山东省泰安市2025-2026学年高一下学期期末考试数学通关复习模拟练习

**基本信息** 以题载法整合向量、立体几何、概率统计等模块，通过解题思路提炼与知识逻辑构建，培养数学抽象、逻辑推理与数据意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量与复数|5题|共线条件、投影公式、复数几何意义|向量运算→复数性质→几何应用| |立体几何|5题|线面垂直判定、体积公式、外接球构造|空间概念→位置关系→度量计算| |概率统计|6题|独立事件概率、分层抽样、频率分布|随机思想→数据处理→统计推断|

山东省泰安市高一下学期2026年期末考试通关复习模拟练习 一、单选题 1．已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 2．已知为虚数单位，复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第四象限 3．设m，n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．已知事件互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 5．某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对300户居民进行抽样，先将300户居民依次编号为000，001，，299，从中抽取30个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第3个样本编号是（   ） 2145  7016  3388  2954  0761  1084  3711  6928  5074  3602  9578 4183  1572  6049  0839  2456  8109  8043  1967  5203  9845  9625 A．084 B．611 C．371 D．295 6．已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 7．庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（2上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为24m，广为12m，上袤是下袤的，斜脊与底面所成角均为，则该刍甍的体积为（   ） A． B． C． D． 8．已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．已知向量与的夹角为，且，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影是 10．为了提升中学生的运算能力，某市举办了“中学生计算大赛”，并从中选出“计算小达人”．现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为、、、．规定得分在90分及以上的被评为“计算小达人”．下列说法正确的是（    ） A．的值为0.015 B．该市每个中学生被评为“计算小达人”的概率为0.01 C．现准备在这1000名学生中，用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则需抽取成绩为的学生5人 D．被抽取的1000名中学生的均分大约是80分 11．在边长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列选项中，正确的是（  ） A．A1C1⊥BD B．B1C与BD所成的角为60° C．A1C与平面ABCD所成的角为45° D．三棱锥A1—ABD的外接球半径为 三、填空题 12．某种心脏手术，成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，我们用0表示手术不成功，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为___________. 13．已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 14．如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 四、解答题 15．已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求向量与的夹角； (3)若，求实数m的值. 16．已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 17．某游戏中，玩家甲、乙独立挑战三个关卡，通关规则为：前两关都挑战成功或前两关恰有一关挑战成功且第三关挑战成功.已知甲每关挑战成功的概率为，乙前三关挑战成功的概率依次为，，.假设甲、乙两人每轮是否挑战成功相互独立. (1)求甲仅需挑战前两关就通关的概率； (2)求乙挑战全部三关且通关的概率； (3)求甲、乙恰有一人通关的概率. 18．如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 19．2025年秋天将在天津举办上合组织峰会，为了加深师生对上合峰会的了解，天津某校举办了“上合组织峰会”知识竞赛，并将100名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）分成六段后得到如下频率分布直方图.观察图形信息，回答下列问题： (1)求a的值，并估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)估计这组数据的第75百分位数； (3)用分层抽样的方法在分数落在内的师生中随机抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在内的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市高一下学期2026年期末考试通关复习模拟练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B D A B C B AC AC 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】应用向量的线性运算求，再由向量平行的坐标表示列方程求参数. 【详解】因为，，所以， 由，得，解得. 故选：A 2．D 【分析】由复数的除法运算化简复数，根据虚部的概念判断A，根据共轭复数的概念判断B，求复数的模判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】由得，则虚部为， 则，，对应的点为，位于第四象限， 故ABC错误，D正确. 故选：D 3．B 【分析】由空间中线面的位置关系进行判断即可． 【详解】对于A项，当相交时，才成立，故A项错误； 对于B项，由，，得，而，则，故B项正确； 对于C项，若，，则，或，或，故C项错误； 对于D项，若，，则可以平行或异面，故D项错误． 故选：B 4．D 【分析】根据互斥事件以及对立事件得概率公式计算即可. 【详解】由题可知：事件互斥，则，又， 所以，则. 故选：D 5．A 【分析】直接由随机数表依次读取数据，注意舍去超出范围的编号与重复的编号即可. 【详解】从随机数表中的第2行第7列开始向右读取数据， 依次为163，388（超出299，舍去），295，407（超出299，舍去），611（超出299，舍去），084， 即得到的第3个样本编号是. 故选：A. 6．B 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以， 则在上的投影向量为. 7．C 【分析】过点F作于点Q，过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OQ，证明平面，得到。利用相关条件求出高FO，代入体积公式求可. 【详解】如图， 已知，，， 过点F作于点Q，过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OQ， 因为，，平面，所以平面，平面，所以， 因四条斜脊长度相等，则，， 又斜脊与底面所成角均为，则，即该五面体的高度为10m． 所以其体积． 故选：C 8．B 【分析】利用重心向量公式判断①；利用数量积运算律及定义求解判断②；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断③；设的中点为，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断④. 【详解】对于①：由得为重心，故①错误； 对于②：由得， 又，所以，所以为等腰三角形，故②正确； 对于③：由得，同理得， 所以为的垂心，故③错误； 对于④：取的中点为，所以，由正弦定理得，令， 则，所以，点的轨迹经过的重心，故④正确. 故选：B. 9．AC 【分析】利用向量数量积的定义得到，再对左右两侧同时平方，建立方程求解判断A，将代入中判断B，利用向量垂直的定义判断C，利用向量投影的定义判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以两侧平方得， 因为向量与的夹角为，且，所以， 代入中，可得，解得，故A正确， 对于B，由已知得，，则，故B错误， 对于C，由题意得， 则成立，故C正确， 对于D，由投影公式得在方向上的投影是，故D错误. 故选：AC 10．AC 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，结合中位数的定义、平均数的定义逐一判断即可. 【详解】由，所以选项A正确； 因为得分在90分及以上的被评为“计算小达人”， 所以该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率为，因此选项B不正确； 现准备在这名学生中，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则须抽取成绩为的学生人数为，因此选项C正确； 被抽取的1000名中学生的均分大约是分，因此选项D不正确， 故选：AC 11．ABD 【分析】选项A，由和得到；选项B，由得到为和所成的角，又为等边三角形得到和所成的角为； 选项C，平面得到为与平面所成的角，从而得到，则；选项D，由三棱锥A1—ABD的外接球就是正方体的外接球，利用正方体求得三棱锥A1—ABD的外接球的半径. 【详解】选项A，是正方体，是正方形，， ，，选项A 正确； 选项B，是正方体，，为和所成的角， 又为等边三角形， ， 和所成的角为，选项B正确； 选项C，是正方体，平面， 为与平面所成的角， 正方体的棱长为1，， 在中， ，，选项C错误； 选项D，三棱锥A1—ABD的外接球就是正方体的外接球， 三棱锥A1—ABD的外接球的半径为，选项D正确. 故选：ABD. 12．0.8/ 【分析】根据题意和数据即可求出“3例心脏手术全部成功”的概率. 【详解】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907， 表示“3例心脏手术全部成功”的有812,832,569,683,271,989,537,925，共8个， 故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为. 故答案为：0.8. 13． 【分析】设外接球球心为，、的外心分别为点、，取线段的中点，连接、、、，则，，由二面角的定义结合余弦定理求出的长，进而可求得的长，利用勾股定理可求出球的半径，再利用球体表面积公式可得结果. 【详解】设外接球球心为，、的外心分别为点、， 取线段的中点，连接、、、，则，， 因为是边长为的等边三角形，所以， 所以，， 因为，则为的中点， 又因为，故，故， 因为，，所以二面角的平面角为， 易知，， 所以、、、四点共圆， 由余弦定理可得， 所以，由正弦定理可得， 所以， 故球的半径为， 故四面体的外接球的表面积为. 14． 【分析】应用正弦定理求，再由即可求塔高． 【详解】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米． 故答案为：． 15．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平面向量的共线定理求解； （2）由向量的夹角公式求解； （3），由向量的模的公式求解． 【详解】（1）由向量与共线，得，得， 得，， 则， 故． （2）， 设向量与的夹角为， 则， 由，得， 故向量与的夹角为：． （3）， 由得，， 解得． 16．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式、诱导公式，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据题意，可得，根据余弦定理，可得的值，代入面积公式，即可得答案. 【详解】（1）由正弦定理边化角得， 所以， 因为，所以， 所以，又， 所以. （2）因为周长为，且，所以， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以的面积. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）“仅需挑战前两关就通关”即“前两关都挑战成功”；根据独立事件概率乘法公式求解可求解； （2）“乙挑战全部三关且通关”即“前两关恰有一关成功且 第三关成功”，根据互斥事件加法和独立事件乘法可求解； （3）“恰一人通关”分为两种情况：甲通关且乙不通关和乙通关且甲不通关.需先分别求出甲通关概率和乙通过的概率，再利用对立事件的概率结合互斥事件加法可求解. 【详解】（1）设事件“甲仅需挑战前两关就通关”，则 . （2）设事件“乙挑战全部三关且通关”，则 （3）设事件“甲通关”，事件“乙通关”， 事件“甲、乙恰有一人通关乙甲通关”， , 18．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证平面，再证平面，即可证； （2）由可求； （3）为二面角的平面角，求出，可求. 【详解】（1）证明：因为底面，底面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，因为，是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）连接交于点，如图所示： 则，又因为底面，平面，所以， 因为，平面，所以平面，则点到平面的距离为，因为是的中点，所以， 因为底面正方形边长为，所以，， 所以，， 所以， ，所以． 在中，满足，有， 所以， 设点到平面的距离为， 由可得 （3）由（1）可得平面，因为平面平面， 所以，所以为二面角的平面角， ， 因为，，所以， 所以，解得， 因为，即，所以， 故二面角的余弦值为． 19．(1)，71 (2)82分 (3) 【分析】（1）利用直方图面积之和为1可计算得出a的值；将每组矩形底边的中点横坐标值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得出本次考试的平均分； （2）先判断第75百分位数的位置，再根据左边的矩形面积之和为0.75，可求得本次考试成绩的第75百分位数； （3）分析可知，分数在的人数为2，分别记为a、b，分数在的人数为4，分别记为A、B、C、D，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知：，即； 估计本次竞赛成绩的平均分为 . （2）由图中前四组面积之和为：， 图中前五组面积之和为：， 故这组数据的第75百分位数在第五组数据中， 设这组数据的第75百分位数为m， 则有， 故，即估计这组数据的第75百分位数为82分； （3）用分层抽样的方法在分数在内的师生中抽取一个容量为6的样本， 其中分数在的人数为2，分别记为a、b，分数在的人数为4，分别记为A，B，C，D 从6人中任取2人，所有的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、bA、bB、bC、bD、AB、AC、AD、BC、BD、CD，共15种， 其中，事件“从6人中任取2人，至多有1人的分数在内”所包含的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、bA、bB、bC、bD，共9种， 故所求概率为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $