专题02 平行四边形的性质综合题六类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

专题02 平行四边形性质综合题六类题型 典例详解 类型一、过对角线交点的直线构成的全等模型 类型二、平行四边形的折叠问题 类型三、利用等积变形求不规则三角形面积 类型四、利用平行四边形角平分线构造等腰三角形问题 类型五、将军饮马在平行四边形上的变式 类型六、平行四边形与斜中定理综合 压轴专练 类型一、过对角线交点的直线构成的全等模型 例1（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 变式1-1（18-19八年级下·广东广州·期末）如图，过平行四边形ABCD对角线交点O的线段EF，分别交AD，BC于点E，F，当AE＝ED时，△AOE的面积为4，则四边形EFCD的面积是（　　） A．8 B．12 C．16 D．32 变式1-2（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形的对角线交于点O，，过O作直线分别交于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为___________． 类型二、平行四边形的折叠问题 例2（22-23九年级下·山东烟台·期中）如图，平行四边形纸片中，折叠纸片使点落在上的点处，得折痕，再折叠纸片使点落在上的点，得折痕．    (1)请说明：； (2)请说明：． 变式2-1（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作． (1)求证：． (2)若，求的度数． 变式2-2（24-25八年级下·山西太原·月考）问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 变式2-3（24-25八年级下·山西长治·期中）综合与探究 问题情景：如图1，是平行四边形的对角线，，将沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，求证：四边形是平行四边形． 初步探究： （1）郭鹏同学的证明过程如下： 在平行四边形中，，， ， 折叠， ，，，， ，， ， （依据一）， ， 又 ， 四边形是平行四边形（依据二）． 问题：郭鹏同学的证明过程中，依据一是______；依据二是____________； （2）赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义来证明．请按赵斌的想法写出证明过程； 深入探究： （3）如图2，连接，，若，，请直接写出四边形的周长． 类型三、利用等积变形求不规则三角形面积 例3（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，点E是边的中点，点F是边的中点．若的面积是3，则的面积是______． 变式3-1（2025·浙江温州·二模）如图，在中，分别是，的中点，是对角线上一点（点不与端点重合），过点作交于点，交于点．连结，，若已知的面积，则一定能求出（   ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 变式3-2（19-20九年级上·江苏泰州·期中）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是对角线BD上的点，且BE=DF，连接AE、CE、CF、AF． （1）求证：AE=CF； （2）若平行四边形ABCD的面积是12，△OCF的面积是2，求△ADF的面积．      类型四、利用平行四边形角平分线构造等腰三角形问题 例4（21-22八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（　　） A．6 B．8 C．10 D．13 变式4-1（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为_____． 变式4-2（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，的角平分线交于点，若，，则的长为（    ）    变式4-3（2023·江苏镇江·一模）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，． (1)求证：点E是中点； (2)若，，则的长为　　． 类型五、将军饮马在平行四边形上的变式 例5（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 变式5-1（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为______． 变式5-2（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，中，，，，点为内一动点，连接、，，点为的中点，连接，则的最小值为______． 变式5-3（22-23八年级上·山东淄博·期末）如图，平行四边形，，E、F分别是边上的两个动点，且满足． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． (3)的周长是否存在最小值，若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 类型六、平行四边形与斜中定理综合 例6（2022九年级·江苏无锡·竞赛）如图，以的三边为边作等边三角形． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)设的中点为，延长交于点，延长交于点，连接，若，①试探究线段与的数量关系；②请直接写出的度数． 变式6-1（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图，在的同侧以、为底边向外作等腰、，其中，为的中点，连接、． (1)如图，当时，直接写出与的关系． (2)如图，当时，（1）的结论还成立吗？请你做出判断并说明理由； (3)如图，当，，连接，取其中点，若动点A从的位置运动到时停止，则点的运动路径长为______． 1.（24-25八年级下·浙江湖州·期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 2.（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，对角线，相交于点O，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过O作线段交于点M，交于点N．若，，，求的度数． 3.（2024·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，．    (1)求证：点E是中点； (2)若，，则的长为 ___． 4.（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）【问题背景】 某数学兴趣小组在学习了平行四边形后，对其进行了轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性质．在中，，，，点是边上任意一点，连接，将四边形沿翻折得到四边形，射线与相交于点． 【操作发现】 （1）如图1，无论点在什么位置，图中都会有一条线段与相等，请猜想与相等的线段，并说明理由． 【问题延伸】 （2）当点的位置发生变化时，线段存在最小值，请求出线段的最小值． 【问题拓展】 （3）如图2，连接，当是以为一条直角边的直角三角形时，求线段的长． 5.（21-22九年级上·重庆渝北·期末）如图1，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一动点，连接BE交对角线AC于点F，点M为线段BF上一点，连接AM． (1)如图1，若对角线AC⊥AB，点M是BF的中点，，，求BC的长； (2)如图2，若，，AC的垂直平分线交BE的延长线于点G，连接AG，CG，AM平分∠BAC交BE于点M，求证：； (3)如图3，当点E在运动过程中满足BCE为等边三角形时，若；在BCE内部是否存在一点P使有最小值，若存在，直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 6.（21-22七年级上·山东济宁·期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______． 7.（22-23八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，的角平分线交于点，若，，则的长为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 8.（24-25八年级下·浙江温州·期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 9.（25-26七年级上·云南保山·开学考试）如图，在平行四边形中，点F是上一点，，点E是的中点，平分， ，则的面积是_______. 10.（23-24八年级下·广东佛山·期末）综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 问题初探： （1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由； 迁移探究 （2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由； 拓展探索 （3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由 11.（23-24八年级下·四川雅安·期末）在一次数学综合与实践活动中，老师给出如下探究任务：先画一个平行四边形，再画两条直线，将该平行四边形分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．小安同学画了如下三种情形：    (1)利用小安的分割方法：你认为两直线的交点的位置在___________； (2)如图①，在平行四边形中，，就是使含有一组对顶角的两个图形全等的两直线，分别与，的延长线交于点，．请利用（1）的结论证明：； (3)如图②，将一张平行四边形的纸片沿过对角线的中点的直线折叠，折痕交边于点，点落在点处，点落在点处，交于点，分别交于点．求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行四边形性质综合题六类题型 典例详解 类型一、过对角线交点的直线构成的全等模型 类型二、平行四边形的折叠问题 类型三、利用等积变形求不规则三角形面积 类型四、利用平行四边形角平分线构造等腰三角形问题 类型五、将军饮马在平行四边形上的变式 类型六、平行四边形与斜中定理综合 压轴专练 类型一、过对角线交点的直线构成的全等模型 例1（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，得到线段和角的相等关系，证明三角形全等，从而推出； （2）结合第一问的结论与折叠的性质，得到线段相等，再通过平行四边形的角的关系，证明另一组三角形全等，进而推出． 【详解】证明：（1）四边形为平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 证明：（2）由（1）知，． 由折叠的性质可知，，， ，． ， ， ． 在和中： ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质与全等三角形的判定，掌握平行四边形的性质、折叠的线段与角的对应关系，及全等三角形的判定方法是解题的关键． 变式1-1（18-19八年级下·广东广州·期末）如图，过平行四边形ABCD对角线交点O的线段EF，分别交AD，BC于点E，F，当AE＝ED时，△AOE的面积为4，则四边形EFCD的面积是（　　） A．8 B．12 C．16 D．32 【答案】C 【分析】根据等底等高的三角形面积相等可得S△DOE＝S△AOE＝4，进而可得S△COD＝S△AOD＝8，再由平行四边形性质可证明△COF≌△AOE（ASA），S△COF＝S△AOE＝4，即可得S四边形EFCD＝16． 【详解】解：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，OB＝OD ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠AOE＝∠COF ∴△COF≌△AOE（ASA） ∵S△AOE＝4，AE＝ED ∴S△COF＝S△DOE＝S△AOE＝4， ∴S△AOD＝8 ∵AO＝CO ∴S△COD＝S△AOD＝8 ∴S四边形EFCD＝S△DOE+S△COD+S△COF＝4+8+4＝16； 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形判定和性质，三角形面积等知识点，关键要会运用等底等高的三角形面积相等． 变式1-2（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形的对角线交于点O，，过O作直线分别交于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，推出当时，四边形周长的最小是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，得到，再推出四边形周长，然后求出的最小值即可． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形周长 ， 四边形周长最小时，只要最小即可， 过点O作交于点，交于点，如图， 此时的最小值为，四边形周长的最小值， ， 由勾股定理，得， ， ， 四边形周长的最小值， 故答案为： 类型二、平行四边形的折叠问题 例2（22-23九年级下·山东烟台·期中）如图，平行四边形纸片中，折叠纸片使点落在上的点处，得折痕，再折叠纸片使点落在上的点，得折痕．    (1)请说明：； (2)请说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，根据平角的定义即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，求得，得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵折叠纸片使点落在上的点处， ， 折叠纸片使点落在上的点， ， ， ， ． （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 由折叠的性质的，， ， ． 【点睛】本题主要考查了翻折变换折叠问题、平行四边形的判定和性质等知识点，正确的识别图形是解题的关键． 变式2-1（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的判定以及角度计算，掌握利用平行四边形的角相等性质、折叠的角平分线性质，结合平行线和垂直的角度关系进行推导是解题的关键． （1）先判定四边形为平行四边形，利用平行四边形的角相等性质，结合折叠的角相等，推出同位角相等从而证平行． （2）利用平行线同旁内角互补求出，结合折叠的角平分线性质求出，再由垂直关系计算． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ． 由折叠知， ， ． （2）解：， ， ． 由折叠知， ． ， ． 变式2-2（24-25八年级下·山西太原·月考）问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）；（2）小虎的结论正确，见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据折叠的性质得到 ，再由平角的定义即可求解； （2）根据折叠的性质得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，即可证明； 【详解】（1）解：由折叠得： ∴故答案为： （2）小虎的结论正确，理由如下： ∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 变式2-3（24-25八年级下·山西长治·期中）综合与探究 问题情景：如图1，是平行四边形的对角线，，将沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，求证：四边形是平行四边形． 初步探究： （1）郭鹏同学的证明过程如下： 在平行四边形中，，， ， 折叠， ，，，， ，， ， （依据一）， ， 又 ， 四边形是平行四边形（依据二）． 问题：郭鹏同学的证明过程中，依据一是______；依据二是____________； （2）赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义来证明．请按赵斌的想法写出证明过程； 深入探究： （3）如图2，连接，，若，，请直接写出四边形的周长． 【答案】（1）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据证明，再根据平行四边形的判定定理证明即可； （2）根据折叠性质，平行线的性质，利用平行四边形的定义即可得结论； （3）先根据勾股定理可得，由折叠得：，由勾股定理得的长，即可解答． 【详解】解：（1）郭鹏同学的证明过程中，依据一是：；依据二是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 故答案为：，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：在平行四边形中，，， ， 由折叠得：，， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形． （3）如图， ，，， ， 折叠， ，，， ，， ，即， ， 同理， ，， ， ， 同理， 四边形的周长为． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，翻折变换的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 类型三、利用等积变形求不规则三角形面积 例3（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，点E是边的中点，点F是边的中点．若的面积是3，则的面积是______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，共高三角形面积比等于底之比，熟练掌握面积比与底之比的转化是解题的关键． 连接，由点E是边的中点，点F是边的中点，则，那么由得，再由求解即可． 【详解】解：连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴与等底共高， ∴， ∵四边形是平行四边形，点F是边的中点 ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 变式3-1（2025·浙江温州·二模）如图，在中，分别是，的中点，是对角线上一点（点不与端点重合），过点作交于点，交于点．连结，，若已知的面积，则一定能求出（   ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，理解等底等高的三角形面积相等是解题的关键． 连接，过点作交于点，过点作交于点，易证，可得，进而得到，由，，得到，即得到结论． 【详解】解：连接，过点作交于点，过点作交于点， 由题意可知，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴上的点到上的点距离相同， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴已知的面积，则一定能求出的面积， 故选：B． 变式3-2（19-20九年级上·江苏泰州·期中）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是对角线BD上的点，且BE=DF，连接AE、CE、CF、AF． （1）求证：AE=CF； （2）若平行四边形ABCD的面积是12，△OCF的面积是2，求△ADF的面积．      【答案】（1）见解析；（2）1 【分析】（1）通过平行四边形的性质和平行线的性质得出，，然后利用SAS证明，则结论可证． （2）过点A作AG⊥BD于点G，过点C作CH⊥BD于点H，首先证明，然后得出，然后利用面积之间的关系得出， ，最后利用即可得出答案． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ， 在和中， ； （2）如图，过点A作AG⊥BD于点G，过点C作CH⊥BD于点H，    ， ． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ， 在和中， ． 底相等，高也相等，所以面积也相等， ． 底相同，高相等，所以面积也相等， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质，平行线的性质，面积转换，掌握全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 类型四、利用平行四边形角平分线构造等腰三角形问题 例4（21-22八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（　　） A．6 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，证得△ABO≌△MBO（ASA），再证明四边形AMCF是平行四边形，，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB+180°， ∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD， ∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF， ∴∠CBE+∠BCF＝90°， ∴∠BHC＝90°， ∵AM∥CF， ∴∠AOE＝∠BHC＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE， ∴AB＝AE＝5， 又∵∠AOE＝90°， ∴BO＝OE＝3， ∴， 在△ABO和△MBO中， ， ∴△ABO≌△MBO（ASA）， ∴AO＝OM＝4， ∴AM＝8， ∵AD∥BC，AM∥CF， ∴四边形AMCF是平行四边形， ∴CF＝AM＝8， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 变式4-1（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是判断出．根据平行线的性质得，由平分得，等量代换得，根据等腰三角形的性质得到，同理，根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，即可得到结论． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 故答案为：． 变式4-2（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，的角平分线交于点，若，，则的长为（    ）    【答案】4 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题． 根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，，进而求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， 故答案为4． 变式4-3（2023·江苏镇江·一模）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，． (1)求证：点E是中点； (2)若，，则的长为　　． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义可证，进而得到，利用等腰三角形的性质与判定可得，即可得证； （2）先求，然后证明，，最后利用线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点E是中点； （2）解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 同理：， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 类型五、将军饮马在平行四边形上的变式 例5（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质.作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即的最小值为. 故选：C. 变式5-1（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称——最短路线问题是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，设交于点，则即为的最小值，根据可得是等腰直角三角形，进而求出在中， ，再在中，根据勾股定理可得，由此即可求出的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，设交于点， 则即为的最小值， 由轴对称的性质可得： ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 的最小值为， 故答案为：． 变式5-2（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，中，，，，点为内一动点，连接、，，点为的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，关键是判定，推出，由三角形三边关系定理得到．取中点K，连接，过D作交的延长线于N，证明，推出，得到，根据勾股定理得出，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：取中点K，连接，过D作交的延长线于N， ∵， ∴， ∵H是中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ，中，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 变式5-3（22-23八年级上·山东淄博·期末）如图，平行四边形，，E、F分别是边上的两个动点，且满足． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． (3)的周长是否存在最小值，若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形；理由见解析 (3)存在；最小值为 【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件，证明，得出和都为等边三角形，证明，再根据证明即可； （2）根据，得出，，根据，得出，即可证明是等边三角形； （3）根据为等边三角形，得出当最小时，周长最小，根据垂线段最短求出的最小值，即可得出的最小值． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴和都为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： 由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴是等边三角形； （3）解：的周长存在最小值， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴当最小时，的周长最小， 过点B作于点M， ∵垂线段最短， ∴当点E在点时，最小， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 则周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，解题的关键是根据平行四边形的性质，结合已知条件证明和都为等边三角形． 类型六、平行四边形与斜中定理综合 例6（2022九年级·江苏无锡·竞赛）如图，以的三边为边作等边三角形． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)设的中点为，延长交于点，延长交于点，连接，若，①试探究线段与的数量关系；②请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）通过证明，，分别得出：，，从而由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”得证结论； （2）①由已知等边三角形、得出， 从而由“等腰三角形‘三线合一’”得出，；连接，相交于点交于点交于点，则是的中位线，是的中位线，得到四边形是平行四边形、；由已知和（1）可证明，得到，，从而得出；②由①知：、，通过等量代换、三角形内角和定理可得：． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①线段与的数量关系是，理由如下： 设的中点为，延长交于点，延长交于点，连接、， ∵，为的中点， ∴， ，， ∵， ，， ， 如图，连接，相交于点交于点交于点， 则是的中位线，是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， 由（1）知：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ②由①知：，， ， ， ， 的度数为． 变式6-1（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图，在的同侧以、为底边向外作等腰、，其中，为的中点，连接、． (1)如图，当时，直接写出与的关系． (2)如图，当时，（1）的结论还成立吗？请你做出判断并说明理由； (3)如图，当，，连接，取其中点，若动点A从的位置运动到时停止，则点的运动路径长为______． 【答案】(1) (2)结论仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）先证点，点A，点三点共线，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由“”SAS””可证≌，可得，，由三角形内角和定理可求解； （3）先证点A,点，点三点共圆，由等腰直角三角形的性质可求，可得，由弧长公式可求解． 【详解】（1）解：，，理由如下： 如图，连接， 等腰和等腰， ，，， ，为边的中点， ，， 点，点A，点三点共线， 垂直平分， ， 同理可得：， ， ，， ； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，分别取、中点、，连接、，再连接、， ，，点是的中点，点是的中点， ，，，， 为边的中点，点是的中点，点是的中点， ,，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 在与中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，连接，并延长至,使，连接，，， ，， ， ， 点是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形， ∥，， ， 又， 是的中垂线， ， 同理可得：， ， 点，点，点三点都在以为圆心，为半径的圆上， ， ， ， ， ， 动点从的位置运动到， 点旋转的角度为， 点的运动路径长， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1.（24-25八年级下·浙江湖州·期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先找出两个矩形的中心，然后过中心作直线即可； （2）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：如图所示：   ． 2.（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，对角线，相交于点O，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过O作线段交于点M，交于点N．若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，根据平行四边形的判定直接得出答案即可； （2）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，，求出，根据，得出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判断和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 3.（2024·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，．    (1)求证：点E是中点； (2)若，，则的长为 ___． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据等腰三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，即可证明结论； （2）证明四边形为平行四边形，得出，求出，证明，，得出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）证：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵、分别平分和， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点； （2）解：根据解析（1）可知：，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4．    【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 4.（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）【问题背景】 某数学兴趣小组在学习了平行四边形后，对其进行了轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性质．在中，，，，点是边上任意一点，连接，将四边形沿翻折得到四边形，射线与相交于点． 【操作发现】 （1）如图1，无论点在什么位置，图中都会有一条线段与相等，请猜想与相等的线段，并说明理由． 【问题延伸】 （2）当点的位置发生变化时，线段存在最小值，请求出线段的最小值． 【问题拓展】 （3）如图2，连接，当是以为一条直角边的直角三角形时，求线段的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）线段的长为或或． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，图形的翻折，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，翻折的特征是解题的关键． （1）根据点在边上的不同位置，画出图形，进行分类讨论，情况①，当射线与相交于点，点在线段上，根据平行四边形的性质，翻折的特征，可得，利用等角对等边，即可证明；当点在边上其他位置时，同理可证得； （2）根据，利用垂线段最短，可得当时，最短，故此时取得最小值，利用勾股定理即可求解； （3）根据点在边上的不同位置，当时，，以及当点与点重合时，分情况讨论，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：（1），理由如下， 情况①，当射线与相交于点，点在线段上，如图， 四边形是平行四边形， ， ， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得， ， ． 情况② 当射线与相交于点，点在线段延长线上，如图， 同理可得，， ． 情况③ 当点在如图位置，延长线与相交于点， 四边形是平行四边形， ， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得，， ， ， ． 综上，无论点在什么位置，都有． （2） ，根据垂线段最短， 当时，最短，故此时取得最小值，如图所示， ，，， 根据勾股定理得， ， 线段的最小值为． （3）情况① 当时，，是以为一条直角边的直角三角形，如图所示， 四边形是平行四边形， ，， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得， ， ，即， 是以为一条直角边的直角三角形， 根据第（2）结果，， ． 情况②，，是以为一条直角边的直角三角形，如图所示， 四边形是平行四边形， ，，，， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得，，，，， ，， ， 是等腰直角三角形， 根据勾股定理得，， ， ， 在中，， ． 情况③ 当点与点重合时，即将四边形沿翻折得到四边形， ，根据翻折特征，可得， ， 是以为一条直角边的直角三角形， 此时，． 综上，当是以为一条直角边的直角三角形，线段的长为或或． 5.（21-22九年级上·重庆渝北·期末）如图1，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一动点，连接BE交对角线AC于点F，点M为线段BF上一点，连接AM． (1)如图1，若对角线AC⊥AB，点M是BF的中点，，，求BC的长； (2)如图2，若，，AC的垂直平分线交BE的延长线于点G，连接AG，CG，AM平分∠BAC交BE于点M，求证：； (3)如图3，当点E在运动过程中满足BCE为等边三角形时，若；在BCE内部是否存在一点P使有最小值，若存在，直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）由已知条件根据勾股定理求出AB，由求出AC，由勾股定理求出BC的长； （2）连接并延长MC，过点C作CQ⊥BC交BE于点Q，分别过点G作GH⊥MC于点H，作GP⊥AM于点P．证明△ABM≌△ACM（SAS），推出，∠MCQ＝∠BCQ－∠BCM＝60°．∠MQC＝∠MCQ＝∠CMQ＝60°．得到．证明△AGP≌OCGH（HL）推出，∠ACM＝∠GCQ．证明△ACM≌△GCQ（SAS），推出，由此得到结论； （3）取任意点P，连接PB、PC、PE，以BP为边作等边三角形BPP1，作点E关于BC的对称点C1，连接B C1，C C1，当点E、P、P1、C1四点共线时，有最小值， 连接BP、CC1相交于点Q，连接EQ，由轴对称的性质求出C1Q=2BC1=2BC=8，根据等边三角形的性质得到∠EQB=∠CQB=30°，证得∠PCQ=90°，同理∠PEQ=90°，推出BQ=PB+PC+PE，由勾股定理求出BQ即可． 【详解】（1）解：∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°； ∵点M为BF的中点， ∴， ∴BF=6， ∴ ∵， ∴ ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90° ∴ （2）解：连接并延长MC，过点C作CQ⊥BC交BE于点Q， 分别过点G作GH⊥MC于点H，作GP⊥AM于点P． ∵，AM平分∠BAC， ∴△ABM≌△ACM（SAS）； ∴，∠AMB＝∠AMC， ∵∠CBE＝30°，BM＝MC， ∴∠BCM＝∠CBE＝30°， ∴∠CMQ＝∠BCM＋∠CBE＝60°，∠BMC＝120°， ∴∠AMB＝∠AMC＝120°， ∴∠AMG＝∠CMG＝60°． ∵CQ⊥BC，∠MCB＝30°， ∴∠MCQ＝∠BCQ－∠BCM＝60°． ∴∠MQC＝∠MCQ＝∠CMQ＝60°． ∴． ∴． ∵GH⊥MC，GP⊥AM，∠AMG＝∠CMG． ∴∠MPG＝∠MHG＝90°，． ∴， ∵点G在AC的垂直平分线上， ∴． 在Rt△AGP与Rt△CGH中， ， ∴△AGP≌OCGH（HL） ∴∠AGP＝∠CGH， ∴∠AGC＝∠PGH＝60°， ∴△AGC为等边三角形， ∴，∠ACM＝∠GCQ． 在△ACM与△GCQ中， ， ∴△ACM≌△GCQ（SAS）， ∴． ∵， ∴． （3）解：存在，的最小值为． 取任意点P，连接PB、PC、PE，以BP为边作等边三角形BPP1，作点E关于BC的对称点C1，连接B C1，C C1，当点E、P、P1、C1四点共线时，有最小值， 连接BP、CC1相交于点Q，连接EQ， ∵△BPP1是等边三角形， ∴∠PBP1=60°， 由轴对称可得∠EBP=∠C1BP1=30°，∠BC1C=60°，△BCC1是等边三角形， ∴∠C1BQ=90°，∠BQC=30°， ∴C1Q=2BC1=2BC=8， ∴CQ=BC=4=CE， ∵∠ECQ=60°， ∴△ECQ是等边三角形， ∴∠EQB=∠CQB=30°， ∵点E、P、P1、C1四点共线， ∴C1E垂直平分BC， ∴∠ECP=∠EBP= =30°， ∴∠PCQ=90°， 同理∠PEQ=90°， ∴PQ=2PC=2PE， ∴PQ=PC+PE， ∴BQ=PB+PC+PE， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，这是一道图形类的综合题，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 6.（21-22七年级上·山东济宁·期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______． 【答案】8 【分析】根据题意由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，则∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDF， ∴∠DFC＝∠CDF， ∴CF＝CD， 同理BE＝AB， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴AB＝BE＝CF＝CD＝5， ∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8， ∴AD＝BC＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质和平行线的性质以及平行四边形的性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质以及平行四边形的性质． 7.（22-23八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，的角平分线交于点，若，，则的长为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，，进而求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握． 8.（24-25八年级下·浙江温州·期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3）解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 9.（25-26七年级上·云南保山·开学考试）如图，在平行四边形中，点F是上一点，，点E是的中点，平分， ，则的面积是_______. 【答案】 【分析】延长和交于点H，根据证明，可得，根据等腰三角形的性质可得，再利用勾股定理求出的长，即得的长，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：延长和交于点H， 在平行四边形中 ，， ∴， ∵ 点E是的中点 ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 10.（23-24八年级下·广东佛山·期末）综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 问题初探： （1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由； 迁移探究 （2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由； 拓展探索 （3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由 【答案】（1），见解析 （2），见解析 （3），见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质： （1）由平行四边形的性质可得，，，推出，，证得，由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差关系，即可得出结论； （2）由折叠的性质可得，，，，结合平行四边形的性质，证得，可得，，进而推出，即可得出结论； （3）分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（1）（2）可得，，，设，可得，证得，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 理由：是对角线的交点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由：纸片沿过点O的线段折叠，点B与点D重合， ，，，， 在中，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ， ， ； （3）解：， 分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J， 由（2）得， 在中，， ， 纸片沿过点O的线段折叠， ， ， ， 由（1）得， ， ，， 设， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 11.（23-24八年级下·四川雅安·期末）在一次数学综合与实践活动中，老师给出如下探究任务：先画一个平行四边形，再画两条直线，将该平行四边形分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．小安同学画了如下三种情形：    (1)利用小安的分割方法：你认为两直线的交点的位置在___________； (2)如图①，在平行四边形中，，就是使含有一组对顶角的两个图形全等的两直线，分别与，的延长线交于点，．请利用（1）的结论证明：； (3)如图②，将一张平行四边形的纸片沿过对角线的中点的直线折叠，折痕交边于点，点落在点处，点落在点处，交于点，分别交于点．求证：． 【答案】(1)平行四边形的对称中心（或对角线的交点） (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由平行四边形是中心对称图形可得出结论； （2）连接，则经过点，证明，得出； （3）由平行四边形的性质得，再由证得，得出，然后由折叠性质得，最后证得，即可得出结论． 【详解】（1）解：这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）． 故答案为：平行四边形的对称中心（或对角线的交点）； （2）证明：连接，则经过点，    ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． （3）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $