精品解析：2025年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题

2025年湖南省普通高中学业水平合格性考试 数学 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量90分钟.满分100分. 一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若一组数据按照从小到大顺序排列如下：12，15，16，21，24，25，27，33，36，38．则该组数据的第41百分位数为（ ） A. 21 B. 24 C. 25 D. 27 3. 在平行四边形中，为对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C D. 5. 已知，则复数的实部为（ ） A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 6. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 8. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. （ ） A B. C. D. 2 10. 已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的半径为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 11. 若是正数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 12. 若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（ ） A. 增函数且有最大值 B. 增函数且有最小值 C. 减函数且有最大值 D. 减函数且有最小值 13. 函数在区间上的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 14. 一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（ ）（默认） A. B. C. D. 15. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（ ） A B. C. D. 16. 函数的零点为（ ） A. B. C. D. 17. 已知，则（ ） A B. C. D. 18. 某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（ ） A. 80名 B. 100名 C. 120名 D. 140名 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 19. _____． 20. 在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为_____． 21. 已知的内角的对边分别是，且，则的形状是_____三角形． 22. 人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则_____． 三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在正三棱柱中，为的中点． （1）在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； （2）若，求直线与平面所成的角的正弦值． 24. 已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 25. 已知在中，内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖南省普通高中学业水平合格性考试 数学 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量90分钟.满分100分. 一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【详解】，而， 所以 故选：D 2. 若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，16，21，24，25，27，33，36，38．则该组数据的第41百分位数为（ ） A. 21 B. 24 C. 25 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的概念求值即可. 【详解】因为， 所以该组数据的第41百分位数为按从小到大排列的第5个数，即24. 故选：B 3. 在平行四边形中，为对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的数乘及减法运算求解. 【详解】如图， 则， 故选：D 4. 已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式得，再结合选项及充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】由，则，解得， 则是使得成立的一个既不充分也不必要条件， 是使得成立的一个必要不充分条件， 是使得成立的一个充分不必要条件， 是使得成立的一个充要条件. 故选：C. 5. 已知，则复数的实部为（ ） A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘方，乘法运算及实部的定义求解即可. 【详解】由题意得， 所以. 所以复数的实部为2. 故选：. 6. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：D. 7. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】先利用诱导公式化简函数，再判断其周期和奇偶性即可. 【详解】因为. 所以，， 所以是最小正周期为的奇函数. 故选：A 8. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值判断ABC，利用作差法判断D. 【详解】当时，，即，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D 9. （ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质即可求解． 【详解】根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 10. 已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的半径为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据球O和圆柱的空间位置关系，结合勾股定理即可求出． 【详解】由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示， 由题意可知，，则在直角中，． 故选：B． 11. 若是正数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用均值不等式即可求解． 【详解】由，根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，也即， 再次根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 故的最小值是4. 故选：C 12. 若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（ ） A. 增函数且有最大值 B. 增函数且有最小值 C. 减函数且有最大值 D. 减函数且有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的特性分析在的单调性，再结合判断即可． 【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值3，所以，又为奇函数，所以函数在区间上是增函数，且有最大值． 故选：A． 13. 函数在区间上零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】令，解得，当时，分别计算出对应的值，找出符合的值即可得解. 【详解】令，解得. 当时，，符合条件； 当时， ，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，不符合条件； 当时，，不符合条件. 综上，在区间上，有三个解， 即函数的零点个数为3. 故选：D 14. 一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（ ）（默认） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的周长可列出之间的关系式，求出x的范围，即得答案. 【详解】由题意可得，则， 其中，则，则， 故矩形的长关于宽的函数解析式为. 故选：A 15. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可. 【详解】已知甲能破译密码的概率为，则甲不能破译密码的概率为， 已知乙能破译密码的概率为，则乙不能破译密码的概率为， 密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译， 所以密码不能被成功破译的概率为. 故选：C 16. 函数的零点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先研究函数的单调性，再判断零点的个数，最后分析的解即可求出． 【详解】因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增，最多只有一个零点，又因为，所以函数的零点为． 故选：B． 17. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数、指数函数单调性分析即可． 【详解】对数函数单调递增，故， 又因为指数函数单调递增，故． 所以. 故选：D． 18. 某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（ ） A. 80名 B. 100名 C. 120名 D. 140名 【答案】B 【解析】 【分析】先根据频率分布直方图的性质，求得的值，再根据样本中成绩在区间内的频率参赛的人数即可. 详解】由频率分布直方图可知，解得， 所以成绩在区间内的学生有名. 故选：B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 19. _____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式即可求得． 【详解】根据两角和的余弦公式可知． 故答案为：． 20. 在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为_____． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】连接，先证明，可得（或其补角）为直线和所成角，进而结合余弦定理求解即可. 【详解】连接， 在正方体中，因为是的中点，是的中点， 所以，， 则，， 所以四边形为平行四边形，则， 所以（或其补角）为直线和所成角， 设正方体的棱长为2， 则， 所以， 在中，由余弦定理得， 则异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 21. 已知的内角的对边分别是，且，则的形状是_____三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】设，，则，由勾股定理逆定理可得结论. 【详解】，设，，则， 故，所以为直角三角形 故答案为：直角 22. 人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则_____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据给定函数模型，代入列式计算得解. 【详解】依题意，，则，解得， ，则，解得， 所以. 故答案为：9 三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在正三棱柱中，为的中点． （1）在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； （2）若，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）点 为 的中点； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解； （2）利用线面垂直的判定定理证得平面 ，可得，找到线面角为，从而求解. 【小问1详解】 在正三棱柱中，取的中点为P,连接 , 因 D 为 中点，所以 , 且， 所以四边形 为平行四边形，故 ， 又因为平面，平面， 所以平面，故P 为 中点. 【小问2详解】 设直线 与平面 所成的角为 ， 在正三角形 中， ，其中 为中点. 则，. 在正三棱柱中，平面 ，平面 ， 所以， 又因为，平面 ，平面 ， 所以平面 ，平面 ，所以. 所以为直线与平面所成的角； 则. 24. 已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过三角恒等式、诱导公式、二倍角公式以及降幂公式进行化简，代入即可. （2）求解零点的分布，解得通解，再分析解的分布即可. 【小问1详解】 化简函数， 利用恒等式，，， 得到： ， 当时，，在的值域为， 所以若，函数的值域为. 【小问2详解】 令，解得， 则或， 即或， 在区间内，前两个非负解为，，后续解依次为，等， 为使恰好有两个零点，需满足， 因此，的取值范围为. 25. 已知在中，内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以， ， 因为、，则，可得，故. 【小问2详解】 因为，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $