第五单元 三角形（4大考点，7大易错点，4大题型）-2025-2026学年人教版四年级下册高频易错期末专项复习讲义

第五单元《三角形》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 三角形定义、各部分名称与特征 填空、选择、判断基础题型，边、角、顶点基础考点 三角形三边关系 选择、填空高频考点，判断线段能否围成三角形 三角形内角和 180° 角度计算必考，已知两角求第三个内角 三角形分类（按边、按角）+ 画高 作图、辨析题，直角、钝角、等腰、等边区分；期末应用题 核心考点总结 考点 1 三角形基本特征 1. 由 3 条线段首尾顺次围成的封闭图形叫三角形；3 条边、3 个角、3 个顶点。 2. 从三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段就是高，任意三角形都有 3 条高，高用虚线绘制、标注直角符号。 考点 2 三边关系 任意两边长度之和大于第三条边；简便判断：较短两条边的和＞最长边即可围成三角形。 考点 3 内角和 所有三角形内角和固定等于 180 度。 直角三角形两个锐角相加 = 90 度。 考点 4 三角形分类 1. 按角分： 锐角三角形：三个角全是锐角； 直角三角形：有 1 个直角； 钝角三角形：有 1 个钝角。 2. 按边分： 不等边三角形：三条边长全不相等； 等腰三角形：两条边相等，两个底角度数相等； 等边三角形：三条边全相等，三个角都是 60°，属于特殊等腰三角形。 本单元高频易错点汇总 易错 1：判断三边只算一组两边之和 错因：随便选取两条边相加。 纠正：只需要最短两边相加＞最长边。 易错 2：高画在边的延长线上漏画虚线、直角符号 错因：实线画高、不标垂足。 纠正：高必须虚线，底端标注直角。 易错 3：等边三角形不算等腰三角形 错因：两类单独划分。 纠正：等边是特殊等腰三角形。 易错 4：直角三角形求锐角用 180 直接减 错因：忘记直角 90°。 纠正：剩余两锐角和 = 90°。 易错 5：有一个锐角就是锐角三角形 错因：只有一个锐角无法判定。 纠正：必须三个全锐角才是锐角三角形。 易错 6：等腰三角形求底角直接 ÷3 错因：顶角底角分不清。 纠正：底角＝（180－顶角）÷2。 易错 7：三角形拼接概念混淆 错因：任意两个三角形拼平行四边形。 纠正：完全相同的两个三角形才能拼成平行四边形。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题 1 三边判断：3cm、5cm、9cm 精讲：3＋5＜9，不能围成三角形。 易错提醒：短边相加对比最长边。 例题 2 直角三角形一个锐角 45°，求另一个锐角 精讲：90－45＝45°。 例题 3 等腰三角形顶角 70°，求底角 精讲：（180－70）÷2＝55°。 例题 4 判断：等边三角形三个内角都是 60°（√） 例题 5 钝角三角形最多 1 个钝角 精讲：两个钝角和已经超过 180°，无法组成三角形。 三大题型 题型一 概念辨析（判断、选择、填空） 1．爸爸不小心把一块三角形玻璃打碎了（如图所示），现在要去重新配一块同样的玻璃，他只需要带（    ）号玻璃去即可。 A．① B．② C．③ 2．爸爸不小心把一块三角形玻璃打碎了（如图所示），现在要去重新配一块同样的玻璃，他只需要带（    ）号玻璃去即可。 A．① B．② C．③ 3．用如图所示的升降台可以调节高度，是应用了（    ）。 A．三角形的稳定性 B．三角形易变形的特性 C．平行四边形易变形的特性 D．平行四边形不易变形的特性 4．古人的智慧是无穷的，在商周时期建造窗户时，木工师傅都需要在框架上再钉一根木条，使框架更牢固，下面符合木工师傅做法的是（    ）。 A． B． C． 5．小明准备用图钉固定硬纸条做一个三角形。他最少应该准备( )根硬纸条，准备( )个图钉。如果有2根硬纸条分别长4厘米和6厘米，那么另一根硬纸条最长为( )厘米。（硬纸条的长度是整厘米数） 6．…… 数一数，图2中有( )个三角形。按这样的规律，图4中一共有( )个三角形。 7．由3条( )围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。三角形有( )个角，有( )个顶点。 8．数一数，下图中有( )个三角形。 9．三角形有三个顶点、三条边、三条高。( ) 10．任意三角形都有3条边，3个角，3个顶点和3条高。( ) 题型二 三边判定选择题 11．下面三组小棒中，能摆成三角形的一组是（    ）。 A．1厘米、2厘米、4厘米 B．2厘米、2厘米、5厘米 C．4厘米、5厘米、9厘米 D．3厘米、4厘米、5厘米 12．有长度分别为6厘米、11厘米的两根小棒，要想围成一个三角形，第三根小棒的长度可以是（    ）。 A．5厘米 B．9厘米 C．17厘米 13．古都西安，文物古迹俯拾皆是。方方想真切感受西安的人文气息，从西安城墙出发，经过大明宫国家遗址公园，来到永兴坊，然后直接从永兴坊回到西安城墙，正好走了三角形的三条边，从大明宫国家遗址公园到永兴坊大约有（    ）米。 A．890 B．3200 C．4980 14．下面三组线段中可以围成三角形的是（    ）（单位：厘米）。 A．2、1、1 B．2、3、5 C．7、8、9 15．下面各组线段中，不能围成三角形的是（    ）。 A．3厘米、4厘米、7厘米 B．5厘米、5厘米、5厘米 C．3厘米、4厘米、5厘米 16．下面各组线段中，（    ）不能围成三角形。 A．4cm、4cm、4cm B．2cm、3cm、7cm C．5cm、5cm、2cm D．3cm、4cm、5cm 17．如果一个三角形的两条边分别是4厘米和7厘米，另一条边长最长是( )厘米，最短是( )厘米。（取整厘米数） 18．已知一个三角形的两条边的长度分别是和，则它的第三条边最长是___________cm，最短是___________cm。（长度取整厘米数） 19．一个三角形的两边长分别为和，第三边最长是___________，最短是___________。（取整数） 20．工人叔叔用长3米、3米和6米的三根木料做成了一个三角形木架。( ) 题型三 角度计算题 21．一个锐角三角形，任意两个锐角的和（    ）90°。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 22．一个等腰三角形，顶角是86°，其中一个底角是（    ）。 A．47° B．86° C．94° 23．在一个等腰三角形中，已知一个角是20°，这个三角形不可能是（    ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 24．以下说法正确的是( )。 A．锐角三角形的内角和小于钝角三角形 B．梯形具有稳定性 C．直角三角形的两个锐角之和一定是90° D．等边三角形不是等腰三角形 25．如图，∠1＝40°，∠2＝70°，( )°，是个( )三角形。 26．如图三角形，已知∠1＝65°，则∠2＝( )°；沿图中虚线剪下一个小三角形后，剩余部分的内角和是( )°。 27．算出下面各个未知角的度数。 ( )°                        ( )° 28．计算下面未知角的度数。 29．八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来到渠家大院实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边形内角和的场景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 30．我们佩戴的红领巾的颜色是国旗红，其形状是等腰三角形，分为小号、大号两种规格。其中小号的尺寸是底边长100厘米、腰长60厘米；大号的尺寸是底边长120厘米、腰长72厘米。 （1）算式100＋60×2解决的问题是______。 （2）如果一条红领巾中最大的角是120°，这条红领巾的另外两个角分别是多少度？ 题型四 分类与画图应用题 31．如图，点B在∠A的边上不动，点C在∠A的另一条边上可以任意移动，连接则形成的三角形可能是（    ）。 ①直角三角形    ②钝角三角形    ③锐角三角形    ④等腰三角形 A．只有③ B．有③② C．有①②③ D．①②③④ 32．下面说法正确的是（    ）。 A．等腰三角形一定是锐角三角形 B．等腰三角形是特殊的等边三角形 C．直角三角形可能是等腰三角形 D．钝角三角形不可能是等腰三角形 33．一个三角形被遮住了两个角（如下图），这个三角形一定是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 34．下面表示关系的图，不正确的是（    ）。 A． B． C． 35．下边的三角形被一张纸挡住，按角分，①是( )三角形，②是( )三角形。 36．一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 37．一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 38．学校准备用篱笆围一块等腰三角形花圃。已知一条腰长8米，篱笆总长22米。这个花圃的底边长是多少米？ 39．等腰三角形的周长是98厘米，底边长26厘米，这个三角形的腰长是多少厘米？ 40．为了保护正方形造型的花圃，园艺师沿着花圃边围了整一圈隔离带，隔离带长40米。过了一个月，花圃换成了等腰三角形的形状，这条隔离带恰好够围一圈。等腰三角形花圃的一条边长是8米，另两条边的长分别是多少米？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元《三角形》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 三角形定义、各部分名称与特征 填空、选择、判断基础题型，边、角、顶点基础考点 三角形三边关系 选择、填空高频考点，判断线段能否围成三角形 三角形内角和 180° 角度计算必考，已知两角求第三个内角 三角形分类（按边、按角）+ 画高 作图、辨析题，直角、钝角、等腰、等边区分；期末应用题 核心考点总结 考点 1 三角形基本特征 1. 由 3 条线段首尾顺次围成的封闭图形叫三角形；3 条边、3 个角、3 个顶点。 2. 从三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段就是高，任意三角形都有 3 条高，高用虚线绘制、标注直角符号。 考点 2 三边关系 任意两边长度之和大于第三条边；简便判断：较短两条边的和＞最长边即可围成三角形。 考点 3 内角和 所有三角形内角和固定等于 180 度。 直角三角形两个锐角相加 = 90 度。 考点 4 三角形分类 1. 按角分： 锐角三角形：三个角全是锐角； 直角三角形：有 1 个直角； 钝角三角形：有 1 个钝角。 2. 按边分： 不等边三角形：三条边长全不相等； 等腰三角形：两条边相等，两个底角度数相等； 等边三角形：三条边全相等，三个角都是 60°，属于特殊等腰三角形。 本单元高频易错点汇总 易错 1：判断三边只算一组两边之和 错因：随便选取两条边相加。 纠正：只需要最短两边相加＞最长边。 易错 2：高画在边的延长线上漏画虚线、直角符号 错因：实线画高、不标垂足。 纠正：高必须虚线，底端标注直角。 易错 3：等边三角形不算等腰三角形 错因：两类单独划分。 纠正：等边是特殊等腰三角形。 易错 4：直角三角形求锐角用 180 直接减 错因：忘记直角 90°。 纠正：剩余两锐角和 = 90°。 易错 5：有一个锐角就是锐角三角形 错因：只有一个锐角无法判定。 纠正：必须三个全锐角才是锐角三角形。 易错 6：等腰三角形求底角直接 ÷3 错因：顶角底角分不清。 纠正：底角＝（180－顶角）÷2。 易错 7：三角形拼接概念混淆 错因：任意两个三角形拼平行四边形。 纠正：完全相同的两个三角形才能拼成平行四边形。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题 1 三边判断：3cm、5cm、9cm 精讲：3＋5＜9，不能围成三角形。 易错提醒：短边相加对比最长边。 例题 2 直角三角形一个锐角 45°，求另一个锐角 精讲：90－45＝45°。 例题 3 等腰三角形顶角 70°，求底角 精讲：（180－70）÷2＝55°。 例题 4 判断：等边三角形三个内角都是 60°（√） 例题 5 钝角三角形最多 1 个钝角 精讲：两个钝角和已经超过 180°，无法组成三角形。 三大题型 题型一 概念辨析（判断、选择、填空） 解题妙招：三角三边、三角三顶点；等边属于等腰；三锐才是锐角三角形。 1．爸爸不小心把一块三角形玻璃打碎了（如图所示），现在要去重新配一块同样的玻璃，他只需要带（    ）号玻璃去即可。 A．① B．② C．③ 【答案】C 【分析】要想重新配一块和原来一样的玻璃，需要原三角形的两个内角以及其中一条完整边，以及另外两条边的一部分，据此解答。 【详解】A．第①块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能配对； B．第②块，仅保留了原三角形的一部分边，不能配对； C．第③块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，以及另外两条边的一部分，能配对。 故答案为：C 2．爸爸不小心把一块三角形玻璃打碎了（如图所示），现在要去重新配一块同样的玻璃，他只需要带（    ）号玻璃去即可。 A．① B．② C．③ 【答案】C 【分析】要想重新配一块和原来一样的玻璃，需要原三角形的两个内角以及其中一条边，据此解答。 【详解】A．第①块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能配对； B．第②块，仅保留了原三角形的一部分边，不能配对； C．第③块，不但保留了原三角形的两个角，还保留了其中一个边，能配对。 他只需要带（③）号玻璃去即可。 故答案为：C 3．用如图所示的升降台可以调节高度，是应用了（    ）。 A．三角形的稳定性 B．三角形易变形的特性 C．平行四边形易变形的特性 D．平行四边形不易变形的特性 【答案】C 【分析】升降台可以调节高度，平行四边形不具有稳定性，易变形，据此解答即可。 【详解】根据分析：图中的升降台可以调节高度，是应用了平行四边形易变形的特性。 4．古人的智慧是无穷的，在商周时期建造窗户时，木工师傅都需要在框架上再钉一根木条，使框架更牢固，下面符合木工师傅做法的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】三角形具有稳定性，不易变形，加一根木条在框架中形成三角形，才能使框架更牢固。而四边形具有不稳定性，容易变形。据此即可解答。 【详解】 A．形成两个三角形，具有稳定性，框架最牢固。 B． 形成两个四边形，容易变形。 C．形成两个四边形，容易变形。故答案为：A 5．小明准备用图钉固定硬纸条做一个三角形。他最少应该准备( )根硬纸条，准备( )个图钉。如果有2根硬纸条分别长4厘米和6厘米，那么另一根硬纸条最长为( )厘米。（硬纸条的长度是整厘米数） 【答案】 3 3 9 【分析】三角形有三条边，所以最少应该准备3根硬纸条；每两根纸条要用一个图钉固定住，所以至少准备3个图钉；根据三角形两边之和大于第三边，先将已知2条边之和算出＝4＋6＝10（厘米），另一条应该小于10厘米，最大为9厘米。 【详解】根据分析，他最少应该准备3根硬纸条； 准备3个图钉；如果有2根硬纸条分别长4厘米和6厘米，那么另一根硬纸条最长为9厘米。 6．…… 数一数，图2中有( )个三角形。按这样的规律，图4中一共有( )个三角形。 【答案】 3 10 【分析】观察图形可知，图2中单独的小三角形有2个，由2个小三角形组成的大三角形有1个，所以图2中三角形的个数为2＋1＝3（个）。图4中单独的小三角形有4个，由2个小三角形组成的三角形有3个，由3个小三角形组成的三角形有2个，由4个小三角形组成的大三角形有1个，然后将所有三角形的个数加起来即可。 【详解】根据分析： 图2的三角形个数为：1＋2＝3（个） 图4的三角形个数为：1＋2＋3＋4＝3＋3＋4＝6＋4＝10（个） 则图2中有3个三角形。按这样的规律，图4中一共有10个三角形。 7．由3条( )围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。三角形有( )个角，有( )个顶点。 【答案】 线段 3 3 【分析】 如图：三角形的特点：三条线段首尾相连，三角形有3条边、3个角和3个顶点。据此解答。 【详解】由分析可知：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。三角形有3个角，有3个顶点。 8．数一数，下图中有( )个三角形。 【答案】15个 【分析】图中单个的三角形有5个，2个组合的三角形有4个，3个组合的三角形有3个，4个组合的三角形有2个，5个组合的三角形有1个，加起来即可。 【详解】根据分析可知， 5＋4＋3＋2＋1 ＝9＋3＋2＋1 ＝12＋2＋1 ＝14＋1 ＝15（个） 则图中有15个三角形。 9．三角形有三个顶点、三条边、三条高。( ) 【答案】√ 【分析】由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫作三角形。从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高，这条对边叫作三角形的底。据此解答。 【详解】根据题意作图如下： 由图可知，三角形有三个顶点、三条边、三条高。原题说法正确。 故答案为：√ 10．任意三角形都有3条边，3个角，3个顶点和3条高。( ) 【答案】√ 【分析】根据“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形叫做三角形”可知，任意一个三角形都有3条边，3个角；因为三角形的高是指过顶点与对边垂直的线段，任意三角形都有3个顶点，所以一定有3条高；据此解答。 【详解】根据分析：任意三角形都有3条边，3个角，3个顶点和3条高，原题说法正确。 故答案为：√ 题型二 三边判定选择题 解题妙招：短＋短＞最长边，满足即可围成。 11．下面三组小棒中，能摆成三角形的一组是（    ）。 A．1厘米、2厘米、4厘米 B．2厘米、2厘米、5厘米 C．4厘米、5厘米、9厘米 D．3厘米、4厘米、5厘米 【答案】D 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，将每个选项中较短的两条边相加，与第三边比较来判断是否能摆成三角形。 【详解】A．1＋2＝3（厘米）3厘米＜4厘米，不能摆成三角形； B．2＋2＝4（厘米）4厘米＜5厘米，不能摆成三角形； C．4＋5＝9（厘米）9厘米＝9厘米，不能摆成三角形； D．3＋4＝7（厘米），7厘米＞5厘米，可以摆成三角形。 故答案为：D 12．有长度分别为6厘米、11厘米的两根小棒，要想围成一个三角形，第三根小棒的长度可以是（    ）。 A．5厘米 B．9厘米 C．17厘米 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，第三边必须大于两边之差且小于两边之和。已知两边为6厘米和11厘米，第三边应满足：11−6 ＜ 第三边 ＜ 11＋6，即5厘米 ＜ 第三边 ＜ 17厘米。 【详解】根据分析，第三根小棒的长度应该大于5厘米，小于17厘米。 A．5厘米＝5厘米，不符合要求； B．5厘米 ＜ 9厘米 ＜ 17厘米，符合要求； C．17厘米＝17厘米，不符合要求。 故答案为：B 13．古都西安，文物古迹俯拾皆是。方方想真切感受西安的人文气息，从西安城墙出发，经过大明宫国家遗址公园，来到永兴坊，然后直接从永兴坊回到西安城墙，正好走了三角形的三条边，从大明宫国家遗址公园到永兴坊大约有（    ）米。 A．890 B．3200 C．4980 【答案】B 【分析】已知三角形三条边中，两条边分别为2900米和2000米。根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。所以第三边（即从大明宫国家遗址公园到永兴坊的距离）大于2900－2000＝900（米），小于2900＋2000＝4900（米）。据此解答。 【详解】A．890米＜900米，不符合要求； B． 900米＜3200米＜4900米，符合要求； C．4980＞4900米，不符合要求。 所以从大明宫国家遗址公园到永兴坊大约有3200米。 故答案为：B 14．下面三组线段中可以围成三角形的是（    ）（单位：厘米）。 A．2、1、1 B．2、3、5 C．7、8、9 【答案】C 【分析】三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。据此分析每个选项选出可以围成三角形的即可。 【详解】A．1＋1＝2，2＝2，不符合三角形的三边关系，所以2、1、1不能围成三角形； B．2＋3＝5，5＝5，不符合三角形的三边关系，所以2、3、5不能围成三角形； C．7＋8＝15，15＞9，符合三角形的三边关系，所以7、8、9能围成三角形。 故答案为：C 15．下面各组线段中，不能围成三角形的是（    ）。 A．3厘米、4厘米、7厘米 B．5厘米、5厘米、5厘米 C．3厘米、4厘米、5厘米 【答案】A 【分析】要判断三条线段能否围成三角形，需依据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，据此分析选项即可解答。 【详解】A．计算两条较短边的和：3＋4＝7（厘米），因为7厘米＝7厘米，不满足“任意两边之和大于第三边”，所以这三条线段不能围成三角形。 B．计算两条较短边的和：5＋5＝10（厘米），因为10厘米＞5厘米，满足“任意两边之和大于第三边”，所以这三条线段能围成三角形。 C．计算两条较短边的和：3＋4＝7（厘米），因为7厘米＞5厘米，满足“任意两边之和大于第三边”，所以这三条线段能围成三角形。 故答案为：A 16．下面各组线段中，（    ）不能围成三角形。 A．4cm、4cm、4cm B．2cm、3cm、7cm C．5cm、5cm、2cm D．3cm、4cm、5cm 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边。不满足三边关系，就不能构成三角形，据此解答即可。 【详解】A．4＋4＝8（cm），8cm＞4cm，符合三角形的三边关系，所以4cm、4cm、4cm能围成三角形； B．2＋3＝5（cm），5cm＜7cm，不符合三角形的三边关系，所以2cm、3cm、7cm不能围成三角形； C．5＋2＝7（cm），7cm＞5cm，符合三角形的三边关系，所以5cm、5cm、2cm能围成三角形； D．3＋4＝7（cm），7cm＞5cm，符合三角形的三边关系，所以3cm、4cm、5cm能围成三角形。 故答案为：B 17．如果一个三角形的两条边分别是4厘米和7厘米，另一条边长最长是( )厘米，最短是( )厘米。（取整厘米数） 【答案】 10 4 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。求出已知两边的长度和与长度差，找出第三条边的长度取值范围，根据取整厘米数的要求，在范围内找出第三条边的最长的长度和最短的长度。 【详解】4＋7＝11（厘米） 7－4＝3（厘米） 根据三角形的三边关系可知，另一条边的长度要小于11厘米，大于3厘米。根据取整厘米数的要求，另一条边最长是10厘米，最短是4厘米。 18．已知一个三角形的两条边的长度分别是和，则它的第三条边最长是___________cm，最短是___________cm。（长度取整厘米数） 【答案】 19 7 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，结合已知边7厘米和13厘米，确定第三边的范围，再取整厘米数即可。 【详解】根据分析可知： 7＋13＝20（厘米） 13－7＝6（厘米） 20－1＝19（厘米） 6＋1＝7（厘米） 已知一个三角形的两条边的长度分别是7cm 和13cm，则它的第三条边最长是19cm，最短是7cm。（长度取整厘米数） 19．一个三角形的两边长分别为和，第三边最长是___________，最短是___________。（取整数） 【答案】 12 4 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，所以三角形的第三边长要小于已知的两条边之和，且大于已知的两条边之差。 【详解】8－5＝3（cm） 5＋8＝13（cm） 所以3cm＜第三边长＜13cm。 因此，一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，第三边最长是12cm，最短是4cm。 20．工人叔叔用长3米、3米和6米的三根木料做成了一个三角形木架。( ) 【答案】× 【分析】三角形任意两边之和大于第三边； 判断三根小棒能否围成三角形，只需计算两条较短边的长度之和，看是否大于最长边，若和小于或等于最长边，则不能围成三角形。 【详解】（米） ，所以3米、3米和6米这三根木料不能做成一个三角形木架，原题说法错误。 故答案为：× 题型三 角度计算题 解题妙招：内角和 180，直角剩两角和 90；等腰求底角：（180－顶角）÷2。 21．一个锐角三角形，任意两个锐角的和（    ）90°。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【答案】A 【分析】锐角三角形的三个内角都是锐角，锐角是小于90°的角，逐项分析任意两个锐角的和与90°的大小关系，判断哪种情况是锐角三角形。 【详解】A．假设任意两个锐角的和大于90°，如91°，那么第三个内角是：180°－91°＝89°，89°＜90°，这个三角形是锐角三角形，符合题意； B．假设任意两个锐角的和等于90°，那么第三个内角是：180°－90°＝90°，这个三角形是直角三角形，不符合题意； C．假设任意两个锐角的和小于90°，如89°，那么第三个内角是：180°－89°＝91°，90°＜91°＜180°，这个三角形是钝角三角形，不符合题意； D．在锐角三角形中，任意两个锐角的和大于90°，选项D错误。 故答案为：A 22．一个等腰三角形，顶角是86°，其中一个底角是（    ）。 A．47° B．86° C．94° 【答案】A 【分析】三角形内角和是180°，等腰三角形两个底角相等，用180°减去顶角就是两个底角之和，然后再除以2即为一个底角的度数。 【详解】180°－86°＝94° 94°÷2＝47° 一个等腰三角形，顶角是86°，其中一个底角是47°。 故答案为：A 23．在一个等腰三角形中，已知一个角是20°，这个三角形不可能是（    ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 【答案】B 【分析】等腰三角形的内角和为180°，已知这个角是20°，如果这个角是顶角，则用三角形内角和减去20°，所得差再除以2，即可算出两个底角度数；如果这个角是三角形的底角，则用180°减去2个20°，即可算出三角形的顶角是多少度。 有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；钝角是大于90°且小于180°的角；直角是等于90°的角；锐角是大于0°且小于90°的角。据此解答。 【详解】20°的角如果是等腰三角形顶角，则： （180°－20°）÷2 ＝160°÷2 ＝80° 这个三角形的三个角分别是20°、80°、80°，三个角都是锐角，这个三角形是一个锐角三角形； 20°的角如果是等腰三角形底角，则： 180°－20°×2 ＝180°－40° ＝140° 这个三角形的三个角分别是20°、20°、140°，140°的角是钝角，这个三角形是钝角三角形。 综上可知，在一个等腰三角形中，已知一个角是20°，这个三角形可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，不可能是直角三角形。选项B符合题意。 故答案为：B 24．以下说法正确的是( )。 A．锐角三角形的内角和小于钝角三角形 B．梯形具有稳定性 C．直角三角形的两个锐角之和一定是90° D．等边三角形不是等腰三角形 【答案】C 【分析】根据“三角形的内角和是180°”、“几何图形的稳定性”、“直角三角形的定义”、“等腰三角形的定义”逐个分析选项，据此解答。 【详解】A．根据三角形内角和定理：任意三角形的内角和都是固定的180°，与三角形的类型（锐角、直角、钝角）无关。锐角三角形的三个角均小于 90°，钝角三角形有一个角大于 90°，但两者内角和始终为 180°。因此，A选项错误； B．几何图形的“稳定性”是指图形被确定后，形状和大小不易发生改变（如三角形）。而梯形是“一组对边平行、另一组对边不平行”的四边形，四边形的特性是不具有稳定性（例如用四根木条钉成的梯形，容易拉动变形）。因此，B选项错误； C．直角三角形的定义是“有一个角为90°的三角形”。结合三角形内角和为180°可得：另外两个锐角的和＝180°－90°＝90°。这是直角三角形的核心性质，始终成立。因此，选项 C正确； D．等腰三角形的定义是“至少有两条边相等的三角形”（“至少”意味着两条边相等或三条边相等均符合）。等边三角形的定义是“三条边都相等的三角形”，其满足“至少两条边相等”的条件，属于特殊的等腰三角形。因此，选项D错误。 故答案为：C 25．如图，∠1＝40°，∠2＝70°，( )°，是个( )三角形。 【答案】 110 锐角/等腰 【分析】如图，三角形的内角和是180°，用180°减去∠1、∠2的度数，就是∠3的度数。∠3和∠4组成一个平角，平角是180°，用180°减去∠3的度数，就是∠4的度数。 根据三个角是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形。据此解答。 【详解】180°－40°－70° ＝140°－70° ＝70° 180°－70°＝110° ∠1＝40°，∠2＝70°，∠3＝70°， 那么，∠1＝40°，∠2＝70°，∠4＝110°，是个锐角三角形（等腰三角形）。 26．如图三角形，已知∠1＝65°，则∠2＝( )°；沿图中虚线剪下一个小三角形后，剩余部分的内角和是( )°。 【答案】 25 360 【分析】三角形的内角和是180°，因此用180°减另外两个角的度数之和，即可得到∠2的度数；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余部分的图形是一个四边形，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此解答。 【详解】180°－（90°＋65°） ＝180°－155° ＝25° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° ∠2＝25°；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余部分的图形内角和是360°。 27．算出下面各个未知角的度数。 ( )°                       ( )° 【答案】 38 27 【分析】三角形的内角和为180°。直角是90°，已知三角形的两个内角的度数，直接用180°减去已知的两个角的度数即可算出第三个角的度数。 【详解】180°－90°－52° ＝90°－52° ＝38° 180°－108°－45° ＝72°－45° ＝27° 故第一个三角形的第三个角是38°；第二个三角形的第三个角是27°。 28．计算下面未知角的度数。 【答案】55°；120°；130° 【分析】（1）（2）三角形的内角和为180°，用180°减去已知的两个角的度数和，求出未知角的度数。 （3）平角是180°，与135°相邻角的度数是180°－135°＝45°。四边形的内角和为360°，用360°依次减去已知的三个角的度数，即可求出∠1的度数。 【详解】（1）180°－（35°＋90°） ＝180°－125° ＝55° 所以，未知角是55°。 （2）180°－（36°＋24°） ＝180°－60° ＝120° 所以，未知角是120°。 （3）180°－135°＝45° 360°－85°－100°－45°＝130° 所以，∠1＝130°。 29．八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来到渠家大院实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边形内角和的场景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 【答案】图见详解；1080°； 【分析】把八边形分成了8个三角形，8个三角形的内角和是180°×8＝1440°，通过观察图形可知，在分成8个三角形后，原来八边形的度数和就多了中间的一个周角即360°。所以八边形的内角和等于分成的8个三角形的内角和减去中间一个周角的度数。 【详解】 180°×8－360° ＝1440°－360° ＝1080° 答：八边形的内角和是1080°。 30．我们佩戴的红领巾的颜色是国旗红，其形状是等腰三角形，分为小号、大号两种规格。其中小号的尺寸是底边长100厘米、腰长60厘米；大号的尺寸是底边长120厘米、腰长72厘米。 （1）算式100＋60×2解决的问题是______。 （2）如果一条红领巾中最大的角是120°，这条红领巾的另外两个角分别是多少度？ 【答案】（1）小号红领巾的周长 （2）30°、30° 【分析】（1）红领巾是等腰三角形，两条腰的长度相等，在小号红领巾中100厘米是底边的长度，60厘米是腰的长度，100＋60×2表示小号红领巾的周长是多少厘米。 （2）三角形的内角和是180°，等腰三角形两个底角相等，用180°减去120°再除以2即可解答。 【详解】（1）算式100＋60×2解决的问题是小号红领巾的周长。 （2）（180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 答：这条红领巾的另外两个角都是30°。 题型四 分类与画图应用题 解题妙招：看角判类型，看边长分等腰等边；高从顶点垂直底边画虚线。 31．如图，点B在∠A的边上不动，点C在∠A的另一条边上可以任意移动，连接则形成的三角形可能是（    ）。 ①直角三角形    ②钝角三角形    ③锐角三角形    ④等腰三角形 A．只有③ B．有③② C．有①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①三角形按角分类：有一个角是直角的是直角三角形，有一个角是钝角的是钝角三角形，三个角都是锐角的是锐角三角形；②三角形按边分类：有两条边相等的是等腰三角形；③动态点移动时，三角形的内角和边长会随之改变，可形成不同类型的三角形。结合点C的移动，分析∠B的大小变化和边的长度关系，即可得到结果。 【详解】点B固定，点C在∠A的另一条边上移动时： 当点C移动到合适位置时，∠B可以是直角，此时三角形为直角三角形，①可能； 当点C向左移动时，∠B会大于90°，此时三角形为钝角三角形，②可能； 当点C向右移动时，∠B会小于90°，且三个角均为锐角时，此时三角形为锐角三角形，③可能； 当点C移动到AC＝AB的位置时，三角形为等腰三角形，④可能。 因此，①②③④都可能。 32．下面说法正确的是（    ）。 A．等腰三角形一定是锐角三角形 B．等腰三角形是特殊的等边三角形 C．直角三角形可能是等腰三角形 D．钝角三角形不可能是等腰三角形 【答案】C 【分析】等腰三角形可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，并且等边三角形是特殊的等腰三角形。 【详解】A．等腰三角形可能是锐角、直角、钝角三角形，原题干说法错误； B．等边三角形是特殊的等腰三角形，原题干说法错误； C．当两个底角都是45°的直角三角形是等腰三角形，原题干说法正确； D．钝角三角形可能是等腰三角形，原题干说法错误。 故答案为：C 33．一个三角形被遮住了两个角（如下图），这个三角形一定是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 【答案】C 【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；据此分析选择即可。 【详解】图中露在外面的一个角是钝角，根据“有一个角是钝角的三角形是钝角三角形”，由此可以判断这个三角形一定是钝角三角形。 故答案为：C 34．下面表示关系的图，不正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】三角形按照边分类，可以分为一般三角形和等腰三角形，两条腰相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形； 只有一组对边平行的四边形是梯形；两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形； 三角形按照角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，有一个角是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。据此解答。 【详解】A．由分析可知，等边三角形是特殊的等腰三角形，选项说法正确，不符合题意； B．由分析可知，梯形和平行四边形是两类四边形，两者之间没有关系，选项说法错误，符合题意； C．由分析可知，三角形按照角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，选项说法正确，不符合题意。 故答案为：B 35．下边的三角形被一张纸挡住，按角分，①是( )三角形，②是( )三角形。 【答案】 钝角 锐角 【分析】根据题意，三角形按角的大小，可分为三种：三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形。仔细观察图形，可以延长露着的三角形的两条边，观察角度的大小进行判断，①是钝角三角形；②是锐角三角形。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 图①被挡住的角是钝角，所以①是钝角三角形；图②被挡住的角是锐角，所以②是锐角三角形。 36．一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 【答案】18分米 【分析】首先要知道，同一根铁丝围成不同图形，铁丝长度不变，也就是三角形的周长相等。先算等腰三角形的周长：等腰三角形两条腰相等，所以用两条腰的长度加底边长度。 如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的周长等于铁丝的长度，等边三角形三条边一样长，用周长除以3，就能得到每条边的长度。 【详解】（15＋15＋24）÷3 ＝54÷3 ＝18（分米） 答：等边三角形的每条边长18分米。 37．一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 【答案】18分米 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等。由题意得，一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形，可以用腰的长度乘以2再加上底边的长度算出等腰三角形的周长，也就是这根铁丝的长度。如果改围成一个等边三角形，等边三角形的三条边长度相等，直接用前面的得数除以3即可算出等边三角形的每条边长多少分米。 【详解】15×2＋24 ＝30＋24 ＝54（分米） 54÷3＝18（分米） 答：等边三角形的每条边长18分米。 38．学校准备用篱笆围一块等腰三角形花圃。已知一条腰长8米，篱笆总长22米。这个花圃的底边长是多少米？ 【答案】6米 【分析】由题意可知：等腰三角形的两条腰相等，篱笆总长也就是等腰三角形的周长，用等腰三角形的周长－腰长×2，即可求出底边长是多少米。 【详解】22－8×2 ＝22－16 ＝6（米） 答：这个花圃的底边长是6米。 39．等腰三角形的周长是98厘米，底边长26厘米，这个三角形的腰长是多少厘米？ 【答案】36厘米 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等，周长等于底边加上两腰的长度之和。用总周长减去底边长度，得到两腰的总长度，再除以2即可求出腰长。 【详解】（98－26）÷2 ＝72÷2 ＝36（厘米） 答：这个三角形的腰长是36厘米。 40．为了保护正方形造型的花圃，园艺师沿着花圃边围了整一圈隔离带，隔离带长40米。过了一个月，花圃换成了等腰三角形的形状，这条隔离带恰好够围一圈。等腰三角形花圃的一条边长是8米，另两条边的长分别是多少米？ 【答案】16米 【分析】等腰三角形两腰相等，已知一条边长是8米，可分为腰长8米，底边长8米两种情况讨论，再根据三角形两边之和大于第三边验证是否满足三角形三边关系。 【详解】当腰长为8米时： 40－8×2 ＝40－16 ＝24（米） 8＋8＝16，16＜24，不满足三边关系，不符合题意。 当底边长为8米时： （40－8）÷2 ＝32÷2 ＝16（米） 16＋8＞16，16＋16＞8，满足三边关系，符合题意。 所以等腰三角形花圃的边长为8米、16米、16米。 答：另外两条边的长都是16米。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $