专题05 数据的初步分析（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材沪科版

专题05数据的初步分析（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 频数、频率相关计算 题型02 频数分布表 题型03 频数直方图识与求值 题型04 平均数计算与应用 题型05 中位数、众数求解判定 题型06 方差计算分析 题型07 样本估计总体 题型08 箱线图分析 题型9 统计图表信息综合提取 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 频数与频率计算 熟记频数、总数、频率换算公式，熟练进行相互运算 选择填空基础必考，计算简单，常单独出题考查换算关系 频数分布表与直方图 掌握分组制表方法，能读取图表信息并完成相关计算 常考识图计算题，图表结合出题，侧重数据提取能力 算术平均数与加权平均数 区分两类平均数算法，准确计算并评判数据平均水平 高频基础考点，生活场景题型居多，易错点为权重判定 中位数、众数求解 掌握排序取值规则，快速找出中位数与众数，理解统计含义 小题高频考点，不受极端数值影响，常用来分析数据集中趋势 方差与标准差 熟练套用公式计算，依据数值判断数据波动与稳定性 重难点考点，对比分析题型多见，用来评判数据均衡程度 统计量实际意义辨析 分清各类统计量作用，结合场景分析数据特征 选择题常考，侧重概念理解，考查实际数据分析思维 箱线图解读分析 看懂五数特征，依据图形判断数据分布、疏密与极差 填空小题常考，直观对比多组数据差异，数形结合考查 图表综合信息整合 联动多种统计图表，补全缺失数据，推导各类统计量 中档解答题型，信息量大，考验综合读取运算能力 样本估计总体 利用样本数据特征，按比例估算整体相关数量 应用类常考题，贴合实际统计场景，考查估算思想 统计量决策应用 对比多项统计指标，结合实际情况做出合理判断分析 期末常考解答题，依托数据给出评价与方案选择 数据变换后统计量变化 掌握数据缩放增减后统计量变化规律，快速求值 易错拔高题型，填空选择压轴小题多见 知识点01 数据的收集与整理 数据收集是数据分析的基础，常见的数据收集方式分为全面调查（普查）和抽样调查两种。全面调查是对考察对象的全体进行调查，能够得到准确全面的结果，但耗费的人力、物力、时间较多，且对于一些具有破坏性的调查不适用；抽样调查是从总体中抽取部分个体进行调查，节省成本，效率较高，调查结果近似，适用于无法进行全面调查或不需要全面调查的场景。 ·示例：调查某批次汽车的抗撞击能力，由于测试会对汽车造成损毁，只能采用抽样调查；调查某校八年级 学生的身高情况，考察范围较小，可以采用全面调查。 ·易错点：混淆总体、个体、样本、样本容量的概念。总体是指考察对象的全体，个体是总体中的每一个考 察对象，样本是从总体中抽取的一部分个体，样本容量是样本中包含个体的数目（样本容量没有 单位）。 知识点02 频数与频率 频数：在统计数据时，把数据按照不同的范围分组，落在各个小组内的数据的个数叫做该组的频数。所有小组的频数之和等于数据的总个数。 频率：每个小组的频数与数据总个数的比值叫做该组的频率，公式为频率=频数÷总数。所有小组的频率之和等于1。 ·示例：有50个数据，分组后其中一组的频数是15，则该组的频率为15÷50=0.3。 ·易错点：计算频率时误将频数除以组数而非总数；忘记所有频率之和为1的性质，出现计算结果总和不等 于1时不会检查修正。 知识点03 频数分布表 频数分布表是将数据分组后，把各组的频数、频率整理得到的表格，能够清晰反映数据在各个区间的分布情况。制作频数分布表的一般步骤：（1）计算最大值与最小值的差，确定数据的变动范围；（2）决定组距与组数，组距是每个小组两个端点的差，一般情况下数据个数在100以内，组数分为5~12组；（3）确定分点，划分分组区间；（4）统计每个小组的频数，计算频率，填入表格。 ·示例：一组数据最大值是142，最小值是56，最大值与最小值的差为86，如果取组距为10，则86÷10=8.6， 因此需要分成9组。 ·易错点：分点设置不合理，导致边界数据重复归类；组数确定错误，当极差除以组距不是整数时，组数需 要取大于结果的最小整数，而不是四舍五入取整。 知识点04 频数分布直方图 频数分布直方图是以长方形的长度（高）来表示频数分布的图形，能够直观反映各组频数的多少。绘制步骤：（1）先整理得到频数分布表；（2）建立平面直角坐标系，横轴表示分组数据，纵轴表示频数；（3）在横轴上标出各组的分点，画出对应高度为频数的长方形，就得到频数分布直方图。 频数分布直方图和条形图的区别：条形图是用条形的长度表示不同类别频数的多少，各条形之间是分开的，有间隔；频数分布直方图的各长方形是连续排列，没有间隔，横轴表示的是连续的分组区间，长方形的面积表示频数（等距分组时面积与频数成正比，直接用高表示频数）。 ·示例：根据班级学生体重的频数分布表，横轴从40~45、45~50依次标注，纵轴标注各组频数，画出连续的 长方形，即可得到班级学生体重的频数分布直方图，可以直观看出哪个体重区间的学生人数最多。 ·易错点：绘制直方图时给长方形之间添加不必要的间隔；混淆直方图和条形图的适用场景，对连续分组的 数据错误使用条形图展示。 知识点05 平均数 平均数一般指算术平均数，若有n个数，则算术平均数。 加权平均数：当一组数据中各个数据的重要程度不同时，给每个数据赋予一个“权”来反映其重要程度，加权平均数公式为，其中分别是的权。 ·示例：某同学期中考试数学得80分，期末考试得90分，按照期中占40%、期末占60%计算总评成绩，总 评成绩就是加权平均数：分。 ·易错点：计算加权平均数时所有权重之和不为1，忘记除以权重之和；混淆算术平均数和加权平均数的适 用场景，当数据权重不同时仍然直接计算算术平均数。 知识点06 中位数 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。中位数是一个位置代表值，反映了一组数据的中间水平，不受极端偏大或偏小数据的影响。 ·示例：一组数据：2，5，7，8，9，个数是奇数，排列后中间的数是7，因此中位数是7；一组数据：1，3， 5，7，个数是偶数，中间两个数是3和5，中位数是(3+5)÷2=4。 ·易错点：求中位数时忘记先将数据排序，直接取中间位置的数；当数据个数为偶数时，误直接把中间两个 数其中一个当作中位数，而不是计算两个数的平均数。 知识点07 众数 一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。众数反映了一组数据中出现次数最多的数，体现数据的集中趋势，当一组数据有较多重复数据时，众数往往是更受关注的统计量。一组数据可以有多个众数，也可以没有众数，如果所有数据出现的次数都相同，那么这组数据没有众数。 ·示例：数据：2，3，3，5，7，出现次数最多的是3，众数是3；数据：2，2，3，3，4，2和3都出现了两 次，次数最多，因此众数是2和3；数据：1，2，3，4，5，每个数都只出现一次，因此这组数据 没有众数。 ·易错点：误把出现次数当作众数，比如上面的例子中误把次数2当作众数，实际上众数是出现次数最多的 数据本身；认为一组数据一定只有一个众数，忽略多个众数和没有众数的情况。 知识点08 方差 方差是用来衡量一组数据波动大小的统计量，设有n个数据，它们的平均数为，则方差。 方差的意义：方差越大，数据的波动越大（数据越不稳定）；方差越小，数据的波动越小（数据 越稳定）。 ·示例：甲乙两名运动员射击成绩的平均数都是8环，甲的方差是0.4，乙的方差是1.2，因为0.4＜1.2，因 此甲的成绩比乙更稳定。 ·易错点：对方差意义理解错误，误认为方差越大数据越稳定；计算方差时忘记平方，或者忘记除以数据个数；比较两组数据稳定性时，忽略平均数相同或相近的前提，直接比较方差得出结论。 知识点09 用样本估计总体 当总体数量很大时，我们通常用样本的特征去估计总体的特征，这是统计分析的基本思想。可以用样本的平均数估计总体的平均数，用样本的方差估计总体的方差，用样本的频率分布估计总体的分布。需要注意的是，样本的选取要具有代表性和广泛性，样本容量越大，估计结果越精确。 ·示例：随机抽查某商场5月份5天的营业额，得到这5天的平均营业额是2.4万元，就可以估计该商场5 月份的总营业额大约是2.4×31=74.4万元。 ·易错点：样本选取不具有代表性（比如只抽查周末的营业额来估计全月）仍然用来估计总体，得到错误结 果；认为小样本容量的估计结果一定准确，忽略误差存在。 知识点01 箱线图的概念 箱线图也叫箱形图，是一种用于展示数据分布特征的统计图表，通过五个关键统计量——最小值、第一四分位数（Q1，25%分位数）、中位数（Q2，50%分位数）、第三四分位数（Q3，75%分位数）、最大值，来概括一组数据的分布情况，能够直观反映数据的分散程度、偏态特征，同时还可以识别数据中的异常值。 ·示例：统计某班级50名学生的数学考试成绩，将成绩从小到大排序后，计算得到最小值为42分，Q1为 65分，中位数为78分，Q3为86分，最大值为98分，根据这五个数值绘制的箱线图，可以快速看 出全班成绩的整体分布范围和中等水平位置。 ·易错点：不要将箱线图和直方图、折线图混淆，箱线图不展示数据的具体频数分布，只提炼核心分布特征， 适合多组数据的分布对比。 题型一 频数、频率相关计算 解｜题｜技｜巧 熟记基本关系式，频率 = 频数 ÷ 总数，各组频数相加等于数据总数，全部频率之和固定为 1；已知其中两个量，便可列式求出未知量，计算时核对数值避免出错。 【典例1】在“We like maths”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频数是（   ） A．2 B． C．11 D．1 【变式1】“坚持不懈”的英语翻译是，单词中“”出现的频率为___． 【变式2】为了解某校八年级学生的体能情况，学校随机抽查了其中的40名学生，测试了一分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图的频数分布直方图，则仰卧起坐的次数在之间的频率是______． 题型二 频数分布表 解｜题｜技｜巧 巧用对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分特点；结合等量代换求边长、角度，利用平行线性质推导角度关系。 【典例1】小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了如下频数分布表： 通话时间 频数（通话次数） 20 16 9 5 则通话时间不超过15min的通话次数占5月份总通话次数的百分比为（   ） A． B． C． D． 【变式1】某校八（2）班体育委员统计了全班女生立定跳远测试的距离，列出频数分布表如下： 距离x（） 频数 1 6 7 5 1 根据“体质测定评分标准”，八年级女生立定跳远距离不低于的成绩为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为______ 【变式2】八年（1）班学习委员调查本班学生一周内课外阅读情况，按照课外阅读时间进行统计，结果如下表： 阅读时间 2小时以下 2-4小时 4小时以上 人数/名 25 15 百分比 30% 20% 则表中的值是_________． 题型三 频数直方图识图与求值 解｜题｜技｜巧 看清横轴分组区间、纵轴频数含义，依据柱形高度判断数据多少；结合频数频率公式，提取图表数据，计算总数、单组频数与对应频率。 【典例1】某次数学测试，抽取部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数直方图，根据图示信息描述不正确的是（   ） A．频数直方图中组距是10 B．本次共抽取了60位同学的成绩 C．70.5~80.5这一分数段的频数为18 D．这次测试及格（不低于60分）率为 【变式1】为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，随机调查了本地50个公园的用地面积，按照A：，B：，C：，D：，E：的分组绘制了如图的频数分布直方图，则用地面积在_______ 组的公园个数最多（在“A、B、C、D”中选一个）． 【变式2】某班体育课进行了一次体能测试，如图是反映该班测试成绩（得分为整数）的频数分布直方图． (1)该班共有多少名学生参加了体能测试？ (2)若分以上为优秀，求该班这次测试的优秀率． (3)从图中你还能获得哪些信息？（写出一条即可） 题型四 平均数计算与应用 解｜题｜技｜巧 普通平均数总和除以数据个数即可求解；加权平均数分清各项权重占比，按权重配比列式运算，借助平均数评判整组数据平均水准。 【典例1】五位同学的数学测试成绩中最高分是140分，最低分是110分，他们的平均测试成绩可能是（   ） A．105分 B．120分 C．140分 D．150分 【变式1】若的平均数为4，的平均数为6，则的平均数为（    ） A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.4 【变式2】已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据的平均数是____ 题型五 中位数、求解判定 解｜题｜技｜巧 先把所有数据按从小到大顺序排列；数据个数为奇数，取正中间数值；个数为偶数，取中间两个数的平均值，该统计量不易受极端偏大偏小数据干扰。 【典例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某射击小组有20人，成绩如表所示：这组数据的众数和中位数分别是（　　） 射击（环） 5 6 7 8 9 10 人数 1 3 6 7 2 1 A．8；8 B．7；8 C．7；7.5 D．8；7.5 【变式1】小亮和小莹进行飞镖比赛，两人各投了10次，成绩如图所示，则小亮成绩的众数是________，小莹成绩的中位数是________． 【变式2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）数据2，4，3，5，5，3，3，4的众数是__________． 题型六 方差计算分析 解｜题｜技｜巧 先算出整组数据平均数，再代入公式依次算偏差、平方、平均值得到方差；方差数值越小，数据波动幅度越小，整体稳定性越好，反之波动越大。 【典例1】甲、乙、丙、丁四名选手参加射击测试，每人射击10次，平均成绩均为环，方差如下表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 方差 9 10 则四名选手中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1】24-25八年级下·安徽合肥·期末）体育课上，老师记录了小明和小红连续4次立定跳远的成绩（单位：米）： 小明：1.8，2.1，2.1，2.4 小红：2.0，2.1，2.1，2.2 关于两位同学跳远成绩的稳定性，下列说法正确的是（   ） A．小明的成绩波动比小红大 B．小红的成绩波动比小明大 C．两人的成绩波动一样大 D．无法比较两人成绩的波动大小 【变式2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）甲、乙、丙三名选手参加射箭选拔赛，他们前五箭成绩的平均数相同，方差如下：，则甲、乙、丙三名选手中，成绩最稳定的是______． 题型七 样本估计总体 解｜题｜技｜巧 利用样本的频率、统计特征类比推算整体情况；按照样本所占比例估算总体对应数量，最终结果结合实际取合理数值。 【典例1】为了解学生参与家务劳动情况，某校在全校1200名学生中随机抽取了200名进行问卷调查，结果发现每周参与家务劳动5小时以上的有60名学生，估计该校学生中每周参与家务劳动5小时以上的人数为（   ） A．600人 B．480人 C．360人 D．240人 【变式1】随着芯片技术的飞速发展，电子元器件产业也随之蓬勃发展，质检部门从3000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品，试据此估计这批电子元件中次品数量大约为（    ） A．2 B．6 C．20 D．60 【变式2】为了估计鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中捕获条鱼，在每一条鱼的身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘中，过一段时间，待有标记的鱼完全混于鱼群后，再从鱼塘中捕捞．通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在，据此可以估计鱼塘中鱼的总数为_________． 题型八 箱线图分析 解｜题｜技｜巧 遵明确四分位数、最值、中位数五个关键节点；通过箱体与线段长短判断数据分布疏密、波动大小；对比多组箱线图，直观比较中位数、极差，分析数据整体水平与离散程度。 【典例1】某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 【变式1】已知八年级1班和2班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班成绩的下四分位数是90分 C．2班同学的成绩有120分的 D．1班和2班成绩的中位数相同 【变式2】在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 题型九 统计图表信息综合提取 解｜题｜技｜巧 以联动表格、直方图互补挖掘隐藏数据，补齐空缺数值；整合多方统计信息，分步推算频数、频率、各类统计量。 【典例1】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）为迎接市中学生射击比赛，甲、乙两位同学积极备战，两位同学各射击10发子弹的成绩的条形统计图如图（满分为10环），规定射击成绩在9环（含9环）以上为“优秀”． (1)分别求甲、乙同学射击成绩的平均数、中位数、众数和优秀率； (2)至少选用（1）的两个不同数据来分析甲、乙同学射击成绩的优劣； (3)团体比赛更关注选手的稳定性，请通过计算说明应该选派哪位同学参加射击团体比赛． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的初中学生人数为______，图1中m的值为______； (2)求调查的该部分初中学生每天在校体育活动时间的平均数、众数和中位数； (3)根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有2400名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数． 【变式2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）李老师为了解八年级1200名学生的书写水平，从八年级随机抽取了20名学生进行书写测试，测试成绩（单位：分）满分为10分，对这20名学生的得分进行统计、整理和分析，并绘制出如下统计图、表．已知成绩在这一范围内的数据：7.2，7.3，7.5，7.6，7.7． 平均数 众数 中位数 7.52 8.1 n (1)填空： ， ； (2)若成绩不低于8分为优秀，请你估计八年级1200名学生中成绩为优秀的学生有多少人； (3)李老师对数据进行分析后，决定对测试成绩前十名的学生进行奖励，其中一位学生的成绩是7.6分，请你判断该学生能不能得到奖励？并说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）某排球队6名队员的身高（单位：cm） 是：． 现增加一名身高为的队员，与增加之前相比，增加后队员身高（    ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数不变，方差变小 D．平均数不变，方差变大 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）学校举办了演讲比赛．已知某同学礼仪服装、语言表达这两项的得分分别为80分和90分．若依次按照，百分比确定成绩，则该同学的成绩是（   ） A．87分 B．86分 C．85分 D．84分 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）今年是新修订的《中华人民共和国保守国家秘密法》颁布实施一周年，某校808班40名同学参加了4月21日至5月10日期间，国家保密局和司法部举办的网络保密知识竞答活动，其中成绩不足70分出现的频率是0.25，成绩高于90分出现的频率是0.3，则成绩在70~90之间（含70分和90分）的频数是（   ） A．0.45 B．16人 C．18人 D．20人 4．某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中6名同学的成绩（单位：分）分别为：9.6，9.，9.6，9.7，9.4，9.8．其中一个分数的小数部分被墨水污染，只知道被污染的数字为中的一个整数，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被污染的数字无关的是（　　） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 5．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知的方差为5，则的方差为_____ 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某校举行经典诵读比赛，雅韵队的形象、内容、效果这三项得分依次为90，95，92，最终成绩中形象、内容、效果按的比例确定，那么雅韵队的最终成绩为______分． 7．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）射击集训队在一个月的集训中，对甲、乙两名运动员进行了10次测试，成绩如下： 甲：9，6，6，8，7，6，6，8，8，6； 乙：4，5，7，6，8，7，8，8，8，9． 如果你是教练员，会选择哪位运动员参加比赛？请说明理由． 8．某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图： 某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： (1)本次调查的样本容量是________，扇形统计图中C对应圆心角的度数为________ (2)请补全条形统计图； (3)若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． (1)小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：（分）， ；方差：，，可以看出， （填甲或乙）的测试更稳定； (2)写出甲数据的四分位数： ； ； ； (3)观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图． 2．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从豆包、两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示）， 共分为四组， A：， B：， C：， D：，下面给出了部分信息． 豆包人工智能软件得分数据： 64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． 人工智能软件在C组内（） 的所有得分数据： 88， 88， 89， 90． 两款人工智能软件得分统计表：     软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 86 b 86 a 88 DeepSeek 人工智能软件得分扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对人工智能软件进行了评分，估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 3．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质（卫生、口味等）进行了抽样调查．相同条件下随机抽取了两家公司的套餐各7份样品，对套餐的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理得到下面的统计图表： 甲、乙两家公司套餐得分统计图 平均数 中位数 众数 甲公司套餐 88 b 96 乙公司套餐 a 90 C 根据以上信息，请回答下列问题： (1)   ， ， ； (2)从方差的角度看， （填“甲”或“乙”）公司套餐的得分较稳定； (3)你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）每年的12月2日为交通安全日．为提高大家的交通安全意识，某校组织开展了安全知识竞赛，从七年级260名学生和八年级280名学生中各随机抽取了20名学生参加，并对成绩数据（单位：分，百分制，成绩为整数）进行整理、描述与分析．以下给出部分信息． ①频数分布直方图如下： （数据分为4组：，，，） ②七年级学生成绩在这一组的数据如下： 80  82  84  85  86  87  87  87  87  87  89 ③七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.4 87.5 88 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：表格中____________，____________． (2)若该校七、八年级学生全部参加竞赛，估计成绩不低于90分的学生人数． (3)该校将抽取的40名学生的成绩按从高到低排列，授予前20名学生“交通安全先锋”称号．八年级的小丽成绩为88分，小丽能获得“交通安全先锋”的称号吗？请说明理由． 5．（24-25八年级下·安徽六安·期末）某校为了解八年级学生视力情况，在全校560名八年级学生中随机抽取了20名学生，并对他们进行右眼视力检查，结果如下： 整理上面的数据得到如下表格： 右眼视力 人数（人） 1 1 2 1 2 m 1 1 3 n 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为 ，n的值为 ； (2)这组数据的中位数是 ； (3)估计该校八年级学生右眼视力在及以上的学生人数． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05数据的初步分析（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 频数、频率相关计算 题型02 频数分布表 题型03 频数直方图识与求值 题型04 平均数计算与应用 题型05 中位数、众数求解判定 题型06 方差计算分析 题型07 样本估计总体 题型08 箱线图分析 题型9 统计图表信息综合提取 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 频数与频率计算 熟记频数、总数、频率换算公式，熟练进行相互运算 选择填空基础必考，计算简单，常单独出题考查换算关系 频数分布表与直方图 掌握分组制表方法，能读取图表信息并完成相关计算 常考识图计算题，图表结合出题，侧重数据提取能力 算术平均数与加权平均数 区分两类平均数算法，准确计算并评判数据平均水平 高频基础考点，生活场景题型居多，易错点为权重判定 中位数、众数求解 掌握排序取值规则，快速找出中位数与众数，理解统计含义 小题高频考点，不受极端数值影响，常用来分析数据集中趋势 方差与标准差 熟练套用公式计算，依据数值判断数据波动与稳定性 重难点考点，对比分析题型多见，用来评判数据均衡程度 统计量实际意义辨析 分清各类统计量作用，结合场景分析数据特征 选择题常考，侧重概念理解，考查实际数据分析思维 箱线图解读分析 看懂五数特征，依据图形判断数据分布、疏密与极差 填空小题常考，直观对比多组数据差异，数形结合考查 图表综合信息整合 联动多种统计图表，补全缺失数据，推导各类统计量 中档解答题型，信息量大，考验综合读取运算能力 样本估计总体 利用样本数据特征，按比例估算整体相关数量 应用类常考题，贴合实际统计场景，考查估算思想 统计量决策应用 对比多项统计指标，结合实际情况做出合理判断分析 期末常考解答题，依托数据给出评价与方案选择 数据变换后统计量变化 掌握数据缩放增减后统计量变化规律，快速求值 易错拔高题型，填空选择压轴小题多见 知识点01 数据的收集与整理 数据收集是数据分析的基础，常见的数据收集方式分为全面调查（普查）和抽样调查两种。全面调查是对考察对象的全体进行调查，能够得到准确全面的结果，但耗费的人力、物力、时间较多，且对于一些具有破坏性的调查不适用；抽样调查是从总体中抽取部分个体进行调查，节省成本，效率较高，调查结果近似，适用于无法进行全面调查或不需要全面调查的场景。 ·示例：调查某批次汽车的抗撞击能力，由于测试会对汽车造成损毁，只能采用抽样调查；调查某校八年级 学生的身高情况，考察范围较小，可以采用全面调查。 ·易错点：混淆总体、个体、样本、样本容量的概念。总体是指考察对象的全体，个体是总体中的每一个考 察对象，样本是从总体中抽取的一部分个体，样本容量是样本中包含个体的数目（样本容量没有 单位）。 知识点02 频数与频率 频数：在统计数据时，把数据按照不同的范围分组，落在各个小组内的数据的个数叫做该组的频数。所有小组的频数之和等于数据的总个数。 频率：每个小组的频数与数据总个数的比值叫做该组的频率，公式为频率=频数÷总数。所有小组的频率之和等于1。 ·示例：有50个数据，分组后其中一组的频数是15，则该组的频率为15÷50=0.3。 ·易错点：计算频率时误将频数除以组数而非总数；忘记所有频率之和为1的性质，出现计算结果总和不等 于1时不会检查修正。 知识点03 频数分布表 频数分布表是将数据分组后，把各组的频数、频率整理得到的表格，能够清晰反映数据在各个区间的分布情况。制作频数分布表的一般步骤：（1）计算最大值与最小值的差，确定数据的变动范围；（2）决定组距与组数，组距是每个小组两个端点的差，一般情况下数据个数在100以内，组数分为5~12组；（3）确定分点，划分分组区间；（4）统计每个小组的频数，计算频率，填入表格。 ·示例：一组数据最大值是142，最小值是56，最大值与最小值的差为86，如果取组距为10，则86÷10=8.6， 因此需要分成9组。 ·易错点：分点设置不合理，导致边界数据重复归类；组数确定错误，当极差除以组距不是整数时，组数需 要取大于结果的最小整数，而不是四舍五入取整。 知识点04 频数分布直方图 频数分布直方图是以长方形的长度（高）来表示频数分布的图形，能够直观反映各组频数的多少。绘制步骤：（1）先整理得到频数分布表；（2）建立平面直角坐标系，横轴表示分组数据，纵轴表示频数；（3）在横轴上标出各组的分点，画出对应高度为频数的长方形，就得到频数分布直方图。 频数分布直方图和条形图的区别：条形图是用条形的长度表示不同类别频数的多少，各条形之间是分开的，有间隔；频数分布直方图的各长方形是连续排列，没有间隔，横轴表示的是连续的分组区间，长方形的面积表示频数（等距分组时面积与频数成正比，直接用高表示频数）。 ·示例：根据班级学生体重的频数分布表，横轴从40~45、45~50依次标注，纵轴标注各组频数，画出连续的 长方形，即可得到班级学生体重的频数分布直方图，可以直观看出哪个体重区间的学生人数最多。 ·易错点：绘制直方图时给长方形之间添加不必要的间隔；混淆直方图和条形图的适用场景，对连续分组的 数据错误使用条形图展示。 知识点05 平均数 平均数一般指算术平均数，若有n个数，则算术平均数。 加权平均数：当一组数据中各个数据的重要程度不同时，给每个数据赋予一个“权”来反映其重要程度，加权平均数公式为，其中分别是的权。 ·示例：某同学期中考试数学得80分，期末考试得90分，按照期中占40%、期末占60%计算总评成绩，总 评成绩就是加权平均数：分。 ·易错点：计算加权平均数时所有权重之和不为1，忘记除以权重之和；混淆算术平均数和加权平均数的适 用场景，当数据权重不同时仍然直接计算算术平均数。 知识点06 中位数 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。中位数是一个位置代表值，反映了一组数据的中间水平，不受极端偏大或偏小数据的影响。 ·示例：一组数据：2，5，7，8，9，个数是奇数，排列后中间的数是7，因此中位数是7；一组数据：1，3， 5，7，个数是偶数，中间两个数是3和5，中位数是(3+5)÷2=4。 ·易错点：求中位数时忘记先将数据排序，直接取中间位置的数；当数据个数为偶数时，误直接把中间两个 数其中一个当作中位数，而不是计算两个数的平均数。 知识点07 众数 一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。众数反映了一组数据中出现次数最多的数，体现数据的集中趋势，当一组数据有较多重复数据时，众数往往是更受关注的统计量。一组数据可以有多个众数，也可以没有众数，如果所有数据出现的次数都相同，那么这组数据没有众数。 ·示例：数据：2，3，3，5，7，出现次数最多的是3，众数是3；数据：2，2，3，3，4，2和3都出现了两 次，次数最多，因此众数是2和3；数据：1，2，3，4，5，每个数都只出现一次，因此这组数据 没有众数。 ·易错点：误把出现次数当作众数，比如上面的例子中误把次数2当作众数，实际上众数是出现次数最多的 数据本身；认为一组数据一定只有一个众数，忽略多个众数和没有众数的情况。 知识点08 方差 方差是用来衡量一组数据波动大小的统计量，设有n个数据，它们的平均数为，则方差。 方差的意义：方差越大，数据的波动越大（数据越不稳定）；方差越小，数据的波动越小（数据 越稳定）。 ·示例：甲乙两名运动员射击成绩的平均数都是8环，甲的方差是0.4，乙的方差是1.2，因为0.4＜1.2，因 此甲的成绩比乙更稳定。 ·易错点：对方差意义理解错误，误认为方差越大数据越稳定；计算方差时忘记平方，或者忘记除以数据个数；比较两组数据稳定性时，忽略平均数相同或相近的前提，直接比较方差得出结论。 知识点09 用样本估计总体 当总体数量很大时，我们通常用样本的特征去估计总体的特征，这是统计分析的基本思想。可以用样本的平均数估计总体的平均数，用样本的方差估计总体的方差，用样本的频率分布估计总体的分布。需要注意的是，样本的选取要具有代表性和广泛性，样本容量越大，估计结果越精确。 ·示例：随机抽查某商场5月份5天的营业额，得到这5天的平均营业额是2.4万元，就可以估计该商场5 月份的总营业额大约是2.4×31=74.4万元。 ·易错点：样本选取不具有代表性（比如只抽查周末的营业额来估计全月）仍然用来估计总体，得到错误结 果；认为小样本容量的估计结果一定准确，忽略误差存在。 知识点01 箱线图的概念 箱线图也叫箱形图，是一种用于展示数据分布特征的统计图表，通过五个关键统计量——最小值、第一四分位数（Q1，25%分位数）、中位数（Q2，50%分位数）、第三四分位数（Q3，75%分位数）、最大值，来概括一组数据的分布情况，能够直观反映数据的分散程度、偏态特征，同时还可以识别数据中的异常值。 ·示例：统计某班级50名学生的数学考试成绩，将成绩从小到大排序后，计算得到最小值为42分，Q1为 65分，中位数为78分，Q3为86分，最大值为98分，根据这五个数值绘制的箱线图，可以快速看 出全班成绩的整体分布范围和中等水平位置。 ·易错点：不要将箱线图和直方图、折线图混淆，箱线图不展示数据的具体频数分布，只提炼核心分布特征， 适合多组数据的分布对比。 题型一 频数、频率相关计算 解｜题｜技｜巧 熟记基本关系式，频率 = 频数 ÷ 总数，各组频数相加等于数据总数，全部频率之和固定为 1；已知其中两个量，便可列式求出未知量，计算时核对数值避免出错。 【典例1】在“We like maths”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频数是（   ） A．2 B． C．11 D．1 【答案】A 【分析】本题考查频数的定义．频数是指某个对象在总体中出现的次数，只需统计句子中字母“e”出现的次数即可求解． 【详解】解：∵在句子“We like maths”中，字母“e”出现2次， ∴字母“e”出现的频数是2， 故选：A． 【变式1】“坚持不懈”的英语翻译是，单词中“”出现的频率为___． 【答案】/0.2 【分析】本题考查了频率的概念，频率是指某个对象出现的次数与总次数的比值．需要计算字母“”在 “”中出现的频数和总字母数，然后求比值，即可作答． 【详解】解：依题意，在“”中共有10个字母，其中字母“”出现了2次， 因此频率为． 故答案为：． 【变式2】 为了解某校八年级学生的体能情况，学校随机抽查了其中的40名学生，测试了一分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图的频数分布直方图，则仰卧起坐的次数在之间的频率是______． 【答案】 【分析】本题考查了频数与频率，关键是掌握频率公式：频率=频数÷总数． 首先计算出次的频数，然后根据频率公式：频率=频数÷总数，即可求解． 【详解】解：由频率分布直方图可以得出，仰卧起坐次数在次的学生人数为：， ∵被调查的总人数40， ∴仰卧起坐次数在次之间的频率是． 故答案为：． 题型二 频数分布表 解｜题｜技｜巧 巧用对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分特点；结合等量代换求边长、角度，利用平行线性质推导角度关系。 【典例1】小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了如下频数分布表： 通话时间 频数（通话次数） 20 16 9 5 则通话时间不超过15min的通话次数占5月份总通话次数的百分比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查频数分布表，用不超过15min的通话次数除以总的通话次数进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 【变式1】某校八（2）班体育委员统计了全班女生立定跳远测试的距离，列出频数分布表如下： 距离x（） 频数 1 6 7 5 1 根据“体质测定评分标准”，八年级女生立定跳远距离不低于的成绩为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为______ 【答案】 【分析】本题考查求频数分布表，用表中优秀人数除以总人数求解即可． 【详解】解：由表中知，共有（人）， 其中八年级女生立定跳远距离不低于的有6人， 则该班女生立定跳远成绩的优秀率为， 故答案为：． 【变式2】八年（1）班学习委员调查本班学生一周内课外阅读情况，按照课外阅读时间进行统计，结果如下表： 阅读时间 2小时以下 2-4小时 4小时以上 人数/名 25 15 百分比 30% 20% 则表中的值是_________． 【答案】10 【分析】本题考查了频数分布表．理解频数分布表中的数据关系，正确的计算是解题的关键．先根据2−4小时有15人，占比为求出总人数，即可求解． 【详解】解：根据2−4小时有15人，占比为， ∴总人数为（人）， ∴． 故答案为：10． 题型三 频数直方图识图与求值 解｜题｜技｜巧 看清横轴分组区间、纵轴频数含义，依据柱形高度判断数据多少；结合频数频率公式，提取图表数据，计算总数、单组频数与对应频率。 【典例1】某次数学测试，抽取部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数直方图，根据图示信息描述不正确的是（   ） A．频数直方图中组距是10 B．本次共抽取了60位同学的成绩 C．70.5~80.5这一分数段的频数为18 D．这次测试及格（不低于60分）率为 【答案】B 【分析】本题考查频数分布直方图．根据题意和直方图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由直方图得，频数分布直方图中组距为：，故选项A正确，不符合题意； 本次抽样样本容量为：，故选项B不正确，符合题意； 这一分数段的频数为18，故选项C正确，不符合题意； 这次测试及格(不低于60分)率以上，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，随机调查了本地50个公园的用地面积，按照A：，B：，C：，D：，E：的分组绘制了如图的频数分布直方图，则用地面积在_______ 组的公园个数最多（在“A、B、C、D”中选一个）． 【答案】C 【分析】本题主要考查频数分布直方图，用地面积在C组的公园个数最多，有16个． 【详解】解：由图知，用地面积在C组的公园个数最多，有16个， 故答案为：C． 【变式2】某班体育课进行了一次体能测试，如图是反映该班测试成绩（得分为整数）的频数分布直方图． (1)该班共有多少名学生参加了体能测试？ (2)若分以上为优秀，求该班这次测试的优秀率． (3)从图中你还能获得哪些信息？（写出一条即可） 【答案】(1)该班共有名学生参加了体能测试 (2) (3)各组中，测试成绩在～分的人数最多（答案不唯一） 【分析】本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．此外还利用了样本估计总体的思想． （1）将各分数段的人数相加即可得出答案； （2）用分以上人数除以总人数即可得出答案； （3）答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）解：（名）， 答：该班共有名学生参加了体能测试； （2）解：该班这次测试的优秀率为； （3）解：∵得分为整数，该班测试成绩人数最多的是第三组， ∴各组中，测试成绩在～分的人数最多（答案不唯一）． 题型四 平均数计算与应用 解｜题｜技｜巧 普通平均数总和除以数据个数即可求解；加权平均数分清各项权重占比，按权重配比列式运算，借助平均数评判整组数据平均水准。 【典例1】五位同学的数学测试成绩中最高分是140分，最低分是110分，他们的平均测试成绩可能是（   ） A．105分 B．120分 C．140分 D．150分 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，令其他三位同学的得分为最高分，求出此时的平均分，再令其他三位同学的得分为最低分，也求出此时的平均分，则可求出平均数的范围，据此结合选项可得答案． 【详解】解：由题意得．总分的最小值为：140（最高分）（最低分）（其余三人最低）分，此时平均分为分． 总分的最大值为：140（最高分）（最低分）（其余三人最高）分，此时平均分为分． 因此，平均分的范围为平均分．选项中只有120分在此范围内， 故选B． 【变式1】若的平均数为4，的平均数为6，则的平均数为（    ） A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.4 【答案】C 【分析】本题考查了平均数（利用已知的平均数求相关数据的平均数），熟练掌握平均数的定义是解题的关键：一般地，对于个数，，，，，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数．由平均数的定义可得，，则，，，，的平均数为，由此即可得出答案． 【详解】解：由平均数的定义可得： ， ， 则，，，，的平均数为： ， 故选：C． 【变式2】已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据的平均数是____ 【答案】 【分析】本题考查了平均数，根据平均数的定义可得，则数据，，的平均数为，即可求解． 【详解】解：数据，，的平均数是， ， ， 则数据，，的平均数为 ． 故答案为：． 题型五 中位数、求解判定 解｜题｜技｜巧 先把所有数据按从小到大顺序排列；数据个数为奇数，取正中间数值；个数为偶数，取中间两个数的平均值，该统计量不易受极端偏大偏小数据干扰。 【典例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某射击小组有20人，成绩如表所示：这组数据的众数和中位数分别是（　　） 射击（环） 5 6 7 8 9 10 人数 1 3 6 7 2 1 A．8；8 B．7；8 C．7；7.5 D．8；7.5 【答案】D 【分析】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据众数和中位数的概念求解． 【详解】解：由表格可得射击8环的有7人，因此众数为8； 共有20个数据，则中位数为第10，11个数据的平均数，由表格可得第10个数据为7，第11个数据为8，因此中位数为， 故选：D． 【变式1】小亮和小莹进行飞镖比赛，两人各投了10次，成绩如图所示，则小亮成绩的众数是________，小莹成绩的中位数是________． 【答案】 7 【分析】此题主要考查了求众数和中位数，正确获取各数据是解题关键．直接利用折线统计图将数据按大小排列，进而利用中位数的定义求出小莹的中位数即可．根据众数的定义求出小亮的众数即可． 【详解】解：小亮的成绩为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，出现次数最多的是7，因此众数为7． 小莹的成绩从小到大排列为：2，4，6，7，7，8，8，9，9，10， 故中位数为：； 故答案为：7；． （ 【变式2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）数据2，4，3，5，5，3，3，4的众数是__________． 【答案】3 【分析】本题考查了众数的定义，根据众数的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，数据出现次数最多的是3，共3次， ∴众数是3． 故答案为：3． 题型六 方差计算分析 解｜题｜技｜巧 先算出整组数据平均数，再代入公式依次算偏差、平方、平均值得到方差；方差数值越小，数据波动幅度越小，整体稳定性越好，反之波动越大。 【典例1】甲、乙、丙、丁四名选手参加射击测试，每人射击10次，平均成绩均为环，方差如下表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 方差 9 10 则四名选手中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据方差越小，波动越小，越稳定，比较方差后解答即可． 本题考查了方差的应用，熟练掌握方差越小，波动越小，越稳定，是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故最稳定是丁， 故选：D． 【变式1】24-25八年级下·安徽合肥·期末）体育课上，老师记录了小明和小红连续4次立定跳远的成绩（单位：米）： 小明：1.8，2.1，2.1，2.4 小红：2.0，2.1，2.1，2.2 关于两位同学跳远成绩的稳定性，下列说法正确的是（   ） A．小明的成绩波动比小红大 B．小红的成绩波动比小明大 C．两人的成绩波动一样大 D．无法比较两人成绩的波动大小 【答案】A 【分析】本题考查了计算方差比较数据的稳定性；通过计算方差比较两人成绩的波动大小，方差越大，波动越大． 【详解】解：计算小明的方差： 平均数：， 方差：； 计算小红的方差： 平均数：， 方差：； 则小明的方差（0.045）大于小红的方差（0.005），因此小明的成绩波动更大； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）甲、乙、丙三名选手参加射箭选拔赛，他们前五箭成绩的平均数相同，方差如下：，则甲、乙、丙三名选手中，成绩最稳定的是______． 【答案】乙 【分析】本题考查了方差判定数据的稳定性，理解方差的含义是关键，根据方差的含义判定即可． 【详解】解：， ， 则甲、乙、丙三名选手中，成绩最稳定的是乙， 故答案为：乙． 题型七 样本估计总体 解｜题｜技｜巧 利用样本的频率、统计特征类比推算整体情况；按照样本所占比例估算总体对应数量，最终结果结合实际取合理数值。 【典例1】为了解学生参与家务劳动情况，某校在全校1200名学生中随机抽取了200名进行问卷调查，结果发现每周参与家务劳动5小时以上的有60名学生，估计该校学生中每周参与家务劳动5小时以上的人数为（   ） A．600人 B．480人 C．360人 D．240人 【答案】C 【分析】本题考查了利用样本所占百分比估计总体的数量，理解题意，掌握样本估计总体的方法是解题关键． 先根据题意可得样本中每周参与家务劳动5小时以上的人数占比，再乘以1200 即可得． 【详解】解：根据题意可知，该校学生中每周参与家务劳动5小时以上的人数（人）， 故选：C． 【变式1】随着芯片技术的飞速发展，电子元器件产业也随之蓬勃发展，质检部门从3000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品，试据此估计这批电子元件中次品数量大约为（    ） A．2 B．6 C．20 D．60 【答案】D 【分析】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是根据随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品，可以计算出这批电子元件中大约有多少件次品． 【详解】解：（件）， 即这批电子元件中大约有60件次品， 故选：D． 【变式2】为了估计鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中捕获条鱼，在每一条鱼的身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘中，过一段时间，待有标记的鱼完全混于鱼群后，再从鱼塘中捕捞．通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在，据此可以估计鱼塘中鱼的总数为_________． 【答案】 【分析】本题考查利用样本频率估计总体，设鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率得到，然后解方程即可． 【详解】解：设鱼塘中有鱼条， 根据题意得：， 解得， 所以估计鱼塘中约有2000条鱼， 故答案为：2000． 题型八 箱线图分析 解｜题｜技｜巧 遵明确四分位数、最值、中位数五个关键节点；通过箱体与线段长短判断数据分布疏密、波动大小；对比多组箱线图，直观比较中位数、极差，分析数据整体水平与离散程度。 【典例1】某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 【答案】A 【分析】根据箱线图中间箱体的下底对应的数值即是这组数据的下四分位数（分位数）解答即可． 【详解】解：箱线图的箱体下底的对应值为102，所以这组数据的下四分位数是102． 【点睛】解题的关键是掌握箱线图相关的定义． 【变式1】已知八年级1班和2班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班成绩的下四分位数是90分 C．2班同学的成绩有120分的 D．1班和2班成绩的中位数相同 【答案】D 【分析】本题主要考查了箱线图，掌握此知识点是做题的关键．根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：A．观察箱线图知：1班成绩的箱线图箱体更高，2班成绩比1班成绩集中，故原说法错误，故不符合题意； B．观察箱线图知：1班成绩的上四分位数是90分，故原说法错误，故不符合题意； C．观察箱线图知：2班没有同学的成绩超过120分， 故原说法错误，故不符合题意； D．观察箱线图知：1班和2班成绩的中位数相同， 故原说法正确，故符合题意． 故选：D． 【变式2】在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【答案】二 【详解】解：由箱线图可知，一班在50和140之间波动，二班在70和130之间波动， 所以成绩比较集中的班级是二班． 题型九 统计图表信息综合提取 解｜题｜技｜巧 以联动表格、直方图互补挖掘隐藏数据，补齐空缺数值；整合多方统计信息，分步推算频数、频率、各类统计量。 【典例1】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）为迎接市中学生射击比赛，甲、乙两位同学积极备战，两位同学各射击10发子弹的成绩的条形统计图如图（满分为10环），规定射击成绩在9环（含9环）以上为“优秀”． (1)分别求甲、乙同学射击成绩的平均数、中位数、众数和优秀率； (2)至少选用（1）的两个不同数据来分析甲、乙同学射击成绩的优劣； (3)团体比赛更关注选手的稳定性，请通过计算说明应该选派哪位同学参加射击团体比赛． 【答案】(1)甲的中位数为8环，乙的中位数为环，甲的众数为8环，乙的众数为10环，甲的优秀率为，乙的优秀率为； (2)见解析 (3)应该派甲同学参加射击团体比赛 【分析】本题考查平均数、众数、中位数以及方差的定义与意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． （1）依据平均数、众数、中位数的计算公式，即可得到结果； （2）根据平均数、众数进行判断即可； （3）根据方差的计算公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：（环）， （环）， 甲的中位数为8环，乙的中位数为（环）， 甲的众数为8环，乙的众数为10环， 甲的优秀率为，乙的优秀率为； （2）解：根据平均数、众数，乙同学都高于甲同学， 则乙同学射击成绩较好； （3）解：， ， ∵， ∴甲同学的射击成绩较稳定， ∴应该派甲同学参加射击团体比赛． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的初中学生人数为______，图1中m的值为______； (2)求调查的该部分初中学生每天在校体育活动时间的平均数、众数和中位数； (3)根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有2400名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数． 【答案】(1)40，25 (2)这组数据的平均数是，中位数是，众数是 (3)该校每天在校体育活动时间大于的学生人数为2160人 【分析】本题主要考查统计图，求平均数、中位数、众数以及用样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）样本中“”的人数是4，占调查人数的，可求出调查人数，进而求出“”所占的百分比，确定m的值； （2）根据平均数、中位数、众数的意义和计算方法，分别求出结果即可； （3）求出大于的学生所占的百分比，即可求出答案． 【详解】（1）解：依题意，（人）， ， 即， 故答案为：40，25； （2）解：， 这组每天在校体育活动时间出现次数最多的是， 因此众数是， 将这40个数据从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是， 因此中位数是， 答：这组数据的平均数是，中位数是，众数是； （3）解：（人）， 答：该校每天在校体育活动时间大于的学生人数为2160人． 【变式2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）李老师为了解八年级1200名学生的书写水平，从八年级随机抽取了20名学生进行书写测试，测试成绩（单位：分）满分为10分，对这20名学生的得分进行统计、整理和分析，并绘制出如下统计图、表．已知成绩在这一范围内的数据：7.2，7.3，7.5，7.6，7.7． 平均数 众数 中位数 7.52 8.1 n (1)填空： ， ； (2)若成绩不低于8分为优秀，请你估计八年级1200名学生中成绩为优秀的学生有多少人； (3)李老师对数据进行分析后，决定对测试成绩前十名的学生进行奖励，其中一位学生的成绩是7.6分，请你判断该学生能不能得到奖励？并说明理由． 【答案】(1)6， (2)540人 (3)该学生不能得到奖励，见解析 【分析】本题主要考查调查与统计，掌握样本估算总体数量，中位数的计算，根据中位数决策是关键． （1）根据样本容量得到m的值，根据中位数的计算得到n的值； （2）找出不低于8分的人，根据样本估算总体的数量的计算方法即可求解； （3）根据中位数判定即可． 【详解】（1）解：， 中位数在第10，11为成绩的平均数为：， 故答案为：，； （2）解：不低于8分的人数为：（人）， ∴（人）， 答：估计八年级1200名学生中成绩为优秀的学生有540人； （3）解：该学生不能得到奖励， 理由：抽取的学生测试成绩的中位数为分， 抽取的20名学生中有10名学生的成绩高于分， ， 该学生不能得到奖励（合理即可）． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）某排球队6名队员的身高（单位：cm） 是：． 现增加一名身高为的队员，与增加之前相比，增加后队员身高（    ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数不变，方差变小 D．平均数不变，方差变大 【答案】C 【分析】本题考查平均数，方差，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平均数和方差公式计算即可． 【详解】解：原6名队员身高的平均数为：， 再增加一名身高为的队员，平均数不变； 原6名队员身高的方差为：， ， ， ， 再增加一名身高为的队员，方差为： ， ， ， ， ∵， ∴方差变小． 故选：C． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）学校举办了演讲比赛．已知某同学礼仪服装、语言表达这两项的得分分别为80分和90分．若依次按照，百分比确定成绩，则该同学的成绩是（   ） A．87分 B．86分 C．85分 D．84分 【答案】A 【分析】本题考查加权平均数的计算．根据题目中的得分和对应的百分比，将各分数乘以各自的比例后相加，即可得到总成绩． 【详解】解：礼仪服装得分为80分，占，即分； 语言表达得分为90分，占，即分． 因此，该同学的成绩为分． 故选：A． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）今年是新修订的《中华人民共和国保守国家秘密法》颁布实施一周年，某校808班40名同学参加了4月21日至5月10日期间，国家保密局和司法部举办的网络保密知识竞答活动，其中成绩不足70分出现的频率是0.25，成绩高于90分出现的频率是0.3，则成绩在70~90之间（含70分和90分）的频数是（   ） A．0.45 B．16人 C．18人 D．20人 【答案】C 【分析】本题考查了频率与频数， 根据频率与频数的关系，先分别计算不足70分和高于90分的频数，再用总人数减去这两部分频数之和，得到70~90分之间的频数． 【详解】解：不足70分的频数： （人）． 高于90分的频数：（人）． 70~90分之间的频数：（人） 因此，成绩在70~90分之间的频数为18人， 故选C． 4．某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中6名同学的成绩（单位：分）分别为：9.6，9.，9.6，9.7，9.4，9.8．其中一个分数的小数部分被墨水污染，只知道被污染的数字为中的一个整数，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被污染的数字无关的是（　　） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 【答案】B 【分析】本题主要考查众数，中位数，平均数和方差，根据众数，中位数，平均数和方差的意义进行判断即可． 【详解】解：∵一个分数的小数部分被墨水污染，只知道被污染的数字为中的一个整数， ∴当被墨水污染的数字是4时，众数是9.4和9.6，故选项A不符合题意； ∵被污染的数字为中的一个整数， ∴中位数是9.6，与被污染的数字无关，故选项B符合题意； ∵被污染的数字为中的一个整数， ∴影响平均数和方差，故选项C，D不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知的方差为5，则的方差为_____ 【答案】20 【分析】本题考查方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍． 先设这组数据的平均数为，方差，则另一组新数据的平均数为，方差为，代入公式计算即可． 【详解】解：设这组数据的平均数为， 则， ， 则另一组新数据的平均数为， ， ∴另一组数据的方差为 ， 故答案为：20． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某校举行经典诵读比赛，雅韵队的形象、内容、效果这三项得分依次为90，95，92，最终成绩中形象、内容、效果按的比例确定，那么雅韵队的最终成绩为______分． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的运算是解题的关键．利用加权平均数公式求解即可． 【详解】解：雅韵队的最终比赛成绩为：（分）． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）射击集训队在一个月的集训中，对甲、乙两名运动员进行了10次测试，成绩如下： 甲：9，6，6，8，7，6，6，8，8，6； 乙：4，5，7，6，8，7，8，8，8，9． 如果你是教练员，会选择哪位运动员参加比赛？请说明理由． 【答案】选择甲运动员，理由见解析． 【分析】本题考查求平均数、方差，熟记方差公式是解答的关键． 先求得两名运动员测试成绩的平均数，再求得测试成绩的方差，然后根据方差越小，成绩越稳定可得结论． 【详解】解：选择甲运动员． 理由如下： 甲的平均数为， 乙的平均数为， ∴， ， ∴， ∴甲的成绩比较稳定， ∴选择甲运动员参加比赛． 8．某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图： 某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： (1)本次调查的样本容量是________，扇形统计图中C对应圆心角的度数为________ (2)请补全条形统计图； (3)若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数． 【答案】(1)200；36 (2)见解析 (3)460人 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体： （1）用最喜欢“D羽毛球”的学生人数除以其所占的百分比，可得样本容量，再用360度乘以最喜欢“B足球”的学生人数所占的百分比，即可求解； （2）求出最喜欢“B足球”的学生人数，即可求解； （3）用2000乘以最喜欢“E乒乓球”的学生人数所占的百分比，即可求解． 【详解】（1）解：本次调查的样本容量是； 扇形统计图中C对应圆心角的度数为； 故答案为：200；36 （2）解：最喜欢“B足球”的学生人数为人， 补全条形统计图，如图： （3）解：人， 即该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460人． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． (1)小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：（分）， ；方差：，，可以看出， （填甲或乙）的测试更稳定； (2)写出甲数据的四分位数： ； ； ； (3)观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图． 【答案】(1)84，乙 (2)70，90，96 (3)见解析 【分析】本题主要考查了数据的分析，包括平均数、利用方差判定稳定性、四分位数以及箱线图，解题关键是掌握以上定义． （1）根据平均数公式求出平均数，根据方差的意义判断稳定性即可； （2）根据四分位数定义求解即可； （3）根据四分位数画出甲的箱线图即可． 【详解】（1）解：（分）， ∵，，且， ∴乙的测试更稳定； 故答案为：84，乙； （2）解：将甲的成绩从小到大排列为60，68，70，78，89，91，92，96，96，100， 所以，， 故答案为：70，90，96； （3）解：绘制甲的箱线图如下： 2．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从豆包、两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示）， 共分为四组， A：， B：， C：， D：，下面给出了部分信息． 豆包人工智能软件得分数据： 64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． 人工智能软件在C组内（） 的所有得分数据： 88， 88， 89， 90． 两款人工智能软件得分统计表：     软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 86 b 86 a 88 DeepSeek 人工智能软件得分扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对人工智能软件进行了评分，估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】(1)88，85，20 (2)580名 【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形统计图的某项数目，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数、众数的概念及扇形统计图是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义、百分比的意义求解即可． （2）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：人工智能软件得分数据中：共个数据， A组有个数据，B组有个数据， 则人工智能软件得分的中位数为C组数据从小到大排列的第个、第个数据的平均数， 中位数， 豆包人工智能软件得分数据中出现的次数最多， 众数， ， ． （2）解：（名）， 估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的总用户数约为名． 3．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质（卫生、口味等）进行了抽样调查．相同条件下随机抽取了两家公司的套餐各7份样品，对套餐的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理得到下面的统计图表： 甲、乙两家公司套餐得分统计图 平均数 中位数 众数 甲公司套餐 88 b 96 乙公司套餐 a 90 C 根据以上信息，请回答下列问题： (1)   ， ， ； (2)从方差的角度看， （填“甲”或“乙”）公司套餐的得分较稳定； (3)你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由． 【答案】(1)88，88，90 (2)乙 (3)乙公司套餐的品质较好，理由见解析 【分析】（1）根据平均数的计算公式，利用乙公司套餐得分及样品数量求出平均数．将甲公司套餐得分从小到大排列后，根据中位数的定义找出中间位置的数得到．在乙公司套餐得分中出现次数最多的数即为众数． （2）计算甲、乙两家公司套餐得分的方差，根据方差的意义，方差越小数据越稳定，比较两家公司方差大小来判断哪家公司套餐得分更稳定． （3）综合平均数、中位数、众数以及方差等统计量，分析哪家公司套餐品质较好． 【详解】（1）解： 甲公司套餐得分从小到大排列为，中间位置的数是， ∴． 乙公司套餐得分中出现的次数最多， ∴． 故答案为：，，． （2）解：甲公司套餐得分的方差， 乙公司套餐得分的方差， ∴， ∴乙公司套餐的得分较稳定． 故答案为：乙 （3）解：乙公司套餐的品质较好，理由如下： 从平均数看，甲公司套餐平均分，乙公司套餐平均分，两者平均分相同． 从中位数看，甲公司套餐得分中位数，乙公司套餐得分中位数，乙公司中位数更高． 从众数看，甲公司套餐得分众数，乙公司套餐得分众数，甲公司众数更高，但乙公司分出现的频次相对整体数据分布更有优势（结合数据整体情况）． 从方差看，乙公司套餐得分方差更小，说明乙公司套餐得分更稳定． 综合来看，乙公司套餐品质较好．因为乙公司套餐得分的中位数更高且得分更稳定，虽然甲公司有较高众数，但乙公司在整体数据的稳定性和中间水平上表现更优． 【点睛】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差的计算以及利用这些统计量对数据进行分析和比较．熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的定义和计算方法是解题的关键． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）每年的12月2日为交通安全日．为提高大家的交通安全意识，某校组织开展了安全知识竞赛，从七年级260名学生和八年级280名学生中各随机抽取了20名学生参加，并对成绩数据（单位：分，百分制，成绩为整数）进行整理、描述与分析．以下给出部分信息． ①频数分布直方图如下： （数据分为4组：，，，） ②七年级学生成绩在这一组的数据如下： 80  82  84  85  86  87  87  87  87  87  89 ③七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.4 87.5 88 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：表格中____________，____________． (2)若该校七、八年级学生全部参加竞赛，估计成绩不低于90分的学生人数． (3)该校将抽取的40名学生的成绩按从高到低排列，授予前20名学生“交通安全先锋”称号．八年级的小丽成绩为88分，小丽能获得“交通安全先锋”的称号吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)人 (3)小丽能获得“交通安全先锋”的称号，理由见解析 【分析】本题考查了中位数、众数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）用乘以七年级成绩不低于90分的学生人数所占的比例加上乘以八年级成绩不低于90分的学生人数所占的比例即可得解； （3）根据中位数判断即可得解． 【详解】（1）解：将七年级成绩按从小到大排列，处在第10位和第11位的为和，故， 七年级成绩中，出现的次数最多，有次，故； （2）解：（人）， 故该校七、八年级学生全部参加竞赛，估计成绩不低于90分的学生人数为人； （3）解：小丽能获得“交通安全先锋”的称号，理由如下： ∵小丽的成绩分均大于两个年级的中位数， ∴小丽的排名超过总人数的一半，即能进入前名， ∴小丽能获得“交通安全先锋”的称号． 5．（24-25八年级下·安徽六安·期末）某校为了解八年级学生视力情况，在全校560名八年级学生中随机抽取了20名学生，并对他们进行右眼视力检查，结果如下： 整理上面的数据得到如下表格： 右眼视力 人数（人） 1 1 2 1 2 m 1 1 3 n 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为 ，n的值为 ； (2)这组数据的中位数是 ； (3)估计该校八年级学生右眼视力在及以上的学生人数． 【答案】(1)2，4 (2) (3)252人 【分析】本题主要考查了统计表、中位数、样本估计总体等知识点，从统计表中获取所需信息是解题的关键． （1）根据数据进行统计即可解答； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用560乘以右眼视力在及以上的学生人数占比即可； 【详解】（1）解：统计相关数据可得，，． 故答案为：2，4． （2）解：∵共有20个数据， ∴由小到大排列，中位数为第10和第11数的平均数， ∴中位数． 故答案为：． （3）解：人． 答：估计该校八年级学生右眼视力在及以上的学生人数为252人． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $