专题03 函数导数综合（期末真题汇编，江西专用）高二数学下学期北师大版

**基本信息** 聚焦函数导数综合应用，汇集江西多地高二期末真题，覆盖六大核心考点，梯度设计适配期末复习与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|15题|函数奇偶性、导数求切线、极值最值、不等式恒成立、零点问题、新定义|梯度设计：从基础证明（如奇函数判定）到综合应用（如零点个数讨论），贴合高考命题趋势，融入跨考点综合题（如导数与不等式证明结合）|

专题03 函数导数综合 高频考点概览 考点01函数的综合 考点02利用导数求切线方程和判断单调性 考点03 利用导数求函数的极值和最值 考点04 利用导数研究不等式恒成立问题 考点05 利用导数研究函数零点问题 考点06 函数新定义问题 1．(24-25高二下·江西·期末)已知函数． 考点01 函数的综合 (1)证明：是奇函数； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围． 2．(24-25高二下·江西赣州·期末)已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值，并判断的单调性（不需要证明）； (2)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 3．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知函数 (1)解关于x的不等式； (2)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 4．(24-25高二下·江西赣州·期末)已知，. (1)解不等式：； (2)若使得，，成等比数列，求实数m的取值范围. 考点02 利用导数求切线方程和判断单调性 1．(24-25高二下·江西萍乡·期末)已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 2．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知函数 (1)直线在处与函数相切，求实数的值； (2)若在上单调，求实数的取值范围． 考点03 利用导数求函数的极值和最值 1．(24-25高二下·江西定南中学·期末)已知函数 (1)求函数的单调区间． (2)求函数的极值. 3 0 0 增 极大值 减 极小值 增 2．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)已知函数 (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最小值. 3．(24-25高二下·江西上进联考·期末)已知函数 (1)求的极值； (2)若过点可作3条直线与的图象相切，求的取值范围． 4．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)已知曲线在点处的切线的斜率为0，且当时，函数取得极值． (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围． 5．(24-25高二下·江西上饶·期末)已知函数 (1)求曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积； (2)求在上的单调性与最值． 6．(24-25高二下·江西吉安·期末)已知函数 (1)求的单调区间和极值； (2)证明：. 7．(24-25高二下·江西新余·期末)已知函数，为的导函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极值，求的单调区间和最值． 考点04 利用导数研究不等式恒成立问题 1．(24-25高二下·江西新余·期末)已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)设函数有两个极值点，． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 2．(24-25高二下·江西抚州·)已知函数 (1)若函数在处取得极值8，求函数在区间上的值域； (2)是否存在实数，对任意的，且，有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 3．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为?若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，请说明理由． 4．(24-25高二下·江西萍乡·期末)已知函数，，. (1)求的极值； (2)若恒成立，求的取值范围. 5．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. (1)求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 6．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知函数，（） (1)讨论的单调性； (2)如果时，恒成立． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）若正实数、（）满足，证明：． 7．(24-25高二下·江西定南中学·期末)已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时恒成立，求实数b的最小值． (3)当时，方程有5个解，求m的取值范围． 考点05 利用导数研究函数零点问题 1．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若，讨论方程的根的个数. 2．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设是的两个零点，证明：． 3．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若函数，证明：. 4．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：时，； (3)判断函数的零点个数. 考点06 函数新定义问题 1．(24-25高二下·江西上进联考·期末)已知定义在上的函数的导函数为，且满足，记． (1)若，写出一个符合条件的函数，使得的值域中只有1个元素，并求出该元素； (2)若，证明：； (3)已知，判断是否存在，使得，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 2．(24-25高二下·江西赣州·期末)对于函数，若存在区间，使得当时，的值域是（），则称函数为“k倍区间函数”， 为函数的一个“k倍区间”.已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数在区间上是“k倍区间函数”，求k的取值范围； (3)判断函数在区间内是否存在“2倍区间”，并说明理由.（注：） 3．(24-25高二下·江西萍乡·期末)若函数满足：在定义域内，对任意实数，，使成立，则称为上的“函数”. (1)判断函数是否为上的函数，并说明理由； (2)若函数是上的函数，求实数的取值范围； (3)已知函数是上的函数，且，，当时，都有成立，求实数的最大值. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数导数综合 高频考点概览 考点01函数的综合 考点02利用导数求切线方程和判断单调性 考点03 利用导数求函数的极值和最值 考点04 利用导数研究不等式恒成立问题 考点05 利用导数研究函数零点问题 考点06 函数新定义问题 1．(24-25高二下·江西·期末)已知函数． 考点01 函数的综合 (1)证明：是奇函数； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围． 【详解】（1）证明：由题得， 故，则的定义域为，关于原点对称， 又因为， 所以是奇函数． （2）因为， 当时，单调递减，且在定义域上为增函数， 故在区间上单调递减， 同理可得在区间上单调递减． 因为在区间上单调递减， 所以或，解得或， 所以的取值范围是． 2．(24-25高二下·江西赣州·期末)已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值，并判断的单调性（不需要证明）； (2)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数， 所以，得， 又，即，得， 则，经检验符合题意. 又，所以是减函数. （2）由在时恒成立， 因为是单调递减的奇函数. 所以，即在时恒成立， 所以， 又，当且仅当时等号成立 所以. 3．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知函数 (1)解关于x的不等式； (2)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 【详解】（1），即， 当时，即，解集为； 当时， 当，即时，， 因为，所以解集为或. 当，即时，， 因为，所以解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或. （2），即， 因为恒成立，所以， 设，则， 所以， 因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号， 所以当时，．即. 4．(24-25高二下·江西赣州·期末)已知，. (1)解不等式：； (2)若使得，，成等比数列，求实数m的取值范围. 【详解】（1），即， 所以， 由单调性知， 解不等式，即，得， 所以，又因为， 所以原不等式的解集为； （2）因为是与的等比中项， 所以，代入得， 即， 则. 因为，所以， 设，由辅助角公式得， 所以且 所以，即. 考点02 利用导数求切线方程和判断单调性 1．(24-25高二下·江西萍乡·期末)已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，     则，，即切线斜率为0，         所以曲线在点处的切线方程为. （2），             若在上单调递增，则在上恒成立，     即，， 令，，             当时，，单调递增，         故当时，取得极小值，也是最小值，且，         所以实数的取值范围为. 2．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知函数 (1)直线在处与函数相切，求实数的值； (2)若在上单调，求实数的取值范围． 【详解】（1）解：因为函数，所以. 所以. 所以函数在处的切线的斜率为. 由题可知：就是函数在处的切线方程.所以,所以 又切线过点,所以即所以 所以 （2）解:因为在上单调，或在上恒成立. 因为，且恒成立，所以或在上恒成立， 所以或在上恒成立.所以或. 所以的取值范围是： 考点03 利用导数求函数的极值和最值 1．(24-25高二下·江西定南中学·期末)已知函数 (1)求函数的单调区间． (2)求函数的极值. 【详解】（1）因为， 则， 令，可得或，列表如下： 3 0 0 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为和，减区间为； （2）由（1）可知， 函数的极大值为， 极小值为. 2．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)已知函数 (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最小值. 【详解】（1）函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. （2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为. 因为，所以， 所以函数在上的最小值为1. 3．(24-25高二下·江西上进联考·期末)已知函数 (1)求的极值； (2)若过点可作3条直线与的图象相切，求的取值范围． 【详解】（1）因为，所以． 令，得或， 则当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极大值，且，当时，取得极小值，且， 所以的极大值为，极小值为0． （2）设过点的直线与的图象切于点，切线斜率， 则该切线的方程为， 把代入方程并整理得， 由过点可作3条直线与的图象相切， 则关于的方程有3个不同实根， 设， 则， 令，得或， 所以， 所以或且， 所以的取值范围是． 4．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)已知曲线在点处的切线的斜率为0，且当时，函数取得极值． (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围． 【详解】（1）由题得：，结合题意可得: ，解得， 可得：，． 当，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增， 所以当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 故函数取得极大值为，极小值为 （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以在时有最小值， 所以要使不等式能成立，则．所以 故取值范围是． 5．(24-25高二下·江西上饶·期末)已知函数 (1)求曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积； (2)求在上的单调性与最值． 【详解】（1）因为，所以，所以， 解得，而， 所以曲线在处的切线为， 令，解得，令，解得， 故所求为； （2）由（1）可知，设， 求导得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而， 注意到， 所以在上的最小值为，最大值为. 6．(24-25高二下·江西吉安·期末)已知函数 (1)求的单调区间和极值； (2)证明：. 【详解】（1）， 令，解得，令，解得， 故在的单调增区间为，单调减区间为 由此可得在处取得极大值，无极小值 （2）要证明，只需证明，即证明 令，则， 令，得，且当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故在处取最大值，即， 所以，故. 7．(24-25高二下·江西新余·期末)已知函数，为的导函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极值，求的单调区间和最值． 【详解】（1）当时，， 则，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由，，则， 所以， 则， 因为函数在处取得极值， 所以，解得， 此时， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，函数取得极小值，满足题意，即， 则函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，函数取得最小值，无最大值. 考点04 利用导数研究不等式恒成立问题 1．(24-25高二下·江西新余·期末)已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)设函数有两个极值点，． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 【详解】（1）由定义域为，且， 令得，或， ①当时，，，单调递增， ，，单调递减， ，，单调递增， ②当时，，在单调递增， ③当时，，，单调递增， ，，单调递减， ，，单调递增， 综上： 当时，的单调递增区间为、，的单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为、，的单调递减区间为. （2）（i）由已知，，则， 函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根， 令，只需，故， （ii）由（i）知，，，且， ， 要证，即证，只需证， 令，，则， 因为恒成立，所以在上单调递减， 又，， 由零点存在性定理得，使得，即， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 则 ， ∵在上显然单调递增， ∴， ∴，即，得证． 2．(24-25高二下·江西抚州·)已知函数 (1)若函数在处取得极值8，求函数在区间上的值域； (2)是否存在实数，对任意的，且，有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【详解】（1）对函数求导得， 则有，， 解得或，对应的或. 当时，， 此时函数在定义域上单调递增，没有极值，所以不合题意. 当时，， 当时，或；当时，. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 且，所以在处取得极值，所以满足题意. 在区间上，函数在上单调递增，在上单调递减. 此时函数的最大值为，而. 所以函数在区间上的值域为. （2）对任意，且，有恒成立， 若，则有恒成立；，则有恒成立； 令，则在上单调递增，所以恒成立. 因为，所以在恒成立， 当时，， 所以在恒成立，所以. 所以存在实数，对任意，且，有恒成立，此时. 3．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为?若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）∵是幂函数，∴得，解得：或， 当时，，不满足， 当时，，满足， ∴故得，函数的解析式为； （2）由函数，即，令， ∵，∴，记，其对称轴在， ①当，即时，则， 解得：，此时满足，保留； ②当时，即， 则，解得：，此时不满足，舍去； ③当时，即时， 则，解得：，此时不满足，舍去； 综上所述，存在使得的最小值为0； （3）由函数在定义域内为单调递减函数， 若存在实数，使函数在上的值域为， 则， 由两式相减可得： ， 所以有，代入可得： ，令， 因为，， 即，， 所以，即，则， 而．故得实数的取值范围. 4．(24-25高二下·江西萍乡·期末)已知函数，，. (1)求的极值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）由题，             令得，             且时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，有极小值为.   故极小值为，无极大值. （2）由恒成立，         令，，则，     令，，则，所以在上单调递增， 又，，所以，使得，即，且，则，                 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，     因为恒成立，即，即. 所以的取值范围为. 5．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. (1)求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为，是奇函数，是偶函数， 则，可得， 联立方程，解得，. （2）因为，即， 又因为，令，则， 可得，整理可得， 原题意等价于在上恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，即， 所以实数的取值范围为. 6．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知函数，（） (1)讨论的单调性； (2)如果时，恒成立． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）若正实数、（）满足，证明：． 【详解】（1）依题意可得的定义域为， 由， 当时，恒成立，此时在上单调递增； 当时，， 令，则， 则令时，得和， 此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2）（ⅰ）根据（1）当时，在上单调递增，且， 所以时，恒成立； 当时，， 则时，成立， 此时在上单调递减， 所以当时，， 所以时，不恒成立． 综上，实数a的取值范围为． （ⅱ）证明：不妨设， 根据（ⅰ），且、满足，得， 由在上单调递增， 则， 又， 所以只要证明，即证明即可． 设， 则， 所以在上单调递增， 又，所以当时，成立， 即当时，成立， 即成立， 即成立． 7．(24-25高二下·江西定南中学·期末)已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时恒成立，求实数b的最小值． (3)当时，方程有5个解，求m的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 依题意，，即恒成立， 令函数，求导得， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 即，因此， 所以的最小值为. （3）由方程， 所以或 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，， 当时，， 当时，， 则当时，由上可得此时方程有两个解， 为了使得方程有5个解， 则，解得. 考点05 利用导数研究函数零点问题 1．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若，讨论方程的根的个数. 【详解】（1）的定义域为，则， 因，由，解得， ①当时，恒成立， 所以的无递增区间，递减区间为； ②当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； ③当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述， 当时，无递增区间，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； （2）由题设， 令，则，即在上单调递增， 故上式中满足，则有，可得，    令，则，由解得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，且，当时，， 故. 结合图象，可知， 当时，方程有0个实根； 当或时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 2．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设是的两个零点，证明：． 【详解】（1）解：由，得， 设，则，， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，所以， ， ， 所以a的取值范围是． （2）证明：不妨设， 由（1）知，则，，， 又在上单调递增， 所以等价于，即． 设， 则． 设，则， 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，又因为，，， 所以存在，使得，当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，， 所以当时，，当时，， 所以当时，，单调递减， 因为，所以， 所以，即原命题得证． 3．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若函数，证明：. 【详解】（1）由题意，，， 在中，， ①当时，，函数在单调递减， ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意及（1）得，，， 在中，， ∵有两个零点， ∴，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为． ∵当时，；时，， ∴要函数有两个零点，当且仅当． 在中，， ∴函数在单调递增． ∵， ∴当时，， ∴a的取值范围是． （3）由题意，（1）及（2）证明如下，，， 在中，， 在中， ，， ∵为指数函数单调递增，为反比例函数单调递减， ∴在上单调递增， 又，， ∴存在使得，即，即，即， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 因为对勾函数函数在上单调递增， 所以， 所以. 4．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：时，； (3)判断函数的零点个数. 【详解】（1）函数，求导得， 则，而， 所以所求切线方程为，即. （2）不等式， 令函数，即， 而，求导得 ，则函数在上单调递增，， 所以. （3）函数的零点个数，即方程根的个数， 而时，方程不成立，则原函数零点个数即为方程根的个数， 令，原函数零点个数即为函数的零点个数， 当时，，而，则， 因此函数在时无零点； 当时，，函数在上单调递增， ，因此函数在时只有一个零点0； 当时，令，求导得， 显然函数在上单调递增，而，， 则存在使得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，又， 则存在，使得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，因此函数在上只有一个零点； 当时，，即， 因此函数在时无零点， 所以函数有2个零点，即函数的零点个数为2. 考点06 函数新定义问题 1．(24-25高二下·江西上进联考·期末)已知定义在上的函数的导函数为，且满足，记． (1)若，写出一个符合条件的函数，使得的值域中只有1个元素，并求出该元素； (2)若，证明：； (3)已知，判断是否存在，使得，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）取，则， 则， 故的值域中只有1个元素3．（答案不唯一） （2）因为， 所以， 设，则， 所以在区间上单调递减， 因为， 所以存在，使得，即， 当时， 在上单调递增， 当时， 在上单调递减， 所以． （3），因为，，所以不可能小于1， 下面证明的最小值为1： 因为，所以， 当时，， 所以，即， 即， 设， 则， 则在区间上单调递增， 所以， 所以存在，使得，且的最小值为1． 2．(24-25高二下·江西赣州·期末)对于函数，若存在区间，使得当时，的值域是（），则称函数为“k倍区间函数”， 为函数的一个“k倍区间”.已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数在区间上是“k倍区间函数”，求k的取值范围； (3)判断函数在区间内是否存在“2倍区间”，并说明理由.（注：） 【详解】（1）由求导得， 令，求导得恒成立，即在上单调递增. 又，故当时，，即，即的单调递减区间是； 当时，，即，即的单调递增区间是. （2），因为在区间上是“k倍区间函数”， 则存在区间，使得的值域是（）. 因，当时，，则在上单调递增， 则，即方程在上有两个不同的根， 即在上有两个不同的根， 令，求导得， 则在单调递减，在单调递增，在处取得极小值 当时，，当，. 要使与在上有两个不同的交点，需使，解得， 即k的取值范围是； （3）假设函数在区间内存在“2倍区间”. 因为在上单调递增，所以，即. 令，则在至少有两个实根， ，令，，所以在单调递增. ，， 所以存在唯一的，使得，即，则 当时，有，即，所以在上单调递减； 当时，有，即，所以在上单调递增. 所以在处取得极小值， 因函数在单调递减，且， 故， 即在上没有实根， 所以函数在区间内不存在“2倍区间”. 3．(24-25高二下·江西萍乡·期末)若函数满足：在定义域内，对任意实数，，使成立，则称为上的“函数”. (1)判断函数是否为上的函数，并说明理由； (2)若函数是上的函数，求实数的取值范围； (3)已知函数是上的函数，且，，当时，都有成立，求实数的最大值. 【详解】（1）因为，     因为时，，所以是上的函数.     （2）由题知，在上恒成立，         则，令，，         则， 当时，；当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，     所以， 所以实数的取值范围为.     （3）因为对上恒成立， 所以， 当时，得， 又，当且仅当时取等号； 且当时，单调递减， 所以当时，有最大值，即， 当时，恒成立； 当时，， 又，当且仅当时取等号， 又时，单调递减， 所以当时，有最小值，即， 综上得，                 不妨设，则，即， 令，则，使函数在上单调递增，. 则，即，即，对成立，即， 所以实数的最大值为6. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $