命题大赛 海南省海口市2025-2026学年下学期高二数学期末试卷（人教A版选择性必修第三册）

**基本信息** 以5G手机销量统计、快递成本回归分析等真实情境为载体，原创题占比高，融合概率统计、导数应用等知识，考查数学建模与逻辑推理能力，体现用数学眼光观察现实世界的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、导数、正态分布|基础概念与图像分析结合，如第3题导函数图像判断单调性| |多项选择题|3/18|等比数列、独立性检验、概率分布|选项分层设计，如第10题医学研究列联表分析| |填空题|3/15|排列组合、二项式系数、导数应用|原创题第14题考查切线重合，融合导数几何意义| |解答题|5/77|概率积分、椭圆方程、立体几何、统计回归、导数综合|第18题快递成本回归建模，第19题导数极值点证明，注重数学思维与实际应用|

海南省海口市2025-2026学年下学期高二数学期末试卷 （人教A版选择性必修第三册） 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出集合，再求与的交集. 【详解】，即解得：，即. 已知，所以. 故选：A 2．若复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过复数除法化简求出，再根据共轭复数的定义得到 【详解】由题意得， 则. 3．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 【答案】C 【分析】根据导函数与原函数的关系判断AD，根据导函数的图象判断BC. 【详解】由题意，时，，单调递减，AD均错； 由的图象知在上单调递增，在上单调递减，是其极大值点，C正确，D错误. 4．的展开式中的系数为（   ） A． B． C．168 D．-168 【答案】C 【分析】利用二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】的通项为． 令，解得， 故的展开式中的系数为． 故选：C 5．某产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于96至104之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%，则需要较高的生产工艺，使得不超过（备注：若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据题意结合正态分布的性质可得，，从而得出的最大值. 【详解】因为产品质量指标服从正态分布，， 且质量指标介于96至104之间的产品为良品，良品率达到99.73%， 所以，， 解得， 所以不超过， 故选：D 6．某公司开发了两款智能模型和用于客服系统．测试期间，系统在第1天随机选择一款模型投入使用．若第1天使用模型，则第2天继续使用模型的概率为0.6；若第1天使用模型，则第2天切换到模型的概率为0.8．则第2天使用模型的概率为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【答案】C 【分析】根据全概率公式，代入求解，即可得答案. 【详解】设第2天使用模型为事件C，则. 7．5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若与线性相关，且经验回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．由题中数据可知，变量与正相关 B．在经验回归方程中 C．可以预测时该商场5G手机销量约为1.72千只 D．时，残差为 【答案】D 【分析】对于A，利用表中的数据分析即可求解；对于B，利用平均数的定义及样本中心，结合样本中心在回归直线上即可求解；对于C，利用回归方程即可求出预测值，对于D，利用预测值和残差的定义即可求解. 【详解】对于A，从数据看随的增加而增加，所以变量与正相关，故A正确； 对于B，由表中数据知，，， 可得样本中心点为，将样本中心点代入中， 得到，故B正确； 对于C，当时该商场5G手机销量约为（千只），故C正确； 对于D，经验回归方程为，所以， 则残差为，故D错误. 8．已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将存在个零点转化为函数与的图象有2个交点，先讨论与相切的情况，再将平移讨论的范围，数形结合即可求解. 【详解】若存在2个零点，则有2个解，即有2个解， 即函数与的图象有2个交点. 当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 先求与相切的情况： 设切点为，因为，所以，所以，所以切点为， 代入切线方程，得. 当时，直线与相切于点， 同时与有个交点，此时共2个交点； 当时，直线与有个交点， 与有个交点，共2个交点； 当时，直线与无交点，与有个交点，共个交点； 当时，直线与无交点，与无交点，共个交点； 综上，存在2个零点时，的取值范围是. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知等比数列的前n项和为，，，则下列正确的是（   ） A． B． C． D．数列是等差数列 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，求出数列的公比，再逐项求解判断. 【详解】在等比数列中，由，，得数列的公比， 通项， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，，数列不是等差数列，D错误. 故选：ABC 10．某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联，将120名高血压患者按年龄分为“中青年组（<60岁）”和“老年组（岁）”，记录用药后的疗效（“有效”“无效”），得到如下列联表： 患者 疗效 总计 有效 无效 中青年组 10 40 50 老年组 40 30 70 总计 50 70 120 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 则下列说法中正确的有（    ） A．若在“老年组”中按疗效分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，则至少抽到1名“无效”患者的概率为 B．从所有患者中随机抽取1人，设事件“该人在中青年组”，事件“该药对此人有效”，则事件A与B相互独立 C．根据小概率值的独立性检验，认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过 D．若将列联表中“中青年组有效”的人数改为15，“中青年组无效”的人数改为35，则所得值比原值大 【答案】AC 【分析】选项A，用分层抽样先确定抽出的“有效”和“无效”人数，再做组合概率；选项B，用独立事件定义检验是否等于；选项C，计算列联表的值，与临界值比较；选项D分别计算修改前后的值大小. 【详解】选项A，老年组中有效与无效的人数比为 按疗效分层抽样抽取7人，则应抽到：4人有效，3人无效， 再从这 7 人中随机抽取 2 人，至少抽到 1 名无效患者的概率为所以 A 正确； 选项B，设事件：表示“该人在中青年组”，事件：表示“该药对此人有效”， 则而 若相互独立，则应有 显然所以事件与不相互独立，B 错误； 选项C，由题中列联表， 所以 即 因为所以根据小概率值的独立性检验， 可以认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过，所以C正确； 选项D，若将“中青年组有效”改为 15，“中青年组无效”改为 35， 则新列联表中 此时 即，而原来的 所以修改后的值比原来的小，D 错误. 11．已知一个袋子中放有个不同的红球和个不同的黄球，现从中逐个摸取个小球．方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为．下列说法中，正确的有（   ） A． B． C．，其中 D． 【答案】AD 【详解】方案一中，有放回地摸球，每次取到红球的概率为， 摸次球，则取得红球个数， ∴，； 方案二中，不放回地摸球，取得红球个数服从超几何分布， 则，， 所以，，故A，D正确； 当时， ， ，即，故C错误； ， ∵ ，； ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故，故B错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．参加实践活动的2名教师和甲，乙，丙，丁4名志愿者站成一排合影留念，其中教师相邻，且甲，乙不相邻的方法有__________种 【答案】144 【分析】先将两位老师看作一个人，与丙，丁两人排列，再将甲，乙两人放进上述“3人”排列所形成的4个空位中，据此可得答案. 【详解】先将两位老师看作一个人并内部排序，再与丙，丁两人排列有种方法， 再将甲，乙两人放进上述“3人”排列所形成的4个空位中，有种方法， 故共有种排法. 13．若，则______. 【答案】 【分析】由题可知，再对等式两边求导后代入即可得到目标式的值． 【详解】， ， ， ， 令，可得． 14．已知，.当时，函数的单调递减区间为________；若与的图象在交点处的切线重合，则________. 【答案】 【分析】当时，直接求导，解导函数小于0在定义域内的解集即可求得答案；设与的图象的交点为，结合题意得，再解方程即可得答案. 【详解】根据题意，当时，， , 令，解得， 所以函数的单调递减区间为； 设与的图象的交点为， ，， 所以交点处的切线斜率为，， 因为与的图象在交点处的切线重合， 所以，整理得，即， 再将代入得，即，解得 所以. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动.每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分.已知选手甲正确回答每一道题的概率均为. (1)记X为“甲完成一局‘挑战答题’活动时回答的题数”，求的概率； (2)记Y为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，计算得结论； （2）记Z为“1天中参加‘挑战答题’活动获得的积分”，利用离散型随机变量的分布列和均值得，再利用均值的性质，计算得结论. 【详解】（1）记为“第个题目回答正确”，为“第个题目回答不正确”. 因为选手甲正确回答每一道题的概率均为，X为“甲完成一局‘挑战答题’活动时回答的题数”， 所以..........5分 （2）记Z为“1天中参加‘挑战答题’活动获得的积分”，则Z所有可能的取值为8，10..........6分 因为选手甲正确回答每一道题的概率均为， 所以 ，..........9分 ，.........10分 因此，..........11分 而，所以...........13分 16．（15分）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点为该椭圆的上顶点，且满足. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据椭圆特征得到椭圆方程； （2）设出直线，联立直线与椭圆方程，由弦长公式和面积公式得到方程，求出答案 【详解】（1）由题意得，，所以，则，..........2分 又因为离心率为，所以，..........3分 计算可得，所以，..........4分 所以椭圆的方程为...........5分 （2）根据题意，当直线的斜率为0时，无法构成三角形，..........6分 所以设直线的方程为，..........7分 联立方程组整理得到，..........8分 设，则，..........9分 所以，..........11分 点到直线的距离为，..........12分 所以的面积，..........13分 解得或，..........14分 故直线的方程为或...........15分 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，点在上，且. (1)求证，平面平面； (2)若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，证得，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面. （2）根据题意，证得，结合，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，可得，.........2分 又因为，且，平面，所以平面，..........4分 因为平面，所以平面平面...........5分 （2）解：因为，且，所以，..........6分 又因为，所以， 因为，所以为等腰直角三角形，可得，..........7分 取中点，连接，可得，所以， 由（1）可得， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，.........8分 如图所示， 由（1）可得，平面，可得为直线与平面所成角， 即，所以， 又由，可得， 所以，..........10分 可得， 设平面的法向量为，则，..........11分 取，可得，所以，..........12分 因为轴平面，所以平面的法向量，..........13分 设为二面角的平面角，且为锐角， 则，..........14分 二面角的余弦值为...........15分 18．（17分）快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈．某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本（单位：元）与当天揽收的快递件数即揽件量（单位：千件）之间的关系，对该网点近天的每日揽件量（单位：千件）与当日收发一件快递的平均成本（单位：元）（）的数据进行了初步处理，得到散点图及一些统计量的值． 表中，． (1)根据散点图判断与哪一个更适宜作为关于的经验回归方程类型？并根据判断结果及表中数据求出关于的经验回归方程； (2)已知该网点每天的揽件量（单位：千件）与单件快递的平均价格（单位：元）之间的关系是，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的经验回归方程解决以下问题： ①预测该网点某天揽件量为千件时可获得的总利润； ②单件快递的平均价格为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？ 附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】(1)更适宜作为关于的经验回归方程类型， (2)①元；②单件快递的平均价格元时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大. 【分析】（1）根据散点图可确定回归模型，令，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程； （2）设收发千件快递获利千元，可得；①将代入解析式即可求得；②利用导数可求得的单调性，进而确定最大值点，由此可得. 【详解】（1）由散点图可知：更适宜作为关于的经验回归方程类型；..........2分 令，则，..........4分 ，..........6分 关于的经验回归方程为：...........7分 （2）设收发千件快递获利千元，则；..........9分 ①当时，，即该网点某天揽收件快递可获得的总利润约为元．..........10分 ②，令，解得：，..........11分 当时，；当时，；..........12分 在上单调递增，在上单调递减，..........14分 当时，，此时；..........16分 单件快递的平均价格元时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大...........17分 19．（17分）已知函数为的导函数，记，其中为常数. (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点， ①求的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求出，分类讨论，利用，解不等式即可得解； （2）①先分析不合题意，再求出时函数在有两个极值点的必要条件，再此条件下分析即可得解；②对结论进行转化，只需证，换元后利用导数确定函数单调性，得出函数最值，即可得证. 【详解】（1）定义域为...........1分 ，，..........2分 ，3 当时，恒成立，在上单调递增，..........4分 当时，令，则，解得， 令，则，解得， 在单调递增，在单调递减...........6分 综上，当时，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，时，最多一个根，不符合题意，故，..........7分 函数有两个极值点， 在有两个不同零点的必要条件是， 解得，..........8分 当，在单调递增，在单调递减，..........9分 ，..........10分 由零点存在性定理得：在，各有1个零点， 的取值范围是...........11分 ②函数有两个极值点， ① ② ①②得：，.........12分 要证，即证，即证， 即证，..........13分 令，则，..........14分 令，则，..........15分 在上单调递增，，..........16分 在上成立， ，得证...........17分 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口市2025-2026学年下学期高二数学期末试卷 （人教A版选择性必修第三册） 学校：_________ 姓名：___________ 班级：___________ 分数：___________ 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．已知集合，，则（） A． B． C． D． 2．若复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 4．的展开式中的系数为（   ） A． B． C．168 D．-168 5．某产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于96至104之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%，则需要较高的生产工艺，使得不超过（备注：若，则（   ） A． B． C．1 D． 6．某公司开发了两款智能模型和用于客服系统．测试期间，系统在第1天随机选择一款模型投入使用．若第1天使用模型，则第2天继续使用模型的概率为0.6；若第1天使用模型，则第2天切换到模型的概率为0.8．则第2天使用模型的概率为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 7．5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若与线性相关，且经验回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．由题中数据可知，变量与正相关 B．在经验回归方程中 C．可以预测时该商场5G手机销量约为1.72千只 D．时，残差为 8．已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 9．已知等比数列的前n项和为，，，则下列正确的是（   ） A． B． C． D．数列是等差数列 10．某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联，将120名高血压患者按年龄分为“中青年组（<60岁）”和“老年组（岁）”，记录用药后的疗效（“有效”“无效”），得到如下列联表： 患者 疗效 总计 有效 无效 中青年组 10 40 50 老年组 40 30 70 总计 50 70 120 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 则下列说法中正确的有（    ） A．若在“老年组”中按疗效分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，则至少抽到1名“无效”患者的概率为 B．从所有患者中随机抽取1人，设事件“该人在中青年组”，事件“该药对此人有效”，则事件A与B相互独立 C．根据小概率值的独立性检验，认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过 D．若将列联表中“中青年组有效”的人数改为15，“中青年组无效”的人数改为35，则所得值比原值大 11．已知一个袋子中放有个不同的红球和个不同的黄球，现从中逐个摸取个小球．方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为．下列说法中，正确的有（   ） A． B． C．，其中 D． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．参加实践活动的2名教师和甲，乙，丙，丁4名志愿者站成一排合影留念，其中教师相邻，且甲，乙不相邻的方法有__________种 13．若，则______. 14．（原创）已知，.当时，函数的单调递减区间为________；若与的图象在交点处的切线重合，则________. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动.每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分.已知选手甲正确回答每一道题的概率均为. (1)记X为“甲完成一局‘挑战答题’活动时回答的题数”，求的概率； (2)记Y为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求. 16．（15分）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点为该椭圆的上顶点，且满足. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，点在上，且. (1)求证，平面平面； (2)若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 18．（原创）（17分）快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈．某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本（单位：元）与当天揽收的快递件数即揽件量（单位：千件）之间的关系，对该网点近天的每日揽件量（单位：千件）与当日收发一件快递的平均成本（单位：元）（）的数据进行了初步处理，得到散点图及一些统计量的值． 表中，． (1)根据散点图判断与哪一个更适宜作为关于的经验回归方程类型？并根据判断结果及表中数据求出关于的经验回归方程； (2)已知该网点每天的揽件量（单位：千件）与单件快递的平均价格（单位：元）之间的关系是，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的经验回归方程解决以下问题： ①预测该网点某天揽件量为千件时可获得的总利润； ②单件快递的平均价格为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？ 附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 19．（原创）（17分）已知函数为的导函数，记，其中为常数. (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点， ①求的取值范围； ②求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $命题双向细目表 海南省海口市2025-2026学年下学期高二数学期末试卷（人教A版选择性必修第三册）（双向细目表） 题号 题型 考查知识点 难度系数 分值 1 单选题 集合的基本运算（交集、并集、补集） 0.85 5 2 单选题 复数的四则运算、复数的模与共轭复数 0.85 5 3 单选题 导数的应用：利用导函数图像判断原函数的单调性与极值 0.75 5 4 单选题 二项式定理：二项展开式的通项公式、指定项的系数计算 0.75 5 5 单选题 正态分布：3σ原则、正态分布的概率计算 0.7 5 6 单选题 全概率公式：条件概率、全概率公式的实际应用 0.7 5 7 单选题 线性回归方程：经验回归方程的求解、性质与残差计算 0.7 5 8 单选题 函数的零点：利用导数研究函数单调性、根据零点个数求参数范围 0.55 5 9 多选题 等比数列的通项公式、前n项和公式、等差数列的判定 0.75 6 10 多选题 独立性检验：列联表、卡方统计量计算、独立性检验的应用、古典概型概率计算 0.7 6 11 多选题 二项分布、超几何分布的期望与方差、分布列的基本性质 0.65 6 12 填空题 排列组合综合应用：相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法 0.75 5 13 填空题 二项式定理：赋值法求二项展开式的系数和 0.75 5 14 填空题 导数的应用：利用导数求函数单调区间、导数的几何意义与切线方程 0.6 5 15 解答题 离散型随机变量的分布列、数学期望与方差：二项分布、独立重复试验的实际应用 0.75 13 16 解答题 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、三角形面积计算 0.7 15 17 解答题 空间面面垂直的判定、线面角与二面角的计算：空间向量的立体几何应用 0.65 15 18 解答题 非线性回归方程的求解、利润最值问题：导数在实际生活中的优化应用 0.6 17 19 解答题 导数的综合应用：利用导数研究函数单调性、极值点、不等式证明 0.45 17 合计 全卷共19题，覆盖选择性必修第三册全部核心考点 150 $