培优03 刷透解三角形小题的十三大题型（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

培优03 刷透解三角形小题的十三大必刷题型 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用余弦定理解三角形 题型02 利用正弦定理解三角形 题型03 三角形面积公式的应用 题型04 利用正、余弦定理解三角形 题型05 判断三角形的形状 题型06 判断三角形解的个数 题型07 解多个三角形问题 题型08 解三角形中的最值问题（跨章节） 题型09 实际应用——测量高度 题型10 实际应用——测量角度 题型11 实际应用——测量距离 题型12 解三角形与三角函数、平面向量的综合（跨章节） 题型13 解三角形的新定义题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正余弦定理解三角形 能根据已知条件合理选择正余弦定理解三角形 核心高频考题，涉及各种题型 正余弦定理判定三角形形状 利用边角互化将条件转化为边的关系或角的关系，再结合三角变换判断三角形形状 一般考小题，难度中等，注意各种特殊三角形的判定条件，避免漏解 正弦定理判断三角形解的个数 掌握已知两边和其中一边的对角解三角形的方法 易错考点，需结合图形正确判断 正余弦定理的边角互化 熟练将边化角（用正弦定理）或角化边（用余弦定理）；能识别条件中的齐次式结构 贯穿所有题型，是解三角形综合题的关键步骤，需根据目标灵活选择互化方向 正余弦定理的实际应用 掌握解三角形在实际问题中的应用，能建立恰当的数学模型并求解 主要考查三种题型：测量角度、测量高度、测量距离 知识点01 余弦定理 定理内容：，， 推论（求角）：， cos B＝； cos C＝ 知识点02 正弦定理 定理内容：（为外接圆半径） 边角互化：（1），， (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C (4)由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 知识点03 三角形的面积公式 核心公式：; 拓展公式：，为内切圆半径） 知识点04三角形中的射影定理（拓展） 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 知识点05三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 知识点06 解三角形的实际应用 解决与三角形有关的实际问题的解题思路. 在解决实际问题时，如果涉及三角形问题，可以把它抽象为解三角形问题进行解答，然后再还原为实际问题，这个过程可以用如下流程图表示. 解三角形 三角形内角和定理及其他三角和几何知识 正弦定理 余弦定理 实际问题的解 数学模型的解 实际问题 数学模型 抽象概括 还原 推理 运算 题型一 利用余弦定理解三角形 解｜题｜技｜巧 利用余弦定理来解三角形的情况： 1、已知三边，求任意角. 2、已知两边和其中一边的对角，可用余弦定理. 3、三角形中有分线的情况，可以考虑用两次余弦定理来处理. 4、余弦定理跟面积公式结合去解三角形的三边. 【典例1】（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二·全国·暑假作业）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则（   ） A． B．2 C． D．3 【变式1-2】（25-26高一下·广西河池·期中）已知的三条边长分别为3，5，7，则最大的内角为（     ）． A． B． C． D． 题型二 利用正弦定理解三角形 答｜题｜模｜板 正弦定理解三角形的情况： 1、已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 2、已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 3、在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者的齐次式，可以考虑用正弦定理. 【典例2】（25-26高二·全国·暑假作业）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则此三角形的最大边长为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】(24-25高一下·江西余江一中·期末）在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·广东茂名·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型三 三角形面积公式的应用 答｜题｜模｜板 三角形面积公式的应用情况： 1、已知两边及夹角，直接用 2、已知三边 ，可先用余弦定理求出角，然后再用面积公式求面积 3、最值问题：利用面积公式转化为函数，用均值不等式或三角函数求最值. 【典例3】（25-26高一下·广西崇左·期中）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式3-1】（25-26高一下·贵州毕节·期中）在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【变式3-2】（2026·湖南岳阳·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，若的面积为，则的值为（    ） A．6 B．8 C． D． 题型四 利用正、余弦定理解三角形综合 答｜题｜模｜板 1、边角互化：正弦定理将边化为角的正弦，或将角的正弦化为边，常用于齐次式、比例式.余弦定理将边与角余弦联系，适合已知三边或两边及夹角. 2、方程联立：面积公式常与正余弦定理联立，形成关于边或角的方程组. 3、多解判断：已知两边及对角时，用正弦定理先求角，注意可能对应一解、两解或无解. 【典例4】（2026·河南南阳·模拟预测）已知的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（2026·河北沧州·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D．3 【变式4-2】（25-26高二·全国·暑假作业）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．若，则____________；若，则____________． 题型五 判断三角形的形状 答｜题｜模｜板 将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状. 1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合.条件为边的等式 ,尝试余弦定理化角.条件含正弦/余弦函数, 尝试正弦定理化边，或直接三角变形.化为最简的边等式或角等式. 2、根据化简结果判断： （1）出现边相等的时候，可判断等腰或者等边. （2）若，则（勾股定理逆定理）. （3）若，则（锐角）. （4）若，则（钝角）. 【典例5】（多选）（24-25高一下·江西新余·期末）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 【变式5-1】（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，内角的对边分别为，且，则一定为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【变式5-2】（25-26高一下·四川资阳·期中）在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 题型六 判断三角形解的个数 答｜题｜模｜板 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时：根据 若为钝角或直角时：根据 【典例6】（25-26高一下·上海宝山·期中）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有两解 B．，有一解 C．，无解 D．，有一解 【变式6-1】（多选）（25-26高一下·河北沧州·期中）在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式6-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）在中，角、、的对边分别为、、，若满足和的三角形有且仅有两个，则边的取值范围是_________． 题型七 解多个三角形问题 解｜题｜技｜巧 解多个三角形的具体解题策略： 1.找准公共边、公共角、互补角等关联条件，搭建三角形间纽带. 2.优先边角匹配，已知两角一边用正弦定理，三边或两边夹角用余弦定理. 3.依次分步求解，先解条件充足的三角形，所得边角作为相邻三角形已知量. 易｜错｜点｜拨 留意边角范围，规避多解、增根，结合内角和判定取舍结果. 【典例7】（25-26高一下·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一下·江西·期末）在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一下·江西·联考）在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（   ） A． B． C． D． 题型八 解三角形中的最值问题（跨章节） 解｜题｜技｜巧 常用方法为三角函数法与基本不等式法： 1．三角函数法：利用正余弦定理统一边角关系，结合内角范围，将边长、面积、周长等最值转化为单一三角函数形式，借助单调性、有界性求取最值，注意角度取值限制. 2.基本不等式法：依据定理得出边角等式，凑出和积结构，套用均值不等式求解最值.解题需满足一正二定三相等条件，同时结合三角形三边关系、内角范围校验取值，两种方法可灵活切换，根据已知条件择优选用. 【典例8-1】（25-26高一下·广西南宁·期中）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例8-2】（多选）（25-26高一下·广东广州·期中）在中，，，三角形的面积为，周长为，则下列关于的说法正确的是（   ） A． B．的最大值为3 C． D．若，则满足条件的恰有一个 【变式8-1】（25-26高一下·广东深圳·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一下·浙江·期中）在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________. 题型九实际应用——测量高度 解｜题｜技｜巧 利用水平面（或基线）、视线构成的三角形，通过测量角度和可及距离，计算出不可直接测量的高度.基本关系（在直角三角形中）：，其中仰角是观测点与目标顶端连线和水平线的夹角. （1）底部可达：利用直角三角形解 （2）底部不可达（仰角在不同位置测两次）：设两次测量点与塔底共线，测得仰α、β及两次距离差（或直接距离），建立方程求高. 测量高度问题关键：画图、标已知、选三角、列方程. 【典例9】（25-26高一下·四川内江·期中）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一下·江西赣州·期末）如图，某数学建模探究小组为测量赣州市和谐钟塔的塔高，在与塔底B同一水平面上选取C，D两点，分别测得，，，，则塔高_______.（用，，，表示） 【变式9-2】（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：） 题型十 正余弦定理的实际应用——测量角度 答｜题｜模｜板 测量角度的核心思想是： 将待测角置于一个或一系列三角形中，通过测量足够数量的边和其他角，利用三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理反推出目标角. 【典例10】（2026·河北石家庄·三模）如图，要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向.若A地正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东________km. 【变式10】（2026·重庆·模拟预测）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 题型十一 正余弦定理的实际应用——测量距离 解｜题｜技｜巧 解三角形法测距的关键是将实际问题转化为三角形模型，选择可测数据作为已知量，通过正弦定理、余弦定理及三角函数的直角边关系逐步求出未知距离.画出清晰图形、选择合适的初始三角形是解题的突破口. 【典例11】（25-26高一下·广东深圳·期中）已知码头在码头的正北方向，两码头相距100海里，从码头测得海上某渔船位于北偏东方向，从码头测得渔船位于北偏东方向，从码头还测得另一艘货船位于南偏东方向，且货船到码头的距离为海里，欲在货船与渔船之间增设一条补给航线，则补给航线的长为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式11-1】（24-25高一下·江西萍乡·期末）如图，某东西走向的河道上建有两个水文观测站、，在某时刻站观测到水位异常，将信号同时发给河流北面的市与市．已知市收到信号的时间是市的倍，，，，则观测站到市的距离为（   ）    A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高一下·天津武清·期中）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距海里；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是________海里． 题型十二 解三角形与三角函数、平面向量的综合 解｜题｜技｜巧 1.向量转化：把向量模长、数量积、夹角条件，换算成三角形边角关系式，去掉向量符号. 2.三角化简：利用诱导、和差、二倍角公式化简式子，统一角或统一边. 3.定理切入：依据条件选用正弦、余弦定理，实现边角互化. 4.范围把控：结合三角形内角范围、三边关系，确定角度与边长取值区间. 5. 综合求值：求解边长、角度、面积、最值，多条件串联分步推演，验证结果合理性. 【典例12】（多选）（24-25高一下·江西九江·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A．若，，，则满足条件的三角形有两个 B．若，则为等腰三角形 C．若，，则的最大值为 D．若，且，则为等边三角形 【变式12-1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则（   ） A． B． C． D．1 【变式12-2】（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期末）下列命题中，正确的是（ ） A．在中，若，则为钝角三角形 B．已知函数，则的最小正周期是 C．在中，若，则是等腰直角三角形 D．已知，，则的最小值为 题型十三 解三角形的新定义题 答｜题｜模｜板 先吃透题目给出的全新定义、规则与判定条件，拆解核心关系式.结合正余弦定理、三角恒等变换转化边角关系.紧扣三角形内角范围、三边约束筛选取值.按定义标准列式推理，逐一验证条件，排除不符合情形，严谨推导得出答案. 【典例11】（24-25高一下·江西鹰潭·期末）费马点是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知在中，角所对的边分别为为费马点.若，则的值为____________． 【变式13-1】（25-26高三·全国·一轮复习）托勒密定理：在圆内接四边形中如图，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和，即．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（   ） A． B．16 C． D．12 【变式13-2】（2026高三·全国·专题练习）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，若，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 3．（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（      ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 5．（25-26高一下·四川成都·期中）在钝角中，，，，且C是最大角，则面积的取值范围为______． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（2026·西藏林芝·二模）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·云南曲靖·阶段检测）矗立在曲靖一中北门广场中央的水滴形不锈钢雕塑（如图1），以灵动舒展的造型承载着学校“润泽教育”的核心理念与“知行合一、止于至善”的校训精神，曲靖一中某数学兴趣小组成员为测量水滴形不锈钢雕塑的高度，在与雕塑底O位于同一水平面上共线的A，B，C三处进行测量（如图2）．已知在A处测得雕塑顶端P的仰角为30°，在B处测得雕塑顶端P的仰角为45°，在C处测得雕塑顶端P的仰角为60°，BC＝6米，AB＝3米，则水滴形不锈钢雕塑的高度OP＝（   ） A．m B．m C．m D．m 4.（多选）（25-26高一下·四川绵阳·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则周长的最大值为 C．若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D．若的外心为，则 5．（25-26高一下·福建福州·期中）已知点在内部，满足且.则__________；当，且时，面积的最大值为__________. 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·重庆·期中）钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 3．（多选）（25-26高一下·湖南衡阳·期中）在中，角所对的边分别为,已知，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．周长的最大值为6 D．的最大值为 4．（25-26高一下·江西抚州·期中）若内一点P，满足，称点P为的布洛卡点，β为的布洛卡角．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，β为的布洛卡角，P为的布洛卡点，若，，则______． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优03 刷透解三角形小题的十三大必刷题型 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用余弦定理解三角形 题型02 利用正弦定理解三角形 题型03 三角形面积公式的应用 题型04 利用正、余弦定理解三角形 题型05 判断三角形的形状 题型06 判断三角形解的个数 题型07 解多个三角形问题 题型08 解三角形中的最值问题（跨章节） 题型09 实际应用——测量高度 题型10 实际应用——测量角度 题型11 实际应用——测量距离 题型12 解三角形与三角函数、平面向量的综合（跨章节） 题型13 解三角形的新定义题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正余弦定理解三角形 能根据已知条件合理选择正余弦定理解三角形 核心高频考题，涉及各种题型 正余弦定理判定三角形形状 利用边角互化将条件转化为边的关系或角的关系，再结合三角变换判断三角形形状 一般考小题，难度中等，注意各种特殊三角形的判定条件，避免漏解 正弦定理判断三角形解的个数 掌握已知两边和其中一边的对角解三角形的方法 易错考点，需结合图形正确判断 正余弦定理的边角互化 熟练将边化角（用正弦定理）或角化边（用余弦定理）；能识别条件中的齐次式结构 贯穿所有题型，是解三角形综合题的关键步骤，需根据目标灵活选择互化方向 正余弦定理的实际应用 掌握解三角形在实际问题中的应用，能建立恰当的数学模型并求解 主要考查三种题型：测量角度、测量高度、测量距离 知识点01 余弦定理 知识点01 余弦定理 定理内容：，， 推论（求角）：， cos B＝； cos C＝ 知识点02 正弦定理 定理内容：（为外接圆半径） 边角互化：（1），， (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C (4)由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 知识点03 三角形的面积公式 核心公式：; 拓展公式：，为内切圆半径） 知识点04三角形中的射影定理（拓展） 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 知识点05三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 知识点06 解三角形的实际应用 解决与三角形有关的实际问题的解题思路. 在解决实际问题时，如果涉及三角形问题，可以把它抽象为解三角形问题进行解答，然后再还原为实际问题，这个过程可以用如下流程图表示. 解三角形 三角形内角和定理及其他三角和几何知识 正弦定理 余弦定理 实际问题的解 数学模型的解 实际问题 数学模型 抽象概括 还原 推理 运算 题型一 利用余弦定理解三角形 解｜题｜技｜巧 利用余弦定理来解三角形的情况： 1、已知三边，求任意角. 2、已知两边和其中一边的对角，可用余弦定理. 3、三角形中有分线的情况，可以考虑用两次余弦定理来处理. 4、余弦定理跟面积公式结合去解三角形的三边. 【典例1】（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即. 由余弦定理得. 中，，所以. 【变式1-1】（25-26高二·全国·暑假作业）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】由余弦定理，，将代入， 整理得，解得或. 因，则. 【变式1-2】（25-26高一下·广西河池·期中）已知的三条边长分别为3，5，7，则最大的内角为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在三角形中，大角对大边，则边长为的边所对的角最大，设为， 由余弦定理得， ， ． 题型二 利用正弦定理解三角形 答｜题｜模｜板 正弦定理解三角形的情况： 1、已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 2、已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 3、在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者的齐次式，可以考虑用正弦定理. 【典例2】（25-26高二·全国·暑假作业）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则此三角形的最大边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以，则所对的边最大， 由，可得 【变式2-1】(24-25高一下·江西余江一中·期末）在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为的内角，则， 由二倍角的余弦公式可得，解得， 由正弦定理可得，所以，. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高一下·广东茂名·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：， 由正弦定理可得，. 题型三 三角形面积公式的应用 答｜题｜模｜板 三角形面积公式的应用情况： 1、已知两边及夹角，直接用 2、已知三边 ，可先用余弦定理求出角，然后再用面积公式求面积 3、最值问题：利用面积公式转化为函数，用均值不等式或三角函数求最值. 【典例3】（25-26高一下·广西崇左·期中）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【详解】根据直观图可得原图形中是直角三角形，，，， . 【变式3-1】（25-26高一下·贵州毕节·期中）在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由及余弦定理，得， 则，所以的面积为. 【变式3-1】（2026·湖南岳阳·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，若的面积为，则的值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【详解】由面积公式，解得． 由余弦定理，代入，得，即． 于是，所以． 题型四 利用正、余弦定理解三角形综合 答｜题｜模｜板 1、边角互化：正弦定理将边化为角的正弦，或将角的正弦化为边，常用于齐次式、比例式.余弦定理将边与角余弦联系，适合已知三边或两边及夹角. 2、方程联立：面积公式常与正余弦定理联立，形成关于边或角的方程组. 3、多解判断：已知两边及对角时，用正弦定理先求角，注意可能对应一解、两解或无解. 【典例4】（2026·河南南阳·模拟预测）已知的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先对 进行化简，求出角 ，再利用正弦定理将 转化为边的关系，最后结合余弦定理求出 的值. 【详解】由 ，得 ，即 ， 因为， ， 所以 ，即 ，化简得， 因为 ，所以 ， 则 ， ； 由正弦定理可得 （ 为 外接圆半径）， 所以 ，即 ，所以 ； 因为 ，根据余弦定理得 ， ，可得 ， 又因为 ，所以 ，则 ， 将 和 代入 中，可得 ， 移项可得 ，即 ，所以 . 故选：C. 【变式4-1】（2026·河北沧州·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】由结合正弦定理可知. 因为，则. 即，结合正弦定理得，即得. 将上式代入， 得，故，又，. 所以，，. 所以的面积为. 【变式4-2】（25-26高二·全国·暑假作业）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．若，则____________；若，则____________． 【答案】 【详解】因为，所以，所以． 因为，所以，所以． 所以． 题型五 判断三角形的形状 答｜题｜模｜板 将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状. 1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合.条件为边的等式 ,尝试余弦定理化角.条件含正弦/余弦函数, 尝试正弦定理化边，或直接三角变形.化为最简的边等式或角等式. 2、根据化简结果判断： （1）出现边相等的时候，可判断等腰或者等边. （2）若，则（勾股定理逆定理）. （3）若，则（锐角）. （4）若，则（钝角）. 【典例5】（多选）（24-25高一下·江西新余·期末）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【详解】对于A，若，则由余弦定理得， 即，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故且， 故，所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 【变式5-1】（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，内角的对边分别为，且，则一定为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理把边的关系转化为角的三角函数关系，再结合和角公式化简，推出，从而判断三角形形状. 【详解】由正弦定理得，所以. 由，两边同除以，得. 两边同乘，得. 因为，所以，故，即. 所以一定为直角三角形. 【变式5-2】（25-26高一下·四川资阳·期中）在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【答案】B 【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角为直角. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 即， 整理得， 角为直角，为直角三角形. 题型六 判断三角形解的个数 答｜题｜模｜板 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时：根据 若为钝角或直角时：根据 【典例6】（25-26高一下·上海宝山·期中）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有两解 B．，有一解 C．，无解 D．，有一解 【答案】D 【详解】对于A,由正弦定理，则， 则三角形是直角三角形，只有1解，故A错误； 对于B,由正弦定理，则， ，故，可能是锐角或钝角，故三角形有两解，故B错误； 对于C,由正弦定理，则， ，故，三角形只有1解，故C错误； 对于D,，为钝角且，故必为锐角， 三角形有1解，故D正确． 【变式6-1】（多选）（25-26高一下·河北沧州·期中）在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【分析】对于选项A，B使用三角形全等判定定理即可判断；对于选项C，利用正弦定理判断；对于D使用余弦定理计算即可判断. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，可得，，因，则，因，结合正弦函数的图象可知角B有两解，一个是锐角，另一个是钝角，故C错误； 对于D，由余弦定理得，，故仅有一解，即D正确． 【变式6-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）在中，角、、的对边分别为、、，若满足和的三角形有且仅有两个，则边的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，逆用和角的正切公式求出，再利用正弦定理求解. 【详解】由，得，显然， 在中，，而，则， 由正弦定理，得，由三角形有且仅有两个， 得，则，所以边的取值范围是. 题型七 解多个三角形问题 解｜题｜技｜巧 解多个三角形的具体解题策略： 1.找准公共边、公共角、互补角等关联条件，搭建三角形间纽带. 2.优先边角匹配，已知两角一边用正弦定理，三边或两边夹角用余弦定理. 3.依次分步求解，先解条件充足的三角形，所得边角作为相邻三角形已知量. 易｜错｜点｜拨 留意边角范围，规避多解、增根，结合内角和判定取舍结果. 【典例7】（25-26高一下·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先在中利用余弦定理求解的长度，再结合垂直关系得到中的已知角，最后利用正弦定理求解的长度即可. 【详解】在中，， 由余弦定理得 ∴ 整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）. ∵ ，∴ ， ∴ . 在中，，，， 由正弦定理得 ∴ . 【变式7-1】（24-25高一下·江西·期末）在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由, 由于，则,, 因此, 又, 化简得， 故, 因此, 故选：B 【变式7-2】（25-26高一下·江西·联考）在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由, 由于，则,, 因此, 又, 化简得， 故, 因此, 故选：B 题型八 解三角形中的最值问题（跨章节） 解｜题｜技｜巧 常用方法为三角函数法与基本不等式法： 1．三角函数法：利用正余弦定理统一边角关系，结合内角范围，将边长、面积、周长等最值转化为单一三角函数形式，借助单调性、有界性求取最值，注意角度取值限制. 2.基本不等式法：依据定理得出边角等式，凑出和积结构，套用均值不等式求解最值.解题需满足一正二定三相等条件，同时结合三角形三边关系、内角范围校验取值，两种方法可灵活切换，根据已知条件择优选用. 【典例8-1】（25-26高一下·广西南宁·期中）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理将边化为角，转化为角B的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B的取值范围，从而得到三角函数的值域，求出的取值范围. 【详解】由已知得：，即， 所以，又，所以， 由正弦定理得：， 所以， 所以 又 所以由是锐角三角形得：， ，即的取值范围是． 【典例8-2】（多选）（25-26高一下·广东广州·期中）在中，，，三角形的面积为，周长为，则下列关于的说法正确的是（   ） A． B．的最大值为3 C． D．若，则满足条件的恰有一个 【答案】ABC 【分析】对于A，根据三角形边的关系求解判断；对于B，根据判断；对于C，根据射影定理来推导判断；对于D，根据判断. 【详解】对于A，根据三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边得， 即， 所以，故A选项正确； 对于B，由题意知：， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为3，此时，故B选项正确； 对于C，根据余弦定理，①， ②， 所以，得 ，故C选项正确； 对于D，因为，，，所以， 如图，因为，所以满足条件的有2个，故D选项错误. 【变式8-1】（25-26高一下·广东深圳·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出角的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到周长的取值范围. 【详解】因为是锐角三角形，所以， 又，所以，所以，由，得， 所以，所以，解得，所以. 由，，，得， ， 所以的周长为． 令，则， 则， 函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以， 所以周长的取值范围为． 【变式8-2】（25-26高一下·浙江·期中）在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________. 【答案】 【分析】应用正余弦定理求得、外接圆的半径，再由四边形的面积最大，只需的面积最大，结合即可求. 【详解】由题设，即（负数舍去）， 又外接圆的半径， 要使四边形的面积最大，只需的面积最大， 由到的距离，则中边上的最大高为， 所以最大. 题型九实际应用——测量高度 解｜题｜技｜巧 利用水平面（或基线）、视线构成的三角形，通过测量角度和可及距离，计算出不可直接测量的高度.基本关系（在直角三角形中）：，其中仰角是观测点与目标顶端连线和水平线的夹角. （1）底部可达：利用直角三角形解 （2）底部不可达（仰角在不同位置测两次）：设两次测量点与塔底共线，测得仰α、β及两次距离差（或直接距离），建立方程求高. 测量高度问题关键：画图、标已知、选三角、列方程. 【典例9】（25-26高一下·四川内江·期中）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得、、，再利用正弦定理计算即可得解. 【详解】，， ，则， 由正弦定理可得， 即， 则. 【变式9-1】（24-25高一下·江西赣州·期末）如图，某数学建模探究小组为测量赣州市和谐钟塔的塔高，在与塔底B同一水平面上选取C，D两点，分别测得，，，，则塔高_______.（用，，，表示） 【答案】 【详解】在三角形中，由正弦定理得， 又，所以， 在直角三角形中，. 【变式9-2】（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：） 【答案】36 【分析】在中，应用正弦定理求得，根据且计算即可求解CD. 【详解】由题设，在中， ， 由正弦定理得， ， 则m， 在中，由， 则, 所以m. 题型十 正余弦定理的实际应用——测量角度 答｜题｜模｜板 测量角度的核心思想是： 将待测角置于一个或一系列三角形中，通过测量足够数量的边和其他角，利用三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理反推出目标角. 【典例10】（2026·河北石家庄·三模）如图，要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向.若A地正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东________km. 【答案】 【分析】根据正弦定理解三角形即可得到答案. 【详解】由题意可得，，，，则， 根据正弦定理可得，又，所以，所以地震的位置C在A地正东处. 【变式10】（2026·重庆·模拟预测）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 【答案】B 【分析】由题意km，根据方位角关系可得，利用余弦定理建立关于的方程求解即可. 【详解】设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km， 已知，台风速度为，因此， 根据方位角关系可得， 在中，由余弦定理：， 代入数值， ， 化简得：，解得或， 依题意开始受到侵袭的时间，取较小值. 题型十一 正余弦定理的实际应用——测量距离 解｜题｜技｜巧 解三角形法测距的关键是将实际问题转化为三角形模型，选择可测数据作为已知量，通过正弦定理、余弦定理及三角函数的直角边关系逐步求出未知距离.画出清晰图形、选择合适的初始三角形是解题的突破口. 【典例11】（25-26高一下·广东深圳·期中）已知码头在码头的正北方向，两码头相距100海里，从码头测得海上某渔船位于北偏东方向，从码头测得渔船位于北偏东方向，从码头还测得另一艘货船位于南偏东方向，且货船到码头的距离为海里，欲在货船与渔船之间增设一条补给航线，则补给航线的长为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】先作出示意图，求出，，，，在中，利用正弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出即可. 【详解】解：根据题意作出如下示意图， 由题意可知，，，， ， 在中，由正弦定理可得，又海里， 所以，解得海里， 在中，由余弦定理可得， 又海里，所以海里. 【变式11-1】（24-25高一下·江西萍乡·期末）如图，某东西走向的河道上建有两个水文观测站、，在某时刻站观测到水位异常，将信号同时发给河流北面的市与市．已知市收到信号的时间是市的倍，，，，则观测站到市的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，则、均为锐角， 所以， ， 所以 ， 由题意可知，由余弦定理可得， 即，解得. 故选：B. 【变式11-2】（25-26高一下·天津武清·期中）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距海里；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是________海里． 【答案】 【分析】根据方位角确定四边形中相关内角，借助正余弦定理计算即可. 【详解】由题意可知， 在中，利用正弦定理可知， 在中，由余弦定理可知， 即2号灯塔与乙地之间的距离是海里. 题型十二 解三角形与三角函数、平面向量的综合 解｜题｜技｜巧 1.向量转化：把向量模长、数量积、夹角条件，换算成三角形边角关系式，去掉向量符号. 2.三角化简：利用诱导、和差、二倍角公式化简式子，统一角或统一边. 3.定理切入：依据条件选用正弦、余弦定理，实现边角互化. 4.范围把控：结合三角形内角范围、三边关系，确定角度与边长取值区间. 5. 综合求值：求解边长、角度、面积、最值，多条件串联分步推演，验证结果合理性. 【典例12】（多选）（24-25高一下·江西九江·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A．若，，，则满足条件的三角形有两个 B．若，则为等腰三角形 C．若，，则的最大值为 D．若，且，则为等边三角形 【答案】ACD 【详解】对于选项A：根据正弦定理可得，解得. 因为，所以或者. 因为在三角形中，，所以或者. 从而满足条件的三角形只有2个，所以A正确. 对于选项B： 因为，所以或. 化简得：或.所以为等腰三角形或者直角三角形，B错误. 对于选项C： 因为，所以. 根据余弦定理. 因为，所以， 化简得：. 根据基本不等式的性质， 当且仅当时，等号成立，此时解得的最小值为. 又，所以的最大值为，C正确. 对于选项D： 是向量方向上的单位向量，所以它们的模为1. 所以，所以. 因为，说明角平分线方向的向量与的数量积为0， 所以角的平分线与垂直，所以为，所以为等边三角形，D正确. 故选：ACD. 【变式12-1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】首先由条件等式两边乘以，再结合数量积公式以及正弦定理，边角互化，化简等式，即可求的值. 【详解】对于式子变为 两边同乘，可得，即 ，化简为， 由正弦定理得，，即 移项得到：，因为，故，故. 【变式12-2】（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期末）下列命题中，正确的是（ ） A．在中，若，则为钝角三角形 B．已知函数，则的最小正周期是 C．在中，若，则是等腰直角三角形 D．已知，，则的最小值为 【答案】AD 【详解】对于A，由可得，由于，， 当，，此时由，可得， 此时，故，故为钝角三角形； 若，，此时由，可得，即， 此时只需要，故，故为钝角三角形，故A正确； 对于B，函数， 则的最小正周期不是，故B错误； 对于C，在中，若，则或， 即或，故是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，由于，故， 由于，故，则， 当且仅当，即时取到等号， 故最小值为，D正确. 故选：AD. 题型十三 解三角形的新定义题 答｜题｜模｜板 先吃透题目给出的全新定义、规则与判定条件，拆解核心关系式.结合正余弦定理、三角恒等变换转化边角关系.紧扣三角形内角范围、三边约束筛选取值.按定义标准列式推理，逐一验证条件，排除不符合情形，严谨推导得出答案. 【典例11】（24-25高一下·江西鹰潭·期末）费马点是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知在中，角所对的边分别为为费马点.若，则的值为____________． 【答案】 【详解】由，显然最大角为， 由余弦定理得， 又，所以为小于的钝角，且， 所以费马点在三角形内部，且， 所以， 则， 所以， 所以. 【变式13-1】（25-26高三·全国·一轮复习）托勒密定理：在圆内接四边形中如图，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和，即．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（   ） A． B．16 C． D．12 【答案】C 【分析】先由托勒密定理得到，再由求解. 【详解】设，由托勒密定理可知， 即， 所以， 又因为，， 所以， . 【变式13-2】（2026高三·全国·专题练习）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据正弦定理可求解外接圆的半径，即可根据余弦定理得，利用基本不等式以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】设的三个内角，，的对边分别为，，. 连接，则由题设得， 因为以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，， 所以，，所以， 在中，由余弦定理可得，即， 又，∴，即（等号当时成立）， 由题意可得为等边三角形，故. 故选：B 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因为，，， 由正弦定理，可得， 因为，可得，所以. 2．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，若，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】因为，由余弦定理得，整理得， 因为，所以，所以为等腰三角形. 3．（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以． 4．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（      ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 【答案】A 【详解】在中，，，则， ， 由正弦定理得 （海里）． 则B、C两点间的距离为海里. 5．（25-26高一下·四川成都·期中）在钝角中，，，，且C是最大角，则面积的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用余弦定理结合三角形边的关系以及三角形面积公式求解即可. 【详解】∵是的三边，∴，∴． ∵是钝角三角形，且是最大角，∴． ∴，∴，∴． ∴.∴的取值范围是． 则，则， 则. 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（2026·西藏林芝·二模）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知得，的面积， 所以. 由余弦定理得，， 所以. 因为，所以， 化简得，， 即， 解得，或. 因为，所以，所以. 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理角化边得到，再由三角形面积公式、基本不等式即可求解. 【详解】根据正弦定理 （为外接圆半径）， 得 ​， 代入已知等式： ， 整理得： ，即 ， 又 的面积公式为 ， 将代入得： ，​ 因此： ，​​当且仅当时，取等号， 即面积的最大值为. 3．（25-26高一下·云南曲靖·阶段检测）矗立在曲靖一中北门广场中央的水滴形不锈钢雕塑（如图1），以灵动舒展的造型承载着学校“润泽教育”的核心理念与“知行合一、止于至善”的校训精神，曲靖一中某数学兴趣小组成员为测量水滴形不锈钢雕塑的高度，在与雕塑底O位于同一水平面上共线的A，B，C三处进行测量（如图2）．已知在A处测得雕塑顶端P的仰角为30°，在B处测得雕塑顶端P的仰角为45°，在C处测得雕塑顶端P的仰角为60°，BC＝6米，AB＝3米，则水滴形不锈钢雕塑的高度OP＝（   ） A．m B．m C．m D．m 【答案】C 【详解】设OP＝h，依题意，，， ，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，可得：，解得：. 4.（多选）（25-26高一下·四川绵阳·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则周长的最大值为 C．若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D．若的外心为，则 【答案】ABD 【分析】A选项，由正弦定理可得结论；B选项，由余弦定理和基本不等式可得，B正确；C选项，先由正弦定理可得，再求出的范围，可得答案；D选项，利用向量投影的定义和三角形外心的定义计算出. 【详解】A选项，，由正弦定理得， 即，， 因为，所以，故，A正确； B选项，，由余弦定理得， 故，， 因为，当且仅当时，等号成立， 故，解得，， 故的周长最大值为3，B正确； C选项，由正弦定理得，又，， 故， 若为锐角三角形，且，则，， 结合，可得， 故，C错误； D选项，若的外心为，则在上的投影向量为， 又，故，D正确 5．（25-26高一下·福建福州·期中）已知点在内部，满足且.则__________；当，且时，面积的最大值为__________. 【答案】 1 【分析】设公共角为，利用在三角形内部，将表示为，即可求出；再在三角形和三角形中分别利用正弦定理，把和面积转化为关于的表达式，从而求最大值. 【详解】设，并设， 因为点在内部，所以， 在中，，故. 当，时，在中，由正弦定理得， 在中，，所以， 由正弦定理得， 又，所以，从而， 在中，由正弦定理得，所以， 于是， 当时取等号，故面积的最大值为1. 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即. 而， 所以，即. 由于为锐角，所以，， 所以与异号或， 若，即， 又，，则，， 所以，即，此不等式组无解，所以不成立. 同理可得不成立. 所以， 即，所以，，即为直角三角形. 由题意知，，即，所以. 所以的周长， 当且仅当时，等号成立. 所以周长的最小值为. 2．（25-26高一下·重庆·期中）钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正弦定理将条件 转化为角的关系，结合钝角三角形的限制，推出 的取值范围，再将目标式 转化为关于 的函数，最后结合函数单调性求出取值范围即可. 【详解】因为，由正弦定理得，， 即，中，故， 由及为钝角三角形可得，， 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，的取值范围为. 3．（多选）（25-26高一下·湖南衡阳·期中）在中，角所对的边分别为,已知，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．周长的最大值为6 D．的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，由正弦定理， 又因为，可得， 所以， 可得， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以，所以A正确； 对于B，由且，可得，且， 由正弦定理得， 则 ， 因为，可得，所以， 所以，所以B错误； 对于C，由周长 因为，可得， 当时，即时，取得最大值， 所以周长的最大值为，所以C正确； 对于D，由，可得， 则 ， 所以， 当时，时，的最大值为，所以D正确. 4．（25-26高一下·江西抚州·期中）若内一点P，满足，称点P为的布洛卡点，β为的布洛卡角．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，β为的布洛卡角，P为的布洛卡点，若，，则______． 【答案】 【详解】设，由，得，. 已知，即中，，且. 在中由正弦定理可得： . 在中，， 由正弦定理得：. 同理在中，，得：. 由，可得，整理得. 又，故， 代入得：，，故，即， 所以，. 由，可得：， 即， 代入： ， 由，为锐角， 可得：. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $