专题04 二元一次方程组（期末真题汇编，河北专用）七年级数学下学期

**基本信息** 河北各地市期末真题汇编，聚焦二元一次方程组8大考点，融合科技（神舟十九号）、文化（《九章算术》）、生活（校园安全）情境，梯度覆盖基础解法与综合应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择|约20题|加减/代入消元法、含参数方程组|以河北沧州等期末题为主，如判断消元法正误| |填空|约10题|解方程组、参数计算|结合相反数等概念，如5题利用非负性求参数| |解答|约31题|几何应用（小长方形拼图）、古代问题（《九章算术》雀燕）、方案问题（租车）|如30题通过图形拼接建立方程组，50题设计研学租车方案|

专题04 二元一次方程组 高频考点概览 考点01加减消元法 考点02代入消元法 考点03含有字母参数的二元一次方程组 考点04元一次方程组应用-几何问题 考点05元一次方程组应用-古代问题 考点06元一次方程组应用-其它问题 考点07元一次方程组应用-方案问题 考点08元一次方程方程组应用-营销问题 考点01 加减消元法 1．（2025七年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为1，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025七年级下·河北沧州·期末）用加减消元法解方程组，下列解法错误的是（   ） A．，消去 B．，消去 C．，消去 D．，消去 3．（2025七年级下·河北邯郸·期末）在解二元一次方程组时，若可直接消去未知数y，则m和n满足下列条件是（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·河北张家口·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足（其中为整数），则称该方程组具有性质．例如，当时，方程组的解满足，所以该方程组具有性质． (1)判断下列关于x，y的方程组和是否具有性质，并说明理由； (2)用表示不大于a的最大整数，例如：，；用表示大于a的最小整数，例如：，．若关于x，y的方程组具有性质，求的最小值． 5．（2025七年级下·河北张家口·期末）若与互为相反数，则______ 6．（2025七年级下·河北邯郸·期末）解方程组： 7．（2025七年级下·河北张家口·期末）解下列方程组： 8．（2025七年级下·河北保定·期末）（1）解方程组：； （2）解不等式组： 9．（2025七年级下·河北廊坊·期末）下面是嘉嘉同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：，得，③第一步 ，得，第二步 解得．第三步 将代入①，得，第四步 所以原方程组的解为第五步 任务： (1)第_____步开始出现错误． (2)写出正确的解方程组的过程． 10．（2025七年级下·河北唐山·期末）已知整式． (1)若，则，用含的代数式表示； (2)若，则；若，则，求和的值． 考点02 代入消元法 11．（2025七年级下·河北保定·期末）把方程改写成用含的式子表示的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025七年级下·河北唐山·期末）若方程中是的3倍，则（   ） A． B． C． D．2 13．（2025七年级下·河北邯郸·期末）对于二元一次方程组，把①代入②消去y后所得到的方程，则①可以是（        ） A． B． C． D． 14．（2025七年级下·河北保定·期末）已知方程组，下列消元过程不正确的是（    ） A．代入法消去a，由②得代入① B．代入法消去b，由①得代入② C．加减法消去a， D．加减法消去b， 15．（2025七年级下·河北邯郸·期末）把方程写成用含x的代数式表示y的形式______． 16．（2025七年级下·河北张家口·期末）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并解决问题． 解：由①得，③                                        第一步 将③代入②，得，                  第二步 解得．                                                             第三步 将代入③，得，                              第四步 ∴原方程组的解为 ．                                 第五步 (1)①以上求解过程中，小明用了___________消元法（填“代入”或“加减”）；②第___________步开始出现错误； (2)请用另一种消元法写出此题正确的解答过程． 17．（2025七年级下·河北邯郸·期末）解下列方程组 (1) (2) 18．（2025七年级下·河北廊坊·期末）解方程组： (1) (2) 考点03 含有字母参数的二元一次方程组 19．（2025七年级下·河北石家庄·期末）已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A．6 B． C．4 D． 20．（2025七年级下·河北张家口·期末）已知是关于x，y的二元一次方程2x－y＝m的一个解，则m的值是（    ） A．5 B．1 C．－1 D．－2 21．（2025七年级下·河北廊坊·期末）已知关于的方程组，若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 22．（2025七年级下·河北秦皇岛·期末）琪琪在解关于、的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 23．（2025七年级下·河北邯郸·期末）关于的方程组的解中，与的差不大于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（2025七年级下·河北唐山·期末）已知实数满足且，则的值不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 25．（2025七年级下·河北邯郸·期末）若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于5，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2025七年级下·河北邯郸·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(   ) A． B．0 C．1 D．2 27．（2025七年级下·河北廊坊·期末）对于关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变．则（    ） A．甲的判断正确 B．乙的判断正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲、乙的判断都不正确 28．（2025七年级下·河北沧州·期末）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成5，请你解二元一次方程组 (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案x与y是一对相反数．”请你通过计算说明原题中“□”是几． 29．（2025七年级下·河北石家庄·期末）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 考点04 二元一次方程组应用-几何问题 30．（2025七年级下·河北保定·期末）嘉嘉在拼图时，发现5个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（如图1）．淇淇也随手用8块同规格的小长方形拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个洞，经测量小洞恰好是边长为的小正方形．根据图中信息，计算出小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 31．（2025七年级下·河北石家庄·期末）用8个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 32．（2025七年级下·河北秦皇岛·期末）用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，则点A的坐标为______． 33．（2025七年级下·河北张家口·期末）在长方形中放入七个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求图中空白部分的面积之和． 考点05 二元一次方程组应用-古代问题 34．（2025七年级下·河北廊坊·期末）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 35．（2025七年级下·河北张家口·期末）《九章算术》有个题目，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量分别为x两，y两，可得方程组是（    ） A． B． C． D． 36．（2025七年级下·河北沧州·期末）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？“意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，下列说法错误的是（   ） A．由人出八，盈三，可得方程 B．由人出七，不足四，可得方程 C．一共有7人 D．物品的价格为52钱 37．（2025七年级下·河北沧州·期末）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 38．（2025七年级下·河北石家庄·期末）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 39．（2025七年级下·河北张家口·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为(   ) A．三人坐一辆车，有一车少坐2人 B．三人坐一辆车，则2人需要步行 C．三人坐一辆车，则有两辆空车 D．三人坐一辆车，则还缺两辆车 40．（2025七年级下·河北廊坊·期末）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 41．（2025七年级下·河北邯郸·期末）《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两、y两，则列方程组为______． 考点06 二元一次方程组应用-其它问题 42．（2025七年级下·河北张家口·期末）神舟十九号航天员乘组在忙碌的工作状态中迎来蛇年，在遥远的太空守护着中国人的“太空家园”．七（1）班的很多同学都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．阅读如图中嘉嘉和淇淇的对话，解决下列问题． (1)若嘉嘉列出方程，则a表示的意义是___________； (2)若淇淇设甲种飞船模型每件的售价为x元，乙种飞船模型每件的售价为y元，请通过列二元一次方程组求x和y的值； (3)几位同学商量后准备一起购买两种模型共15件，总预算不超过300元，求他们最多能购买几件甲种飞船模型． 43．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，若两根铁棒长度差为，下列说法： ①两根铁棒的长度和为； ②其中一根铁棒长度为； ③两根铁棒的长度和为； ④其中一根铁棒露出水面的长度为． 其中说法正确的个数为（    ）    A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 44．（2025七年级下·河北唐山·期末）如图，实验室桌子上放置有三组量杯，每组中两个量杯规格大小相同，每组中量杯A内均装有的水，量杯B内均装有的水． 操作一：对甲组中量杯A加水，此时量杯A内水量是量杯B内水量的2倍； 操作二：对乙组中量杯B加水，此时量杯B内水量是量杯A内水量的； 操作三：对丙组中量杯A，B分别加水，，此时两个量杯中的水均未满． (1)求x和y的值； (2)操作三中，当量杯B中水量比量杯A中水量多时，求a的最小整数值． 45．（2025七年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为，则称点为点的“级关联点”，如点的“级关联点”点B的坐标为，即 (1)已知点的“级关联点”为，求点的坐标，并写出点到轴的距离； (2)已知点的“级关联点”为，求点的坐标及所在象限； (3)如果点的“级关联点”在轴上，求点的坐标． 46．（2025七年级下·河北沧州·期末）安全无小事，校园安全是师生正常学习和生活的保障．孙老师带领数学兴趣小组成员对教学楼进行安全检查，并将检查结果和建议以策划书的形式反馈给校领导． 课题 教学楼逃生安全检测策划书 调查方式 实地测量，走访调查 测量工具 秒表，计数器 测量过程及计算 测量过程及图示 相关数据及说明： ①两个正门大小相同，两个侧门大小相同，当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过280人；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可通过800人； ②楼内共有教师200人，教学楼共4层，每层10个数室． 安全要求 紧急情况时，全大楼人员应在5分钟内通过这4道门安全撤离． (1)求每个侧门和正门每分钟各通过的人员数量． (2)求在保证安全逃生的情况下，每间教室允许容纳学生的最多人数． 47．（2025七年级下·河北邯郸·期末）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点的一对“相伴点”．例如：点的一对“相伴点”是点与． (1)求点的一对“相伴点”的坐标； (2)若点的一对“相伴点”重合，求的值； (3)若点的一对“相伴点”之一为，求点的坐标． 考点07 二元一次方程组应用-方案问题 48．（2025七年级下·河北张家口·期末）学校为了开展球类活动，准备用元同时购买若干个篮球、足球、排球（三种球类都买），且购买的足球数量是的倍数．若篮球每个元，足球每个元，排球每个元，则该学校的购买方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 49．（2025七年级下·河北张家口·期末）某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学（一天），该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息： 信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，此前A校租用6辆大型客车和4辆中型客车一天花费4400元；B校租用4辆大型客车和8辆中型客车一天花费4800元． 信息2 该校七年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车． 任务1 一辆大型客车和一辆中型客车每天的租金分别为多少元？ 任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将七年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案． 50．（2025七年级下·河北沧州·期末）某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． 51．（2025七年级下·河北廊坊·期末）为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元．1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？ 52．（2025七年级下·河北石家庄·期末）根据以下素材，探索完成任务． 装卸新宠，来掌舵 随着技术的发展，越来越多的行业引入机器人来高效、精准地完成工作，装卸机器人是物流自动化的重要设备，广泛应用于港口和仓库，市面上原有型、型两款机器人，后来又新推出升级版型机器人． 素材1：一台型机器人工作小时，一台型机器人工作小时一共可卸件货物；一台型机器人工作小时，一台型机器人工作小时一共可卸件货物． 素材2：某大型仓库需要一小时内完成件货物的卸货工作． 素材3：三种机器人卸货的工作效率和耗电量如表所示： 三种机器人的工作效率和耗电量 型号 工作效率（件/小时） 耗电量（度小时） 【任务1】求和的值． 【任务2】仓库使用若干台两种型号机器人恰好一小时完成本次卸货任务，总共要耗电_______度． 【任务3】该仓库引进型机器人后，工作效率得到提高．若采用三种机器人同时进行卸货（每种型号机器人均投入使用），且型机器人的台数是型机器人台数的一半，刚好分钟完成该任务． ①请通过计算求出所有可行的安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为_______度． 53．（2025七年级下·河北邯郸·期末）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的排球25个，种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求、两种品牌排球的单价． [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌排球的单价为元，则列出一元一次方程： ”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是___________（填序号）． ①种品牌排球的单价比种品牌排球的单价低30元； ②种品牌排球的单价比种品牌排球的单价高30元． [迁移类比] （2）小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求、两种品牌排球的单价． [拓展探究] （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买种品牌的排球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？ 考点08 二元一次方程方程组应用-营销问题 54．（2025七年级下·河北邯郸·期末）小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如图所示，那么购买一支签字笔和一本笔记本应付款（   ） 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本． 售货员：好的，那你应付款52元． 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付款44元． A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 55．（2025七年级下·河北沧州·期末）某商场看好“哪吒”和“敖丙”两种人物造型玩具的市场价值．经调查：购进2个“哪吒”玩具和5个“敖丙”玩具共需78元；购进5个“哪吒”玩具和10个“敖丙”玩具共需170元． (1)求每个“哪吒”玩具、“赦丙”玩具的进价； (2)该商场某柜台计划购进“哪吒”和“敖丙”两种玩具共50个，允许投入的资金不多于615元，设购进m（）个“哪吒”玩具．求该柜台共有哪几种购进方案？计算并求出最省钱的方案． 56．（2025七年级下·河北邯郸·期末）低碳生活已是当今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行，某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台元，乙型自行车进货价格为每台元．该公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元． (1)设公司销售台甲型自行车的利润为元，销售台乙型自行车的利润为元，求，的值． (2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共台，设购买甲台，且资金不超过元，自行车全部售出后所获利润不少于元，则该公司共有哪几种购买方案？ 57．（2025七年级下·河北邯郸·期末）为美化校园环境，学校计划分两次购买杜鹃花和四季海棠两种花卉．第一次购买60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购买100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，且每次购买的单价相同． (1)求学校购买的每盆杜鹃花、四季海棠的价格分别是多少元？ (2)若小晨同学帮班级购买这两种花卉（与学校购买的单价相同），恰好用去80元，且两种花卉都至少采购一盆．请问有哪些采购方案？ 58．（2025七年级下·河北邯郸·期末）【问题背景】 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．    素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（）若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 59．（2025七年级下·河北邯郸·期末）某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到北京和上海，收费标准及实际收费如表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克） 上海 a b 北京 实际收费 目的地 质量（千克） 费用（元） 上海 2 9 北京 3 22 (1)求a，b的值； (2)若小丽寄10千克的快递到上海，则小丽需要付多少钱的快递费？ 60．（2025七年级下·河北保定·期末）随着人工智能的不断普及，AI技术的迭代升级，正孕育一场新的产业变革．以DeepSeek为代表的国产技术正引领世界人工智能新方向，AI浪潮正影响着我们生活的方方面面．某科技公司为升级数据中心，分两次购进了甲、乙两种型号的服务器，具体采购数据如下表： 购买批次 甲型号（单位：台） 乙型号（单位：台） 总费用（单位：万元） 第一次 5 3 90 第二次 3 8 116 已知甲型号服务器每台每月数据处理收益为3.8万元，乙型号服务器每台每月数据处理收益为3.2万元，请根据所列数据解答下列问题： (1)甲、乙两种型号的服务器每台的采购价格各为多少万元？ (2)为满足新增数据处理需求，公司决定再投入总资金不超过220万元购买两种服务器共20台（两种服务器均需购买），且要求这批服务器每月数据处理总收益不低于68.5万元．请为该公司设计合理的采购方案． (3)如果公司决定投入220万元购进甲、乙两种型号的服务器（两种型号均需购买），请求出可以实现月收益最大化的购买方案及最大收益金额． 61．（2025七年级下·河北廊坊·期末）情境某饮品店新推出“时光相交线”和“心灵平行线”两款饮品（以下简称A，B两种款式），王老师去该店购买这两种款式的饮品作为给学生的奖品． 素材 若买3杯A款饮品、2杯B款饮品，共需54元；若买2杯A款饮品、3杯B款饮品，共需56元． 任务 （1）问A款饮品和B款饮品的销售单价各是多少元？ （2）若王老师共购买20杯饮品，总费用不超过230元，问最多买B种款饮品多少杯？ 探究 （3）为了满足市场的需求，饮品店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．嘉琪也在该店购买饮品，恰好用260元购买A，B两款饮品（每款及每款加料和不加料都要有），其中A款不加料的杯数是两款饮品总杯数的．直接写出购买B款加料的饮品的杯数． 试卷第2页，共54页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组 高频考点概览 考点01加减消元法 考点02代入消元法 考点03含有字母参数的二元一次方程组 考点04元一次方程组应用-几何问题 考点05元一次方程组应用-古代问题 考点06元一次方程组应用-其它问题 考点07元一次方程组应用-方案问题 考点08元一次方程方程组应用-营销问题 考点01 加减消元法 1．（2025七年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为1，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，利用二元一次方程组解决几何问题，解题的关键是熟练掌握点的坐标特征． 利用平面直角坐标系中点的坐标特征得出，然后根据点到坐标轴的距离列出二元一次方程组，最后求解判断即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 根据题意得，， 解得， ∴位于第二象限， 故选：B． 2．（2025七年级下·河北沧州·期末）用加减消元法解方程组，下列解法错误的是（   ） A．，消去 B．，消去 C．，消去 D．，消去 【答案】D 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．利用加减消元法逐项计算即可． 【详解】解： A、由可得，消去，解法正确，不符合题意； B、由可得，消去，解法正确，不符合题意； C、由可得，消去，解法正确，不符合题意； D、由可得，没有消元，解法错误，符合题意； 故选：D． 3．（2025七年级下·河北邯郸·期末）在解二元一次方程组时，若可直接消去未知数y，则m和n满足下列条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法，通过将方程①减去方程②，消去未知数y，需使y的系数相减后结果为0，从而确定m和n的关系． 【详解】解：得， ∵可直接消去未知数y， ∴， 故选：C． 4．（2025七年级下·河北张家口·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足（其中为整数），则称该方程组具有性质．例如，当时，方程组的解满足，所以该方程组具有性质． (1)判断下列关于x，y的方程组和是否具有性质，并说明理由； (2)用表示不大于a的最大整数，例如：，；用表示大于a的最小整数，例如：，．若关于x，y的方程组具有性质，求的最小值． 【答案】(1)方程组不具有性质；方程组具有性质，理由见解析； (2)8 【分析】本题考查了解二元一次方程组，绝对值不等式的应用以及对新定义概念的理解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）解两个二元一次方程组，计算解中x与y的绝对值差，判断是否具有的性质； （2）解方程组确定和的值，再根据题中的定义，确定x和y的取值范围，从而确定 的取值范围即可． 【详解】（1）解：解方程组，得， ∴， ∴方程组不具有性质； 解方程组，得， ∴， ∴方程组具有性质． （2）解：解方程组，得， ∵表示不大于a的最大整数， 表示大于a的最小整数， ∴，， ， ，即， ，为整数， ， 当时最小． 5．（2025七年级下·河北张家口·期末）若与互为相反数，则______ 【答案】1 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性、解二元一次方程组、求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据相反数的定义可得，根据绝对值和算术平方根的非负性可得，解方程组求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：1． 6．（2025七年级下·河北邯郸·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ，得，③ ，得，④ ，得， 把代入①，得 解得， 所以方程组的解是 7．（2025七年级下·河北张家口·期末）解下列方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键．直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； 方程组的解为：． 8．（2025七年级下·河北保定·期末）（1）解方程组：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组和一元一次不等式组的一般步骤． （1）方程，消去y，求出x，再代入②求出y即可； （2）按照解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，再根据判断不等式组解集的口诀求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）， 得：③， 得：， 解得：， 把代入②得：， 方程组的解为； （2）， 由①得 ， 由②得 ， 不等式组的解集为： 9．（2025七年级下·河北廊坊·期末）下面是嘉嘉同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：，得，③第一步 ，得，第二步 解得．第三步 将代入①，得，第四步 所以原方程组的解为第五步 任务： (1)第_____步开始出现错误． (2)写出正确的解方程组的过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）根据解二元一次方程组的基本解题过程进行判断即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：第一步开始出现错误； （2），得③ ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为． 10．（2025七年级下·河北唐山·期末）已知整式． (1)若，则，用含的代数式表示； (2)若，则；若，则，求和的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了代入求值，解二元一次方程组． （1）将代入计算即可； （2）分别将；代入计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， 即， ； （2）解：分别将；代入得： 解得． ． 考点02 代入消元法 11．（2025七年级下·河北保定·期末）把方程改写成用含的式子表示的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，解题的关键是将看作已知数求出即可． 【详解】解：， 解得：． 故选：A． 12．（2025七年级下·河北唐山·期末）若方程中是的3倍，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，根据题意，已知方程，且是的3倍，即．将代入，解关于的一元一次方程即可． 【详解】将代入方程，得： 解得， 故选A． 13．（2025七年级下·河北邯郸·期末）对于二元一次方程组，把①代入②消去y后所得到的方程，则①可以是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入消元法求解即可． 【详解】解：∵，把①代入②消去y后所得到的方程， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是掌握对解二元一次方程组的方法． 14．（2025七年级下·河北保定·期末）已知方程组，下列消元过程不正确的是（    ） A．代入法消去a，由②得代入① B．代入法消去b，由①得代入② C．加减法消去a， D．加减法消去b， 【答案】C 【分析】利用代入法和加减法步骤判断即可． 【详解】解：A、代入法消去a，由②得代入①，正确，不符合题意； B、代入法消去b，由①得代入②，正确，不符合题意； C、加减法消去a，，故不正确，符合题意； D、加证法消去b，，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了利用代入法和加减消元法解二元一次方程组的解法，正确掌握解法是解题的关键． 15．（2025七年级下·河北邯郸·期末）把方程写成用含x的代数式表示y的形式______． 【答案】 【分析】通过移项即可得出用含x的式子表示y的形式． 本题考查了解二元一次方程，熟练掌握用一个未知数表示另一个未知数的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为： 16．（2025七年级下·河北张家口·期末）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并解决问题． 解：由①得，③                                        第一步 将③代入②，得，                  第二步 解得．                                                             第三步 将代入③，得，                              第四步 ∴原方程组的解为 ．                                 第五步 (1)①以上求解过程中，小明用了___________消元法（填“代入”或“加减”）；②第___________步开始出现错误； (2)请用另一种消元法写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)①代入,②三 (2) 【分析】本题考查了用代入消元法与加减消元法解二元一次方程组，掌握两种消元方法是解题的关键． （1）①由解题的第一步可确定消元的方法；②分别对各步进行检查，即可确定错误所在； （2）方程①乘3，再减去方程②，消去y，求得x的值，再求出y的值即可． 【详解】（1）解：①由第一步知，是用代入消元法解二元一次方程组； 故答案为：代入； ②第一步变形正确；第二步代入正确；第三步解方程错误，正确的解应是，导致后面两步都错误； 故答案为：三； （2）解：得：， 解得：； 把代入方程①中，得， 解得：； ∴方程组的解为：． 17．（2025七年级下·河北邯郸·期末）解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减消元法或代入消元法解二元一次方程组． （1）把方程①代入②，消去m，求出n，再把n代入①，求出m即可； （2）方程①加②，消去y，求出x，再把x的值代入②，求出y即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； （2）解： 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为． 18．（2025七年级下·河北廊坊·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， ， ， ， ， 把代入①得： ， 方程组的解为：； （2）解： ②得：③， 得：， 把代入②得：， 方程组的解为：． 考点03 含有字母参数的二元一次方程组 19．（2025七年级下·河北石家庄·期末）已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，根据二元一次方程的解的定义解决此题． 【详解】解：由题意得，． ． 故选：D． 20．（2025七年级下·河北张家口·期末）已知是关于x，y的二元一次方程2x－y＝m的一个解，则m的值是（    ） A．5 B．1 C．－1 D．－2 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的解，即可得． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程2x－y＝m的一个解 ∴ ， 故选C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是理解二元一次方程的解． 21．（2025七年级下·河北廊坊·期末）已知关于的方程组，若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利用加减消元法可得，结合，即可求解，选出正确答案． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 22．（2025七年级下·河北秦皇岛·期末）琪琪在解关于、的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，掌握方程组的解的定义是解题关键．将代入，求得，再将，代入，得到，即可求解． 【详解】解：将代入得： 解得：，即， 将，代入得：， 即， 因此，和代表的数分别是和， 故选：A． 23．（2025七年级下·河北邯郸·期末）关于的方程组的解中，与的差不大于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式，先利用加减法解方程组可得，进而得到，再解不等式即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ①②，得， ∴， ∵与的差不大于， ∴， 解得， 故选：． 24．（2025七年级下·河北唐山·期末）已知实数满足且，则的值不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解及解一元一次不等式，首先解方程组求出x和y关于k的表达式，再代入不等式，得到k的范围，最后判断选项是否在该范围内． 【详解】解：由方程组 从得，代入： ， ， 把代入 ，得： ， 将 和 代入 ，得： ， ， ， ， ，选项中只有 不满足 ， 故选A． 25．（2025七年级下·河北邯郸·期末）若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于5，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．由两式相减，得到，再根据x 与 y 的和不大于5列出不等式即可求解． 【详解】解：把两个方程相减， 可得， 根据题意得：， 解得：． 故选：C． 26．（2025七年级下·河北邯郸·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(   ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．将方程组两式相加，得到，再代入求解． 【详解】解：∵方程组为 两式相加得： 又∵， ∴ 解得： 故选：C． 27．（2025七年级下·河北廊坊·期末）对于关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变．则（    ） A．甲的判断正确 B．乙的判断正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲、乙的判断都不正确 【答案】C 【分析】将方程组的两个方程相加，得出，当，的值互为相反数时，即可得出，得出甲判断正确；用表示出，解方程组得出，代入可得，得出乙判断正确；即可得出答案． 【详解】解：， 得：， ∴， 当，的值互为相反数时，， ∴，故甲判断正确； 解方程组得出， ∴ ，故乙判断正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解决问题的关键． 28．（2025七年级下·河北沧州·期末）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成5，请你解二元一次方程组 (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案x与y是一对相反数．”请你通过计算说明原题中“□”是几． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解求参数． （1）根据加减消元法计算即可； （2）设印刷不清的数字为a，由题意可知，代入求出，可知，最后将代入计算即可． 【详解】（1）解： 得， 解得， 将代入得， 解得：， ∴； （2）解：设印刷不清的数字为a， 由题意，得， 将其代入中， 得， 所以． 将代入， 得， 即原题中□是3． 29．（2025七年级下·河北石家庄·期末）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 【答案】(1)19 (2)30元 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将方程即可求解； （2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，由题意列出方程组，即可求解； （3）由题意列出方程组，再计算出的结果即可得到答案，即可求解． 【详解】（1）解：解： 得，， 得，； （2）解：解：设一支铅笔的单价为元，一块橡皮的单价为元，一本日记本的单价为元， 根据题意得， 得，， 得，， 得，， 答：购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元； （3）解：解：根据新定义运算得， 得， ∴． 考点04 二元一次方程组应用-几何问题 30．（2025七年级下·河北保定·期末）嘉嘉在拼图时，发现5个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（如图1）．淇淇也随手用8块同规格的小长方形拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个洞，经测量小洞恰好是边长为的小正方形．根据图中信息，计算出小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设每个小长方形的长为，宽为，根据图1和图2，列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 即每个小长方形的面积为． 故选：D． 31．（2025七年级下·河北石家庄·期末）用8个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，坐标与图形，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标，列出二元一次方程组，解得x、y的值，结合点B所在的象限，即可得出结论． 【详解】解：设小长方形纸片的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， ∴ ∵点B在第二象限内， ∴点B的坐标是． 故选：D． 32．（2025七年级下·河北秦皇岛·期末）用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，则点A的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，二元一次方程组的应用，设长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，求出，从而可得，结合点的位置即可得出坐标． 【详解】解：设长方形纸片的长为，宽为， ∵点B的坐标为， 则， 解得：， ∴， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为， 故答案为：． 33．（2025七年级下·河北张家口·期末）在长方形中放入七个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求图中空白部分的面积之和． 【答案】图中空白部分的面积之和为52 【分析】本题考查二元一次方程组的几何应用，根据图形，找到边和边的关系是解答的关键．设小长方形的长为y、宽为x，用x、y表示出大长方形的长和宽，结合所给数据列方程组求得x、y，再用大长方形的面积减去7个小长方形的面积即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为y、宽为x， 从图中可以得到两个等量关系： 水平方向上：， 竖直方向上：， 联立可得：， 解之得： ∴ 答：图中空白部分的面积之和为52． 考点05 二元一次方程组应用-古代问题 34．（2025七年级下·河北廊坊·期末）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据五只雀六只燕共重16两，可得第一个方程：，互换其中一只后，一方剩余只雀和只燕，另一方剩余只雀和只燕，二者重量相等，可得第二个方程：，即可得到答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ． 35．（2025七年级下·河北张家口·期末）《九章算术》有个题目，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量分别为x两，y两，可得方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得等量关系：①5只雀的重量+6只燕的重量=16两，②4只雀的重量+1只燕的重量=1只雀的重量+5只燕的重量，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每只雀、燕的重量分别为x两，y两，由题意得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，熟练掌握计算法则是解题关键． 36．（2025七年级下·河北沧州·期末）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？“意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，下列说法错误的是（   ） A．由人出八，盈三，可得方程 B．由人出七，不足四，可得方程 C．一共有7人 D．物品的价格为52钱 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意引入合适的未知数，建立二元一次方程组是解题的关键．本题需要通过两次不同的出钱方式建立方程组，求解人数和物价，再判断选项的正误．解题步骤分为建立方程、解方程、验证选项． 【详解】解：设共有人，物品价格为钱． A．根据“每人出8钱，盈3钱”得方程：，正确，故本选项不符合题意； B．根据“每人出7钱，不足4钱”得方程：，正确，故本选项不符合题意； C．联立方程组：将两方程相加，消去得：，正确，故本选项不符合题意； D．将代入，得，解得，因此，物品价格为53钱，选项D中“52钱”错误，故本选项符合题意． 故选：D． 37．（2025七年级下·河北沧州·期末）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 38．（2025七年级下·河北石家庄·期末）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设有好酒瓶，薄酒瓶，根据“好酒一瓶，可以醉倒位客人；薄酒三瓶，可以醉倒位客人，如今位客人醉倒了，他们总共饮瓶酒”列出方程组，即可求解． 【详解】解：设有好酒瓶，薄酒瓶，根据题意得： 故选：A． 39．（2025七年级下·河北张家口·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为(   ) A．三人坐一辆车，有一车少坐2人 B．三人坐一辆车，则2人需要步行 C．三人坐一辆车，则有两辆空车 D．三人坐一辆车，则还缺两辆车 【答案】C 【分析】根据方程组中2个方程表示的意义即可求解． 【详解】解：∵小明同学设有x辆车，人数为y， 表示若2人坐一辆车，则9人需要步行， 表示三人坐一辆车，则有两辆空车， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． 40．（2025七年级下·河北廊坊·期末）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺， 由题意可得． 故选：D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 41．（2025七年级下·河北邯郸·期末）《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两、y两，则列方程组为______． 【答案】 【分析】设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可． 【详解】解：设每只雀有x两，每只燕有y两， 由题意得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 考点06 二元一次方程组应用-其它问题 42．（2025七年级下·河北张家口·期末）神舟十九号航天员乘组在忙碌的工作状态中迎来蛇年，在遥远的太空守护着中国人的“太空家园”．七（1）班的很多同学都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．阅读如图中嘉嘉和淇淇的对话，解决下列问题． (1)若嘉嘉列出方程，则a表示的意义是___________； (2)若淇淇设甲种飞船模型每件的售价为x元，乙种飞船模型每件的售价为y元，请通过列二元一次方程组求x和y的值； (3)几位同学商量后准备一起购买两种模型共15件，总预算不超过300元，求他们最多能购买几件甲种飞船模型． 【答案】(1)甲种飞船模型每件的售价 (2) (3)最多能购买7件甲种飞船模型 【分析】本题考查了一元一次方程的意义理解，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的实际应用．熟练掌握方程和不等式的概念求解是解决本题的关键． （1）方程中，可理解为另一种模型的单价，结合“2件甲和3件乙共花95元”的条件，可知a代表的是甲种飞船模型每件的售价． （2）通过代入消元法，将代入第二个方程，化简计算得出x和y的值． （3）解不等式得出m的取值范围，结合m为正整数，确定最大值． 【详解】（1）解：嘉嘉列出方程， 假设甲种飞船模型每件的售价为a元， 那么乙种飞船模型每件的售价就是元． 所以a表示的意义是甲种飞船模型每件的售价． （2）解：已知甲种飞船模型每件的售价为x元，乙种飞船模型每件的售价为y元． 根据“买1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型，共花了40元”，可列方程； 根据“买2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元”，可列方程． ∴， 将变形为， 代入中，得到．解得 把代入，得，． 所以方程组的解为． （3）解：设购买甲种飞船模型m件，则购买乙种飞船模型件． 可列不等式． ， ， 因为m为正整数，所以m的最大值为7． 43．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，若两根铁棒长度差为，下列说法： ①两根铁棒的长度和为； ②其中一根铁棒长度为； ③两根铁棒的长度和为； ④其中一根铁棒露出水面的长度为． 其中说法正确的个数为（    ）    A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为，因为两根铁棒之差为，故可得方程：，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程，把两个方程联立，组成方程组，解方程组可得两根铁棒的长度，再逐项判断即可． 【详解】解：设较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为，由题意得： 解得，， ∴较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为，故②错误； ∴两根铁棒的长度和为，故①正确，③不正确； ∴较长铁棒露出水面的长度为，较短铁棒露出水面的长度为，故④正确， 因此正确的结论是①④，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组求解． 44．（2025七年级下·河北唐山·期末）如图，实验室桌子上放置有三组量杯，每组中两个量杯规格大小相同，每组中量杯A内均装有的水，量杯B内均装有的水． 操作一：对甲组中量杯A加水，此时量杯A内水量是量杯B内水量的2倍； 操作二：对乙组中量杯B加水，此时量杯B内水量是量杯A内水量的； 操作三：对丙组中量杯A，B分别加水，，此时两个量杯中的水均未满． (1)求x和y的值； (2)操作三中，当量杯B中水量比量杯A中水量多时，求a的最小整数值． 【答案】(1)， (2)15 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解以及二元一次方程组的求解与实际应用，根据题目已知列出方程组和不等式是解决本题的关键 （1）根据操作一可知，此时甲组中量杯A的水量为，由量杯A内水量是量杯B内水量的2倍建立等式；操作二可知，此时乙组中量杯B的水量为，由量杯B内水量是量杯A内水量的建立等式；即可列出二元一次方程并求解； （2）根据操作三可知，此时丙组中量杯A，B的水量分别为，，由量杯B中水量比量杯A中水量多建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵每组中量杯A内均装有的水，量杯B内均装有的水， 由操作一可知，， 由操作二可知，， ∴，解得； （2）解：由（1）知，，， 此时丙组中量杯A，B分别加水，， 则量杯A的水量为，量杯B的水量为， ∵量杯B中水量比量杯A中水量多， ∴，解得， ∴a的最小整数值为15． 45．（2025七年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为，则称点为点的“级关联点”，如点的“级关联点”点B的坐标为，即 (1)已知点的“级关联点”为，求点的坐标，并写出点到轴的距离； (2)已知点的“级关联点”为，求点的坐标及所在象限； (3)如果点的“级关联点”在轴上，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点到轴的距离为； (2)，第三象限； (3) 【分析】本题主要考查点的坐标，一元一次方程的应用，二元一次方程组，正确写出“级关联点”是解题的关键． （1）根据定义即可作答； （2）设点的坐标为，根据定义列出方程，即可作答； （3）设点的坐标为，根据定义列出方程，即可作答． 【详解】（1）点的“级关联点”的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为，点到轴的距离为； （2）解：设点的坐标为， 点的“级关联点”为， ，， 解得：，， 点的坐标为， 点所在的象限为第三象限； （3）解：点的坐标为， 点的“级关联点”为， ， ， ， ， 点的坐标为 46．（2025七年级下·河北沧州·期末）安全无小事，校园安全是师生正常学习和生活的保障．孙老师带领数学兴趣小组成员对教学楼进行安全检查，并将检查结果和建议以策划书的形式反馈给校领导． 课题 教学楼逃生安全检测策划书 调查方式 实地测量，走访调查 测量工具 秒表，计数器 测量过程及计算 测量过程及图示 相关数据及说明： ①两个正门大小相同，两个侧门大小相同，当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过280人；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可通过800人； ②楼内共有教师200人，教学楼共4层，每层10个数室． 安全要求 紧急情况时，全大楼人员应在5分钟内通过这4道门安全撤离． (1)求每个侧门和正门每分钟各通过的人员数量． (2)求在保证安全逃生的情况下，每间教室允许容纳学生的最多人数． 【答案】(1)每个侧门每分钟通过80人，每个正门每分钟通过120人； (2)在保证安全逃生的情况下，每间教室允许容纳学生的最多人数为45． 【分析】本题考查二元一次方程组应用，一元一次不等式应用等． （1）根据题意设每个侧门每分钟通过x人，每个正门每分钟通过y人，列出关于x和y的方程组即可得到本题答案； （2）设每间教室最多容纳学生m人，列出关于m的不等式即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设每个侧门每分钟通过x人，每个正门每分钟通过y人． 由题意，得， 解得． 答：每个侧门每分钟通过80人，每个正门每分钟通过120人． （2）解：设每间教室最多容纳学生m人． 由题意，得， 解得． 答：在保证安全逃生的情况下，每间教室允许容纳学生的最多人数为45． 47．（2025七年级下·河北邯郸·期末）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点的一对“相伴点”．例如：点的一对“相伴点”是点与． (1)求点的一对“相伴点”的坐标； (2)若点的一对“相伴点”重合，求的值； (3)若点的一对“相伴点”之一为，求点的坐标． 【答案】(1)与 (2) (3)或 【分析】（1）根据新定义求出、，即可得出结论； （2）根据新定义，求出点的一对“相伴点”，进而得出结论； （3）设出点的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴点的一对“相伴点”的坐标是与； （2）∵点， ∴，， ∴点的一对“相伴点”的坐标是和， ∵点的一对“相伴点”重合， ∴， ∴， ∴的值为； （3）设点， ∵点的一个“相伴点”的坐标为， ∴或， ∴或， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查点的坐标，新定义，解二元一次方程组，解一元一次方程，理解和应用新定义是解题的关键． 考点07 二元一次方程组应用-方案问题 48．（2025七年级下·河北张家口·期末）学校为了开展球类活动，准备用元同时购买若干个篮球、足球、排球（三种球类都买），且购买的足球数量是的倍数．若篮球每个元，足球每个元，排球每个元，则该学校的购买方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题考查了不定方程的应用，二元一次方程的应用，正整数解，设购买篮球个，足球个，排球，又购买的足球数量是的倍数，设（为正整数），则有，即，整理得，然后分或进行求正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：购买篮球个，足球个，排球， ∵购买的足球数量是的倍数， ∴设（为正整数）， ∴， ∴，整理得：， ∵，为正整数， ∴或， ∴当时，， ∴或或或或或， ∴当时，， ∴， 综上可知：该学校的购买方案有种， 故选：． 49．（2025七年级下·河北张家口·期末）某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学（一天），该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息： 信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，此前A校租用6辆大型客车和4辆中型客车一天花费4400元；B校租用4辆大型客车和8辆中型客车一天花费4800元． 信息2 该校七年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车． 任务1 一辆大型客车和一辆中型客车每天的租金分别为多少元？ 任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将七年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案． 【答案】任务1：一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元； 任务2：方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车；方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车；方案一的花费最少 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是读懂题意找准各数量间的关系． 任务1：设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元，根据“A校租用6辆大型客车4辆中型客车花费4400元；B校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元”列方程组求解即可； 任务2：设租用辆大型客车，则租用辆中型客车，根据总人数不少于460人且总租金不超过4900元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租车方案，然后求出选择各租车方案所需总租金，比较即可得出结论． 【详解】解：任务1：设一辆大型客车的租金为x元，一辆中型客车的租金为y元， 根据题意得：， 解得， 答：一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元． 任务2：设租用m辆大型客车，则租用辆中型客车， 根据题意得：， 解得， ∵m为非负整数， ∴可以为8或9； 则有方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车， 方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车； 因此方案一的费用为：（元）， 方案二的费用为：（元） ∵ ∴方案一的花费最少． 答：方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车；方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车；方案一的花费最少． 50．（2025七年级下·河北沧州·期末）某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． 【答案】(1)每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； (2)有三种租车方案：方案一：小客车租24辆，大客车租4辆；方案二：小客车租15辆，大客车租8辆；方案三：小客车租6辆，大客车租12辆 【分析】本题考查了二元一次方程与二元一次方程组的应用，理解题意并列出方程组是解题的关键． （1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生；根据等量关系：用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由题意得，根据m、n为正整数求出其整数解即可． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生； 由题意得：， 解得：； 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：由题意得， 则； 由于m、n为正整数，且n只能是4的倍数； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当n为大于16的4的倍数时，不符合题意； 故有三种租车方案：方案一：小客车租24辆，大客车租4辆；方案二：小客车租15辆，大客车租8辆；方案三：小客车租6辆，大客车租12辆． 51．（2025七年级下·河北廊坊·期末）为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元．1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？ 【答案】1盏甲型节能灯售价为5元，1盏乙型节能灯的售价为7元 【分析】本题考查了二元一次方程解决实际问题，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设出两种型号的节能灯的价格，然后算出各自花费的金额，其和等于54元，可列出方程求解． 【详解】解：设1盏甲型节能灯售价为x元，1盏乙型节能灯的售价为y元，根据题意得： ， 解得， 答：1盏甲型节能灯售价为5元，1盏乙型节能灯的售价为7元． 52．（2025七年级下·河北石家庄·期末）根据以下素材，探索完成任务． 装卸新宠，来掌舵 随着技术的发展，越来越多的行业引入机器人来高效、精准地完成工作，装卸机器人是物流自动化的重要设备，广泛应用于港口和仓库，市面上原有型、型两款机器人，后来又新推出升级版型机器人． 素材1：一台型机器人工作小时，一台型机器人工作小时一共可卸件货物；一台型机器人工作小时，一台型机器人工作小时一共可卸件货物． 素材2：某大型仓库需要一小时内完成件货物的卸货工作． 素材3：三种机器人卸货的工作效率和耗电量如表所示： 三种机器人的工作效率和耗电量 型号 工作效率（件/小时） 耗电量（度小时） 【任务1】求和的值． 【任务2】仓库使用若干台两种型号机器人恰好一小时完成本次卸货任务，总共要耗电_______度． 【任务3】该仓库引进型机器人后，工作效率得到提高．若采用三种机器人同时进行卸货（每种型号机器人均投入使用），且型机器人的台数是型机器人台数的一半，刚好分钟完成该任务． ①请通过计算求出所有可行的安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为_______度． 【答案】任务一： 任务二： 任务三：①共有3种方案，分别是： 方案一：有型号的机器人台，有型号的机器人台，有型号的机器人台， 方案二：有型号的机器人台，有型号的机器人台，有型号的机器人台， 方案三：有型号的机器人台，有型号的机器人台，有型号的机器人台； ② 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 任务一：的工作效率是（件/小时），的工作效率是（件/小时），结合题意列式求解即可； 任务二：设有型号的机器人台，有型号的机器人台，由此列式，根据二元一次方程的解的概念，结合题意找出合适的值即可求解； 任务三：①设有型号的机器人台，有型号的机器人台，则有型号的机器人台，由此列式，根据二元一次方程的解的概念，结合题意找出合适的值即可求解； ②根据①中的方案，耗电量的计算方法求解即可． 【详解】解：任务一：的工作效率是（件/小时），的工作效率是（件/小时）， ∴， 解得，， ∴的工作效率是（件/小时），的工作效率是（件/小时）； 任务二：设有型号的机器人台，有型号的机器人台， ∴，整理得，， ∵是正整式， ∴当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴有型号的机器人台，有型号的机器人台， ∴总共耗电：（度）， 故答案为：； 任务三：①设有型号的机器人台，有型号的机器人台，则有型号的机器人台，分钟小时， ∴， 整理得，， 当时，，则有型号的机器人台，不符合题意； 当时 ，，则有型号的机器人台，符合题意； 当时 ，，则有型号的机器人台，不符合题意； 当时 ，，则有型号的机器人台，符合题意； 当时 ，，则有型号的机器人台，不符合题意； 当时 ，，则有型号的机器人台，符合题意； 当时 ，，则有型号的机器人台，不符合题意； 当时 ，，则有型号的机器人台，不符合题意； ∴共有3种方案，分别是： 方案一：有型号的机器人台，有型号的机器人台，有型号的机器人台， 方案二：有型号的机器人台，有型号的机器人台，有型号的机器人台， 方案三：有型号的机器人台，有型号的机器人台，有型号的机器人台； ②方案一耗电量为：度， 方案二耗电量为：度， 方案三耗电量为：度， ∵， ∴方案三最省电，其耗电量为度， 故答案为：． 53．（2025七年级下·河北邯郸·期末）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的排球25个，种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求、两种品牌排球的单价． [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌排球的单价为元，则列出一元一次方程： ”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是___________（填序号）． ①种品牌排球的单价比种品牌排球的单价低30元； ②种品牌排球的单价比种品牌排球的单价高30元． [迁移类比] （2）小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求、两种品牌排球的单价． [拓展探究] （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买种品牌的排球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？ 【答案】（1）②  （2）种品牌排球的单价为80元．种品牌排球的单价为50元   （3）共有3种购买方案，方案1：购买种品牌的排球23个，种品牌的排球27个；方案2：购买种品牌的排球24个，种品牌的排球26个；方案3：购买种品牌的排球25个，种品牌的排球25个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）根据所列方程得到题意； （2）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个，共花费元；A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，，根据“购买、两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数，即可得出共有种购买方案，再求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）根据方程可知，表示的是品牌足球的单价， ∵种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元， ∴例题中被覆盖的条件是②， 故答案为：②；                                （2）根据题意得             解得                                  答：种品牌排球的单价为80元．种品牌排球的单价为50元； （3）解：设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个， 依题意得：          解得：，                         又为正整数， 可以为23，24，25，                      共有3种购买方案， 方案1：购买种品牌的排球23个，种品牌的排球27个； 方案2：购买种品牌的排球24个，种品牌的排球26个； 方案3：购买种品牌的排球25个，种品牌的排球25个． 考点08 二元一次方程方程组应用-营销问题 54．（2025七年级下·河北邯郸·期末）小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如图所示，那么购买一支签字笔和一本笔记本应付款（   ） 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本． 售货员：好的，那你应付款52元． 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付款44元． A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设购买1支签字笔应付元，1本笔记本应付元，根据小月与售货员的对话信息列出二元一次方程组，求出即可． 【详解】解：设购买1支签字笔应付元，1本笔记本应付元， 根据题意得：， 得：， ， 即购买一支签字笔和一本笔记本应共付12元， 故选：B． 55．（2025七年级下·河北沧州·期末）某商场看好“哪吒”和“敖丙”两种人物造型玩具的市场价值．经调查：购进2个“哪吒”玩具和5个“敖丙”玩具共需78元；购进5个“哪吒”玩具和10个“敖丙”玩具共需170元． (1)求每个“哪吒”玩具、“赦丙”玩具的进价； (2)该商场某柜台计划购进“哪吒”和“敖丙”两种玩具共50个，允许投入的资金不多于615元，设购进m（）个“哪吒”玩具．求该柜台共有哪几种购进方案？计算并求出最省钱的方案． 【答案】(1)每个“哪吒”玩具的进价是14元，每个“赦丙”玩具的进价是10元 (2)该柜台共有3种购进方案， 方案1：购进26个“哪吒”玩具，24个“敖丙”玩具； 方案2：购进27个“哪吒”玩具，23个“敖丙”玩具； 方案3：购进28个“哪吒”玩具，22个“敖丙”玩具，方案1最省钱 【详解】（1）解：假设每个“哪吒”玩具的进价是元，每个“赦丙”玩具的进价是元，根据题意得， ， 解得， ∴每个“哪吒”玩具的进价是14元，每个“赦丙”玩具的进价是10元； （2）解：设购进m个“哪吒”玩具，则够进个“哪吒”，根据题意得， ， 解得， 即， ∴可取：26，27，28， ∴该柜台共有3种购进方案， 方案1：购进26个“哪吒”玩具，24个“敖丙”玩具， 费用为：（元）； 方案2：购进27个“哪吒”玩具，23个“敖丙”玩具， 费用为：（元）； 方案3：购进28个“哪吒”玩具，22个“敖丙”玩具， 费用为：（元）； ∵， ∴方案1最省钱． 56．（2025七年级下·河北邯郸·期末）低碳生活已是当今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行，某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台元，乙型自行车进货价格为每台元．该公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元． (1)设公司销售台甲型自行车的利润为元，销售台乙型自行车的利润为元，求，的值． (2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共台，设购买甲台，且资金不超过元，自行车全部售出后所获利润不少于元，则该公司共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)销售台甲自行车的利润为元，销售台乙自行车的利润为元； (2)方案一、购买甲型自行车台，乙型自行车台， 方案二、购买甲型自行车台，乙型自行车台， 方案三、购买甲型自行车台，乙型自行车台． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用． （1）根据销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，列出二元一次方程组，解方程组即可求出两种自行车的利润； （2）根据进货资金不超过元，自行车全部售出后所获利润不少于元，列出关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围，根据取值范围确定购买方案． 【详解】（1）解：设公司销售台甲型自行车的利润为元，销售台乙型自行车的利润为元， 根据题意可得：， 解得：， 答：销售台甲自行车的利润为元，销售台乙自行车的利润为元； （2）解：根据题意可知， 解不等式组得：， 又为整数， 或或， 方案一、购买甲型自行车台，乙型自行车台， 方案二、购买甲型自行车台，乙型自行车台， 方案三、购买甲型自行车台，乙型自行车台． 57．（2025七年级下·河北邯郸·期末）为美化校园环境，学校计划分两次购买杜鹃花和四季海棠两种花卉．第一次购买60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购买100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，且每次购买的单价相同． (1)求学校购买的每盆杜鹃花、四季海棠的价格分别是多少元？ (2)若小晨同学帮班级购买这两种花卉（与学校购买的单价相同），恰好用去80元，且两种花卉都至少采购一盆．请问有哪些采购方案？ 【答案】(1)每盆杜鹃花的价格是15元，每盆四季海棠的价格是10元 (2)共有2种采购方案，方案1：购买2盆杜鹃花，5盆四季海棠；方案2：购买4盆杜鹃花，2盆四季海棠． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系、正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键． （1）设每盆杜鹃花的价格是x元，每盆四季海棠的价格是y元，根据“第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元”，可列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）设购买m盆杜鹃花，n盆四季海棠，利用总价、单价、数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数且大于等于1，即可得出各采购方案． 【详解】（1）解：设每盆杜鹃花的价格是x元，每盆四季海棠的价格是y元， 根据题意得：，解得：． 答：每盆杜鹃花的价格是15元，每盆四季海棠的价格是10元． （2）解：设购买m盆杜鹃花，n盆四季海棠， 根据题意得：， ∴． 又∵m，n均为正整数且大于等于1， ∴或， ∴共有2种采购方案， 方案1：购买2盆杜鹃花，5盆四季海棠； 方案2：购买4盆杜鹃花，2盆四季海棠． 58．（2025七年级下·河北邯郸·期末）【问题背景】 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．    素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（）若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【答案】(1)某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒销售单价为8元 (2)，，当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际问题，列代数式表示实际问题等知识点，理解题意并列出方程、代数式、不等式并求解是解题的关键． （1）设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）分别求出在线下商店购买和在线上淘宝店购买的所需费用，再根据线下购买方式更合算，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得： ， 解得， 答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元． （2）解：依题意得： 在线下商店购买，共需要（元）， 在线上淘宝店购买，共需要（元）， ∵线下购买方式更合算， ∴， 解得， ∵， ∴， 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 59．（2025七年级下·河北邯郸·期末）某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到北京和上海，收费标准及实际收费如表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克） 上海 a b 北京 实际收费 目的地 质量（千克） 费用（元） 上海 2 9 北京 3 22 (1)求a，b的值； (2)若小丽寄10千克的快递到上海，则小丽需要付多少钱的快递费？ 【答案】(1)a的值为7，b的值为 (2)小丽需要付25元的快递费 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据小丽分别寄快递到上海和北京的快递质量和费用，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）由题意列式计算即可． 【详解】（1）根据题意得：， 解得： 所以a的值为7，b的值为2， 答：a的值为7，b的值为 （2）根据题意，由（1）得，，． （元）， 即小丽需要付25元的快递费， 答：小丽需要付25元的快递费． 60．（2025七年级下·河北保定·期末）随着人工智能的不断普及，AI技术的迭代升级，正孕育一场新的产业变革．以DeepSeek为代表的国产技术正引领世界人工智能新方向，AI浪潮正影响着我们生活的方方面面．某科技公司为升级数据中心，分两次购进了甲、乙两种型号的服务器，具体采购数据如下表： 购买批次 甲型号（单位：台） 乙型号（单位：台） 总费用（单位：万元） 第一次 5 3 90 第二次 3 8 116 已知甲型号服务器每台每月数据处理收益为3.8万元，乙型号服务器每台每月数据处理收益为3.2万元，请根据所列数据解答下列问题： (1)甲、乙两种型号的服务器每台的采购价格各为多少万元？ (2)为满足新增数据处理需求，公司决定再投入总资金不超过220万元购买两种服务器共20台（两种服务器均需购买），且要求这批服务器每月数据处理总收益不低于68.5万元．请为该公司设计合理的采购方案． (3)如果公司决定投入220万元购进甲、乙两种型号的服务器（两种型号均需购买），请求出可以实现月收益最大化的购买方案及最大收益金额． 【答案】(1)甲型号的服务器每台的采购价格为12万元，乙型号的服务器每台的采购价格为10万元； (2)该公司有3种合理的采购方案：①购买甲型号的服务器8台、乙型号的服务器12台，②购买甲型号的服务器9台、乙型号的服务器11台，③购买甲型号的服务器10台、乙型号的服务器10台； (3)可以实现月收益最大化的购买方案为购买甲型号的服务器5台、乙型号的服务器16台，最大收益金额为万元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲型号的服务器每台的采购价格为x万元，乙型号的服务器每台的采购价格为y万元，根据具体采购数据表，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买甲型号的服务器m台，则购买乙型号的服务器台，根据投入总资金不超过220万元，且要求这批服务器每月数据处理总收益不低于68.5万元，结合（1）的结论，列出一元一次不等式组，解不等式组取正整数值即可； （3）设购买甲型号的服务器a台，购买乙型号的服务器b台，根据投入220万元购进甲、乙两种型号的服务器，结合（1）的结论，列出二元一次方程，求出正整数解即可，然后代入收益表达式，通过比较求出最大收益及对应的购买方案． 【详解】（1）解：设甲型号的服务器每台的采购价格为x万元，乙型号的服务器每台的采购价格为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：甲型号的服务器每台的采购价格为12万元，乙型号的服务器每台的采购价格为10万元； （2）解：设购买甲型号的服务器m台，则购买乙型号的服务器台， 由题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴或9或10， ∴有3种采购方案： ①购买甲型号的服务器8台、乙型号的服务器12台； ②购买甲型号的服务器9台、乙型号的服务器11台； ③购买甲型号的服务器10台、乙型号的服务器10台； 答：该公司有3种合理的采购方案：①购买甲型号的服务器8台、乙型号的服务器12台，②购买甲型号的服务器9台、乙型号的服务器11台，③购买甲型号的服务器10台、乙型号的服务器10台； （3）解：设购买甲型号的服务器a台，购买乙型号的服务器b台， 由题意得：， ∴， ∵a、b都为正整数， ∴或或， 当购买甲型号的服务器5台、乙型号的服务器16台时， 月收益为：（万元）， 当购买甲型号的服务器10台、乙型号的服务器10台时， 月收益为：（万元）， 当购买甲型号的服务器15台、乙型号的服务器4台时， 月收益为：（万元）， ∵， ∴可以实现月收益最大化的购买方案为购买甲型号的服务器5台、乙型号的服务器16台，最大收益金额为万元． 61．（2025七年级下·河北廊坊·期末）情境某饮品店新推出“时光相交线”和“心灵平行线”两款饮品（以下简称A，B两种款式），王老师去该店购买这两种款式的饮品作为给学生的奖品． 素材 若买3杯A款饮品、2杯B款饮品，共需54元；若买2杯A款饮品、3杯B款饮品，共需56元． 任务 （1）问A款饮品和B款饮品的销售单价各是多少元？ （2）若王老师共购买20杯饮品，总费用不超过230元，问最多买B种款饮品多少杯？ 探究 （3）为了满足市场的需求，饮品店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．嘉琪也在该店购买饮品，恰好用260元购买A，B两款饮品（每款及每款加料和不加料都要有），其中A款不加料的杯数是两款饮品总杯数的．直接写出购买B款加料的饮品的杯数． 【答案】（1）10元，12元；（2）15杯；（3）11杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和找出数量关系列出一元一次不等式． （1）设A款饮品的销售单价是x元，B款饮品的销售单价是y元，根据买3杯A款，2杯B款，共需54元；若买2杯A款，3杯B款，共需56元列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买B款饮品杯，则购买A款饮品杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花230元，列出一元一次不等式，求出最大值即可； （3）设嘉琪购买的饮品中，A款不加料的饮品买了杯，A款加料的饮品和B款不加料的饮品共买了杯，则B款加料的饮品买了杯，根据恰好用了260元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】解：（1）设A款饮品的销售单价是元，B款饮品的销售单价是元，由题意得 解得 答：A款饮品的销售单价是10元，B款饮品的销售单价是12元． （2）设购买B款饮品杯，则购买A款饮品杯， 由题意可得，解得． 答：最多买B种款饮品15杯． （3）设嘉琪购买的饮品中，A款不加料的饮品买了杯，A款加料的饮品和B款不加料的饮品共买了杯，则B款加料的饮品买了杯，即杯， 由题意得，整理得． 因为b，c，均为正整数， 所以， 所以， 即B款加料的饮品买了11杯． 试卷第2页，共54页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $