第六章平面向量及其应用期末训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用期末通关复习 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）下列说法正确的是（   ） A．若，方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．零向量与任意向量平行 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．（本题5分）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D．2 3．（本题5分）已知向量，满足，，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A． B． C． D． 5．（本题5分）在不等边中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（） A． B． C． D． 6．（本题5分）如图，平行四边形的对角线交于O点，线段上有点M满足，线段上有点N满足，设，已知，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 7．（本题5分）已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）在中，，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知向量，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．与向量方向相同的向量是 11．（本题6分）在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（    ） A．是等腰三角形 B． C．的面积为 D．的周长为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知，若向量与相互垂直，则实数的值为__________. 13．（本题5分）已知为锐角三角形，内角所对的边分别是，，则的取值范围是__________. 14．（本题5分）如图，在矩形中，，点为的中点，点在边上，若，则的值是_________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； 16．（本题15分）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知两点间的水平距离为，在处测得的俯角为的俯角为，在处测得的俯角为的俯角为. (1)计算的长度； (2)计算两山顶之间的距离. 17．（本题15分）已知. (1)若，求实数的值： (2)求与的夹角的余弦值. 18．（本题17分）已知，，且与的夹角为，求 (1)； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 19．（本题17分）在中，角所对的边分别为，已知，为边上一点，且. (1)求角的大小； (2)若，且，求a的值； (3)若为角平分线，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D C C D A D ABD BCD 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】根据相等向量的定义，可判断A、B的正误；根据零向量的定义，可判断C的正误；根据共线向量的定义，可判断D的正误. 【详解】选项A：若，方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误； 选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误； 选项C：由零向量的定义可知零向量与任意向量平行，故C正确； 选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误. 2．C 【详解】 ， 又， ，解得． 3．D 【详解】由两边平方，，因，，故可得，， 所以，因，故得. 4．C 【详解】因为向量，且向量在向量上的投影向量为， 所以，解得， 所以. 5．C 【分析】由正弦定理把换为，代入式子约分得到，再结合求出外接圆直径，即可算出原式结果. 【详解】在中，由正弦定理得（为外接圆半径）. 由此可得，. 将其代入，得：. 因为是不等边三角形，所以，即，. 化简得，又由正弦定理. 已知，，则，故. 综上，. 6．D 【分析】根据平面向量线性运算表示出，结合平面向量基本定理列出方程组即可求解． 【详解】由已知得， ， 又，所以． 7．A 【分析】根据已知条件求得，进一步得到，再结合投影向量定义即可求解. 【详解】由，得，即， 所以，所以与共线且同向，且，所以在上的投影向量为, 因为与共线且同向，所以，所以在上的投影向量为. 8．D 【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式得出，再根据三角形中线的向量表示及平面向量数量积的运算律得出，由三角形面积公式即可求解． 【详解】由已知条件，化简得． 由正弦定理得，， 又，所以， 所以，由于为锐角三角形，所以． 边上的中线长为， 设边上的中线长为，则， 所以 ， 所以， 所以．    9．ABD 【详解】A选项，由向量加法的三角形法则，，A正确； B选项，由向量的减法法则，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D正确； 10．BCD 【分析】利用数量积运算可判断A,B，利用模长公式可判断C，利用向量坐标共线可判断D. 【详解】因为，所以， ，A不正确； ，B正确； 因为，所以，C正确； 因为，所以与向量方向相同的向量是，D正确. 11．AC 【分析】计算角判断三角形形状判断A；根据余弦定理及正弦定理计算判断B；根据三角形面积公式计算判断C；求解周长判断D. 【详解】对于A，因为，所以或， 因为，所以， 则，则是等腰三角形，故A正确. 对于B，在中，由余弦定理可得， 即，则， 由正弦定理可得，故B错误. 对于C，的面积为，故C正确， 对于D，周长为，故D错误. 12． 【详解】因为向量与相互垂直，所以，即， 又因为，所以，即. 13． 【分析】由二倍角公式，结合角的范围，可得角C，根据余弦定理，将所求进行变形，根据正弦定理边角互化，结合两角差的正弦公式、辅助角公式，可得的表达式，根据条件，可得角A的范围，结合三角函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得， 因为锐角三角形，所以，则， 所以，即，所以. 由余弦定理得，即， 所以，则， 所以， 由正弦定理得，所以， 则 ， 因为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以， 则. 14． 【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，设点，由，根据向量的坐标运算，求得，得到，进而求得的值. 【详解】以A为原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，因为，可得， 因为点为的中点，点在边上，可得，设点， 则， 因为，可得， 整理得，解得，所以， 则. 15．(1)； (2). 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可； （2）求出、的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； 【详解】（1）因，又，，， 即， ，解得； （2）因为，， 又， ，解得. 16．(1)， (2) 【分析】（1）由题意可求出各角度，在中，利用正弦定理可求出，在中，利用正弦定理可求出； （2）求出后，利用余弦定理计算即可得. 【详解】（1）由题意可得、、、 、， 则，， 则在中，由正弦定理可得， 即， 在中，由正弦定理可得， 即， 即，； （2）， 在中，由余弦定理可得， 即. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据模长求出数量积，结合垂直可求答案； （2）先求，再求，代入夹角公式可得答案. 【详解】（1）因为，所以，即； 因为，所以， ，，解得. （2）， ， 所以， 设与的夹角为，所以. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据模长和夹角求出数量积，结合模长公式可得答案； （2）根据数量积为负数求出的范围，排除掉夹角为的情况即可. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为， 所以， 所以，即. （2）， 因为向量与的夹角为钝角，所以，即； 令，可得，解得， 当时，向量与的夹角为，不是钝角， 所以的取值范围为. 19．(1) (2) (3)． 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，从而求出. （2）先计算出，两边平方求出，又，联立两式解得，进而求出. （3）若AD为角平分线，则，再利用正弦定理，结合三角恒等变换化简，利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得，而， 因此，由，得，则， 即，由，得，所以. （2）由，得， 由（1）知，，则 ，整理得， 又，则，由余弦定理得， 所以. （3）由AD为角平分线，得， 在中，由正弦定理，得， 即，则，， 因此 ，由，得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $