山东德州市2025-2026学年高三下学期4月学习质量综合评估数学试题

高三年级4月学习质量综合评估 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 6 答案 B 二、选择题：本题共3小题， 每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AC ABC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.240:13.号：14.92s 四、解答题：共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】 (I)过A,D分别作直线BC的垂线，垂足分别为E,F,易知tan∠ABE= 因为AB=√5，所以AE=1,BE=2,…3分 所以CE=CB+BE=6, 在直角△AEC中，tam∠4CE=5_1. …6分 CE 6 (2)在直角△AEC中，由勾股定理知AC2=AE2+EC2=37. 在直角△DCF中，因为cos∠BCD=?,CD=5,所以FC=3,FD=4. 于是有AD2=(DF-AE)2+EF2=18,…10分 在△ACD中，由余弦定理可知cos∠CDA=CD+A4D-4C_V2 2CD·AD 10 所以cos∠CDA的值为 ……13分 10 16.【解析】 (I)设点A到平面BCD的距离为h, =×1BD-BC.sin∠DBC.h=5h, 则Vm=32 3 数学试题答案第1页（共4页） 又因为三棱锥A-BCD的体积为 ,所以h=1:…3分 3 又DA⊥AC,O是线段CD的中点，所以OA=CD=1, 所以OA⊥平面BCD, 又OAC平面ACD,所以平面ADC⊥平面BDC. …6分 (2)以O为坐标原点，OB,OD,OA分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系，门分 则O0,0,0),A0,0,),B5,0,0),C(0,-1,0), 所以BC=(-V3,-1,0),AC=(0,-1,-1), 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), n.BC=0(-3x-y=0 mC=0'即 则 -y-z=0 取x=1,则y=z=√5，所以n=1,-√5，√3)，… ·10分 因为AP=1AC,Op=OA+AP=OA+AC=(0,-元，1-2)，…12分 设直线OP与平面ABC所成的角为0， 则sin0=cos<Op,n> OP.n 5 V42 10plnl√万.√222-2元+1 ，解得：2= 故2的值为 …15分 17.【解析】 1 (1)由题意可知f'(x)=二-cos(1-x), 因为xe(0,1川，所以f9=1-cos1-≥0恒成立， …3分 所以f(x)在(0，单调递增， 所以f(x)x=f)=0, 所以f(x)在(0,1]最大值为0.…6分 1 (2)由(1)知x∈(0，l],sin(l-x)+lnx≤0，即sin(1-x)≤ln-.…8分 令x=10,,其中≥2，i∈N 数学试题答案第2页（共4页） 则sin子≤n子-na-1G+0 -=In- …11分 1 1 1 所以sin2京+sin京++sin 2232 -<ln 3 1×32×4(n-1)(n+1) In …15分 n+1 Vx2+0y-22)2 18.【解析】(1)设T(x,y),由题意可知 =2, y-2 …2分 化简整理得：尸-2=4，故C的方程为上 =1.…4分 44 (2)(i)由题意可知A(0,-2),设G(x,y),H(x2,y2),M(xMyM), 则直线4G:y=+2x-2,直线：y=公+ x-2, 因为M在直线1上，所以w=1,代入直线4G方程，可知w=《+2 y+2, 故点M的坐标为 (t+2)x 出+2 同理可得点N的坐标为 (t+2)x2 .f h+2 …6分 当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意， 故设直线GH:y=:+1,代入双曲线方程上 =1中， 44 可得(K2-1)x2+2+t2-4=0, -2kt t2-4 所以+名二，西’ …8分 又y+2)y2+2)=(+t+2)x2+t+2) +k+2+++2=2二k0+2+2+29 k2-1 所以0M.0N=uw+w-0+2X+2 亿+2》X3+=4.…10分 (ii)由O,A,N,M四点共圆可知，∠ANM+∠AOM=元， 又∠MOP+∠AOM=元，即∠ANM=∠MOP, 故an∠AWM=tan∠MoP=1 tan∠OMP 即kk 1 ,所以kaw 'kou=1.…13分 数学试题答案第3页（共4页） 所以 ，又kw=k=上+2， 由k4N·kOM=1, 则 0+2.2+2=1, (t+2)x1x2 整理可得+2-%+2，+2 …15分 xX, -(t+2)2 所以1+2-0+20，+2).2-1-4+2)-0+2) t2-4t2-4t-2 (t+2≠0)， t XX2 k2-1 故t=2-t,即t=1,所以点P坐标为(0，l).…17分 19.【解析】 (1)记：事件A为“甲获得冠军”，事件B为“乙获得冠军”，则P()=0.62,…2分 由对称性知：除甲以外的所有选手获得冠军的概率相同， 因此P(A)+(22-1)P(B)=1,… …4分 解得P(B)=-0.6=16 22-175 16 所以乙获得冠军的概率为 …5分 (2)由对称性不妨设甲编号为1，若乙在第k轮比赛中与甲对战，则抽签时乙的编号 2<x≤2，其概率为 2-1 2"-1 …7分 甲和乙在第k轮之前不被淘汰的概率分别为p,2京， 所以9k=2”-1 9分 所以24，=p 1-p” 2”-1(1-p)2”-1) …11分 k=1 该结果表示甲与乙在整场比赛中对战过的概率。… …12分 (3)设P表示甲与乙在第k轮比赛对战过且乙获得冠军的概率， 12·p-(1-p) 则p4=9k1-p)小2= 2"(2”-1） …15分 所以mn-文a22 …17分 数学试题答案第4页（共4页）保密★启用并使用完毕前 高三年级4月学习质量综合评估 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位 置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.己知集合A={x|-1≤x≤3}，B={x|(x+1)(x-3)≥0}，则 A.A∩B=O B.AUB=R C.AcB D.BCA 2.设复数z满足(z+)-2(z-)=2+4i,则z= A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 3.己知向量u,b满足|a=1,b-2a=23,a(b-20=0,则|b= A.2 B.2W5 C.4 D.3√5 1 4。已知圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，圆柱的高是圆锥高的)则圆 柱和圆锥的体积之比为 A.6 B.3 C.2 D.1 5.一组不全相等的数据，x,x3,x4,的平均数为x,方差为5：设新数据 x1,x3,,x4,x5,x的平均数为，方差为5，则 A.x> B.V>x C.5>5 D.s 6.己知a,b为正实数，则“a>b”的充要条件可以是 A.ac>bc B.a>b c.a+>b+ D.a+Ina>b+Inb 数学试题第1页（共4页） 7.己知sin(50°+θ)+sin(50°-θ)+sin10°+)=0，则tan0= A.3 B.-3 C.5 3 3 D.-V5 8.若存在a>0,对任意的x∈(0，+0)，都有nx+2a-b a≥0，则当b取到最 大值时，a的值为 A.1+In2 B.2+ln2 C.In2 D.2In2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分。 9.下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量y(单位：亿吨)与年 份代码x(1-5分别对应2021-2025)的相关数据.根据表中数据求得y关于x的 经验回归方程为)=bx+7,则 A.x与y正相关 12 1825 30 34 B.回归直线过点(3,24) C.b=5.6 D.预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨 10.如图，函数f()=2sin(aox+p)(o>0,pk的图象上 有40，-0.B-0丙点，则 A.Q=-T B.0=2 C,在区间（爱上单调递减 D.+受)为偶函数 11.正三棱锥S-ABC中，AB=3W互，SA=3,点M在底面△ABC内运动（含 边界)，M到棱SA,SB,SC的距离分别为d,d2,d,若d+d+d=10,则 A.S-AC的体积为号 B.S-ABC外接球的体积为27π C.wMs=√5 D.M的运动路径的长度为√2π 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知(2-x)》的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的常数 项为 1。已知抛物线=2>0的焦点吲0)，过抛物线上一点P作其准线的 垂线，垂足为Q,若∠FPQ= 子.则PQ1的长度为 14.从1,2,3，，49这49个数中取25个数，使得任意两个数之和既不等于49 也不等于50，则这25个数字之和为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(本小题满分13分) 在凸四边形ABCD中，己知AB=V5,BC=4,CD=5,tan∠ABC=-】 cos∠BCD=3 (1)求tan∠ACB的值： (2)求coS∠CDA的值. 16.（本小题满分15分) 如图，三棱锥A-BCD的体积为5 ,△BCD是边长为2的等边三角形， AD⊥AC,O是棱CD的中点，AP=2AC,其中0<<1. (1)证明：平面ACD⊥平面BCD； (2)若直线OP与平面ABC所成角的正弦值为√4 求的值. 7 17.(本小题满分15分) 己知函数f(x)=sin自-x)+lnx. (1)求f(x)在(0，]上的最大值； (2)证明：sin+9 1, n 数学试题第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中，点T到点(0,2√2)的距离是它到直线y=√2距离 的√2倍，记点T的轨迹为C. (1)求C的方程： (2)设点A为C的下顶点，直线1过点P(0,t)且垂直于y轴(P位于原点与 上顶点之间)，过P的直线交C于G,H两点，直线AG,AH分别交l于M,N 两点 (i)证明：OM.ON为定值； (i)是否存在实数t使得O,A,N,M四点共圆？若存在，求出t的值；若不 存在，请说明理由. 19.(本小题满分17分) 某社区举行乒乓球比赛，现有甲、乙等2”(n≥2，n∈N)名选手参加.规则如 下，将所有选手随机编号为1,2,3，…，2”，第一轮1号与2号对战，3号与4 号对战，以此类推，共决出2”-1名胜者进入第二轮；第二轮1号与2号的胜者 和3号与4号的胜者对战，以此类推，决出2”-2名胜者进入第三轮；最终有2 名胜者进入第n轮对战，第n轮对战的胜者即为整场比赛的冠军.己知甲选手 与其他选手对战时，甲获胜的概率为p(卫>0.5)；其余选手两两对战时，双方 获胜的概率均为05；比赛没有平局，且每场比赛结果相互独立。 (1)若n=2,p=0.6,求乙获得冠军的概率； (2)记，为甲和乙恰在第k1<k≤m轮比赛中对战的概率，求之g: (3)记P(n,p)为甲和乙对战过且乙获得冠军的概率，求P(n,p). 数学试题第4页（共4页）+ 绝密★启用并使用完毕前 高三年级4月学习质量综合评估 数学答题卡 姓名 贴条形码区 准考证号 由考生本人负责粘贴 必 1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号、座号， 考生禁填 并将条形码粘贴在指定位置上。 意 2.选择题答案必须使用2B铅笔按（填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写， 缺考标记☐ 事 字体工整、笔迹清晰。 项 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 缺考考生由监考员粘贴条形码， 保持卡面清洁、不折叠、不破损。 并用2B铅笔填涂该缺考标记。 选择题答题区域（须用2B铅笔填涂） 填涂样例 错误填涂☒☒✉☑三 正确填涂☐ 选择题（每题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A1[B][c][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 选择题（每题6分，共18分） 9[A][B][c][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 非选择题答题区域 (须用0.5毫米的黑色签字笔书写) 填空题（每题5分，共15分） 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 数学第1页共8页 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ 数学第2页共8页 2 邀黄姓名 座号 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座号的每个书写框只能填写 一个阿拉伯数字。 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 16.（本小题满分15分) 0 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 数学第3页共8页 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 Ξ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ 口 数学第4页共8页 十 绝密★启用并使用完毕前 高三年级4月学习质量综合评估 数学答题卡 姓名 座 号 贴条形码区 准考证号 由考生本人负责粘贴 非选择题 (须用0.5毫米的黑色签字笔书写) 18.（本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 数学第5页共8页 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请接上一页继续作答 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ 数学第6页共8页 4 多美 姓名 座号 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座号的每个书写框只能填写 一个阿拉伯数字。 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.（本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 数学第7页共8页 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请接上一页继续作答 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ 数学第8页共8页