2025-2026学年八年级数学下学期期末复习专项训练--计算与解答题（人教版）

**基本信息** 聚焦计算与解答核心能力，通过分层题型构建“方法提炼-知识迁移-综合应用”训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数运算|1-14、16-20|分步化简、因式分解、分母有理化|从基础计算到化简求值，渗透符号意识| |几何证明|28-50|判定定理应用、辅助线构造|从平行四边形到特殊四边形，强化推理能力| |统计应用|15、22、23|数据描述（平均数/中位数/众数）|从数据收集到分析决策，培养数据意识| |实际问题|21、24-27、29-30|建模思想、方程求解|从情境抽象到数学表达，发展应用意识|

专项训练03 计算与解答题（50题） 一、解答题 1．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．先根据完全平方公式和平方差公式展开，再进行加减运算，即可计算求值． 【详解】解： ． 2．计算或化简下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解算术平方根与立方根，再合并即可； （2）先去括号，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； 【点睛】本题考查的是求解算术平方根，立方根，二次根式的加减运算，熟记运算法则是解本题的关键． 3．计算：． 【答案】10 【分析】本题考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根的运算，先计算算术平方根、立方根，再加减正确求解即可． 【详解】解： ． 4．（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）4 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的乘法、加法法则计算即可； （2）先根据完全平方公式，二次根式的除法法则计算，再计算加减法． 【详解】解：（1） ， ； （2） ， ． 5．先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】，2 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，根据负数没有平方根求出与的值，代入计算即可求出值. 【详解】解：原式 ， ， ∴, 即, 解得：, 原式. 【点睛】此题考查了分式的化简求值，以及二次根式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简值，熟练分解因式是解题的关键． 先把分式化简后，再把的值代入求出分式的值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 7．已知x，y是实数，且满足，化简：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，先根据二次根式有意义的条件，求出，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)8． 【分析】（1）先根据二次根式的性质及二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （2）先根据二次根式的乘法法则计算，再根据二次根式的加减法计算，最后根据二次根式的除法法则进行计算即可； （3）先根据平方差公式和二次根式的乘法法则计算，再根据二次根式的加减法法则计算即可； （4）先根据完全平方公式，绝对值和零指数幂进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式和零指数幂等知识，能正确的根据二次根式的法则进行计算是解答此题的关键，注意运算顺序． 9．计算： 【答案】1 【分析】由题意先利用平方差公式进行运算，计算二次根式的乘法，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握平方差公式以及利用二次根式的基本性质化简是解题的关键． 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，化简绝对值，然后合并即可； （2）先用完全平方公式和平方差公式将原式展开，然后再进行加减运算，结果化为最简二次根式． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，在运算过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待，结果化为最简二次根式．也考查了二次根式的性质，完全平方公式和平方差公式．掌握二次根式的运算法则、性质和乘法公式是解题的关键． 11．化简计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再合并即可． （2）先利用乘法公式计算二次根式的乘法，再合并即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的运算，负整数指数幂，先进行二次根式的乘法，去绝对值和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算二次根式的乘除运算，再进行化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据零次幂、绝对值、负整数指数幂、二次根式的性质进行化简，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，一般情况下先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 14．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算． （1）先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先算二次根式的乘除，再算二次根式的加减即可； （3）先根据平方差公式、完全平方公式计算，再合并即可； （4）先根据绝对值的性质、立方根的定义、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．学习中国共产党百年党史，汲取奋进力量．某校利用网络平台进行党史知识测试，测试题共10道题目，每小题10分．李华同学对甲，乙两个班各40名同学的测试成绩进行了收集，整理和分析，数据如下： ①甲班成绩如下： 60，60，60，60，70，70，70，70，70，70，70，70，70，80，80，80，80，80，80，80， 90，90，90，90，90，90，90，90，90，90，90，90，90，100，100，100，100，100，100，100． ②乙班成绩平均分的计算过程如下： （分） ③数据分析如下： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 82.5 90 乙班 80.5 75 根据以上信息，解决下列问题： (1)直接写出表中和的值； (2)在本次测试中，甲班小张同学和乙班小黄同学的成绩均为80分，你认为两人在各自班级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由； (3)学校将给测试成绩满分的同学颁发奖状，该校八年级学生共800人，试估计需要准备多少张奖状． 【答案】(1)， (2)乙班小黄在班级的排名更靠前，理由见解析 (3)估计需要准备150张奖状 【分析】（1）根据中位数的定义及计算求出甲班成绩的中位数；由乙班成绩平均分的计算过程求出乙班成绩的众数； （2）根据题中甲乙两个班级的中位数与甲班小张同学和乙班小黄同学的成绩作比较即可得到答案； （3）由样本中成绩满分同学的比例来估计总体中满分成绩的学生数即可得到答案． 【详解】（1）解：将甲班40名同学的测试成绩按从小到大的顺序排列后，第20、21个数据分别为80、90， ∴甲班成绩的中位数（分）； 由乙班成绩平均分的计算过程知70分出现次数最多，有17次， ∴乙班成绩的众数（分）； （2）解：乙班小黄同学在班级中的成绩排名更靠前， 理由如下： 甲班的中位数为85分，大于80分，说明甲班有一半以上的同学成绩比小张好，而乙班的中位数为75分，小于80分，说明乙班一半以上的同学成绩比小黄差， 乙班小黄在班级的排名更靠前； （3）解：（张）． 答：估计需要准备150张奖状． 【点睛】本题考查统计综合，涉及求中位数、众数、利用中位数分析数据、用样本估计总体等知识，熟记相关统计量，掌握相应题型做法是解决问题的关键． 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】利用分式的除法计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式. 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的运算和代入求值，涉及到了分式的加法和除法运算、二次根式分母有理化等知识，解题关键是掌握分式的混合运算的方法，能熟练进行通分与约分．先化简原式，再将的值代入化简后的式子即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18．下面是嘉嘉同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应任务． 计算：． 解：原式……第一步 ……………第二步 ………………第三步 (1)嘉嘉的解题过程从第________步开始错误，正确的计算结果是________； (2)计算：． 【答案】(1)一， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握二次根式混合运算的法则． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）先利用完全平方公式进行乘方运算和平方差公式进行乘法运算，再进行加减即可． 【详解】（1）解：嘉嘉的解题过程从第一步开始错误，正确的计算结果是， 故答案为：一，； （2）解：                  ． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分母有理化、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入运用分母有理化计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 20．【知识链接】 ①有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是． ②分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，． 【知识理解】（1）将的分母有理化； 【启发运用】（2）计算： 【答案】（1） （2）9 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，运用平方差公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据材料中的方法进行分母有理化； （2）先将各部分分母有理化，再计算加减． 【详解】（1）解：； （2） ． 21．在人教版八年级下册数学教材“测量学校旗杆高度”的数学活动里，聪聪设计了一种新颖的测量方法．从点C观察旗杆顶端的仰角为，接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为． (1)直接写出与的数量关系； (2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了三角形的内角和，等角对等边，含角的直角三角形的性质，勾股定理． （1）由题意可得，根据等角对等边即可得出答案； （2）由（1）知，米，，在中，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意及图，得 ∴，， ∴ ∴， ∴． （2）由（1）知，米， ∴， 在中， （米） 答：旗杆的高度为米． 22．某校举办“强国有我”演讲比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 8.8 9 a 乙 8.8 b 0.96 丙 c 8 0.96 根据以上信息，完成下列问题： (1)求出，，的值； (2)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由． 【答案】(1)0.56，9，8.8 (2)甲，理由见解析 【分析】本题考查了中位数，平均数，方差；折线统计图、条形统计图、扇形统计图；从图获取有效信息是解题关键． （1）分别根据中位数、平均数、方差的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案． 【详解】（1）解：由甲得分的折线统计图可知，甲的方差为 由乙得分的条形统计图可知，乙得分的排序为：10、9、9、9、8， 乙得分的中位数为9， 由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8, 丙得分的平均数为 故，，， 故答案为：0.56，9，8.8； （2）选甲更合适，理由如下： 三位选手的平均成绩一样说明三人实力相当，但甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定， 选甲更合适． 23．近期在甲、乙两所学校中进行了食堂伙食满意度调查，现从两所学校各随机抽取10名学生的满意度得分数据进行分析（满意度得分用x表示，共分四个等级：）．部分信息如下： 甲学校10名学生满意度得分数据：99，96，92，98，88，88，88，78，74，69； 乙学校10名学生B等级所有满意度得分数据：89，89，88，86，82． 甲、乙学校抽取的学生满意度得分统计表 学校 平均数 中位数 众数 甲 86.3 88 a 乙 86.3 b 89 请根据以上信息解答： (1) ， ； (2)求m的值； (3)你认为哪所学校的伙食更受学生的欢迎？请说明理由．（写出一条即可） 【答案】(1)88，88.5 (2)10 (3)我认为乙学校的伙食更受学生的欢迎，见解析． 【分析】本题考查了中位数，众数的概念及计算，扇形统计图的应用，熟练掌握中位数和众数的概念并由统计量得到结论是解决本题的关键． （1）根据众数和中位数的概念，即众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将一组数据从小到大重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，由此求解即可； （2）分别求出C组和D组的人数即可求解； （3）根据平均数，众数以及中位数的意义判断即可． 【详解】（1）解：甲学校满意度得分的众数， 乙学校满意度得分在A组的人数为10（人）， 所以其中位数b， 故答案为：88，88.5； （2）解：C组人数为（人）， 则D组人数为（人）， 所以，即； （3）解：我认为乙学校的伙食更受学生的欢迎．理由如下： 在甲，乙学校满意度得分的平均数相同， 但在乙学校满意度得分的中位数和众数都高于在甲学校满意度得分的中位数和众数， 故我认为乙学校的伙食更受学生的欢迎． 24．如图，是一条东西方向的长为的人行道，A处放置一个灌溉草坪的喷头，以A点为圆心，为半径的圆形范围都能浇灌．小亮用仪器测得喷头在B处的东北方向，在D处的北偏西，请问在喷头工作时，行人走在人行道上是否会被淋到，请说明理由．（结果精确到，参考数据：） 【答案】不会，理由见解析 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质， 首先求出，设，得到，由勾股定理求出，然后利用列方程求解即可． 【详解】解：不会，理由如下． 由题意得，， 过点A作， 在中，， 设， 在中， 在中，根据勾股定理得， 解得： 答：行人不会被淋到． 25．如图，测定某弹簧的长度与所挂重物函数关系的装置．弹簧不挂任何重物时的长度为120毫米．在弹簧下端依次挂上不同个数的钩码，待钩码静止后，量出弹簧的长度l．得到的数据记录在下面的表格中： 钩码的个数n/个 0 1 2 3 4 … 10 弹簧长度l/毫米 120 125 130 135 140 … 170 (1)如果用n表示悬挂的钩码数量，l表示弹簧长度，在弹簧的弹性限度内，请你写出弹簧长度l与钩码个数n之间的函数表达式； (2)弹簧长度l为155毫米时，求悬挂的钩码数量． 【答案】(1) (2)7个 【分析】（1）根据表格中n和l的变化规律即可得解； （2）令，解方程，求出n即可得解． 【详解】（1）解：由上表可以看出， 钩码的个数n每增加1个，弹簧长度l增加5毫米， ； （2）解：当时，， 解得， 答：悬挂的钩码数量为7个． 26．“生活即教育，行为即课程”，某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等，学校现要购买劳动工具，学校与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 劳动工具价格 方案一 50元 元/件 方案二 0元 15元/件 若学校购买x件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出，与之间的函数关系式； (2)若学校计划用900元钱购买劳动工具，请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多？ 【答案】(1)， (2)学校选择方案一购买的劳动工具较多 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的应用，正确建立函数关系式是解题关键． （1）按方案一购买：根据付款总金额劳动工具单价件数运费即可得；按方案二购买：根据付款总金额劳动工具单价件数即可得； （2）分别求出和时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，． （2）解：当时，，解得：， 当时，，解得， 因为， 所以学校选择方案一购买的劳动工具较多． 27．教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．学校为了让学生体验农耕劳动，开设校园劳动基地．现计划购买甲，乙两种型号的劳动工具．已知甲型劳动工具的单价比乙型劳动工具少3元，且用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等． (1)求甲，乙两种型号劳动工具的单价各是多少元? (2)该校计划购买甲，乙两种型号的劳动工具共90个，且乙型劳动工具的数量不少于甲型劳动工具数量的一半，求购买这批劳动工具的最少费用． 【答案】(1)甲型劳动工具的单价为20元，乙型劳动工具的单价为23元； (2)购买这批劳动工具的最少费用为1890元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设甲型劳动工具的单价为元，则乙型劳动工具的单价为元，根据“用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等”列分式方程，解方程并检验即可； （2）设购买乙型劳动工具个，则购买甲型劳动工具个，购买这批劳动工具的费用为元，根据题意求出关于的函数关系式，再求出的取值范围，然后利用一次函数的性质解答． 【详解】（1）解：设甲型劳动工具的单价为元，则乙型劳动工具的单价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意， 则， 答：甲型劳动工具的单价为20元，乙型劳动工具的单价为23元； （2）设购买乙型劳动工具个，则购买甲型劳动工具个， 设购买这批劳动工具的费用为元． 则， ∵， ∴随着的增大而增大． 根据题意，得， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为30， ∴当时，最小，最小值为， 答：购买这批劳动工具的最少费用为1890元． 28．勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)可以安全通过，见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键． （1）根据面积公式计算，可证出勾股定理； （2）过点作交桥洞于点，连接，结合勾股定理求出的长度，计算其与水面的高度，进行比较即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴, ∴， ∴． （2）解：取中点，由题知：， 过点作交桥洞于点，连接，如下图所示： ∴， ∴在中，， ∴， ∴可以安全通过． 29．心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x (单位：分钟)之间满足函数关系式的值越大，表示接受能力越强． (1)若用10分钟提出概念，学生的接受能力y的值是多少？ (2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答． 【答案】(1) (2)用8分钟提出概念与用10分钟提出概念相比，学生的接受能力减弱了；用15分钟提出概念与用10分钟提出概念相比，学生的接受能力增强了． 【分析】本题考查了求函数值； （1）令，代入解析式求出， （2）求出和时，的值，然后和时，的值比较． 【详解】（1）解：当时，． （2）当时，， 所以用分钟提出概念与用分钟提出概念相比，学生的接受能力减弱了． 当时，． 所以用15分钟提出概念与用10分钟提出概念相比，学生的接受能力增强了． 30．某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表． 项目名称 测量学校旗杆的高 项目背景 某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量． 项目方案 ①如图，旗杆垂直地面．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，发现多出了一段绳子．用皮尺测出的长度；②随后小丽同学将绳子末端放置于头顶处，沿方向后退，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点处．用皮尺测出小丽的身高及点与旗杆底端的水平距离． 测量数据 ，，． 请根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆的高． 【答案】学校旗杆的高为 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设，过点作于点，在中根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：过点作于点， ， ∴四边形是矩形， ， 设， 则，， 在中，由勾股定理得： 即 解得， ， 答：学校旗杆的高为． 31．如图、在四边形中，，延长至，使，延长至．使，连接，点为的中点， (1)若，求度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的定义和性质，平行线的性质， 对于（1），先说明四边形是平行四边形，可得，再说明是中位线，即可得，然后根据平行线的性质得出答案； 对于（2），先说明，进而得出四边形是平行四边形，则答案可证． 【详解】（1）解：∵， 四边形是平行四边形， ． ， 是中位线， ， ； （2）证明：， ． ， ， 四边形是平行四边形， ． 32．如图所示， 在四边形中， 是的角平分线， 求证：四边形是菱形 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定，等角对等边，角平分线的定义和平行线的性质，先由角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，进而得到，据此即可证明结论． 【详解】证明：∵是的角平分线 ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 33．在中，分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，且与交于点．求证：与互相平分．    【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查三角形的中位线，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 根据三角形的中位线，可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质，即可求解． 【详解】证明：∵点分别是的中点， ∴， ∵三点共线，且， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即与相互平分． 34．如图，平行四边形，、分别为、延长线上的点，连接，，当时，证明：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、平行四边形的性质等知识点，掌握对角线相互平分的四边形是平行四边形成为解题的关键． 如图：连接交于O，由平行四边形的性质可得，再结合已知条件可得，最后根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明结论． 【详解】证明：如图：连接交于O， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 35．如图，在中，，分别是，上的点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．由平行四边形的性质得到，，进而得到，证明四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 36．阅读与思考 请阅读下列材料，完成相应的任务． ×年×月×日星期日 只用卷尺也能判断矩形 今天，我在一本数学课外丛书上看到这样一个有趣的问题，工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等；其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？ 已知在四边形中，，，． 求证：四边形是矩形． 证明：…… 【任务】： (1)上述做法的依据是矩形的一个判定定理，其具体文字表述是：________； (2)补全材料中的证明过程． 【答案】(1)对角线相等的平行四边形是矩形 (2)见解析 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法，是解题的关键： （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，进行作答即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可 【详解】（1）解：工人师傅测量对边长度相等，是为了确保它的形状是平行四边形；再测量它的对角线相等，就确保了它是矩形．这里主要依据了矩形的一个判定定理，即对角线相等的平行四边形是矩形； 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形； （2）∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． 37．如图，在中，E是上一点，，点F在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．先根据平行四边形的定义得到，再证明，即可证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又∵，， ， ． 38．如图，在四边形中，是的中点，，． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）利用即可证明； （2）首先证明四边形是平行四边形，推出即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ， 是中点， ， ， ； （2）解：， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， ． 39．如图，的对角线、相交于点O，E、F是的对角线上的两点，且，连接、、、．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质和判定． 首先由四边形是平行四边形得到，，然后得到，证明出四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴． 40．如图，在平行四边形中，点E、F分别位于、上，、分别平分，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质和角平分线的定义证明，进而得到，再根据平行四边形的定义判定即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分，平分， ， ， ， 四边形是平行四边形． 41．如图，在中，，分别是边，的中点，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若四边形是菱形，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，菱形的性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质及中点得，，利用平行四边形的判定即可得证； （2）由菱形的性质得，，再证，进而根据三角形的内角和定理即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 42．如图，在平行四边形中，过作，垂足为，过点作，交边于点．    (1)求证：四边形为矩形； (2)连结和，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形，可得，由，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形为矩形； （2）由四边形为矩形，可得，，由，可得，则，，由勾股定理得，，计算求解，进而可得的长． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，即：， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 43．如图，四边形是正方形，，分别交对角线于点E，F，连接，．    (1)求证：四边形是菱形： (2)若，，求菱形的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)周长为，面积为16 【分析】（1）根据正方形的性质以及可证，所以，可证四边形BEDF是平行四边形，再证明，所以BE=DE，平行四边形是菱形； （2）连接，与交于点O，因为，，可求出，利用勾股定理可求出，周长等于，面积，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：连接，与交于点O，      ∵， ， ∵，， ， ， ∴菱形的面积， 在中，， ∴菱形的周长． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形全等的判定与性质，菱形的判定和性质以及勾股定理的运用，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键． 44．如图，在中，是边上的高，是边上的中线，是的中点，， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质和三角形外角的性质． （1）连接，根据直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质解答即可； （2）由（1）知是等腰三角形，则，根据三角形外角的性质可得． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的中线， ∴是的中点， ∴是的中线， ∵是高， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是的中点， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 45．在①；②；③这三个条件中，选择一个合适的条件补充在下面横线上，并完成证明过程． 已知：如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点，点、在上，且 (填写序号)． 求证：．    【答案】②或③，证明见解析 【分析】由平行四边形的性质可得，，，由全等三角形的判定和性质可得结论． 【详解】解：若②， 证明：， ， 即， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ； ∴ 若③， 证明：四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ； ∴ 故答案为：②或③． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 46．如图，，平分，且交于点平分，且交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)过点作，垂足为点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，四边形是平行四边形，再证明菱形即可； （2）根据菱形的性质，勾股定理得到，则，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，点是线段中点， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，． 47．如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点F，且平分，延长过点D作，交的延长线于点C．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24，见解析 【分析】（1）根据条件证明，得，再由菱形的判定即可得出结论； （2）证明四边形是平行四边形，得，，再由勾股定理得由勾股定理得，则，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵平分， ， ， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、 等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 48．如图，和是的高，点分别是的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理， （1）利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明； （2）利用等腰三角形的三线合一的性质证明，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：是的高， 在中，点是中点，． 同理可得：， ． （2） ． 又点为中点，且， ． 在中，由勾股定理得． 即， ． 49．转化是一种重要的数学思想方法，化未知为已知，化陌生为熟悉，请你运用这种思想方法解决如下问题．    (1)叙述三角形中位线定理，并运用平行四边形的知识证明； (2)如图，在四边形中，，E，F分别是的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先写出三角形的中位线定理，画出图形，写出已知和求证，如图，然后延长到点F，使，连接．证明四边形是平行四边形，推出且，证明四边形是平行四边形，得出且，进而可得结论； （2）如图，连接并延长交的延长线于点G，证明，推出，可得是的中位线，再根据三角形的中位线定理即可证得结论． 【详解】（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 如图，D，E别是的边的中点， 求证：，且． 证明：如图，延长到点F，使，连接． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴且． ∴且． ∴四边形是平行四边形， ∴且． 又， ∴，且．    （2）如图，连接并延长交的延长线于点G， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴是的中位线， ∴．    【点睛】本题考查了三角形中位线定理的证明与应用，熟知定理的内容与证明、熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 50．问题背景： （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 尝试应用： （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，则的长为______； 深入思考： （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，求证：平分； 拓展创新： （4）如图4，和中，为锐角，点D在边上，点B在边上，，垂足为F，且，若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）；（3）见解析；（4） 【分析】（1）过点E作于点F，根据题意得到；，进而求解即可； （2）过点D作，连接，首先证明出四边形是矩形，得到，然后利用勾股定理求出，设，则，然后利用列方程求解即可． （3）连接，，过点A作于M，作于N，得到，，得到，进而求解即可； （4）作，连接，过点H作于点G，于点Q，过点E作于M，由（3）知平分，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：过点E作于点F ∴；； ∴ （2）如图所示，过点D作，连接 ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴，， ∴设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）连接，，过点A作于M，作于N， 由（1）知 ∴，即 ∵ ∴ ∴点A在的平分线上，即平分； （4）作，连接，过点H作于点G，于点Q，过点E作于M， ∵， ∴由（3）知平分 ∵， ∴ ∴， ∵，，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴在中，由可得， ∴ 在中，∵，， ∴， 在中， ∵ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $专项训练03 计算与解答题(50题) 一、解答题 1.计算：（6+1-(5-2)3+2 2.计算或化简下列各题： ()i 2)65-22)+3V5-5) 3.计算：V25--8+V-3) 4.(1)计算：5x0-√2 (2)计算：(N5-1+V242 5.先化简，再求值： 〔2可是，共，嘴起 6.先化简商，再求值：：。1，其中x=5-2 7.已知×，y是实数，且满足y<-2+2-x+子，化简：-4y+4-(x-2-. 8.计算： (26+0x5)÷3: 33-7)(3+万)+2(2-2)： a-+a 9.计算：（6+2列6-列-×27 10.计算： -5-: 23+5°-(5+(5-. 11.化简计算： a+店-2 23+25-(4+5(4-5 2.计第：x8--回-{（) 13.计算： a压x否反+2+： 2-3°+5-2斗目+8. 14.计算. (1)8+V32-2; 2-写6-s6: 325-(23+1-1-25: 4--8+x-314°-（周 15.学习中国共产党百年党史，汲取奋进力量.某校利用网络平台进行党史知识测试，测试 题共10道题目，每小题10分.李华同学对甲，乙两个班各40名同学的测试成绩进行了收 集，整理和分析，数据如下： ①甲班成绩如下： 60,60,60,60,70,70,70,70,70,70,70,70,70,80,80,80,80,80,80,80, 90,90,90,90,90,90,90,90,90,90,90,90,90,100,100,100,100,100,100, 100. ②乙班成绩平均分的计算过程如下： 60×3+70x17+80×3+90×9+100×8=80.5(分) 3+17+3+9+8 ③数据分析如下： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 82.5 a 90 乙班 80.5 75 b 根据以上信息，解决下列问题： (1)直接写出表中a和b的值； (2)在本次测试中，甲班小张同学和乙班小黄同学的成绩均为80分，你认为两人在各自班级 中谁的成绩排名更靠前？请说明理由； (3)学校将给测试成绩满分的同学颁发奖状，该校八年级学生共800人，试估计需要准备多 少张奖状。 16.先化简，再求值：4-÷a2-2a+,其中a=2+1 a-22a-4 17.先化简，再求值： a-1 a1 a+2a+2a2-4 其中a=V2+1. 18.下面是嘉嘉同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应任务. 计算：（5- 解：原式=5-1…第一步 =5-1第二步 =4第三步 (1)嘉嘉的解题过程从第 步开始错误，正确的计算结果是 2计算：(5+1+6+2)(6-2. 19.先化简，再求值：-2a+1 其中a=5-1. 20.【知识链接】 ①有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代 数式相互叫做有理化因式.例如：√2的一个有理化因式是√2；2+√5的一个有理化因式是 2-5. ②分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去.指的是如果 代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根 s0sr点-57 1xV2+1 =2+1. 【知识理解】1)将店2的分母有莲化： 1 1 【启发运用】(2)计算： 2+1+5+5+2+5++10+99 21.在人教版八年级下册数学教材“测量学校旗杆高度”的数学活动里，聪聪设计了一种新 颖的测量方法.从点C观察旗杆顶端的仰角为30°，接着往前走10米到达点D,观察旗杆 顶端的仰角为60°. B (1)直接写出CD与BD的数量关系： (2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度AB.(人的身高忽略不计，结果保留根号) 22.某校举办“强国有我”演讲比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分 数据整理成下列统计图表， 甲得分的折线统计图 乙得分的条形统计图 丙得分的扇形统计图 ◆得分/分 单得分/分 10 10 9 9 10分 8 40% 7 8分 6 6 60% 0 12345 评委编号 012345 评委编号 平均 中位 方 数 数 差 甲 8.8 a V 8.8 b 0.96 丙 P 0.96 根据以上信息，完成下列问题： (1)求出a,b,c的值； (2)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由， 23.近期在甲、乙两所学校中进行了食堂伙食满意度调查，现从两所学校各随机抽取10名 学生的满意度得分数据进行分析（满意度得分用x表示，共分四个等级： A:90≤x≤100，B:80≤x<90,C:70≤x<80,D:x<70).部分信息如下： 甲学校10名学生满意度得分数据：99,96,92,98,88,88,88,78,74,69： 乙学校10名学生B等级所有满意度得分数据：89,89,88,86,82. 甲、乙学校抽取的学生满意度得分统计表 学 平均 中位 众 校 数 数 数 甲 86.3 88 9 86.3 6 89 乙大学抽取的学生满意度得分扇形统计图 m D 10% B 108 A 请根据以上信息解答： (1)=-,b=-: (2)求m的值； (3)你认为哪所学校的伙食更受学生的欢迎？请说明理由，（写出一条即可） 24.如图，BD是一条东西方向的长为(30√3+90)m的人行道，A处放置一个灌溉草坪的喷 头，以A点为圆心，50m为半径的圆形范围都能浇灌.小亮用仪器测得喷头在B处的东北 方向，在D处的北偏西60°，请问在喷头工作时，行人走在人行道上是否会被淋到，请说明 理由.（结果精确到0.01m,参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732） 北 →东 459 609 B SD 25.如图，测定某弹簧的长度与所挂重物函数关系的装置.弹簧不挂任何重物时的长度为 120毫米.在弹簧下端依次挂上不同个数的钩码，待钩码静止后，量出弹簧的长度1.得到 的数据记录在下面的表格中： 钩码的个数n/个 0 3 弹簧长度毫米 120 125 130 135 (1)如果用表示悬挂的钩码数量，/表示弹簧长度，在弹簧的弹性限度内，请你写出弹簧长 度1与钩码个数n之间的函数表达式； (2)弹簧长度1为155毫米时，求悬挂的钩码数量 26.“生活即教育，行为即课程”，某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校入冬劳动教育 实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等，学校现要购买劳 动工具，学校与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门. 方案 运费 劳动工具价格 方案一 50元 12.5元/件 方案二 0元 15元/件 若学校购买x件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为乃元，按方案二购买的付款总金额 为乃元 (1)请分别写出y,y与x之间的函数关系式： (2)若学校计划用900元钱购买劳动工具，请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动 工具较多？ 27.教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准，将劳动从原来的综合实践活动课程中独 立出来.学校为了让学生体验农耕劳动，开设校园劳动基地.现计划购买甲，乙两种型号的 劳动工具.已知甲型劳动工具的单价比乙型劳动工具少3元，且用300元购买甲型劳动工具 的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等. (1)求甲，乙两种型号劳动工具的单价各是多少元？ (2)该校计划购买甲，乙两种型号的劳动工具共90个，且乙型劳动工具的数量不少于甲型劳 动工具数量的一半，求购买这批劳动工具的最少费用 28.勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位，历史上有 很多方法可以验证勾股定理. b D 二二二二二 C B a b B 图1 图2 (1)如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=∠AED=90°，五、E、C三点共线， RtaABE≌RtAECD,请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，AB=AD=5m,近期雨水多，水位上涨 至EF,水深AE=3.8米.一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高2.5米， 宽为3米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由 29.心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间 x(单位：分钟)之间满足函数关系式y=-0.1x2+2.6x+43(0≤30)的值越大，表示接受能力越 强 (1)若用10分钟提出概念，学生的接受能力y的值是多少？ (2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是 增强了还是减弱了？通过计算来回答 30.某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案， 并利用课余时间完成了实地测量.测量结果如下表， 项 目 测量学校旗杆的高 名 称 项 某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究.他们制订了测量方案，并进行实地测雪 目 背 景 M 项 ①如图，旗杆MN垂直地面.将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，发现多出了 夕 一 段绳子NE.用皮尺测出NE的长度；②随后小丽同学将绳子末端E放置于头 方 顶A处，沿B方向后退，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点五 案 处.用皮尺测出小丽的身高AB及点五与旗杆底端N的水平距离 C NE B 测 量 NE =0.5m BN =6m AB =1.5m. 数 据 请根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆MN的高。 31.如图、在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,延长AB至E,使BE=AB,延长AC至 F,使CF=AC,连接EF,DF,点M为EF的中点， D B M (1)若∠ADC=70°，求∠E度数； (2)求证：AM∥DF. 32.如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD,AC是∠BAD的角平分线，AD∥CB. D B 求证：四边形ABCD是菱形 33.在△ABC中，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D,使AB=2AD,连接DE 、DF、AE、EF,且AF与DE交于点O.求证：AF与DE互相平分. D 34.如图，平行四边形ABCD,E、F分别为AC、CA延长线上的点，连接DF,BE,当 CE=AF时，证明：四边形BFDE是平行四边形. D B E 35.如图，在口ABCD中，E,F分别是AB,CD上的点，BE=DF,求证：AF=CE. D F 36.阅读与思考 请阅读下列材料，完成相应的任务 ×年×月×日星期日 只用卷尺也能判断矩形 今天，我在一本数学课外丛书上看到这样一个有趣的问题，工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的： 首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等；其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相 等，以确保图形是矩形.我有如下思考：工人师傅的做法究竞是依据什么原理得到四边形是矩形？ D 己知在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：… 【任务： (1)上述做法的依据是矩形的一个判定定理，其具体文字表述是： (2)补全材料中的证明过程. 37.如图，在ABCD中，E是BC上一点，DE=DA,点F在DE上，∠DAF=∠EDC·求 证：DF=EC. D B 38.如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC,∠AED=∠B. (1)求证：AED≌EBC; (2)当AB=8时，求CD的长. 39,如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F是口ABCD的对角线BD上的两点， 且DE=BF,连接AE、AF、CE、CF,求证：∠ECF=∠FAE. D E O 4O.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别位于BC、AD上，AE、CF分别平分 LBAC,∠DCA,求证：四边形AECF是平行四边形 D 41.如图，在口ABCD中，E,F分别是边AD,BC的中点，连接AF,CE,AC. A E D B (1)求证：四边形AFCE是平行四边形. (2)若四边形AFCE是菱形，判断ABC的形状，并说明理由. 42.如图，在平行四边形ABCD中，过A作AE⊥BC,垂足为E,过点C作CF∥AE,交边 AD于点F. A F D B E C (1)求证：四边形AECF为矩形； (2)连结AC和EF,若∠B=60°，B=2,BC=5,求EF的长. 43.如图，四边形ABCD是正方形，BE∥DF,分别交对角线AC于点E,F,连接ED, BF. D E (1)求证：四边形BEDF是菱形： (2)若AE=2,CE=6,求菱形BEDF的周长和面积. 44.如图，在ABC中，AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，G是CE的中点， AB=2CD, E (1)求证：DG⊥CE; (2)求证：∠B=2∠BCE. 45.在①DE=BF；②AF=CE;③OE=OF这三个条件中，选择一个合适的条件补充在 下面横线上，并完成证明过程 己知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O,点E、F在AC上， 且（填写序号）. 求证：DE∥BF, B 46.如图，AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于点C,BD平分∠ABC,且交AE于点D ,连接CD. D E H (1)求证：四边形ABCD是菱形. (2)过点D作DH⊥BF,垂足为H点，连接OH,若CH=3,AB=5,求OH的长. 47.如图，己知四边形AEBD是平行四边形，对角线AB与DE相交于点F,且DE平分 ∠ADB,延长EB过点D作DC∥AB,交EB的延长线于点C. (1)求证：四边形AEBD是菱形； (2)若DC=4,BD=2√10，求四边形ABCD的面积. 48.如图，BE和CD是ABC的高，点G、F分别是DE、BC的中点，连接DF、FE、FG. D (1)求证：DF=EF; (2)若BC=10,DE=8,求FG的长 49.转化是一种重要的数学思想方法，化未知为已知，化陌生为熟悉，请你运用这种思想方 法解决如下问题. (1)叙述三角形中位线定理，并运用平行四边形的知识证明； (2)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E,F分别是AB,CD的中点，求证： EF-(AD+BC). 50.问题背景： (1)数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为口ABCD的边AD上一点，连接 BE,CE,请探究△BCE的面积与口ABCD面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发 现：口ABCD的面积等于△BCE面积的2倍.请你写出完整的解答过程. 尝试应用： (2)如图2，长方形ABCD中，点E为BC边上一点，点F为CD右侧一点， ∠AEF=∠EFD=90°，若AD=10,AE=15,EF=8,则AB的长为一； 深入思考： (3)如图3，口ABCD中，点E为BC边上一点，点F为CD边上一点，连接DE,BF交于 点G,连接AG,若BF=DE,求证：AG平分∠BGD; 拓展创新： (4)如图4，ABC和ADE中，∠A为锐角，点D在AC边上，点B在AE边上， BC⊥DE,垂足为F,且BC=DE,若AC=I0,AE=√⑧9，EF=2,求CF的长. D 图1 图2 图3 图4