第一单元 四则运算（4大考点，5大易错点，6大题型）-25-26学年四年级下册数学高频易错期末专项复习讲义 人教版

第一单元《四则运算》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 四则运算各部分关系及逆运算 考查加减乘除各部分名称与数量关系式，判断加减、乘除互逆关系，常以填空、判断题型考查概念辨析与简单验算。 有关0的运算规律 考查0在四则运算中的特殊规则，重点辨析“0不能作除数”高频易错点，多以判断题、选择题设置陷阱考查。 四则混合运算顺序 考查同级运算、两级运算、带小括号、带中括号的运算顺序，以脱式计算题型为主，检测运算顺序掌握熟练度。 括号的灵活运用与算式改写 考查根据运算顺序添括号、去括号，将分步算式合并为综合算式，是期末高频重难点题型。 四则混合运算规范计算 考查三步及以内混合脱式计算，注重步骤完整、格式规范、结果准确，是期末计算大题核心考点。 四则运算解决实际问题 结合生活场景考查数量关系分析，要求列综合算式解题，侧重考查学生审题能力与数学应用能力。 核心考点总结 1、加减法的意义与各部分关系 （1）加法：把两个数合并成一个数的运算。 公式：加数 + 加数 = 和 变形：和－一个加数 = 另一个加数 （2）减法：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。（减法是加法的逆运算） 公式：被减数－减数 = 差 变形：被减数 = 差 + 减数；减数 = 被减数－差 2、乘除法的意义与各部分关系 （1）乘法：求几个相同加数和的简便运算。 公式：因数 × 因数 = 积 变形：积 ÷ 一个因数 = 另一个因数 （2）除法：已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。（除法是乘法的逆运算） 公式：被除数 ÷ 除数 = 商 变形：被除数 = 商 × 除数；除数 = 被除数 ÷ 商 有余数除法必考公式：被除数＝商 × 除数＋余数；余数＜除数 3、关于 0 的运算（期末考试最爱考判断题） （1）一个数＋0＝原数 （2）一个数－0＝原数 （3）被减数＝减数，差＝0 （4）一个数 ×0＝0 （5）0 除以任何不为 0 的数都得 0 （6）0 不能作除数！（高频易错考点） 4、四则运算顺序（重中之重） （1）同级运算（只有加减 / 只有乘除）：从左往右依次计算 （2）两级混合运算（有乘除、有加减）：先算乘除，后算加减 （3）有小括号：先算括号里面，再算括号外面；括号内也要先乘除、后加减。 本单元高频易错点汇总 易错点1：运算顺序混乱 错例： 正确：先乘法后减法 口诀：先乘除、后加减，同级从左算 易错点2：0 做除数 判断题：0 除以任何数都得 0（×） 正确：0 除以任何不为 0 的数都得 0 易错点 3：有余数除法公式记混 很多学生只会算，不会逆推求被除数、除数，应用题极易丢分 易错点 4：脱式计算跳步、格式不规范 考试要求：一步一式、等号对齐、不跳步 易错点 5：列综合算式忘记加括号 分步算式改综合算式，需要改变顺序时必须加小括号 经典例题精讲（期末真题题型） 例题 1 加减法逆推 已知两个数的和是 360，其中一个加数是 125，求另一个加数。 解： 方法：和－加数＝另一个加数 例题 2 乘除法逆推 两个因数的积是 480，一个因数是 20，求另一个因数。 解： 例题 3 普通两级运算 计算： 步骤：原式＝＝ 例题 4 带括号运算 计算： 步骤：原式＝＝ 例题 5 分步改综合算式 分步： 综合算式： 分步： 综合算式： （必须加括号！） 六大题型 题型一、加减法的意义与各部分关系 做题秒杀妙招 妙招1：看问题选算法 求一共、求总数 → 用加法 求剩下、求部分、求谁比谁少 → 用减法 妙招2：填括号、求未知数绝杀 括号在前面、在中间（求加数、求减数）→用减法 括号在最后、求总数（求和、求被减数）→ 用加法 1．在一个减法算式中，被减数、减数、差相加的和是8，则被减数是（    ）。 A．2 B．4 C．6 【答案】B 【分析】在减法中，被减数＝减数＋差，减数＝被减数－差，差＝被减数－减数；读题可知，被减数＋减数＋差＝8，即减数＋差＋减数＋差＝8，减数＋差＝4。据此解答。 【详解】由分析可知，减数＋差＝4，即被减数为4。 在一个减法算式中，被减数、减数、差相加的和是8，则被减数是4。选项B正确。 故答案为：B 2．在一道减法算式中，被减数、减数以及差的和是100，则被减数是（    ）。 A．100 B．80 C．50 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据“被减数－减数＝差”可得：减数＋差＝被减数，所以被减数、减数与差的和是被减数的2倍，据此用100除以2即可求出被减数是多少。 【详解】由分析可知： 100÷2＝50 所以在一道减法算式中，被减数、减数以及差的和是100，则被减数是50。 故答案为：C 3．两个数相加，一个数增加8，另一个数减少3，和（    ）。 A．增加5 B．增加4 C．减少5 【答案】A 【分析】加数＋加数＝和，一个加数不变，另一个加数增加多少或者减少多少，和就增加多少或者减少多少。据此解答。 【详解】两个数相加，另一个数不变，一个数增加8，那么和也增加8。此时，一个数不变，另一个数减少3，和在增加8的基础上再减少3，8－3＝5，此时的和增加5。 故答案为：A 4．如果※＋6＝18，※表示的数是（    ）。 A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】因为加法中，和减去一个加数等于另一个加数，在※＋6＝18里，和是18，一个加数是6，那么另一个加数就等于和18减这个加数6，即18－6＝12，所以※表示的数是12。 【详解】※＝18－6＝12 故答案为：C 5．猜猜我是谁。 ( )                    ( ) 【答案】 208 251 【分析】根据加法各部分间的关系：加数＋加数＝和，加数＝和－另一个加数；据此解答。 【详解】160＋48＝208 763－512＝251 所以第一个数是208，第二个数是251。 6．在算式□－△＝○中，已知○＋△＝320，那么□＝( )。 【答案】320 【分析】根据题意，明确被减数－减数＝差，被减数＝减数＋差，在算式□－△＝○中，已知○＋△＝320，□＝△＋○＝320，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： □＝△＋○＝320 在算式□－△＝○中，已知○＋△＝320，那么□＝320。 7．一道减法算式中，被减数、减数、差的和是480，减数是差的2倍，被减数是( )，减数是( )。 【答案】 240 160 【分析】在减法中，被减数－减数＝差，差＋减数＝被减数，由题可知，被减数＋减数＋差＝480，根据减法各部分间关系可知，减数＋差＋减数＋差＝480，用480除以2，算出减数与差的和是240，即被减数也是240；再根据题目可知，减数是差的2倍，即差＋差＋差＝240，由此可以算出差，再用差乘2，即可算出减数。据此解答。 【详解】480÷2＝240 240÷3＝80 80×2＝160 这道减法算式为：240－160＝80 一道减法算式中，被减数、减数、差的和是480，减数是差的2倍，被减数是240，减数是160。 题型二、乘除法的意义与各部分关系 秒杀口诀：乘求总、除平分；求因数用积除，求被除数用乘 1．对于没有余数的除法，下列说法正确的有（    ）个。 ①被除数＋除数＋商＝1    ②被除数－（除数＋商）＝0    ③除数一定比商大 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】在没有余数的除法中，被除数÷除数＝商，商×除数＝被除数。据此举例说明即可判断给定的关系是否正确，然后再选择。 【详解】例如：100÷5＝20，5×20＝100，被除数是100，除数是5，商是20。 ①100＋5＋20 ＝105＋20 ＝125 被除数＋除数＋商＝1不成立，说法错误； ②100－（5＋20） ＝100－25 ＝75 被除数－（除数＋商）＝0不成立，说法错误； ③5＜20，除数比商小，则除数一定比商大不成立，说法错误； 说法正确的有0个。 故答案为：A 2．体育用品商店开展促销活动，排球销售方法如图所示，学校要买12个排球至少要花（    ）元钱。 今日排球售价 买1个20元 买2个38元 买3个51元 A．190 B．204 C．288 【答案】B 【分析】单个买的单价是20元，2个一组买的单价是38÷2＝19（元），3个一组买的单价是51÷3＝17（元），17＜19＜20，因此最便宜的购物方法是3个一组的买，买12个即是买12÷3＝4（组），再用3个的钱数×4即可解题。 【详解】38÷2＝19（元） 51÷3＝17（元） 17＜19＜20，所以3个3个的买最便宜。 12÷3＝4（组） 51×4＝204（元） 体育用品商店开展促销活动，排球销售方法如图所示，学校要买12个排球至少要花204元钱。 今日排球售价 买1个20元 买2个38元 买3个51元 故答案为：B 3．一个数除以14的商是15，余数最大可以是___________，这时被除数是___________。 【答案】13 223 【分析】在有余数除法算式中，余数总比除数小，余数最大是除数减1；根据被除数＝除数×商＋余数，求出余数最大时的被除数即可。 【详解】余数最大为：14－1＝13 14×15＋13＝210＋13＝223 一个数除以14的商是15，余数最大可以是13，这时被除数是223。 4．1040减去一个数得746，这个数是( )；被除数是283，商是16，余数是11，则除数是( )。 【答案】294 17 【分析】求减数，根据被减数－差＝减数，解答即可；求除数，根据被除数＝商×除数＋余数，除数＝（被除数－余数）÷商解答即可。 【详解】1040－746＝294 （283－11）÷16＝272÷16＝17 所以1040减去一个数得746，这个数是294；被除数是283，商是16，余数是11，则除数是17。 5．乐乐忘记了自家大门的密码，爸爸根据乐乐所学的知识给她提供了一些线索，其中○＝( )，密码是( )。 线索：○＋△＝□，△×15＝90，54÷△＝□ 密码：○□△○ 【答案】3 3963 【分析】根据题意，明确加数＋加数＝和，加数＝和－另一个加数；乘数×乘数＝积，乘数＝积÷另一个乘数；被除数÷除数＝商，被除数＝除数×商；根据线索，先通过△×15＝90，求出△的值，再代入54÷△＝□，求出□，最后利用○＋△＝□，求出○。将各符号对应的数字按顺序组合成密码○□△○即可。 【详解】根据分析可知： △×15＝90 △＝90÷15＝6 54÷△＝□ □＝54÷6＝9 ○＋△＝□ ○＝□－△ ○＝9－6＝3 乐乐忘记了自家大门的密码，爸爸根据乐乐所学的知识给她提供了一些线索，其中○＝3，密码是3963。 题型三、带括号的混合运算 分层规则 1、有小括号：先算小括号里面，再算括号外面 2、既有乘除又有加减：先乘除、后加减 3、只有加减/只有乘除：从左往右依次计算 1．，列出算式是（    ）。 A．（235－153＋368）÷25 B．235－153＋368÷25 C．（235－153）＋368÷25 D．235－（153＋368）÷25 【答案】A 【分析】根据运算顺序，第一步计算235减153，第二步将结果加368，第三步将结果除以25。因此，综合算式需先进行减法和加法运算（同级运算，从左到右），最后进行除法运算。为确保运算顺序正确，需用括号将减法和加法部分括起。 【详解】第一步：235－153＝82 第二步：82＋368＝450 第三步：450÷25＝18 综合算式为：（235－153＋368）÷25 计算过程： （235－153＋368）÷25 ＝（82＋368）÷25 ＝450÷25 ＝18 故答案为：A 2．下面算式中，结果不是0的是（    ）。 A．48÷（24＋24）－1 B．48×（24－24）÷1 C．48×[（24－24）＋1] 【答案】C 【分析】计算整数四则混合运算时，同级运算时，从左往右依次计算；两级运算时，先算乘除法，再算加减法；有小括号和中括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算中括号外的，据此解答。 【详解】A．48÷（24＋24）－1 ＝48÷48－1 ＝1－1 ＝0 B．48×（24－24）÷1 ＝48×0÷1 ＝0÷1 ＝0 C．48×[（24－24）＋1] ＝48×[0＋1] ＝48×1 ＝48 结果不是0的是48×[（24－24）＋1]。 故答案为：C 3．不改变运算结果，下面各题中小括号可以去掉的是（    ）。 A．125＋（833÷9） B．482－（305－120） C．（154－47）×9 D．450÷（25×2） 【答案】A 【分析】根据四则运算中，先乘除后加减，有括号的先算括号里的算式，同级运算按从左到右的顺序依次计算的运算顺序，然后逐项分析去掉括号后运算顺序是否改变，若不改变则结果不变，据此解答。 【详解】A．原式125＋（833÷9），按照运算顺序，先算括号里的除法833÷9，再算加法。去掉括号后变为125＋833÷9，运算顺序依然是先算除法833÷9，再算加法，运算结果不变。 B．原式482－（305－120），先算小括号里的减法305－120＝185，再算小括号外的减法482－185＝297，去掉括号后变为482－305－120，运算顺序改变了，先算482－305＝177，再算177－120＝57，结果会改变。 C．原式（154－47）×9，先算括号里的减法154－47＝107，再算乘法107×9＝963，去掉括号后变为154－47×9，运算顺序改变了，先算乘法47×9，结果会改变。 D．原式450÷（25×2），先算小括号里的乘法25×2＝50，再算括号外的除法450÷50＝9，去掉括号后变为450÷25×2，运算顺序改变了，先算450÷25＝18，再算18×2＝36，结果会改变。 所以，去掉题中的小括号，不改变运算结果的是A选项。 故答案为：A 4．张老师买了18本《童话选》，付给收银员600元，找回60元。花花列式60÷[（600－60）÷18]，她想解决的问题是（    ）。 A．《童话选》单价是多少 B．18本《童话选》共花了多少钱 C．剩下的钱还能买几本《童话选》 D．600元一共能买多少本《童话选》 【答案】C 【分析】算式“60÷[（600－60）÷18]”，是先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算括号外的除法，第一步小括号里面600－60是用总钱数减去找回的钱数，表示18本《童话选》花了多少钱，第二步18本的总价除以18，表示每一本的价格是多少元，最后一步，用剩下的60元除以每一本的价格，就表示剩下的钱数还能买几本《童话选》，由此求解。 【详解】根据分析可知：张老师买了18本《童话选》，付给收银员600元，找回60元。花花列式60÷[（600－60）÷18]，她想解决的问题是剩下的钱还能买几本《童话选》。 故答案为：C 5．算式32×75－25÷25，如果要改变运算顺序，先算减法，再算除法，最后一步算乘法，那么应把算式改成( )，得到的积是( )。 【答案】 32×[（75－25）÷25] 64 【分析】32×75－25÷25，是先算乘法和除法，再算减法，改写成先算减法，再算除法，最后算乘法，是把减法提前到第一步，所以需要在减法上加小括号来改变运算顺序，算式变为32×（75－25）÷25；再把除法提前到乘法之前计算，则需要在除法上加中括号，算式变成32×[（75－25）÷25]，由此求解。 【详解】32×[（75－25）÷25] ＝32×[50÷25] ＝32×2 ＝64 算式32×75－25÷25，如果要改变运算顺序，先算减法，再算除法，最后一步算乘法，那么应把算式改成32×[（75－25）÷25]，得到的积是64。 6．把下面几个算式改写成一个综合算式，并计算出得数。 48÷8＝6，35×6＝210，210－86＝124 综合算式：( )。 【答案】35×（48÷8）－86＝124 【分析】此题的运算顺序是：先算除法，再算乘法，最后算减法，所以48除以8应带上小括号，小括号外面是乘法，然后用这个积减86即可。 【详解】综合算式：35×（48÷8）－86 ＝35×6－86 ＝210－86 ＝124 题型四、租船问题 四步解题法 1、比单价：先算大船、小船每人多少钱，优先选便宜船 2、先多租：尽量多租便宜的船 3、看余数：余下的人：能坐满小船就租小船，坐不满就少租一条大船 4、比总价：两种方案对比，选钱少的 1．实验学校四年级有180名师生去春游。怎样租车最省钱？最少需要多少钱？ 租车价目表 车型 座位/个 车费/元 大巴车 40 200 中巴车 26 150 【答案】租4辆大巴车和1辆中巴车；950 元 【分析】先计算出大、中巴车每人的租金，从而选择每人租金较少的车；用总人数除以每人租金较少的车限乘的人数看其余数的多少，如果余数太小，就可以把每人租金较少的车少租一辆，再把剩余的人数租用另一种车，尽量减少空座。 【详解】大巴车人均租金：200÷40＝5（元）； 中巴车人均租金：150÷26＝5（元）……20（元），说明每个座位超过5元即每人租金是5元多，因为5元小于5元多，所以租大巴车更便宜，应尽量多租大巴车。 方案一：180÷40＝4（辆）……20（人） 20＜26 所以租4辆大巴车和1辆中巴车。 租金：200×4＋150 ＝800＋150 ＝950（元） 方案二：180÷40＝4（辆）……20（人） 4－1＝3（辆） 180－40×3 ＝180－120 ＝60（人） 60÷26＝2（辆）……8（人） 2＋1＝3（辆） 所以租3辆大巴车和3辆中巴车。 租金：200×3＋150×3 ＝600＋450 ＝1050（元） 1050＞950 答：租4辆大巴车和1辆中巴车最省钱，最少需要950元。 2．要租船游玩1小时，怎样租船最省钱？（把最省钱的方案写出来） 【答案】租条大船和条小船最省钱。 【分析】先计算每种船的人均价格，优先选择人均价格便宜的船，在尽量多租大船的基础上，调整大船和小船的数量，确保船只尽量坐满，不留空位，这样最省钱。 【详解】（元） （元） 因为，所以尽量多租大船。 方案一：全租大船 （条）……（人） （条） （元） 方案二：调整方案（尽量坐满） 先租条大船，剩下的人正好可以租条小船。 （人） （元） 答：租条大船和条小船最省钱，共需元。 3．观光游览车为游客提供了便捷、舒适的交通方式，尤其是在大型或地形复杂的景区中，游客可以避免长时间的步行，从而更好地享受景区的美景和休闲时光。一个42人的旅行团要租电动观光车，现有大小两种车型可供选择。这个旅行团怎样租车最省钱？ 大观光车：限坐10名乘客，120元/辆 小观光车：限坐6名乘客，90元/辆 【答案】租3辆大观光车和2辆小观光车，共540元 【分析】首先计算两种车型平均每人需要的费用，确定哪种车型更便宜。优先租用单价便宜的车型，然后根据剩余人数调整租车方案，尽量保证车辆坐满，减少空位，最后通过计算比较不同方案的总费用，选出最省钱的方案。 【详解】大观光车：120÷10＝12（元） 小观光车：90÷6＝15（元） 因为12＜15，所以大观光车更便宜，应尽量多租大观光车。 方案一：全租大观光车： 42÷10＝4（辆）……2（人）， 4＋1＝5（辆），需要租5辆大观光车， 120×5＝600（元） 方案二：租4辆大观光车，剩余人租小观光车： 42÷10＝4（辆）……2（人），需要租1辆小观光车。 所需金额：120×4＋90×1＝480＋90＝570（元） 方案三：租3辆大观光车，剩下的租小观光车： 3×10＝30（人） 42－30＝12（人） 12÷6＝2（辆） 即租3辆大观光车和2辆小观光车，费用是： 120×3＋90×2＝360＋180＝540（元） 540＜570＜600 答：租3辆大观光车和2辆小观光车最省钱，共需540元。 4．某商店出售户外遮阳网有下面两种规格。规格一：每卷50米共100元。规格二：每卷30米共75元。王大伯要买260米的户外遮阳网，怎样买最省钱？ 【答案】 4卷规格一和2卷规格二最省钱；550元 【分析】首先计算两种规格遮阳网每米的价格，比较得出规格一更便宜，因此应优先考虑购买规格一。然后用总米数除以规格一每卷的米数，求出最多能买多少卷规格一以及剩余多少米。由于剩余米数不足以单独买一卷规格一，且直接买一卷规格二会有浪费，需要尝试调整规格一的卷数，搭配规格二，列出几种可行的购买方案，分别计算总费用，通过比较找出最省钱的方案。 【详解】先比较两种规格每米的价格： 规格一：（元） 规格二：（元）……15（米） 所以规格一更便宜，应尽量多买规格一。 计算全买规格一的情况： （卷）……（米） 如果买5卷规格一，还剩10米，需要再买1卷规格二。 方案一：买5卷规格一和1卷规格二。 总长度： ＝250＋30 ＝280（米） ，满足需求。 总费用： （元） 调整方案，减少1卷规格一，增加规格二以凑足米数： 如果买4卷规格一，还剩： ＝260－200 ＝60（米） 60米正好是2卷规格二的长度（）。 方案二：买4卷规格一和2卷规格二。 总长度： ＝200＋60 ＝260（米） ，满足需求。 总费用： （元） 比较两种方案的费用： 所以方案二更省钱。 答：买4卷规格一和2卷规格二最省钱，至少要花550元。 5．星光小学四年级1班有50名师生准备去研学，计划租船游览附近的湖泊。已知游船有两种类型：大船可坐6人，租金30元/条；小船可坐4人，租金24元/条。怎样租船最省钱？最少需要多少元？ 【答案】租7条大船，2条小船最省钱；258元 【分析】先计算出两种类型的船的人均费用，对比可以发现，租大船划算，为使50人全部坐上船且费用最低，需优化大船与小船的组合，优先使用大船（人均成本更低），尽量租大船，剩下的人数租小船，保证没有空位，这样调整大船和小船的数量，搭配最省钱，据此列式解答。 【详解】30÷6＝5（元），24÷4＝6（元），5＜6，优先租大船； 50÷6＝8（条）……2（人），租8条大船，余下2人需要租1条小船，此时有空位； 8×30＋24 ＝240＋24 ＝264（元） 租7条大船，50－6×7＝50－42＝8（人），8÷4＝2（条），余下8人需要租2条小船，此时无空位； 7×30＋2×24 ＝210＋48 ＝258（元） 258＜264 答：租7条大船，2条小船最省钱，最少需要258元。 题型五、购票问题 三种方案必对比（考试直接套） 方案1：全部买个人票 方案2：全部买团体票 方案3：大人买团体，小孩买个人（90%考题最优解） 秒杀判断 大人多、小孩少 → 优先团体票 小孩多、大人少 → 分开买票更划算 1．光明小学15名老师带领85名学生去参观科技展，选哪种方案买票最省钱？需要多少元？ 方案一 方案二 成人票每人40元， 儿童票每人15元。 团体票（30人及以 上）每人20元。 【答案】方案一；1875元 【分析】根据题意可知，分别计算两种方案所需的总费用，再进行比较。首先根据题意确定成人和儿童的人数，方案一按照成人票和儿童票的单价分别计算后求和；方案二按照团体票单价计算总人数的费用。最后比较两个结果，选出费用较低的方案。 【详解】（人） 方案一费用： （元） 方案二费用：（元） 答：选方案一买票最省钱，需要1875元。 2．某旅行社推出“风景区一日游”两种价格方案。 方案一：成人每人120元，儿童每人50元。 方案二：团体5人以上（含5人）每人80元。 现有成人4人，儿童6人，怎样买票最省钱？最少要花多少钱？ 【答案】4名成人和1名儿童买团体票，5名儿童买儿童票最省钱；650元 【分析】根据题意，共有4名成人和6名儿童。购票方案主要有三种情况： 方案一：成人和儿童分别按各自单价购票。 方案二：所有人全部购买团体票。 方案三（组合购票）：由于团体票要求5人以上，可以让4名成人和1名儿童凑成5人买团体票，剩下的5名儿童买儿童票。 分别计算这三种方案所需的总费用，再进行比较，找出费用最低的方案。 【详解】方案一：成人和儿童分别购票 （元） 方案二：全部购买团体票 （元） 方案三：组合购票（4名成人和1名儿童买团体票，其余5名儿童买儿童票） 团体票人数：（人） 儿童票人数：（人） （元） 比较三种方案的费用： 答：4名成人和1名儿童买团体票，5名儿童买儿童票最省钱；最少花650元。 3．一个旅行团有12人，他们到植物园游玩，植物园门票有两种购票方式（如下表）。为了省钱，他们选择了团体购票的方式，这个旅行团至少有几个成人？请你通过计算说明。 方式一：成人每人80元，儿童每人45元。 方式二：团体10人及以上，每人65元。 【答案】7个 【分析】解题的关键在于理解“为了省钱，选择了团体购票”意味着团体购票的总费用低于单独购票的总费用。首先计算团体购票的总费用；再利用假设法，假设 12 人全是儿童，计算单独购票的最低费用；然后比较团体费用与全儿童单独费用的差额，分析需要多少成人替换儿童才能使单独购票费用超过团体费用。根据每人票价差，计算所需的最少成人数量。 【详解】12人选择团体票的总费用：12×65＝780（元） 12人全是儿童的费用：12×45＝540（元） 780－540＝240（元） 80－45＝35（元） 240÷35＝6（人）……30（元） 6＋1＝7（人） 验证：当有7个成人时，儿童有12－7＝5（人）。 单独购票费用：   7×80＋5×45 ＝560＋225 ＝785（元） 785＞780，此时团体购票更省钱，符合题意。 答：这个旅行团至少有7个成人。 4．世纪公园动物表演门票有两种出售方案。成人6人，儿童7人，选哪种方案合算？ 方案一：成人每人30元，儿童半价。 方案二：团体10人以上（含10人）每人25元。 【答案】方案一 【分析】要判断哪种方案合算，需要分别计算出两种方案所需的总费用，再进行比较，费用少的方案更合算。方案一需要计算成人总费用和儿童总费用之和，其中儿童票价为成人票价的一半；方案二需要确认总人数是否满足团体票要求，再计算总费用。 【详解】方案一： 儿童票价：30÷2＝15（元） 总费用：6×30＋7×15 ＝180＋105 ＝285（元） 方案二： 总人数：6＋7＝13（人） 因为13＞10，所以可以购买团体票。 总费用：13×25＝325（元） 比较两种方案的费用：285＜325 答：选方案一合算。 5．创意滑雪，畅享雪域。某滑雪场推出A、B两种优惠方案。4名成人带3名儿童去该滑雪场滑雪。选择哪种方案比较省钱？需要多少钱？ A方案 成人：85元/位 儿童：60元/位 B方案 团体7人及以上： 75元/位 【答案】A方案；520元 【分析】分别计算出4名成人和3名儿童在A方案和B方案下的总费用，然后进行比较，费用少的方案更省钱。计算A方案费用时，需分别计算成人总费用和儿童总费用后相加；计算B方案费用时，需先计算总人数是否达到团体票要求，再按团体单价计算总费用。 【详解】A方案总费用： 85×4＋60×3 ＝340＋180 ＝520（元） B方案总费用： 4＋3＝7（人） 7＝7 75×7＝525（元） 520＜525 答：选择A方案比较省钱，需要520元。 题型六、货物运输问题 四步解题法 1、算单价：大车、小车每吨运费，优先选便宜车型 2、先满租：尽量多租便宜大车 3、调余数：剩的货物少，就减少一辆大车，换小车装满 4、算总价：对比两种租车方式，取最便宜 1．从甲城到乙城运31吨货物，两种货车运费如图，要运费最少，怎样安排车辆？最少运费多少元？ 【答案】5辆大货车和3辆小货车；1400元 【分析】由题意得，大货车每吨货物需要：220÷5＝44（元）；小货车每吨货物需要：100÷2＝50（元）。对比可知，用大货车运货物更便宜。车上没有空位的情况下，应该多选择大货车来运。直接用31吨除以5算出需要大货车的数量以及多余的货物重量，多余的货物可以选择用小货车来运。这时小货车有空位，所以减少一辆大货车，再把剩余的货物安排给小货车。最后用各自的辆数乘运费，算出结果再相加，就是运费最少是多少元。 【详解】220÷5＝44（元） 100÷2＝50（元） 44＜50 31÷5＝6（辆）……1（吨） 6－1＝5（辆） 31－5×5 ＝31－25 ＝6（吨） 6÷2＝3（辆） 所以，需要5辆大货车和3辆小货车 220×5＋100×3 ＝1100＋300 ＝1400（元） 答：安排5辆大货车、3辆小货车，运费最少是1400元。 2．大卡车限载5吨，运费220元，小卡车限载2吨，运费100元，从甲城到乙城运31吨货物，要使费用最少，运送货物需要大小卡车各多少辆？最低费用多少元？ 【答案】大卡车5辆、小卡车3辆；1400元 【分析】先分别计算大卡车和小卡车运送1吨货物的费用，比较得出哪种卡车更经济。优先选用费用较低的卡车，并尽量保证车辆满载。通过列举不同的租车方案，计算各方案的总费用，比较后得出最低费用及对应的车辆数量。 【详解】 ，大卡车每吨运费较低，应尽量多用大卡车且保持满载。 方案一：尽量租用大卡车 剩余1吨货物租用1辆小卡车。 此时小卡车未满载。 方案二：调整车辆数量使满载 减少1辆大卡车，剩余货物量： 租用小卡车数量： 此时所有车辆均满载。 比较两种方案费用： 1400＜1420 答： 要使费用最少，需要5辆大卡车和3辆小卡车，最低费用是1400元。 3．生活中的数学。 物流公司要将57吨货物一次性全部从A城运往B城。 （1）如果全用大货车运，需要多少辆大货车？ （2）如果全用小货车运，需要耗油多少升？ （3）怎样安排车辆最省油？制订一个最省油的方案，说说你的思路。（建议用表格） 【答案】（1）9辆 （2）150升 （3）安排7辆大货车，2辆小货车最省油。 【分析】（1）根据题意可知，用货物的总吨数除以大货车的载重量，若有余数，用商加上1，即可求出需要多少辆大货车。 （2）根据题意可知，用货物的总吨数除以小货车的载重量，即可求出需要多少辆小货车，再用小货车的数量乘小货车运一趟耗油的升数，即可求出需要耗油多少升。 （3）大货车的载重量是7吨，运一趟耗油14升，则每吨的耗油量为14÷7＝2升；小货车的载重量是4吨，小货车运一趟耗油10升，则每吨的耗油量为10÷4＝2升……2升；所以在尽量满载的情况下，多使用大货车运送耗油最少；据此根据总吨数及载重量计算列出最优方案。 【详解】（1）57÷7＝8（辆）……1（吨） 8＋1＝9（辆） 答：需要9辆大货车。 （2）57÷4＝14（辆）……1（吨） 14＋1＝15（辆） 15×10＝150（升） 答：需要耗油150升。 （3） 大货车/辆 9 8 7 6 5 …… 小货车/辆 0 1 2 4 6 …… 总载重量/吨 63 60 57 58 59 …… 耗油/升   126 122 118 124 130 …… 118＜122＜124＜126＜130 因此采用第三种最优方案运完这些货物。 答：安排7辆大货车，2辆小货车最省油。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元《四则运算》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 四则运算各部分关系及逆运算 考查加减乘除各部分名称与数量关系式，判断加减、乘除互逆关系，常以填空、判断题型考查概念辨析与简单验算。 有关0的运算规律 考查0在四则运算中的特殊规则，重点辨析“0不能作除数”高频易错点，多以判断题、选择题设置陷阱考查。 四则混合运算顺序 考查同级运算、两级运算、带小括号、带中括号的运算顺序，以脱式计算题型为主，检测运算顺序掌握熟练度。 括号的灵活运用与算式改写 考查根据运算顺序添括号、去括号，将分步算式合并为综合算式，是期末高频重难点题型。 四则混合运算规范计算 考查三步及以内混合脱式计算，注重步骤完整、格式规范、结果准确，是期末计算大题核心考点。 四则运算解决实际问题 结合生活场景考查数量关系分析，要求列综合算式解题，侧重考查学生审题能力与数学应用能力。 核心考点总结 1、加减法的意义与各部分关系 （1）加法：把两个数合并成一个数的运算。 公式：加数 + 加数 = 和 变形：和－一个加数 = 另一个加数 （2）减法：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。（减法是加法的逆运算） 公式：被减数－减数 = 差 变形：被减数 = 差 + 减数；减数 = 被减数－差 2、乘除法的意义与各部分关系 （1）乘法：求几个相同加数和的简便运算。 公式：因数 × 因数 = 积 变形：积 ÷ 一个因数 = 另一个因数 （2）除法：已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。（除法是乘法的逆运算） 公式：被除数 ÷ 除数 = 商 变形：被除数 = 商 × 除数；除数 = 被除数 ÷ 商 有余数除法必考公式：被除数＝商 × 除数＋余数；余数＜除数 3、关于 0 的运算（期末考试最爱考判断题） （1）一个数＋0＝原数 （2）一个数－0＝原数 （3）被减数＝减数，差＝0 （4）一个数 ×0＝0 （5）0 除以任何不为 0 的数都得 0 （6）0 不能作除数！（高频易错考点） 4、四则运算顺序（重中之重） （1）同级运算（只有加减 / 只有乘除）：从左往右依次计算 （2）两级混合运算（有乘除、有加减）：先算乘除，后算加减 （3）有小括号：先算括号里面，再算括号外面；括号内也要先乘除、后加减。 本单元高频易错点汇总 易错点1：运算顺序混乱 错例： 正确：先乘法后减法 口诀：先乘除、后加减，同级从左算 易错点2：0 做除数 判断题：0 除以任何数都得 0（×） 正确：0 除以任何不为 0 的数都得 0 易错点 3：有余数除法公式记混 很多学生只会算，不会逆推求被除数、除数，应用题极易丢分 易错点 4：脱式计算跳步、格式不规范 考试要求：一步一式、等号对齐、不跳步 易错点 5：列综合算式忘记加括号 分步算式改综合算式，需要改变顺序时必须加小括号 经典例题精讲（期末真题题型） 例题 1 加减法逆推 已知两个数的和是 360，其中一个加数是 125，求另一个加数。 解： 方法：和－加数＝另一个加数 例题 2 乘除法逆推 两个因数的积是 480，一个因数是 20，求另一个因数。 解： 例题 3 普通两级运算 计算： 步骤：原式＝＝ 例题 4 带括号运算 计算： 步骤：原式＝＝ 例题 5 分步改综合算式 分步： 综合算式： 分步： 综合算式： （必须加括号！） 六大题型 题型一、加减法的意义与各部分关系 做题秒杀妙招 妙招1：看问题选算法 求一共、求总数 → 用加法 求剩下、求部分、求谁比谁少 → 用减法 妙招2：填括号、求未知数绝杀 括号在前面、在中间（求加数、求减数）→用减法 括号在最后、求总数（求和、求被减数）→ 用加法 1．在一个减法算式中，被减数、减数、差相加的和是8，则被减数是（    ）。 A．2 B．4 C．6 2．在一道减法算式中，被减数、减数以及差的和是100，则被减数是（    ）。 A．100 B．80 C．50 D．无法确定 3．两个数相加，一个数增加8，另一个数减少3，和（    ）。 A．增加5 B．增加4 C．减少5 4．如果※＋6＝18，※表示的数是（    ）。 A．3 B．6 C．12 D．24 5．猜猜我是谁。 ( )                    ( ) 6．在算式□－△＝○中，已知○＋△＝320，那么□＝( )。 7．一道减法算式中，被减数、减数、差的和是480，减数是差的2倍，被减数是( )，减数是( )。 题型二、乘除法的意义与各部分关系 秒杀口诀：乘求总、除平分；求因数用积除，求被除数用乘 1．对于没有余数的除法，下列说法正确的有（    ）个。 ①被除数＋除数＋商＝1    ②被除数－（除数＋商）＝0    ③除数一定比商大 A．0 B．1 C．2 D．3 2．体育用品商店开展促销活动，排球销售方法如图所示，学校要买12个排球至少要花（    ）元钱。 今日排球售价 买1个20元 买2个38元 买3个51元 A．190 B．204 C．288 今日排球售价 买1个20元 买2个38元 买3个51元 3．一个数除以14的商是15，余数最大可以是___________，这时被除数是___________。 4．1040减去一个数得746，这个数是( )；被除数是283，商是16，余数是11，则除数是( )。 5．乐乐忘记了自家大门的密码，爸爸根据乐乐所学的知识给她提供了一些线索，其中○＝( )，密码是( )。 线索：○＋△＝□，△×15＝90，54÷△＝□ 密码：○□△○ 题型三、带括号的混合运算 分层规则 1、有小括号：先算小括号里面，再算括号外面 2、既有乘除又有加减：先乘除、后加减 3、只有加减/只有乘除：从左往右依次计算 1．，列出算式是（    ）。 A．（235－153＋368）÷25 B．235－153＋368÷25 C．（235－153）＋368÷25 D．235－（153＋368）÷25 2．下面算式中，结果不是0的是（    ）。 A．48÷（24＋24）－1 B．48×（24－24）÷1 C．48×[（24－24）＋1] 3．不改变运算结果，下面各题中小括号可以去掉的是（    ）。 A．125＋（833÷9） B．482－（305－120） C．（154－47）×9 D．450÷（25×2） 4．张老师买了18本《童话选》，付给收银员600元，找回60元。花花列式60÷[（600－60）÷18]，她想解决的问题是（    ）。 A．《童话选》单价是多少 B．18本《童话选》共花了多少钱 C．剩下的钱还能买几本《童话选》 D．600元一共能买多少本《童话选》 5．算式32×75－25÷25，如果要改变运算顺序，先算减法，再算除法，最后一步算乘法，那么应把算式改成( )，得到的积是( )。 6．把下面几个算式改写成一个综合算式，并计算出得数。 48÷8＝6，35×6＝210，210－86＝124 综合算式：( )。 题型四、租船问题 四步解题法 1、比单价：先算大船、小船每人多少钱，优先选便宜船 2、先多租：尽量多租便宜的船 3、看余数：余下的人：能坐满小船就租小船，坐不满就少租一条大船 4、比总价：两种方案对比，选钱少的 1．实验学校四年级有180名师生去春游。怎样租车最省钱？最少需要多少钱？ 租车价目表 车型 座位/个 车费/元 大巴车 40 200 中巴车 26 150 2．要租船游玩1小时，怎样租船最省钱？（把最省钱的方案写出来） 3．观光游览车为游客提供了便捷、舒适的交通方式，尤其是在大型或地形复杂的景区中，游客可以避免长时间的步行，从而更好地享受景区的美景和休闲时光。一个42人的旅行团要租电动观光车，现有大小两种车型可供选择。这个旅行团怎样租车最省钱？ 大观光车：限坐10名乘客，120元/辆 小观光车：限坐6名乘客，90元/辆 4．某商店出售户外遮阳网有下面两种规格。规格一：每卷50米共100元。规格二：每卷30米共75元。王大伯要买260米的户外遮阳网，怎样买最省钱？ 5．星光小学四年级1班有50名师生准备去研学，计划租船游览附近的湖泊。已知游船有两种类型：大船可坐6人，租金30元/条；小船可坐4人，租金24元/条。怎样租船最省钱？最少需要多少元？ 题型五、购票问题 三种方案必对比（考试直接套） 方案1：全部买个人票 方案2：全部买团体票 方案3：大人买团体，小孩买个人（90%考题最优解） 秒杀判断 大人多、小孩少 → 优先团体票 小孩多、大人少 → 分开买票更划算 1．光明小学15名老师带领85名学生去参观科技展，选哪种方案买票最省钱？需要多少元？ 方案一 方案二 成人票每人40元， 儿童票每人15元。 团体票（30人及以 上）每人20元。 2．某旅行社推出“风景区一日游”两种价格方案。 方案一：成人每人120元，儿童每人50元。 方案二：团体5人以上（含5人）每人80元。 现有成人4人，儿童6人，怎样买票最省钱？最少要花多少钱？ 3．一个旅行团有12人，他们到植物园游玩，植物园门票有两种购票方式（如下表）。为了省钱，他们选择了团体购票的方式，这个旅行团至少有几个成人？请你通过计算说明。 方式一：成人每人80元，儿童每人45元。 方式二：团体10人及以上，每人65元。 4．世纪公园动物表演门票有两种出售方案。成人6人，儿童7人，选哪种方案合算？ 方案一：成人每人30元，儿童半价。 方案二：团体10人以上（含10人）每人25元。 5．创意滑雪，畅享雪域。某滑雪场推出A、B两种优惠方案。4名成人带3名儿童去该滑雪场滑雪。选择哪种方案比较省钱？需要多少钱？ A方案 成人：85元/位 儿童：60元/位 B方案 团体7人及以上： 75元/位 题型六、货物运输问题 四步解题法 1、算单价：大车、小车每吨运费，优先选便宜车型 2、先满租：尽量多租便宜大车 3、调余数：剩的货物少，就减少一辆大车，换小车装满 4、算总价：对比两种租车方式，取最便宜 1．从甲城到乙城运31吨货物，两种货车运费如图，要运费最少，怎样安排车辆？最少运费多少元？ 2．大卡车限载5吨，运费220元，小卡车限载2吨，运费100元，从甲城到乙城运31吨货物，要使费用最少，运送货物需要大小卡车各多少辆？最低费用多少元？ 3．生活中的数学。 物流公司要将57吨货物一次性全部从A城运往B城。 （1）如果全用大货车运，需要多少辆大货车？ （2）如果全用小货车运，需要耗油多少升？ （3）怎样安排车辆最省油？制订一个最省油的方案，说说你的思路。（建议用表格） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $