2026年四川省泸州市中考数学模拟预测卷

**基本信息** 以AI词元调用、限塑令等真实情境为载体，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率，梯度分明，适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/48|无理数判断、图形对称、统计量计算|第2题结合AI技术词元调用量考查科学记数法，体现科技前沿| |填空题|5/20|代数式意义、因式分解、尺规作图|第15题以坐标系中尺规作图求交点，培养几何直观| |解答题|8/82|函数综合、几何证明、统计应用|第20题以限塑令为背景，融合方程与不等式解决最优化问题，发展模型意识；第25题二次函数动态探究，提升创新意识|

保密★启用前 四川省泸州市2026年中考数学模拟预测卷（原卷版） （考试分数：150分；建议用时：120分钟） 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级等信息，请写在答题卡规定的位置。 2．判断题、选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非判断、选择题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案正确填写在规定的位置上。 3．所有题目必须在规定的位置作答。 4．考试结束后将试卷交回。 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．下列实数中，属于无理数的是（    ） A．0 B． C． D． 2．在AI技术发展中，词元（）是大模型处理信息的基本单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征、据国家数据局发布信息：2024年初，我国日均词元调用量为1000亿；2026年3月，日均词元调用量已突破140万亿．若2026年3月日均词元调用量为2024年初日均词元调用量的n倍，则n用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．为贯彻落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某班组织学生到校园农场开展锄地、除草、剪枝、捉虫、施肥、浇水六项实践活动，已知六个项目的参与人数分别是：12，11，9，13，10，13，则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．13，11 B．13，12 C．12，9 D．13， 6．如图，的半径为10，，P是弦上的一个动点（不与A，B重合），符合条件的的值不可能是（    ） A．7.5 B．6.5 C．6 D． 7．下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对角相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的邻边相等 D．正方形的四条边均相等 8．任意实数，可以用表示不超过的最大整数，如，，已知，则下列n的值符合条件的是（    ） A． B． C． D． 9．针对抛物线与轴公共点的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个公共点 B．有一个公共点 C．一定有公共点 D．可能无公共点 10．如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（　　）    A． B． C． D． 11．在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 12．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3及一次函数y＝x+m，将该二次函数y＝﹣x2﹣2x+3在x轴下方的图象沿x轴进行翻折，其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　） A．3＜m＜5 B．﹣1＜m＜3 C．3＜m＜ D．5＜m＜ 二、填空题（本大题有5个小题，每小题4分，共20分） 13．要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 14．分解因式__________． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是_________． 16．已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是_________． 17．定义：有三条直线与圆相切的图形称为“多切型”．如图多切型中，、、分别与切于、、，且，连接并延长交于点，过点作的切线交于，交于，若的直径为，．则_________． 三、解答题（共82分） 18．计算：． 19．先化简，再求值：，试从1，2，3三个数中选取一个你喜欢的数代入求值． 20．为响应国家“限塑令”升级号召，助力成都建设“无废城市”，某环保科技公司推出新型可降解餐盒．公司在售普通款餐盒（A类）和加厚款餐盒（B类），已知每个B类餐盒的价格是每个A类餐盒价格的，用40元购买A类餐盒的数量比用30元购买B类餐盒的数量多15个． (1)求A类餐盒的价格． (2)某餐饮商家计划向该公司购买两种餐盒共600个，其中购买A类餐盒的数量不超过B类餐盒数量的2倍，当两种餐盒分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 21．我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱，一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图： (1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是多少人？ (2)若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？ (3)小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率） 22．图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点．已知景点B位于景点A的南偏西方向，位于景点C的东南方向米处，若景点A，C与E，D都位于东西方向，且景点D位于景点C的北偏西方向1000米处，景点E位于景点A的西北方向． (1)求景点A与点C相距多少米？（结果保留根号） (2)为了方便旅客游览，景区决定在景点D和E之间修一条笔直的道路，求道路的长度．（参考数据：，结果精确到1米） 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，两点． (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标； (2)点是反比例函数第三象限图象上的一点，连接交轴与点，连接、，当与的面积比为时，求的面积； (3)探究在反比例函数图象上是否存在一点，点N是平面内一点，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，内接于，是的直径，E为上一点，过点E作的切线交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点为直线下方抛物线上一动点． ①如图2所示，直线交线段于点，求的最小值； ② 如图3所示，连接过点作于，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $保密★启用前 四川省泸州市2026年中考数学模拟预测卷（解析版） （考试分数：150分；建议用时：120分钟） 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级等信息，请写在答题卡规定的位置。 2．判断题、选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非判断、选择题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案正确填写在规定的位置上。 3．所有题目必须在规定的位置作答。 4．考试结束后将试卷交回。 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分；在每小题给出的四个 选项中，有且只有一个是正确的） 1．下列实数中，属于无理数的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数．熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 根据无限不循环小数是无理数进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，0，，是有理数，故不符合要求； 是无理数，故符合要求； 故选：B． 2．在AI技术发展中，词元（）是大模型处理信息的基本单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征、据国家数据局发布信息：2024年初，我国日均词元调用量为1000亿；2026年3月，日均词元调用量已突破140万亿．若2026年3月日均词元调用量为2024年初日均词元调用量的n倍，则n用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：140万亿亿亿，1000亿亿 由题意得． 3．下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一个图形沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够互相重合，则这个图形是轴对称图形；一个图形绕某个点旋转180度后能够与自身完全重合的图形是中心对称图形，据此判断即可． 【详解】解：A，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B，既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C，是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法、同底数幂乘法法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，即选项A错误； B． ，即选项B错误； C．，即选项C正确； D．，即选项D错误． 5．为贯彻落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某班组织学生到校园农场开展锄地、除草、剪枝、捉虫、施肥、浇水六项实践活动，已知六个项目的参与人数分别是：12，11，9，13，10，13，则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．13，11 B．13，12 C．12，9 D．13， 【答案】D 【分析】本题考查了众数，中位数，掌握一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键． 根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案． 【详解】解：将这组数据由小到大排列为：9，10，11，12，13，13， 众数为13，中位数为． 故选：D． 6．如图，的半径为10，，P是弦上的一个动点（不与A，B重合），符合条件的的值不可能是（    ） A．7.5 B．6.5 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，垂线段最短等知识．取的中点C，分别连接、，由垂径定理及勾股定理可求得的长，根据垂线段最短，则的值介于与之间，由此可求得结果． 【详解】解：如图，取的中点C，分别连接、，则，且， 在中，， ∴ ， 点P线段上（不与重合），则，即 ， ∵， ∴选项D符合题意； 故选：D． 7．下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对角相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的邻边相等 D．正方形的四条边均相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质，根据性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：平行四边形的对角相等，故A选项正确，不符合题意， 矩形的对角线相等但不一定垂直，故B选项错误，符合题意， 菱形的邻边相等，故C选项正确，不符合题意， 正方形的四条边均相等，故D选项正确，不符合题意， 故选：B． 8．任意实数，可以用表示不超过的最大整数，如，，已知，则下列n的值符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，根据[]的意义可先求得的范围，然后再两边同时平方即可，依据[的意义求得的范围是解题的关键． 【详解】解：表示不超过的最大整数， ， ， 故选：． 9．针对抛物线与轴公共点的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个公共点 B．有一个公共点 C．一定有公共点 D．可能无公共点 【答案】C 【分析】根据判别式，即可判断． 【详解】解：∵． ∴抛物线与轴一定有公共点． 故选：C． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点，关键是掌握抛物线与x轴交点的个数与判别式Δ之间的关系． 10．如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正多边形的性质和圆周角定理，连结和，根据正多边形求得，结合圆周角定理即可求得答案． 【详解】解：连结、，如图，    ∵五边形是正五边形， ∴， 则． 故选：B． 11．在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 12．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3及一次函数y＝x+m，将该二次函数y＝﹣x2﹣2x+3在x轴下方的图象沿x轴进行翻折，其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　） A．3＜m＜5 B．﹣1＜m＜3 C．3＜m＜ D．5＜m＜ 【答案】C 【分析】如图，解方程﹣x2﹣2x+3＝0得A（﹣3，0），B（1，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x﹣1）（x+3），即y＝x2+2x﹣3（x＜﹣3或x＞1），然后求出直线y＝x+m经过点A（﹣3，0）时m的值和当直线y＝x+m与抛物线y＝﹣x2﹣2x+3（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围． 【详解】解：如图，在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0， 得﹣x2﹣2x+3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， 将该二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方的部分图象的解析式为y＝（x﹣1）（x+3）， 即y＝x2+2x﹣3（x＜﹣3或x＞1）， 当直线y＝x+m经过点A（﹣3，0）时，﹣3+m＝0，解得m＝3； 当直线y＝x+m与抛物线y＝﹣x2﹣2x+3（﹣3≤x≤1）有唯一公共点时，方程﹣x2﹣2x+3＝x+m有相等的实数解，解得m＝， 所以当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为3＜m＜． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点个数问题，解题关键是熟练运用数形结合思想，利用函数图象解决问题． 二、填空题（本大题有5个小题，每小题4分，共20分） 13．要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：且， 故答案为：且． 14．分解因式__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是_________． 【答案】 【分析】方法一：本题考查了坐标与图形，角平分线的作法，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过点作轴于点G，根据题意可得平分，易证是等腰直角三角形，得到，再证明，易证，推出，即，求出，即可得到点F的坐标． 方法二：本题考查了一次函数解析式的求解、角平分线的性质以及两直线交点的求法．用到了函数与方程的思想，解题关键是确定所在直线的解析式为，易错点是联立方程求解时计算出错． 首先，利用直线上两点和，用待定系数法求出直线的解析式．然后，根据作图步骤可知是的角平分线，因为，所以所在直线的解析式为．最后，求直线与的交点，联立它们的解析式，解方程组得到交点坐标，也就是点F的坐标． 【详解】解法一：解：如图，过点作轴于点G， 根据题意得平分，， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为：． 解法二：解：∵，，设直线的解析式为：, ∴， 解得：， 直线的解析式为：, 是的角平分线，， 所在直线的解析式为． 联立方程组： 将代入中，得到： ， 解得． ， ． 所以，直线与的交点F的坐标为． 故答案为：． 16．已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解∶ ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴，解得：， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17．定义：有三条直线与圆相切的图形称为“多切型”．如图多切型中，、、分别与切于、、，且，连接并延长交于点，过点作的切线交于，交于，若的直径为，．则_________． 【答案】/ 【分析】分别过点作，连接，易证，即三点共线，勾股定理求出，证明四边形是矩形，四边形是矩形，，由切线长定理求出，得到，再根据是的切线，得到，解直角三角形求出，再求出，再根据，求出，即可求解． 【详解】解：分别过点作，连接， ∵、、分别与切于、、， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，四边形是矩形， ∴， 设， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴． 三、解答题（共82分） 18．计算：． 【答案】 【分析】分别利用二次根式化简、零指数幂和绝对值计算各项，再依次加减即可． 【详解】解：原式 ． 19．先化简，再求值：，试从1，2，3三个数中选取一个你喜欢的数代入求值． 【答案】；当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及完全平方公式，先将除法化为乘法，用完全平方公式约分化简，通过分母不为0，排除部分数值，最后代入即可． 【详解】解： ， ∵分母不为0， ，， 即， 当时， 原式． 20．为响应国家“限塑令”升级号召，助力成都建设“无废城市”，某环保科技公司推出新型可降解餐盒．公司在售普通款餐盒（A类）和加厚款餐盒（B类），已知每个B类餐盒的价格是每个A类餐盒价格的，用40元购买A类餐盒的数量比用30元购买B类餐盒的数量多15个． (1)求A类餐盒的价格． (2)某餐饮商家计划向该公司购买两种餐盒共600个，其中购买A类餐盒的数量不超过B类餐盒数量的2倍，当两种餐盒分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1) A类餐盒每个的价格为1元 (2) 购买A类餐盒400个，B类餐盒200个时总费用最少，最少总费用为640元 【分析】（1）设A类餐盒的价格为元，则B类餐盒的价格为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设A类餐盒购买了个，则B类餐盒购买了个，结合题意列不等式得到，设总费用为，由此列式，结合一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：设A类餐盒的价格为元，则B类餐盒的价格为元， ∴， 解得，， 检验，当时，原方程有意义， ∴A类餐盒每个的价格为1元； （2）解：根据（1）的计算可知，B类餐盒每个的价格为元， 设A类餐盒购买了个，则B类餐盒购买了个， ∴， 解得，， 设总费用为， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，最小值为（元）， ∴， ∴购买A类餐盒400个，B类餐盒200个时总费用最少，最少总费用为640元． 21．我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱，一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图： (1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是多少人？ (2)若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？ (3)小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率） 【答案】(1)200人 (2)人 (3) 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率： （1）用D景区的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数； （2）用1200乘以样本中B景区的人数占比即可得到答案； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到选到A，C两个景区的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：（人）， ∴该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是200人； （2）解：（人）， ∴估计去B地旅游的居民约有420人； （3）解：画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到A，C两个景区的有2种结果， ∴选到A，C两个景区的概率为． 22．图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点．已知景点B位于景点A的南偏西方向，位于景点C的东南方向米处，若景点A，C与E，D都位于东西方向，且景点D位于景点C的北偏西方向1000米处，景点E位于景点A的西北方向． (1)求景点A与点C相距多少米？（结果保留根号） (2)为了方便旅客游览，景区决定在景点D和E之间修一条笔直的道路，求道路的长度．（参考数据：，结果精确到1米） 【答案】(1)米； (2)1820米 【分析】（1）过点B作BH⊥AC，先求出CH与BH的长，再求出AH的长，最后求出AC的长； （2）过点C作CN⊥DE，作MA⊥DE，得四边形CAMN是矩形，求出MN的长，再根据三角函数求出DN与EM的长，最后求出DE的长． 【详解】（1）：过点B作BH⊥AC，垂足为点H， 由题意可得：∠ACB=45°，∠CAB=60°，米， ∵在Rt△BHC中，∠HCB=45°，米， ∴（米）， ∵在Rt△ABH中，∠HAB=30°，米， ∴， 即，得AH=800米， ∴（米）； （2）：过点C作CN⊥DE，作MA⊥DE，垂足分别为点N、M， 由题意可得：∠DCN=30°，∠EAM=45°，CD=1000米，四边形CAMN是矩形， ∴， ∵在Rt△DCN中，∠DCN=30°，CD=1000米， ∴米，米， ∴米， ∵在Rt△AME中，∠MAE=45°，米， ∴米， ∴（米） 【点睛】此题考查直角三角形的问题，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，两点． (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标； (2)点是反比例函数第三象限图象上的一点，连接交轴与点，连接、，当与的面积比为时，求的面积； (3)探究在反比例函数图象上是否存在一点，点N是平面内一点，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数为， (2) (3)点坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键． （1）将点代入一次函数，求得，可得，进而可得反比例函数为，联立解析式即可求出交点坐标 （2）由面积比，结合共底三角形面积比等于高之比，得点，进而求出点C横坐标，由此求出直线解析式，可得点坐标，再根据计算面积即可； （3）根据以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，分三种情况讨论直角的位置，根据勾股定理列方程求解出点坐标，再根据平移确定点N坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数，解得， 故． 将代入反比例函数，得， 因此反比例函数为：， 联立一次函数与反比例函数，得 解方程组得，， 故点坐标为. （2）解：如图，直线与y轴交于点H． ∵，，， ∴， ∵，点在第三象限， ∴， 故 ∴直线解析式为：， ∴点坐标为， ∴ （3）解：设点坐标为， ∵，， ∴， ， ， 以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，分三种情况 ①当时，， ， 解得：（不合题意舍去）；，， ∴点坐标为， 将点向左平移1单位，上平移2单位得到点， ∴点坐标为， ②当时，， ， 解得：（不合题意舍去）；， ∴点坐标为， 将点向右平移1单位，下平移2单位得到点， ∴点坐标为， ③当时，， ， 整理得： 解得：（不合题意舍去），（不合题意舍去）， 此时不存在满足条件的M， 综上所述：使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，点坐标为或． 【点睛】解（3）的关键是根据矩形的性质，利用勾股定理列方程求解． 24．如图，内接于，是的直径，E为上一点，过点E作的切线交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．先证明，从而可证得，由等腰三角形的性质和三角形外角性质知，即可得出结论； （2）连接．证明，得．从而求得．设，则，，．由勾股定理，得，即，解得，则可求得，，，再解直角三角形得，最后解即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 是的直径， ． 与相切于点E， ， ， ． ， ． 又 ∴ ， ． （2）解：如图，连接． 为的直径， ， ，． 由（1）得， ， ． ， ， ． 又， ， ． ， ， ． 设，则，，． 在中，由勾股定理，得 ，即， ， ，，， 在中，． ， ． 在中，， ． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理及其推论，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．熟练掌握切线的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用是解题的关键． 25．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点为直线下方抛物线上一动点． ①如图2所示，直线交线段于点，求的最小值； ② 如图3所示，连接过点作于，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①当时，的最小值为；②存在，点M的坐标为或（4，-6）． 【分析】（1）解：在直线，分别令，.可得A(8，0)、B(0，4)，将A(8，0)、B(0，4)代入，解得b、c的值再代入即可解答. （2）解：①如图1，过C作∥轴交直线AB于点E，过M作∥轴交直线AB于点F.可得CE∥MF，求出直线AB的解析式，进而求出C,E的坐标，即可求出答案； ②由△BOC∽△ABC∠ABC=∠AOB=90°，又于，即∠BDM=∠ABC=90°，∠BAC < 45°．因此在只能是∠BMD=2∠BAC或∠MBD=2∠BAC.在图2中，取AC中点H，连接BH，可得∠BHO=2∠BAC，，过D作DT轴于T，过M作MGTD交其延长线于G.可证△TBD∽△GDM，再根据三角函数得出当∠BMD=2∠BAC时，，∠MBD=2∠BAC时，，设（），则，，当∠BMD=2∠BAC时，，又，即可得出，当∠MBD=2∠BAC时，，，即可求出M的坐标 【详解】（1）解：在直线，分别令，.可得A(8，0)、B(0，4)， 将A(8，0)、B(0，4)代入有 解得： ∴ （2）解：①如图1，过C作∥轴交直线AB于点E，过M作∥轴交直线AB于点F.可得CE∥MF， ∴ 设， ∵MF∥轴交直线AB于点F，直线AB： ∴，则 可求得C(2，0)，C作CE∥y轴交直线AB于点E， ∴E(2，5)，CE=5. ∴， ∴当时，的最小值为. ②存在. 理由如下：∵C(2，0)；B(0，4)；A(8，0)． ∴OC=2，OB=4，OA=8 可证△BOC∽△ABC.有∠ABC=∠AOB=90°，又于 ∴∠BDM=∠ABC=90°，∠BAC < 45°．因此在只能是∠BMD=2∠BAC或∠MBD=2∠BAC.在图2中，取AC中点H，连接BH，可得∠BHO=2∠BAC， OH=OAAH=3，tan∠BHO=. 过D作DT轴于T，过M作MGTD交其延长线于G. 可证△TBD∽△GDM， 又DMAB， tan∠DMB=，tan∠DBM=. 当∠BMD=2∠BAC时，∴， ∠MBD=2∠BAC时，， 设（）， 则， ∴ 当∠BMD=2∠BAC时，，又， ∴ 解之得，，又0 < m < 8， ∴，点M的坐标为. 当∠MBD=2∠BAC时， 又， ∴ 解之得，，又0<m<8， ∴，点M的坐标为 综合得存在满足条件的点M的坐标为或（4，-6） 【点睛】本题主要考查二次函数综合题，解题关键是熟练掌握二次函数图像的性质及勾股定理的计算公式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $