山东德州市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学试题 2026.5 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1一2页，第Ⅱ卷3一4 页，共150分，测试时间120分钟， 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上， 第I卷选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的.) 1.sinl05°= A.62 B6+2 C3-1 D8+1 目 4 4 2 2 2.已知向量a=(m,2),b=(m,m),则m=2是a仍的( )条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 3.已知3sina十5cosa=Asin(a十p),则 A.A=4,tang=- B.A=√34，tanp= 5 C.A=√34，tan9=3 D.A-4,tang=5 4.已知。 1+sin2a os2a+sin2a =3,则tana= A号 R号 C.5 D.-5 5.已知不共线的平面向量a,b,c,两两夹角相等，|a=1,b=2,c=3,则 毁 a+b+c= A.3或36 B.√3 C.√3或6 D.6 6.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,D是BC的中点，点E在AD上， 且AE=2ED,则BE·AD= B 29 3 c 4 D.一3 高一数学试题第1页（共4页） 若角ae,引8e,引./=-as号-n号 :cosa= ，则cos9= A.3V0 10 B. 4 C①5 2 5 D.2 8.如图，“六芒星”是由两个边长为6的正三角形 组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点 A,B是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在 “六芒星”上（内部以及边界），则OA·B驴的取 值范围是 A.[-10,2] B.[-18,6] 图1六芒星 图2 C.[-23,23] D.[-2,3] 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列说法不正确的是 A.若ab,be,则ae B.若a·b<0,则(a,b)为钝角 C.若a+b|=la-b|,则a⊥b D.若a仍，则存在唯一的实数入使得a=λb 10.已知cosa+p)=-5 ,C0s2a=- 其中a,9为锐角，则 4 3 A.tan2a=- B.cos(a-B)-2/5 C.sinasinB= 3w5 10 D.tanatanB=3 11.已知两个非零向量a,b的夹角为0，定义运算☒：a☒b=|a|b|sin0. 设a=(x1,y1),b=(x2y2),则 A.39∈0,2 ,a&b=a·b B.a在b上的投影向量的模为ab a C.a,b,均有(a☒b)2+(a·b)2=a|2|b2 D.a☒b=|x1y2-x2y1 高一数学试题第2页（共4页） 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知a=√3，|b|=2,若a⊥(a一b),则a与b的夹角为 1.已知coa=g,且a∈(o,）,则1am号 14.如图正方形ABCD的边长为1，P,Q分别为边AB,AD上的点， 若P为AB的中点且DQ=4DA,则tan∠PCQ= 若△APQ的周长为2，则∠PCQ的大小为 (第一空2分，第二空3分) 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分13分) 已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且ah,a⊥c. (1)求b·c; (2)求m=2a一b与n=a十c的夹角， 16.(本小题满分15分) 已知平面向量a=(3sinx,6os32x-2）,b=(cosx,-1,函数fx)=a·b. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)若锐角e满足f(g）=,求sin(2a+石)的值 17.(本小题满分15分) 如图，在扇形POQ中，半径OP=2,圆心角∠POQ=,B是扇形弧上的动点，矩形 ABCD内接于扇形.其中CD在半径OQ上，记∠BOC=a. (1)当a=石时，求矩形ABCD的面积； (2)角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大 值 D 高一数学试题第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 如图1，在△AB0中，∠A0B为直角，0心-Oi,Oi-O成，AD与BC相交于点M, 连接OM,记OA=a,OB=b. 图1 图2 (1)用a,b表示向量AD: (2)设OM=ma十nb,求m,n的值； (3)如图2，过点M的直线与边OA、OB分别交于点E、F,设O元=OA,O京=O(μ均 为非零实数)，求+的值 19.(本小题满分17分) 把由平面内夹角成的两条数轴0x,0y构成的坐标系称为“广义坐标系”.如图1，e1, e2分别为Ox,Oy正方向上的单位向量.若向量OP=xe1十ye2,则把实数对[x,y]叫 作向量OP的“广义坐标”，记OP=[x,y].已知向量a,b的“广义坐标”分别为 [-1,2],[2,1]. e 图1 图2 (1)求2a+b的“广义坐标”； (2)求向量a与b的夹角的余弦值； (3)以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy',若向量m在平面直角坐标 系中的坐标为(4,2√3)，求向量m的“广义坐标”. 高一数学试题第4页（共4页）高一数学试题答题卡 姓名： 学校： 班级： 条形码粘贴区（居中） 准考证号 缺考☐违纪☐ 注意事项 填涂样例 1.答题前，考生先将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写清楚，并 认真在规定位置贴好条形码。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字 正确填涂 迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚。 ■ 3严格按照题号在相应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答 错误填涂 案无效。 ☑X☑OI 4保持卡面清洁，不装订，不折叠，不要破损。 0加【刀三 选择题(58分，1-8题每小题5分，9-11题每小题6分) 1AB@D可 5ABC可 9AB@D可 2AB©D 6ABCD 10AB©D 3 A]BCD 7A]B]C][D] 11 A]BCD] 4AB@D可 8AB CD 填空题(15分，每小题5分) 12. 13. 14. 15.(13分) 接15题 16.(15分) 高一数学试题答题卡第1页共2页 ■ ■ 17.(15分) P a O D ■ ■ ■ 18.(17分) 图1 D 图2 ■ ■ ■ ■ 接18题 19.(17分) y e e 图1 图2 高一数学试题答题卡第2页共2页 ■ 接19题 ■高一数学试题参考答案 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的.) 1.B2.A3.C4.C5.B6.D7.A8.B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.ABD 10.BC 11.ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.8 13.2 14.名 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.解：(1)因为a仍，所以3x-36=0,解得x=12…1分 所以b=(9,12)…2分 因为a⊥c,所以a·c=12十4y=0,所以y=一3…3分 所以C=(4,-3)… 4分 所以b·c=9X4+12×(一3)=0，… 5分 (2)由(1)知，m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4), n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1), 所以m·n=一3X7+(一4)X1=-25,… 7分 m=√(-3)2十(-4)7=5，…8分 |n=√72+12=5√2 9分 设m,n的夹角为0，则：cos0=mm m·n -25 √2 …11分 5X5√2 2 因为0∈0，元]，所以0=3 ； 即向量m与向量n的夹角为严 …13分 1 16.解：(1)f)=a·b=/3 sin-cosx+2=2sin2x 1+os2x+ 2 2 3 1 2 sin2x- 2 cos2x 2分 -sin2x-若 …4分 取2k元- ≤2x-≤2kx+受，k∈么，解得k-<x<kx十，k∈Z, …6分 故fx)的单调增区间为及一吾x十引∈乙，… …7分 高一数学试题答案第1页（共4页） (2f(g）=-sin/a--）=, …8分 cos(2a-3)=1-2sina-君)=1-2·168 11分 sin2a+)=sin[2a-）+]… 13分 7 =c0s(2a-3)-8 15分 17.解：(1)在Rt△OBC中，BC=2sin30°=1，OC=2cos30°=√3，…2分 AD 在R△AD0中，OD=an5-3, 所以OD-停AD-停 BC= 3 3 所以CD=0C-OD=3-3_23 33 …4分 设矩形ABCD的面积为S,则S=CD·BC=2 3· …5分 (2)在Rt△OBC中，BC=2sina,OC=2cosa. …7分 在R△A0中.品-m子-5， 3BC-2 3AD= 所以OD= 3 sina, 所以CD=OC-OD=2cosa 23 3 sina, …9分 设矩形ABCD的面积为S, 则S=CD·BC=(2cosa- 3sina）·2sina=4 sno-4y3。 2√ 3sin2a,…10分 -2sin2a15 cos2a 3 3sin(2a+元)-23 2w34 61 3，…12分 由0a<骨得晋<2a+吾< 66 所以当2a+看-8即a=看时5-452_2 33 3· …14分 因此，当a一石时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为2,5 3 …15分 18.解：)AD=0i-0i=2oi-Oi=2b-a. …3分 (2)解法一：设OM=ma十nb,因为C、M、B三点共线， 高一数学试题答案第2页（共4页） 所以存在非零实数k使得C疗=kC店-k(O店-O心)=b-冬a, 所以oi-0心+成i=a+协-气a1a+, 1-k m= 所以3 4,解得m=1①，… 4 6分 n=k 又因为D、M、A三点共线， 所以存在非零实数e使得DMi=DA=(O-O方)=a-b. 所以O成i-0ò+D成=b+a号b=a+12b. m=t 又O戒=a十b,所以1-，解得a-2@, …9分 n= 2 ①0解得m=号u=多， 11分 解法二：因为0元-0，所以Oi=40心 因为0i=20成，所以0i=20币 因为OM=mOA+nOi,所以OM=mOA+2mOd 因为A、M、D三点共线，所以m+2n=1 6分 所以OM=4mO元+nOi 因为M、C、B三点共线，所以4m+n=1 9分 1 m+2n=1 m一7 1 由 得 所以0i=7a+3& …11分 4m十n=1 3 n (3)解法一：由(2)知OM=1。 因为F、M、E三点共线， 所以存在非零实数h使得FM=hF它=h(O庀-O)=ha-hb,…12分 因为F成-OM-O市-7a+(停b,所以 A=7 …15分 3 -hu=7一 消去h得u十3X=7,所以+3=7. 17分 高一数学试题答案第3页（共4页） 解法二：由2)知，0-70+b 因为0疤=0i0庐=0店，所以0-}O成O=10市 …12分 所以o成i-o+o京 15分 因为M、E、F三点共线，所以 所以+2=7 …17分 19.解：(1)由题意得a=一e1十2e2,b=2e1十e2,…1分 故2a十b=2(-e十2e2)十(2e1十e2)=5e2,…3分 故2a十b的“广义坐标”为[0,5]；…4分 、π1 (2)由题意得e,=e=1,e1,e)=5e1·e=e·ecos5-2, 故a·b=(-e1+2e2)·(2e1+e2)=-2e12+4e1·e2-e1·e2+2e22 =-2e,2+3e,e+2e,2=-2+g+2=是，…7分 |a|2=a2=(-e1十2e2)2=e7-4e1·e2十4e2=1-2+4=3,故a=V3,…9分 |b2=b2=(2e1十e2)2=4e+4e1·e2十e3=4+2+1=7,故b=√7，…11分 a·b √21 所以向量a与b的夹角的余弦值为cosa,6〉=a1:b-万X后-4：…12分 （3)在平面直角坐标系中，6=1,0，：=（侵，号》， 设m=xe1十ye2,向量m在平面直角坐标系中的坐标为(4,2√3)，…14分 所以x1,0)+y2,2) 13\ =(4,23), 1 x+2y=4 /x=2 所以< ,解得 16分 √ 2y=23 y=4 故向量m的“广义坐标”为[2,4幻 17分 高一数学试题答案第4页（共4页）