专题01 二次根式（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材沪科版

专题01 二次根式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二次根式有意义取值范围 题型02 二次根式性质化简计算 题型03 双重非负性求值题 题型04 最简与同类二次根式判定 题型05 二次根式乘除基础运算 题型06 分母有理化计算 题型07 二次根式加减运算 题型08 二次根式四则混合运算 题型9 根式化简代入求值 题型10 根式大小比较 题型11二次根式几何实际应用 题型12 二次根式的综合运算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 1. 二次根式的定义与有意义条件 掌握二次根式概念，熟练求解含根式代数式中自变量取值范围，分清整式、分式、二次根式取值区别 常以选择、填空小题考查，必考自变量范围求解，多结合分式、零次幂综合出题 2. 二次根式的性质 熟记=a(a≥0)等核心性质，能化简含字母、负数的根式式子 填空、化简计算题高频考点，易错点为字母正负判断，常融入化简求值题型 3. 最简二次根式与同类二次根式 精准判定最简二次根式，快速识别同类二次根式，掌握根式化简标准 选择题判定居多，是根式加减运算基础，常铺垫后续计算题型 4. 二次根式的乘法运算 熟记乘法运算法则，能正向、逆向运用公式化简根式，完成根式乘积计算 基础计算题必考，多单独计算或结合化简综合考查 5. 二次根式的除法与分母有理化 掌握除法法则，熟练进行分母有理化，处理含根号分式化简 计算重点难点，填空、解答题高频出现，常结合求值题考查 6. 二次根式的加减运算 依托同类二次根式合并法则，规范完成根式加减混合运算 基础运算核心考点，多以计算题形式单独命题 7. 二次根式混合运算 理清运算顺序，结合乘法公式进行根式四则混合运算，准确计算结果 期中期末解答题必考，分值占比高，常与整式运算结合出题 8. 二次根式化简求值 先化简代数式再代入数值计算，掌握整体代入求值方法 压轴小题、解答常客，常结合非负数性质综合考查 9. 非负数性质应用 利用​≥0结合绝对值、平方非负性，求解字母参数值 填空高频易考题，常考几个非负数相加和为 0 题型 知识点01 二次根式的定义 一般地，形如a​(a≥0)的式子叫做二次根式，“  ​” 称为二次根号，a叫做被开方数。二次根式成立的前提是被开方数为非负数。 ·示例：、是二次根式，无意义，不是二次根式。 ·易错点：判定二次根式只看形式，忽略被开方数必须大于等于 0。 知识点02 二次根式有意义的条件 二次根式有意义，只需满足被开方数a≥0；若式子同时含分式、零次幂，需同时满足分母不为 0、底数不为 0。 ·示例：若 + |b| + =0,则a=0,b=0,c=0 ·易错点：运用非负性解题时，不会令每一项分别等于零列式。 知识点03 二次根式的双重非负性 ​≥0且a≥0，二次根式本身是一个非负数，被开方数也为非负数。常与绝对值、平方结合考查。 ·示例：有意义，则x-2≥0，即x≥2. ·易错点：求解取值范围时遗漏分式分母不为 0 等附加条件。 知识点04 二次根式基本性质 性质一：=a(a≥0)；性质二： = |a|,正数和 0 的算术平方根等于本身，负数的算术平方根等于它的相反数。 ·示例： - 5, - 3。 ·易错点：混淆两个性质，化简 直接去掉符号，不分字母正负。 知识点05 最简二次根式 满足两个条件即为最简二次根式：一是被开方数不含分母；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ·示例：、是最简二次根式，、不是。 ·易错点：化简不彻底，留有可开方因数或分母仍带根号。 知识点06 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式 ·示例：、3同类二次根式，可直接合并。 ·易错点：未先化为最简，直接判定是否为同类二次根式。 知识点07 二次根式乘除法则 乘法： x = ( a≥0，b≥0)， 除法： = ( a≥0，b≥0),可正向运算也可逆向化简。 ·示例： x = ， ÷ = ·易错点：乘除运算不限制取值范围，除法忽略分母大于 0。 知识点08 分母有理化 把分母中的根号化去，使分母变成有理数，这个过程叫做分母有理化，常用平方差公式进行化简。 ·示例： 有理化后为 ·易错点：有理化时只乘分母，忘记分子同步相乘。 知识点09 二次根式加减运算 二次根式加减，先将所有根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，非同类二次根式不能合并。 ·示例：2 + =3 ， 与 不能合并。 ·易错点：随意合并不是同类的二次根式。 知识点10 二次根式混合运算 运算顺序和实数、整式一致，先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内，可灵活运用平方差、完全平方公式简便计算。 ·示例：（ +1 ）（ -1 ）利用平方差公式快速计算。 ·易错点：运算顺序混乱，乱用运算公式导致计算错误。 题型一 二次根式有意义取值范围 解｜题｜技｜巧 紧抓被开方数≥0 核心条件；式子兼具分式、零次幂时，额外满足分母≠0、零次幂底数≠0；多个限制条件取公共解集，分段梳理避免遗漏约束。 【典例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）使式子有意义的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围． 本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 【详解】解：由题意可知：， ． 故选：A 【变式1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若式子有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于0是解题的关键． 根据二次根式的被开方数大于等于求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如果有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开负数为非负数是解题的关键． 由被开负数为非负数可得不等式，再解不等式可得答案． 【详解】解：∵使在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 题型二 二次根式性质化简计算 解｜题｜技｜巧 严格区分两个平方公式适用范围，仅适配非负数；化简先判定字母正负，依据正负拆分绝对值；带符号式子先整理形式，再套用公式运算。 【典例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）化简：（   ） A． B． C． D．7 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据可得答案． 【详解】解：， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了实数的运算，算术平方根，二次根式的化简．根据算术平方根，二次根式的化简以及实数的平方的计算方法，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、二次根式被开方数应该为非负数，无意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了化简二次根式． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型三 双重非负性求值题 解｜题｜技｜巧 根号、绝对值、平方均为非负数；多项非负数相加为零，则每一项单独等于零；据此列方程组求解参数，算出数值后可代回原式检验正误 【典例1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， 【变式1】已知与互为相反数，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，1、几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0；2、任何数的算术平方根都大于或等于0，任何数的绝对值都大于或等于0．先求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴且， ∴， ∴． 【变式2】已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根为 【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴4的平方根为， 即的平方根为． 题型四 最简与同类二次根式判定 解｜题｜技｜巧 先统一化成最简根式再判定；最简根式核查无分母、无开得尽方因式；同类根式比对化简后的被开方数，一致即为同类，方可合并运算。 【典例1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化为最简二次根式，最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方的因数,对各选项逐一分析即可作答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、是最简二次根式； 故选：D 【变式1】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）以下是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式．根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：1. 被开方数不含能开方的因数或因式；2. 被开方数不含分母，逐一分析选项即可确定答案． 【详解】解：选项A：，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 选项B：，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 选项C：，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 选项D：，被开方数无平方因数且不含分母，符合最简二次根式的条件，本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，即可解答． 【详解】解：A、， 与不是同类二次根式，故A不符合题意； B、， 与是同类二次根式，故B符合题意； C、， 与不是同类二次根式，故C不符合题意； D、， 与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 题型五 二次根式乘除基础运算 解｜题｜技｜巧 正向逆向灵活运用乘除公式，运算前后保证被开方数符合取值要求；计算结束务必化为最简形式；多个根式连算可整合被开方数简化步骤。 【典例1】下列等式成立的是（　　） A．（2）2＝6 B． C． D．＝﹣2 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘除法法则、二次根式的性质计算，判断即可． 【详解】解：A、（2）2＝4×3＝12，本选项等式不成立，不符合题意； B、×＝，本选项等式不成立，不符合题意； C、÷＝×＝3，本选项等式成立，符合题意； D、＝2，本选项等式不成立，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式性质和乘除法，掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则是解题的关键． 【变式1】（2024·江苏南京·中考真题）计算______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，先化简二次根式，再根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型六 分母有理化计算 解｜题｜技｜巧 找准分母对应的有理化因式，分子分母同步同乘；含根式二项式借助平方差公式去根号；化简后约分整理，最终分母不含根号。 【典例1】已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化，先对a进行分母有理化化简，再结合b的表达式分析a与b的数量关系，进而选择正确选项即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即． 故选：A． 【变式1】计算=_________． 【答案】 【分析】先把二次根式有理化，再计算即可． 【详解】解： = = = = = = 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的除法，解题的关键是把分母有理化，注意平方差公式． 【变式2】的倒数是_____． 【答案】 【分析】根据倒数定义和分母有理化进行解答即可． 【详解】解： 即的倒数是． 题型七 二次根式加减运算 解｜题｜技｜巧 全部根式先行化简，统一格式；仅合并被开方数相同的同类根式，系数相加减、根号部分保持不变；非同类根式直接保留原式，不可强行合并。 【典例1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先化简二次根式，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减； 先利用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 【变式2】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）计算：（－）－（－）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先化简各式，再合并同类二次根式，即可． 【详解】解： ． 题型八 二次根式四则混合运算 解｜题｜技｜巧 遵循先乘方、再乘除、最后加减顺序，有括号优先算括号内部；熟练套用平方差、完全平方公式简化计算；同级运算从左至右依次计算。 【典例1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，先根据二次根式的除法，二次根式的性质进行计算，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．先算乘除，化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 【变式2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】先将每一个二次根式进行化简，然后根据乘法分配律计算乘法，然后计算减法． 本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 【详解】解： ． 题型八 根式化简代入求值 解｜题｜技｜巧 先化简代数式，精简式子结构再代值；优先采用整体代入法，规避大数复杂计算；代值后细心运算，注意符号变化与根式化简收尾。 【典例1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）设．求和的值． 【答案】，4 【分析】本题主要考查二次根式的加减与乘除，解题的关键是能够熟练地运用二次根式的运算法则以及熟练地运用完全平方公式． 分别将a，b代入中计算；先利用完全平方公式整理，再将a，b代入计算即可． 【详解】解： 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 【变式2】化简求值，其中． 【答案】， 【分析】先将要求的式子的括号内进行通分，把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ． 将代入，得：原式． 题型十 根式大小比较 解｜题｜技｜巧 同为正数可平方后比较数值大小；正负根式先区分符号，正数大于负数；也可运用作差法、作商法判断差值与商值，快速判定大小关系。 【典例1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）比较大小：______（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，由于两个二次根式都大于0，因为只需要比较出两个二次根式平方后的结果的大小即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）比较大小：________（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据，可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式比较大小的方法，进行完全平方公式的运用是解决本题的关键． 通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小． 【详解】解：因为， ， 因为，所以，即， 因为，，所以． 故答案为：． 题型十一 二次根式几何实际应用题 解｜题｜技｜巧 结合图形边长、距离等条件列出根式算式；按照运算法则规范计算结果；最终数值贴合实际场景，舍去无意义答案。 【典例1】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，关键在于审清题意，看懂图形，找到各部分面积的关系．先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也是正方形． 因为三个小正方形的面积分别为， 所以三个小正方形的边长分别为：，，． 由图知大正方形的边长为：， 所以． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，将正方形和正方形放置在较大的正方形中，重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1，已知，，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再算出大正方形的边长，最后通过面积的计算求解，即可解题． 【详解】解：正方形和正方形的面积分别为，， 正方形和正方形的边长分别为，， 重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1， 重叠部分的正方形边长为1， 大的正方形边长为， 空白部分的面积为， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，矩形中，两个面积分别为40和64的正方形无重叠摆放，求图中空白部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：大正方形边长为，小正方形边长为， ． 题型十二 复合二次根式的化简 解｜题｜技｜巧 若待化简式形如，则找到两个正数m、n满足，，即可将原式化为后去绝对值得到结果；若式子不带系数2，可先将根号内式子同乘倍数凑出的结构，最终开方后再还原系数即可。 【典例1】阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简与大小比较，核心是利用完全平方公式将根号内的式子配成完全平方式，再结合二次根式的性质进行化简，同时运用分母有理化来比较大小． （1）先观察根号内的代数式，将其拆分为两个数的平方和与这两个数乘积的倍的形式，凑成完全平方式，再根据二次根式的性质去掉外层根号完成化简； （2）先对两个分式的分母进行化简，同样通过配方法将分母根号内的式子配成完全平方式，再进行分母有理化，最后根据化简后的结果比较两个数的大小． 【详解】（1）解：① ． ② ； （2）解： ． 【变式1】问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质及二次根式的加减是关键． （1）将配方成，即可得到答案； （2）将配方成，即可得到答案； （3）先对两个被开方数配方，再开方求解即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：原式 ． 【变式2】阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点． （1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的定义， 需根据“形如的式子是二次根式”这一概念判断各选项． 【详解】解：∵二次根式的定义为形如的式子， ∴A选项是负整数，不符合二次根式的形式； B选项是整数，不符合二次根式的形式； C选项是无理数，不符合二次根式的形式； D选项满足的形式，是二次根式． 故选：D． 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式的加法、减法、除法、乘法法则成为解题的关键． 根据二次根式的加法、减法、除法、乘法法则逐项判断即可． 【详解】解：A．无法合并，因为被开方数不同，结果不等于，故该选项不符合题意； B．，结果应为而非，故该选项不符合题意； C．，不等于，故该选项不符合题意； D．，符合二次根式乘法法则，故该选项符合题意． 故选D． 3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的判定，涉及同类二次根式定义：化简后被开方数相同的二次根式，将各选项化简为最简二次根式，判断被开方数是否与相同即可得到答案，熟记同类二次根式定义是解决问题的关键． 【详解】解：A：，被开方数为3，与不同，排除； B：，被开方数为5，与不同，排除； C：，被开方数为6，与不同，排除； D：，化简后为，被开方数为2，与相同，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）比较大小：______（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，掌握二次根式的性质是解题关键．由二次根式的性质可得，再根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，即可得到答案． 【详解】解：，，且， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）代数式有意义的条件是______． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数及分式中分母不为0是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数及分式中分母不为0建立不等式组即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴且． 故答案为：且． 6．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，先运算乘除法，再化简，然后运算减法，即可作答． 【详解】解： ． 7．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，先根据完全平方公式展开，去括号，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的运算 ，二次根式的化简求值；先根据分式的运算法则再结合完全平方公式和平方差公式进行化简，再把代入计算即可． 【详解】解： ， ， ； 当时，原式． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数为非负数，且分母不为0， ∴且， ∵， ∴， 解得， ∴． 2．按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据程序框图，先计算输入值与的和，判断其正负性，若大于0则乘以，否则除以，最后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：输入， 第一步运算：， ， ， 选择“是”的分支进行运算， 输出值为： ． 3．已知，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】根据已知条件计算出a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 4．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【答案】/ 【分析】先根据数轴的定义可得，从而可得，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴的定义得：， 则，， 因此 ， ． 5．有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【答案】(1) (2)木工乙的想法可行，理由见解析 【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可； （2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为， ∴，， ∴长方形木板的面积为； （2）解：木工乙的想法可行，理由如下： ∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， ∴裁出的长方形的长为， 由（1）得长方形的长为，宽为， ，， ， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行． 6.阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点． （1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二次根式有意义取值范围 题型02 二次根式性质化简计算 题型03 双重非负性求值题 题型04 最简与同类二次根式判定 题型05 二次根式乘除基础运算 题型06 分母有理化计算 题型07 二次根式加减运算 题型08 二次根式四则混合运算 题型9 根式化简代入求值 题型10 根式大小比较 题型11二次根式几何实际应用 题型12 复合二次根式的化简 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 1. 二次根式的定义与有意义条件 掌握二次根式概念，熟练求解含根式代数式中自变量取值范围，分清整式、分式、二次根式取值区别 常以选择、填空小题考查，必考自变量范围求解，多结合分式、零次幂综合出题 2. 二次根式的性质 熟记=a(a≥0)等核心性质，能化简含字母、负数的根式式子 填空、化简计算题高频考点，易错点为字母正负判断，常融入化简求值题型 3. 最简二次根式与同类二次根式 精准判定最简二次根式，快速识别同类二次根式，掌握根式化简标准 选择题判定居多，是根式加减运算基础，常铺垫后续计算题型 4. 二次根式的乘法运算 熟记乘法运算法则，能正向、逆向运用公式化简根式，完成根式乘积计算 基础计算题必考，多单独计算或结合化简综合考查 5. 二次根式的除法与分母有理化 掌握除法法则，熟练进行分母有理化，处理含根号分式化简 计算重点难点，填空、解答题高频出现，常结合求值题考查 6. 二次根式的加减运算 依托同类二次根式合并法则，规范完成根式加减混合运算 基础运算核心考点，多以计算题形式单独命题 7. 二次根式混合运算 理清运算顺序，结合乘法公式进行根式四则混合运算，准确计算结果 期中期末解答题必考，分值占比高，常与整式运算结合出题 8. 二次根式化简求值 先化简代数式再代入数值计算，掌握整体代入求值方法 压轴小题、解答常客，常结合非负数性质综合考查 9. 非负数性质应用 利用​≥0结合绝对值、平方非负性，求解字母参数值 填空高频易考题，常考几个非负数相加和为 0 题型 知识点01 二次根式的定义 一般地，形如a​(a≥0)的式子叫做二次根式，“  ​” 称为二次根号，a叫做被开方数。二次根式成立的前提是被开方数为非负数。 ·示例：、是二次根式，无意义，不是二次根式。 ·易错点：判定二次根式只看形式，忽略被开方数必须大于等于 0。 知识点02 二次根式有意义的条件 二次根式有意义，只需满足被开方数a≥0；若式子同时含分式、零次幂，需同时满足分母不为 0、底数不为 0。 ·示例：若 + |b| + =0,则a=0,b=0,c=0 ·易错点：运用非负性解题时，不会令每一项分别等于零列式。 知识点03 二次根式的双重非负性 ​≥0且a≥0，二次根式本身是一个非负数，被开方数也为非负数。常与绝对值、平方结合考查。 ·示例：有意义，则x-2≥0，即x≥2. ·易错点：求解取值范围时遗漏分式分母不为 0 等附加条件。 知识点04 二次根式基本性质 性质一：=a(a≥0)；性质二： = |a|,正数和 0 的算术平方根等于本身，负数的算术平方根等于它的相反数。 ·示例： - 5, - 3。 ·易错点：混淆两个性质，化简 直接去掉符号，不分字母正负。 知识点05 最简二次根式 满足两个条件即为最简二次根式：一是被开方数不含分母；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ·示例：、是最简二次根式，、不是。 ·易错点：化简不彻底，留有可开方因数或分母仍带根号。 知识点06 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式 ·示例：、3同类二次根式，可直接合并。 ·易错点：未先化为最简，直接判定是否为同类二次根式。 知识点07 二次根式乘除法则 乘法： x = ( a≥0，b≥0)， 除法： = ( a≥0，b≥0),可正向运算也可逆向化简。 ·示例： x = ， ÷ = ·易错点：乘除运算不限制取值范围，除法忽略分母大于 0。 知识点08 分母有理化 把分母中的根号化去，使分母变成有理数，这个过程叫做分母有理化，常用平方差公式进行化简。 ·示例： 有理化后为 ·易错点：有理化时只乘分母，忘记分子同步相乘。 知识点09 二次根式加减运算 二次根式加减，先将所有根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，非同类二次根式不能合并。 ·示例：2 + =3 ， 与 不能合并。 ·易错点：随意合并不是同类的二次根式。 知识点10 二次根式混合运算 运算顺序和实数、整式一致，先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内，可灵活运用平方差、完全平方公式简便计算。 ·示例：（ +1 ）（ -1 ）利用平方差公式快速计算。 ·易错点：运算顺序混乱，乱用运算公式导致计算错误。 题型一 二次根式有意义取值范围 解｜题｜技｜巧 紧抓被开方数≥0 核心条件；式子兼具分式、零次幂时，额外满足分母≠0、零次幂底数≠0；多个限制条件取公共解集，分段梳理避免遗漏约束。 【典例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）使式子有意义的条件是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若式子有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如果有意义，则实数的取值范围是______． 题型二 二次根式性质化简计算 解｜题｜技｜巧 严格区分两个平方公式适用范围，仅适配非负数；化简先判定字母正负，依据正负拆分绝对值；带符号式子先整理形式，再套用公式运算。 【典例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）化简：（   ） A． B． C． D．7 【变式1】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）化简：________． 题型三 双重非负性求值题 解｜题｜技｜巧 根号、绝对值、平方均为非负数；多项非负数相加为零，则每一项单独等于零；据此列方程组求解参数，算出数值后可代回原式检验正误 【典例1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若，求的值． 【变式1】已知与互为相反数，求代数式的值． 【变式2】已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 题型四 最简与同类二次根式判定 解｜题｜技｜巧 先统一化成最简根式再判定；最简根式核查无分母、无开得尽方因式；同类根式比对化简后的被开方数，一致即为同类，方可合并运算。 【典例1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）以下是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 题型五 二次根式乘除基础运算 解｜题｜技｜巧 正向逆向灵活运用乘除公式，运算前后保证被开方数符合取值要求；计算结束务必化为最简形式；多个根式连算可整合被开方数简化步骤。 【典例1】下列等式成立的是（　　） A．（2）2＝6 B． C． D．＝﹣2 【变式1】（2024·江苏南京·中考真题）计算______． 【变式2】计算：． 题型六 分母有理化计算 解｜题｜技｜巧 找准分母对应的有理化因式，分子分母同步同乘；含根式二项式借助平方差公式去根号；化简后约分整理，最终分母不含根号。 【典例1】已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】计算=_________． 【变式2】的倒数是_____． 题型七 二次根式加减运算 解｜题｜技｜巧 全部根式先行化简，统一格式；仅合并被开方数相同的同类根式，系数相加减、根号部分保持不变；非同类根式直接保留原式，不可强行合并。 【典例1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）计算：__________． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【变式2】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）计算：（－）－（－）． 题型八 二次根式四则混合运算 解｜题｜技｜巧 遵循先乘方、再乘除、最后加减顺序，有括号优先算括号内部；熟练套用平方差、完全平方公式简化计算；同级运算从左至右依次计算。 【典例1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）计算：． 【变式1】计算：． 【变式2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 题型八 根式化简代入求值 解｜题｜技｜巧 先化简代数式，精简式子结构再代值；优先采用整体代入法，规避大数复杂计算；代值后细心运算，注意符号变化与根式化简收尾。 【典例1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）设．求和的值． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【变式2】化简求值，其中． 题型十 根式大小比较 解｜题｜技｜巧 同为正数可平方后比较数值大小；正负根式先区分符号，正数大于负数；也可运用作差法、作商法判断差值与商值，快速判定大小关系。 【典例1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）比较大小：______（填“”或“”）． 【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）比较大小：________（填“”或“”或“”） 【变式2】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小：_____（填“”“”或“”）． 题型十一 二次根式几何实际应用题 解｜题｜技｜巧 结合图形边长、距离等条件列出根式算式；按照运算法则规范计算结果；最终数值贴合实际场景，舍去无意义答案。 【典例1】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，将正方形和正方形放置在较大的正方形中，重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1，已知，，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，矩形中，两个面积分别为40和64的正方形无重叠摆放，求图中空白部分的面积． 题型十二 复合二次根式的化简 解｜题｜技｜巧 若待化简式形如，则找到两个正数m、n满足，，即可将原式化为后去绝对值得到结果；若式子不带系数2，可先将根号内式子同乘倍数凑出的结构，最终开方后再还原系数即可。 【典例1】阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 【变式1】问题情境：如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 【变式2】阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）比较大小：______（填“”或“”或“”） 5．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）代数式有意义的条件是______． 6．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 7．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）计算：． 8．先化简，再求值：，其中． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 2．按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 3．已知，，则的值为______． 4．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 5．有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 6.阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $