期末考前满分冲刺之优质压轴题-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

期末考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、正确结论的是(含半角模型)(选、填) 1．如图 ，在边长为2的正方形中，点分别在边和上（均不与点重合），分别平分和．关于结论①，②，下列判断正确的是（    ） 结论①：点到的距离为2； 结论②：． A．结论①，②均正确 B．结论①，②均不正确 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确 【答案】A 【分析】本题考查几何综合，涉及角平分线的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟记正方形性质、角平分线的性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 过点作于点，如图所示，由角平分线的性质直接求证即可得到①正确；再由两个三角形全等的判定与性质得到、，数形结合表示出即可得到②正确． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 在正方形中，，， 平分，，， ， 故①正确； 分别平分和， ，， 在和中， ， ； 同理可证， ； ， 故②正确； 综上所述，结论①，②均正确， 故选：A． 2．如图，在正方形中，为上一点（不与点B、C重合），连接，为延长线上一点，，连接，，过点作于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②是等腰直角三角形； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】结合正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可证结论①正确；根据全等三角形的性质可证是等腰直角三角形，即结论②正确；再由三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证结论③正确；结合勾股定理得出后，再由即可证结论④正确． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，结论①正确； ， ， ， 又， 是等腰直角三角形，结论②正确； ， 是的中点， ， ，结论③正确； 在等腰中，， ， ， ， ∴结论④正确， 综上，正确结论的序号是①②③④． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 3．如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积等于正方形面积的四分之一； ④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①先证明，进而可依据“ASA”判定和全等，则，再根据可得出，由此可对结论①进行判断；②设与相交于点T，根据，得是等腰直角三角形，则，再根据，利用三角形内角和定理得，由此可对结论②进行判断；③根据和全等得进而得，由此可对结论③进行判断；④过点O作于点H，由勾股定理得，依题意得，则，证明是等腰直角三角形，再由勾股定理得则由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形是正方形 ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， 故结论①正确； ②设与相交于点T，如图1所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故结论③正确； ④过点O作于点H，如图2所示： ∵是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得： ∵，，， ∴， ∴ ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴ 即， 故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 4．如图，在中，，于点E，于点F，，交于点N，，的延长线交于M，给出下列结论：①；②点C是的中点；③；④．则上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】 ①③ 【分析】①利用同角的余角相等证明，结合平行四边形对角相等即可判断；③利用证明，得到，结合平行四边形对边相等即可判断；②转化为证明，题目无条件支持；④当时，成立，题目无条件支持； 【详解】解：，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，故①正确； ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，故③正确； ， ，， 若点是中点，则， ， ， ， ，即垂直平分， ， 题目未给出，故②不一定正确； 当时， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 题目未给出，故④不一定正确； 综上所述，正确的结论是①③． 5．如图，正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于点，给出下面五个结论：；；；平分；上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】 【分析】结合正方形性质、等边三角形性质证明，根据全等三角形的性质可判断；结合等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可判断． 【详解】解：四边形是正方形， ，，平分， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，，故正确； ，故正确； ，， ，即， 是等腰直角三角形， 又平分， ，垂直平分， ， ，故错误； 是等腰直角三角形， ， 又， ，即不是的平分线，故错误； ， ，， 在中，， ，故正确． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，解题关键是熟练掌握相关知识点． 6．如图，在边长为4的正方形中，对角线相交于点O．点E在线段上．连结，作于点F，交于点P，连接．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④．上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②③ 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，则，可得，可得，故③符合题意；将逆时针旋转交于点，由，可得，证明，则在中，，代入即可求证；故④不符合题意. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴ ∴， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，则， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； 如图；将逆时针旋转交于点， ∴，则， ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴，即，故④不符合题意； 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，本题难度较大，解题关键在于熟悉各个知识点的相关内容是解本题的关键. 类型二、最值问题与取值范围问题（选、填） 1．如图，在正方形中，，点，分别是，上的点且，与交于点，过点作于点，点是上一动点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】选项A结合直角三角形斜边中线定理，将转化为两线段和的最小值问题，通过两点之间线段最短及勾股定理计算验证； 选项B先通过全等三角形转化线段，再利用勾股定理和完全平方公式推导线段和的最大值； 选项C、D则通过作对称点构造将军饮马模型，将折线段和转化为直线段，结合勾股定理求最小值，以此判断各选项的正误． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，； 对于选项A，如图，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴是斜边的中线， ∴，则， 当点，，共线时，有最小值，由勾股定理得，故选项A错误； 对于选项B，∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最大值为，故选项B正确； 对于选项C，如图，取的中点，以为对称轴作点，的对称点，，则，， ∵， ∴，， 当点，，，共线时，最小， 由勾股定理得，故选项C正确； 对于选项D，以为对称轴作点的对称点，则， ∴，当点，，共线时，和最小， 由勾股定理得，即的最小值为，故选项D正确； 综上，结论错误的是选项A． 2．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（   ） A． B．8 C．10 D．34 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答．根据题中所给的思路，将可以看作两直角边分别是x和3的的斜边长，可以看作两直角边分别是y和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，当A，P，B共线时，的最小值为，再利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：构造出如图，将问题转化为求的最小值， 可以看作两直角边分别是x和3的的斜边长， 可以看作两直角边分别是y和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值， 连接，当A，P，B共线时，的最小值为，作交延长线于点E，故四边形是矩形， ∵，即， ∴， ∵， ∴ ∴的最小值为10， 故选：C． 3．如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，根据三角形中位线定理求出、，根据三角形的三边关系计算即可． 【详解】解：连接，取的中点H，连接、， ∵E，F分别是，的中点，的中点H， ∴是中位线，是中位线， ∴，， 在中，，即，当、、三点共线时取等号， ∴， 故选：B． 4．如图，正方形中，，在三角形中，，动点分别在上运动，，求的最小值______． 【答案】 【分析】将平移，使点与点重合，点与点重合，连接，画射线，可得，，，得，即得点在射线上运动，可知当时，取最小值，此时的值最小，连接，可得，得到，再利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，将平移，使点与点重合，点与点重合，连接，画射线， 则，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值，此时的值最小， 如图，连接， ∵正方形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 5．如图，长方形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段的长度的取值范围是_______． 【答案】 【分析】连接辅助线，利用三角形中位线定理确定点的运动路径；接着结合长方形性质、角平分线性质，求出相关线段长度与角度，确定路径上的最值点；最后通过勾股定理计算出最值，从而得到的取值范围． 【详解】解：如图，连接，取中点，作射线交于，连接、． ∵是中点，是中点， ∴是的中位线，， ∴，即在射线上运动．当与重合时，取最小值，当与重合时，取最大值， 在长方形中，，，平分， ∴，是等腰直角三角形，， ∴． ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∴ ∴， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、长方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理确定点的运动路径，结合几何图形性质计算线段最值是解题的关键． 6．如图，在中，点E是边上的动点，已知，，，现将沿折叠，点是点A的对应点，设长为x，若点落在内（包括边界），则x的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】先明确折叠的性质：，，．要确定的取值范围，需找到点落在边界上的两种极端情况：第一种情况：点落在边上，此时可利用平行四边形性质和折叠性质，证得是等边三角形，进而可求出．第二种情况：点落在边上，此时可利用角平分线的性质、等面积法和勾股定理求出x．因为点落在内（包括边界），所以的取值范围是两种极端情况对应的值之间的区间． 【详解】解：在中，，，，，，． 情况1：如图，落在边上， 由折叠性质得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当时，，，会落在上方， ∴． 情况2：如图，落在边上，过点D作，， 由折叠可知平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设， 则，， 在中，，即， 解得，（大于8，舍去）， ∴， 综上，的取值范围是． 类型三、动点几何函数图象（选、填） 1．已知函数（，为常数）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象与坐标轴的交点位置，分别令和，结合图象特征判断和的符号，进而得出结论． 【详解】解：令，则， 图象与轴的交点在轴上方， ， 解得， 令，得， 解得， 图象与轴交点在轴左侧， ， 解得， ，， ，且无法确定的符号． 2．如图1，在菱形中，，动点E从点A出发，沿边方向匀速运动，到达点B时停止，过点E作于点F，作交菱形的边于点G，设点E的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象可知：当时，，此时点E与点B重合，即，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由图象可知：当时，，此时点E与点B重合，即 ∵四边形是菱形， ∴， ∵，，, ∴，都为等腰直角三角形， ∴， 根据图象可知：点M所表示的几何意义为G与点D重合， ∴， ∴点M的坐标为． 3．小张的爷爷每天坚持锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路漫步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离米与时间分钟之间关系的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据爷爷的运动过程，将行程分为三段：跑步去公园、打太极拳、漫步回家，分别分析离家距离随时间的变化情况及速度快慢对图象坡度的影响． 【详解】解：∵爷爷从家里跑步到公园， ∴离家距离随时间的增加而增加，且跑步速度较快，图象坡度较陡． ∵在公园打了一会太极拳， ∴离家距离保持不变，图象为平行于轴的线段． ∵沿原路漫步走到家， ∴离家距离随时间的增加而减小，直至为0，且漫步速度较慢，图象坡度较缓． 综上所述，图象应为先陡峭上升，再水平，最后平缓下降，观察选项，只有A选项符合． 4．如图①，在中，，为的中点，动点从点出发沿运动到点，设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图②所示，则的长为___________． 【答案】10 【分析】由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12，此时，所以，再根据勾股定理求得即可． 【详解】解：由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12． 点是的中点， 当点运动到点时，， ， ， ． 5．如图1，矩形中，为其对角线，一动点P从D出发，沿着的路径行进，过点P作，垂足为Q，设点P的运动路程为x，与的差值（）为y，y与x的函数图象如图2，则的长为________． 【答案】 【分析】根据函数图象终点坐标确定的长度，结合图象与x轴交点坐标分析点P的位置，利用线段和差关系得出与的数量关系，在中利用勾股定理构建方程，求解的长，进而得到的长． 【详解】解：由函数图象可知，当点P运动到终点C时，，此时点P与点C重合，点Q与点C重合 ， 、， ， 解得：， 由图象可知，当时，，即， 观察图象，位于函数图象的第二段（下降段），说明此时点P在边上运动， 当点P在边上时， 四边形是矩形 ， ， ， 点Q与点C重合， 、， ， ， 解得：， 此时点P的运动路程为：， ， 即， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 四边形是矩形 ， ． 6．如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中是图象上的最低点，则（1）菱形的边长为________，（2）的值为________．      【答案】 4 16 【分析】连接，，设交于点Q，由A、C关于对称，推出，推出，推出的最小值为的长，观察图象可知，当点P与B重合时，，推出，分别求出，的长，即可解决问题． 【详解】解：连接，，设交于点Q， 在菱形中，，，且， ， 为等边三角形， ∴， 点E是边的中点， ∴， ∵A、C关于对称， ， ， ∴当A、P、E共线时，，的值最小． 观察图象可知，当点P与B重合时，， ， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为4； ∴在中，， 的最小值为， 点H的横坐标， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点H的纵坐标， ． 类型四、一次函数与二次根式的规律（选、填、解） 1．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第7行从左向右数第8个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察得出被开方数是连续自然数，且第k行有个数，先计算前6行的总个数，第7行从左向右数第8个数的被开方数，化简后即可得到结果． 【详解】解：观察数阵可知，被开方数是从1开始的连续自然数，且第行共有个数， ∴前6行的数的总个数为， ∴第7行从左向右数第8个数是整个数阵的第个数，即被开方数为50， ∴所求数为． 2．如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；……；按这样的规律进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意及一次函数的表达式及点，求出x轴上线段对应的规律为，及对应正方形的边长对应的规律，总结规律便可求出点的坐标，即可得出当时，点的坐标． 【详解】解：∵过点作x轴的垂线，交直线于点， ∴，点， ∵以为边向右作正方形， ∴， ∴，点， 把点代入，直线的表达式，得， ∵以为边向右作正方形， ∴，点， ∴，，点， 把点代入，直线的表达式，得， ∵以为边向右作正方形， ∴，点， ∴，，点． ∵，，，， ∴； ∵，，，， ∴． ∴点的坐标为． ∴点的坐标为． 3．小桃桃根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 以下为小桃桃的探究过程，请补充完整： 具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3： （1）如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：___________； （2）应用运算规律化简：___________． 【答案】 【分析】（1）分析所给的等式的形式进行总结即可； （2）利用（1）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）特例 特例 特例 用含的式子表示为：， 故答案为：； （2） ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律． 4．如图，，，，…，都是面积为的等边三角形，边在轴上，点，，，…，，都在直线上，点，，，…，都在直线的上方，观察图形的构成规律，用你发现的规律直接写出点的坐标为______．    【答案】 【分析】过作轴，垂足为，由条件可求得，利用直角三角形的性质和四边形的面积可求得，，可求得的坐标，同理可求得、的坐标，则可得出规律，可求得的坐标． 【详解】解：如图，，，，都是等边三角形， ， ， 在轴上， 轴，轴， 过作轴，垂足为， 点在直线上， 设， ， ，， 是面积为的等边三角形， 且， 则， 即， 解得：， 都是边长为的等边三角形， ，， 的坐标为，， 同理，、，， 的坐标为， 的坐标为， 故答案为：．    【点睛】本题考查了点的坐标规律，等边三角形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，一次函数图象上的点，作辅助线． 5．嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 6．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务 用函数研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律 数轴是初中数学的一个重要工具，研究数轴我们可以发现许多重要的规律．例如：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．学习函数知识后，我们可以用函数方法研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律． 特例研究： 例：如图1，在数轴上点，点表示的数分别为，3，动点表示的数为，求点到点，的距离和为，并直接写出的最小值. 用函数方法，我们可以用含的式子表示 ， 画出函数图象如图2，观察图象，可以直观看出：的最小值为5． 拓广探索： 若数轴上点，点表示的数分别为常数，，且，动点表示的数为，点到点，的距离和为，并直接写出的最小值，.…… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是______（从下面选项中选出两个即可）； A．转化思想  B．数形结合思想   C．统计思想      D．分类讨论思想 (2)请直接写出“拓广探索”中，关于的函数表达式． (3)在“拓广探索”中，的最小值为______；当时，随的增大而______． (4)如果你写“拓广探索”部分的内容，请直接写出一个你发现的结论． 【答案】(1)（或或） (2) (3)；减小 (4)当时，随的增大而增大；当时，有最小值；没有最大值；等等（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的应用，求函数解析式，画函数图像，一次函数的性质； （1）从小论文中可知，主要运用的数学思想有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想，故任选两个即可； （2）对，分三种情况计算即可； （3）根据（2）的函数画出函数图像，由图象及一次函数的性质即可完成解答； （4）根据函数表达式及一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：小论文主要运用的数学思想有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想， 故选：（或或）； （2）解：由题意知， 当时，； 当时，； 当时，； ∴ （3）解：画出的图像如下： 由图像知，函数的最小值为，当时，随的增大而减小； 故答案为：；减小； （4）解：由图像知，当时，随的增大而增大；当时，有最小值；没有最大值；等等（答案不唯一） 类型五、函数中的行程问题（选、填、解） 1．A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：）与时间t（单位：）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶．其中正确的有哪几个（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】通过观察函数图象获取信息，利用路程、速度、时间的关系进行计算，以及列方程解决行程问题.根据图象分别求出甲、乙的速度及函数解析式，逐一判断各结论即可 【详解】解：由图象可知，乙从时出发，甲从时出发， 乙比甲提前出发，故①正确； 甲从到行驶了， 甲行驶的速度为，故②正确； 乙从到行驶了， 乙行驶的速度为， 当时，乙行驶的路程为， 此时甲行驶的路程为， 甲、乙两人相距，故③错误； 设乙离开地的距离与时间的函数关系式为， 当时，甲未出发，， 若乙比甲多行驶，则， 解得； 当时，甲离开地的距离与时间的函数关系式为， 若乙比甲多行驶，则， 解得， ④错误； 综上所述，正确的结论有①②． 2．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发 C．客人距离厨房门口 D．从聪聪出发直至送餐结束，共需 【答案】C 【分析】运用路程除以时间等于速度，得出聪聪的速度为；根据图象信息，得出慧慧比聪聪晚出发，结合速度、路程、时间之间的关系，求出慧慧一开始的速度，再结合速度变化，；列式计算得出客人距离厨房门口，结合速度、路程、时间之间的关系求出从聪聪出发直至送餐结束，共需，即可求解． 【详解】解： A、聪聪的速度为，故A选项不符合题意； B、由图象可得，慧慧比聪聪晚出发，故B选项不符合题意； C、慧慧一开始的速度为：，当速度提高到原来的2倍时，为，则后一段行走了，则客人距离厨房门口为，故C选项符合题意， D、由C选项得出，则，即从聪聪出发直至送餐结束，共需，故D选项不符合题意． 3．黄河公园内有一条健身跑道，是市民健身休闲的好去处．周末，小明和爸爸参加了该公园举办的“亲子骑车赛”．两人所行路程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示．当爸爸到达终点时，小明距离终点还有____千米． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得对应函数的解析式． 根据爸爸的运动情况求得总路程为千米，根据图象可得小明分三段到达终点，，，到终点，先求得段的解析式，求得点坐标，再求得最后一段的解析式，再将代入，求解即可． 【详解】解：根据图象可得，爸爸始终匀速到达终点，小明分三段，，到终点到达终点， 设爸爸的函数解析式为，将点代入可得，即， 根据图象可得，当时，爸爸到达终点，此时千米，即跑道的总长度为千米， 设小明段的函数解析式为，将点，代入可得， ，解得，即， 将代入可得，即 设小明从到终点的函数解析式为：，将，代入可得， ，解得，即， 将代入得， （千米）， 则当爸爸到达终点时，小明距离终点还有千米． 4．A，B两地相距，甲，乙两人沿同一条路从A地到B地．（甲骑摩托车，乙骑自行车）．甲，乙两人离开A地的距离（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示，下列说法： ①乙比甲提前出发； ②甲的速度为； ③的值为50； ④或时，乙比甲多行． 其中正确的是：________（填序号） 【答案】①②④ 【分析】从图中获取相关信息，逐项验证即可． 【详解】解：由图可知，乙比甲提前出发，①正确； 由图可知，甲的速度为，②正确； 设乙离开A地的距离（单位：）与时间（单位：）的函数关系式为， 将代入关系式得， 解得， ， 当时，，③错误； 设甲离开A地的距离（单位：）与时间（单位：）的函数关系式为， 将、代入关系式得， 解得， ， 乙的速度为， 当时，则乙比甲多行时，； 当时，则时，解得； 在或时，乙比甲多行； 综上所述，正确的序号是①②④． 5．在一条笔直的公路上依次有A，B，C三地．甲车从A地出发匀速行驶到B地，休息1小时后，原速行驶到C地，同时乙车从C地出发匀速行驶到B地后，立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速返回到C地，甲车比乙车早1小时到达C地．甲，乙两车距B地的路程y（单位：千米）与甲车出发时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题： (1)乙车的速度为 千米/时，A地与C地之间的距离为 千米； (2)求甲车从B地到C地的过程中y与x的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在两车行驶过程中，出发多少小时后，甲，乙两车相距30千米？请直接写出答案． 【答案】(1)60，720 (2) (3)出发小时或4.5小时或小时或小时或小时后，甲，乙两车相距30千米． 【分析】（1）根据图象可知乙车4小时行驶240千米，求出乙车的速度，求出甲车从B地到达C地所用时间，进而求出甲车的速度，用速度乘以甲车行驶的总时间，进行求解即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）分5种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：乙车的速度为（千米/小时）； ∵乙车从C地出发匀速行驶到B地后，立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速返回到C地， ∴乙车返回时间也为4小时，共用时8小时， ∵甲车从A地出发匀速行驶到B地，休息1小时后，原速行驶到C地，且甲车比乙车早1小时到达C地， ∴甲车从B地行驶到C地所用时间为小时，从地到地行驶时间为小时， ∴甲车的速度为（千米/小时）；地到地的距离为（千米）； （2）解：由（1）可知， 甲车从B地行驶到C地的图象过点， 设函数解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴； （3）解：当时，，解得； 当时，； 当时，甲追上乙之前， ，解得； 甲追上乙之后， ，解得； 当时，； 综上：出发小时或4.5小时或小时或小时或小时后，甲，乙两车相距30千米． 6．某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为测量各自的行走性能，进行测试．已知甲、乙两机器人在同一地点，甲机器人全程在它的“全速模式”下运动，乙机器人晚出发分钟，开始在“基本模式”下运动，中途停止运动进行分钟的调试，之后切换到它的“全速模式”下运动．已知甲、乙两机器人运动的距离（单位：米）与甲机器人运动的时间（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)直接写出的值； (2)求乙机器人在“基本模式”和“全速模式”下，运动的距离与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)直接写出乙机器人出发多长时间，两个机器人相距米． 【答案】(1)； (2)乙机器人在“基本模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为，乙机器人在“全速模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为； (3)乙机器人出发分钟或分钟或分钟，两个机器人相距米． 【分析】（1）由图可得甲机器人的速度为米/分钟，根据题意即可得的值； （2）分别设乙机器人在“基本模式”下和“全速模式”下，运动的距离与之间的函数关系式，用待定系数法即可求解； （3）设乙机器人出发分钟，两个机器人相距米，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，甲机器人的速度为（米/分钟） ∴． （2）解：设乙机器人在“基本模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为， 代入，得， 解得， ∴乙机器人在“基本模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为， 设乙机器人在“全速模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为， 代入，得， 解得， ∴乙机器人在“全速模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为． （3）解：设乙机器人出发分钟，两个机器人相距米， （分钟），（分钟），（分钟）， 根据题意可得： 当时，， 解得， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴乙机器人出发分钟或分钟或分钟，两个机器人相距米． 类型六、矩形的折叠问题（选、填、解） 1．将一张平行四边形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，C在同一直线上，连接，．已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，设，先根据平行四边形的性质得到，然后根据等要三角形的性质得到，求出的度数，然后根据列方程解答即可． 【详解】解：设， ∵是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：A． 2．如图，已知矩形为线段上一点（如图甲），现将其沿折叠，F为C点关于的对称点，线段分别交于（如图乙），再沿折叠，F点关于的对称点Q恰好落在线段上，若度，则用含的代数式表示的度数为（   ）度 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质得，再根据平角的定义得，根据三角形的内角和得，最后根据平角的定义表示出的度数． 【详解】解：根据折叠，得， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质和三角形的内角和，综合性较强，关键要找到折叠后各角之间的关系． 3．如图，在矩形中，，将沿对角线折叠得到，与边交于点E，再将沿折叠得到，若点恰好落在的边上，则的长为______． 【答案】或 【分析】利用折叠性质挖掘角度和线段的等量关系，并根据点落在不同边上的情况进行分类讨论． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∴，，，，，， 由题意分情况讨论： ①如图，当点落在边上时： ∵点在上， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴； ②如图，当点落在边上时： ∵点在上，， ∴， ∵矩形中，， 即， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠可知，， 在中，，， ∴， ∵点E在上， ∴， 即， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 综上所述，的长为或． 4．折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将边沿折叠，点的对应点为，再将沿折叠，使得点恰好落在边上的处折痕与边交于．若正方形边长为，连接，则的面积 =________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理的运用，掌握正方形与折叠，勾股定理求线段长度的方法是解题的关键． 根据折叠可得，根据含角的直角三角形的性质可求出的长，由此可得的长，由此即可求解． 【详解】解：根据题意的折叠，如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 根据折叠可得，， 在中，，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 同理，， ∴， 故答案为： ． 5．某数学兴趣小组研究图形折叠问题 (1)先利用矩形折叠，如图1，将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______． (2)再利用平行四边形折叠，如图2，将平行四边形沿折叠，点落在点处，与交于点，连接．猜想：与的数量关系，与的位置关系，并证明． (3)在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)．证明见解析 (3)的长为或 【分析】（1）由矩形的性质和折叠性质可得，根据等腰三角形的判定可得，进而可得，利用等边对等角和三角形的外角性质可得，进而可证明； （2）同（1）中方法可证明，； （3）分和两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠性质得，， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：猜想：，， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠性质得，， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∵，即， ∴， ∴； （3）解：由（2）知，， 设， ∵， ∴， 由折叠性质得，， 当时，是等腰直角三角形， ∴，则，解得， ∴， ∴； 当时，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 则，解得， ∴， 综上，的长为或． 6．【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)操作观察： 如图1所示，小华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则___________， （填“”，“”或“”）； (2)判断与证明： 如图2所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，请判断四边形的形状并证明： (3)迁移应用： 如图3所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长． 【答案】(1)， (2)四边形是菱形，证明见解析 (3) 【分析】（1）由折叠得，由得，结合即可求解； （2）由，，证明四边形是平行四边形，同①证明，推出，即可证明四边形是菱形； （3）由折叠得，，，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解和，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：由折叠得， ， ， 矩形中， ， ， ； （2）解：四边形是菱形，证明如下： 四边形是矩形， ， 又， 四边形是平行四边形； ， ， 由折叠得， ， ， 四边形是菱形； （3）解：四边形是矩形， ，，， 中，，， ， ， 由折叠得，，， ， 又，， ， 如图，过点E作于点G， ， ， ， ． 类型七、勾股定理的证明与根式有理化（解） 1．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解； （2）根据勾股定理构造等量关系即可求得的长度，即可求解面积． 【详解】（1）解：， 且， ， ． （2）解：由题意设， ， ． ， ． 在中， 在中， ， 解得， ， ． ． 2．综合与探究 勾股定理是平面几何中最著名的定理之一，描述了直角三角形三条边之间的关系，其核心内容为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和． 【定理证明】 (1)勾股定理的证明方法很多，赵爽弦图（如图1），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请你用它验证勾股定理：； 【定理应用】 (2)如图2，在网格中，是格点三角形（顶点为网格线的交点），求点到边的距离； (3)如图3，在中，，点是高上一点，．若,，求的长； 【拓展延伸】 (4)已知和均是等腰直角三角形，，如图4，连接，，若，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）用两种不同的形式表示大正方形的面积，即可验证勾股定理：； （2）借助网格求出的面积和的长度，根据三角形的面积公式可得，即可求出点到边的距离； （3）由可知，根据等角对等边可得，利用勾股定理可以求出，设，则，利用勾股定理即可求出的长度； （4）过点作于，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，所以可得，再次利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）解：外面大正方形的边长为， 大正方形的面积为， 大正方形的面积里面小正方形的面积个直角三角形的面积， ， 整理得：； （2）解：， 如下图所示，过点作于， 由勾股定理得， ， 解得：， 点到边的距离为； （3）解：，， ， ， 在中，由勾股定理得， 设，则， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 即； （4）解：如下图所示，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ． ． 3．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点，重合，，，，，也利用“双求法”验证了勾股定理． 证明：连接，，则． 则 (1)请借助图2补全勾股定理的验证过程． (2)如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________ (3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ； （3）解：是高， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 4．已知，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)直接写答案：________ (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)44 (3)3 【分析】（1）分子分母同乘以即可； （2）将每一项都进行分母有理化，再计算加减法即可； （3）先将的值进行分母有理化，再利用完全平方公式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：原式 ． （3）解：∵， ∴ ． 5．先阅读，后解答： ，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是____________；的有理化因式是____________． (2)将下列式子进行分母有理化：①___________；②____________． (3)类比（2）中②的计算结果，计算： 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】（1）根据有理化因式的定义得到答案即可； （2）进行分母有理化即可； （3）对每个式子都进行分母有理化，再进行化简求值即可． 【详解】（1）解：，， 故的有理化因式是；的有理化因式是； （2）解：； ； （3）解：原式 ． 6．阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． 请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算：； (2)已知是正整数，，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）将 代入 ，求解即可． 【详解】（1）解：    ； （2）解：   ， ， ∴ ， ， 将 代入 ， 可得： 化简可得： 移项可得： 解得： 类型八、勾股定理、四边形、一次函数的新定义（解） 1．阅读材料，解答下面问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)理解并填空： ①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定 （填“是”或“不是”）奇异三角形； ②若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形 （填“是”或“不是”）奇异三角形； (2)探究：在中，两边长分别是a，c，且，，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由． 【答案】(1)①是，②是 (2)当c为斜边时，不是奇异三角形；当b为斜边时，是奇异三角形． 【分析】（1）①根据等边三角形的三边相等、奇异三角形的定义判断； ②根据奇异三角形的定义判断； （2）分c为斜边、b为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断． 【详解】（1）是；设等边三角形的边长为a，则，显然成立； 是；因为，故是奇异三角形． 故答案为：是，是； （2）当c为斜边时，则， 由于， 故不是奇异三角形；   当b为斜边时，， 则有， 所以是奇异三角形． 答：当c为斜边时，不是奇异三角形；当b为斜边时，是奇异三角形． 【点睛】本题考查的是勾股定理、奇异三角形的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 2．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．    (1)如图，在凸四边形中，平分，．求证：四边形为等邻边四边形； (2)如图，在中，，，，将沿的平分线的方向平移，得到，连接，．若平移后得到的凸四边形是等邻边四边形，且满足，求平移的距离． 【答案】(1)见解析； (2)平移的距离为． 【分析】本题考查了新定义等邻边四边形，理解这个新定义，平移的特征，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，认真审题，理解新定义是解本题的关键． () 先判断，得到即可求证； ()根据平移得特征，得到，，，用勾股定理列出方程求解即可. 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为等邻边四边形； （2）延长与交于点， ∵由平移得到， ∴，，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ∵， 在中，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去），    在中，， ∴， ∴平移的距离为． 3．我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图，，则四边形为等邻角四边形． (1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是 ． ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④等腰梯形 (2)如图，在四边形中，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结，，且，求证：四边形为等邻角四边形． (3)如图，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，猜想，，之间的数量关系？并请说明理由． 【答案】(1)②④ (2)证明见解析； (3)，理由见解析 【分析】（1）根据等邻角四边形的定义即可直接得出答案； （2）连接，证明，得出，从而得到，，即可证明四边形为等邻角四边形； （3）过点P作，证明得到，再由矩形得到，即可得出． 【详解】（1）∵矩形和等腰梯形都有一组邻角相等， ∴矩形和等腰梯形是等邻角四边形， 故答案是：②④ （2）证明：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为等邻角四边形． （3），理由如下： 过点P作，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为等邻角四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了新定义“等邻角四边形”，涉及线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质等知识，正确理解“等邻角四边形”的定义是解题的关键． 4．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形______（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点作于点． ①试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 【答案】(1)是； (2)①BE=DE，理由见解析；②14 【分析】（1）由旋转的性质可得∠ABF=∠CBE，BF=BE，根据正方形的性质得∠ABC=∠D=90°，可得出∠EBF=∠D=90°，即可得出答案； （2）①过点C作CF⊥BE，首先证明四边形CDEF是矩形，则DE=CF，EF=CD=2，再证△ABE≌△BCF，根据全等三角形的判定和性质可得BE=CF，AE=BF，等量代换即可得BE=DE；②设BE=x，根据勾股定理求出x的值即可，即可求解． 【详解】（1）∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上， ∴∠ABF=∠CBE，BF=BE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠D=90°， ∴∠ABE+∠CBE=90°， ∴∠ABE+∠ABF=90°，即∠EBF=∠D=90°， ∴∠EBF+∠D=180°， ∵∠EBF=90°，BF=BE， ∴四边形BEDF是“直等补”四边形． 故答案为：是； （2）①BE=DE，理由如下： 如图3，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，          图3 ∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC，AD＞AB， ∴∠ABC=90°，∠ABC+∠D=180°， ∴∠D=90°， ∵BE⊥AD，CF⊥BE， ∴∠DEF=90°，∠CFE=90°， ∴四边形CDEF是矩形， ∴DE=CF，EF=CD， ∵∠ABE+∠A=90°，∠ABE+∠CBE=90°， ∴∠A=∠CBF， ∵∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴BE=CF，AE=BF， ∵DE=CF， ∴BE=DE； ②如图3， ∵四边形CDEF是矩形， ∴DE=CF，CD=EF， ∵△ABE≌△BCF， ∴AE=BF，CF=BE， ∵，， 设BE=x，则AE=BF=x-2， 在Rt△ABE中，x2+（x-2）2=102， 解得：x=8或x=-6（舍去）， ∴BE=8，AE=6， ∴AD=AE+DE=AE+CF=AE+BE=6+8=14． 【点睛】本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质． 5．定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 【答案】（1）D；（2）C的坐标为；（3）的值为或． 【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）求出点的坐标为，根据题中所给新定义可得点的关联直线为，联立直线即可求解； （3）根据题中所给新定义可得点的关联直线为，则点，分两种情况：①当点在直线左侧时，②当点在直线右侧时，分别求解即可． 【详解】解：（1）直线，为常数），点是直线的关联点， 直线的关联点的坐标是， 故答案为：D； （2）直线，当时，，解得， 点的坐标为， 直线，为常数）是点的关联直线， 点的关联直线为， 联立得，解得， 的坐标为； （3）点的关联直线为， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ①如图1，当点在直线左侧时，过点作，交直线于点，过点作垂直轴于点． ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 的坐标为， 把点代入得，； ②如图2，当点在直线右侧时， 同理可证， ，， 点的坐标为 把点代入得，， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，也是有关关联点和关联直线的新定义问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式，本题中理解关联点和关联直线的定义，正确进行分类讨论是解题的关键． 6．【新定义】如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点P分别作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，我们称折线EPF为点P关于直线l的“L路径”， “L路径”的长度称为点P关于直线l的“L距离”，记为，即． 【定义理解】（1）如图2，若直线l的表达式为，与x轴和y轴分别交于A，B两点，求（点O为坐标原点）： 【定义运用】（2）如图3，将直线向左平移n个单位长度后得到直线，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离n的值； 【定义拓展】（3）在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点Q的坐标为或或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及等腰三角形两腰相等． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在x轴上，分3种情况进行讨论；当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【详解】解：（1）把代入得：， 把代入得， 解得：， ∴， ∴， ∴； （2）把代入得：， 把代入得， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）∵， ∴， 根据勾股定理可得：， 当点Q在x轴上时： ①当时， 或， 此时点Q关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，不符合题意； ②当时， ∵，， ∴， ∴ ③当时，由图可知，此时点Q关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，不符合题意； 当点Q在y轴上时： ①当时， 或（不符合题舍去）， 此时点Q关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，不符合题意； ②当时， ∵，， ∴， ∴ ③当时， 设， ∴， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ∴ 综上：存在，点Q的坐标为或或或． 类型九、一次函数中的特殊三角形（四边形）（解） 1．如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M在线段上，将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若点C在坐标轴上，是等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)、、、、、、、． 【分析】（1）先求出，，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，求出，即可求出a的值； （2）设，在中，根据勾股定理列方程求出的值，再根据待定系数法求解即可； （3）分三种情况结合等腰三角形的定义及勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：当时，，即，， 当时，，即，， ∴， ∵将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处， ∴， ∴， 即； （2）解：设，则， 将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处， ∴， 在中，在中， ∴， 解得：， 即， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：①以为腰，点B为顶角顶点时，如图： ∵， ∴，，， 即点C的坐标为、、； 以为腰，点A为顶角顶点，如图： 同理可得点C的坐标为、、； 以为底，如图：作的垂直平分线交轴于，交轴于， 设 ∵， ∴， 解得：， 即， 设， ∵， ∴，解得， ∴； 综上所述，点C的坐标为、、、、、、、． 2．【探索发现】 如图1，在等腰直角三角形中，，若点C在直线上，且，，则．我们称这种全等模型为“k型全等”． 【迁移应用】 设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）若，且是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限，如图2． ①直接填写：　　，　　； ②求点E的坐标． （2）如图3，若，过点B在y轴左侧作，且，连结，当k变化时，的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，若，点C的坐标为．设点P，Q分别是直线和直线上的动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点Q的坐标．    【答案】（1）①2，3；②点E的坐标为； （2）是定值，详见解析； （3）点Q的坐标为或（4，）． 【分析】（1）①已知，代入可直接写出解析式，分别令，，即可求解； ②过点作轴垂线，运用全等三角形的性质证明边长相等，即可求得点坐标． （2）过点N作轴垂线，运用全等三角形的性质表示出点坐标，再用三角形边长表示出三角形面积，即可判断． （3）分两种情况，当点在点左边时过点作轴于，过点作于，证明．由全等三角形的性质证明边长相等，表示出点Q的坐标；当点在点右边时，同理用全等三角形的性质证明边长相等，可得点的坐标，将点Q的坐标代入直线解析式，即可求解． 【详解】解：（1）①∵，则直线， 令时，y＝3， 令时，， ∴， 即， 故答案为：2，3． ②过点作于点D，    ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴（全等三角形的对应边相等） ∴ ∴点E的坐标为． （2）当k变化时，的面积是定值，理由如下： 过点N作轴于点M，    ∵ ∴ ∴， ∴k变化时，的面积是定值，且定值为． （3）①当点在点左边时，过点P作轴于S，过点Q作于T， 设，，，   （等角的余角相等） ∵ ∴， ∴， ∴点， 将点Q的坐标代入 解得． ∴点Q的坐标为； ②当点在点右边时，同理过点P作轴于S，过点Q作于T，    可证 ∴，， ∴， 则点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入 解得， ∴点Q的坐标为． 综上，点Q的坐标为或． 【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象和性质、动点求面积问题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．熟练掌握一次函数的图象及性质，构造全等三角形及利用全等三角形的性质是解答本题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围； (3)已知点是轴上一点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先利用正比例函数的解析式求出点，再代入一次函数的解析式求出的值； （2）结合图象判断的取值范围即可； （3）分类讨论，当点为直角顶点时，由可直接得出点的坐标；点为直角顶点时，如图，设点的坐标为，则，利用勾股定理求出和，再构造方程求出的值． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得，， 解得； （2）解：由图可知，点的右侧部分，一次函数的图象低于正比例函数的图象， ∴当时，的取值范围为； （3）解：∵与轴不垂直， ∴点不是直角顶点， ①当点为直角顶点时，如图， ∵， ∴点的坐标为； ②当点为直角顶点时，如图，设点的坐标为，则， 由勾股定理可得，，， 在中，， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 4．如图，平面直角坐标系中一平行四边形，点A的坐标，点B的坐标，与交于点E，与y轴交于点G，直线交y轴于点F且G为线段的中点． (1)求出直线的解析式． (2)若点Q是点F关于点E的对称点，P点为线段上的一动点，过点P作轴，垂足为H，连接．问是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由． (3)点M是直线上的一个动点，且满足，在坐标平面内是否存在另一点N，使以O、F，M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线EF的解析式为 (2)当点P坐标为时，的值最小 (3)存在，当时，满足条件的N坐标为或或；当M（，）时，满足条件的点N坐标为（，）或（，﹣）或（﹣，）． 【分析】（1）先根据题意确定，然后再运用待定系数法求函数解析式即可； （2）：如图1：连接交于，作于，可说明当点P与P′重合时，的值最小；由题意可得，可求得直线的解析式为，进而求得、即可解答； （3）设，根据可得，再由勾股定理可得解得或，从而求得或，然后再分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则有，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：如图1：连接交于，作于． ∵，, ∴四边形是平行四边形， ∴, ∴当点P与P′重合时，的值最小=． 由题意，则运用待定系数法可得：直线的解析式为， ∴， ∴， ∴当点P坐标为时，的值最小． （3）解：设， ∵， ∴， ∴，解得或， ∴或， 当、时， ∵O、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴①当为边时，点N的纵坐标为或，则点N坐标或； 当为对角线时，设N的坐标为 ∵的中点为， ∴，解得： ∴点N坐标 ∴点N的纵坐标为或或； 同理：当M时，满足条件的点N坐标为或或． 综上，满足条件的点N坐标为或或或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与特殊图形的综合，主要考查了运用待定系数法法求函数解析式、平行四边形的性质等知识点，正确作出辅助线以及分类讨论是解答本题的关键． 5．直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线经过点C，交x轴于点E.    (1)请直接写出点C，点D的坐标，并求出m的值； (2)点是线段上的一个动点（点P不与O、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交于M，交于N.当四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (3)点是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，t为何值时，以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)，， (2) (3)或3或 【分析】（1）首先求出，，再利用勾股定理求得，再根据菱形的性质求得，，再把点C坐标代入直线即可求解； （2）由（1）可知，直线，，求得，，设，，可得，根据平行四边形的性质可得，即，即可求解； （3）若以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，分类讨论：、、分别求值即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，；当时，，解得， ∴，， ∴，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∵直线经过点C， ∴， 解得：． （2）解：由（1）可知，，， ∴直线， 当时，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 解得， ∴． （3）解：∵以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形， ∴是等腰三角形， 当时， ∵，，， ∴，， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， 解得， 当时，， 解得 ， 综上所述，或3或时，以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查直线上点的坐标的特征、平行四边形的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题是解题的关键． 6．定义在平面直角坐标系中，对于任意的三个点，，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且，，三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点，，的覆盖矩形．在点，，的所有覆盖矩形中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点，，的最佳覆盖矩形． 示例  如图1，矩形，矩形都是点，，的覆盖矩形，矩形是点，，的最佳覆盖矩形． 探究  如图2，已知，，动点． (1)若，，则点，，的最佳覆盖矩形的周长为_____，面积为_____； (2)若，点，，的最佳覆盖矩形的面积为30，求的值； (3)若动点经过，且每增加1时减小2，设点，，的最佳覆盖矩形的面积为． ①直接写出与之间的函数关系式； ②当时，直接写出关于的函数关系式； ③当点，，的最佳覆盖矩形为正方形时，直接写出点的坐标； 【答案】(1)18； 18； (2)6或 (3)①；②；③或 【分析】（1）利用坐标极差法，求出三点横、纵坐标的最值，作差得到矩形长、宽，代入周长、面积公式计算； （2）先确定横坐标极差，结合面积公式逆向求出纵向宽度，分类讨论动点纵坐标的最值情况，列方程求解； （3）① 利用待定系数法，结合定点坐标与变量变化规律，求一次函数解析式； ② 根据的取值范围确定水平边长和与水平边垂直的边长，分段列出面积函数关系式； ③ 根据正方形边长相等的性质，分区间讨论边长表达式，列方程求解并舍去不合理解． 【详解】（1）解：，， 最佳覆盖矩形的长为，宽为， 周长为 ，面积为； （2）解：，， 最佳覆盖矩形的长为， 矩形的面积为， 矩形的宽为， 矩形的宽由纵坐标的最大值与最小值的差决定，纵坐标分别是，，， 当为最大值时，宽为， ， 解得， 当为最小值时，宽为， ， 解得， 的值为或； （3）解：①设 把代入， 每增加1时减小2， ， ； ②，， 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， ， 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， ， 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， ， ③当最佳覆盖矩形为正方形时，长等于宽， 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， 令，解得，与条件矛盾，不符合题意； 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， 令，解得，即； 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为，不符合题意； 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， 令，解得，即； 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， 令，解得，与条件矛盾，不符合题意． 【点睛】本题利用横、纵坐标最值法确定最佳覆盖矩形的长与宽，结合矩形周长、面积公式计算；含参数动点问题需采用分类讨论法，依据动点坐标取值范围判断最值； 利用特殊图形的边长等量关系列方程，求解后需检验取值范围． 类型十、（特殊）平行四边形的动点求t（解） 1．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）． (1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________； (2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值． 【答案】(1)t， (2)3 【分析】（1）根据平行四边形的性质和点运动的时间进行解答即可； （2）根据平行四边形的判定得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动， ∴当点P，Q运动t秒时，线段的长度为；线段的长度为； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得． 2．如图，在矩形中，，点E在边上，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为t秒（），连接，当点P运动到点B时，． (1)________； (2)当四边形是平行四边形时，求t的值； (3)连接，当的面积为6时，求t的值； (4)作点A关于直线的对称点，当点落在矩形的边上时，直接写出t的值． 【答案】(1)3 (2)9 (3)t的值为或7 (4)t的值为或7或8 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）平行四边形的对边相等，则，据此建立方程求解即可； （3）分类讨论，当点P在上和上，再根据三角形的面积公式建立关于t的方程求解即可； （4）分三种情况进行讨论：当点P在边上，点落在边上时，当点P在边上，落在边上时，当点P在边上，点落在边上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点P在上时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点P在上时，如图， ∵，， ∴， ∴， 综上，当的面积为6时，t的值为或7； （4）解：①如图，当点P在边上，点落在边上时， ∵点A关于对称点为， ∴，， 过E作于点F，则四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得； ②如图，当点P在边上，落在边上时， 同理可得， ∴， ∵， ∴ ， 在中，， 即， 解得； ③如图，当点落在边上时， 此时，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 综上，t的值为或或8． 3．如图，在四边形中，，，．延长到E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P运动的时间为t秒（）． (1)四边形的形状为 ； (2)当 时，点P运动到的角平分线上； (3)请用含t的代数式表示的面积S； (4)当时，直接写出点P到四边形相邻两边距离相等时t的值． 【答案】(1)矩形 (2)8 (3) (4)或或 【分析】本题考查矩形的判定、平行四边形的性质、角平分线定理、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用以上知识． （1）根据，可得四边形是矩形； （2）根据角平分线定义可得，得，进而可得的值； （3）根据题意分3种情况讨论：①当点在上运动时，②当点在上运动时，③当点在上运动时，分别用含的代数式表示的面积即可； （4）当时，点在、边上运动，根据题意分情况讨论：①当点在上，点到边的距离为，点到边的距离也为，②当点在上，点到边的距离为，点到边的距离也为，③当点在上且到与距离一样时． 【详解】（1）解：， 四边形是矩形， 故答案为：矩形． （2）如图，作的角平分线交于， ， 四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， ，解得． 当时，点运动到的角平分线上； 故答案为：； （3）根据题意分3种情况讨论： ①当点在上运动时， ，； ②当点在上运动时， ，； ③当点在上运动时， ，； 综上，； （4）解：当时，点在、边上运动，根据题意分情况讨论： ①当点在上，且点到与距离一样时， 点到边的距离为， 点到边的距离也为， 即， ，解得； ②当点在上，且到与距离一样时，如图，过作于点， 则，即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ③当点在上，则到与距离一样时，如图，过点作于点， 设，则， ， ， 解得：， ， ． 综上所述：或或时，点到四边形相邻两边距离相等． 4．已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得当时，四边形为平行四边形，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得方程，进而求解即可； （3）由题意可分：当点P在边上，当点P在边上，即，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：当点P在边上，则有，所以， 在正方形中，， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在边上， ∴， ∴， 解得：； （3）解：存在，理由如下： 由题意可分：当点P在边上，则有，所以，此时四边形是梯形， ∴四边形的面积为， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当点P在边上，即，则有，如图， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴与的面积之和也为正方形的面积的一半， ∴， 解得：； 综上所述：当时，四边形的面积等于正方形的面积的一半． 5．如图1，在矩形中，，，分别是，的中点，是对角线上的两个动点，分别从同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，设运动时间为秒，其中． (1)四边形一定是怎样的四边形（点相遇时除外）? 答：______．（直接填空，不用说理） (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)若向点运动，向点运动，速度均为每秒个单位长度，且与点同时出发，当四边形为菱形时，的值为______． 【答案】(1)平行四边形 (2)矩形，理由见详解 (3) 【分析】（1）先证明，得出，进而得到，即可证明； （2）根据题中条件及（1）中结论，当时，证得的两条对角线相等即可； （3）根据菱形的判定与性质证得四边形为菱形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，则， 分别是中点， ， ， 由题意得， 在和中， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形为矩形， 理由如下： 在中，，，则由勾股定理可得， 当时，，连接，如图所示： 由（1）得，， ∴四边形是矩形， ，， 由（1）知四边形是平行四边形，则，， 在中，，则由勾股定理可得， ， 则， 在中，， 则四边形为矩形； （3）解：令分别是，的中点，连接与交于，如图所示： ， 由题意知，则， 在矩形中，， ， 则四边形是平行四边形， ∵四边形为菱形， ， ∴四边形为菱形， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，则， 解得x， ，即， ∴当时，四边形为菱形． 6．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，使为菱形 (2) (3)不存在，使为正方形 【分析】本题考查四边形中的动点问题，解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置 （）利用菱形的判定和性质进行求解即可； （）利用矩形的判定和性质进行求解即可； （）利用正方形的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：不存在，理由： ∵，，过作于，则四边形是矩形， ∴，.， 又∵， ∴， 根据勾股定理，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 此时，， 而， ∴四边形不可能是菱形； （2）如图，∵，； ∴当时，四边形是矩形， 即， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）由当时，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形不能是正方形， 即不存在时间，使四边形是正方形 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、正确结论的是(含半角模型)(选、填) 1．如图 ，在边长为2的正方形中，点分别在边和上（均不与点重合），分别平分和．关于结论①，②，下列判断正确的是（    ） 结论①：点到的距离为2； 结论②：． A．结论①，②均正确 B．结论①，②均不正确 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确 2．如图，在正方形中，为上一点（不与点B、C重合），连接，为延长线上一点，，连接，，过点作于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②是等腰直角三角形； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 3．如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积等于正方形面积的四分之一； ④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 4．如图，在中，，于点E，于点F，，交于点N，，的延长线交于M，给出下列结论：①；②点C是的中点；③；④．则上述结论中，所有正确结论的序号是______． 5．如图，正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于点，给出下面五个结论：；；；平分；上述结论中，正确结论的序号有______． 6．如图，在边长为4的正方形中，对角线相交于点O．点E在线段上．连结，作于点F，交于点P，连接．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④．上述结论中，正确结论的序号有_____． 类型二、最值问题与取值范围问题（选、填） 1．如图，在正方形中，，点，分别是，上的点且，与交于点，过点作于点，点是上一动点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 2．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（   ） A． B．8 C．10 D．34 3．如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．如图，正方形中，，在三角形中，，动点分别在上运动，，求的最小值______． 5．如图，长方形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段的长度的取值范围是_______． 6．如图，在中，点E是边上的动点，已知，，，现将沿折叠，点是点A的对应点，设长为x，若点落在内（包括边界），则x的取值范围是______． 类型三、动点几何函数图象（选、填） 1．已知函数（，为常数）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（） A． B． C． D． 2．如图1，在菱形中，，动点E从点A出发，沿边方向匀速运动，到达点B时停止，过点E作于点F，作交菱形的边于点G，设点E的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．小张的爷爷每天坚持锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路漫步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离米与时间分钟之间关系的大致图象是（     ） A． B． C． D． 4．如图①，在中，，为的中点，动点从点出发沿运动到点，设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图②所示，则的长为___________． 5．如图1，矩形中，为其对角线，一动点P从D出发，沿着的路径行进，过点P作，垂足为Q，设点P的运动路程为x，与的差值（）为y，y与x的函数图象如图2，则的长为________． 6．如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中是图象上的最低点，则（1）菱形的边长为________，（2）的值为________．      类型四、一次函数与二次根式的规律（选、填、解） 1．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第7行从左向右数第8个数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；……；按这样的规律进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．小桃桃根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 以下为小桃桃的探究过程，请补充完整： 具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3： （1）如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：___________； （2）应用运算规律化简：___________． 4．如图，，，，…，都是面积为的等边三角形，边在轴上，点，，，…，，都在直线上，点，，，…，都在直线的上方，观察图形的构成规律，用你发现的规律直接写出点的坐标为______．    5．嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 6．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务 用函数研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律 数轴是初中数学的一个重要工具，研究数轴我们可以发现许多重要的规律．例如：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．学习函数知识后，我们可以用函数方法研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律． 特例研究： 例：如图1，在数轴上点，点表示的数分别为，3，动点表示的数为，求点到点，的距离和为，并直接写出的最小值. 用函数方法，我们可以用含的式子表示 ， 画出函数图象如图2，观察图象，可以直观看出：的最小值为5． 拓广探索： 若数轴上点，点表示的数分别为常数，，且，动点表示的数为，点到点，的距离和为，并直接写出的最小值，.…… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是______（从下面选项中选出两个即可）； A．转化思想  B．数形结合思想   C．统计思想      D．分类讨论思想 (2)请直接写出“拓广探索”中，关于的函数表达式． (3)在“拓广探索”中，的最小值为______；当时，随的增大而______． (4)如果你写“拓广探索”部分的内容，请直接写出一个你发现的结论． 类型五、函数中的行程问题（选、填、解） 1．A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：）与时间t（单位：）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶．其中正确的有哪几个（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 2．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发 C．客人距离厨房门口 D．从聪聪出发直至送餐结束，共需 3．黄河公园内有一条健身跑道，是市民健身休闲的好去处．周末，小明和爸爸参加了该公园举办的“亲子骑车赛”．两人所行路程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示．当爸爸到达终点时，小明距离终点还有____千米． 4．A，B两地相距，甲，乙两人沿同一条路从A地到B地．（甲骑摩托车，乙骑自行车）．甲，乙两人离开A地的距离（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示，下列说法： ①乙比甲提前出发； ②甲的速度为； ③的值为50； ④或时，乙比甲多行． 其中正确的是：________（填序号） 5．在一条笔直的公路上依次有A，B，C三地．甲车从A地出发匀速行驶到B地，休息1小时后，原速行驶到C地，同时乙车从C地出发匀速行驶到B地后，立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速返回到C地，甲车比乙车早1小时到达C地．甲，乙两车距B地的路程y（单位：千米）与甲车出发时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题： (1)乙车的速度为 千米/时，A地与C地之间的距离为 千米； (2)求甲车从B地到C地的过程中y与x的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在两车行驶过程中，出发多少小时后，甲，乙两车相距30千米？请直接写出答案． 6．某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为测量各自的行走性能，进行测试．已知甲、乙两机器人在同一地点，甲机器人全程在它的“全速模式”下运动，乙机器人晚出发分钟，开始在“基本模式”下运动，中途停止运动进行分钟的调试，之后切换到它的“全速模式”下运动．已知甲、乙两机器人运动的距离（单位：米）与甲机器人运动的时间（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)直接写出的值； (2)求乙机器人在“基本模式”和“全速模式”下，运动的距离与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)直接写出乙机器人出发多长时间，两个机器人相距米． 类型六、矩形的折叠问题（选、填、解） 1．将一张平行四边形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，C在同一直线上，连接，．已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知矩形为线段上一点（如图甲），现将其沿折叠，F为C点关于的对称点，线段分别交于（如图乙），再沿折叠，F点关于的对称点Q恰好落在线段上，若度，则用含的代数式表示的度数为（   ）度 A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，将沿对角线折叠得到，与边交于点E，再将沿折叠得到，若点恰好落在的边上，则的长为______． 4．折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将边沿折叠，点的对应点为，再将沿折叠，使得点恰好落在边上的处折痕与边交于．若正方形边长为，连接，则的面积 =________． 5．某数学兴趣小组研究图形折叠问题 (1)先利用矩形折叠，如图1，将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______． (2)再利用平行四边形折叠，如图2，将平行四边形沿折叠，点落在点处，与交于点，连接．猜想：与的数量关系，与的位置关系，并证明． (3)在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，请直接写出的长． 6．【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)操作观察： 如图1所示，小华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则___________， （填“”，“”或“”）； (2)判断与证明： 如图2所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，请判断四边形的形状并证明： (3)迁移应用： 如图3所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长． 类型七、勾股定理的证明与根式有理化（解） 1．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 2．综合与探究 勾股定理是平面几何中最著名的定理之一，描述了直角三角形三条边之间的关系，其核心内容为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和． 【定理证明】 (1)勾股定理的证明方法很多，赵爽弦图（如图1），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请你用它验证勾股定理：； 【定理应用】 (2)如图2，在网格中，是格点三角形（顶点为网格线的交点），求点到边的距离； (3)如图3，在中，，点是高上一点，．若,，求的长； 【拓展延伸】 (4)已知和均是等腰直角三角形，，如图4，连接，，若，，，直接写出的长． 3．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点，重合，，，，，也利用“双求法”验证了勾股定理． 证明：连接，，则． 则 (1)请借助图2补全勾股定理的验证过程． (2)如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________ (3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 4．已知，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)直接写答案：________ (2)计算：； (3)若，求的值． 5．先阅读，后解答： ，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是____________；的有理化因式是____________． (2)将下列式子进行分母有理化：①___________；②____________． (3)类比（2）中②的计算结果，计算： 6．阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． 请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算：； (2)已知是正整数，，，，求． 类型八、勾股定理、四边形、一次函数的新定义（解） 1．阅读材料，解答下面问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)理解并填空： ①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定 （填“是”或“不是”）奇异三角形； ②若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形 （填“是”或“不是”）奇异三角形； (2)探究：在中，两边长分别是a，c，且，，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由． 2．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．    (1)如图，在凸四边形中，平分，．求证：四边形为等邻边四边形； (2)如图，在中，，，，将沿的平分线的方向平移，得到，连接，．若平移后得到的凸四边形是等邻边四边形，且满足，求平移的距离． 3．我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图，，则四边形为等邻角四边形． (1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是 ． ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④等腰梯形 (2)如图，在四边形中，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结，，且，求证：四边形为等邻角四边形． (3)如图，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，猜想，，之间的数量关系？并请说明理由． 4．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形______（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点作于点． ①试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 5．定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 6．【新定义】如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点P分别作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，我们称折线EPF为点P关于直线l的“L路径”， “L路径”的长度称为点P关于直线l的“L距离”，记为，即． 【定义理解】（1）如图2，若直线l的表达式为，与x轴和y轴分别交于A，B两点，求（点O为坐标原点）： 【定义运用】（2）如图3，将直线向左平移n个单位长度后得到直线，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离n的值； 【定义拓展】（3）在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型九、一次函数中的特殊三角形（四边形）（解） 1．如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M在线段上，将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若点C在坐标轴上，是等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 2．【探索发现】 如图1，在等腰直角三角形中，，若点C在直线上，且，，则．我们称这种全等模型为“k型全等”． 【迁移应用】 设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）若，且是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限，如图2． ①直接填写：　　，　　； ②求点E的坐标． （2）如图3，若，过点B在y轴左侧作，且，连结，当k变化时，的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，若，点C的坐标为．设点P，Q分别是直线和直线上的动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点Q的坐标．    3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围； (3)已知点是轴上一点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 4．如图，平面直角坐标系中一平行四边形，点A的坐标，点B的坐标，与交于点E，与y轴交于点G，直线交y轴于点F且G为线段的中点． (1)求出直线的解析式． (2)若点Q是点F关于点E的对称点，P点为线段上的一动点，过点P作轴，垂足为H，连接．问是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由． (3)点M是直线上的一个动点，且满足，在坐标平面内是否存在另一点N，使以O、F，M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线经过点C，交x轴于点E.    (1)请直接写出点C，点D的坐标，并求出m的值； (2)点是线段上的一个动点（点P不与O、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交于M，交于N.当四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (3)点是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，t为何值时，以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？ 6．定义在平面直角坐标系中，对于任意的三个点，，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且，，三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点，，的覆盖矩形．在点，，的所有覆盖矩形中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点，，的最佳覆盖矩形． 示例  如图1，矩形，矩形都是点，，的覆盖矩形，矩形是点，，的最佳覆盖矩形． 探究  如图2，已知，，动点． (1)若，，则点，，的最佳覆盖矩形的周长为_____，面积为_____； (2)若，点，，的最佳覆盖矩形的面积为30，求的值； (3)若动点经过，且每增加1时减小2，设点，，的最佳覆盖矩形的面积为． ①直接写出与之间的函数关系式； ②当时，直接写出关于的函数关系式； ③当点，，的最佳覆盖矩形为正方形时，直接写出点的坐标； 类型十、（特殊）平行四边形的动点求t（解） 1．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）． (1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________； (2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值． 2．如图，在矩形中，，点E在边上，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为t秒（），连接，当点P运动到点B时，． (1)________； (2)当四边形是平行四边形时，求t的值； (3)连接，当的面积为6时，求t的值； (4)作点A关于直线的对称点，当点落在矩形的边上时，直接写出t的值． 3．如图，在四边形中，，，．延长到E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P运动的时间为t秒（）． (1)四边形的形状为 ； (2)当 时，点P运动到的角平分线上； (3)请用含t的代数式表示的面积S； (4)当时，直接写出点P到四边形相邻两边距离相等时t的值． 4．已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 5．如图1，在矩形中，，，分别是，的中点，是对角线上的两个动点，分别从同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，设运动时间为秒，其中． (1)四边形一定是怎样的四边形（点相遇时除外）? 答：______．（直接填空，不用说理） (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)若向点运动，向点运动，速度均为每秒个单位长度，且与点同时出发，当四边形为菱形时，的值为______． 6．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $