专题04 概率与统计综合（5大题型46题）（期末真题汇编，河南专用）高二数学下学期

专题04概率与统计综合 5大题型概览 题型01条件概率与正态分布 题型02分布列、期望与方差 题型03相关性与回归分析 题型04独立性检验 题型05概率与统计交汇问题及概率统计与其他知识的交汇 ( 题型 01 条件概率与正态分布 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C C B C A A D ABC ABD 10. 8186 11． 12． ( 题型 0 2 分布列、期望与方差 ) 1 2 3 4 5 6 7 D C C A C B ACD 8． 9． 0.09 10．【解析】（1）设事件A：芯片合格, 则每个芯片通过测试的概率为, 于是, 则,. （2）记事件A：芯片合格,事件B：通过测试I,事件C：通过测试Ⅱ． 由题意得, , 则, 故所求概率为． 11．【解析】（1）记事件“摸出的球颜色不同”,设红球的个数为,则白球的个数为,所以, 所以,解得,故. （2）随机摸出每个球的概率都是,由题意可知,随机变量的可能取值有、、, 则,,, 故随机变量的分布列如下表所示： 因此,. 12．【解析】（1）设通关概率为,未通关概率为： 已知每名玩家答对A,B,C三道题的概率分别为0.2,0.3,0.5,则. 那么,. 故玩家通过这一关的概率为0.72. （2）根据题意,分别计算两种答题顺序的期望积分： 顺序①： 答对A题：；答错A答对B：；答错A、B答对C: 期望总积分①：. 顺序②: 答对C：；答错C答对B：;答错C、B答对A：. 期望总积分②： 比较结果大小： 故应选择题序①. ( 题型 0 3 相关性与回归分析 ) 1 2 3 4 5 C A D C ACD 6．【解析】（1）由已知得,,, ,, , 故, 所以与的线性相关性很强. （2）因为,,,, , 所以, 所以关于的线性回归方程为, 当时,, 所以5月份该生物繁殖量的残差为. 7．【解析】（1）因为, 所以 , , , 所以, 由此可以认为两者的相关性很强． （2）由（1）知,． 所以． 因为,所以回归方程为． 8．【解析】（1）解：由,,可得,, 所以数据的样本中心为,代入回归方程, 可得,解得. （2）解：由（1）知：,所以回归直线方程为, 当时,可得百万元, 故预计可以带动消费百万元. （3）解：由,, 可得 又由,可得, 解得, 所以. ( 题型 0 4 独立性检验 ) 一、选择题 1．B 2．AD 3．【解析】（1）依题意,列联表如下. 年龄段 评价 合计 好评 差评 青少年 120 30 150 中老年 90 60 150 合计 210 90 300 零假设年龄与对特效的评价无关联, 由列联表中的数据可得, 所以根据小概率值的独立性检验推断不成立,即认为年龄与对特效的评价有关联. （2）依题意,抽取的5名观众中,给出好评的人数为,给出差评的人数为, 所以的所有可能取值为2,3,则 所以的分布列为 2 3 故数学期望. 4．【解析】（1）由题意知,共调查了人, 睡眠合格的人数为,故睡眠合格的概率为. （2）平均睡眠时长为 （3）零假设青年人与老年人的睡眠合格率没有差异, 列联表如下： 睡眠合格 睡眠不合格 合计 青年组 老年组 合计 则. 根据小概率值的独立性检验,推断不成立,故可以认为青年人与老年人的睡眠合格率有差异. 5．【解析】（1）因为从这45名模拟航天员中的女航天员中随机抽取1人,抽到分配任务的女航天员的概率为, 则女航天员共有人,男航天员有27人, 所以补充列联表如下： 性别 任务 合计 任务 任务 男 23 4 27 女 6 12 18 合计 29 16 45 （2）零假设为：任务分配与性别无关, 计算得, 根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为任务分配与性别有关, 此推断犯错误的概率不大于0.01. （3）根据题意,的所有可能取值为 ,,, 故的分布列为： 0 1 2 所以. 6．【解析】（1）列联表如下： AI达人 非AI达人 合计 男 24 6 30 女 18 12 30 合计 42 18 60 零假设：“AI达人”与性别无关, , 根据小概率值的独立性检验,没有充分证据推断不成立, 因此认为成立,因此认为“AI达人”与性别无关． （2）在“AI达人”中按性别分层抽样抽取7人,其中男“AI达人”抽取人,女“AI达人”抽取3人,X的所有可能取值为0,1,2． 则,,． 所以,X的分布列如下： X 0 1 2 P X的数学期望． ( 题型 0 5 概率统计交汇问题及概率统计与其他知识的交汇 ) 一、选择题 1． A 2． 3.【解析】（1）零假设：根据人脸照片识别性别的程序的识别结果与性别没有差异. , 根据小概率值的独立性检验,推断不成立, 故根据人脸照片识别性别的程序的识别结果与性别存在差异. （2）（i）设事件表示输入女性照片且识别正确,由题可得可估计为, 记表示从该市测试的女性人脸照片中随机抽取3张识别正确的张数,则, 所以. （ii）由题,的所有可能取值为, 则,,, 所以的分布列为 1 2 3 所以. 4．【解析】（1）,故. （2）由题设的数据可得, 故与具有较强的线性相关关系. （3）完善列联表如下： 甲车间 乙车间 合计 优等品 40 45 一等品 60 55 设甲、乙两车间的优等品率无差异, 则, 故肯定,不能认为甲、乙两车间的优等品率有差异. 5．【解析】（1）,,所以, 则,故y关于t线性回归方程为, 所以y关于x的回归方程为. （2）设事件A：随机抽取一件药品来自设备甲生产,事件B：随机抽取一件药品来自设备乙生产,事件C：随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品． ①因为设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍,所以,,则,． 所以． 故所抽药品为不合格品的概率为0.0072． ②,即所抽药品为不合格品,该药品来自设备乙生产的概率为, 所以三件不合格品中恰有二件是设备乙生产的概率为． 6．【解析】（1）记“小明的家长得到2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车”为事件, 则, 所以小明的家长获得2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车的概率为. （2）①依题意,的所有取值为1,2,3,4, , 的分布列为： 1 2 3 4 所以数学期望. ②两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车,包括3种情况： （i）第一次交换后小明家是2台摩托车2台跑车, 其概率； （ii）第一次交换后小明家是1台摩托车3台跑车, 其概率； （iii）第一次交换后小明家是3台摩托车1台跑车, 其概率, 因此所求概率． 7．【解析】（1）的可能取值为、、、 ,, ,． 的分布列为 所以,． （2）,, 当时,若甲已答过的题累计得分为分,可由以下两种情况得出： ①甲已答过的题累计得分为分,下一个题答错得分, ②甲已答过的题累计得分为分,下一个题答对得分, 所以,即, 所以,数列为常数列． 又,所以, 则,所以,是以为首项,为公比的等比数列, 所以,即． 当时,上式也成立． 所以,对任意的,． . 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04概率与统计综合 5大题型概览 题型01条件概率与正态分布 题型02分布列、期望与方差 题型03相关性与回归分析 题型04独立性检验 题型05概率与统计交汇问题及概率统计与其他知识的交汇 ( 题型 01 条件概率与正态分布 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省濮阳市.期末）若随机变量服从正态分布,已知,则（    ） A．0.08 B．0.16 C．0.84 D．0.92 2．（24-25高二下.河南省焦作市.期末）甲、乙两名游客到开封旅游,各自都准备从大相国寺、开封府、清明上河园这个景点中随机选一个去游玩．记事件：甲和乙选择的景点相同,事件：甲和乙恰好都去了大相国寺,则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下.河南省商丘市百师联盟.期末）某初级中学对本校八年级的500名男生进行1000米跑步体能测试,据统计,500名男生跑完1000米所用的时间（分钟）服从正态分布,若,则这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为（   ） A．1 B．5 C．9 D．50 4．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）某校开展安全知识竞赛,每个参赛选手从6道题（其中选择题4道,填空题2道）中不放回地依次抽取2道题作答,则在第一次抽到选择题的条件下,第二次抽到填空题的概率（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下.河南省洛阳市.期末）设随机变量,随机变量,则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高二下.河南省周口市商水县.期末）某城市举办了一场科技展览,展览分为上午场、下午场．已知在上午场参观的人群中,每人购买纪念品的概率为；在下午场参观的人群中,每人购买纪念品的概率为．若当天参观展览的人群中,上午场人数占60%,现从当天参观展览的人群中随机抽取一人,发现其购买了纪念品的概率为（   ） A． B． C． D． 7.（24-25高二下.河南省郑州市中牟县.期末）在暑假期间,甲、乙、丙、丁四名实验员到某生物研究所的分子生物学、生态学、遗传学三个实验室实习,每个实验室至少有一人,且每人只去一个实验室.已知甲在分子生物学实验室实习,则甲与乙不在同一实验室实习的概率为（    ） A． B． C． D． 8.（多选）（24-25高二下.河南省三门峡市.期末）已知、是两个随机事件,且,,则下列说法正确的有（    ） A． B．若、相互独立,则 C．若,则 D．若,则、相互独立 9.（多选）（24-25高二下.河南省新乡市.期末）已知连续型随机变量服从正态分布,记函数,且的图象关于点对称,若存在实数a,使得,,则（   ） （参考数据：若,则,） A． B． C． D． 二、填空题 10.（24-25高二下.河南省郑州市六校.期末）某科研院校培育大枣新品种,新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：）,现有该新品种大枣10000个,估计单果质量在范围内的大枣个数约为______个. 附：若,则,,. 11．（24-25高二下.河南省南阳市六校.期末）已知,,则______. 12．（24-25高二下.河南省南阳市方城县一高.期末）某单位为了提高员工身体素质,开展双人投篮比赛,现甲、乙两人为一组参加比赛, 每次由其中一人投篮,规则如下:若投中,则此人继续投篮,若未投中,则换为对方投篮,无论之前投篮的情况如何,甲每次投篮的命中率均为,乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.已知在第2次投篮的人是乙的情况下,第1次投篮的人是甲的概率为_____. ( 题型 0 2 分布列、期望与方差 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省漯河市.期末）随机变量的分布列如下表,若,则（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 2．（24-25高二下.河南省驻马店市.期末）已知随机变量等可能取值为（）,若,则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下.河南省鹤壁市.期末）连续抛掷一枚质地均匀的硬币次,记是硬币落地时正面向上的次数,则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）某人在次射击中击中目标的次数为,且,记,,若是唯一的最大值,则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 5．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）若随机变量服从正态分布,随机变量服从两点分布,且,,则为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下.河南省郑州市中牟县.期末）某次知识竞赛中,题库共有9道题目,选手需随机抽取3道作答.答对题数未达到2道的视为不合格,记为分；恰好答对2道的为合格,记为0分；3道题全部答对为优秀,记为2分.已知某位选手仅能答对其中5道题,记该选手的得分为,则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高二下.河南省南阳市.期末）已知随机变量,且,则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25高二下.河南省周口市商水县.期末）某在线教育平台推出一个学习打卡活动,用户每天打卡成功的概率为0.8,且每天打卡结果相互独立．若小明连续参与5天的打卡活动,设他打卡成功的天数为X,则=______．（用数字作答） 9．（24-25高二下.河南省南阳市.期末）已知,且,记随机变量为,,中的最小值,则______. 三、解答题 10．（24-25高二下.河南省驻马店市.期末）某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试．首次测试（测试Ⅰ）通过率为p（）,未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ）,通过率为q（）．通过任意一次测试即为合格芯片,否则报废． (1)若某批次生产了n枚芯片,合格数为随机变量X．当,时,求X的期望与方差； (2)已知一枚芯片合格,求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率． 11．（24-25高二下.河南省开封市.期末）一个箱子里有个大小相同的红球和白球,其中红球比白球多个．已知从中随机摸出个球,摸出的球颜色不同的概率为． (1)求的值； (2)若有放回地摸球次,每次随机摸出个球,记至少取出一次的球的个数为,求的分布列和均值． 12．（24-25高二下.河南省新乡市.期末）在一次闯关游戏中,某一关有A,B,C三道题．将这三道题按一定顺序排好后（如第一道题为C题,第二道题为B题,第三道题为A题）,玩家开始答题．若第一道题答对,则通过本关,停止答题,若没有答对,则答第二道题；若第二道题答对,则通过本关,停止答题,若没有答对,则答第三道题；若第三道题答对,则通过本关,若没有答对,则没有通过本关,假设每名玩家答对A,B,C三道题的概率分别为0.2,0.3,0.5．每次答题正确与否相互独立． (1)求玩家通过这一关的概率． (2)规定：答对A题积30分,答对B题积20分,答对C题积10分,现有两种题序可供选择：①第一道题为A题,第二道题为B题,第三道题为C题；②第一道题为C题,第二道题为B题,第三道题为A题．为了在本关中得到更多的积分,应该选择哪种题序？ ( 题型 0 3 相关性与回归分析 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省新未来.期末）某团队尝试用回归模型甲、乙、丙、丁描述人的1000米跑步成绩与肺活量的关系,已知模型甲、乙、丙、丁对应的决定系数分别为0.14,0.17,0.72,0.45,则拟合效果最好的模型是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）已知由样本数据组成一个样本,可得到回归直线方程为,且,则样本点的残差为（    ） A．0.3 B．-0.3 C．1.3 D．-1.3 3．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）如图是某调查小组收集的全国近十个月新能源汽车与燃油车销量的折线图,根据该折线图,下列说法错误的是（    ） A．新能源汽车销量与月份呈现正相关 B．可预测燃油车销量仍呈下降趋势 C．新能源汽车销量逐月增长率大致相同 D．燃油车销量与月份的相关系数接近1 4．（24-25高二下.河南省商丘市部分学校.期末）某科技公司随着技术的进步和管理的逐渐规范,生产成本逐年降低,该公司对2011年至2023年的生产成本（万元）进行统计,根据统计数据作出如下散点图： 由此散点图,判断下列四个经验回归方程类型中最适合作为2011年至2023年该公司的生产成本与时间变量的经验回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下.河南省焦作市.期末）下列有关回归分析的结论中,正确的有（    ） A．对于回归方程,变量每增加1个单位,则平均减少个单位 B．两个变量,的相关系数越小,,之间的线性相关程度越弱 C．在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合效果越好 D．用最小二乘法求得一组成对数据的回归方程,若增加一个新的样本点,则得到的新回归方程可能不变 二、填空题 6．（24-25高二下.河南省郑州市中牟县.期末）随着季节的变化,某种生物的繁殖量也发生变化,某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值）,结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据,计算与的相关系数（精确到0.01）,并说明与的线性相关性的强弱；（若,则认为与线性相关性很强,否则认为与线性相关性较弱） (2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程,并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：,,. 参考公式：对于一组数据,其相关系数,其经验回归直线中,,. 7．（24-25高二下.河南省洛阳市新安县.期末）2024年初,冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源,成为2024年第一个“火出圈”的网红城市,冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动,成功提升了吸引力和知名度,为其他旅游城市提供了宝贵经验,从2024年1月1日至5日,哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： x（日） 1 2 3 4 5 y（万人） 45 50 60 65 80 (1)计算的相关系数（计算结果精确到0.01）,并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； 参考公式：,,, 参考数据：． 8．（24-25高二下.河南省南阳市六校联考.期末）为促进消费,助力经济发展,某市持续开展了共8期政府消费券发放活动,记第期活动发放的消费券总额为百万元,带动的消费为百万元,根据这8期活动的数据,可得,,且和的样本方差分别为,,用最小二乘法得到关于的线性回归方程为. (1)求； (2)若下一期活动政府计划发放10.8百万元的消费券,预计可以带动多少消费； (3)求相关系数.（结果保留2位小数） 参考公式：相关系数,线性回归方程中,,.参考数据：. ( 题型 0 4 独立性检验 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）有甲乙两个班级共计人进行数学考试,按照大于等于分为优秀,分以下为非优秀统计成绩,得到如下所示的列联表参考公式如下 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 已知在全部人中随机抽取人,成绩优秀的概率为,则下列说法正确的是（    ） A．列联表中的值为,的值为 B．列联表中的值为,的值为 C．根据列联表中的数据,若按的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系” D．根据列联表中的数据,若按的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系” 2．（24-25高二下.河南省濮阳市.期末）某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果,科研人员选用了100粒玉米种子（其中一部分用该药做了处理）进行试验,从中任选1粒,发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8．未填写完整的列联表如下,则（    ） 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 种子未经过该药处理 14 合计 100 附：． 0.1 0.01 0.005 0.001 2.706 6.635 7.879 10.828 A．这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒 B．这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒 C．的观测值约为13.428 D．根据小概率值的独立性检验,可以认为该新药有效 二、解答题 3．（24-25高二下.河南省南阳市六校.期末）某电影上映后,一所大学视觉传达设计专业的学生为了解观众对该部电影的特效的评价与年龄的关系,随机抽取了300名观众进行调查,得到如下列联表： 年龄段 评价 合计 好评 差评 青少年 120 150 中老年 60 150 合计 (1)请完成列联表,并根据小概率值的独立性检验,判断能否认为年龄与对特效的评价有关联； (2)为了解青少年对电影特效的具体看法,视觉传达设计专业的学生设计了一个调查问卷进行调查,现从青少年中按评价情况用分层抽样的方法随机抽取5名观众,然后再利用随机抽样的方法抽取3人做进一步调研,记抽取的3人中给出好评的人数为,求的分布列和数学期望. 附：,其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 4．（24-25高二下.河南省鹤壁市.期末）某研究机构调查了青年人与老年人的睡眠情况,称睡眠时间少于为“睡眠不合格”,睡眠时间不少于为“睡眠合格”.下面是统计数据： 青年组 老年组 睡眠合格 睡眠不合格 睡眠合格 睡眠不合格 人数 平均睡眠时长 (1)求调查的所有人睡眠合格的概率； (2)求调查的所有人的平均睡眠时长； (3)根据小概率值的独立性检验,能否认为青年人与老年人的睡眠合格率有差异? 附：. 5．（24-25高二下.河南省郑州市中牟县.期末）假设某次模拟航天任务中,航天员需要完成两种任务：任务和任务,航天控制中心对45名模拟航天员进行了任务分配情况的调查,得到了如下的列联表： 性别 任务 合计 任务 任务 男 4 女 6 合计 45 若从这45名模拟航天员中的女航天员中随机抽取1人,抽到分配任务的女航天员的概率为. (1)将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）； (2)根据小概率值的独立性检验,能否据此推断任务分配与性别有关？ (3)现从女性航天员中抽取2人做进一步调查,设其中分配任务的女性航天员人数为,求的分布列与期望. 附：,. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 6．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）人工智能的广泛应用,给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源,促进了AI技术的共享和进步．某校AI社团十分关注学生DeepSeek的使用,若将经常使用DeepSeek的人称为“AI达人”,偶尔使用或不使用DeepSeek的人称为“非AI达人”．以该社团随机抽取60名学生进行调查,得到如下数据： AI达人 非AI达人 合计 男 6 30 女 18 合计 (1)补全列联表,根据小概率值的独立性检验,能否认为“AI达人”与性别有关联? (2)现从抽取的“AI达人”中,按性别采用分层抽样的方法抽取7人,然后从7人中随机抽取2人,记2人中女“AI达人”的人数为X,求X的分布列与数学期望． 附：,． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ( 题型 0 5 概率统计交汇问题及概率统计与其他知识的交汇 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省驻马店市.期末）已知直线,异面,上有,,,四个点,上有,,三个点,这七个点中任意两点可连成直线,其中异面直线有（    ）对 A．37 B．54 C．66 D．67 二、填空题 2．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕,参赛选手甲、乙进入了半决赛,半决赛采用五局三胜制,当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时,就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负,且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为,比赛局数的期望值记为,则的最大值是______． 三、解答题 3.（24-25高二下.河南省郑州市.期末）图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某市人工智能公司研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中,研发人员输入了200张不同人脸照片作为测试样本,获得统计数据如下表（单位：张）： 性别 识别结果 合计 正确 不正确 男 105 15 120 女 60 20 80 合计 165 35 200 (1)依据小概率值的独立性检验,试分析根据人脸照片识别性别的程序的识别结果与性别是否存在差异； (2)假设用频率估计概率,且该程序对每张照片的识别都是独立的. （i）研发人员对该市的女性人脸照片进行测试,并从中随机抽取3张,求恰有2张照片识别正确的概率； （ii）在新一轮测试中,研发人员对3张不同的女性人脸照片依次测试,每张照片至多测一次,当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕,则停止测试.设表示测试的次数,求的分布列和数学期望. 附：,其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 4．（24-25高二下.河南省濮阳市.期末）某企业有甲、乙两个车间生产某款产品,今年前5个月两个车间的产量（单位：万件）统计如下表.设月份为,甲、乙两个车间的月产量之和为. 月份 1 2 3 4 5 甲车间产量 0.7 0.9 1.6 3 6 乙车间产量 0.8 1.1 1.9 5 9 (1)求； (2)求与的相关系数（精确到0.01）,并判断与的线性相关程度强弱； (3)从甲、乙两个车间生产的产品中各随机抽取100件,其中优等品和一等品的数量如下表所示,根据小概率值的独立性检验,能否认为甲、乙两车间的优等品率有差异？ 甲车间 乙车间 优等品 40 45 一等品 60 55 参考数据：,,. 参考公式：①相关系数；②. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 5．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）某制药公司研发一种新药,需要开展临床用药试验．随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验,并得到一组数据,其中,表示连续用药i天,相应的临床药效指标值．已知该组数据中y与之间具有线性相关关系,令,经计算得到下面一些统计量的值： ,,,,, (1)求关于的经验回归方程； (2)该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药,已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍,设备甲生产药品的不合格率为0.008,设备乙生产药品的不合格率为0.006,且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独立． ①从该公司生产的新药中随机抽取一件,求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品,求其中恰有二件是设备乙生产的概率． 参考公式：对于一组数据,其回归方程中,斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：,． 6．（24-25高二下.河南省商丘市百师联盟.期末）六一儿童节,某商场为了刺激消费提升营业额,推出了消费者凭当天在该商场的消费单据参加抽奖的活动,奖品是4款不同造型的玩具摩托车与4款不同造型的玩具跑车（每款车的数量都充足）,主办方将大小相同的8个乒乓球上分别标注1,2,3,4,5,6,7,8,其中标注数字1,2,3,4的乒乓球分别代表4款不同造型的摩托车,5,6,7,8的乒乓球分别代表4款不同造型的跑车,并将这8个乒乓球放在一个不透明箱子内．活动规定：儿童节当天在该商场消费满100元的消费者可从摸奖箱内摸出1个乒乓球,然后再放回箱内；消费满200元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球,放回后再从中摸出1个乒乓球,然后再放回箱内；消费满300元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球,放回后再从中摸出1个乒乓球,放回后再从中摸出1个乒乓球,然后再放回箱内；,依此类推,消费者根据自己摸出的乒乓球标注的数字即可获得相应的奖品． (1)若小明的家长当天在该商场消费恰好满400元,求这位家长能获得2款相同造型摩托车与2款不同造型跑车的概率； (2)若本次活动小明家获得的奖品是2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车,小英家也获得2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车． ①从他们两家获得的这8台车中随机抽取5台,如果抽出的5台车中有台摩托车,求的分布列和数学期望； ②若小明和小英将他们家本次活动获得的奖品每次各取一件进行交换,第一次交换的奖品也可以参加第二次交换,求两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车的概率． 7．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）第届联合国大会通过决议,将春节确定为联合国假日．某大学举办中国传统节日知识竞赛,每位大学生随机抽取问题并依次作答,其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记分,答错一题记分．已知学生甲答对每个问题的概率为,答错的概率为． (1)学生甲随机抽取题,记总得分为,求的分布列与数学期望； (2)若学生甲已答过的题累计得分为分的概率为,求与． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04概率与统计综合 5大题型概览 题型01条件概率与正态分布 题型02分布列、期望与方差 题型03相关性与回归分析 题型04独立性检验 题型05概率与统计交汇问题及概率统计与其他知识的交汇 ( 题型 01 条件概率与正态分布 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省濮阳市.期末）若随机变量服从正态分布,已知,则（    ） A．0.08 B．0.16 C．0.84 D．0.92 【答案】C 【解析】由,可得,因,则, 故.故选C. 2．（24-25高二下.河南省焦作市.期末）甲、乙两名游客到开封旅游,各自都准备从大相国寺、开封府、清明上河园这个景点中随机选一个去游玩．记事件：甲和乙选择的景点相同,事件：甲和乙恰好都去了大相国寺,则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得,,所以.故选C. 3．（24-25高二下.河南省商丘市百师联盟.期末）某初级中学对本校八年级的500名男生进行1000米跑步体能测试,据统计,500名男生跑完1000米所用的时间（分钟）服从正态分布,若,则这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为（   ） A．1 B．5 C．9 D．50 【答案】B 【解析】因为,所以,故500名学生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为.故选B. 4．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）某校开展安全知识竞赛,每个参赛选手从6道题（其中选择题4道,填空题2道）中不放回地依次抽取2道题作答,则在第一次抽到选择题的条件下,第二次抽到填空题的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在第一次抽到选择题的条件下,第二次抽到填空题,即在3道选择题2道填空题中随机抽一题,抽到填空题的概率.故选C. 5．（24-25高二下.河南省洛阳市.期末）设随机变量,随机变量,则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为,则,,,则,,对于A：因为,所以随机变量所对应的正态曲线更瘦高,数据更集中,所以,故A错误；对于B：由于两个随机变量的均值都为,所以,故B正确；对于C：,所以,故C正确；对于D：由正态曲线的对称性可知,, 所以,故D正确.故选A. 6.（24-25高二下.河南省周口市商水县.期末）某城市举办了一场科技展览,展览分为上午场、下午场．已知在上午场参观的人群中,每人购买纪念品的概率为；在下午场参观的人群中,每人购买纪念品的概率为．若当天参观展览的人群中,上午场人数占60%,现从当天参观展览的人群中随机抽取一人,发现其购买了纪念品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设事件表示“抽取人购买了纪念品”,事件表示“抽取人来自上午场”,事件表示“抽取人来自下午场”.已知上午场人数占比为60%,即,则下午场人数占比为.上午场每人购买纪念品概率为,即;下午场每人购买纪念品概率为,即.根据全概率公式：,代入上述概率值得：.故选A. 7.（24-25高二下.河南省郑州市中牟县.期末）在暑假期间,甲、乙、丙、丁四名实验员到某生物研究所的分子生物学、生态学、遗传学三个实验室实习,每个实验室至少有一人,且每人只去一个实验室.已知甲在分子生物学实验室实习,则甲与乙不在同一实验室实习的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记事件为“甲在分子生物学实验室实习”,事件为“甲与乙不在同一实验室实习”,样本点的总数为,,事件,同时发生的情况种数为,,. .故选D. 8.（多选）（24-25高二下.河南省三门峡市.期末）已知、是两个随机事件,且,,则下列说法正确的有（    ） A． B．若、相互独立,则 C．若,则 D．若,则、相互独立 【答案】ABC 【解析】A选项：由条件概率公式可知,即,A选项正确；B选项：由独立事件的定义可知,当、相互独立时,,B选项正确；C选项：由,即,所以,C选项正确； D选项：是条件概率的基本性质,无论事件、是否相互独立,该等式恒成立,D选项错误；故选ABC. 9.（多选）（24-25高二下.河南省新乡市.期末）已知连续型随机变量服从正态分布,记函数,且的图象关于点对称,若存在实数a,使得,,则（   ） （参考数据：若,则,） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为的图象关于点对称,所以,,所以,A正确．因为,,所以．因为,所以,所以,解得,B正确．因为,所以,所以解得,C错误．,D正确．故选ABD. 二、填空题 10.（24-25高二下.河南省郑州市六校.期末）某科研院校培育大枣新品种,新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：）,现有该新品种大枣10000个,估计单果质量在范围内的大枣个数约为______个. 附：若,则,,. 【答案】8186 【解析】由题得,,则,,则 ,因此,估计单果质量在范围内的大枣个数约为（个） 11．（24-25高二下.河南省南阳市六校.期末）已知,,则______. 【答案】 【解析】因为,则,所以,. 12．（24-25高二下.河南省南阳市方城县一高.期末）某单位为了提高员工身体素质,开展双人投篮比赛,现甲、乙两人为一组参加比赛, 每次由其中一人投篮,规则如下:若投中,则此人继续投篮,若未投中,则换为对方投篮,无论之前投篮的情况如何,甲每次投篮的命中率均为,乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.已知在第2次投篮的人是乙的情况下,第1次投篮的人是甲的概率为_____. 【答案】 【解析】设第次是甲投篮为事件,投篮命中为事件,所以,,,则,,所以第2次投篮人是甲的概率为,在第2次投篮的人是乙的情况下,第1次投篮的人是甲的概率为． ( 题型 0 2 分布列、期望与方差 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省漯河市.期末）随机变量的分布列如下表,若,则（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由,得．所以．故选D. 2．（24-25高二下.河南省驻马店市.期末）已知随机变量等可能取值为（）,若,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得,,所以,解得.故选C. 3．（24-25高二下.河南省鹤壁市.期末）连续抛掷一枚质地均匀的硬币次,记是硬币落地时正面向上的次数,则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知,,因此.故选C. 4．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）某人在次射击中击中目标的次数为,且,记,,若是唯一的最大值,则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 【答案】A 【解析】,,,若是唯一的最大值,则 所以解得．因为,,,,．．故选A． 5．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）若随机变量服从正态分布,随机变量服从两点分布,且,,则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由,,则,,故,设,则,.故选C. 6．（24-25高二下.河南省郑州市中牟县.期末）某次知识竞赛中,题库共有9道题目,选手需随机抽取3道作答.答对题数未达到2道的视为不合格,记为分；恰好答对2道的为合格,记为0分；3道题全部答对为优秀,记为2分.已知某位选手仅能答对其中5道题,记该选手的得分为,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的所有可能取值为,0,2,所以, ,,则的分布列为： 0 2 所以.故选B. 7．（多选）（24-25高二下.河南省南阳市.期末）已知随机变量,且,则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意可得,则,,故A,C,D均正确,B错误．故选ACD. 二、填空题 8．（24-25高二下.河南省周口市商水县.期末）某在线教育平台推出一个学习打卡活动,用户每天打卡成功的概率为0.8,且每天打卡结果相互独立．若小明连续参与5天的打卡活动,设他打卡成功的天数为X,则=______．（用数字作答） 【答案】 【解析】由题设,则. 9．（24-25高二下.河南省南阳市.期末）已知,且,记随机变量为,,中的最小值,则______. 【答案】0.09 【解析】,且,相当于6个1之间的5个空中插入两个挡板,故共有种情况, 的可能取值为,其中时,只有三个数为,故,则, 所以,. 三、解答题 10．（24-25高二下.河南省驻马店市.期末）某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试．首次测试（测试Ⅰ）通过率为p（）,未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ）,通过率为q（）．通过任意一次测试即为合格芯片,否则报废． (1)若某批次生产了n枚芯片,合格数为随机变量X．当,时,求X的期望与方差； (2)已知一枚芯片合格,求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率． 【解析】（1）设事件A：芯片合格, 则每个芯片通过测试的概率为, 于是, 则,. （2）记事件A：芯片合格,事件B：通过测试I,事件C：通过测试Ⅱ． 由题意得, , 则, 故所求概率为． 11．（24-25高二下.河南省开封市.期末）一个箱子里有个大小相同的红球和白球,其中红球比白球多个．已知从中随机摸出个球,摸出的球颜色不同的概率为． (1)求的值； (2)若有放回地摸球次,每次随机摸出个球,记至少取出一次的球的个数为,求的分布列和均值． 【解析】（1）记事件“摸出的球颜色不同”,设红球的个数为,则白球的个数为,所以, 所以,解得,故. （2）随机摸出每个球的概率都是,由题意可知,随机变量的可能取值有、、, 则,,, 故随机变量的分布列如下表所示： 因此,. 12．（24-25高二下.河南省新乡市.期末）在一次闯关游戏中,某一关有A,B,C三道题．将这三道题按一定顺序排好后（如第一道题为C题,第二道题为B题,第三道题为A题）,玩家开始答题．若第一道题答对,则通过本关,停止答题,若没有答对,则答第二道题；若第二道题答对,则通过本关,停止答题,若没有答对,则答第三道题；若第三道题答对,则通过本关,若没有答对,则没有通过本关,假设每名玩家答对A,B,C三道题的概率分别为0.2,0.3,0.5．每次答题正确与否相互独立． (1)求玩家通过这一关的概率． (2)规定：答对A题积30分,答对B题积20分,答对C题积10分,现有两种题序可供选择：①第一道题为A题,第二道题为B题,第三道题为C题；②第一道题为C题,第二道题为B题,第三道题为A题．为了在本关中得到更多的积分,应该选择哪种题序？ 【解析】（1）设通关概率为,未通关概率为： 已知每名玩家答对A,B,C三道题的概率分别为0.2,0.3,0.5,则. 那么,. 故玩家通过这一关的概率为0.72. （2）根据题意,分别计算两种答题顺序的期望积分： 顺序①： 答对A题：；答错A答对B：；答错A、B答对C: 期望总积分①：. 顺序②: 答对C：；答错C答对B：;答错C、B答对A：. 期望总积分②： 比较结果大小： 故应选择题序①. ( 题型 0 3 相关性与回归分析 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省新未来.期末）某团队尝试用回归模型甲、乙、丙、丁描述人的1000米跑步成绩与肺活量的关系,已知模型甲、乙、丙、丁对应的决定系数分别为0.14,0.17,0.72,0.45,则拟合效果最好的模型是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解析】越大,模型的拟合效果越好,因为,所以模型丙拟合效果最好.故选C 2．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）已知由样本数据组成一个样本,可得到回归直线方程为,且,则样本点的残差为（    ） A．0.3 B．-0.3 C．1.3 D．-1.3 【答案】A 【详解】由题意知,将点代入,得,所以,将代入,解得, 所以样本点的残差为.故选A. 3．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）如图是某调查小组收集的全国近十个月新能源汽车与燃油车销量的折线图,根据该折线图,下列说法错误的是（    ） A．新能源汽车销量与月份呈现正相关 B．可预测燃油车销量仍呈下降趋势 C．新能源汽车销量逐月增长率大致相同 D．燃油车销量与月份的相关系数接近1 【答案】D 【解析】对于A,新能源汽车销量与月份呈现上升趋势,所以新能源汽车销量与月份正相关,故A正确； 对于B,燃油车销量与月份呈现下降趋势,且比较均匀的分布在直线的两侧,可预测燃油车销量仍呈现下降趋势,故B正确；对于C,新能源汽车销量与月份呈现上升趋势,且比较均匀的分布在直线的两侧,所以新能源汽车销量逐月增长率大致相同,故C正确；对于D,燃油车销量与月份呈现下降趋势,且比较均匀的分布在直线的两侧,所以燃油车销量与月份的相关系数接近,故D错误.故选D. 4．（24-25高二下.河南省商丘市部分学校.期末）某科技公司随着技术的进步和管理的逐渐规范,生产成本逐年降低,该公司对2011年至2023年的生产成本（万元）进行统计,根据统计数据作出如下散点图： 由此散点图,判断下列四个经验回归方程类型中最适合作为2011年至2023年该公司的生产成本与时间变量的经验回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据图中散点图可知,散点大致分布在一条“对数型”函数曲线的周围,而对于A选项是“抛物线型”的拟合函数,且是增加的；B选项是“直线型”的拟合函数,且是增加的；D选项是“幂函数型”的拟合函数,且是增加的,只有C选项的拟合函数符合题意.故选C. 5．（24-25高二下.河南省焦作市.期末）下列有关回归分析的结论中,正确的有（    ） A．对于回归方程,变量每增加1个单位,则平均减少个单位 B．两个变量,的相关系数越小,,之间的线性相关程度越弱 C．在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合效果越好 D．用最小二乘法求得一组成对数据的回归方程,若增加一个新的样本点,则得到的新回归方程可能不变 【答案】ACD 【解析】对于A：对于回归方程,变量每增加1个单位,则平均减少个单位,故A正确； 对于B：越接近于,则,之间的线性相关程度越强,越接近于,则,之间的线性相关程度越弱,故B错误；对于C：在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明波动越小,即模型的拟合精度越高,故C正确；对于D：若增加的样本点恰好为原回归直线的样本中心点时,则增加该样本点后,回归方程不会发生改变,故D正确.故选ACD. 二、填空题 6．（24-25高二下.河南省郑州市中牟县.期末）随着季节的变化,某种生物的繁殖量也发生变化,某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值）,结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据,计算与的相关系数（精确到0.01）,并说明与的线性相关性的强弱；（若,则认为与线性相关性很强,否则认为与线性相关性较弱） (2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程,并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：,,. 参考公式：对于一组数据,其相关系数,其经验回归直线中,,. 【解析】（1）由已知得,,, ,, , 故, 所以与的线性相关性很强. （2）因为,,,, , 所以, 所以关于的线性回归方程为, 当时,, 所以5月份该生物繁殖量的残差为. 7．（24-25高二下.河南省洛阳市新安县.期末）2024年初,冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源,成为2024年第一个“火出圈”的网红城市,冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动,成功提升了吸引力和知名度,为其他旅游城市提供了宝贵经验,从2024年1月1日至5日,哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： x（日） 1 2 3 4 5 y（万人） 45 50 60 65 80 (1)计算的相关系数（计算结果精确到0.01）,并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； 参考公式：,,, 参考数据：． 【解析】（1）因为, 所以 , , , 所以, 由此可以认为两者的相关性很强． （2）由（1）知,． 所以． 因为,所以回归方程为． 8．（24-25高二下.河南省南阳市六校联考.期末）为促进消费,助力经济发展,某市持续开展了共8期政府消费券发放活动,记第期活动发放的消费券总额为百万元,带动的消费为百万元,根据这8期活动的数据,可得,,且和的样本方差分别为,,用最小二乘法得到关于的线性回归方程为. (1)求； (2)若下一期活动政府计划发放10.8百万元的消费券,预计可以带动多少消费； (3)求相关系数.（结果保留2位小数） 参考公式：相关系数,线性回归方程中,,.参考数据：. 【解析】（1）解：由,,可得,, 所以数据的样本中心为,代入回归方程, 可得,解得. （2）解：由（1）知：,所以回归直线方程为, 当时,可得百万元, 故预计可以带动消费百万元. （3）解：由,, 可得 又由,可得, 解得, 所以. ( 题型 0 4 独立性检验 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）有甲乙两个班级共计人进行数学考试,按照大于等于分为优秀,分以下为非优秀统计成绩,得到如下所示的列联表参考公式如下 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 已知在全部人中随机抽取人,成绩优秀的概率为,则下列说法正确的是（    ） A．列联表中的值为,的值为 B．列联表中的值为,的值为 C．根据列联表中的数据,若按的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系” D．根据列联表中的数据,若按的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系” 【答案】B 【解析】成绩优秀的概率为, 成绩优秀的学生数是,成绩非优秀的学生数是, ,,选项A错误,B正确． 又根据列联表中的数据,得到, 因此有的把握认为“成绩与班级有关系”,没有的把握认为“成绩与班级有关系”． 故C,D错误．故选B． 2．（24-25高二下.河南省濮阳市.期末）某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果,科研人员选用了100粒玉米种子（其中一部分用该药做了处理）进行试验,从中任选1粒,发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8．未填写完整的列联表如下,则（    ） 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 种子未经过该药处理 14 合计 100 附：． 0.1 0.01 0.005 0.001 2.706 6.635 7.879 10.828 A．这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒 B．这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒 C．的观测值约为13.428 D．根据小概率值的独立性检验,可以认为该新药有效 【答案】AD 【解析】由题可将列联表补充完整如下：抗病虫害 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 6 66 种子未经过该药处理 20 14 34 合计 80 20 100 由上表可知 A 正确,B 错误；由表可知,因此根据小概率值 的独立性检验,可以认为该新药有效,故 C 错误,D 正确.故选AD. 二、解答题 3．（24-25高二下.河南省南阳市六校.期末）某电影上映后,一所大学视觉传达设计专业的学生为了解观众对该部电影的特效的评价与年龄的关系,随机抽取了300名观众进行调查,得到如下列联表： 年龄段 评价 合计 好评 差评 青少年 120 150 中老年 60 150 合计 (1)请完成列联表,并根据小概率值的独立性检验,判断能否认为年龄与对特效的评价有关联； (2)为了解青少年对电影特效的具体看法,视觉传达设计专业的学生设计了一个调查问卷进行调查,现从青少年中按评价情况用分层抽样的方法随机抽取5名观众,然后再利用随机抽样的方法抽取3人做进一步调研,记抽取的3人中给出好评的人数为,求的分布列和数学期望. 附：,其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）依题意,列联表如下. 年龄段 评价 合计 好评 差评 青少年 120 30 150 中老年 90 60 150 合计 210 90 300 零假设年龄与对特效的评价无关联, 由列联表中的数据可得, 所以根据小概率值的独立性检验推断不成立,即认为年龄与对特效的评价有关联. （2）依题意,抽取的5名观众中,给出好评的人数为,给出差评的人数为, 所以的所有可能取值为2,3,则 所以的分布列为 2 3 故数学期望. 4．（24-25高二下.河南省鹤壁市.期末）某研究机构调查了青年人与老年人的睡眠情况,称睡眠时间少于为“睡眠不合格”,睡眠时间不少于为“睡眠合格”.下面是统计数据： 青年组 老年组 睡眠合格 睡眠不合格 睡眠合格 睡眠不合格 人数 平均睡眠时长 (1)求调查的所有人睡眠合格的概率； (2)求调查的所有人的平均睡眠时长； (3)根据小概率值的独立性检验,能否认为青年人与老年人的睡眠合格率有差异? 附：. 【解析】（1）由题意知,共调查了人, 睡眠合格的人数为,故睡眠合格的概率为. （2）平均睡眠时长为 （3）零假设青年人与老年人的睡眠合格率没有差异, 列联表如下： 睡眠合格 睡眠不合格 合计 青年组 老年组 合计 则. 根据小概率值的独立性检验,推断不成立,故可以认为青年人与老年人的睡眠合格率有差异. 5．（24-25高二下.河南省郑州市中牟县.期末）假设某次模拟航天任务中,航天员需要完成两种任务：任务和任务,航天控制中心对45名模拟航天员进行了任务分配情况的调查,得到了如下的列联表： 性别 任务 合计 任务 任务 男 4 女 6 合计 45 若从这45名模拟航天员中的女航天员中随机抽取1人,抽到分配任务的女航天员的概率为. (1)将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）； (2)根据小概率值的独立性检验,能否据此推断任务分配与性别有关？ (3)现从女性航天员中抽取2人做进一步调查,设其中分配任务的女性航天员人数为,求的分布列与期望. 附：,. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）因为从这45名模拟航天员中的女航天员中随机抽取1人,抽到分配任务的女航天员的概率为, 则女航天员共有人,男航天员有27人, 所以补充列联表如下： 性别 任务 合计 任务 任务 男 23 4 27 女 6 12 18 合计 29 16 45 （2）零假设为：任务分配与性别无关, 计算得, 根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为任务分配与性别有关, 此推断犯错误的概率不大于0.01. （3）根据题意,的所有可能取值为 ,,, 故的分布列为： 0 1 2 所以. 6．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）人工智能的广泛应用,给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源,促进了AI技术的共享和进步．某校AI社团十分关注学生DeepSeek的使用,若将经常使用DeepSeek的人称为“AI达人”,偶尔使用或不使用DeepSeek的人称为“非AI达人”．以该社团随机抽取60名学生进行调查,得到如下数据： AI达人 非AI达人 合计 男 6 30 女 18 合计 (1)补全列联表,根据小概率值的独立性检验,能否认为“AI达人”与性别有关联? (2)现从抽取的“AI达人”中,按性别采用分层抽样的方法抽取7人,然后从7人中随机抽取2人,记2人中女“AI达人”的人数为X,求X的分布列与数学期望． 附：,． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）列联表如下： AI达人 非AI达人 合计 男 24 6 30 女 18 12 30 合计 42 18 60 零假设：“AI达人”与性别无关, , 根据小概率值的独立性检验,没有充分证据推断不成立, 因此认为成立,因此认为“AI达人”与性别无关． （2）在“AI达人”中按性别分层抽样抽取7人,其中男“AI达人”抽取人,女“AI达人”抽取3人,X的所有可能取值为0,1,2． 则,,． 所以,X的分布列如下： X 0 1 2 P X的数学期望． ( 题型 0 5 概率统计交汇问题及概率统计与其他知识的交汇 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省驻马店市.期末）已知直线,异面,上有,,,四个点,上有,,三个点,这七个点中任意两点可连成直线,其中异面直线有（    ）对 A．37 B．54 C．66 D．67 【答案】A 【解析】从上,,,取一个点和上,,取一个点,确定的直线数有条,再加上直线,,则共可得条不同的直线,则共有对直线,其中直线与新的条直线都共面,直线与新的条直线也都共面,共24对,新的条直线中,若直线过点,则形成直线,共有对共面,直线上有4个点,故共有对共面,新的条直线中,若直线过点,则形成4条直线,其中两两共面,有对,直线上有3个点,故共有对共面,故异面直线有对.故选A. 二、填空题 2．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕,参赛选手甲、乙进入了半决赛,半决赛采用五局三胜制,当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时,就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负,且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为,比赛局数的期望值记为,则的最大值是______． 【答案】 【解析】设实际比赛局数为,则的可能取值为,则, ,, 则, 所以,因为的对称轴为,, 当时,,当时,,所以,所以令,则；令,则,则函数在上单调递增,在上单调递减,所以,即的最大值为. 三、解答题 3.（24-25高二下.河南省郑州市.期末）图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某市人工智能公司研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中,研发人员输入了200张不同人脸照片作为测试样本,获得统计数据如下表（单位：张）： 性别 识别结果 合计 正确 不正确 男 105 15 120 女 60 20 80 合计 165 35 200 (1)依据小概率值的独立性检验,试分析根据人脸照片识别性别的程序的识别结果与性别是否存在差异； (2)假设用频率估计概率,且该程序对每张照片的识别都是独立的. （i）研发人员对该市的女性人脸照片进行测试,并从中随机抽取3张,求恰有2张照片识别正确的概率； （ii）在新一轮测试中,研发人员对3张不同的女性人脸照片依次测试,每张照片至多测一次,当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕,则停止测试.设表示测试的次数,求的分布列和数学期望. 附：,其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）零假设：根据人脸照片识别性别的程序的识别结果与性别没有差异. , 根据小概率值的独立性检验,推断不成立, 故根据人脸照片识别性别的程序的识别结果与性别存在差异. （2）（i）设事件表示输入女性照片且识别正确,由题可得可估计为, 记表示从该市测试的女性人脸照片中随机抽取3张识别正确的张数,则, 所以. （ii）由题,的所有可能取值为, 则,,, 所以的分布列为 1 2 3 所以. 4．（24-25高二下.河南省濮阳市.期末）某企业有甲、乙两个车间生产某款产品,今年前5个月两个车间的产量（单位：万件）统计如下表.设月份为,甲、乙两个车间的月产量之和为. 月份 1 2 3 4 5 甲车间产量 0.7 0.9 1.6 3 6 乙车间产量 0.8 1.1 1.9 5 9 (1)求； (2)求与的相关系数（精确到0.01）,并判断与的线性相关程度强弱； (3)从甲、乙两个车间生产的产品中各随机抽取100件,其中优等品和一等品的数量如下表所示,根据小概率值的独立性检验,能否认为甲、乙两车间的优等品率有差异？ 甲车间 乙车间 优等品 40 45 一等品 60 55 参考数据：,,. 参考公式：①相关系数；②. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【解析】（1）,故. （2）由题设的数据可得, 故与具有较强的线性相关关系. （3）完善列联表如下： 甲车间 乙车间 合计 优等品 40 45 一等品 60 55 设甲、乙两车间的优等品率无差异, 则, 故肯定,不能认为甲、乙两车间的优等品率有差异. 5．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）某制药公司研发一种新药,需要开展临床用药试验．随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验,并得到一组数据,其中,表示连续用药i天,相应的临床药效指标值．已知该组数据中y与之间具有线性相关关系,令,经计算得到下面一些统计量的值： ,,,,, (1)求关于的经验回归方程； (2)该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药,已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍,设备甲生产药品的不合格率为0.008,设备乙生产药品的不合格率为0.006,且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独立． ①从该公司生产的新药中随机抽取一件,求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品,求其中恰有二件是设备乙生产的概率． 参考公式：对于一组数据,其回归方程中,斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：,． 【解析】（1）,,所以, 则,故y关于t线性回归方程为, 所以y关于x的回归方程为. （2）设事件A：随机抽取一件药品来自设备甲生产,事件B：随机抽取一件药品来自设备乙生产,事件C：随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品． ①因为设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍,所以,,则,． 所以． 故所抽药品为不合格品的概率为0.0072． ②,即所抽药品为不合格品,该药品来自设备乙生产的概率为, 所以三件不合格品中恰有二件是设备乙生产的概率为． 6．（24-25高二下.河南省商丘市百师联盟.期末）六一儿童节,某商场为了刺激消费提升营业额,推出了消费者凭当天在该商场的消费单据参加抽奖的活动,奖品是4款不同造型的玩具摩托车与4款不同造型的玩具跑车（每款车的数量都充足）,主办方将大小相同的8个乒乓球上分别标注1,2,3,4,5,6,7,8,其中标注数字1,2,3,4的乒乓球分别代表4款不同造型的摩托车,5,6,7,8的乒乓球分别代表4款不同造型的跑车,并将这8个乒乓球放在一个不透明箱子内．活动规定：儿童节当天在该商场消费满100元的消费者可从摸奖箱内摸出1个乒乓球,然后再放回箱内；消费满200元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球,放回后再从中摸出1个乒乓球,然后再放回箱内；消费满300元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球,放回后再从中摸出1个乒乓球,放回后再从中摸出1个乒乓球,然后再放回箱内；,依此类推,消费者根据自己摸出的乒乓球标注的数字即可获得相应的奖品． (1)若小明的家长当天在该商场消费恰好满400元,求这位家长能获得2款相同造型摩托车与2款不同造型跑车的概率； (2)若本次活动小明家获得的奖品是2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车,小英家也获得2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车． ①从他们两家获得的这8台车中随机抽取5台,如果抽出的5台车中有台摩托车,求的分布列和数学期望； ②若小明和小英将他们家本次活动获得的奖品每次各取一件进行交换,第一次交换的奖品也可以参加第二次交换,求两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车的概率． 【解析】（1）记“小明的家长得到2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车”为事件, 则, 所以小明的家长获得2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车的概率为. （2）①依题意,的所有取值为1,2,3,4, , 的分布列为： 1 2 3 4 所以数学期望. ②两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车,包括3种情况： （i）第一次交换后小明家是2台摩托车2台跑车, 其概率； （ii）第一次交换后小明家是1台摩托车3台跑车, 其概率； （iii）第一次交换后小明家是3台摩托车1台跑车, 其概率, 因此所求概率． 7．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）第届联合国大会通过决议,将春节确定为联合国假日．某大学举办中国传统节日知识竞赛,每位大学生随机抽取问题并依次作答,其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记分,答错一题记分．已知学生甲答对每个问题的概率为,答错的概率为． (1)学生甲随机抽取题,记总得分为,求的分布列与数学期望； (2)若学生甲已答过的题累计得分为分的概率为,求与． 【解析】（1）的可能取值为、、、 ,, ,． 的分布列为 所以,． （2）,, 当时,若甲已答过的题累计得分为分,可由以下两种情况得出： ①甲已答过的题累计得分为分,下一个题答错得分, ②甲已答过的题累计得分为分,下一个题答对得分, 所以,即, 所以,数列为常数列． 又,所以, 则,所以,是以为首项,为公比的等比数列, 所以,即． 当时,上式也成立． 所以,对任意的,． . 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $