精品解析： 海南省海口市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

海口市2024～2025学年第二学期 高二年级期末考试（数学） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，已知，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 3. 已知向量，，若与的夹角为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 曲线在点处切线的斜率为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 120 6. 已知，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 某旅游公司规划一日游路线，从骑楼老街、荣山寮、万绿园、电影公社、假日海滩5个景点中选出3个依次游览，其中骑楼老街、荣山寮这2个景点不能连续游览，则不同的游览路线的种数为（ ） A. 36 B. 42 C. 48 D. 60 8. 在某次猜数字游戏中，答案是一个无重复数字的三位数．一位同学第一次猜318，只有一个数字猜对且在相对应的位置上；第二次猜329，只有一个数字猜对且不在对应的位置上；第三次猜128，只有一个数字猜对且在对应的位置上．根据上述信息，该同学第四次猜对的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. 是偶函数 B. 是减函数 C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若X服从0～1分布，且，则 D. 从5名学生（含学生甲）中随机选出2名学生代表，则学生甲被选中概率为 11. 若对恒成立，则k的值可能是（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，集合，则______． 13. 的展开式中的系数是______．（结果用数字作答） 14. ，的图象与直线，交于两个不同的点，，O为坐标原点，当的面积最大时，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知A，F是椭圆右顶点和左焦点，椭圆E过点，且焦距为2． （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线与E交于M点（不与B点重合），求的面积． 16. 已知数列的前n项和为，若点都在函数的图象上，且． （1）求数列，的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，求证：． 17. 如图1，正方形的边长为2，如图2，将正方形沿着对角线翻折，O为原正方形的中心． （1）证明：平面； （2）翻折至四面体的体积最大时． （ⅰ）求异面直线与所成角的大小； （ⅱ）求与平面所成的角的正弦值． 18. 高中数学试题多选题给出四个选项中有2个或3个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）． （1）若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分概率； （2）假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为． （ⅰ）求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率； （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？ 19. 记，，． （1）求，并证明：； （2）若，使得成立，求取值范围； （3）求函数的单调增区间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海口市2024～2025学年第二学期 高二年级期末考试（数学） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据复数的除法运算法则，可得. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力. 2. 在等差数列中，已知，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，已知，，则， 所以. 故选：D. 3. 已知向量，，若与的夹角为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求得，然后计算即可. 【详解】由题可知：，所以. 故选：B 4. 曲线在点处切线的斜率为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线在某点处导数几何意义判断. 【详解】由题可知：，所以. 故选：B 5. 如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】先选择秀英区与龙华区，然后分别对琼山区，美兰区与秀英区是否同色进行讨论，然后计算可得结果. 【详解】秀英区有4种选择，龙华区有3种选择， 当琼山区与秀英区同色，则美兰区有2种选择； 当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区同色，琼山区有2种选择； 当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区不同色，琼山区有2种选择，美兰区有1种选择； 所以不同的着色方法的种数为. 故选：C 6. 已知，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数单调性进行判断. 【详解】， ①；②. 所以实数a的取值范围为. 故选：A 7. 某旅游公司规划一日游路线，从骑楼老街、荣山寮、万绿园、电影公社、假日海滩5个景点中选出3个依次游览，其中骑楼老街、荣山寮这2个景点不能连续游览，则不同的游览路线的种数为（ ） A. 36 B. 42 C. 48 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】对两种特殊得地方进行讨论计算即可. 【详解】由题可知：选中骑楼老街、荣山寮其中1个景点：； 骑楼老街、荣山寮都没选：； 骑楼老街、荣山寮都选：； 所以骑楼老街、荣山寮这2个景点不能连续游览，则不同的游览路线的种数为. 故选：C 8. 在某次猜数字游戏中，答案是一个无重复数字的三位数．一位同学第一次猜318，只有一个数字猜对且在相对应的位置上；第二次猜329，只有一个数字猜对且不在对应的位置上；第三次猜128，只有一个数字猜对且在对应的位置上．根据上述信息，该同学第四次猜对的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析得知第一次猜对数字是8，它在个位上，9在十位或百位，由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】因为一位同学第一次猜318，只有一个数字猜对且在相对应的位置上；第二次猜329，只有一个数字猜对且不在对应的位置上，所以3不是密码中的数字； 第三次猜128，只有一个数字猜对且在对应的位置上，则1，2不是密码中的数字； 则第一次猜对数字是8，它在个位上，9在十位或百位， 若9在十位，则百位有四种情况； 若9在个位，则百位有五种情况； 所以可能的密码有9种，故所求为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. 是偶函数 B. 是减函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，单调性概念判断AB，代式计算可判断CD. 【详解】对A，函数得定义域为，，所以为偶函数，正确； 对B，函数得定义域为，为增函数，为减函数，所以是增函数，错误； 对C，，正确； 对D，，正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若X服从0～1分布，且，则 D. 从5名学生（含学生甲）中随机选出2名学生代表，则学生甲被选中的概率为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据二项分布、正态分布、0-1分布、古典概型的概念逐一进行判断即可. 【详解】对A，由，则，正确； 对B，由，， 则，正确； 对C，若X服从0～1分布，且，所以， 所以，错误； 对D，从5名学生（含学生甲）中随机选出2名学生代表，则学生甲被选中的概率为，错误. 故选：AB 11. 若对恒成立，则k的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】CD 【解析】 【分析】化简式子，换元可得，令，然后转化为恒成立，求解曲线图象相切且与y平行的直线，最后进行判断斜率大小即可. 【详解】由得，所以， 令，则， 令，， 由题意可知恒成立． 设与图象相切且与直线平行的直线为，切点， 所以，，即，切点， 又因为，过点， 由，解得， 由恒成立得，CD正确． 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，集合，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求得集合，然后根据交集概念运算. 【详解】由，，所以. 故答案为： 13. 的展开式中的系数是______．（结果用数字作答） 【答案】14 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项公式，由题意求出，代入通项计算即得. 【详解】二项式的展开式通项为：， 令，可得，则展开式中的系数是. 故答案为：14. 14. ，的图象与直线，交于两个不同的点，，O为坐标原点，当的面积最大时，______． 【答案】 【解析】 【分析】表示出，然后求导判断即可. 【详解】如图所示， ，， 如图： 令， 则； 令，则 所以S在单调递增，在单调递减. 当的面积取最大值时，， 即，所以． 因为，． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知A，F是椭圆的右顶点和左焦点，椭圆E过点，且焦距为2． （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线与E交于M点（不与B点重合），求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得：，方法一：代入点解得，，即可得方程；方法二：根据椭圆的定义可得，即可得方程； （2）由题意可得直线方程为，联立方程结合弦长公式可得，结合点到直线的距离公式求面积. 【小问1详解】 因为焦距为，即， 方法一：由题意可得：，解得，， 所以椭圆方程． 方法二：由题意可知：，右焦点，则， 可得， 即，可得， 所以椭圆方程． 【小问2详解】 因为，，直线方程为，即， 联立方程，消去y可得，解得或， 可得， 且到直线的距离为， 所以的面积． 16. 已知数列的前n项和为，若点都在函数的图象上，且． （1）求数列，的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意求出数列通项公式，再根据等差数列前n项和公式，求出，再由即可求的通项公式； （2），由等比数列前n项和公式，求出，再由函数单调性即可证明. 【小问1详解】 因为点都在函数的图象上，所以， 又，， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以， 又，所以． 所以. 【小问2详解】 ， 因为，，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以． 因为，函数是增函数， 所以时，最小值为，， 又，所以，所以． 17. 如图1，正方形的边长为2，如图2，将正方形沿着对角线翻折，O为原正方形的中心． （1）证明：平面； （2）翻折至四面体的体积最大时． （ⅰ）求异面直线与所成角的大小； （ⅱ）求与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）依据条件得到，，然后利用线面垂直判定定理可得； （2）（i）方法1：分别取，的中点，记为E，F，然后找到或其补角为异面直线与所成角，然后计算相关线的长度计算；方法二：建立空间直角坐标系，计算，，然后利用空间夹角公式计算即可；（ii）计算以及面的一个法向量，然后计算. 【小问1详解】 证明：在图中，连接，， 因为和都是等腰三角形，且O是正方形中心， 所以，，，，平面， 所以平面． 【小问2详解】 在翻折过程中，四面体的体积取最大值时，D点到平面的距离最大， 此时平面平面， 因为，所以平面． 方法1：（ⅰ）在四面体中，取，的中点，记为E，F，连接，，． 因为为的中位线，所以且， 同理且， 所以或其补角为异面直线与所成角，且，， 由前知，平面，所以． 又，，所以， 所以为等边三角形，， 所以异面直线与所成角的大小为． 方法2：（ⅰ）所以，，两两垂直，如图，以O为坐标原点， ，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 因为正方形的边长为2， 所以，，，， ，， 设异面直线与所成角为，， 因为，所以． （ⅱ）因为，，， 设平面的一个法向量， 因为，即， 令，则，，得， 设与平面所成角为，， 即与平面所成的角的正弦值为． 18. 高中数学试题多选题给出的四个选项中有2个或3个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）． （1）若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分的概率； （2）假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为． （ⅰ）求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率； （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？ 【答案】（1） （2）（i）；（ii）建议作答时选择2个或者3个选项 【解析】 【分析】（1）按照古典概型公式计算； （2）（ⅰ）按照全概率公式计算；（ⅱ）分别按照选1个选项、选2个选项、选3个选项得分的所有可能结果，然后求出对应的概率，分别计算这3种情况的学期望进行比较即可. 【小问1详解】 记“随机选择2个选项得6分”为事件A． 从4个选项中任选2个选项，样本空间共种等可能结果， 正确选项1种可能，所以，即随机选择2个选项得6分的概率为． 【小问2详解】 （ⅰ）记“四个选项中有i个选项符合题目要求”为事件， “选择1个选项时得0分”事件B． 则有，， ，， ，即选择1个选项时得0分的概率为． （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下． 选1个选项时，得分X的可能取值为0，2，3， ，，， 所以得分期望， 选2个选项时，得分Y的可能取值为0，4，6， 同理可得，，， 所以得分期望为， 选3个选项时，得分Z的可能取值为0，6， 同理可得，， 所以得分期望为， ，建议作答时选择2个或者3个选项． 19. 记，，． （1）求，并证明：； （2）若，使得成立，求取值范围； （3）求函数的单调增区间． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）代值计算可得，分别计算，然后两式相加即可； （2）分离参数，，构建关于的函数，求导判断即可； （3）求导可得，换元，代入，然后根据值作出判断即可. 【小问1详解】 由题意，， ， 证明：要证， 只需证， 由于 ①， ②， ①＋②得， 即， 得证； 【小问2详解】 存在，使得成立， 即的最大值， 由题知，， 令，，， 即，解得（舍去），， ，，单调递增， ，，单调递减， 的最大值为，即； 【小问3详解】 ，， 令，，，， ，，， 当时，， 当，， 当，， 又最多只有三个解且， 由三次函数图象，，，， 的单调增区间是，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $