专题03 计数原理（3大题型34题）（期末真题汇编，河南专用）高二数学下学期

专题03计数原理 3大题型概览 题型01两个原理与排列组合 题型02二项式定理 题型03排列组合、二项式定理与其他知识的交汇 ( 题型 01 两个原理 与排列组合 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）（   ） A．0 B．4 C．12 D．24 【答案】D 【解析】由．故选D. 2．（24-25高二下.河南省郑州市中牟县.期末）若,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由组合数的性质可得,解得,又,所以或,解得（舍去）或,故.故选C. 3．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）已知生物体内存在酶、酶、酶、酶、酶,酶可以与酶、酶、酶、酶中的任意一种酶发生特异性结合反应.现有3个不同的酶分子,每个酶分子都随机选择一种酶进行结合,且相互独立,则不同结合方式的种数是（    ） A．72 B．68 C．64 D．58 【答案】C 【解析】根据题意,酶可以与酶、酶、酶、酶中的任意一种酶发生特异性结合反应,即每一个酶分子都有4种结合选择方式,那么3个不同的酶分子的结合方式共有（种）.故选C. 4．（24-25高二下.河南省南阳市六校.期末）从中任取个数字,从中任取个数字,用这个数字组成的没有重复数字的五位数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若组成的位数中没有,则有个；若组成的位数中有,则有个, 所以用这个数字组成的没有重复数字的五位数有个.故选C. 5．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）现有3名男生和2名女生并排站成一排,2名女生相邻,男生甲不站排头,则不同的排法种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】B 【解析】将两名女生“捆绑”,看成整体,总的排法有种,其中男生甲站排头的排法有种,所以男生甲不站排头的不同排法种数为种.故选B. 6.（24-25高二下.河南省周口市商水县.期末）为打造特色校园文化,某学校计划在艺术节期间举办“创意工坊”活动,提供陶艺、木工、剪纸、面塑、扎染5种手工体验项目．现从8名美术老师中任选5人分别负责一个项目,且要求负责陶艺和木工的老师是男老师,已知这8名老师中有5名男老师,3名女老师,则不同的人员安排方案有（   ） A．1200种 B．1800种 C．2400种 D．3600种 【答案】C 【解析】先从5名男老师中任选2名负责陶艺和木工,则有种,再从余下的6名老师中任选3名负责剪纸、面塑、扎染,则有种,所以共有种.故选C. 7.（24-25高二下.河南省鹤壁市.期末）有三个储水点,分别储存着、、水.小明每次使用一个容积为的水桶从这三个储水点取水并带回家倒入水缸中储存,且每次取水必须将水桶装满.若要将这水全部取完,小明前往这三个储水点的不同顺序的种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将分别储存着、、水的三个储水点依次记为甲、乙、丙,因为,,,问题相当于把个甲、个乙、个丙进行排序,排序的方法有种.故选D. 8.（24-25高二下.河南省周口市商水县.期末）为打造特色校园文化,某学校计划在艺术节期间举办“创意工坊”活动,提供陶艺、木工、剪纸、面塑、扎染5种手工体验项目．现从8名美术老师中任选5人分别负责一个项目,且要求负责陶艺和木工的老师是男老师,已知这8名老师中有5名男老师,3名女老师,则不同的人员安排方案有（   ） A．1200种 B．1800种 C．2400种 D．3600种 【答案】C 【解析】先从5名男老师中任选2名负责陶艺和木工,则有种,再从余下的6名老师中任选3名负责剪纸、面塑、扎染,则有种,所以共有种.故选C. 9.（24-25高二下.河南省郑州市.期末）现有3名男生和2名女生并排站成一排,2名女生相邻,男生甲不站排头,则不同的排法种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】B 【解析】将两名女生“捆绑”,看成整体,总的排法有种,其中男生甲站排头的排法有种,所以男生甲不站排头的不同排法种数为种.故选B. 10.（24-25高二下.河南省商丘市.期末）从1,2,4,5,7,8这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数,则在这些组成的四位数中,大于7000的奇数个数是（    ）． A．24 B．36 C．60 D．120 【答案】C 【解析】因为组成的四位数大于7000,所以千位上的数字只能是7或8．因为组成的四位数是奇数,所以个位上的数字只能是1,5或7．若千位上的数字是7,则个位上的数字只能是1或5,故符合题意的四位数有；若千位数字是8,则个位上的数字是1,5成7,故符合题意的四位数有（个）．综上,符合题意的四位数共有（个）．故选C． 二、填空题 11．（24-25高二下.河南省洛阳市.期末）从4名男生和3名女生中选出3人参加一项创新大赛,要求选出的3人中必须有女生,且男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,则有种不同选法______（用数字作答）. 【答案】22 【解析】若甲入选,乙没入选,则从除甲乙外的5人中至少选择1个女生,有种情况,若乙入选,甲没入选,则从除甲乙外的5人中随便选择2人,有种情况,若甲乙均入选,则从除甲乙外的5人中随便选择1人,有种情况,综上,共有种情况. 12．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）如图是由5个正方形拼成的图案,从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组,可以构成的三角形个数为______. 【答案】150 【解析】从11个顶点中任取3个,有种取法,而其中不能组成三角形即取出的三点共线的情况有： 三点都在三条水平边上,有种,三点都在三条竖直边上,有3种,三点在正方形的对角线方向上,有3种,则不能组成三角形即取出的三点共线的情况有种；所以可以构成三角形的组数为组. 13．（24-25高二下.河南省商丘市.期末）身高不相等的5人站成一排照相,要求最高的人排在中间,按身高向两侧递减,则共有______种不同的排法. 【答案】6 【解析】把问题看成是由1,2,3,4,5这五个数字排成一个五位数,要求最大的数字排在中间,按大小向两侧递减,则排成的五位数有12543,13542,14532,23541,24531与34521这6个数． 14．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）某校8名学生（高一1人,高二3人,高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念,同年级的同学不相邻的站法有______种． 【答案】2016 【解析】先将4名高三学生全排列,若高一、高二学生不相邻,站法有,若高一学生与高二学生相邻,站法有,共有种站法． 15．（24-25高二下.河南省濮阳市.期末）将8块颜色各不相同的箭头形积木按如图的方式,首尾相连拼接成一个圆环,若任意调换积木的顺序,但其中红色和黄色两块积木必须相邻,则可以拼成的不同圆环有______种.（用数字作答） 【答案】 【解析】将红色和黄色两块积木捆绑并放在圆环某一固定位置上,有种排法,将其余六块依次放入余下六个位置,共有种排法,故可以拼成的不同圆环有种排法. ( 题型 0 2 二项式定理 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省南阳市.期末）二项式的展开式中的的系数为（    ） A． B．180 C． D．480 【答案】B 【解析】由,令得,所以系数为.故选B. 2．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）若,且,若能被9整除,则的值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】A 【解析】因为,所以该二项展开式的通项为, 当时,能被9整除,但时,不能被9整除,要使能被9整除,则能被9整除,因为,所以,,即. 故选A. 3．（24-25高二下.河南省南阳市六校联考.期末）若的展开式中各二项式系数之和为64,则展开式中的常数项为（   ） A． B． C．15 D．60 【答案】D 【解析】由条件可知,则,通项公式,,令,得,所以常数项为.故选D. 4．（24-25高二下.河南省濮阳市.期末）设,则中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】二项式的展开式的通项为,依题意得：,,要求中最大的,则必须为偶数,设为中的最大项,则,即,即,化简得,因,解得,又,故得,即中最大的是.故选C. 5．（多选）（24-25高二下.河南省信阳市.期末）我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质,并把系数写成一张表,后人称为杨辉三角,如图所示,关于杨辉三角正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】根据杨辉三角的性质：,,所以选项A正确,B错误； 当时, ,选项C正确； 当时, ,选项D正确．故选ACD． 6．（多选）（24-25高二下.河南省驻马店市.期末）已知,则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对A：令得,A选项错误；对B：,B选项正确； 对C：令得,又,所以,C选项错误；对D：令得,又,所以,D选项正确；故选BD. 7．（多选）（24-25高二下.河南省新未来.期末）已知二项式,则其展开式中（   ） A．的系数为84 B．各项系数之和为 C．二项式系数之和为 D．二项式系数最大项是第4或5项 【答案】ABD 【解析】的展开式的通项为,对于A,取,则,故的系数为,故A正确；对于B,因为,令,则各项系数之和为,故B正确；对于C,二项式系数之和为,故C错误；对于D,二项式展开后共有8项,所以二项式系数最大项是是第4或5项,D正确；故选ABD. 二、填空题 8．（24-25高二下.河南省焦作市.期末）的展开式中常数项为_____. 【答案】210 【解析】展开式的通项为, 常数项为. 9．（24-25高二下.河南省驻马店市.期末）在的展开式中,含项的系数为________． 【答案】20 【解析】在的展开式中,含x项的系数为： . 10．（24-25高二下.河南省郑州市六校.期末）在的展开式中,的系数为,则______. 【答案】 【解析】的展开式通项为, 令,可得,所以的系数为,解得. 11．（24-25高二下.河南省郑州市中牟县.期末）已知的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等,则展开式中的常数项为_____. 【答案】54 【解析】的展开式中第二项和第四项的二项式系数分别为和,所以,根据组合数的性质可得.对于,易得展开式的通项为,,令,得,所以常数项为. ( 题型 0 3 排列组合、二项式定理与其他知识的交汇 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省安阳市滑县部分学校.期末）某学校举办足球赛,将6支球队平均分成甲、乙两组,则两支较强的球队被分在不同组的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知,两支较强的球队被分在不同组的分法有种,所有的分法有种,结合古典概型概率计算公式可得所求概率为.故选C. 2．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）《哪吒之魔童闹海》在全球热映创下中国电影多项记录,影片的角色受到海内外观众的喜爱．现将敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人4个卡通模型和2个相同的哪吒模型从左到右排成一排,则两个哪吒模型相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从6个位置中选2个摆放哪吒模型,有种方法,两个哪吒相邻等价于从5个位置中选一个摆放两个哪吒模型,有种方法,所求概率为．故选C． 3．（24-25高二下.河南省郑州市中牟县.期末）某次知识竞赛中,题库共有9道题目,选手需随机抽取3道作答.答对题数未达到2道的视为不合格,记为分；恰好答对2道的为合格,记为0分；3道题全部答对为优秀,记为2分.已知某位选手仅能答对其中5道题,记该选手的得分为,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的所有可能取值为,0,2,所以, ,, 则的分布列为： 0 2 所以.故选B. 4．（24-25高二下.河南省郑州市中牟县.期末）若名党员中有名优秀党员,从这名党员中选出名党员做报告总结,记选出的党员中优秀党员的人数为,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从名党员中选出名党员做报告总结,共有种情况,其中满足选出的党员中有名优秀党员的共有种情况,所以.故选C. 5．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）在暑假期间,甲、乙、丙、丁四名实验员到某生物研究所的分子生物学、生态学、遗传学三个实验室实习,每个实验室至少有一人,且每人只去一个实验室.已知甲在分子生物学实验室实习,则甲与乙不在同一实验室实习的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记事件为“甲在分子生物学实验室实习”,事件为“甲与乙不在同一实验室实习”,样本点的总数为,,事件,同时发生的情况种数为,,. .故选D. 6．（24-25高二下.河南省濮阳市.期末）从3名男生和2名女生中任选2人,若已知有男生被选到,则选到的2人都是男生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为从3名男生和2名女生中任选2人,且有男生被选到,那么总的可能情况有：这两人有1男1女和这两人都是男生,所以符合要求的总的情况种数有.选到2人都是男生种数是. 所以若已知有男生被选到,则选到的2人都是男生的概率为：.故选B. 7．（多选）（24-25高二下.河南省漯河市.期末）已知,则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】二项式的通项,令,得,选项A错误；令,得,令,得,所以,选项B正确；令,得, 所以,选项C正确； ,两边对x求导得： ,再令,得,选D正确．故选BCD． 二、填空题 8．（24-25高二下.河南省商丘市.期末）已知x,y,z均为正整数,且,则满足方程的解有______组. 【答案】10 【解析】因为,所以.当时,则,即, 可取；当时,则可取； 当时,则,解得,或6,则为；当时,则,为．所以方程的解的个数为. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03计数原理 3大题型概览 题型01两个原理与排列组合 题型02二项式定理 题型03排列组合、二项式定理与其他知识的交汇 ( 题型 01 两个原理 与排列组合 ) 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C C B C D C B C 11． 22 12． 150 13． 6 14． 2016 15． ( 题型 0 2 二项式定理 ) 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 B A D C ACD BD ABD 8． 210 9． 20 10． 11． 54 ( 题型 0 3 排列组合、二项式定理与其他知识的交汇 ) 1 2 3 4 5 6 7 C C B C D B BCD 8． 10 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03计数原理 3大题型概览 题型01两个原理与排列组合 题型02二项式定理 题型03排列组合、二项式定理与其他知识的交汇 ( 题型 01 两个原理 与排列组合 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）（   ） A．0 B．4 C．12 D．24 2．（24-25高二下.河南省郑州市中牟县.期末）若,则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）已知生物体内存在酶、酶、酶、酶、酶,酶可以与酶、酶、酶、酶中的任意一种酶发生特异性结合反应.现有3个不同的酶分子,每个酶分子都随机选择一种酶进行结合,且相互独立,则不同结合方式的种数是（    ） A．72 B．68 C．64 D．58 4．（24-25高二下.河南省南阳市六校.期末）从中任取个数字,从中任取个数字,用这个数字组成的没有重复数字的五位数的个数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）现有3名男生和2名女生并排站成一排,2名女生相邻,男生甲不站排头,则不同的排法种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 6.（24-25高二下.河南省周口市商水县.期末）为打造特色校园文化,某学校计划在艺术节期间举办“创意工坊”活动,提供陶艺、木工、剪纸、面塑、扎染5种手工体验项目．现从8名美术老师中任选5人分别负责一个项目,且要求负责陶艺和木工的老师是男老师,已知这8名老师中有5名男老师,3名女老师,则不同的人员安排方案有（   ） A．1200种 B．1800种 C．2400种 D．3600种 7.（24-25高二下.河南省鹤壁市.期末）有三个储水点,分别储存着、、水.小明每次使用一个容积为的水桶从这三个储水点取水并带回家倒入水缸中储存,且每次取水必须将水桶装满.若要将这水全部取完,小明前往这三个储水点的不同顺序的种数为（   ） A． B． C． D． 8.（24-25高二下.河南省周口市商水县.期末）为打造特色校园文化,某学校计划在艺术节期间举办“创意工坊”活动,提供陶艺、木工、剪纸、面塑、扎染5种手工体验项目．现从8名美术老师中任选5人分别负责一个项目,且要求负责陶艺和木工的老师是男老师,已知这8名老师中有5名男老师,3名女老师,则不同的人员安排方案有（   ） A．1200种 B．1800种 C．2400种 D．3600种 9.（24-25高二下.河南省郑州市.期末）现有3名男生和2名女生并排站成一排,2名女生相邻,男生甲不站排头,则不同的排法种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 10.（24-25高二下.河南省商丘市.期末）从1,2,4,5,7,8这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数,则在这些组成的四位数中,大于7000的奇数个数是（    ）． A．24 B．36 C．60 D．120 二、填空题 11．（24-25高二下.河南省洛阳市.期末）从4名男生和3名女生中选出3人参加一项创新大赛,要求选出的3人中必须有女生,且男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,则有种不同选法______（用数字作答）. 12．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）如图是由5个正方形拼成的图案,从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组,可以构成的三角形个数为______. 13．（24-25高二下.河南省商丘市.期末）身高不相等的5人站成一排照相,要求最高的人排在中间,按身高向两侧递减,则共有______种不同的排法. 14．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）某校8名学生（高一1人,高二3人,高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念,同年级的同学不相邻的站法有______种． 15．（24-25高二下.河南省濮阳市.期末）将8块颜色各不相同的箭头形积木按如图的方式,首尾相连拼接成一个圆环,若任意调换积木的顺序,但其中红色和黄色两块积木必须相邻,则可以拼成的不同圆环有______种.（用数字作答） ( 题型 0 2 二项式定理 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省南阳市.期末）二项式的展开式中的的系数为（    ） A． B．180 C． D．480 2．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）若,且,若能被9整除,则的值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 3．（24-25高二下.河南省南阳市六校联考.期末）若的展开式中各二项式系数之和为64,则展开式中的常数项为（   ） A． B． C．15 D．60 4．（24-25高二下.河南省濮阳市.期末）设,则中最大的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二下.河南省信阳市.期末）我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质,并把系数写成一张表,后人称为杨辉三角,如图所示,关于杨辉三角正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高二下.河南省驻马店市.期末）已知,则（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高二下.河南省新未来.期末）已知二项式,则其展开式中（   ） A．的系数为84 B．各项系数之和为 C．二项式系数之和为 D．二项式系数最大项是第4或5项 二、填空题 8．（24-25高二下.河南省焦作市.期末）的展开式中常数项为_____. 9．（24-25高二下.河南省驻马店市.期末）在的展开式中,含项的系数为________． 10．（24-25高二下.河南省郑州市六校.期末）在的展开式中,的系数为,则______. 11．（24-25高二下.河南省郑州市中牟县.期末）已知的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等,则展开式中的常数项为_____. ( 题型 0 3 排列组合、二项式定理与其他知识的交汇 ) 一、选择题 1．（24-25高二下.河南省安阳市滑县部分学校.期末）某学校举办足球赛,将6支球队平均分成甲、乙两组,则两支较强的球队被分在不同组的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下.河南省信阳市.期末）《哪吒之魔童闹海》在全球热映创下中国电影多项记录,影片的角色受到海内外观众的喜爱．现将敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人4个卡通模型和2个相同的哪吒模型从左到右排成一排,则两个哪吒模型相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下.河南省郑州市中牟县.期末）某次知识竞赛中,题库共有9道题目,选手需随机抽取3道作答.答对题数未达到2道的视为不合格,记为分；恰好答对2道的为合格,记为0分；3道题全部答对为优秀,记为2分.已知某位选手仅能答对其中5道题,记该选手的得分为,则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下.河南省郑州市中牟县.期末）若名党员中有名优秀党员,从这名党员中选出名党员做报告总结,记选出的党员中优秀党员的人数为,则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下.河南省郑州市.期末）在暑假期间,甲、乙、丙、丁四名实验员到某生物研究所的分子生物学、生态学、遗传学三个实验室实习,每个实验室至少有一人,且每人只去一个实验室.已知甲在分子生物学实验室实习,则甲与乙不在同一实验室实习的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下.河南省濮阳市.期末）从3名男生和2名女生中任选2人,若已知有男生被选到,则选到的2人都是男生的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高二下.河南省漯河市.期末）已知,则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25高二下.河南省商丘市.期末）已知x,y,z均为正整数,且,则满足方程的解有______组. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $