培优12 直击立体几何初步解答题的十大重难题型（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

培优12 直击立体几何初步解答题的十大重难题型 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 共点、共线、共面的证明 题型02 表面积或体积问题 题型03 垂直关系与平行关系的综合 题型04 平行关系与空间角的综合 题型05 垂直关系与空间角的综合 题型06 位置关系与空间距离的综合 题型07 位置关系与体积（表面积）的综合 题型07 定义法求二面角（或两平面的夹角） 题型08 存在性问题 题型09 折叠问题 题型10 新定义题型（跨章节） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 共点、共线、共面的证明 共点、共线、共面的证明,掌握基本公理及推论，能用同一法、辅助平面法证明点线面位置关系，规范逻辑表达. 解答题中极少单独考查，多作为证明平行、垂直的辅助步骤，考查对基础公理的理解与应用. 空间几何体的体积或表面积 空间几何体的体积或表面积,掌握柱锥台球公式，能用割补法、等体积法解决不规则几何体计算，规范书写过程. 常作为解答题第一问考查，以棱锥、棱柱体积为主，需结合线面垂直确定高，考查公式应用与转化思想. 平行或垂直的证明 平行或垂直的证明,熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直的判定及性质定理，能规范完成几何法证明. 是解答题的核心基础考点，常作为第一问，需通过中位线、勾股定理等构造条件，考查空间想象与逻辑推理. 空间角 空间角,理解异面直线角、线面角、二面角定义，能通过几何法找角、构造直角三角形求解. 解答题高频考点，常作为第二问，重点考查线面角、二面角，需结合垂直关系作辅助线，用解三角形完成计算. 空间距离 空间距离,掌握点面距、线面距定义，能通过转化为点面距，用垂线段或等体积法求解. 解答题中极少单独考查，常隐含在体积计算中，多通过等体积法间接求解，考查转化与化归思想. 知识点01 几何体的表面积与体积公式 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2.柱体、锥体、台体和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 3. 多面体的内切球与外接球常用的结论 (非常有用) (1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝a． (2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝． (3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝a，内切球半径r＝H＝a，外接球半径R＝H＝a． 知识点02 异面直线所成的角 1.定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 2.范围：. 知识点03 平行关系 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 知识点04 垂直关系 1.直线与平面垂直 知识点02 (1)直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°. (2)范围：. 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角 若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. (3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 题型一 共点、共线、共面的证明 解｜题｜技｜巧 共面、共线、共点问题的证明 1.共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. 2.共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. 3.共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 【典例1】（25-26高一下·宁夏银川·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点．    (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求证：点在直线上； (3)求证：、、、四点共面． 【变式1】（25-26高一下·山东泰安·期中）在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 题型二 表面积或体积问题 解｜题｜技｜巧 1.求空间几何体表面积的常用方法： (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)旋转体的表面积是将其侧面展开后，展开图的面积与底面面积之和. (3)组合体的表面积求解时应注意对衔接部分的处理. 2．求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 【典例2】（25-26高一下·吉林四平·期中）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的中点，，垂足分别是D，H，G，将绕AD所在直线旋转． (1)求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积V； (2)求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S． 【变式2-1】（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，在四棱锥中，为正方形，平面；，    (1)求四棱锥的表面积； (2)求四棱锥的体积． 【变式2-2】（25-26高一下·新疆·阶段检测）如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心． (1)若正四棱锥的高为，求它的表面积． (2)若正四棱锥的外接球的体积为，求正四棱锥的体积． 题型三 垂直关系与平行关系的综合 解｜题｜技｜巧 垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直性质及判定的综合应用. 【典例3】（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证： (1)平面∥平面； (2)平面. 【变式3-1】（25-26高一下·北京·期中）已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 【变式3-2】（25-26高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，四棱锥中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，，M为PC的中点. (1)求证：BM平面PAD； (2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD. 题型四 平行关系与空间角的综合 解｜题｜技｜巧 先证平行：借助中位线、平行四边形、面面平行判定完成线线、线面、面面平行推导. 再求空间角：异面直线角平移构相交角；线面角找射影定夹角；二面角作棱的垂线 / 垂面找平面角. 最后结合解三角形、几何性质完成计算. 【典例4】（25-26高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 【变式4-1】（25-26高一下·江苏镇江·期中）如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点.    (1)过点作出一条直线，使得，并写出作图过程； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点. 【变式4-2】（25-26高一下·浙江·期中）已知四棱锥，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)作出过三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长． 题型五 垂直关系与空间角的综合 解｜题｜技｜巧 先证垂直：用线线、线面、面面垂直判定与性质，结合等腰三角形、勾股定理推证. 再求空间角：异面直线角平移相交取锐角；线面角找射影；二面角作棱的垂线确定平面角. 依托直角三角形、正余弦定理完成计算. 【典例5】（25-26高一下·湖南益阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 【变式5-1】（25-26高一下·四川成都·期中）如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. (1)连接，证明：平面. (2)设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 【变式5-2】（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． (1)证明：； (2)求证：平面平面； (3)若，求与平面所成角的正弦值． 题型六 位置关系与空间距离的综合 解｜题｜技｜巧 先利用平行、垂直的判定与性质完成位置关系证明.求距离优先转化：点面距、线面距可等体积法求解；结合垂线、射影构造直角三角形，运用勾股定理、解三角形完成计算. 【典例6】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知正三棱柱中，，点P为的中点. (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离. 【变式6-1】（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 【变式6-2】（2026·山东泰安·三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 题型七 位置关系与体积（表面积）的综合 解｜题｜技｜巧 先利用平行、垂直的判定及性质证位置关系，确定几何体的高与底面.求体积优先用公式，不规则几何体可分割、补形转化为规则几何体.借助垂直找垂线确定高，结合解三角形求底面积，也可使用等体积法换底计算. 【典例7】（25-26高一下·四川宜宾·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【变式7-1】（2024高二下·福建·学业考试）如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点．    (1)求三棱锥的体积 (2)求证：∥平面； 【变式7-2】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 题型八 存在性问题 解｜题｜技｜巧 1.点的存在性：结合平行、垂直性质，利用中位线、比例线段定位，假设存在再推导线面关系验证. 2.线的存在性：依据平行、垂直判定，作平行线、垂线，结合面面位置关系确定直线位置. 3面的存在性：依托面面平行、垂直定理，过定点作平面，利用交线、垂线完成论证. 通用思路：先假设存在，结合几何性质推理，得出符合条件的位置或推出矛盾. 【典例8】（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点. (1)求证: 平面; (2)若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； (3)若，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱中点的截面，并求出截面周长. 【变式8-1】（25-26高一下·北京·期中）已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 【变式8-2】（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，为圆锥顶点，为底面圆心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形． (1)求证：平面平面； (2)若圆锥的底面半径为，高为，求点到平面的距离． (3)在（2）的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由． 题型九 折叠性问题 解｜题｜技｜巧 1.位置关系：分清折叠前后不变量（线段长、角度、垂直、 平行）与变化量（空间位置、二面角），用原有几何性质证平行、垂直. 2.空间角与距离：在折叠棱处作垂线，找出平面角、射影，构造直角三角形求解. 3.体积计算：依托折叠产生的垂直关系确定高，结合底面积，套用体积公式或等体积法计算. 【典例9】（25-26高一下·浙江温州·期中）如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)求三棱锥的体积最大值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 【变式9】（25-26高一下·浙江·期中）现有两个含角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，.初始时，两三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线.现将两三角板绕点平行展开，得到四棱锥. (1)求证：平面平面； (2)设平面平面. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值. 题型十 新定义题型（跨章节） 解｜题｜技｜巧 先读懂新定义，提炼核心条件与几何特征.结合平行、垂直、空间角、距离等常规立体几何知识，将新问题转化为熟悉模型.依托图形性质、定理推理论证，构造三角形求解边长、角度、面积或体积.紧扣定义验证结论，避免偏离规则. 【典例10】（2026·陕西榆林·模拟预测）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．例如：正四面体在顶点A处的离散曲率为．如图，在三棱锥中． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和； (2)若平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为，求点到平面的距离. 【变式10】（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知正四面体的棱长为． (1)证明：； (2)某几何体是由正四面体按如下规则得到：在每个三角形面上，以各边中点为顶点的小三角形为底面，向外补一个小正四面体记为第1次操作；继续以新生的小正四面体各边中点为顶点的小三角形为底面，向外补一个小正四面体记为第2次操作；以此类推，如图所示． （i）求第3次操作后几何体的体积； （ii）现有次操作后生成的几何体石材，求打磨出的最大球的体积． 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，圆锥的底面半径为1，高为4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱． (1)求剩下几何体的体积； (2)求剩下几何体的表面积． 2．（2026高三·全国·专题练习）如图，空间四边形中，，分别是，的中点，，分别在，上，且. (1)求证：，，，四点共面； (2)设与交于点，求证：，，三点共线. 3．（25-26高一下·福建南平·期中）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 4．（25-26高一下·广西玉林·期中）如图，在五面体中，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 期末重难突破练（测试时间：25分钟） 1．（25-26高一下·天津南开·期中）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．    (1)若为中点，求证：平面； (2)若，求证； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 2．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 3．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 4．（25-26高一下·河北邢台·期中）如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. (1)求直线与所成角的余弦值. (2)设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，中，，，E、F分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)若F为中点，且，求二面角的余弦值； (3)若D为中点，当点E在线段上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值． 2．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，，记二面角的大小为，，分别为，的中点．    (1)求证：； (2)用，表示三棱锥的体积； (3)设在三棱锥内有一个半径为的球，，且，求证：． 3．（25-26高一下·山东济南·期中）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱底面ABCD，且PD=CD=2，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE． (1)证明：平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2)记阳马P-ABCD的体积为，四面体EBCD的体积为，求的值. (3)设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求三棱锥E-HBD的外接球的表面积． 4．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图（1），已知平面五边形中，是边长为的正三角形，，，将和分别沿AC，AD向上翻折至，使得在面ACD的同侧，且二面角的平面角和二面角的平面角的大小都为． (1)如图（2），当时，求证：平面ACD； (2)设该五面体外接球的球心为，半径为． （i）当时，求到平面的距离； （ii）求的最小值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优12 直击立体几何初步解答题的十大重难题型 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 共点、共线、共面的证明 题型02 表面积或体积问题 题型03 垂直关系与平行关系的综合 题型04 平行关系与空间角的综合 题型05 垂直关系与空间角的综合 题型06 位置关系与空间距离的综合 题型07 位置关系与体积（表面积）的综合 题型07 定义法求二面角（或两平面的夹角） 题型08 存在性问题 题型09 折叠问题 题型10 新定义题型（跨章节） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 共点、共线、共面的证明 共点、共线、共面的证明,掌握基本公理及推论，能用同一法、辅助平面法证明点线面位置关系，规范逻辑表达. 解答题中极少单独考查，多作为证明平行、垂直的辅助步骤，考查对基础公理的理解与应用. 空间几何体的体积或表面积 空间几何体的体积或表面积,掌握柱锥台球公式，能用割补法、等体积法解决不规则几何体计算，规范书写过程. 常作为解答题第一问考查，以棱锥、棱柱体积为主，需结合线面垂直确定高，考查公式应用与转化思想. 平行或垂直的证明 平行或垂直的证明,熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直的判定及性质定理，能规范完成几何法证明. 是解答题的核心基础考点，常作为第一问，需通过中位线、勾股定理等构造条件，考查空间想象与逻辑推理. 空间角 空间角,理解异面直线角、线面角、二面角定义，能通过几何法找角、构造直角三角形求解. 解答题高频考点，常作为第二问，重点考查线面角、二面角，需结合垂直关系作辅助线，用解三角形完成计算. 空间距离 空间距离,掌握点面距、线面距定义，能通过转化为点面距，用垂线段或等体积法求解. 解答题中极少单独考查，常隐含在体积计算中，多通过等体积法间接求解，考查转化与化归思想. 知识点01 几何体的表面积与体积公式 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2.柱体、锥体、台体和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 3. 多面体的内切球与外接球常用的结论 (非常有用) (1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝a． (2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝． (3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝a，内切球半径r＝H＝a，外接球半径R＝H＝a． 知识点02 异面直线所成的角 1.定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 2.范围：. 知识点03 平行关系 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 知识点04 垂直关系 1.直线与平面垂直 知识点02 (1)直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°. (2)范围：. 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角 若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. (3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 题型一 共点、共线、共面的证明 解｜题｜技｜巧 共面、共线、共点问题的证明 1.共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. 2.共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. 3.共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 【典例1】（25-26高一下·宁夏银川·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点．    (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求证：点在直线上； (3)求证：、、、四点共面． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【详解】（1）根据正方体的性质可知， 是异面直线与所成的角或其补角， ，分别是，的中点， ∴是等腰直角三角形， ，即异面直线与所成角的大小为． （2），平面， 平面， ，平面， 平面， 平面平面，即， 点在直线上． （3）连接，，，，因为，分别为，的中点，所以， 又因为正方体，，所以，所以、、、四点共面．    【变式1】（25-26高一下·山东泰安·期中）在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)与的交点R就是所求的交点，理由见解析 【详解】（1）如图，和在同一个平面内且不平行，故必相交，设交点为O，因为F为的中点，所以且，则；同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合.由此可证得，故D，B，F，E四点共面. （2）设平面为.由于，所以四点共面（设为）. 因为，，所以.又，，所以， 所以.同理可证得，从而有.连接，交于点R， 因为，所以与平面的交点就是与的交点. 所以与的交点R就是所求的交点. 题型二 表面积或体积问题 解｜题｜技｜巧 1.求空间几何体表面积的常用方法： (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)旋转体的表面积是将其侧面展开后，展开图的面积与底面面积之和. (3)组合体的表面积求解时应注意对衔接部分的处理. 2．求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 【典例2】（25-26高一下·吉林四平·期中）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的中点，，垂足分别是D，H，G，将绕AD所在直线旋转． (1)求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积V； (2)求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为，圆柱的底面半径为1，高为． ，， 因此阴影部分形成的几何体的体积为． （2）圆锥侧面积， 圆柱的侧面积， 底面面积， 表面积为． 【变式2-1】（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，在四棱锥中，为正方形，平面；，    (1)求四棱锥的表面积； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为 平面，平面，平面， 所以 ， . 又因为底面为正方形，所以，，. 在 中，，，所以. 在 中，，，所以. 因为 平面，平面，所以 . 又，，平面， 所以平面. 因为平面，所以 ，即为直角三角形. 在 中，. 所以. 同理可证平面，从而 ，即为直角三角形. 在 中，. 所以. 底面正方形的面积 . 故四棱锥的表面积 . （2）因为 平面， 所以为四棱锥的高，且. 底面为正方形， 面积 . 所以四棱锥的体积. 【变式2-2】（25-26高一下·新疆·阶段检测）如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心． (1)若正四棱锥的高为，求它的表面积． (2)若正四棱锥的外接球的体积为，求正四棱锥的体积． 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）由题意知平面，过点作交于点，连结. 则点为的中点，所以， 因为底面积为3，可得，则. 因为四棱锥的高为，所以. 所以正四棱锥的表面积. （2）设外接球半径为，由外接球体积，可得. 底面正方形对角线长， 所以底面正方形外接圆半径. 由题，正四棱锥外接球的球心在上， 设球心到底面距离为，由，可得， 当顶点与球心在底面异侧时，正四棱锥的高； 当顶点与球心在底面同侧时，正四棱锥的高. 当时，； 当时，. 综上所述，正四棱锥的体积为或. 题型三 垂直关系与平行关系的综合 解｜题｜技｜巧 垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直性质及判定的综合应用. 【典例3】（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证： (1)平面∥平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：连接， ∵分别是 的中点， ∴，又∵平面，平面， ∴平面， 同理可证平面， 且平面，平面，， ∴平面平面； （2）证明：在正方体中，是的中点， ，平面，平面， ，又平面， 平面，又平面平面， 平面． 【变式3-1】（25-26高一下·北京·期中）已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【详解】（1）因为、、分别是、、的中点，所以，， 又因为底面为矩形，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，所以平面． 因为，、平面，所以平面平面． （2）因为底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． （3）因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. 【变式3-2】（25-26高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，四棱锥中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，，M为PC的中点. (1)求证：BM平面PAD； (2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD. 【答案】(1)证明见解析;(2)N为AE的中点 【详解】（1）是的中点，取的中点E，连接，如图， 则，，又，， ，四边形为平行四边形， ， 又平面，平面，则平面； （2）由（1）知为平行四边形 由底面，在平面内，， 又，平面， 同理平面，平面， ， 则为矩形，，， 又，为的中点，所以， 平面， 由平面，平面平面， 在平面内作，故平面， 延长交于，在矩形内，，， ，即N为AE的中点 当点为的中点时， 平面; 题型四 平行关系与空间角的综合 解｜题｜技｜巧 先证平行：借助中位线、平行四边形、面面平行判定完成线线、线面、面面平行推导. 再求空间角：异面直线角平移构相交角；线面角找射影定夹角；二面角作棱的垂线 / 垂面找平面角. 最后结合解三角形、几何性质完成计算. 【典例4】（25-26高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析;(2). 【详解】（1）证明：取中点为，连接, 因为点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为在平行四边形中，点为的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面 又，平面 所以平面平面， 又平面， 所以直线平面 （2）解：取中点为，连接 因为，中点为 所以，是等边三角形， 所以，即为二面角的平面角. 在中，，由余弦定理有： ， 即，解得， 又在中，，在内，. 所以在中，，即为等边三角形， 所以，即二面角的大小为. 【变式4-1】（25-26高一下·江苏镇江·期中）如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点.    (1)过点作出一条直线，使得，并写出作图过程； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点. 【答案】(1)图形解析，过程见解析；(2)；(3)证明见详解. 【详解】（1）如图，取棱的中点，连接，在正方体上底面内过点作直线，使得， 连接，因为是的中点，是的中点， 所以，，又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故， 所以.    （2）取棱的中点，连接， 又是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以直线与所成角，即为或其补角， 在中，，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为 . （3）因为是的中点，是的中点，所以，， 又在正方体中，易得，， 所以，， 记直线与交于点，因为平面，所以平面， 同理，平面， 所以平面平面， 所以直线三条直线交于一点. 【变式4-2】（25-26高一下·浙江·期中）已知四棱锥，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)作出过三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长． 【答案】(1)证明见解析;(2);(3)四边形即为截面， 【详解】（1） 取中点，连接， 在中，且， 因为，且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） 取中点，连交于，连接， 因为，且，则四边形为平行四边形， 所以，为中点， 在中，，因为平面，所以平面， 作交于，连接， 因为平面，所以， 因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 又，，所以， （3） 延长于，连接于，则四边形即为截面 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 中，，，，点为中点，所以， 因为，所以点为的中点，所以中，为其重心， 所以，所以，， 中，，即， 又，故截面的周长为． 题型五 垂直关系与空间角的综合 解｜题｜技｜巧 先证垂直：用线线、线面、面面垂直判定与性质，结合等腰三角形、勾股定理推证. 再求空间角：异面直线角平移相交取锐角；线面角找射影；二面角作棱的垂线确定平面角. 依托直角三角形、正余弦定理完成计算. 【典例5】（25-26高一下·湖南益阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. （3）正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 【变式5-1】（25-26高一下·四川成都·期中）如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. (1)连接，证明：平面. (2)设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明：如图，连接，由于为的外心，故有. 因为为中点，，所以，， ∵，平面∴平面， ∴.同理，. ∵，平面， ∴平面. （2）正四面体棱长​，等边中，中线， 为重心（等边三角形重心与外心重合），故. 由平面，​. 是中点，在中，，， 由中线长公式. 由体积法，​​， 故， 又​， 设到平面距离为，则，​ 设线面夹角为，由线面角定义，代入得. 即直线与平面夹角的正弦值为. 【变式5-2】（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． (1)证明：； (2)求证：平面平面； (3)若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）已知底面是矩形，底面，，分别为，的中点， 则， 在和中，，则三个内角均对应相等，故， 相似比为， ，即， 已知，则， 由平行线分线段成比例定理可得， 又分别为的中点， ，． （2）在矩形中，， ，则， ，则， ， ，即， 底面，底面，故， ，且平面， 平面， 又平面， 平面平面． （3） 平面，即平面， 即为与平面所成的角， 由（2）知，， 已知，，， ， 在中，． 题型六 位置关系与空间距离的综合 解｜题｜技｜巧 先利用平行、垂直的判定与性质完成位置关系证明.求距离优先转化：点面距、线面距可等体积法求解；结合垂线、射影构造直角三角形，运用勾股定理、解三角形完成计算. 【典例6】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知正三棱柱中，，点P为的中点. (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析;(2) 【详解】（1）连接交于点，连接. 因为三棱柱为正三棱柱，所以侧面为矩形， 所以为的中点. 又因为点为的中点，所以在中，为中位线，故. 因为平面，平面，所以平面. （2）设点到平面的距离为. 因为为正三角形，为的中点，所以，且. 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面. 又平面，所以.因为，平面，所以平面. 又平面，所以. 在中，. 所以的面积. 又的面积. 由可得，即， 解得.所以点到平面的距离为. 【变式6-1】（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以. 由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面． （2）取的中点，连接．    因为为中点，为中点，所以是的中位线， 故，且． 又底面，所以底面， 因此是在底面内的射影，即为直线与平面所成的角． 由题意，是的四等分点，，故． 又是中点，，故． 在中，． 在中，． 因此，． （ii）利用等体积法，设点到平面的距离为． 由(1)知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故． 因此，． 由(1)知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由，得：，，解得． 【变式6-2】（2026·山东泰安·三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【详解】（1）连接PO，BD，如图一所示， ，，∵平面平面ABCD， 平面平面，平面，平面ABCD， 平面ABCD，， 又平面PAD，平面PAD， 又平面PAD，. （2）由（1）得,又∵O为AD的中点,， ,是正三角形，,. 连接MD，设点D到平面MOB的距离为h， ， ，M到平面ABCD的距离为P到平面ABCD距离的， 即，，， ，∴点D到平面MOB的距离为. 题型七 位置关系与体积（表面积）的综合 解｜题｜技｜巧 先利用平行、垂直的判定及性质证位置关系，确定几何体的高与底面.求体积优先用公式，不规则几何体可分割、补形转化为规则几何体.借助垂直找垂线确定高，结合解三角形求底面积，也可使用等体积法换底计算. 【典例7】（25-26高一下·四川宜宾·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）在中，分别是和的中点， ， 又平面平面 平面． （2）由题意得点到平面的距离为2 即三棱锥的高为2， 四边形是正方形， ， 三棱锥的体积为． 三棱锥的体积为． 【变式7-1】（2024高二下·福建·学业考试）如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点．    (1)求三棱锥的体积 (2)求证：∥平面； 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）∵平面， 所以三棱锥的高为， 所以； （2）连接交于，连接， 则为的中点，且为的中点， 所以中位线//，且平面，平面， 所以//平面.    【变式7-2】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）因为底面为菱形，， 所以是等边三角形， 又因为是的中点，所以， 又因为，所以. 因为，为中点，所以， 又因为，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2）经计算，，又， 所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以是四棱锥的高， 所以. 题型八 存在性问题 解｜题｜技｜巧 1.点的存在性：结合平行、垂直性质，利用中位线、比例线段定位，假设存在再推导线面关系验证. 2.线的存在性：依据平行、垂直判定，作平行线、垂线，结合面面位置关系确定直线位置. 3面的存在性：依托面面平行、垂直定理，过定点作平面，利用交线、垂线完成论证. 通用思路：先假设存在，结合几何性质推理，得出符合条件的位置或推出矛盾. 【典例8】（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点. (1)求证: 平面; (2)若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； (3)若，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱中点的截面，并求出截面周长. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在为线段中点，证明见解析；(3)作图见解析，截面周长为. 【详解】（1）取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）当为线段中点时，平面， 证明：取线段中点，连接 因为分别为线段的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 又面， 则面面，又面， 所以面， 所以当为线段中点时，平面； （3）取线段的中点，连接， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段的中点， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面， 则，，， 在中，，， 所以， 则， 所以截面周长为. 【变式8-1】（25-26高一下·北京·期中）已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在，. 【详解】（1）设平面与直线交于. 因为平面平面，设平面平面， 连接，平面平面，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，所以， ∵在正方体中，,所以， 在正方形中，是的中点，所以点是的中点， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，且点是的中点， 所以点是的中点． （2）连接，因为在正方形中，，，，平面， ∴平面，平面，， 同理可证，又，平面， ∴平面，且平面平面， 所以平面，平面，所以； （3）取中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 设平面平面，所以， 而,所以,又因为是中点，所以是中点， 连接，设，则是中点， 而G为中点，所以， 又由（2）知平面，所以平面， 而平面，使得平面平面， 又过且与平面垂直的平面存在且唯一， 故当且仅当G为中点时，平面平面. 连接， 又因为 ， 所以. 【变式8-2】（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，为圆锥顶点，为底面圆心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形． (1)求证：平面平面； (2)若圆锥的底面半径为，高为，求点到平面的距离． (3)在（2）的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 【详解】（1）证明：延长，交于点， 由为等边三角形，得是的中心， 则，易知平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）连接，作于，由（1）知平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 故到平面的距离为的长． 易知，， 又，所以， 所以， 又，所以， 故， 所以点到平面的距离为. （3）存在外接球，设球心为，由对称性可知球心在直线上， 由球心定义可知是直线和线段中垂线交点，下面为截面示意图： 设球半径为，在直角三角形中，由勾股定理知， 则，解得， 所以球表面积. 题型九 折叠性问题 解｜题｜技｜巧 1.位置关系：分清折叠前后不变量（线段长、角度、垂直、 平行）与变化量（空间位置、二面角），用原有几何性质证平行、垂直. 2.空间角与距离：在折叠棱处作垂线，找出平面角、射影，构造直角三角形求解. 3.体积计算：依托折叠产生的垂直关系确定高，结合底面积，套用体积公式或等体积法计算. 【典例9】（25-26高一下·浙江温州·期中）如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)求三棱锥的体积最大值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）要使三棱锥的体积最大，即点到平面的距离最大． 所以平面平面， 取中点，连接， 则，又为交线，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， ，，， （2），，,平面， 平面，由平面， ，， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中，， 所以， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，故. （3）设， 则， 即① 令② ①②得 ， 取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为， 因为， ，， 所以． 【变式9】（25-26高一下·浙江·期中）现有两个含角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，.初始时，两三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线.现将两三角板绕点平行展开，得到四棱锥. (1)求证：平面平面； (2)设平面平面. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）最大值. 【详解】（1）由与平行且相等，得四边形为平行四边形， 所以为，的中点. 又由于，，所以，， 又因为，平面，，所以平面. 又平面， 所以平面平面； （2）（ⅰ）因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面，所以. 又因为平面，平面，所以平面. （ⅱ）作，，垂足分别为，， 因为，所以，， 所以是二面角的平面角. 因为，为的中点， 所以，设. 则，. 因为，，，平面， 所以平面，所以. 所以. 当且仅当，即二面角的大小为时，四棱锥的体积取得最大值. 题型十 新定义题型（跨章节） 解｜题｜技｜巧 先读懂新定义，提炼核心条件与几何特征.结合平行、垂直、空间角、距离等常规立体几何知识，将新问题转化为熟悉模型.依托图形性质、定理推理论证，构造三角形求解边长、角度、面积或体积.紧扣定义验证结论，避免偏离规则. 【典例10】（2026·陕西榆林·模拟预测）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．例如：正四面体在顶点A处的离散曲率为．如图，在三棱锥中． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和； (2)若平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为，求点到平面的距离. 【答案】(1)2；(2) 【详解】（1）由离散曲率的定义得： ， ， 因为，同理可得其他三个三角形内角和为， 所以； （2）由平面ABC，平面ABC，得， 又，AC，平面PAC，则平面PAC， 由平面PAC，得，即， 又，即，解得． 解法1：过点A作于点M，由平面PAC，平面PAC，得， 又平面PCB，则平面PCB， 因此点A到平面PCB的距离为线段AM的长． 在中，，所以，点A到平面PBC的距离为． 解法2：设点到平面的距离为， 则，， 所以，即点到平面的距离为． 【变式10】（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知正四面体的棱长为． (1)证明：； (2)某几何体是由正四面体按如下规则得到：在每个三角形面上，以各边中点为顶点的小三角形为底面，向外补一个小正四面体记为第1次操作；继续以新生的小正四面体各边中点为顶点的小三角形为底面，向外补一个小正四面体记为第2次操作；以此类推，如图所示． （i）求第3次操作后几何体的体积； （ii）现有次操作后生成的几何体石材，求打磨出的最大球的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）；（ii）． 【详解】（1）取中点，由正四面体知与均为正三角形， 故，又平面， 所以平面，又平面，故. （2）（i）设第次操作后的体积为，原四面体的棱长为，体积为； 第1次操作后，新增四个小正四面体，其棱长为，且新增的体积为； 第2次操作后，每个小四面体均新增三个更小的正四面体，棱长为，共增加12个，故新增的体积为； 第3次操作后，新增36个小正四面体，棱长为，故新增体积为， 因此操作3次后的体积为， 原正四面体的体积，故. （ii）最大球即初始正四面体的中心到各面中位线中点的距离为半径的球. 过点作平面于点，因为四面体为正四面体， 故为的中心，则在上，且， 同理，可得在上，且，则为四面体的外接球球心和内切球球心， 设，则， 所以，则由，解得，所以， 设点为的中点，则，则， 次操作后始终为新生几何体的一个顶点，故打磨出的球的半径， 记第1次操作后构造的任一正四面体（即四面体）的外接球球心为， 连接，则平面，设垂足为，，则为的中心， 故在上，且，故点与点重合， 所以共线，则平面，故. 即以为球心，为半径的球，是次操作后生成的几何体石材打磨出的最大球， 此球体积为. 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，圆锥的底面半径为1，高为4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱． (1)求剩下几何体的体积； (2)求剩下几何体的表面积． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由圆柱上底面圆心为圆锥高的中点，得圆柱的底面圆半径， 圆柱母线长为2，而圆锥的母线长， 由圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积， 得． 所以剩下几何体的体积为. （2）依题意，圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为圆锥的表面积加上圆柱的侧面积， 所以剩下几何体的表面积. 2．（2026高三·全国·专题练习）如图，空间四边形中，，分别是，的中点，，分别在，上，且. (1)求证：，，，四点共面； (2)设与交于点，求证：，，三点共线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1），分别为，的中点，. 在中，，，. ，，，四点共面. （2），，平面，平面. 同理平面. 为平面与平面的公共点. 又平面平面， ，，，三点共线. 3．（25-26高一下·福建南平·期中）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）由正方形，得，又平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）由正方形，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面， 由（1）知，所以平面. 4．（25-26高一下·广西玉林·期中）如图，在五面体中，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)(3) 【详解】（1） 如图所示，取的中点，连接. ，. 又平面，平面，， ，平面，平面. 点为中点，，又，， ，是平行四边形，， 平面，又平面，平面平面； （2）由（1）知平面，就是在平面内的射影， 即为直线与平面所成的角. 在中，，，， . 平面，平面，， 在中，， ，， 平面，又平面，， 在中，， ； （3）由（1）（2）可知，，，且， 又知平面，平面，就是三棱锥的高， . 期末重难突破练（测试时间：25分钟） 1．（25-26高一下·天津南开·期中）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．    (1)若为中点，求证：平面； (2)若，求证； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面；    （2）取的中点，连接， 因为为正三角形，所以， 又，则， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以； （3）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得， 又，所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 2．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3) 【详解】（1） 连接，设． 因为底面为平行四边形，所以为的中点． 又因为为的中点， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）在中，因为， 所以为等腰三角形，故． 所以，即． 因为平面，平面， 所以． 又因为，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． （3）取的中点，连接． 因为为的中点，为的中点， 所以，且． 因为平面，， 所以平面，且． 所以为在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角． 在中，，，， 由勾股定理得． 因为为斜边的中点， 所以． 在中，． 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为． 3．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【详解】（1）如图，取的中点，连接，． 因为为等边三角形，所以， 又在等腰梯形中，为的中点，可知为等腰梯形的高，故， 又，，平面，所以平面，得． 因为，，且， 故， 又，，， 所以．    （2）在平面内，作于点，连接． 由（1）易知，从而为二面角的平面角． 易知，则， 所以， 所以，即二面角的余弦值为． （3）设到平面的距离为． 易知，即， 即，解得． 设直线与平面所成的角为，则． 4．（25-26高一下·河北邢台·期中）如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. (1)求直线与所成角的余弦值. (2)设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 【答案】(1) (2)（i）不是，体积最小值为；（ii） 【详解】（1）在棱长为4的正方体，过点作交于，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，则， 即为直线与所成的角或其补角， 由，，得，，，， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）（i）三棱锥的体积不是定值. 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 又平面，于是平面，由（1）知，且平面， 则平面，而平面，则平面平面， 又平面，因此平面，取中点，连接，显然为的中点， 则，又与平面交于点，于是与平面相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值， 由图知，线段在平面的同侧，且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小， 且， 所以三棱锥体积的最小值为 （ii）连接，由正方体的对角面是矩形， 得，且平面，则平面，同理平面， 而平面，因此平面平面， 此时线段平面，满足平面， 设，到平面的距离分别为，，则. 是边长为的等边三角形，则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以. 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，中，，，E、F分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)若F为中点，且，求二面角的余弦值； (3)若D为中点，当点E在线段上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值． 【答案】(1)证明见解析;(2);(3) 【详解】（1），，， 将沿折起，可得， 又，平面，平面，平面， 平面，. （2）由（1）可知，，，二面角的平面角为， 由F为中点，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. （3）由D为中点，得，设，则， 以为底的三棱锥的高为点到底面的距离，则距离的最大值为， 所以三棱锥的体积， 当且仅当时取等号，所以三棱锥的体积的最大值为. 2．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，，记二面角的大小为，，分别为，的中点．    (1)求证：； (2)用，表示三棱锥的体积； (3)设在三棱锥内有一个半径为的球，，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析 【详解】（1）取中点，连接，.    因为，分别为，的中点，则，. 因为，所以，. 又，，平面，所以平面. 又平面，所以． （2）由（1）知，平面， 又平面，所以平面平面，交线为． 过作于. 因为平面，所以平面，即为三棱锥的高． 因为、分别为、中点，所以，． 又平面，所以即为二面角的平面角，则， 在中，. 因为为中点，所以. 所以. （3）作于，由（2）知，， 过作交于，则，四边形为矩形，    又平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，， 设的高，所以， 又，，所以， 即，， 所以三棱锥的表面积 ， 又， 所以三棱锥的内切球半径， 所以， 故. 3．（25-26高一下·山东济南·期中）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱底面ABCD，且PD=CD=2，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE． (1)证明：平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2)记阳马P-ABCD的体积为，四面体EBCD的体积为，求的值. (3)设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求三棱锥E-HBD的外接球的表面积． 【答案】(1)证明见解析，四面体EBCD是鳖臑，四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；(2)4 (3) 【详解】（1）证明：因为底面ABCD，平面ABCD，所以， 因为ABCD为长方形，所以， 因为，平面PCD， 所以平面PCD，因为平面PCD，所以， 因为PD=CD，点E是PC的中点，所以， 因为，平面PBC，所以平面PBC， 由平面PCD，平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形， 即四面体EBCD是一个鳖臑， 其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB； （2）解：由已知，PD是阳马P-ABCD的高， ， 由（1）知，DE是鳖臑D-BCE的高，， ， 在中，，点E是PC的中点， ， ． （3）解：取DC中点F，连接EF，过F作，连接EG； 因为E，F是PC，DC中点，所以，又平面， 所以平面ABCD，平面ABCD， 所以，又因为，，平面EFG， 所以平面EFG，所以∠EGF就是面EDB与面ABCD所成二面角的平面角： 设，又因为，所以，所以， 所以，又EF=1，得 所以，解得， 因为CD=2，，所以，，； 所以，； 设的外接圆半径为r，外接圆圆心为O， 则，， 过点O作，，垂足分别为M，K，连接OF， 则，， 又DF=1，所以，所以， 设球心为，设，若球心和点E位于平面DHB异侧， 则， ，三棱锥E-HBD的外接球的半径为， ， 若球心和点E位于平面DHB同侧， 则 解得（舍去）． 综上，三棱锥E-HBD的外接球的表面积为． 4．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图（1），已知平面五边形中，是边长为的正三角形，，，将和分别沿AC，AD向上翻折至，使得在面ACD的同侧，且二面角的平面角和二面角的平面角的大小都为． (1)如图（2），当时，求证：平面ACD； (2)设该五面体外接球的球心为，半径为． （i）当时，求到平面的距离； （ii）求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）翻折前：过B，E分别作AC，AD的垂线，垂足分别为F，G，分别延长BF，EG交CD于点H，M 翻折后：如图所示，则二面角的平面角和二面角的平面角分别为和 因为，则平面平面ACD， 因此， 因为是边长为的正三角形，， 所以都是直角三角形， 由面积相等，得， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面ACD， 因此平面； （2）（i）取AC的中点，连接为的外心， 过作交于点， 因为为正三角形， 所以， 故二面角的平面角为， 设为该五面体的外接球球心，由对称性知，该五面体的外接球，即三棱锥的外接球则面， 则到平面的距离为， 由题可知， ， 所以， 因此到平面的距离为； （ii）二面角的平面角为， 面， ， 因此， 所以， 则， 故， ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 因此的最小值为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $