2026年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷二

**基本信息** 立足学业水平合格性考试要求，以筒车、地摊经济等文化与现实情境为载体，覆盖函数、几何、概率等核心知识，考查数学眼光观察、思维分析及语言表达现实问题的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|集合、函数定义域、三角函数周期等基础概念|注重对数学抽象与几何直观的基础考查| |填空题|4/16|球表面积、向量夹角、奇函数性质|强化符号意识与运算能力| |解答题|3/30|概率应用（猜成语）、立体几何证明（四棱锥）、三角函数模型（地摊区域面积）|以筒车运动函数建模、地摊经济面积优化等真实情境，考查模型意识与应用能力，体现数学思维解决实际问题|

2026年湖南省普通高中学业水平合格性考试模拟卷二 数学 本试卷共100分　考试时间60分钟。 一、选择题：本题共18小题，每小题3分，共54分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数的最小正周期为，则为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．与为相等函数的是（    ） A． B． C． D． 6．化简的值为（    ） A． B． C． D． 7．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 8．已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 9．函数y＝2sin(3x＋)，x∈R的最小正周期是(　　) A． B． C． D．π 10．已知，则（    ） A． B． C．3 D．7 11．函数的图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 12．已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 13．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，．则（    ） A．1 B． C． D． 14．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 15．在中，已知，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 16．甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的10次成绩分别为8，6，7，7，8，10，10，9，7，8，乙的10次成绩的平均数为8，方差为0．4，则下列说法不正确的是（    ） A．甲的10次成绩的极差为4 B．甲的10次成绩的分位数为8 C．甲和乙的20次成绩的平均数为8 D．乙比甲的成绩更稳定 17．从只有2张有奖的8张彩票中不放回地随机逐张抽取，则直至第三次才抽到中奖彩票的概率为( ) A． B． C． D． 18．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动，与水平面的所成角为，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分． 19．球的体积是，则球的表面积是____ 20．已知为奇函数，则实数a的值为______． 21．已知向量，满足，，则与的夹角为______ ． 22．已知、、分别是三个内角、、的对边，且，，，则______． 三、解答题:本大题共3小题,共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23．甲、乙两人组成“超级星队”参加猜成语活动，在每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求一轮活动甲猜对且乙没有猜对的概率； (2)求两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率． 24．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，平面，求证：平面． 25．由于2020年1月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民生活也逐步恢复正常．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机．某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，且米，．记． (1)当时，求； (2)请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值． 【参考答案】 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B C A A B D D D B 题号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 C B D B D C B D A 19． 20． 1 21． . 22． 23．解：（1）一轮活动乙猜对且甲没有猜对的概率为； （2）两轮活动甲都猜对的概率为，甲仅猜对一个的概率为， 乙都猜对的概率为，乙仅猜对一个的概率为， 则两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率为． 24． 解：（1）证明：连接， ∵四边形是平行四边形，且是的中点， ∴是的中点， ∵E为PC的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）证明：∵平面，平面， ∴， ∵，，平面， ∴面， ∵， ∴平面. 25． 解：（1）根据题意，在△中，， 又， 故由正弦定理可得： 解得，， 故 . 即 . （2）由题可知，在△中，， 则由正弦定理，可得， 故可得， 故 . 即. 当时，，此时取得最大值. 第1页共8页 学科网（北京）股份有限公司 $数学答题卡 准考号 姓名： 班级： [0][0]C0]0]0]0]0]C0] 考场号： 座位号： C1] 11 1 1]C1] C1] [1] 注意事项 [2] C2] 21 C2] C2] C2] 2] 2 1.答题前请先填写准考号、姓名等信息；答题卡有多张的，每张都要填写。 C3]C3] [3]C3]C3JC3] C3] C3] 4]4]C4] C4] C4]C4] 4] 4 2.客观题必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3.主观题必须使用黑色签字笔在答题区域内作答。 5] L5] C5] 5 [5 C5] C5] 6]61 C66] 6]C6] E6 4.保持答卷清洁，不要折叠，不要弄皱。 C7] 7] C7] C7 C7] 7] [7 缺考标记☐ (由监考员填涂) C8] 87 C8] 8] C8] 8 8 C9] C9]C9]C9]C9] 、 单选题 1[A][B][C][D] 7 CA]CB]CC]CD] 13 CA]CB]CC]CD] 2 CA]CB]CC]CD] 8 CA][B]CC]CD] 14 CA]CB]CC]CD] 3 CA]CB]CC]CD] 9 CA][B][C]CD] 15 CA][B][C]CD] 4 CA]CB]CC]CD] 10 CA]CB]CC]CD] 16 CA][B][C]CD] 5 CA]CB]CC]CD] 11 CA]CB]CC]CD] 17 CA]CB]CC]CD] 6 CA]CB]CC]CD] 12 CA]CB]CC]CD] 18 CA][B][C]CD] 二、 填空题 19 20. 21. 22. 三、解答题 23. 第1面，共2面 ■ ■ 24. 25. 第2面，共2面 ■