专题01整式的乘除 专项训练(19大核心题型精讲+分层训练突破)-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

**基本信息** 聚焦整式乘除全题型系统突破，从基础运算到综合应用，融合几何直观与规律探究，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|题型1-6|覆盖幂运算、整式乘除法则应用，含辨析与计算|从幂的基本性质到整式乘除法则，构建运算基础链| |公式应用|题型12-14|平方差与完全平方公式的正逆用及几何验证|公式推导与几何意义结合，强化模型观念| |综合拓展|题型17-19|规律探究、新定义运算及公式变形求值|从单一运算到综合迁移，体现数学思维的递进性|

专题01整式的乘除 专项训练 题型梳理归纳 题型1.幂的基础运算 题型2.幂的混合运算 题型3.科学记数法表示数 题型4.单项式乘单项式的计算 题型5.单项式乘多项式计算、化简求值 题型6.多项式乘多项式与(x+p)(x+q)型运算题 题型7.多项式乘法与图形面积计算 题型8.单项式除以单项式 题型9.多项式除以单项式 题型10.整式四则混合运算 题型11.整式综合运算题 题型12.幂的公式逆用求值题 题型13.平方差公式运算及几何应用 题型14.完全平方公式运算及几何应用 题型15.整式乘法综合化简求值 题型16.整式乘法综合求代数式的值 题型17.完全平方公式变形求值、求系数 题型18.多项式乘法规律探究 题型19.整式乘除的新定义运算 题型20.分层精练15道题 核心题型精讲 题型1.幂的基础运算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘法与除法、积的乘方的运算，幂的乘方，逐一判断即可． 【详解】解：A．，该项错误． B．，该项错误． C．，该项错误． D．，该项正确． 2．计算：______________． 【答案】 【详解】解：原式 3．计算：． 【答案】 【详解】 解 ：原式 ． 题型2.幂的混合运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则分别计算两部分，再合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ． 2．化简：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的混合运算，负整数幂，熟练掌握整式的积的乘方、幂的乘方运算法则以及负指数的定义是解题的关键，先计算积的乘方、幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，注意最后结果要把负指数化为正指数． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算． （1）先计算同底数幂的乘法，积的乘方，最后再合并同类项． （2）根据积的乘方的逆用计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： = 题型3.科学记数法表示数 1．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．2026年3月，武汉大学陈杰华教授团队宣布成功量产世界最小芯片原子钟，体积仅立方米，精度达三万年误差不到1秒．其中“”用科学记数法表示为_____________ ． 【答案】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定； 【详解】解：． 3．一块的芯片上能集成10亿个元件． (1)每个这样的元件约占多少？ (2)每个这样的元件约占多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查科学记数法、负整数指数幂及同底数幂的除法，熟练掌握科学记数法的表示方法及负整数指数幂是解题的关键． （1）根据“平均每个电子元件占地面积芯片总面积电子元件总个数”，将数值代入进行除法运算，并转化为科学记数法形式． （2）首先将转化为用表示，然后将转为表示即可． 【详解】（1）解：， ． 答：每个这样的元件约占． （2）解：， ． 答：每个这样的元件约占． 题型4.单项式乘单项式的计算 1．下列运算正确的是（ ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出各个选项中的式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：不能合并，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D正确，符合题意． 2．__________ 【答案】 【详解】解： 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再进行加减运算； （2）先计算积的乘方，再算单项式乘单项式，然后算单项式除以单项式． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型5.单项式乘多项式计算、化简求值 1．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用单项式分别乘多项式的每一项，化简后得到结果． 【详解】 ． 2．已知，则的值为_________． 【答案】2010 【分析】根据得出，对所求式的高次项降次，代入所求多项式整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 3．先化简，再求值：．其中，． 【答案】； 【分析】先利用单项式乘多项式运算法则和积的乘方运算法则化简原式，再将和的值代入化简后的式子计算结果即可． 【详解】解：原式 当，时 原式． 题型6.多项式乘多项式与(x+p)(x+q)型运算题 1．若，则m、n的值分别为（    ） A．5；6 B．5； C．1；6 D．1； 【答案】D 【分析】将等式左边展开，根据多项式相等时对应项系数相等，即可求出m，n的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 2．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则展开左边式子，利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解： ∵ ∴，． 将，代入得：． 3．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 题型7.多项式乘法与图形面积计算 1．小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各2张，其中A、B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是和的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（    ） A．够用，剩余1张 B．不够用，缺1张 C．不够用，缺2张 D．够用，剩余2张 【答案】B 【分析】首先计算得到，然后比较求解即可． 【详解】解： ∴C类卡片3张， ∵小李同学制作了C类卡片2张， ∴他所准备的C类卡片的张数不够用，缺1张． 2．如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形），其中3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积是______． 【答案】93 【分析】设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积. 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为. 3．如图，某中学校园内有一块长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为200元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1) (2)修建文化广场所需要的费用为11600元． 【分析】 （1）用大长方形的面积减去两个空白图形的面积即可； （2）将，代入（1）中的代数式，再×200即可． 【详解】（1） 解： ． （2） 解：当，时， （平方米）， 则所需费用为：（元）， 答：修建文化广场所需要的费用为11600元． 题型8.单项式除以单项式 1．下列计算正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：A，与不是同类项，不能合并，故A错误； B，，故B正确； C，，故C错误； D，与不是同类项，不能合并，故D错误． 2．对于任意的有理数，，定义关于“*”的一种运算，规定：，若，则的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查整式的化简求值，正确理解新定义运算，先根据新定义运算求出的值，再化简所求式子，代入计算即可． 【详解】解：根据新定义运算，可得 ， 又∵， ∴ ，解得 ∴ ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型9.多项式除以单项式 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵ ，∴A错误； B、∵与不是同类项，不能合并 ，∴B错误； C、∵ ，与等式一致， ∴C正确； D、∵ ，∴D错误． 2．若长方形广场的长是，面积是，则该广场的宽是______． 【答案】 【分析】根据长方形面积公式，利用多项式除以单项式的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：∵长方形广场的长是，面积是， ∴该广场的宽是 ． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ． 当，时，代入上式得， ． 题型10.整式四则混合运算 1．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．将两个正方形如图摆放，已知大正方形的边长为，小正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为______．（用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】用两个正方形的面积的和减去三角形的面积即可． 【详解】解：∵ ， ∴则图中阴影部分的面积为． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先利用完全平方公式计算，单项式乘以多项式计算，再合并同类项，然后计算除法，化为最简，再代入求值即可． 【详解】解： 当，时，原式． 题型11.整式综合运算题 1．如图，在一个长为、宽为的长方形内部剪掉一个长为b、宽为的小长方形，则余下的部分（图中阴影部分）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据大长方形面积减去小长方形面积可得阴影部分面积解答即可． 【详解】解：根据题意得：图中阴影部分的面积 ． 2．若定义，且，则______． 【答案】 【分析】根据题中新定义列出方程，化简后解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， 即， ， ， ． 3．先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】根据整式的混合运算化简，再代值求解即可． 【详解】解： ． ∵， ∴，， 即． 将代入得： 原式． 题型12.幂的公式逆用求值题 1．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三个数转化为指数相同的形式，再比较底数大小即可得到结果，用到知识点为，指数相同的正整数幂，底数越大，幂越大． 【详解】解： 逆用幂的乘方法则可得，，． ∵ ，且指数相同，正整数幂的值随底数增大而增大， ∴， 即． 2．计算的结果是______． 【答案】/ 【分析】利用同底数幂的逆运算法则和积的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解： ． 3．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)30 (2) 【分析】（1）直接逆用同底数幂的乘法法则计算即可； （2）先逆用同底数幂的除法法则得到，再逆用幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2） 解：． 题型13.平方差公式运算及几何应用 1．下列运算：①；②；③；④，可以运用平方差公式计算的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①，符合平方差公式形式，故此项符合题意； ②，不符合平方差公式形式，故此项不符合题意； ③，不符合平方差公式形式，故此项不符合题意； ④，符合平方差公式形式，故此项符合题意； 则能用平方差公式计算的有①④，共个． 2．如图，正方形和正方形的面积之差为34，M，N分别是边上的点，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 17 【分析】设正方形边长为，正方形边长为，根据面积差得出，观察图形可知阴影部分面积等于与面积之和，利用三角形面积公式及平方差公式求解. 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意可知，即； ∵四边形和均为正方形， ∴，，，， ∴点在同一直线上，且； ∵点在边上，， ∴中边上的高等于的长，即为， ∴点在边上，， ∴中边上的高等于的长，即为. ∴ ； ∵， ∴. 3．【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的图形． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个） A．    B． C．        D． 【应用】 (2)已知，，请计算的值； 【拓展】 (3)已知，，则A与B的大小关系为A________B（填“”“”或“”）． 【答案】(1)A (2)16 (3) 【分析】（1）根据拼接前后的面积相等可得出答案； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）利用平方差公式求出A的值，再与B进行比较即可． 【详解】（1）解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为， 因此有，，故A正确； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 题型14.完全平方公式运算及几何应用 1．下列运算中，正确的是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】根据同类项定义、合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意． 2．如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a，b．如果，那么阴影部分的面积为______． 【答案】 6 【分析】阴影部分的面积等于的面积加上正方形的面积，再减去的面积，据此结合已知条件列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴阴影部分的面积 ， ． 3．如图，某公园有一块长为，宽为的长方形空地，规划部门计划在其内部修建一个雕像，雕像底座是边长为的正方形，左右两边修两条宽为的长方形道路，其余部分（阴影部分）种植花卉． (1)分别求雕像底座和长方形道路的面积；（用含，的式子表示） (2)若，，求种植花卉的面积． 【答案】(1)雕像底座的面积为，长方形道路的面积为 (2)种植花卉的面积为 【分析】（1）利用完全平方公式以及整式的混合运算求解； （2）利用多项式乘多项式以及整式的加减进行化简，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：． ． 答：雕像底座的面积为，长方形道路的面积为； （2）解： ． 当，时，． 答：种植花卉的面积为． 题型15.整式乘法综合化简求值 1．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∴， 即， ∴． 2．已知，计算的值为________． 【答案】 【分析】先将所求多项式按照多项式乘多项式法则展开，整理后得到含的代数式，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： ； 当时，原式． 题型16.整式乘法综合求代数式的值 1．若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】先按照多项式乘法运算法则求出，再根据乘积不含x的一次项，得到一次项系数为0，即可求解m的值． 【详解】∵， 又乘积中不含x的一次项， 一次项系数为0，即， 解得：． 2．若计算的结果中不含项，则a的值为________． 【答案】 【分析】先计算多项式乘以多项式，得到，再根据的结果中不含项，得到，求出a的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果中不含项， ∴， 解得． 3．已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）先化简，得到，根据的乘积中不含项和项，得到，求出，即可解答； （2）先根据同底数幂的乘法的逆运算与积的乘方的逆运算化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的乘积中不含项和项， ∴， 解得， ∴的值为，的值为2． （2）解：∵， ∴． 题型17.完全平方公式变形求值、求系数 1．两个正方形、的边长分别是a、b，将这两个正方形如图摆放，点E与点C重合，点H在CD上，连接BH，若这两个正方形边长之和为7，面积之和为25，则阴影部分面积（     ） A．9 B．6 C．12 D．8 【答案】B 【分析】根据题意可得，，再由完全平方公式，可得，即可求解． 【详解】解：∵这两个正方形边长之和为7，面积之和为25， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为． 2．规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： (1)__________； (2)若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； (3)若的值为2，则的值为__________． 【答案】(1)8 (2) (3)3 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）先根据新定义化简，再由完全平方公式的结构特征求解即可； （3）先根据新定义得到，再化简得到，然后进行整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∵结果是一个关于，的完全平方式， ∴； （3）解：∵的值为2， ∴ ∴， ∴． 3．【问题提出】 当多项式是某一个多项式的平方时，有理数a、b、c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 (1)当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：______． 【问题解决】 (2)当时，猜想a、b、c之间的数量关系，并验证你的结论； 【拓展运用】 (3)若多项式加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式．小颖是这样做的，请按照小颖的思路补全过程． 解：①当这个单项式为乘积2倍时，设单项式为，…… ②当单项式为一个整式的平方时，设单项式为，…… 【答案】(1) (2)猜想：a，b，c之间的关系为，验证见解析 (3)单项式为或或 【分析】（1）根据示例可得到结果； （2）猜想规律为，利用完全平方公式展开后，可得到结果； （3）根据题意，分类讨论，可得到结果． 【详解】（1）解：根据示例可发现：； （2）解：猜想：a，b，c之间的关系为， 验证：， ，，， ， ； （3）解：①这个单项式为乘积2倍时，设单项式为， ， ， 这个单项式为或， ②这个单项式为一个整式的平方时，设单项式为， ， 这个单项式为， 综上所述，单项式为或或． 题型18.多项式乘法规律探究 1．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．有如下结论：①展开式中含x25的项的系数是25；②展开式各项系数之和为64；③用此规律解决实际问题：今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过86天是星期二；④展开式中（按a的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190．上述结论中，正确的有（     ） A．2 B．3 C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据题干中提供的规律结合杨辉三角可得①错误；写出展开式各项系数，然后相加即可判断②正确；根据得出除以7余1，即可判断③正确；先求出“杨辉三角” 中第20行第3个数为，再根据“杨辉三角” 中第20行第3个数和倒数第3个数相同，即倒数第3个数为190，即可得出答案． 【详解】解：①根据规律可得：展开式中含x25的项的系数是26，故①错误； ②展开式各项系数分别为：，6，15，20，15，6，1，因此各项系数之和为： ，故②正确； ③∵ （a，b，…为各项系数）， 能被7整除， ∴除以7余1， ∴今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过86天是星期二，故③正确； ④从第2行起，每一行的第3个数字分别为 第行的第3个数字为， “杨辉三角” 中第20行第3个数为， ∵“杨辉三角” 中第20行第3个数和倒数第3个数相同，即倒数第3个数为190， ∴展开式中（按a的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190，故④正确； 综上，正确的有3个． 2．已知： （1）； （2）； （3）；猜想规律如下： （其中为正整数，且）． 利用上面猜想的结论计算：_____________． 【答案】 【分析】将所求式子变形为，根据题目材料设，，，得到，再代入变形式子计算即可． 【详解】解： ∵，设，，， ∴ ， ， ∴， ∴． 3．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：____． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． (3)直接写出下列式子的结果． ______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式，归纳总结得到第6个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第个等式，用字母表示出所得的规律即可； （3）将每个括号内式子通分，利用规律改写每个分子后，约分即可． 【详解】（1）解：通过观察前面式子可得： ． （2）解：猜想第个等式为： ． 证明： ． （3）解： ． 题型19.整式乘除的新定义运算 1．如图是小圳设计的一个数据运算程序，他发现在框内填上一个常数k，使得对于任意x，输出的y恒为定值，则k是（   ） A．5 B．0 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据程序框图列出式子，再计算化简，再根据对于任意x，输出的y恒为定值，可得的系数为，求解即可． 【详解】解：， ∴， ． 2．对于有理数、、、定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】先根据题意得出，从而得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 3．定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 【答案】(1)，；； (2)． 【分析】（1）根据规定的新运算可知，又因为方程为一元一次方程，可得为一元一次方程，根据一元一次方程的定义可知、，从而求出的值，把的值代入方程中可得方程为，解方程即可； 根据可以求出，根据中不含一次项可以求出的值，把、的值代入计算求值即可； （2）根据“嘉幸数”的定义列方程求出、的值，根据整式的运算法则把代数式化简，再把、的值代入化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解：， 又方程为一元一次方程， 为一元一次方程， ， 解得：， 方程为， 解得：， ，； 解：的值满足， ， ， ， 解得：， ，， ， 整理得：， 不含一次项， ， 解得：， ； （2）解：数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 整理得到， ∴ 数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 整理得到，， ∴ 【点睛】本题主要考查了新运算、一元一次方程的定义、同底数幂的乘法、整式的化简求值、有理数的混合运算．解决本题的关键是理解题目中规定的新运算，根据规定的新运算，把指定的运算转化为一般的运算；理解“嘉幸数”的意义，根据“嘉幸数”列方程求出字母的值． 分层精练 一、单选题 1．哈尔滨某景区日均接待游客15000人次，将15000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，据此求出结论即可 【详解】解：． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ，A错误； 对选项B：根据合并同类项法则：合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变； ，B错误； 对选项C：根据积的乘方法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再将结果相乘； ，C错误； 对选项D：根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减； ，D正确. 3．若a，b是正整数，且满足8个相加  8个相乘，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意化简等式左右两边，运用同底数幂的运算性质，对比指数即可得到a与b的关系． 【详解】解：由题意得，左边是8个相加，可得， 右边是8个相乘，可得， ∴． 4．设，，，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】首先，根据同底数幂的乘法、幂的乘方运算将，进行代入化简，最后，逐一排除即可． 【详解】解：∵，，， 选项A、B：∴， ∴，选项A、B均不符合题意； 选项C、D：∴， ∴， ∴选项C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 5．若，则a的值为（    ） A．5 B．5或6 C．6 D．1或6 【答案】D 【分析】运用同底数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴或． 二、填空题 6．若的展开式中不含的一次项，则_____． 【答案】 【详解】解：， ∵的展开式中不含的一次项， ∴， ∴． 7．化简：_________． 【答案】 【分析】先根据积的乘方运算法则化简乘方项，再根据单项式乘单项式的运算法则计算，即可得到结果． 【详解】解： ． 8．若等式恒成立，无论为何值，的值始终为定值，则这个定值为_____． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式运算与整式恒成立的性质，先将等式左边按多项式乘多项式法则展开，对比等式两边对应项系数得到m、n关于s、t的表达式，代入整理，根据无论t为何值结果为定值，得到t的系数为0，求出s的值，即可计算得到定值 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵无论为何值，的值始终为定值， ∴ ∴ ∴ 9．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要A、B、C类卡片共_____张． 【答案】9 【分析】根据长方形的面积来判断各需要多少张A、B、C类卡片，最后计算卡片总和． 【详解】解：长方形的面积长宽， 且A、B、C类卡片面积分别为， 故需要2张A，5张B，2张C，共9张． 10．若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 【答案】 【分析】根据定义对所求式子进行化简，再把已知代入计算即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴， ∴． 三、解答题 11．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据乘方的定义、零指数幂、负整数指数幂、绝对值先化简，再进行加法运算即可； （2）利用平方差公式解答即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．先化简，再求值：，其中a，b满足 ． 【答案】，5 【分析】将括号内的式子利用平方差及完全平方公式展开再合并同类项，然后计算除法，根据绝对值及偶次方的非负性求得a，b的值后，代入化简结果中计算即可． 【详解】解： ， ，，， ，， ，， 原式． 13．探究不同情境，回答下面问题： (1)在图1中，三种大小不同的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．根据图2中阴影部分面积的关系，直接写出代数式，，之间的数量关系： ． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，整式加减，掌握公式变形是解本题的关键； （1）由等面积法可得公式变形即可解答； （2）设，利用整式加减化简求出，再利用完全平方公式求出，可得答案． 【详解】（1）解： 之间的数量关系为． （2）解：设， ∴ ． ∵， ． 即的值是． 14．观察下列各式： 在时， ； ； ； ． (1)根据上面各式的规律可得______；（n为正整数,） (2)利用（1）中的结论，求的值； (3)若，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式归纳得到规律即可； （2）将所求式子结合规律变形，计算得到结果； （3）利用规律得到，再结合已知条件排除不符合的解，得到x的值． 【详解】（1）解：根据已知各式的规律，可得（n为正整数）． （2）解：由（1）可知，． ∴． （3）解：， 由规律可得， ， 解得或． 把代入原方程左边， 得左边， 不符合题意，舍去． 把代入原方程左边， 得左边， 符合题意． ． 15．数形结合是一种重要数学思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解决数学问题． 例如：图1阴影部分的面积可以解释数学公式：． (1)观察图2，根据图中阴影部分的面积可以解释数学乘法公式____________； (2)观察图3，根据图中大正方形的面积可以解释数学乘法公式____________； (3)若，根据（2）中所得的公式，求与的值． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）用两种方法计算图形中阴影部分的面积即可； （2）用两种方法计算图形中阴影部分的面积即可； （3）根据可求出的值；根据即可求出的值． 【详解】（1）解：根据图中阴影部分的面积可以解释数学乘法公式：； （2）解：根据图中大正方形的面积可以解释数学乘法公式：； （3）解：由（2）知，，， ∴； ∵，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01整式的乘除 专项训练 题型梳理归纳 题型1.幂的基础运算 题型2.幂的混合运算 题型3.科学记数法表示数 题型4.单项式乘单项式的计算 题型5.单项式乘多项式计算、化简求值 题型6.多项式乘多项式与(x+p)(x+q)型运算题 题型7.多项式乘法与图形面积计算 题型8.单项式除以单项式 题型9.多项式除以单项式 题型10.整式四则混合运算 题型11.整式综合运算题 题型12.幂的公式逆用求值题 题型13.平方差公式运算及几何应用 题型14.完全平方公式运算及几何应用 题型15.整式乘法综合化简求值 题型16.整式乘法综合求代数式的值 题型17.完全平方公式变形求值、求系数 题型18.多项式乘法规律探究 题型19.整式乘除的新定义运算 题型20.分层精练15道题 核心题型精讲 题型1.幂的基础运算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：______________． 3．计算：． 题型2.幂的混合运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．化简：_____． 3．计算： (1)； (2)． 题型3.科学记数法表示数 1．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．2026年3月，武汉大学陈杰华教授团队宣布成功量产世界最小芯片原子钟，体积仅立方米，精度达三万年误差不到1秒．其中“”用科学记数法表示为_____________ ． 3．一块的芯片上能集成10亿个元件． (1)每个这样的元件约占多少？ (2)每个这样的元件约占多少？ 题型4.单项式乘单项式的计算 1．下列运算正确的是（ ） A．B． C． D． 2．__________ 3．计算： (1) (2) 题型5.单项式乘多项式计算、化简求值 1．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为_________． 3．先化简，再求值：．其中，． 题型6.多项式乘多项式与(x+p)(x+q)型运算题 1．若，则m、n的值分别为（    ） A．5；6 B．5； C．1；6 D．1； 2．若，则的值为_______． 3．化简：． 题型7.多项式乘法与图形面积计算 1．小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各2张，其中A、B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是和的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（    ） A．够用，剩余1张B．不够用，缺1张C．不够用，缺2张 D．够用，剩余2张 2．如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形），其中3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积是______． 3．如图，某中学校园内有一块长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为200元，求修建文化广场所需要的费用． 题型8.单项式除以单项式 1．下列计算正确的是（    ） A．B．C．D． 2．对于任意的有理数，，定义关于“*”的一种运算，规定：，若，则的值为________． 3．计算： (1) (2) 题型9.多项式除以单项式 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若长方形广场的长是，面积是，则该广场的宽是______． 3．先化简，再求值：，其中，． 题型10.整式四则混合运算 1．计算：（   ） A． B． C． D． 2．将两个正方形如图摆放，已知大正方形的边长为，小正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为______．（用含有的代数式表示） 3．先化简，再求值：，其中，． 题型11.整式综合运算题 1．如图，在一个长为、宽为的长方形内部剪掉一个长为b、宽为的小长方形，则余下的部分（图中阴影部分）的面积是（    ） A． B． C． D． 2．若定义，且，则______． 3．先化简，再求值：，其中x，y满足． 题型12.幂的公式逆用求值题 1．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是______． 3．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 题型13.平方差公式运算及几何应用 1．下列运算：①；②；③；④，可以运用平方差公式计算的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，正方形和正方形的面积之差为34，M，N分别是边上的点，则图中阴影部分的面积是_____． 3．【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的图形． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个） A．    B． C．        D． 【应用】 (2)已知，，请计算的值； 【拓展】 (3)已知，，则A与B的大小关系为A________B（填“”“”或“”）． 题型14.完全平方公式运算及几何应用 1．下列运算中，正确的是（    ） A．B． C．D． 2．如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a，b．如果，那么阴影部分的面积为______． 3．如图，某公园有一块长为，宽为的长方形空地，规划部门计划在其内部修建一个雕像，雕像底座是边长为的正方形，左右两边修两条宽为的长方形道路，其余部分（阴影部分）种植花卉． (1)分别求雕像底座和长方形道路的面积；（用含，的式子表示） (2)若，，求种植花卉的面积． 题型15.整式乘法综合化简求值 1．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知，计算的值为________． 3．先化简，再求值：，其中． 题型16.整式乘法综合求代数式的值 1．若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 2．若计算的结果中不含项，则a的值为________． 3．已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 题型17.完全平方公式变形求值、求系数 1．两个正方形、的边长分别是a、b，将这两个正方形如图摆放，点E与点C重合，点H在CD上，连接BH，若这两个正方形边长之和为7，面积之和为25，则阴影部分面积（     ） A．9 B．6 C．12 D．8 2．规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： (1)__________； (2)若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； (3)若的值为2，则的值为__________． 3．【问题提出】 当多项式是某一个多项式的平方时，有理数a、b、c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 (1)当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：______． 【问题解决】 (2)当时，猜想a、b、c之间的数量关系，并验证你的结论； 【拓展运用】 (3)若多项式加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式．小颖是这样做的，请按照小颖的思路补全过程． 解：①当这个单项式为乘积2倍时，设单项式为，…… ②当单项式为一个整式的平方时，设单项式为，…… 题型18.多项式乘法规律探究 1．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．有如下结论：①展开式中含x25的项的系数是25；②展开式各项系数之和为64；③用此规律解决实际问题：今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过86天是星期二；④展开式中（按a的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数是190．上述结论中，正确的有（     ） A．2 B．3 C．1 D．4 2．已知： （1）； （2）； （3）；猜想规律如下： （其中为正整数，且）． 利用上面猜想的结论计算：_____________． 3．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：____． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． (3)直接写出下列式子的结果． ______． 题型19.整式乘除的新定义运算 1．如图是小圳设计的一个数据运算程序，他发现在框内填上一个常数k，使得对于任意x，输出的y恒为定值，则k是（   ） A．5 B．0 C．5 D． 2．对于有理数、、、定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则的值为_______． 3．定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 分层精练 一、单选题 1．哈尔滨某景区日均接待游客15000人次，将15000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若a，b是正整数，且满足8个相加  8个相乘，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．设，，，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．若，则a的值为（    ） A．5 B．5或6 C．6 D．1或6 二、填空题 6．若的展开式中不含的一次项，则_____． 7．化简：_________． 8．若等式恒成立，无论为何值，的值始终为定值，则这个定值为_____． 9．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要A、B、C类卡片共_____张． 10．若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 三、解答题 11．计算 (1)； (2)． 12．先化简，再求值：，其中a，b满足 ． 13．探究不同情境，回答下面问题： (1)在图1中，三种大小不同的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．根据图2中阴影部分面积的关系，直接写出代数式，，之间的数量关系： ． (2)已知，求的值． 14．观察下列各式： 在时， ； ； ； ． (1)根据上面各式的规律可得______；（n为正整数,） (2)利用（1）中的结论，求的值； (3)若，求x的值． 15．数形结合是一种重要数学思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解决数学问题． 例如：图1阴影部分的面积可以解释数学公式：． (1)观察图2，根据图中阴影部分的面积可以解释数学乘法公式____________； (2)观察图3，根据图中大正方形的面积可以解释数学乘法公式____________； (3)若，根据（2）中所得的公式，求与的值． 学科网（北京）股份有限公司 $