2题左右，属于核心必考内容。 立方根 掌握立方根定义与符号表示，区分平方根与立方根的差异；熟练求任意实数的立方根，会化简负立方根；能解决简单立方方程（如=8）. 以选择、填空为主，常与平方根对比考查。几乎每卷1题形式呈现，也属于高频基础题。 识别无理数 准确理解无理数定义，能区分有理数与无理数；熟记无理数三类形式，快速识别给定数是否为无理数；掌握“带根号数”的判断方法（化简后再定）。 选择题必考类型，偶尔出现在填空，属于高频易错题。 实数的分类 掌握实数定义，构建“有理数→实数”的数系扩展认知； 能按定义或正负对实数分类，明确各类数的从属关系。 经常出现在选择、填空中，常结合无理数识别进行考查，属于基础送分题。 实数与数轴 理解实数与数轴的一一对应关系，建立数形结合思想； 能在数轴上表示简单无理数（如），比较实数大小；会利用数轴解决绝对值、相反数相关问题。 选择、填空、解答均有可能出现，常考实数大小比较与数形结合，属于整个单元的思想考点。 实数的性质 能类比有理数性质，掌握实数的相反数、绝对值、倒数求法； 熟练化简实数绝对值，利用非负性解题（如+|b|=0则a=b=0）。 以选择、填空为主，常与非负性结合考查，属于基础高频送分题。 实数的运算 掌握实数运算顺序与法则，熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方混合运算；会用运算律简化运算，能解决简单实数应用题；能用计算器求平方根、立方根及实数近似值。 必考解答题，选择填空也有，分值占比高，属于核心重点考查内容。 实数大小比较  掌握实数大小比较的几种基本方法，能灵活选择方法解题；熟练估算无理数的整数范围，培养数感。 以选择、填空为主，常考无理数与有理数比较，属于高频送分题。 知识点01 算术平方根 若正数x的平方等于a，即，则x叫a的算术平方根；0的算术平方根是0。a(a≥0)的算术平方根记为，a叫被开方数。 ·示例：，。 ·易错点：混淆算术平方根与平方根，误写；忽略被开方数非负，错误计算（无意义）。 知识点02 平方根 若，则x叫a的平方根（二次方根）；求平方根的运算叫开平方，与平方互为逆运算；a(a≥0)的平方根记为；正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0；负数无平方根。 ·示例：9的平方根：；0的平方根是0。 ·易错点：漏写正数的负平方根，如9的平方根只写3； 认为负数有平方根；混淆“平方根等于本身”（仅0）与“算术平方根等于本身”（0和1）。 知识点03 立方根 若，则x叫a的立方根（三次方根）；求立方根的运算叫开立方；a的立方根记为，根指数3不可省略；任意实数都有唯一立方根，符号与原数一致；。 ·示例：，，。 ·易错点：省略立方根根指数3，将误写；认为正数有两个立方根。 知识点04 无理数 无限不循环小数叫无理数，不能写成分数形式。 常见类型：1. 开方开不尽的数； 含的数； 特定结构无限不循环小数。 ·示例：，-1,0.1212212221...... ·易错点：认为“带根号的数都是无理数”，如是有理数；误将无限循环小数，如判为无理数；认为分数是无理数（分数均为有理数）。 知识点05 实数的概念与分类 有理数和无理数统称实数。分类：1. 按定义：实数； 2. 按正负：实数 ·示例：有理数：0，-2，,0.25；无理数：，，0.20200200020000...... ·易错点：遗漏0的分类归属；混淆实数与有理数范围（实数包含无理数） 知识点06 实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应，每个实数对应数轴上一点，数轴上每点对应一个实数；数轴上右边的数总比左边的数大。 ·示例：对应1与2之间的点，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点A在点B的右侧，故>1。 ·易错点：认为“数轴上的点只表示有理数”；估算无理数位置错误，如误判在3与4之间。 知识点07 实数的性质 实数a的相反数是-a，a+(-a)=0；0的相反数是0；绝对值：|a|=,绝对值具有非负性；倒数：非零实数a的倒数是，；0没有倒数。 ·示例：的相反数为，|-|=，的倒数为。 ·易错点： 计算负数无理数绝对值时漏变号，如|-|=， 认为0有倒数。 知识点08 实数的运算 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；运算律：有理数运算律（交换律、结合律、分配律）对实数仍成立。 ·示例：+2x=2+2x3=8，（）（）=2-1=1. ·易错点：无理数加减直接合并，如+=错误； 开方运算错误，如=-3（正确为3）；忽略运算顺序，如2+误算为(2+3). 知识点09 实数的大小比较 数轴法：数轴上的数大小规律，右大左小；平方/立方比较法：a>b>0时，>,>；作差法：a-b>0则a>b。 ·示例：比较与2的大小：=5>,所以>2; 与0，>0 ·易错点：平方比较时忽略负数，如误判->-2（实际-<-2）；估算错误导致大小判断失误 题型一 算术平方根的概念与计算 解｜题｜技｜巧 算术平方根：（），结果唯一且非负，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根；求一个正数的算术平方根，直接找正的平方数；带分数、小数先化分数再计算；有意义，被开方数；牢记公式：。 【典例1】16的算术平方根是（    ） A． B． C．4 D．2 【变式1】计算的结果是（    ） A． B．2 C． D．4 【变式2】5的算术平方根是（　　） A．5 B． C． D． 题型二 平方根的概念与计算 解｜题｜技｜巧 平方根：若，则，正数有两个互为相反数的平方根；题目出现“平方根”“二次方根”，结果必带；0的平方根是0，负数无平方根；4.一个正数两个平方根，互为相反数，和为0。 【典例1】正数的平方根是（    ） A． B． C． D． 【典例2】一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（    ） A．2 B．4 C．7 D．49 【变式1】16的平方根是（    ） A． B．8 C． D．2 【变式2】下列各数没有平方根的是（   ） A．4 B．0 C． D．10 【变式3】一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 题型三 立方根的概念与计算 解｜题｜技｜巧  立方根：若，则则，任意实数都有唯一立方根；正数立方根为正数、负数立方根为负数、0的立方根为0；；，，无被开方数正负限制。 【典例1】下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【典例2】8的立方根是（    ） A． B． C．2 D． 【典例3】的立方根是_______________ 【变式1】下列说法正确的是（    ）．   A．负数没有立方根 B．的立方根可以表示为 C．等于4 D．任何一个正数都有两个立方根 【变式2】要使成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意数 【变式3】的值是（   ） A． B． C． D． 题型四 平方根、算术平方根、立方根辨析判断 解｜题｜技｜巧 可通过列表牢记三者核心区别，逐一比对选项；做题先看正负、再看字眼、最后定结果；抓住特例：0、1、-1快速验证说法对错。 【典例1】下列说法中错误的是（   ） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的立方根为 D．平方根等于本身的数是 【典例2】一个数的立方根等于它本身，且这个数的平方根也等于它本身，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【变式1】下列说法错误的是（   ） A．4是16的算术平方根 B．是的一个平方根 C．的平方根为 D．0的立方根是0 【变式2】下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和 B．平方根是它本身的数是0和1 C．算术平方根是它本身的数是1 D．绝对值是它本身的数是0 题型五 无理数的识别与实数的分类 解｜题｜技｜巧 1. 实数分类：有理数（整数+分数+有限小数+无限循环小数）+无理数（无限不循环小数）；无理数常有3类固定形式：① 开方开不尽的根式，；② 含的数（如，-1）；③ 无限不循环小数,如0.121221222......先化简，再分类，化简后是整数、分数的都属于有理数。 【典例1】在下列选项中，是无理数的是（  ） A． B． C．1 D． 【典例2】在，，，，，，，中，有理数的个数有（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式1】在下列数，，，0， ，中，非负数有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】在实数，，，，1.41414141中，有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】下列各数中：1.2， ， 0， ，1.010010001，，，0.35，，正分数的个数为（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型六 实数的相反数、绝对值、倒数 解｜题｜技｜巧 相反数：只变符号，如的相反数为，的相反数为；绝对值：先判断正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号； 倒数：两数乘积为1，0没有倒数； 有理数性质完全适用于实数 【典例1】是的（      ） A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根 【典例2】实数的绝对值是（   ） A．13 B． C． D． 【典例3】实数的倒数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】的相反数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】实数的绝对值是（） A． B．2025 C． D．±2025 【变式3】实数的倒数的相反数是（ ） A． B． C．2 D． 题型七 实数与数轴 解｜题｜技｜巧 实数与数轴上的点一一对应，每一个实数都能在数轴找到唯一对应点；数轴右边的数永远大于左边的数；无理数可在数轴上通过作图法表示。 【典例1】如图，在数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【典例2】如图，将实数表示在数轴上为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】如图所示，在数轴上，叶片遮挡住的点表示的数的可能是（　　） A． B． C．0 D． 【变式2】如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 题型八 利用数轴化简绝对值与根式 解｜题｜技｜巧 先根据数轴确定每个数、式子的正负性；结合绝对值、性质去符号；最后去括号、合并同类二次根式。 【典例1】已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 【典例2】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，实数，，在数轴上的对应点分别为，，．若，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：_______． 题型九 实数的大小比较 解｜题｜技｜巧 熟练5种实用方法，按需选用：正负区分法：正实数＞0＞负实数； 数轴法：右大左小；平方法：两个正无理数，平方大的数大； 作差法：a-b>0，则 a>b；负数比较：绝对值大的反而小。 【典例1】下列四个实数中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】比较大小：______；______（填“”，“”或“”）． 【变式1】在中，最大与最小实数的和是（    ） A． B． C．0 D．1 【变式2】比较大小：______（填“”或“”或“<”） 题型十 无理数的估算与整数或小数部分求解 解｜题｜技｜巧 找被开方数相邻的两个完全平方数，确定取值范围；整数部分取范围中较小整数；小数部分=原数-整数部分（必须保留根式，不写近似小数）。 【典例1】设的小数部分是，的整数部分是，则（   ） A． B． C．8 D． 【变式1】阅读理解：若，则1为a的整数部分，a减去其整数部分1的差即为它的小数部分．已知的整数部分是x，小数部分是y，则的值为______． 【变式2】对于无理数，因为，所以的整数部分是1，小数部分是．请仿照上面的方法解答下列问题： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 题型十一 非负数的性质及求值应用 解｜题｜技｜巧 熟记三大非负数：，，；非负数和为0，则每一项都等于0，列方程求解字母；先求字母值，再代入计算代数式结果。 【典例1】若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 【典例2】已知，则的值为（） A． B． C． D． 【变式1】已知满足等式，是的小数部分，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【变式2】若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 题型十二 实数的混合运算 解｜题｜技｜巧 严格运算顺序：先开方、乘方→再乘除→最后加减→有括号先算括号内；先化简：去绝对值、开方、合并同类二次根式； 有理数运算律、符号法则全部适用。 【典例1】计算的值是（   ）． A．8 B．10 C．12 D．16 【典例2】计算：_____． 【变式1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】计算：(1) (2) 题型十三 利用平方根、立方根解方程 解｜题｜技｜巧 熟练掌握形如有解，，a<0时无解；形如，，x属于任意实数都有解；解题步骤：移项→系数化为1→开方→求解。 【典例1】解方程：求下列各式中x的值： ①； ②． 【变式1】求下列各式中x的值 ①； ②． 【变式2】求下列各式中的值． ①； ②． 题型十四 程序设计中的实数运算 解｜题｜技｜巧 熟练掌握形如有解，，a<0时无解；形如，，x属于任意实数都有解；解题步骤：移项→系数化为1→开方→求解。 【典例1】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（    ） A． B． C．5 D． 【变式1】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【变式2】按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数为81时，最终输出的数是_______． 题型十五 新定义下的实数运算 解｜题｜技｜巧 熟练掌握形如有解，，a<0时无解；形如，，x属于任意实数都有解；解题步骤：移项→系数化为1→开方→求解。 【典例1】对x，y，定义运算“”如下：，已知2a＝16，则实数a等于（    ） A． B．4 C． D．4或 【变式1】新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【变式2】对于实数规定：用表示不大于的最大整数，例如：，则的值为___________． 题型十六 实数运算在实际问题中的应用 解｜题｜技｜巧 熟练掌握形如有解，，a<0时无解；形如，，x属于任意实数都有解；解题步骤：移项→系数化为1→开方→求解。 【典例1】如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，求正方形面积． 【变式1】如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【变式2】如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 题型十七 立方根中的规律问题 解｜题｜技｜巧 熟练掌握形如有解，，a<0时无解；形如，，x属于任意实数都有解；解题步骤：移项→系数化为1→开方→求解。 【典例1】如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【变式1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试： (1)因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个 位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是 ； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是 ．所以 ． (2)已110592一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.下列四个实数中，是负无理数的是（   ） A． B． C．0 D． 2．下列各数是整数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 4．如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．请估计这个比值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 5．已知实数，满足，那么的值为（    ） A． B．1 C． D．2 6．19的算术平方根是_______． 7．比较大小：2_____（填“”，“”，“”）． 8．我们把直径为1的圆从原点沿数轴向右滚动一周（如图所示），圆上的一点到达，表示的数是_____． 9．计算：． 10．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.若一个正数的两个不相等的平方根分别是和＋，则这个正数是(    ) A．4 B．8 C．16 D．64 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 4．用“”定义新运算，对于任意非负实数，都有，例如，那么（   ） A．27 B．72 C．78 D．84 5．先观察下列三个等式，再回答下列问题：①；②；③，请你根据上面三个等式提供的信息，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2个单位长度的半圆，该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动地滚动，半圆直径的一个端点从原点O到达点（如图），则点对应的数是______．（结果保留） 7．若为正整数，且满足，则数轴上表示的数的点为______．（填字母） 8．对任意两个实数，定义一种运算：，例如：，那么_________． 9．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是_______________． 10．已知实数在数轴上对应的点如图所示，化简______． 11．计算： (1)； (2)． 12．求下列方程中的值． (1)； (2)． 13．若正数的两个平方根是和，的立方根是，是的整数部分． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 14．如图，已知点A，B是数轴上两点，点A与点B之间的距离是2个单位长度，点B在点A的右侧，点B表示的数是，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是_______． (2)求的值． (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的立方根． 15．代入求值 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（25-26七年级下·安徽六安·期末）如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 2．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京海淀·期末）在数学漫步之旅第8集提到了有关有理数与无理数，对于正实数，根据是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数；若为有理数，则；若为无理数，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，依此类推．例如，正实数为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为8；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为3．（  ） （1）对正实数1进行三次变换，得到的数为________． （2）若对正实数进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的的值之和为________． A．、 B．、 C．、 D．、 4．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为________； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为________． 5．（25-26七年级上·山东威海·期末）设三角形的三边分别为，，，则有下列三角形面积公式成立： ①，其中（海伦公式） ②（秦九韶公式）． 已知一个三角形的三边，，分别为，，，选用一个公式求这个三角形的面积． 6．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数（期末复习讲义） 专题01 实数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 算术平方根的概念与计算 题型02 平方根的概念与计算 题型03 立方根的概念与计算 题型04 平方根、算术平方根、立方根辨析判断 题型05 无理数的识别与实数的分类 题型06 实数的相反数、绝对值、倒数 题型07 实数与数轴 题型08 利用数轴化简绝对值与根式 题型09 实数的大小比较 题型10 无理数的估算与整数或小数部分求解 题型11 非负数的性质及求值应用 题型12 实数的混合运算 题型13 利用平方根、立方根解方程 题型14 程序设计中的实数运算 题型15 新定义下的实数运算 题型16 实数运算在实际问题中的应用 题型17 立方根中的规律问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 算术平方根  能准确表述算术平方根定义；掌握双重非负性；能判断式子有意义的条件以及熟练进行算术平方根的化简与简单运算。 以选择、填空为主，偶尔简单解答，极可能出现1-2题，属于必考基础点。 平方根 能区分平方根与算术平方根，会用符号正确表示；熟练求非负数的平方根，理解“互为相反数”的特征；会用平方运算检验平方根，解决简单平方的方程问题。 常以选择、填空、简单解答形式出现，每卷2题左右，属于核心必考内容。 立方根 掌握立方根定义与符号表示，区分平方根与立方根的差异；熟练求任意实数的立方根，会化简负立方根；能解决简单立方方程（如=8）. 以选择、填空为主，常与平方根对比考查。几乎每卷1题形式呈现，也属于高频基础题。 识别无理数 准确理解无理数定义，能区分有理数与无理数；熟记无理数三类形式，快速识别给定数是否为无理数；掌握“带根号数”的判断方法（化简后再定）。 选择题必考类型，偶尔出现在填空，属于高频易错题。 实数的分类 掌握实数定义，构建“有理数→实数”的数系扩展认知； 能按定义或正负对实数分类，明确各类数的从属关系。 经常出现在选择、填空中，常结合无理数识别进行考查，属于基础送分题。 实数与数轴 理解实数与数轴的一一对应关系，建立数形结合思想； 能在数轴上表示简单无理数（如），比较实数大小；会利用数轴解决绝对值、相反数相关问题。 选择、填空、解答均有可能出现，常考实数大小比较与数形结合，属于整个单元的思想考点。 实数的性质 能类比有理数性质，掌握实数的相反数、绝对值、倒数求法； 熟练化简实数绝对值，利用非负性解题（如+|b|=0则a=b=0）。 以选择、填空为主，常与非负性结合考查，属于基础高频送分题。 实数的运算 掌握实数运算顺序与法则，熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方混合运算；会用运算律简化运算，能解决简单实数应用题；能用计算器求平方根、立方根及实数近似值。 必考解答题，选择填空也有，分值占比高，属于核心重点考查内容。 实数大小比较  掌握实数大小比较的几种基本方法，能灵活选择方法解题；熟练估算无理数的整数范围，培养数感。 以选择、填空为主，常考无理数与有理数比较，属于高频送分题。 知识点01 算术平方根 若正数x的平方等于a，即，则x叫a的算术平方根；0的算术平方根是0。a(a≥0)的算术平方根记为，a叫被开方数。 ·示例：，。 ·易错点：混淆算术平方根与平方根，误写；忽略被开方数非负，错误计算（无意义）。 知识点02 平方根 若，则x叫a的平方根（二次方根）；求平方根的运算叫开平方，与平方互为逆运算；a(a≥0)的平方根记为；正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0；负数无平方根。 ·示例：9的平方根：；0的平方根是0。 ·易错点：漏写正数的负平方根，如9的平方根只写3； 认为负数有平方根；混淆“平方根等于本身”（仅0）与“算术平方根等于本身”（0和1）。 知识点03 立方根 若，则x叫a的立方根（三次方根）；求立方根的运算叫开立方；a的立方根记为，根指数3不可省略；任意实数都有唯一立方根，符号与原数一致；。 ·示例：，，。 ·易错点：省略立方根根指数3，将误写；认为正数有两个立方根。 知识点04 无理数 无限不循环小数叫无理数，不能写成分数形式。 常见类型：1. 开方开不尽的数； 含的数； 特定结构无限不循环小数。 ·示例：，-1,0.1212212221...... ·易错点：认为“带根号的数都是无理数”，如是有理数；误将无限循环小数，如判为无理数；认为分数是无理数（分数均为有理数）。 知识点05 实数的概念与分类 有理数和无理数统称实数。分类：1. 按定义：实数； 2. 按正负：实数 ·示例：有理数：0，-2，,0.25；无理数：，，0.20200200020000...... ·易错点：遗漏0的分类归属；混淆实数与有理数范围（实数包含无理数） 知识点06 实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应，每个实数对应数轴上一点，数轴上每点对应一个实数；数轴上右边的数总比左边的数大。 ·示例：对应1与2之间的点，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点A在点B的右侧，故>1。 ·易错点：认为“数轴上的点只表示有理数”；估算无理数位置错误，如误判在3与4之间。 知识点07 实数的性质 实数a的相反数是-a，a+(-a)=0；0的相反数是0；绝对值：|a|=,绝对值具有非负性；倒数：非零实数a的倒数是，；0没有倒数。 ·示例：的相反数为，|-|=，的倒数为。 ·易错点： 计算负数无理数绝对值时漏变号，如|-|=， 认为0有倒数。 知识点08 实数的运算 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；运算律：有理数运算律（交换律、结合律、分配律）对实数仍成立。 ·示例：+2x=2+2x3=8，（）（）=2-1=1. ·易错点：无理数加减直接合并，如+=错误； 开方运算错误，如=-3（正确为3）；忽略运算顺序，如2+误算为(2+3). 知识点09 实数的大小比较 数轴法：数轴上的数大小规律，右大左小；平方/立方比较法：a>b>0时，>,>；作差法：a-b>0则a>b。 ·示例：比较与2的大小：=5>,所以>2; 与0，>0 ·易错点：平方比较时忽略负数，如误判->-2（实际-<-2）；估算错误导致大小判断失误 题型一 算术平方根的概念与计算 解｜题｜技｜巧 算术平方根：（），结果唯一且非负，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根；求一个正数的算术平方根，直接找正的平方数；带分数、小数先化分数再计算；有意义，被开方数；牢记公式：。 【典例1】16的算术平方根是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【详解】解：16的算术平方根是． 【变式1】计算的结果是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】解：由于，则． 【变式2】5的算术平方根是（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是． 题型二 平方根的概念与计算 解｜题｜技｜巧 平方根：若，则，正数有两个互为相反数的平方根；题目出现“平方根”“二次方根”，结果必带；0的平方根是0，负数无平方根；4.一个正数两个平方根，互为相反数，和为0。 【典例1】正数的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根的定义，解题时需要牢记正数有两个平方根的概念． 【详解】根据定义一个正数有两个平方根且互为相反数，记作 ． 【典例2】一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（    ） A．2 B．4 C．7 D．49 【答案】D 【分析】根据平方根的定义求出a的值，即可求出这个正数． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得：， ∴这个正数是． 【变式1】16的平方根是（    ） A． B．8 C． D．2 【答案】A 【详解】解： 的平方根是 【变式2】下列各数没有平方根的是（   ） A．4 B．0 C． D．10 【答案】C 【分析】根据“负数没有平方根”，判断各选项数值的正负性即可求解． 【详解】解：∵只有非负数才有平方根，负数没有平方根，且，，都是非负数，是负数； ∴没有平方根 【变式3】一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 题型三 立方根的概念与计算 解｜题｜技｜巧  立方根：若，则则，任意实数都有唯一立方根；正数立方根为正数、负数立方根为负数、0的立方根为0；；，，无被开方数正负限制。 【典例1】下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】根据立方根的定义与性质，逐一判断各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，∴ 选项A错误； ∵，4的立方根是，不是4，∴选项B错误； ∵立方根等于它本身的数有，，，∴选项C错误； ∵对任意实数，都有，即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，∴D正确． 【典例2】8的立方根是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】若一个数的立方等于，即，则是的立方根，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 根据立方根的定义，的立方根是． 【典例3】的立方根是_______________ 【答案】2 【详解】解：，， ∴的立方根是． 【变式1】下列说法正确的是（    ）．   A．负数没有立方根 B．的立方根可以表示为 C．等于4 D．任何一个正数都有两个立方根 【答案】B 【分析】本题考查了立方根．运用立方根的意义分析即可． 【详解】解：A、负数没有平方根但有一个负的立方根，故本选项不符合题意； B、的立方根可以表示为，故本选项符合题意； C、，因为，故本选项不符合题意； D、任何正数都只有一个正的立方根，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】要使成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意数 【答案】D 【详解】解：开立方与立方运算互为逆运算，任意实数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是， 对任意实数，都满足． 【变式3】的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根的定义计算即可，注意负数的立方根仍是负数． 【详解】解：根据立方根的定义，若，则是的立方根． ∴ 因此结果为． 题型四 平方根、算术平方根、立方根辨析判断 解｜题｜技｜巧 可通过列表牢记三者核心区别，逐一比对选项；做题先看正负、再看字眼、最后定结果；抓住特例：0、1、-1快速验证说法对错。 【典例1】下列说法中错误的是（   ） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的立方根为 D．平方根等于本身的数是 【答案】B 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐一判断各选项即可找出错误说法． 【详解】解：∵若一个非负数的平方等于，即，则是的算术平方根，又，∴的算术平方根是，说法正确． ∵若一个数的平方等于，即，则是的平方根，又，∴的平方根是，不是，说法错误． ∵ ，∴的立方根为，说法正确． ∵正数有两个互为相反数的平方根，的平方根为，不全等于，负数没有平方根，只有的平方根是，∴平方根等于本身的数是，说法正确． 综上，错误的是． 【典例2】一个数的立方根等于它本身，且这个数的平方根也等于它本身，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】A 【详解】解：∵立方根等于本身的数为，平方根为本身的数只有0， 故这个数为0. 【变式1】下列说法错误的是（   ） A．4是16的算术平方根 B．是的一个平方根 C．的平方根为 D．0的立方根是0 【答案】C 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义，逐一判断各选项，即可得到错误说法． 【详解】解：A选项：且，故4是16的算术平方根，A说法正确； B选项：，故是的一个平方根，B说法正确； C选项：，正数有两个平方根，25的平方根是，不是只有，C说法错误； D选项：，故0的立方根是0，D说法正确． 【变式2】下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根和算术平方根的概念，相反数的定义，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、负数有立方根，且负数的立方根是负数，故该选项不符合题意； B、4的算术平方根是2，不是，故该选项不符合题意； C、立方根是本身的数有0、1、，故该选项不符合题意； D、互为相反数的数的立方根也互为相反数，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和 B．平方根是它本身的数是0和1 C．算术平方根是它本身的数是1 D．绝对值是它本身的数是0 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根等知识，根据立方根、平方根、算术平方根和绝对值的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A．立方根等于它本身的数是0和，故原说法正确； B．平方根是它本身的数是0，故原说法错误； C．算术平方根是它本身的数是0 和1，故原说法错误； D．绝对值是它本身的数是0和正数，故原说法错误， 故选：A． 题型五 无理数的识别与实数的分类 解｜题｜技｜巧 1. 实数分类：有理数（整数+分数+有限小数+无限循环小数）+无理数（无限不循环小数）；无理数常有3类固定形式：① 开方开不尽的根式，；② 含的数（如，-1）；③ 无限不循环小数,如0.121221222......先化简，再分类，化简后是整数、分数的都属于有理数。 【典例1】在下列选项中，是无理数的是（  ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的定义．根据无理数、有理数的定义对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称． A、是无限不循环小数, 属于无理数，符合题意． B、是分数，属于有理数，不符合题意． C、是整数，属于有理数，不符合题意． D、是整数，属于有理数，不符合题意． 【典例2】在，，，，，，，中，有理数的个数有（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键；因此此题可根据实数的分类进行求解即可． 【详解】解：在，，，，，，，中，是有理数的有，，，，，共5个； 故选D． 【变式1】在下列数，，，0， ，中，非负数有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查非负数的判断，掌握好非负数的概念是关键． 非负数包括正数和零，逐个判断即可． 【详解】解：非负数包括正数和零， 根据非负数的定义，题干的数中属于非负数的是：，，0，，一共有4个． 故选：C． 【变式2】在实数，，，，1.41414141中，有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了实数的分类，熟记有理数的定义是解题关键．利用有理数的定义求解即可． 【详解】解：在实数，，，，1.41414141中，有理数有，，1.41414141，共3个， 故选：C． 【变式3】下列各数中：1.2， ， 0， ，1.010010001，，，0.35，，正分数的个数为（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的分类，正分数是指大于0的分数，包括有限小数、无限循环小数和百分数等，但排除整数、无理数和负数，据此解答即可． 【详解】解：1.2（有限小数）、1.010010001（有限小数）、、0.35（有限小数）是正分数； 是无理数，不是分数；0是整数；是负数；是负数；是整数，不是分数， ∴正分数有4个． 故选：B． 题型六 实数的相反数、绝对值、倒数 解｜题｜技｜巧 相反数：只变符号，如的相反数为，的相反数为；绝对值：先判断正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号； 倒数：两数乘积为1，0没有倒数； 有理数性质完全适用于实数 【典例1】是的（      ） A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根 【答案】A 【分析】本题考查了实数概念，相反数定义，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，由 与 只有符号不同，因此是相反数关系，熟知相反数定义是解题的关键． 【详解】解：∵相反数是指两个数符号不同，但绝对值相等， ∴的相反数是， ∴是的相反数， 故选：． 【典例2】实数的绝对值是（   ） A．13 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【典例3】实数的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的运算，实数的性质，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴实数的倒数是， 故选：D． 【变式1】的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数为． 【变式2】实数的绝对值是（） A． B．2025 C． D．±2025 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质；绝对值的定义是数轴上的点到原点的距离，总是非负．对于负数，其绝对值是它的相反数． 【详解】解：． 故选：B． 【变式3】实数的倒数的相反数是（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义．先求给定实数的倒数，再求该倒数的相反数，即可得到结果， 【详解】解：实数的倒数， 则的相反数是2， 即实数的倒数的相反数是2， 故选：C． 题型七 实数与数轴 解｜题｜技｜巧 实数与数轴上的点一一对应，每一个实数都能在数轴找到唯一对应点；数轴右边的数永远大于左边的数；无理数可在数轴上通过作图法表示。 【典例1】如图，在数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】先判断出的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：， ， 点符合题意． 故选：B． 【典例2】如图，将实数表示在数轴上为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】先观察数轴，判断各点表示数的大小，然后再估算的大小，最后进行判断即可．无理数的大小． 【详解】解：观察数轴可知：点表示的数大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于， ∵， ∴，即， ∴实数表示在数轴上，对应的点可能是点． 【变式1】如图所示，在数轴上，叶片遮挡住的点表示的数的可能是（　　） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上叶片遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案． 【详解】A、因为，所以，则，不符合数轴上叶片遮挡点的位置． B、因为，所以，则，符合数轴上叶片遮挡点的位置． C、因为，不符合数轴上叶片遮挡点的位置． D、因为，所以，不符合数轴上叶片遮挡点的位置． 【变式2】如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察数轴确定点的取值范围，再估算各选项数值进行判断． 【详解】解：由图可知，点在3和4之间，即． ， ， ，故A不符合； ， ， ，故B不符合； ， ，故C不符合； ， ， ，故D符合． 题型八 利用数轴化简绝对值与根式 解｜题｜技｜巧 先根据数轴确定每个数、式子的正负性；结合绝对值、性质去符号；最后去括号、合并同类二次根式。 【典例1】已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，求一个数的算术平方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故选B． 【典例2】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，绝对值，算术平方根． 先根据数轴推出，，再化简绝对值，求算术平方根，合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴化简的结果为． 故选：C． 【变式1】如图所示，实数，，在数轴上的对应点分别为，，．若，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴、绝对值等知识，解题的关键是理解题意． 根据数轴上点的位置关系以及可知与互为相反数，再结合的值和求出的值，进而得到的值． 【详解】解：∵，且从数轴上可知，， ∴与互为相反数，即， ∵，，且， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：_______． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴化简代数式，熟练掌握算术平方根、绝对值的性质是解题的关键． 根据数轴得到，得出，，，继而得到算术平方根，绝对值进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ，，， ． 题型九 实数的大小比较 解｜题｜技｜巧 熟练5种实用方法，按需选用：正负区分法：正实数＞0＞负实数； 数轴法：右大左小；平方法：两个正无理数，平方大的数大； 作差法：a-b>0，则 a>b；负数比较：绝对值大的反而小。 【典例1】下列四个实数中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．根据实数的大小比较方法比较各数大小即可求解． 【详解】解：∵，，，， 又， ∴， 最大的数是． 【典例2】比较大小：______；______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】先通过被开方数的大小关系判断无理数的大小，再根据实数的大小比较法则比较即可求解． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 即， ． 【变式1】在中，最大与最小实数的和是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】先比较给定四个实数的大小，找出最大数和最小数，再计算二者的和即可得到结果． 【详解】解：对四个实数进行大小排序 最大的实数是，最小的实数是 ∴． 【变式2】比较大小：______（填“”或“”或“<”） 【答案】< 【分析】先利用无理数的估算判断两个式子的正负性，再根据实数的大小比较方法判断大小即可． 解题的关键在于正确估算出与的正负． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据负数小于正数，可得． 题型十 无理数的估算与整数或小数部分求解 解｜题｜技｜巧 找被开方数相邻的两个完全平方数，确定取值范围；整数部分取范围中较小整数；小数部分=原数-整数部分（必须保留根式，不写近似小数）。 【典例1】设的小数部分是，的整数部分是，则（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】利用夹逼法求出的值，再求和即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 【变式1】阅读理解：若，则1为a的整数部分，a减去其整数部分1的差即为它的小数部分．已知的整数部分是x，小数部分是y，则的值为______． 【答案】/ 【分析】先求出，进而求出，，再代入求值即可． 【详解】解：， ，即， 的整数部分是，小数部分是， ． 【变式2】对于无理数，因为，所以的整数部分是1，小数部分是．请仿照上面的方法解答下列问题： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)2； (2) 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 则的整数部分是：，小数部分是； （2）解：， 即， ， 的整数部分为11，小数部分为， 即． ． 题型十一 非负数的性质及求值应用 解｜题｜技｜巧 熟记三大非负数：，，；非负数和为0，则每一项都等于0，列方程求解字母；先求字母值，再代入计算代数式结果。 【典例1】若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】几个非负数的和为0，则这些非负数都是0，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ． 【典例2】已知，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用绝对值和算术平方根的非负性解题，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此列方程组求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵任意实数的绝对值和算术平方根都是非负数， ∴， 又∵ ∴ 将两个方程相加，得，解得 把代入，得，解得 把代入，得 因此的值为． 【变式1】已知满足等式，是的小数部分，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性可知，，得到x、y，然后根据，得到m，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵，即，是的小数部分， ∴的整数部分为2，即， ∴． 【变式2】若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、有理数的加法运算． 由于平方、绝对值和算术平方根都具有非负性，且它们的和为零，因此每个部分都必须为零，从而可求出，，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 故选：B． 题型十二 实数的混合运算 解｜题｜技｜巧 严格运算顺序：先开方、乘方→再乘除→最后加减→有括号先算括号内；先化简：去绝对值、开方、合并同类二次根式； 有理数运算律、符号法则全部适用。 【典例1】计算的值是（   ）． A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，乘方运算，有理数的混合运算等知识点，先进行立方根，乘方，去绝对值运算，再进行乘法运算，最后加减运算即可得解，熟练掌握其运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解： ， 故选：C． 【典例2】计算：_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了负整数指数幂、实数加减法，熟练掌握相应的运算规则是解题的关键； 先计算负整数指数幂，最后进行实数加减运算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算开方，再算括号内运算，后算除法，最后算加减的顺序求解即可． 【详解】解：∵==，=，=， ∴原式 = = =． 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可； （2）去括号，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十三 利用平方根、立方根解方程 解｜题｜技｜巧 熟练掌握形如有解，，a<0时无解；形如，，x属于任意实数都有解；解题步骤：移项→系数化为1→开方→求解。 【典例1】解方程：求下列各式中x的值： ①； ②． 【答案】①；② 【分析】（①利用平方根的定义解方程即可； ②利用立方根的定义解方程即可． 【详解】解：①， 整理得：， 则； ②， 则， 解得． 【变式1】求下列各式中x的值 ①； ②． 【答案】①或；② 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴或； ②∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】求下列各式中的值． ①； ②． 【答案】(①或；② 【详解】）解：①； ∴ ∴ 解得：或； ② ∴ ∴ 解得： 题型十四 程序设计中的实数运算 解｜题｜技｜巧 熟练掌握形如有解，，a<0时无解；形如，，x属于任意实数都有解；解题步骤：移项→系数化为1→开方→求解。 【典例1】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解： 25的算术平方根为5，5是有理数 取5的平方根，是无理数 输出值是． 【变式1】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键． 根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可完成解答． 【详解】解：的算术平方根是， ∵是有理数， ∴取立方根为， ∵是有理数， ∴取算术平方根为， ∵是无理数， ∴． 故选：A． 【变式2】按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数为81时，最终输出的数是_______． 【答案】 【分析】根据数值转换器原理，输入 x后先计算其算术平方根，若结果为有理数则继续取算术平方根，直到结果为无理数时输出． 【详解】解：由算术平方根的定义判断可得： 当输入的数x为81时，，不是无理数，需要继续计算； 取算术平方根，不是无理数，需要继续计算； 取算术平方根，是无理数，输出． 故答案为：． 题型十五 新定义下的实数运算 解｜题｜技｜巧 熟练掌握形如有解，，a<0时无解；形如，，x属于任意实数都有解；解题步骤：移项→系数化为1→开方→求解。 【典例1】对x，y，定义运算“”如下：，已知2a＝16，则实数a等于（    ） A． B．4 C． D．4或 【答案】A 【分析】根据定义分两种情况讨论，先判断与的大小关系，代入对应表达式计算后，舍去不符合前提条件的解，即可得到的值。 【详解】解：当时， 解得 前提为，不符合条件，舍去； 当时， 整理得 解得 ， ∴不符合条件，舍去， ∴ 综上，. 【变式1】新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查新定义，算术平方根，根据题意求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， 由于x和y为两个连续正整数，， ∴，， ∴ ∴的算术平方根为4， 故选：C． 【变式2】对于实数规定：用表示不大于的最大整数，例如：，则的值为___________． 【答案】131 【分析】本题主要考查了实数的新定义运算，无理数的估算，解题的关键是理解新定义．先得出 ，再分别整理得出，，，，，再代入式子计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 即， ， ， ， ， ， ∴ ， 故答案为：． 题型十六 实数运算在实际问题中的应用 解｜题｜技｜巧 熟练掌握形如有解，，a<0时无解；形如，，x属于任意实数都有解；解题步骤：移项→系数化为1→开方→求解。 【典例1】如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，求正方形面积． 【答案】18 【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积为， ∵ ∴， ∴， 故答案为：18． 【变式1】如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 【变式2】如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 题型十七 立方根中的规律问题 解｜题｜技｜巧 熟练掌握形如有解，，a<0时无解；形如，，x属于任意实数都有解；解题步骤：移项→系数化为1→开方→求解。 【典例1】如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 【变式2】我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试： (1)因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个 位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是 ； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是 ．所以 ． (2)已110592一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明． 【答案】(1)两；9；3；39 (2)110592的立方根为48，说明见解析 【分析】（1）根据立方根的定义补全过程即可； （2）仿照题干思路作答即可． 【详解】（1）解：因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个两位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是9； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是3．所以． （2）解：因为是一个立方数，即某个整数的立方， 由， 所以， 即能确定是一个两位数； 又∵的个位上的数是 ∴能确定的个位上的数是8； 划去后面的三位592得到数110，即将被开方数小数点向左移三位， ∵， ∴， 由此能确定的十位上的数是4． 所以． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.下列四个实数中，是负无理数的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题根据负无理数的定义，即小于0的无理数，对选项逐个判断即可得到结果． 【详解】解：∵是负分数，属于有理数，∴A不符合要求； ∵，且是开方开不尽的数，属于无理数，∴是负无理数，B符合要求； ∵ 0既不是正数也不是负数，∴C不符合要求； ∵是正无理数，∴D不符合要求． 2．下列各数是整数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简各选项，整数包含正整数、零、负整数，再结合整数定义，对各选项逐一判断． 【详解】解：A、是无限不循环小数，属于无理数，不是整数，故该选项不符合题意； B、，是负整数，属于整数，故该选项符合题意； C、是有限小数，属于分数，不是整数，故该选项不符合题意； D、是分数，不是整数，故该选项不符合题意． 3．下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【详解】解：根据平方根定义，负数没有平方根，∵是负数，∴没有平方根，故A错误； ∵0的平方根是0，∴0有平方根，故B错误； 的算术平方根是，符合算术平方根的定义，故C正确； ，的平方根是，不是，故D错误． 4．如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．请估计这个比值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【详解】解：， ， 即， ， 即 该比值在4和5之间． 5．已知实数，满足，那么的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据非负数的性质求出，的值，再计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 6．19的算术平方根是_______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义，若一个正数x的平方等于a，即，则这个正数x为a的算术平方根，据此求解即可． 【详解】，且， ∴ 19的算术平方根是． 7．比较大小：2_____（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】要比较两个正数的大小，可利用平方法，通过比较两数平方的大小得到原数的大小关系，正数中平方更大的数更大． 【详解】解：∵， 又∵，且，， ∴． 8．我们把直径为1的圆从原点沿数轴向右滚动一周（如图所示），圆上的一点到达，表示的数是_____． 【答案】π 【分析】根据圆的周长公式计算出圆滚动一周的距离，再根据数轴上点的平移规律（向右移动加）即可求解． 【详解】解： 圆的直径为 ， 圆的周长为， 圆从原点沿数轴向右滚动一周，起点表示的数为， 点表示的数为． 9．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 10．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】的值为7或 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.若一个正数的两个不相等的平方根分别是和＋，则这个正数是(    ) A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】A 【分析】利用“正数的两个平方根互为相反数”的性质列方程求解，再计算得到这个正数即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不相等的平方根互为相反数， ∴ ， 整理得， 解得， 将代入其中一个平方根，得， ∵， ∴这个正数是． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，A计算错误． ，B计算正确． ，C计算错误． ，D计算错误． 3．实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数轴可知，，，，，逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，， 故A、B、C错误，不符合题意； 由数轴可知，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故D正确，符合题意． 4．用“”定义新运算，对于任意非负实数，都有，例如，那么（   ） A．27 B．72 C．78 D．84 【答案】C 【详解】解：∵， ∴． 5．先观察下列三个等式，再回答下列问题：①；②；③，请你根据上面三个等式提供的信息，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给式子总结变化规律可得，然后根据规律求解即可． 【详解】解：∵①， ②， ③， …， ∴， ∴． 6．如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2个单位长度的半圆，该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动地滚动，半圆直径的一个端点从原点O到达点（如图），则点对应的数是______．（结果保留） 【答案】/ 【分析】根据题意得，点对应的数为该半圆的周长，即可． 【详解】解：点对应的数是半圆周长，为直径半圆弧长，即． 7．若为正整数，且满足，则数轴上表示的数的点为______．（填字母） 【答案】 【分析】通过平方法估算的范围即可求解． 【详解】解：，， ∵， ∴，即， ∵为正整数，且满足， ∴， ∴数轴上表示的数的点为． 8．对任意两个实数，定义一种运算：，例如：，那么_________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，按照运算顺序先计算括号内的部分，再计算括号外的部分，先比较各数大小，再根据运算规则取对应值即可得到结果． 【详解】解：， ，，，， ， ． 9．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是_______________． 【答案】 【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：当输入是81时，取算术平方根是9，9是有理数； 再把9输入，9的算术平方根是3，3是有理数； 再把3输入，3的算术平方根是，是无理数， 所以输出是． 10．已知实数在数轴上对应的点如图所示，化简______． 【答案】/ 【分析】首先根据数轴确定的大小关系，然后根据绝对值的性质：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，即可去掉绝对值符号，从而进行化简． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根，立方根以及绝对值化简每个式子，然后求解即可； （2）根据乘法分配律和二次根式的运算法则进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解： ， ． 12．求下列方程中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：， 移项，得， 解得； （2）解：， ， ， 解得或． 13．若正数的两个平方根是和，的立方根是，是的整数部分． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据平方根的定义，立方根的定义求出a，b的值，再估计的大小即可求出c的值即可． （2）把，，，代入计算得出结果，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数的两个平方根是和， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 把代入得，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴的平方根是． 14．如图，已知点A，B是数轴上两点，点A与点B之间的距离是2个单位长度，点B在点A的右侧，点B表示的数是，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是_______． (2)求的值． (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接用点B表示的数减去点A与点B之间的距离即可； （2）直接将m的值代入计算即可； （3）根据相反数的定义和非负数的性质求出实数c和d，再代入计算，最后求的立方根即可． 【详解】（1）解：∵点A与点B之间的距离是2个单位长度，点B在点A的右侧，点B表示的数是，设点A表示的数为m， ∴实数m的值是； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的立方根． 15．代入求值 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根和绝对值的非负性求解参数即可． （2）利用非负性求出的值，再用裂项相消法计算分式求和即可． （3）根据算术平方根有意义的条件确定的范围，再去绝对值化简求解即可． 【详解】（1）解：，，且， ，，解得， 将代入，得， 解得，即． （2）解：， ， 原方程可化为，整理得， ，， ，，解得， 将，代入所求式子得： ． （3）解：由算术平方根有意义的条件得，即， ，可得， 原方程可化为， 移项得， 两边平方得， 整理得． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（25-26七年级下·安徽六安·期末）如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出已知两个正方形的边长，结合图形观察出三个正方形边长的大小关系，从而确定中间正方形边长的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， 正方形的边长，正方形的边长， 设正方形的边长为，由图可知，点在线段上，点在线段上， ，即， ，，， 选项均不符合题意， ， ， 正方形的边长可以是，选项 D  符合题意． 2．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 3．（25-26七年级下·北京海淀·期末）在数学漫步之旅第8集提到了有关有理数与无理数，对于正实数，根据是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数；若为有理数，则；若为无理数，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，依此类推．例如，正实数为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为8；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为3．（  ） （1）对正实数1进行三次变换，得到的数为________． （2）若对正实数进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的的值之和为________． A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】B 【分析】（1）根据变换规则，依次计算每次变换的结果，即可得到三次变换的最终数； （2）设一次变换后得到，二次变换为对变换得到，分为有理数和无理数两种情况讨论，再对分有理数和无理数求解，最后将所有符合条件的相加得到结果． 【详解】解：（1）是有理数， 一次变换得：， 是无理数， 二次变换得：， 是有理数， 三次变换得：； （2）设对一次变换得到，则二次变换为对变换得到，分情况讨论： 当为有理数时，由变换规则得， 两边平方得，解得， 再分的情况讨论： 若为有理数，则，平方得，解得， 若为无理数，则，整理得， 是正实数， ； 当为无理数时，由变换规则得，整理得， 是正实数， ， 是有理数，与为无理数矛盾， 此情况舍去； 所有满足条件的的值之和为． 4．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为________； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为________． 【答案】 2 11 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数； （2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案． 【详解】解；（1）∵， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为， 故答案为；11． 5．（25-26七年级上·山东威海·期末）设三角形的三边分别为，，，则有下列三角形面积公式成立： ①，其中（海伦公式） ②（秦九韶公式）． 已知一个三角形的三边，，分别为，，，选用一个公式求这个三角形的面积． 【答案】． 【分析】把，，分别代入公式②，计算算术平方根即可． 【详解】解：将，，代入公式②，得， = ． 6．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $