专题01 相交线与平行线（期末真题汇编，河北专用）七年级数学下学期

**基本信息** 河北各地2025七年级下期末试题汇编，聚焦相交线与平行线专题，涵盖6大考点，通过玉兔探月、杆秤文化、光的反射等真实情境，实现基础巩固到综合应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约20题|相交线性质、平行线判定与性质、图形平移|结合建筑云梯（31题）考查平行线性质，融入传统文化（32题杆秤）| |填空|约10题|角度计算、平移距离与面积|光的反射实验（36题）体现跨学科融合| |解答|约30题|性质与判定综合、实际应用、动态探究|三角尺旋转（45题）考查动态几何推理，四节镋拼图（40题）培养空间观念|

专题01 相交线与平行线 高频考点概览 考点01平行线的判定 考点02平行线的性质 考点03行线性质与判定的实际应用问题 考点04行线性质与判定的综合题 考点05形的平移 考点01 相交线的性质及应用 1．（2025七年级下·河北廊坊·期末）下列各图中，与是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，根据同位角的定义判断即可． 【详解】解：A、与是同位角，故此选项符合题意； B、与内错角，故此选项不符合题意； C、与对顶角，故此选项不符合题意； D、与同旁内角，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025七年级下·河北张家口·期末）如图，直线，相交于点，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的性质，对顶角的性质，角平分线的定义，由邻补角性质可得，由角平分线的定义可得，进而可得，再根据对顶角的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵直线，相交于点，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（2025七年级下·河北张家口·期末）如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何中角度的计算、角平分线的定义、垂直的定义等知识点，求出是解题的关键． 先根据垂直的性质以及平角的定义可得，再由角平分线的定义求出，最后根据邻补角的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选A． 4．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型，固定木条a，转动木条b，当减小时，下列说法正确的是（    ）    A．增大 B．增大 C．减小 D．与的和增大 【答案】A 【分析】根据对顶角和邻补角的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、和是邻补角，当减小时，增加，故选项正确，符合题意； B、和是对顶角，当减小时，也减小，故选项错误，不符合题意； C、和是邻补角，当减小时，增加，故选项错误，不符合题意； D、和都与是邻补角，当减小时，和都增加，与的和增大，故选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是对顶角和邻补角的定义，关键掌握对顶角相等，邻补角互补． 5．（2025七年级下·河北邯郸·期末）“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．某一时刻太阳光的照射角度如图所示，要使得此时接收的光能最多，那么太阳光板绕支点A逆时针旋转的最小角度为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直的定义得光线与太阳光板的夹角为时，光线垂直照射在太阳光板上，此时接收的光能最多，用减去即可求解． 【详解】解：一束光线与太阳光板的夹角为，要使光线垂直照射在太阳光板上，则太阳光板绕支点A最小旋转的角度为：． 故选：A 【点睛】本题主要考查了垂直的定义、旋转角的求法．理清垂直的定义是解答本题的关键． 6．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图，如果，那么的同位角的度数为____． 【答案】/80度 【分析】本题考查同位角，领补角的性质，由于，利用邻补角定义可求，而就是的同位角． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴的同位角等于． 故答案为：． 7．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图，三条直线，，相交于点O，且，．若平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查垂直定义、对顶角相等、角平分线的定义，先根据垂直定义得到，再根据对顶角相等和角平分线的定义得到，进而进行角度运算即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 因为，平分， 所以， 所以． 8．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图，直线，相交于点O，，． (1)直接写出图中的所有余角； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据垂直的定义得出，，再根据余角的定义求解即可； （2）根据平角的定义和已知条件可得，进而求解即可． 本题考查了余角的定义，对顶角相等，同角的余角相等．熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴图中的所有余角为：，，； （2）解：，， ， ， ，， ． 9．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图，点A在的一边上．按要求画图并填空： (1)按要求画图： ①过点A画直线，与边相交于点B； ②过点A画的垂线段，垂足为点C； ③过点C画直线，交直线于点D； (2)直线与的位置关系是______；若，则______， ______． 【答案】(1)见解析 (2)互相垂直，． 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握基本概念，属于中考常考题型． （1）①根据垂线的定义画出图形即可；②根据垂线段的定义画出图形即可；③根据平行线的定义画出图形即可； （2）利用垂直的定义及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：①如图，直线即为所求； ②如图，线段即为所求； ③如图，直线即为所求； （2）解：， ， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：互相垂直，． 10．（2025七年级下·河北邯郸·期末）（1）如图1，点P是的边上一点．按照要求回答下列问题： ①过点P分别画出射线的垂线和射线的垂线，F是垂足； ②线段 （填“”“”“”）的理由是 ． （2）如图2，点E，F分别在，上，点D，G在上，，的延长线交于点H．若，． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵， ∴（ ）（填推理的依据）． ∴（ ）（填推理的依据）． ∵， ∴， ∴ ． ∴（ ）（填推理的依据）．    【答案】（1）①见解析；②；垂线段最短；（2）同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了作垂线，垂线段最短，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理． （1）①根据题意画图即可； ②根据垂线段最短进行解答即可； （2）根据平行线的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：①如图，、即为所求作的垂线；      ②∵垂线段最短， ∴线段； （2）证明：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴， ∴（两直线平行，同位角相等）． 考点02 平行线的判定 11．（2025七年级下·河北保定·期末）如图，点分别在上，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判断即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴，故此选项符合题意； C、∵与为邻补角， ∴， 不能判定，故此选项不符合题意； D、由，不能判定，故此选项不符合题意； 故选：B． 12．（2025七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在同一平面内，过点作直线的平行线，能画（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行公理，根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”即可得出答案． 【详解】解：根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”得：在同一平面内，过点作直线的平行线，只能画一条． 故选：B． 13．（2025七年级下·河北邯郸·期末）下列命题： ①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等 ④所有实数都可以用数轴上的点表示 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，解答的关键是熟知相关的几何知识．根据平行线的判定与性质、垂线性质，实数与数轴逐个判断即可作出选择． 【详解】解：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题； ③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题错误，是假命题； ④所有实数都可以用数轴上的点表示，正确，是真命题； 综上分析，是真命题的有3个， 故选：C． 14．（2025七年级下·河北张家口·期末）已知是的同旁内角，，则（） A． B． C．或 D．的大小不确定 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角互补的前提条件是两直线平行．两直线平行时同旁内角互补，不平行时无法确定同旁内角的大小关系． 【详解】解：同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同旁内角才互补． 故选：D． 15．（2025七年级下·河北张家口·期末）将文具套尺中的量角器和三角板按照如图方式摆放，其中，三角板的直角顶点C与量角器的中心重合，为量角器的直径．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解： ， 故A不符合题意； ， ， ， 故B不符合题意； ， ， 故C不符合题意； 由不能得出， 故D符合题意； 故选：D． 16．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图，分别平分与，且．证明．下面是不完整的推理过程， 证明：分别平分与（已知）， ___________（角平分线的定义）， （已知）， _________（等量代换）， （已知）， _________， ． 下列说法错误的是（    ） A．☆表示 B．表示 C．表示 D．表示内错角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定，角平分线的定义，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与依据即可得到答案. 【详解】解：分别平分与（已知）， ，A不符合题意； （已知）， ，B不符合题意； （已知）， ，C符合题意； （内错角相等，两直线平行），D不符合题意； 故选：C 17．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)求证：； (2)若命题“已知________，则”是真命题，请填空，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记同位角相等两直线平行、两直线平行同位角相等、两直线平行同旁内角互补是解决问题的关键． （1）由对顶角定义得到，结合题意，等量代换即可得到，最后由同位角相等两直线平行即可得证； （2）由，得到同位角，由，得到同旁内角互补，即可得到答案． 【详解】（1）证明：和是对顶角， ， ， ， ； （2）解：已知，则， 理由如下： ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（2025七年级下·河北石家庄·期末）如图，，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． （1）根据“同旁内角互补，两直线平行”求解即可； （2）根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：平行，理由如下： ，， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 考点03 平行线的性质 19．（2025七年级下·河北张家口·期末）如图，，点A在直线a上，点B，C在直线b上，的平分线交直线a于点P，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，同旁内角互补得到，根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 20．（2025七年级下·河北廊坊·期末）将直角三角板按如图方式放置在直尺上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，相交线与平行线，熟练掌握“铅笔模型”是解题的关键．答图见解析，过点作，然后利用平行线的性质找到、、、四个角以及和的关系，即可解答． 【详解】如图，过点作， ， ， ， 如图， 故选：A． 21．（2025七年级下·河北廊坊·期末）如图，某人从A地出发，沿正东方向前进至B处后右转，再直行至C处，此时他若想还是沿正东行走，则他应（　　） A．先右转，再直行 B．先右转，再直行 C．先左转，再直行 D．先左转，再直行 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：两直线平行同位角相等．延长至,延长至,由两直线平行同位角相等，即可求解． 【详解】解：如图，延长至,延长至, 由题意知：，， ， 他应该先左转，再直行． 故选：C． 22．（2025七年级下·河北邯郸·期末）下面是投影屏幕上显示的一道解答题，横线上的符号表示的内容不正确的是（    ） 如图所示，已知，且．求证． 证明：∵， ☆ （同旁内角互补，两直线平行）， ∴（   ◆   ）． 又∵，（等量代换）， ∴（      ），∴（两直线平行，      ）． A．☆表示 B．◆表示两直线平行，同位角相等 C．■表示内错角相等，两直线平行 D．表示同位角相等 【答案】D 【分析】根据平行线的判定和性质完善证明过程，即可判断各选项的对错． 【详解】解：证明：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 故D选项表示的内容不正确， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质等，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题关键． 23．（2025七年级下·河北廊坊·期末）如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则_______°． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质．由纸条折叠前后的角度对应相等是解决本题的关键． 先利用平行线的性质，可求出和的度数，再依据折叠的性质得出相关角的度数关系，通过这些关系可求出、的度数，最后求出的度数． 【详解】解：因为在长方形纸带中，， ∴，， 由于纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置， 所以，同时， 因为，，， 所以， 又因为纸带沿折叠成图b，所以， 在中，， 则， 所以， 因为与、组成一个平角， 所以． 故答案为：． 24．（2025七年级下·河北保定·期末）如图，，，，求的度数．请完成填空． 解：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴______（______）． ∵（已知）， ∴______（等量代换）， ∴______（______）， ∴______（______）． ∵（已知）， ∴______°． 【答案】；两直线平行，内错角相等；； ；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质填空即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；； ；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；． 25．（2025七年级下·河北唐山·期末）在作业纸上，，点在之间，要得知两相交直线所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如表1和表2） 方案I ①分别测量和； ②计算出的大小即可． 方案II ①延伸交于点； ②测量的大小即可． 表1 表2 请根据上述信息解答问题： (1)对于方案I、II，说法正确的是___________； A．I可行，II不可行    B．I不可行，II可行 C．I、II都可行    D．I、II都不可行 (2)请选择一种你认为正确的方案说明理由． 【答案】(1)C； (2)方案I、II都正确；理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质，添加适当的辅助线，根据平行线的性质判断即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）对方案I延伸，交于点，过点作，即可求证方案I可行，对方案，延伸交于点，然后即可求证方案可行，然后即可求解； （2）对方案I延伸，交于点，过点作，即可求证方案I可行，对方案，延伸交于点，然后即可求解； 【详解】（1）解：方案I，如图1：     ， 延伸，交于点， 过点作，则， ， ， ， 方案I正确； 方案II，如图2： ， 延伸交于点， ，则， 测量的大小即可， 方案II正确， 综上所述，两种方式都可行， 故选：C； （2）解：方案I，如图1：     ， 延伸，交于点， 过点作，则， ， ， ， 方案I正确； 方案II，如图2： ， 延伸交于点， ，则， 测量的大小即可， 方案II正确； 26．（2025七年级下·河北邯郸·期末）已知题目：“直线，直线，垂足为A，l交a于点B，点C在直线b上，且在直线l的左侧．在直线a上取一点D，连接，过点D作，交直线l于点E．若，求的度数．”嘉嘉画出了如图所示的图形，并求出，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全”，下列判断正确的是（    ）    A．淇淇说得对，且的另一个值是 B．淇淇说的不对，就得 C．嘉嘉求的结果不对，应得 D．两人都不对，应有3个不同值 【答案】A 【分析】该题主要考查了平行线的性质，解题的关键是画出对应的图形． 根据题意分别画出对应的两种图形根据平行线的性质解答即可； 【详解】根据嘉嘉画出的图形，   ， ∴， ∵， ， ， 当点D在如图所示位置时，   ， ， ∵， ∴， ． 故选：A． 27．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线，被直线BC所截，连接，，平分，且与线段相交于点E，F是线段上一点，连接．若．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．（2025七年级下·河北张家口·期末）如图，点、点在上，点、点在上，点在上，已知，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，直接利用平行线的判定方法得出，再利用平行线的性质结合已知推出，根据平行线的判定方法得出，最后由平行线的性质可得结论． 【详解】证明：∵，， ． ， ， ， ， ， ． 29．（2025七年级下·河北邯郸·期末）已知：如图，点F在上，交于G，交于E，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，依据，即可得到，再根据，即可得出，进而判定，依据，即可判定，进而得到． 【详解】证明：， ， 又， ， ， ， ， ． 30．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，已知，E为射线上一点，连接，平分． 【问题探究】 （1）如图1，当点在线段上时，求证：． 【问题解决】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接，若，，求的度数． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，用了方程的思想，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． （1）根据平行线的性质求出，推出，根据平行线的判定得出，求出∠DAE=∠BEA即可； （2）根据，设，，，根据平行线的性质得出方程，求出x即可． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∵， 即， ∴，， ∵， ∴． 考点04 平行线性质与判定的实际应用问题 31．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图是某建筑工程施工云梯的工作示意图，其中．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，合理做出辅助线是解题的关键． 过点作，过点作，利用平行线的性质进行角的等量代换求解即可． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 32．（2025七年级下·河北沧州·期末）杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等求出的度数，然后根据邻补角的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 33．（2025七年级下·河北秦皇岛·期末）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 34．（2025七年级下·河北廊坊·期末）如图，在“光的反射”科学活动课中，嘉琪同学将支架平面镜固定放置在水平桌面上，镜面与桌面的角度可调节，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜上，，则当反射光束与天花板的夹角时（由平面镜的反射定律可知），的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；如图，过点作，则有，由题意可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图，过点作． ， ， ， ． ， ， ． 故选D． 35．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图，要修建一条公路，从村沿北偏东75°方向到村，从村沿北偏西25°方向到村．若要保持公路与的方向一致，则的度数为______．    【答案】80° 【分析】根据题意得出∠FBD的度数以及∠FBC的度数，进而得出答案． 【详解】由题意可得：AN∥FB，EC∥BD， 故∠NAB=∠FBD=75°， ∵∠CBF=25°， ∴∠CBD=100°， 则∠ECB=180°-100°=80°． 故答案为：80°．    【点睛】此题主要考查了方向角，正确得出平行线是解题关键． 36．（2025七年级下·河北沧州·期末）实践小组利用激光笔和平面镜演示平行光的反射实验．如图，一组平行光线a，b，c经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，结合图形，根据平行线的性质及等式的性质求解即可； 【详解】如图： 依题意： ， 故答案为： 37．（2025七年级下·河北张家口·期末）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好的锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为________________． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，根据平行线的性质得出，，再由角的和差计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 38．（2025七年级下·河北廊坊·期末）在“绿色环保、低碳生活”的理念下，健康骑行越来越受到大家的喜欢，下图为某款自行车及其示意图，通过测量得到，，，，请你判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．先判定，求得，推出，即可得到． 【详解】解：． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 39．（2025七年级下·河北保定·期末）平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束光线射向一个水平镜面后被反射，此时． (1)如图2，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． (2)露露根据甜甜的实验，想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图3中的方式制作一个装置．若，求证：． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）根据，得出，从而得出，最后根据平行线的判定方法，求出结果即可； （2）根据，求出，根据平行线的判定得出答案即可． 【详解】（1）解：；理由如下： ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ∴． 40．（2025七年级下·河北廊坊·期末）综合与实践 在中华武术中，有双节棍，三节棍，四节镋（如图①），其中四节镋又称镋镰，是真正的软兵器之一．小李家是武术世家，他用四节镋能拼出许多几何图形，如图②，图③是拼出的两个示意图．已知． (1)如图②，求证：； (2)如图③，判断，和之间的数量关系，并说明理由； (3)在图③中，已知，比的3倍小，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点C作，则，由平行线的性质可得，据此可证明结论； （2）过点C作，则，由平行线的性质可得，再由即可推出结论 ； （3）根据（2）的结论先得到，再由，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴； （3）解：由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∵比的3倍小， ∴， ∴， ∴． 41．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图（）把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上，斜边与交于点． (1)如图（），________ (2)如图（），现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时， 请直接写出________（结果用含的代数式表示）； 若比的一半多，求的值． (3)如图（），现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线、均停止转动，设旋转时间为．当时，求出此时的值． 【答案】(1)； (2)；； (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质以及含角的直角三角形的角度计算以及平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （）利用平行线的性质，含角的直角三角形的角度进行计算即可； （）利用平行线的性质，含的直角三角形的角度计算进行计算即可； （）根据等量关系列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵是含的直角三角板，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ∵比的一半多， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∵当射线旋转至与重合时，则射线，均停止转动， ∴， 解得, ∵， ∴符合题意， 故此时的值为． 42．（2025七年级下·河北邯郸·期末）筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动． (1)图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，交于点O，，垂足为点O，．则的度数为___________． (2)图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，为上一点，射线与交于点I，射线交于点E．若，则与所在的直线存在的位置关系是___________． (3)图3为“丁字型”抓法及示意图，，射线交于点M，交于点与交于点G，射线交于点H． ①若，，求的度数． ②若，当，垂足为点G时，请直接写出x，y，z的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】本题考查平行线的性质，垂线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据邻补角的性质求出，再根据垂直的定义即可解答； （2）根据平行线的性质得到，，据此证明即可； （3）①根据平行线的性质和对顶角相等得到，再根据三角形内角和定理可得答案； ②根据平行线的性质和对顶角相等得到，则可求出，再由垂线的定义得到，平行线的性质得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ②． ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 考点05 平行线性质与判定的综合题 43．（2025七年级下·河北邯郸·期末）已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：，，据此可得，，再根据得，根据得，据此可求出，进而可求出的度数． 【详解】解：由翻折的性质得：，， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换和性质，平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，利用图形翻折性质及平行线的性质准确的找出相关的角的关系． 44．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图，在三角形中，，D是射线上的动点，连接，过点D作⊥射线于点E，点F在边上（F不与点B，C重合），作交射线于点M，若，下列关于甲、乙的说法判断正确的是（　　） 甲：当点D在线段上时，； 乙：当点D在射线上时，的度数为或． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，解题的关键在于分类讨论． 对于甲，先根据三角形内角和定理求出，再由平行得到，即可判断；对于乙：分两种情况讨论，利用平行线的判定与性质求解即可判断． 【详解】解：当点D在线段上时， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故甲说法错误； 当点D在线段上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 当点在线段延长线上时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 综上，当点D在射线上时，的度数为或，故乙说法错误， 故选：D． 45．（2025七年级下·河北廊坊·期末）综合探究 把一块含角的直角三角尺（，）放在两条平行线，之间． (1)如图①，若将三角尺的角的顶点G放在上，且，求的度数； (2)如图②，若将三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在，上，请你探索并说明与之间的数量关系； (3)如图③，若将三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E放在上，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)．理由见解析． 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再由平角的定义即可得出结论； （2）过点作，根据，得出，再由平行线的性质即可得出结论； （3）根据得出，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴． （2）解：如图，过点作， ∵， ， ， ， ， ． （3）解：∵， ， 即， 整理可得． 46．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图1，当一束光线照射到平面镜上反射时，始终有．如图2，是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为，则． 【猜想】（1）如图2，若光线经镜面反射后的反射光线为，试判断与的位置关系，并说明理由； 【探究】将两块平面镜的一个端点重合于点N，一束光线照射在镜面上，经镜面反射后得到光线． （2）如图3，若，，求及的度数； （3）光线与光线交于点D．设两面镜子的夹角，设； 如图4，若，求β的度数．王明在点C右侧作，请帮助王明完成解答； 直接写出α与β之间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3），过程见解析； 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，平角的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行的性质得出，然后再根据光的反射得出，得出，即可得出结论； （2）根据反射得出，根据平行线的性质即可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数； （3）①根据平行线的性质和反射，求出相等的角，然后利用角的和差进行求解即可； ②根据光的反射，求出相等角，然后利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 根据题意得，, ∴， ∴， ∴， ∴； （2）根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①如图，过点作， 根据题意得，， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②根据题意得，， ， ∴， 即， ∴． 47．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图1，过点P作， ， ； （3）解：①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②．理由如下： 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得， ， ． 48．（2025七年级下·河北秦皇岛·期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图①，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图②，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线上，若平分，则是否平分？请说明理由． (3)小明将三角板与三角板按如图③所示方式摆放，点B与点F重合，求的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线性质、三角形内角和定理： （1）先根据角度求出角度和，然后根据两直线平行，内错角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得； （3）先作辅助线，根据三角尺得到角度，根据两直线平行，同旁内角互补可得到，再根据三角形内角和可求得结果； 准确找到各个角度是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：； （2）解：平分，理由如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （3）解：延长交于点G，如图所示： ， 由题可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 49．（2025七年级下·河北石家庄·期末）已知分别在上． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），若F在之间，平分，若，求与的数量关系； (3)如图（3），射线从开始，绕M点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕N点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间t秒的值． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或10或14 【分析】（1）过E作，由平行线的性质可得出，，可得，即． （2）设，则，设，则，由(1)可知，，可列出，将和，代入化简可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度差为，结合题意将角度转化为角度差，结合题意分别列出对应的角度和差关系求解即可； 【详解】（1）解：如图，过E作， ∴，① 又， ∴， ∴．② ①②得，， ∴． （2）解：如图， 设，则，设，则， 由(1)可知 同理可得 又， ∴， 则， 由，得， 由，得, 将，代入，得． （3）解：将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，，则， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，解得， 根据题意得，， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，即，解得， 根据题意得，， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，即，解得， 故满足题意得或10或14． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分的性质、角度和差倍积的关系以及运动的思想，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． 50．（2025七年级下·河北保定·期末）如图1，，射线的端点在射线上（不与点重合），． (1)若，求的度数； (2)把“”改为“”，保持不变，然后将射线沿射线平移到的位置，如图2所示，探究和的数量关系； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线，与的平分线交于点（如图3），若，请用含的式子表示（直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”，得出，根据周角为，结合已知，计算出的度数即可； （2）作，可得，根据“两直线平行，内错角相等”，平角为，推出，根据“两直线平行，同旁内角互补”，推出，由，代入整理式子，即可得出和的数量关系； （3）过点作交于点，则， 根据，点作的垂线，与的平分线交于点，，由（2）得，推出，，，，，由，代入整理式子，即可用含的式子表示． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ； （2）解：如图，作，可得， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作交于点，则， ， 又∵，点作的垂线，与的平分线交于点，，由（2）得， ∴，， ，， ∴， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查了平行线的性质、周角与补角、角的和差计算，熟练掌握平行线的性质、正确分析角的和差关系是解题的关键． 考点06 图形的平移 51．（2025七年级下·河北张家口·期末）下列选项中的图案能通过如图所示的图案平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质，平移后得到的图形与原图形大小和形状完全相同判断． 【详解】因为平移后的图形与原图形形状应完全相同， 所以平移后得到的图形应为B， 故选 B． 【点睛】本题考查平移，理解平移的定义和性质是解题的关键． 52．（2025七年级下·河北廊坊·期末）下列现象是平移的是（　　） A．电梯从底楼升到顶楼 B．卫星绕地球运动 C．纸张沿着它的中线对折 D．用投影仪把文字变换到屏幕上 【答案】A 【分析】本题考查了平移现象，熟练根据平移的定义联系实际生活是解题的关键．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，根据平移的定义分析即可． 【详解】解：A. 电梯从底楼升到顶楼，是平移，故该选项符合题意； B. 卫星绕地球运动，不是平移，故该选项不符合题意； C. 纸张沿着它的中线对折，不是平移，故该选项不符合题意；     D. 用投影仪把文字变换到屏幕上，不是平移，故该选项不符合题意； 故选：A． 53．（2025七年级下·河北邯郸·期末）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．图是哪吒头像，在下列四个图中能由图经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形的平移，根据平移前后图形的形状，大小和方向都不发生改变，只是位置发生改变，进行判断即可． 【详解】解：由题意，平移能得到的图形为： 故选A． 54．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图，将三角形沿着射线向右平移得到三角形，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据图形平移的方向和距离得出线段的长度是解题的关键． 由平移的性质可得，由可得，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵将三角形沿着射线向右平移得到三角形， ，， ，， ， ， ， ． 故选：C ． 55．（2025七年级下·河北廊坊·期末）如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（　　） A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm 【答案】D 【分析】由平移不改变图形的形状和大小，得对应线段平行且相等，平移的距离等于对应点所连线段的长，再将四边形的边进行转化即可． 【详解】由平移可知：AD=BE=3，DF=AC，DE=AB，EF=BC， 所以四边形ABFD的周长为： AB+BF+FD+DA =AB+BE+EF+DF+AD =AB+BC+CA+2AD =20+2×3 =26. 故选：D. 【点睛】本题考查了平移的性质，理解平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，平移的距离即是对应点的连线段的长度是解题的关键，将四边形的周长作相应的转化即可求解． 56．（2025七年级下·河北石家庄·期末）如图，这是一个9级台阶的侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，可以将台阶的横面、竖面平移，横向和为4米，竖向和为3米，再根据有理数的加法法则列式计算即可得出答案． 【详解】解：可以将台阶的横面、竖面平移，横向和为4米，竖向和为3米， 故在台阶上铺地毯至少需， 故选：D． 57．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图，三角形的边BC长为，将三角形向上平移得到三角形，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质得出阴影部分的面积等于长方形的面积解答即可． 【详解】解：由平移可知，三角形的面积=三角形的面积， ∴阴影部分的面积等于长方形的面积， 故选B． 【点睛】本题考查了长方形的面积公式和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 58．（2025七年级下·河北张家口·期末）已知点，将线段平移至，点A，B的对应点分别为点C，D，且点，，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质即可求解． 【详解】解：∵将线段平移至，且，，， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 59．（2025七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，，，，将沿着方向平移，得到，连接则阴影部分的周长为______．    【答案】 【分析】根据平移的性质得到，，，根据周长公式计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知：， ， 阴影部分周长， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平移的性质，掌握平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等是解答本题的关键． 60．（2025七年级下·河北张家口·期末）如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移可得，，进而可得根据阴影部分周长等于的周长，即可求解； （2）根据平移可得，，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解； （3）根据，设，则，根据平行线的性质以及平移的性质得出，进而列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， ∵的周长为， ∴ ∴阴影部分的周长为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 依题意，， ∴， （3）解： ∵，设，则 如图，连接， ∵， ∴ ∴ 解得： 即 故答案为：． 试卷第2页，共58页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线 高频考点概览 考点01平行线的判定 考点02平行线的性质 考点03行线性质与判定的实际应用问题 考点04行线性质与判定的综合题 考点05形的平移 考点01 相交线的性质及应用 1．（2025七年级下·河北廊坊·期末）下列各图中，与是同位角的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·河北张家口·期末）如图，直线，相交于点，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·河北张家口·期末）如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型，固定木条a，转动木条b，当减小时，下列说法正确的是（    ）    A．增大 B．增大 C．减小 D．与的和增大 5．（2025七年级下·河北邯郸·期末）“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．某一时刻太阳光的照射角度如图所示，要使得此时接收的光能最多，那么太阳光板绕支点A逆时针旋转的最小角度为(   ) A． B． C． D． 6．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图，如果，那么的同位角的度数为____． 7．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图，三条直线，，相交于点O，且，．若平分，求的度数． 8．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图，直线，相交于点O，，． (1)直接写出图中的所有余角； (2)若，求的度数． 9．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图，点A在的一边上．按要求画图并填空： (1)按要求画图： ①过点A画直线，与边相交于点B； ②过点A画的垂线段，垂足为点C； ③过点C画直线，交直线于点D； (2)直线与的位置关系是______；若，则______， ______． 10．（2025七年级下·河北邯郸·期末）（1）如图1，点P是的边上一点．按照要求回答下列问题： ①过点P分别画出射线的垂线和射线的垂线，F是垂足； ②线段 （填“”“”“”）的理由是 ． （2）如图2，点E，F分别在，上，点D，G在上，，的延长线交于点H．若，． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵， ∴（ ）（填推理的依据）． ∴（ ）（填推理的依据）． ∵， ∴， ∴ ． ∴（ ）（填推理的依据）．    考点02 平行线的判定 11．（2025七年级下·河北保定·期末）如图，点分别在上，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在同一平面内，过点作直线的平行线，能画（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 13．（2025七年级下·河北邯郸·期末）下列命题： ①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等 ④所有实数都可以用数轴上的点表示 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2025七年级下·河北张家口·期末）已知是的同旁内角，，则（） A． B． C．或 D．的大小不确定 15．（2025七年级下·河北张家口·期末）将文具套尺中的量角器和三角板按照如图方式摆放，其中，三角板的直角顶点C与量角器的中心重合，为量角器的直径．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 16．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图，分别平分与，且．证明．下面是不完整的推理过程， 证明：分别平分与（已知）， ___________（角平分线的定义）， （已知）， _________（等量代换）， （已知）， _________， ． 下列说法错误的是（    ） A．☆表示 B．表示 C．表示 D．表示内错角相等，两直线平行 17．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)求证：； (2)若命题“已知________，则”是真命题，请填空，并说明理由． 18．（2025七年级下·河北石家庄·期末）如图，，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)探索与的数量关系，并说明理由． 考点03 平行线的性质 19．（2025七年级下·河北张家口·期末）如图，，点A在直线a上，点B，C在直线b上，的平分线交直线a于点P，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．（2025七年级下·河北廊坊·期末）将直角三角板按如图方式放置在直尺上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 21．（2025七年级下·河北廊坊·期末）如图，某人从A地出发，沿正东方向前进至B处后右转，再直行至C处，此时他若想还是沿正东行走，则他应（　　） A．先右转，再直行 B．先右转，再直行 C．先左转，再直行 D．先左转，再直行 22．（2025七年级下·河北邯郸·期末）下面是投影屏幕上显示的一道解答题，横线上的符号表示的内容不正确的是（    ） 如图所示，已知，且．求证． 证明：∵， ☆ （同旁内角互补，两直线平行）， ∴（   ◆   ）． 又∵，（等量代换）， ∴（      ），∴（两直线平行，      ）． A．☆表示 B．◆表示两直线平行，同位角相等 C．■表示内错角相等，两直线平行 D．表示同位角相等 23．（2025七年级下·河北廊坊·期末）如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则_______°． 24．（2025七年级下·河北保定·期末）如图，，，，求的度数．请完成填空． 解：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴______（______）． ∵（已知）， ∴______（等量代换）， ∴______（______）， ∴______（______）． ∵（已知）， ∴______°． 25．（2025七年级下·河北唐山·期末）在作业纸上，，点在之间，要得知两相交直线所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如表1和表2） 方案I ①分别测量和； ②计算出的大小即可． 方案II ①延伸交于点； ②测量的大小即可． 表1 表2 请根据上述信息解答问题： (1)对于方案I、II，说法正确的是___________； A．I可行，II不可行    B．I不可行，II可行 C．I、II都可行    D．I、II都不可行 (2)请选择一种你认为正确的方案说明理由． 26．（2025七年级下·河北邯郸·期末）已知题目：“直线，直线，垂足为A，l交a于点B，点C在直线b上，且在直线l的左侧．在直线a上取一点D，连接，过点D作，交直线l于点E．若，求的度数．”嘉嘉画出了如图所示的图形，并求出，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全”，下列判断正确的是（    ）    A．淇淇说得对，且的另一个值是 B．淇淇说的不对，就得 C．嘉嘉求的结果不对，应得 D．两人都不对，应有3个不同值 27．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线，被直线BC所截，连接，，平分，且与线段相交于点E，F是线段上一点，连接．若．求证：． 28．（2025七年级下·河北张家口·期末）如图，点、点在上，点、点在上，点在上，已知，，，求证：． 29．（2025七年级下·河北邯郸·期末）已知：如图，点F在上，交于G，交于E，，． 求证：． 30．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，已知，E为射线上一点，连接，平分． 【问题探究】 （1）如图1，当点在线段上时，求证：． 【问题解决】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接，若，，求的度数． 考点04 平行线性质与判定的实际应用问题 31．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图是某建筑工程施工云梯的工作示意图，其中．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．（2025七年级下·河北沧州·期末）杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 33．（2025七年级下·河北秦皇岛·期末）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 34．（2025七年级下·河北廊坊·期末）如图，在“光的反射”科学活动课中，嘉琪同学将支架平面镜固定放置在水平桌面上，镜面与桌面的角度可调节，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜上，，则当反射光束与天花板的夹角时（由平面镜的反射定律可知），的度数为（   ） A． B． C． D． 35．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图，要修建一条公路，从村沿北偏东75°方向到村，从村沿北偏西25°方向到村．若要保持公路与的方向一致，则的度数为______．    36．（2025七年级下·河北沧州·期末）实践小组利用激光笔和平面镜演示平行光的反射实验．如图，一组平行光线a，b，c经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线．若，则的度数为__________． 37．（2025七年级下·河北张家口·期末）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好的锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为________________． 38．（2025七年级下·河北廊坊·期末）在“绿色环保、低碳生活”的理念下，健康骑行越来越受到大家的喜欢，下图为某款自行车及其示意图，通过测量得到，，，，请你判断与的位置关系，并说明理由． 39．（2025七年级下·河北保定·期末）平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束光线射向一个水平镜面后被反射，此时． (1)如图2，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． (2)露露根据甜甜的实验，想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图3中的方式制作一个装置．若，求证：． 40．（2025七年级下·河北廊坊·期末）综合与实践 在中华武术中，有双节棍，三节棍，四节镋（如图①），其中四节镋又称镋镰，是真正的软兵器之一．小李家是武术世家，他用四节镋能拼出许多几何图形，如图②，图③是拼出的两个示意图．已知． (1)如图②，求证：； (2)如图③，判断，和之间的数量关系，并说明理由； (3)在图③中，已知，比的3倍小，直接写出的度数． 41．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图（）把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上，斜边与交于点． (1)如图（），________ (2)如图（），现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时， 请直接写出________（结果用含的代数式表示）； 若比的一半多，求的值． (3)如图（），现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线、均停止转动，设旋转时间为．当时，求出此时的值． 42．（2025七年级下·河北邯郸·期末）筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动． (1)图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，交于点O，，垂足为点O，．则的度数为___________． (2)图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，为上一点，射线与交于点I，射线交于点E．若，则与所在的直线存在的位置关系是___________． (3)图3为“丁字型”抓法及示意图，，射线交于点M，交于点与交于点G，射线交于点H． ①若，，求的度数． ②若，当，垂足为点G时，请直接写出x，y，z的数量关系． 考点05 平行线性质与判定的综合题 43．（2025七年级下·河北邯郸·期末）已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 44．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图，在三角形中，，D是射线上的动点，连接，过点D作⊥射线于点E，点F在边上（F不与点B，C重合），作交射线于点M，若，下列关于甲、乙的说法判断正确的是（　　） 甲：当点D在线段上时，； 乙：当点D在射线上时，的度数为或． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 45．（2025七年级下·河北廊坊·期末）综合探究 把一块含角的直角三角尺（，）放在两条平行线，之间． (1)如图①，若将三角尺的角的顶点G放在上，且，求的度数； (2)如图②，若将三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在，上，请你探索并说明与之间的数量关系； (3)如图③，若将三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E放在上，请直接写出与之间的数量关系． 46．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图1，当一束光线照射到平面镜上反射时，始终有．如图2，是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为，则． 【猜想】（1）如图2，若光线经镜面反射后的反射光线为，试判断与的位置关系，并说明理由； 【探究】将两块平面镜的一个端点重合于点N，一束光线照射在镜面上，经镜面反射后得到光线． （2）如图3，若，，求及的度数； （3）光线与光线交于点D．设两面镜子的夹角，设； 如图4，若，求β的度数．王明在点C右侧作，请帮助王明完成解答； 直接写出α与β之间的数量关系． 47．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 48．（2025七年级下·河北秦皇岛·期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图①，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图②，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线上，若平分，则是否平分？请说明理由． (3)小明将三角板与三角板按如图③所示方式摆放，点B与点F重合，求的度数． 49．（2025七年级下·河北石家庄·期末）已知分别在上． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），若F在之间，平分，若，求与的数量关系； (3)如图（3），射线从开始，绕M点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕N点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间t秒的值． 50．（2025七年级下·河北保定·期末）如图1，，射线的端点在射线上（不与点重合），． (1)若，求的度数； (2)把“”改为“”，保持不变，然后将射线沿射线平移到的位置，如图2所示，探究和的数量关系； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线，与的平分线交于点（如图3），若，请用含的式子表示（直接写出答案即可）． 考点06 图形的平移 51．（2025七年级下·河北张家口·期末）下列选项中的图案能通过如图所示的图案平移得到的是（    ） A． B．C． D． 52．（2025七年级下·河北廊坊·期末）下列现象是平移的是（　　） A．电梯从底楼升到顶楼 B．卫星绕地球运动 C．纸张沿着它的中线对折 D．用投影仪把文字变换到屏幕上 53．（2025七年级下·河北邯郸·期末）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．图是哪吒头像，在下列四个图中能由图经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 54．（2025七年级下·河北沧州·期末）如图，将三角形沿着射线向右平移得到三角形，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 55．（2025七年级下·河北廊坊·期末）如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（　　） A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm 56．（2025七年级下·河北石家庄·期末）如图，这是一个9级台阶的侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（    ） A． B． C． D． 57．（2025七年级下·河北邯郸·期末）如图，三角形的边BC长为，将三角形向上平移得到三角形，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 58．（2025七年级下·河北张家口·期末）已知点，将线段平移至，点A，B的对应点分别为点C，D，且点，，则的值为___________． 59．（2025七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，，，，将沿着方向平移，得到，连接则阴影部分的周长为______．    60．（2025七年级下·河北张家口·期末）如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 试卷第2页，共58页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $